Содержание к диссертации
Введение
1. Теории и методы расчета пологих оболочек 20
1.1. Математическая модель оболочки 20
1.2. Решение статической задачи пологой оболочки 30
1.3. Решение динамической задачи пологой оболочки 34
1.4. Выводы 37
2. Метод решения задачи динамической устойчивости пологой вязкоупругой оболочки 38
2.1. Формулировка понятия устойчивости и общая характеристика метода расчета состояний вязкоупругой оболочки 38
2.2. Вариационный метод решения задачи пологой оболочки 42
2.3. Задача о колебаниях шарнирно опертой цилиндрической, прямоугольной в плане панели 50
2.4. Математическая модель вязкоупругой пологой оболочки 60
2.5. Выводы 70
3. Критерий устойчивости пологой вязкоупругой оболочки при постоянных мембранных силах 71
3.1. Зависимость корней характеристического уравнения от параметров экспоненциального ядра 71
3.2. Критическая область параметра нагружения 91
3.3. Выводы 98
4. Движения пологой оболочки при различных режимах нагружения 100
4.1. Определение форм поперечных движений 100
4.2. Импульсно-переходные характеристики панели при постоянных мембранных силах 103
4.3. Выводы 111
Выводы 112
- Решение статической задачи пологой оболочки
- Задача о колебаниях шарнирно опертой цилиндрической, прямоугольной в плане панели
- Критическая область параметра нагружения
- Импульсно-переходные характеристики панели при постоянных мембранных силах
Введение к работе
Роль расчетов на прочность и жесткость в современном машиностроении становится все более ответственной, а сами расчеты — все более сложными. Вопросы, связанные с расчетами элементов конструкций, рассматриваются в таких традиционных дисциплинах как "Сопротивление материалов", "Строительная механика", "Теория упругости" и т.д.
Многообразие методов проектирования и расчета сложных машин и сооружений, которыми изобилует современная техника, составляет одну из весьма актуальных проблем механики. Эти методы в настоящее время стремятся отразить такие особенности расчетов элементов конструкций как нестационарный температурный режим, переменные параметры упругости, возможную слоистую или армированною структуру, пластические деформации и деформации ползучести, причем при возможно более полном учете параметров как движения, так и геометрии исследуемых объектов. В большинстве случаев это осуществляется лишь с привлечением современных численных методов с последующей реализацией их на ЭВМ.
В различных областях техники широко применяются элементы конструкций, общей чертой которых является то, что материал заполняет область пространства, ограниченную двумя близко расположенными поверхностями. Такие тела называют оболочками; если упомянутые поверхности — плоскости, то тело называют пластинкой.
По характеру напряженного состояния, образующегося при изгибе пластинки, различают следующие три класса пластинок:
жесткие,
гибкие,
абсолютно гибкие пластинки, или мембраны.
Пластинку называют жесткой, если можно без заметной погрешности считать срединный слой нейтральным или, иными словами, свободным от напряжений растяжения — сжатия. Подобное допущение характерно для обычной теории изгиба балок.
Гибкой называется пластинка, при расчете которой в пределах упругости наряду с чисто изгибными напряжениями необходимо учитывать напряжения, равномерно распределенные по толщине пластинки и называемые цепными или мембранными напряжениями. Так как цепные напряжения распространяются и на срединный слой пластинки, то их принято также называть напряжениями в срединной поверхности. Эти напряжения появляются во всех тех случаях, когда срединная поверхность пластинки переходит при изгибе в не-развертывающуюся поверхность.
Абсолютно гибкой пластинкой, или мембраной, называется пластинка, при исследовании упругой деформации которой можно пренебречь собственно изгибными напряжениями по сравнению с напряжениями в срединной поверхности. Для мембраны характерна, таким образом, равномерность распределения напряжений по толщине.
Жесткие пластинки применяются, как известно, во многих областях техники: в инженерных сооружениях (фундаментные плиты, безбалочные перекрытия), машиностроении (детали поршневых двигателей, плоские днища резервуаров) и т. д.
Широкое применение в машиностроении находят гибкие пластинки.
Так, например, участок плоской обшивки крыла самолета, подкрепленный продольными ребрами (стрингерами) и поперечными ребрами (нервюрами), можно рассматривать как гибкую пластинку. Учет цепных напряжений особенно важен для тонкой обшивки в сжатой зоне крыла, так как здесь обшивка может претерпеть потерю устойчивости и получить большие прогибы уже при эксплуатационной нагрузке. Расчет обшивки осложняется, если наряду с продольными силами приходится учитывать поперечную (воздушную) нагрузку.
Пластинки занимают большое место в кораблестроении. Обшивка днища корабля подвергается сжатию, участвуя в общем изгибе корпуса, и, вместе с тем, испытывает значительное давление воды; прогибы обшивки, как правило, сравнимы с ее толщиной. В определенных положениях корабля по отношению
5 к гребням волн оказывается сжатой также палуба, причем настил палубы зачастую теряет устойчивость в упругой области; поэтому и здесь необходимо для расчета привлекать теорию гибких пластинок.
При проектировании балок с высокими тонкими стенками в строительных конструкциях стенку приходится рассчитывать как гибкую пластинку: здесь может произойти потеря устойчивости от сдвига с образованием наклонных выпучин.
Обшивка затворов в гидротехнических сооружениях воспринимает давление воды также как гибкая пластинка; это надо учитывать при определении несущей способности обшивки.
Круглые гибкие пластинки часто встречаются в приборостроении. Так, например, упругими чувствительными элементами манометрических приборов являются гофрированные мембраны — пластинки с начальной погибью, получающие значительные прогибы.
Наряду с пластинами широко применяются в различных отраслях техники оболочки. Например, подкрепленной замкнутой оболочкой является прочный корпус подводной лодки. Корпус парогенератора или турбины энергетической установки также рассчитывают как оболочку.
Цистерны, воздушные и газовые баллоны обычно представляют собой оболочки вращения цилиндрической, шаровой или каплевидной формы. Как оболочки рассматриваются строительные конструкции: перекрытия и купола всевозможных очертаний со значительными пролетами, а в конструкции самолета - криволинейные панели обшивки крыла и фюзеляжа и герметические кабины. При проектировании реактивных двигателей проводят расчет на устойчивость форсажной камеры, внешнего и внутреннего кожухов камеры сгорания. В корпусе надводного корабля необходимо обеспечить устойчивость криволинейных участков обшивки; в подводных лодках — обшивки корпуса, цилиндрических и сферических переборок.
Крупные резервуары, применяемые в химической промышленности, работают в некоторых случаях при избыточном внешнем давлении и также рас-
считываются на устойчивость. В инженерных сооружениях находят применение пологие оболочки в виде перекрытий и покрытий; они должны обладать достаточной устойчивостью при статической нагрузке, а в сейсмических районах — и при динамическом нагружении.
Задачи на устойчивость оболочек представляют особый интерес для многих областей новой техники, а также для всех тех «устоявшихся» областей, в которых происходит внедрение облегченных конструкций и новых материалов. С расчетами на устойчивость оболочек различной формы: гладких и подкрепленных, изотропных и анизотропных, деформируемых в пределах и за пределами упругости, мы неизменно сталкиваемся прежде всего при конструировании летательных аппаратов и их двигателей. Около века тому назад И. Г. Бубнов отмечал, что корпус корабля почти целиком состоит из пластинок. Теперь мы можем сказать, что конструкция летательного аппарата состоит главным образом из оболочек. Криволинейные панели обшивки в этих конструкциях представляют собой пологие оболочки; вместе с тем, корпус летательного аппарата в целом можно рассматривать как подкрепленную оболочку. Запросами авиационной техники прежде всего и объясняется интенсивное развитие теории устойчивости оболочек в последнее время. Расчеты оболочек на устойчивость имеют существенное значение при проектировании надводных и подводных кораблей, тепловозов и вагонов, трубопроводов, резервуаров, куполов и покрытий в инженерных сооружениях и т. д.
Поведение оболочек при потере устойчивости существенно отличается от поведения стержней и пластинок. Выпучивание оболочек, как правило, сопровождается появлением не только напряжений изгиба, но и дополнительных напряжений в срединной поверхности (цепных напряжений), в то время как для стержней и пластинок мы могли учитывать только напряжения изгиба. Некоторая часть потенциала внешней нагрузки «расходуется» в случае оболочки на увеличение энергии изгиба, а другая часть — на изменение энергии срединной поверхности. Соотношение между этими величинами зависит от того, какую конфигурацию принимает оболочка при выпучивании.
Большое распространение оболочек объясняется их экономичностью по
сравнению с равнопрочными конструкциями, состоящими из плоских пластин.
Например, при одной и той же площади F поперечного сечения сосуда и одина
ковом постоянном внутреннем давлении наибольшие напряжения в стенке со
суда вдали от торцов при прямоугольной призматической форме (рис. Рис. 1 ,а)
будут в несколько десятков раз больше, чем при цилиндрической форме (Рис. 1,
б). Это обусловлено тем, что в пластинах, образующих прямоугольный сосуд,
вследствие изгиба наблюдается большая неравномерность распределения на
пряжении, чем в цилиндрической оболочке.
А б
Рис. 1
Условно, в зависимости от отношения толщины h оболочки к наименьшему радиусу R кривизны ее срединной поверхности, различают два класса оболочек:
h 1
толстые оболочки, у которых — > —;
Д 20
тонкие оболочки, у которых— < —.
R 20
В уравнениях, относящихся к тонкой оболочке, наибольшим значением
8 — можно пренебречь по сравнению с единицей, не превышая обычную для
технических расчетов погрешность в 5 % :
1±- = 1±— = 1±0,05. R 20
Большая часть оболочек, применяемых в машиностроении, относится к тонким оболочкам, однако основана на использовании достаточно сложного математического аппарата. Их теория построена в предположении, что материал изотропен, обладает идеальной упругостью, подчиняется закону Гука и перемещения точек оболочки малы по сравнению с ее толщиной. Кроме того, используются два допущения теории пластин:
о прямых нормалях, т. е. считается, что линейные элементы оболочки, нормальные к срединной поверхности, остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности;
об отсутствии поперечного давления, т. е. предполагается, что нормальные напряжения, перпендикулярные к срединной поверхности, пренебрежимо малы.
Можно классифицировать оболочки по виду поверхности.
Цилиндрическая и коническая поверхности принадлежат к поверхностям нулевой гауссовой кривизны: одна из главных кривизн здесь обращается в нуль. Существенная особенность поверхностей нулевой гауссовой кривизны состоит в том, что они являются развертывающимися, т. е. могут быть развернуты на плоскость без образования складок или разрывов; длины всех линий на поверхности остаются неизменными.
Цилиндрическую оболочку, поперечное сечение которой очерчено по окружности, называют круговой. Подобную оболочку будем считать замкнутой, если сечение ее представляет полную окружность, и открытой, если сечение составляет часть окружности.
Значение теории при современном состоянии науки и техники существенно расширилось. Если раньше теория пластин и оболочек решала в основ-
9 ном задачи рационального проектирования инженерных конструкций из готового материала, то сейчас не меньшую роль играют вопросы оптимального проектирования и изготовления материала конструкций. Путем вариации различных материалов, входящих в состав пластины или оболочки, их взаимного расположения по толщине и использования соответствующих технологических приемов создаются конструкции, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и низкой стоимостью.
Появление и широкое применение биметаллов, трехслойных и многослойных материалов, стеклопластиков и других полимерных материалов привело к необходимости создания методов расчета неоднородных конструкций. Из года в год растет число публикаций по расчету неоднородных конструкций. Особенно интенсивно разрабатываются вопросы расчета трехслойных пластин и оболочек.
Обилие публикации может создать такое впечатление, что проблема создания теории неоднородных пластин и оболочек решена. Однако это далеко не так. К настоящему времени развит целый ряд вариантов теории, базирующихся на различных гипотезах. Общая теория неоднородных упругих пластин и оболочек отсутствует. Неизвестна область наиболее рационального использования тех или иных вариантов теории.
Развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С. А. Амбарцумяна [13] могут быть объединены в три группы:
метод гипотез,
метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки
асимптотический метод
Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга. Преимущественное положение при построении технических теорий, предназначенных для практического расчета пластин и оболочек, занимает ме-
10 тод гипотез. Он позволяет получить наиболее простую математическую модель оболочки. Однако метод гипотез в том виде, в каком он обычно применяется, не обладает способностью непосредственной оценки точности построенных с его помощью теорий. Это приводит к тому, что для технических теорий, построенных с помощью метода гипотез, оказываются неизвестными пределы применимости.
Допустим, что к отрезку оболочки приложена поперечная нагрузка. При относительно малых нагрузках в оболочке будут возникать прежде всего цепные напряжения, равномерно распределенные по толщине оболочки. Здесь можно провести аналогию с аркой, воспринимающей поперечную нагрузку по преимуществу за счет осевых усилий (Рис. 2). Так как изгибные напряжения в оболочке будут сравнительно малы, то оболочку можно назвать безмоментной. В этом состоит существенная особенность оболочки по сравнению с плоской пластинкой: последняя воспринимает поперечную нагрузку при малых прогибах главным образом за счет напряжений собственно изгиба.
Рис.2
Если оболочка достаточно тонка, то при дальнейшем увеличении нагрузки она может получить упругие прогибы, сравнимые с толщиной. Тогда к напряжениям в срединной поверхности присоединятся сравнимые с ними по величине напряжения изгиба; напряженное состояние станет уже смешанным или моментным.
Таким образом, два различных напряженных состояния, имеющих место при малых нагрузках в случаях плоской пластинки и безмоментной оболочки,
*
переходят для гибких пластинок и оболочек в единое — смешанное напряженное состояние. Из этого вытекает, что дифференциальные уравнения теории гибких пластинок и оболочек должны иметь обитую структуру. Что касается пологих оболочек, то для них уже при малых нагрузках характерным является смешанное напряженное состояние.
В задачах устойчивости оболочек обычно можно считать, что в первоначальном равновесном положении оболочка работает как безмоментная. Однако при потере устойчивости сразу же возникают значительные напряжения изгиба. Как мы увидим в дальнейшем, оболочки теряют устойчивость, как правило, с образованием глубоких выпучин. Но при этом оболочку надо рассматривать как гибкую. Поэтому теория гибких оболочек должна найти практическое приложение во всех тех областях техники, для которых важным является расчет оболочек на устойчивость.
Выделим среди всех оболочек теперь особо пологие оболочки, имеющие малые кривизны. На Рис. 3 показаны примеры пологих оболочек, одна из которых является прямоугольной в плане, а другая — круговой в плане.
о)
Рис.3
Условимся считать оболочку пологой, если стрела подъема Н не превышает 1/5 от наименьшего размера в плане. Пологие оболочки применяются в настоящее время все шире в строительных конструкциях; они входят также в конструкции летательных аппаратов, подводных лодок и т.д.
При исследовании пологих оболочек, находящихся под действием попе-
12 речных сил, приходится, как правило, считать напряженное состояние мо-ментным уже на первых ступенях нагружения. Если ограничиться определением напряженного состояния оболочки при малых прогибах, то его можно вести в рамках линейной теории. Различие между пологой оболочкой и плоской пластинкой скажется тогда лишь в том, что для оболочки надо учитывать дополнительные напряжения в срединной поверхности. Однако для расчета на устойчивость пологой оболочки важным является исследование больших прогибов с позиций нелинейной теории.
На Рис. 4 [35] изображены различные варианты диаграммы «нагрузка — стрела прогиба», которые являются характерными для пологих оболочек различной кривизны.
Рис.4
В случае весьма пологой оболочки параметр нагрузки q монотонно возрастает с увеличением стрелы прогиба/(Рис. 4, а); диаграмма имеет при этом точку перегиба С, причем на первом участке ОС жесткость оболочки падает, а на втором возрастает. В случае, если начальная стрела подъема оболочки сравним, с толщиной, диаграмма получает предельную точку А (Рис. 4, б) здесь при известных условиях — когда нагрузка является «мертвой» — становится возможной потеря устойчивости, выражающаяся в прощелкивании оболочки к новому устойчивому равновесному состоянию. Далее, на Рис. 4,6 изображена диаграмма q(/), соответствующая оболочкам большой кривизны; падающая ветвь АВ неустойчивых состояний лежит вблизи начальной ветви ОА. На такого типа кривых прощелкивание становится возможным здесь при любом поведении нагрузки. Встречаются примеры, когда прогиб в центре оболочки на некотором этапе нагружения уменьшается и диаграмма q{f) становится петлеоб-
13 разной (Рис. 4,г); это связано с изменением формы волнообразования.
В некоторых случаях прощелкивание пологих оболочек является необходимым их свойством (хлопающие мембраны в приборах). С другой стороны, для оболочек, служащих покрытиями в строительных конструкциях, и во многих других примерах явление прощелкивания недопустимо. Так или иначе для расчета пологих оболочек на устойчивость должны быть известны характерные точки диаграммы «нагрузка—прогиб».
При выводе основных зависимостей нелинейной теории пологих оболочек возможны два подхода: первый из них состоит в непосредственном использовании уравнений оболочек; другой подход заключается в рассмотрении оболочки как пластинки с начальной погибью.
Теория устойчивости оболочек привлекает к себе в последние годы наибольшее внимание, данной тематике посвящен ряд статей и монографий, опубликованных в нашей стране и за рубежом [1, 12, 13, 10, 11, 15, 16, 22,32,40, 41, 42, 43,44,46, 55, 61, 63, 65, 72, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 83, 91, 92, 93, 95].
Среди множества работ по динамике и устойчивости оболочек и пластин следует выделить фундаментальные труды В.В. Болотина [25, 24, 26], в которых формулируется понятие устойчивости начального и деформированного состояний, приводятся математические модели, позволяющие анализировать динамику и устойчивость упругих деформируемых систем. В работе А.С. Воль-мира [36] рассмотрены общие вопросы устойчивости упругих систем, а его монографии [34, 35] содержат наиболее полное описание моделей и методов теории гибких оболочек. Современное состояние теории устойчивости оболочек изложено в работе П.Е. Товстика [93].
Широкое применение ЭВМ к решению нелинейных задач по теории устойчивости оболочек позволило получить в последние годы уточненные значения нижних критических нагрузок. Многие публикации посвящены применению к расчетам оболочек методом конечных элементов [9, 19, 30, 37, 39, 55, 60, 69, 72, 82]. Конечноэлементные модели оболочек являются важной составной частью таких известных пакетов прочностных расчетов, как ЛИРА, КИПР-РС,
14 ANSYS, NASTRAN, COSMOS и др.
Обширное применение армированных материалов с их специфическими особенностями в различных областях современной техники потребовало всесторонне обоснованных подходов к расчетам на устойчивость оболочечных конструкций, выполненных из новых композитных материалов. В настоящее время при исследовании устойчивости элементов конструкций, в частности оболочек из композитных материалов, наметилось три основных направления.
Первое направление связано с исследованиями, выполненными в рамках классических одномерных и двумерных прикладных теорий. Эти исследования позволили получить многие важные результаты, использующиеся при проектировании различного рода сооружений и конструкций. В монографии [36] изложены основы классических теорий устойчивости элементов конструкций, решения конкретных задач. Для оболочечных конструкций, выполненных из традиционных изотропных материалов (в основном металлов), применение классических прикладных теорий устойчивости достаточно обоснованно. Однако для оболочек из композитных материалов с их специфическими свойствами, которые слабо или вообще не учитываются классическими теориями, при расчетах на устойчивость необходимы более строгие теории и подходы.
Ко второму направлению можно отнести исследования, проведенные на основании уточненных (типа СП. Тимошенко, Е. Рейсснера, С.А. Амбарцумяна и др.) прикладных теорий стержней, пластин и оболочек. Эти теории построены путем введения соответствующих гипотез, менее жестких, чем классические, или при помощи других способов приведения трехмерных задач к двумерным. Уточненные теории позволяют в какой-то мере учитывать особенности армированных материалов, однако вопросы о точности и пределах применимости различных приближенных подходов при исследовании устойчивости оболочек, выполненных из современных композитных материалов, остаются при этом не выясненными.
К третьему направлению можно отнести работы, выполненные в трехмерной постановке без привлечения каких-либо гипотез. Такой подход позво-
15 ляет решать задачи с сугубо трехмерным напряженным состоянием, задачи механики полимерных и армированных материалов и проводить расчет элементов конструкций из них, а также оценить погрешности и определить области применимости прикладных теорий в зависимости от физико-механических характеристик композитных материалов. Применительно к исследованию устойчивости композитных материалов и элементов конструкций из них строится на предположении о малости докритических деформаций [74]. Результаты, полученные в этом направлении, частично изложены в монографиях [43,44].
Впервые уравнения трехмерной теории упругой устойчивости при малых докритических деформациях получены Р.В. Саусвеллом. Выводу трехмерных уравнений упругой устойчивости и некоторым общим вопросам посвящены работы многих авторов. Рассмотренный подход имеет обширную область применения, включающую устойчивость толстостенных металлических конструкций и тонкостенных конструкций, изготовленных из сравнительно жестких материалов (стеклопластика, асбопластика, материалов, армированных волокнами бора, графита, сапфира и т. д.), устойчивость слоистых материалов и др.
В исследованиях третьего направления основные уравнения и граничные условия получаются в результате строгой линеаризации нелинейных уравнений, при этом параметры нагружения входят в уравнения. Решить такие уравнения в общем случае трудно, поэтому в некоторых публикациях использован приближенный подход [43]. При этом подходе применяются уравнения равновесия трехмерной линейной теории упругости, а параметр нагружения вводится в граничные условия.
Исследованиям динамической устойчивости деформируемых систем в последние годы посвящается большое количество монографий, журнальных статей, что вызвано характерным для современной техники значительным повышением скоростей и ускорений и относительным облегчением элементов машин и сооружений. В связи с этим возникла необходимость изучения поведения элементов конструкций при воздействии нагрузок, быстро изменяющихся во времени.
Характер изменения нагрузки во времени может быть самым различным. Например, импульсивно приложенное усилие быстро возрастает во времени по линейному (или нелинейному) закону и затем убывает с какой-либо скоростью или нагрузка возникает внезапно и имеет в начальный момент определенную величину, а затем постепенно убывает до нуля по тому или иному закону либо остается постоянной в течение некоторого времени. Особое место занимает воздействие собственно ударной нагрузки, передающейся на тело в течение весьма короткого промежутка времени.
Следует отметить одну важную особенность динамической устойчивости деформируемых систем оболочек. Если скорость возрастания нагрузки достаточна велика, то усилия в срединной поверхности оболочки могут достигнуть значительных величин, раньше чем прогибы станут заметными. В таком процессе нагрузка, вызывающая потерю устойчивости, может превзойти не только первую верхнюю критическую силу, но и более высокие критические значения. Поэтому здесь следует ожидать появления высших форм потери устойчивости. Эта особенность процесса быстрого нагружения имеет существенное значение, так как связана с повышением несущей способности оболочки.
Теоретические и экспериментальные исследования поведения оболочек при быстром нагружении показывают, что в некоторый момент происходит скачкообразное перемещение ее к равновесным положениям с большими прогибами, после чего начинаются нелинейные колебания вокруг новой равновесной формы. Этот процесс обычно называют динамическим выпучиванием или условно-динамической потерей устойчивости.
При исследовании поведения оболочки, подвергающейся воздействию динамической нагрузки, появляется необходимость учитывать инерцию масс оболочки при их перемещении как в радиальном направлении, так и в срединной поверхности.
Все задачи по динамической устойчивости деформируемых систем можно условно подразделить на следующие три класса [1].
Задачи, в которых система находится под действием периодических
17 сил. Возникающие в этом случае колебания называют параметрическими. В зависимости от характера параметрических колебаний система может быть динамически устойчива либо неустойчива. Понятие «динамическая устойчивость» обычно связывают с поведением конструкции под действием периодической силы.
Задачи, в которых исследуется устойчивость неконсервативных систем и систем с сервосвязями.
Задачи поведения системы, нагружаемой усилием, прилагаемым в виде импульса той или иной формы, а также под воздействием собственно ударной нагрузки.
Проведенный анализ литературных данных по теории оболочек показывает, что математическое моделирование оболочечных конструкций представляет существенную проблему механики деформируемого твердого тела. Практическая ценность исследований по устойчивости оболочек заключается в учете не только величины действующих нагрузок, но и законов их изменения во времени, что позволит уточнить несущую способность конструкции и более полно использовать прочностные свойства материала.
Следует отметить, что широкое применение композиционных материалов приводит к необходимости учитывать свойства, специфические для композитов с полимерной матрицей — ползучесть и релаксацию. Общие вопросы теории линейной вязкоупругости рассматривались в фундаментальных работах [52, 57, 64, 87, 88]: подробно рассмотрены вопросы построения линейных и нелинейных наследственных соотношений между напряжениями и деформациями, взаимности таких соотношений, способы аналитического представления ядер ползучести и релаксации, методы решения статических и динамических задач. В работах [18, 49, 50, 51,38, 58, 59, 71, 81] рассмотрены прикладные вопросы теории вязкоупругости, в том числе построение дискретных моделей вязкоупругих тел.
Несмотря на огромное количество работ по теории оболочек, можно утверждать, что устойчивость динамических состояний вязкоупругих оболочек
18 изучена недостаточно.
В связи с этим, а также с тем, что пологие оболочки из вязкоупругих материалов являются широко распространенными элементами конструкций, можно сформулировать цель работы: установление критерия появления развивающихся во времени прогибов шарнирно-опертой вязкоупругой цилиндрической панели и исследование переходных процессов при закритических значениях мембранных сил.
В первом разделе рассмотрены известные теории и методы расчета пологих оболочек. Основа этих теорий заключается в том, что путем принятия гипотез Кирхгоффа-Лява трехмерная задача теории упругости сводится к двухмерной задаче о равновесии и деформации срединной поверхности, нагруженной системой усилий и моментов, статически эквивалентной системе нагрузок оболочки. Описывается оболочка как математический объект, приводится известное решение А.С. Вольмира [35] динамической задачи пологой оболочки.
Во втором разделе формулируются понятия устойчивого и неустойчивого движения панели. Приводится постановка задачи, описываются принимаемые гипотезы и определения. На основании метода модального разложения, задача анализа устойчивости панели сводится к определению корней характеристического уравнения.
В третьем разделе производятся исследования влияния мембранных сил и параметров ядра релаксации материала на устойчивость движений оболочки. Анализ корней характеристического уравнения позволил сформулировать критерий устойчивости движения в зависимости от приложения мембранных сил. Определяется область устойчивого движения цилиндрической панели для разных вариантов нагружения, приводятся графики областей устойчивости для разных геометрических параметров панелей.
В четвертом разделе приводятся результаты исследований импульсно-переходных характеристик (ИПХ) панели при различных сочетаниях мембранных сил. Показано, что в закритических режимах часть ИПХ переходит от за-
19 тухающих колебаний в развивающуюся экспоненту; при значении параметра нагрузки, равному критическому, панель совершает затухающие колебания вокруг устойчивого деформированного состояния,
В заключении формулируются основные результаты работы.
Решение статической задачи пологой оболочки
Рассмотрим подробно пологую оболочку, начерченную по части некоторой поверхности с гауссовой кривизной, отличной от нуля. Такого рода оболочки находят применение в строительстве как конструктивные формы покрытий и перекрытий. Пусть перекрываемое оболочкой здание имеет в плане форму прямоугольника со сторонами а и Ъ (Рис. 10). Пусть х, у — координаты точки на горизонтальной плоскости. Квадрат линейного элемента на плоскости в декартовых координатах выражается так: Так как нами рассматривается пологая оболочка, у которой максимальный подъем представляет малую величину по сравнению со сторонами прямоугольника, то за первую квадратичную форму срединной поверхности оболочки с достаточной степенью точности может быть принята форма (1.25). Тем самым допускаем, что внутренняя геометрия срединной поверхности пологой оболочки ничем не отличается от обычной евклидовой геометрии на плоскости. Погрешность этого допущения будет тем меньше, чем меньше стрела подъема оболочки. Исследования Власова В.З. [33] показывают, что этой гипотезой можно пользоваться для оболочек, у которых стрела подъема/состав-ляет 1/5 от наименьшей стороны перекрываемого оболочкой прямоугольника. Второе допущение, принимаемое для пологих оболочек, состоит в том, что кривизны кх и ку рассматриваются как постоянные величины. Это допущение относится к оболочкам, у которых гауссова кривизна во всех точках сохраняет один и тот же знак, т.е. к оболочкам по всюду выпуклым, либо - в случае отрицательной гауссовой кривизны — по направлению одной координаты выпуклым, а по направлению другой координаты вогнутым. При принятых выше дополнительных гипотезах приходим к уравнениям (1.23),(1.24). Система двух дифференциальных уравнений (1.23) и (1.24), имеющих при kx = const, ky = const постоянные коэффициенты, легко может быть приведена к одному дифференциальному уравнению восьмого порядка по обеим переменным х и у. Пусть F = F(x,y) - некоторая функция от двух переменных. Уравнение (1.24) удовлетворяется тождественно, если искомые функции Ф = Ф(х,у), w = w(x,y) определить через новую функцию F = F(x,y) по формулам: В соответствии с граничными условиями (1.31) функция F = F(x,y) может быть представлена виде двойного тригонометрического ряда: где m и n - целые числа, a Ama - постоянные коэффициенты.
Граничные условия (1.31) при (1.32) удовлетворяются. Определим коэффициенты Атп так, чтобы основное уравнение (1.30), в котором нагрузка q = q{x,y) рассматривается как заданная функция, удовлетворялось тождественно во всей области изменения независимых переменных х, у. Представляя нагрузку в двойных тригонометрических рядах прямоугольной области х, у, находим решение дифференциального уравнения (1.30) F = F(x,y). Дифференцируя F = F(x,y) по (1.27), находим w. Решения задачи пологой оболочки при различных условиях нагружения даны Власовым В.З. [33] в виде: 1. для сосредоточенной силы Р, приложенной в точке с координатами х,, у, и направленной по внутренней нормали. Таким образом получено известное решения для свободных колебаний упругой прямоугольной в плане пологой оболочки. В данном разделе проводится обзор существующих методов решения задач статики и динамики пологих оболочек. Показано, что для некоторых вариантов конфигурации оболочек возможны аналитические решения задачи статики и динамики поперечных колебаний; возможны обобщения таковых на случай линейно-вязкоупругих оболочек. Рассмотрим задачу об устойчивости движения пологой оболочки с позиций математической теории устойчивости [45]. Пусть объект исследований описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений: правая часть которой непрерывна по времени и дифференцируема по всем компонентам вектора у. Тогда при заданных начальных условиях уф) = у0 существует единственное решение задачи Коши y(t). Это решение называют устойчивым по Ляпунову, если для любых бесконечно малых 5: справедливо неравенство: \У(?)-П(й е V/є[0,оо). где 8, є - бесконечно малые величины одного порядка. Задачей механики деформируемого твердого тела (МДТТ) является определение деформируемого состояния, которое можно определить как отклонение от начального состояния, определенное полем перемещений u(t, г). Причиной этого отклонения могут быть действующие на тело нагрузки (вынужденное движение) или начальные условия по перемещению и/или скорости: ы(0,г) = и0(г), a(0,r) = v0(r)-- свободные движения. (Здесь г — вектор места в начальном состоянии). Если рассматривать линейную постановку МДТТ, то методом разделения переменных можно свести задачу определения деформированного состояния к двум задачам: первая определяет систему базисных функций, удовлетворяющих краевым условиям, а вторая — коэффициенты при этих функциях в разложении поля перемещений. Вторая задача представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для упругого тела. Тогда законы движения точек тела определяются именно решением второй задачи и устойчивость движения может рассматриваться в смысле Ляпунова: начальное состояние будет устойчивым, если Для упругого тела это определение можно трактовать так: свободные колебания около начального состояния будут осуществляться с бесконечно малой амплитудой при бесконечно малом начальном возмущении. В теории оболочек устойчивость начального состояния увязывается с действующими в срединной поверхности мембранными силами Nu, N2i, Nyi. Тогда можно определять критерий устойчивости оболочки, исходя из любого критерия математической теории устойчивости.
Для линейных систем известны теоремы Гурвица и Михайлова [45], связанные с анализом корней характеристического уравнения. Чтобы применить эти критерии к анализу устойчивости линейно-упругих оболочек вспомним, что в рамках упомянутого выше метода решения динамических задач характеристическое уравнение определяет спектр свободных колебаний; решение представляется в виде: где oojt - частоты свободных колебаний, однозначно определяемые корнями характеристического уравнения. Из последней формулы видно, что начальное состояние будет устойчивым, если все корни характеристического уравнения будут иметь неотрицательную мнимую часть. Тогда частотный критерий устойчивости начального состояния оболочки типа Михайлова можно сформулировать следующим образом: где N - тензор мембранных сил, N обозначает некоторую его норму, вид которой определяется при решении конкретной задачи. Отметим, что при нарушении этого критерия поле перемещений становится неограниченным при увеличении времени. Особым является случай, когда один из корней равен нулю, а остальные -удовлетворяют критерию устойчивости. Тогда в движении оболочки появляется постоянная составляющая, вокруг которой совершаются колебания; этот случай соответствует потере устойчивости в смысле Эйлера: существует устойчивое деформированное состояние (естественно, отличающееся от начального) и в этом смысле начальное состояние неустойчиво. Деформированное состояние, определяемое решением уравнения: будет устойчивым по Ляпунову. Приведенное определение устойчивости панели является частным случаем общего определения устойчивости деформируемого твердого тела, сформулированного В.В. Болотиным [25]. При анализе динамических задач линейной вязкоу пру гости задача осложняется наличием интегральной составляющей физических соотношений Больцмана: Для решения таких задач был разработан вариант метода модальных разложений [14], который определяет базисные функции Uk как формы колебаний линейно-упругого тела, отличающегося от исходного только отсутствием интегральной составляющей в физических соотношениях. Тем самым для решения второй задачи (определения законов движения точек тела) формулируется система обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, а первая задача остается такой же, как и для упругого тела. Отличие от упругого тела определяет- ся тем, что характеристическое уравнение будет, вообще говоря, трансцендентным и прямое применение теорем Гурвица и Михайлова невозможно. Тем не менее, сохранение представления решения в виде (2.1) сохраняется, и, следовательно, общие заключения об устойчивости начального состояния остаются теми же. Сохраняется и форма критериев (2.2), (2.3); однако свободные колебания будут затухающими при устойчивом начальном состоянии.
Задача о колебаниях шарнирно опертой цилиндрической, прямоугольной в плане панели
Из общего вида уравнения колебаний видно, что даже при отсутствии осевой силы и давления моды колебаний взаимосвязаны за счет нелинейного слагаемого, т.е. возбуждение по одной моде, например, при и = m = 1 повлечет за собой и колебания по всем остальным модам, т.к. матрица системы модальных уравнений будет заполненной, а не диагональной, как в линейном случае. Из структур формул (2.39) и (2.40), определяющих интегралы Iccs(n,q,t) и Isss(m,p,s) соответственно видно, что степень числителя относительно чисел (n,q,t) и (m,p,s) всегда на единицу меньше, чем степень знаменателя, т.е. при стремлении одного из чисел к бесконечности эти интегралы убывают как -, т.е. обратно пропорционально номеру. В связи с этим можно утверждать, что теснота связи мод колебаний падает по мере увеличения их номеров. Более того, это справедливо и при увеличении разности номеров. Например, рассмотрим интеграл Jccs{n,q,t) при фиксированных q,t и неограниченно возрастающем п. Тогда произведение Iccs{n,qj)- Isss(m,p,s) убывает как — и степень взаимно- пт го влияния определяется этим множителем. Также числители этих формул содержат множители типа соз(л--л)-1 и, следовательно, равны нулю для всех нечетных л. Тогда внедиагональная часть матрицы будет слабо заполненной, причем при удалении от главной диагонали величина коэффициентов будет убывать. Наиболее сложным будет случай, когда имеются тройки различных волновых чисел, когда в множителях имеются выражения вида: Если все три волновых числа одновременно нечетны, то косинусы равны +1 и выражения равны нулю, то есть нечетные моды не влияют друг на друга. В тройках из двух четных и одного не четного числа имеет место комбинация (-1)-(-1)-1-1 = 0, т.е. тоже самое. И только в случае одного или трех четных чисел имеем (-1)-1-1-1 = -2 или (-l)-(-l)-(-l)-l = -2. По аналогии правая часть уравнения (2.47) отлична от нуля только в том случае, когда п и т - оба четные. При анализе колебаний цилиндрической панели при постоянных мембранных силах возникают следующие задачи: Колебания панели без мембранных сил, но с учетом нелинейных эффектов; Колебания панели при наличии только продольной силы; Колебания панели при наличии только давления; Колебания панели при наличии давления и продольной силы. Предложенный Больцманом способ описания наследственных свойств реальных твердых тел основан на предложении о наложении, суперпозиции влияния напряжений в предшествующее время на деформации в момент наблюдения.
Деформации Ає, наблюдаемые в момент времени t, вызванные приращением Д т(г), действующего в момент времени т, предшествующий /, считаются пропорциональными приращению напряжения: (2.49) Из закона Гука о пропорциональности напряжений и деформаций следует Д т пропорциональное приращение Ає = —, причем величина, обратная модулю Юнга, называется податливостью одномерной упругой системы. Поэтому множитель П называют функцией податливости, зависящей от времени, прошедшего с момента приращения напряжения. После обычного предельного перехода получим интегрированием по частям найдем обозначим наследственности линейными интегральными соотношениями где Е - константа материала; R{t-s) - ядро релаксации, т.е. функция, выражающая влияние напряжения в момент s, предшествующий моменту t, на деформацию в момент t; K(t-s) - ядро ползучести, т.е. функция, выражающая влияние деформации в момент 5 на напряжение в момент t. Уравнение (2.53) можно рассматривать как линейное уравнение Вольтера II рода относительно неизвестной функции a(t). Тогда уравнение (2.54) можно рассматривать как решение уравнения (2.53), а ядро R(t-s) как резольвенту ядра K(t s). Разумеется, справедливо и обратное утверждение, а именно равенство (2.53) является решением интегрального уравнения (2.54) относительно неизвестной функции s(t), а ядро K(t-s) - резольвента ядра R(t-s). Таким образом, уравнения (2.53) и (2.54) являются взаимными, и между ядрами K{t s) и R{t-s) существует известная зависимость [52, 57,71]: От правильного выбора ядер R(t) и K(t) и определения их параметров зависит точность решения задач о проведении конструкций под нагрузкой во времени. Основное соотношение (2.50) можно также получить, пользуясь теоремами представления общего вида линейных функционалов в различных функциональных пространствах [67], Связи между напряжениями и деформациями в одномерной линейной теории вязкоупругости и на случай трехмерной модели вязкоупругой среды описаны в работе [52]. В случае анизотропной среды выражение (2.54) записывается в виде: Тензор Щи называется тензором ядер релаксации. Разумеется, и в этом случае, если потребовать инвариантность соотношения (2.56) относительно начала отсчета времени, то ядра Гщ и К станут ядрами разностного типа. Из ковариантности соотношений вытекает, что ядра riJki и KiJkj являются тензорами четвертого ранга. Значит, в общем случае они имеют 81 компоненту. Однако, учитывая симметрию этих тензоров получаем 36 независимых компонент каждого тензора. Из термодинамических соображений можно вывести соотношения взаимности в результате чего число независимых ядер сокращается до 21. Соотношения (2.57) и (2.58) очень важны для теории вязкоупругости, так как позволяют с помощью преобразования Лапласа свести уравнения (2.56) к соответствующим уравнениям анизотропной теории упругости [52]. Для записи уравнения колебаний пологой цилиндрической панели (2.47) с учетом вязкоупругости представить тензор ядер релаксации в виде (2,59) где y(t) = . ядро релаксации, определяемое в опыте на одноосное растя- жение.
Выражение (2.59) описывает вырожденный случай модели вязкоупругого тела. Уравнение колебаний пологой цилиндрической оболочки с учетом вязкоупругости определим из уравнения (2.43). Для этого преобразуем его к следующему виду: Таким образом, уравнение (2.61) приводит задачу о динамическом деформировании линейно-вязкоупругого тела к системе обычных интегро-дифференциальных уравнений. Аналогичные уравнения характерны для теории автоматического управления [21, 68]. Поэтому используем некоторые методы и термины теории автоматического управления. Найдем общее решение интегро-дифференциального уравнения (2.61) с использованием интегрального преобразования Фурье [21, 31, 68]. Применяя теорему о дифференцировании оригинала [47] и теорему линейности [99] име- как обычно — мнимая единица. Возможны два случая: один чисто мнимый корень и два комплексных, что соответствует импульсно-переходной характеристике в виде гармонического затухающего осциллятора, наложенного на апериодическое движение, и три чисто мнимых корня, что соответствует апериодическому движению по данной моде. Положительной мнимой части корней соответствуют затухающие движения, отрицательной — расходящиеся. Таким образом, в зависимости от параметров ядра и значения безразмерных параметров нагрузки Хи1? можно получать разнообразные виды движений, как колебательные, так и апериодические, затухающие и расходящиеся. Из характеристического уравнения (2.82) видно, что частота колебаний определяется параметром вида: который будем называть параметром нагружения оболочки. Тогда характеристическое уравнение перепишется в виде: Аналитическое решение этого уравнение находится по (2.83). Таким образом, получено аналитическое решение линейной вязкоупругой задачи пологой оболочки в безразмерном виде. В данном разделе приведен вариационный метод решения пологой оболочки в аналитической форме. Получена вариационная система уравнений движения пологой оболочки. Приводятся точное аналитическое решение для случая шарнирно опертой цилиндрической панели, прямоугольной в плане.
Критическая область параметра нагружения
Корни характеристического уравнения могут быть мнимыми и комплексными; первым соответствуют апериодические движения, вторым — гармонические колебания, модулированные экспоненциальной функцией, причем вещественная часть корней определяет частоту колебаний, а мнимая - коэффициент затухания. Тогда асимптотически устойчивым будем называть такое состояние панели, для которого возможны только затухающие движения, т.е. все мнимые корни и мнимые части комплексных корней положительны. Иными словами, для устойчивого состояния панели любые отклонения от начального состояния через достаточно большой промежуток времени становятся ненаблюдаемыми. Данное положение соответствует частотным критериям устойчивости Гурвица и Михайлова в теории управления и устойчивости движения. Будем называть критическим значение параметра нагрузки, при котором появляется либо отрицательный мнимый корень, либо становится отрицательной мнимая часть одного из комплексных корней. Проводя анализ вышеприведенных графиков видно, что только корень Z2 (синий) соответствует развивающемуся движению, т.е. имеет отрицательную мнимую часть. Для определения критической силы находим точку пересечения корня мнимой части корня Z2 с осью Р: Аналитическое решение данного уравнения не представляется возможным. Используя среду MathCad, в которой выполнялись все вышеприведенные расчеты и построены графики, а именно инструментарий слежения (trace) получена следующая зависимость критической силы от параметра Л: (3-2) Таким образом, выражение (3.2) определяет предельное, иначе критиче- ское, значение параметра нагрузки, при котором возможны затухающие поперечные колебания. Критерием устойчивости, определяющим область, в которой возможна потеря устойчивости, является неравенство: Последнее определение обосновано рис. 12...29, из которых видно, что отрицательные значения 1ш(2г) появляются левее критического значения параметра Р. Полученный результат можно обобщить и на другие тонкие тела, у которых потеря устойчивости связана с некоторым параметром нагружения. Действительно, исходное характеристическое уравнение (2.86) универсально по отношению к форме и условиям закрепления вязкоупругого тела; они отражаются только в параметре 0, который представляет собой одно из собственных чисел линейного оператора, определяющего моды — формы свободных колебаний сопряженного упругого тела [49, 50, 51]. Использование относительных параметров позволяет распространить его на любую моду.
Тем самым критерий ( 3.3) и определение критического параметра нагружения (3.2) можно рассматривать как универсальный критерий устойчивости движений линейно-вязкоупругих тел, состояние которых зависит от некоторого постоянного параметра, принимающего как положительные, так и отрицательные значения. 3.2. Критическая область параметра нагружения Полученное выражение для критерия динамической устойчивости сформулировано для одного сочетания чисел т, п, определяющих одну форму колебаний. Для окончательной формулировки критерия устойчивости раскроем выражение для параметра Р используя выражения (2.62), (2.63). Из (3.2) имеем: Таким образом, получаем семейство прямых линий определяющих область критических сжимающих сил и давления для разных мод. При заданном х или/» наибольшее значение второго фактора, при котором возможны устой- чивые поперечные движения, определяется из уравнения (3.6). Из формулы (3.6) видно, что угол наклона прямой х (р ) при постоянных геометрических значениях параметров оболочки определяется из соотношения , но и от величины и2. Первое слагаемое свободного члена возрастает прямо пропорционально п2, а второе - убывает обратно пропорционально п2 и для фиксированного числа т отрезок, отсекаемый на оси ординат х - критическая безразмерная сжимающая сила, при отсутствии давления р будет возрастать с увеличением волнового числа п. Из приведенных рассуждений следует, что высшие формы при очень больших волновых числах тип будут неустойчивы при очень больших давлениях, сравнимых с модулем Юнга, что, очевидно, приведет к напряжениям, превосходящим предел прочности материала. Напряжения такого порядка выходят за рамки основных предположений исследуемой нами модели пологой оболочки. Поэтому ограничимся рассмотрением только младших форм колебаний при небольших волновых числах тип. На Рис. 30, Рис. 31 показаны примеры критических областей для двух вариантов геометрии оболочки: при г = 5 и г = 10. Область устойчивости движения представляет собой незамкнутую область, ограниченную критическими линиями, построеннными для разных волновых чисел п и т. На рисунках область устойчивости показана сеткой серого цвета. Движение оболочки будет асимптотически устойчивым по Ляпунову, если сочетания осевой силы и давления принадлежат этой области. На всех рисунках черным эллипсом показана зона прочности, усредненного композиционного материала. Наложение двух этих зон дает зону устойчивых движений цилиндрической панели из композиционного материала. На рис. 32 показаны границы критической области для трех различных значений удлинения панели а=1; 1/2; 1/3.
Видно, что для всех вариантов (Рис. 30, Рис. 31) в область прочности попадают по три моды, это первая линия л - 2, m = 1; вторая -и=1,т=1и третья п = 1, т — 2. Исследуя область устойчивости можно утверждать следующее, что линии, ограничивающие эту область с верху, будут соответствовать модам т = 1 и и= 1,2, 3..., а линии, ограничивающие эту область справа - п = 1 и т— 1, 2, 3... На Рис. 32 изображены критические зависимости осевой силы от давления для квадратной панели (линия 2), для прямоугольной панели с отношением сторон 2:1 - линия 1 и с отношением сторон 3:1 - линия 3. Известно решение Тимошенко для прямоугольной пластинки, сжатой нагрузкой, приложенной к короткой стороне по направлению длинной стороны [91], в соответствии с которым количество полуволн, образующихся при потере устойчивости, вдоль длинной стороны, равно отношению размеров длинной и короткой сторон. Сопоставляя результаты рис. 32 с этим решением при р =0, нетрудно заметить, что линия 1 пересекается осью ординат на отрезке п = 2, т = 1, т.е. образуется одна полуволна по оси у и две полуволны по х, для линии 2п = \,т = \ — одна полуволна по осям х, у. Для отношения сторон п = 3, т = I получаются три полуволны по оси х и одна полуволна по у. Полученные результаты не противоречат решению Тимошенко для упругой пластинки. Таким образом, сформулированный критерий устойчивости вязкоупругой панели позволяет построить область устойчивых состояний, границы которой не противоречат известным решениям. В данном разделе приводятся результаты анализа влияния компонент мембранных сил на динамическое поведение вязкоупругой пологой оболочки. Построены зависимости корней характеристического уравнения от приложенных мембранных сил для экспоненциального ядра. Установлено, что критическое значение параметра нагружения определяется только параметром Л, представляющим собой падение напряжения в опыте на релаксацию или, иными словами, долговременным модулем. При действии двух мембранных сил (осевой и тангенциальной) оказалось возможным построение критической области на плоскости, соответствующей этим двум параметрам: каждой моде колебаний соответствует своя критическая прямая; ломаная, составленная из отрезков этих прямых отделяет незамкнутую область устойчивости начального состояния. Эта область характеризуется наличием хотя бы одной растягивающей мембранной силы. Если пара мембранных сил изменяется вдоль луча, проведенного из начала координат, то можно указать, по какой форме (моде колебаний) произойдет потеря устойчивости: ее номер определяется точкой пересечения луча с одной из критических прямых. Сопоставление границ устойчивости по сформулированному критерию с известным решением СП. Тимошенко убеждает в его непротиворечивости.
Импульсно-переходные характеристики панели при постоянных мембранных силах
Фундаментальной характеристикой динамического поведения панели является семейство ее импульсно-переходных характеристик Wnm{i), определяющее реакцию на начальные кинематические возмущения поперечным перемещением и его скоростью и на переходные процессы, развивающиеся при изменении внешних нагрузок- Формула (4.5) показывает, что ИПХ панели полностью зависит от корней характеристического уравнения: наличие корня (или корней) с отрицательной мнимой частью приводит к возникновению расходящихся, неустойчивых движений. Изучение ИПХ позволит установить интервалы времени, в пределах которых прогибы панели остаются малыми. Для исследования выбрана цилиндрическая панель из изотропного материала, мгновенные характеристики которого близки к стеклотекстолиту: Е0=3-1010 Па, v=0.3, р=2700 кг/м3. Универсальное ядро релаксации предполагается экспоненциальным; параметры ядра варьируются в ходе исследования. Размеры панели определены следующим образом: длина я=1м, относительная толщина п=0.005, относительный радиус варьировался: г=5; 10; 20. Мембранные силы характеризовались двумя безразмерными параметрами, соответствующими критическим областям п, 3.2, определенными формулами (3.5). План исследований следующий: для заданной геометрии панели и свойств материала строилась критическая область; внутри нее проводился луч из начала координат и на нем отмечались точки пересечения с прямыми, определяющими границы устойчивых и неустойчивых состояний мод с различными волновыми числами пит. Затем для различных точек этого луча определялись ИПХ, соответствующие различным модам. Отметим, что представление графиков различных мод на одном бланке неудобно в связи с тем, что периоды колебаний высших мод малы по сравнению с первой и их графики сливаются. Поэтому на рисунках приводятся раздельные графики для девяти мод, причем диапазон времени каждого графика соответствует десяти периодам колебаний на данной моде. При мнимых корнях, т.е. при отсутствии колебаний, диапазон графика определялся как величина, обратная модулю мнимой части корня. Движение панели при нулевой сжимающей силе и давлении, не выходящим за критическую область - устойчивые затухающие колебания, которые следуют из анализа ИПХ и их скоростей. Результаты расчетов для точки на оси абсцисс Р = 1.8-10" приведены на Рис. 33, Рис. 34. Все моды будут устойчивыми, кроме п = 1, т = 3, следовательно, движение панели является неустойчивым.
Исследуем следующую точку на оси абсцисс Р = 2.0-10" , находящуюся после мод 1,3 и 1,2. На графиках ИПХ, представленных на Рис. 35, Рис. 36 видно что неустойчивыми будут именно моды 1,3 и 1,2, а все остальные - устойчивые. Продолжая аналогичные исследования для разных режимов мембранных сил, приходим к выводу что, если взять точку за пределами устойчивой области, то панель будет терять устойчивость только по тем модам, которые пересекаются линией, соединяющая эту точку с началом координат. Причем наиболее быстро будет развиваться мода, которая пересекается первой. Отдельно следует рассмотреть вопрос об импульсно-переходной характеристике для моды, у которой соблюдается условие: Р(п, т) = А, то есть при движении по соответствующей линии, ограничивающей область устойчивости. Напомним, что в этом случае один корень равен нулю, а два остальных имеют положительные мнимые части (см. рис. 12...29). В соответствии с (4.5), (4.8), ИПХ будет состоять из суммы гармонического затухающего осциллятора (4.10) и постоянной составляющей, равной значению (4.8) при z=0: Интерпретируем полученные результаты с точки зрения теории устойчивости. Если выполняется условие Р(т,п) А \/т,п, то недеформированное состояние панели асимптотически устойчиво по Ляпунову: любые начальные возмущения приводят к затухающему полю перемещений, которое по истечении достаточно большого времени станет ненаблюдаемым. Если хотя бы для одной моды Р{т,п) А, то недеформированное состояние неустойчиво: амплитуда этой моды со временем неограниченно возрастает. Если для единственной моды выполняется условие Р(т,п) = А,то недеформированное состояние неустойчиво по Эйлеру: существует асимптотически стационарное деформированное состояние с конечной амплитудой прогиба, определяемой начальным возмущением. Для иллюстрации этого эффекта рассчитано состояние панели с удлинением alb =3 (а=1/3) для критического значения параметра х при/? =0,при ко- W тором неустойчивой являлась единственная мода п=2 , т=\ (рис.38). Начальное возмущение задавалось в виде параболоида: удовлетворяющего краевым условиям. Начальная скорость прогиба полагались нулевой. При разложении учитывалась 81 мода (и=1..9, т=1..9). Параметр начальной формы wa подбирался так, чтобы различия форм были визуально заметны. Параметры ядра принимались такими же, как на рис. 38 (А=0Л, =0.1). Деформируемое состояние соответствовало времени затухания колебаний: t=l.5c (см. рис. 38). На рисунке отчетливо видно, что устойчивая форма панели отличается от исходной - по образующей три полуволны, в окружном направлении — одна. Тем самым подтверждены предварительные выводы о развитии неустойчивых форм и затухании устойчивых. В разделе рассмотрены особенности поперечных движений вязкоупругой оболочки при различных сочетаниях внешнего давления и осевой силы. Построены импульсно-переходные характеристики, показано полная зависимость их от корней характеристического уравнения. Построены графики импульсно-переходной характеристики и ее скорости для закритического режима нагруже-ния пологой вязкоупругой панели.
Построены начальное и деформированное состояния панели для критического нагружения продольной силой. 1. Сформулированы общие положения исследования устойчивости пологих оболочек, основанные на определении устойчивости движения по Ляпунову, являющиеся частным случаем устойчивости деформированного состояния по В.В. Болотину. Для вязкоупругих оболочек устойчивость начального состояния оказывается асимптотической. 2. Применение модального разложения позволило сформулировать критерий устойчивости вязкоупругой панели в форме, общей для любых вязкоупругих тел, у которых НДС зависит от некоторого параметра. Для оболочек, в срединной поверхности которых действуют только постоянные нормальные мембранные силы, этот критерий сводится к равенству параметра нагружения падению напряжения в опыте на релаксацию. Это положение справедливо, по крайней мере, для экспоненциального ядра при вырожденном вязкоупругом поведении материала. Критерий устойчивости определяет критическую область как условие положительности мнимых частей всех корней характеристического уравнения. 3. Применение этого критерия позволило определить область устойчивости вязкоупругой оболочки, граница которой представляет собой часть ломаной линии, каждое звено которой представляет собой прямую для некоторой моды колебаний. Второй границей области является условие статической прочности оболочки при действии только мембранных сил. Полученное решение в частном случае при нулевой окружной компоненте мембранных сил качественно совпадает с известным решением Тимошенко для удлиненной пластинки. 4. Показано, что при равенстве нулю одного из корней характеристического уравнения имеет место неустойчивость по Эйлеру: существует асимптотически устойчивое по Ляпунову деформированное состояние, вблизи которого происходят затухающие колебания; но начальное состояние при этом будет неустойчивым. 5. Исследование переходных процессов, происходящих в оболочке при потере устойчивости показало, что при закритических значениях параметра нагружения движение оболочки носит характер развивающейся экспоненты, вокруг которой совершаются затухающие колебания. При этом амплитуды прогибов неограниченно возрастают. При критическом значении параметра нагружения устойчивое деформированное состояние будет соответствовать той форме, для которой выполняется условие равенства параметра нагружения его критическому значению. Все остальные формы колебаний затухают.
