Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблема устойчивости упруго-пластических систем и обзор задач общей устойчивости высотного объекта на деформируемом основании 13
1.1. Модели, предельное состояние и критерии устойчивости деформируемой среды 13
1.2. Обзор задач общей устойчивости высотного объекта на упруго-пластическом основании 17
ГЛАВА 2. Конструктивные системы, деформации крена и бифуркационная устойчивость высотных объектов на линейно деформируемом основании модели Винклера 22
2.1. Конструктивные системы высотных объектов 22
2.2. Аналитическое решение и компьютерное моделирование высотного объекта на базе расчетных комплексов 24
2.2.1. Две бифуркационные задачи в проблеме устойчивости одного объекта 24
2.2.2. Сравнительный анализ решений аналитических уравнений устойчивости и компьютерное моделирование высотного объекта на базе расчетных комплексов 32
ГЛАВА 3. Сравнительный анализ и оценка достоверности расчета общей устойчивости и деформаций крена высотного объекта, на базе различных моделей линейно деформируемого основания 45
3.1. Модель основания Винклера 45
3.2. Модель основания на базе вариационного метода В.З.Власова 51
3.3. Модель основания на базе уравнений равновесия Навье 54
3.4. Сравнительный анализ результатов на базе различных моделей основания 61
ГЛАВА 4 . Инкрементальная модель для системы «высотный объект - физически нелинейный слой основания» с учетом наведенной неоднородности физико-механических свойств основания 65
4.1. Основы инкрементальной теории 65
4.2. Инкрементальные физические соотношения с учетом наведенной неоднородности для плоской задачи 67
4.3. Инкрементальная модель основания на базе уравнений равновесия Навье 74
4.4. Метод исследования устойчивости 77
ГЛАВА 5. Применение инкрементальной модели основания на базе уравнений равновесия Навье к расчету общей устойчивости и деформаций крена высотного объекта 81
5.1. Модельные задачи на базе одноосной модели основания 81
5.1.1. Идеализированные системы в задачах устойчивости 81
5.1.2. Линейно деформируемое основание 85
5.1.3. Упруго-пластическое основание 89
5.1.4. Неоднородное основание 95
5.2. Устойчивость системы «высотный объект – физически нелинейное основание» 101
5.3. Устойчивость системы «высотный объект – физически нелинейное неоднородное основание» 111
5.4. Устойчивость высотного объекта на основании с наведенной неоднородностью 118
5.4.1. Инкрементальная модель основания с наведенной неоднородностью 118
5.4.2. Напряженно-деформированное состояние основания, общая устойчивость и деформации крена высотного объекта 121
Основные результаты и выводы по диссертации 130
Литература
- Обзор задач общей устойчивости высотного объекта на упруго-пластическом основании
- Две бифуркационные задачи в проблеме устойчивости одного объекта
- Модель основания на базе уравнений равновесия Навье
- Инкрементальная модель основания на базе уравнений равновесия Навье
Обзор задач общей устойчивости высотного объекта на упруго-пластическом основании
Первыми работами в области теории бифуркационной устойчивости упругих систем это работы Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Дж. Брайана, Ф.С. Ясинского. В задачах устойчивости упругих систем бифуркационная постановка позволила на основе исследования свойств дифференциальных уравнений равновесия или движения судить об устойчивости этих систем.
Изучение устойчивости упругопластических систем продолжено в трудах Ф. Энгессера, Т. Кармана, Ф.Р. Шенли. В основу методологии исследования устойчивости за пределом упругости авторами этих работ положено исследование процессов нагружения или деформирования с учетом истории их осуществления. Начало этому направлению исследований положили работы Шенли и Кармана. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в работах Р. Хилла, Е. Стоуэлла, Э.И. Григолюка, А.А. Ильюшина, В.Г. Зубчанинова, Ю.Р. Лепика, Л.А. Толоконникова и ряда других авторов.
В частности, в области задач устойчивости систем за пределом упругости в работах Ильюшина А.А. [35-37] и Зубчанинова В.Г. [25-34] нашла широкое применение "теория приведенного модуля", согласно концепции Энгессера-Кармана, которая позволила представить современную концепцию устойчивости с учетом роли истории нагружения, обоснования квазистатического подхода и влияния начальных несовершенств и возмущающих факторов. Простейшая задача общей устойчивости высотного объекта в виде массивного сооружения с высокорасположенным центром тяжести на гидростатическом основании приведена в [102]. Дальнейшее усложнение данного класса задач в упругой постановке осуществлено в работах [41, 42]. В работах [41, 42] строится математическая модель системы, объединяющая абсолютно жесткое сооружение на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей с упругим слоем основания. В основе описания работы слоя основания лежит вариационный метод В.З. Власова, позволивший свести дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным уравнениям модели слоя основания. Линеаризация математической модели и применение метода дискретизации (метода конечных разностей) позволило авторам [64, 111] перейти к решению обобщенной алгебраической задаче на собственные значения.
Дальнейшее усложнение данной задачи в [22, 64, 85-87, 111] связано с учетом работы слоя основания за пределом упругости и с учетом развития наведенной неоднородности его физико-механических свойств. Уравнения состояния в [22, 64, 85-87, 111] приняты в инкрементальной форме.
Используя такую постановку задачи – линеаризованная схема – для системы «объект – основание» была исследована устойчивость.
При этом устойчивость исследовалась в данном случае путем прослеживания равновесных состояний системы «высотный объект – основание» с использованием линеаризованных соотношений с малым начальным несовершенством. С повышением уровня нагружения, нагрузка стремится к критическому значению, которой соответствуют, стремящиеся к бесконечности, перемещения.
При исследовании докритического деформирования системы «высотный объект – деформируемое основание» с учетом упруго-пластических свойств основания, авторами [64, 111] был предложен в качестве ведущего параметра пошагового процесса величина приращения вертикальных перемещений под одной из опор высотного объекта. В этом случае искомой величиной является приращение нагрузки.
Тогда, за особой точкой смены знака приращения вертикальных перемещений под другой опорой, крен высотного объекта описывается начальным докритическим поведением системы, которое, в свою очередь, сопровождается разгрузкой основания.
Предельная точка на графике интенсивности напряжений трансформируется в итоге в точку бифуркации, при учете «разгрузки» с учетом пластичности. Этому соответствует бифуркационная критическая нагрузка Рш по концепции Шенли. При решении начального докритического деформирования решения расходятся, и имеет место предельная нагрузка Рк, которая соответствует «приведенно-модульной» концепции исследования устойчивости согласно теории Энгессера-Кармана. Так же стоит отметить, разницу между бифуркационной критической нагрузкой по теории Энгессера-Кармана и по концепции Шенли, составляющую по мнению А.А. Ильюшина порядка 5-10% [37]. При этом критическая нагрузка по «теории приведенного модуля» выше.
В работах [64, 111] показано, что бифуркационная нагрузка в данном случае является критической в смысле нарушения процесса монотонного сжатия основания под фундаментной балкой, как в процессе монотонного нагружения системы, так и в процессе развития наведенной неоднородности. В качестве наведенной неоднородности в [22, 44, 95] рассматривалось изменение физико-механических свойств грунтового слоя основания под массивным объектом с высокорасположенным центром сил тяжести, в связи, с изменением влажности основания (С%).
Две бифуркационные задачи в проблеме устойчивости одного объекта
В качестве следующего высотного объекта конструктивную систему жесткости высотного здания. По терминологии Хайно Энгеля [120] в основе конструкций высотных зданий заложены стандартные системы жесткости (рис. 2.2.14.).
В качестве примера плоской расчетной схемы рассмотрим одну из стандартных систем жесткости [120]: А - с внешними несущими стенами, работающими на сдвиг, Б - с внутренними несущими стенами, работающими на сдвиг; В - ствольного типа; Г - трубного типа; Д – плоская расчетная схема (рис. 2.2.14.). В рамках этой схемы при поступательном перемещении в вертикальном или горизонтальном направлении относительное расположение сил и их направления не изменяются. В связи с этим рассмотрение поступательных перемещений не может внести что-либо новое в задачу общей бифуркационной устойчивости данного объекта. В данном случае ограничимся рассмотрением лишь углов поворота объекта в вертикальной плоскости, которые и примем в качестве независимого параметра перемещений. Возмущение выбранного параметра перемещений, приводящее к потере симметрии «отпора» основания под фундаментной конструкцией, позволяет получить уравнения общей устойчивости данного объекта с позиций бифуркационного подхода (рис. 2.2.15.). А Б В Г Д
Потеря симметрии «отпора» основания под фундаментной конструкцией в результате возмущения выбранного параметра перемещений приводит в случае модели основания Винклера к трапециевидной эпюре «отпора» основания (рис. 2.2.15).
При составлении условий равновесия заменим реактивной давление «отпора» основания на пару равнодействующих реактивных сил АЛ, AS (рис. 2.2.15). Условия равновесия позволяют получить приращения пары равнодействующих реактивных сил отпора, вызванных приращением силы Р для п -го шага нагружения (2.2.6), которые приложим к фундаментной плите (рис. 2.2.14, Д - плоская расчетная схема.). Тогда расчетная схема имеет вид, иллюстрирующийся на рис. 2.2.16. п
В компьютерной модели для получения деформаций основания под фундаментной плитой в соответствии с моделью Винклера (коэффициент Винклера С1= k = 6000[kH/м3] в обозначениях программного комплекса Мономах 4.0 и Лира 9.6) примем толщину железобетонной фундаментной плиты 2м, что позволит устранить влияние второго коэффициента жесткости основания С2 = 10 [kH/м], так как нулевое значение этого коэффициента программным комплексом не предусмотрено.
На рис. 2.2.17 кривая 1 - решение в приращениях, кривая 2 -решение в полных функциях. Уменьшая шаг по нагружению (АРп) можно добиться сколь угодно точного совпадения этих решений.
Сопоставим решение в приращениях по (2.2.7) и результаты расчета с помощью программных комплексов для параметров задачи табл. 2.2.2. Результаты расчета в виде графиков приращений осадок фундаментной плиты приведены на рис. 2.2.18.
Графики приращений осадок, полученные по математической и компьютерной моделям, подобны, так как различаются на некоторую постоянную величину А (табл. 2.2.4). Эта постоянная величина является осадкой от веса фундаментной части объекта. В аналитическом решении (2.2.7) учитывается только вес надземной (не сбалансированной относительно оси симметрии) части объекта, а в компьютерной модели объекта учитывается так же и собственный вес фундаментной плиты.
Здесь можно отметить, что на развитие деформаций крена высотного объекта влияет только несбалансированная относительно оси симметрии нагрузка, а в аналитическом решении и компьютерной модели она одинакова. Результаты расчета деформаций крена приведены в табл. 2.2.5.
Таким образом, развитие эксцентриситета высотного объекта Э (деформаций крена) идентично для аналитического решения и компьютерной модели (рис. 2.2.19) Развитие деформаций крена высотного здания на деформируемом основании возможно в связи с потерей общей устойчивости процесса деформирования системы «высотное здание – деформируемое основание». Проведем сравнительный анализ аналитического решения линеаризованных уравнений общей устойчивости и компьютерного моделирования деформаций крена высотного здания. Для этого построим на базе модели основания Винклера систему линеаризованных уравнений общей устойчивости процесса деформирования системы «высотное здание – деформируемое основание». В качестве независимого параметра перемещений примем эксцентриситет (Э) центра сил тяжести надземной части высотного сооружения (рис. 2.2.15):
Модель основания на базе уравнений равновесия Навье
В этом случае рассматривается совместное использование уравнений статики с уравнениями изгибаемого элемента или «полоски изгибаемого элемента», который выделяется из изгибаемого элемента. (рис. 4.3.1). При этом будем полагать, что контактирующая поверхность изгибаемого элемента и деформируемой среды основания гладкой, что позволяет пренебречь трением между ними, а реакции контакта при этом направленных перпендикулярно к контактирующей поверхности. Так же будем полагать, что вертикальные перемещения нижней поверхности изгибаемого элемента и верхней поверхности деформируемой среды основания возникают совместно, исключая отрыв. Задача решается совместно с системой уравнений Ляме и с уравнением изгибаемого элемента, которые попадают в совместную систему уравнений через граничные условия, записываемые для вырезанного из объема среды основания «основания-полоски», контактирующего с изгибаемым элементом, так как функция вертикальных перемещений поверхности деформируемого основания и линия прогиба оси изгибаемого элемента тождественны. Так на поверхности деформируемой среды основания задаются для касательных и вертикальных нормальных напряжений граничные условия, а величина вертикального давления, передающегося на поверхность деформируемой среды основания со стороны изгибаемого элемента, равна вертикальному отпору Rz(x).
Кроме того, размеры области интегрирования в рассматриваемой задаче (рис. 4.3.1) выбираем в соответствии с условием затухания компонент вектора перемещений на ее границах. Таким образом, для приращений горизонтальных и вертикальных перемещений, в том случае, если область односвязная (рис. 4.3.1) принимаются равными нулю по всему периметру области основания, но за исключением поверхности основания.
Так, применяя метод сеток для дискретизации такой математической модели, можно найти компоненты приращений вертикальных и горизонтальных перемещений
И так, инкрементальная модель системы «деформируемая среда основания - изгибаемый элемент» на базе фундаментальных уравнений равновесия Навье - это совокупность уравнений равновесия (4.3.1), граничных условий по периметру области основания, а также на поверхности контакта деформируемой среды основания и изгибаемого элемента, записанных в инкрементальной форме, геометрических соотношений Коши и инкрементальных уравнений, описывающие состояние деформируемой среды: 1 дх 3 dz 13 2 dx dz
Здесь следует заметить, что граничное условие на контактирующей поверхности изгибаемого элемента и среды основания (4.3.2) -дифференциальное уравнение IV-го порядка. Отсюда следует, что требуется ввести дополнительные граничные условия. Этими условиями являются выражения по краям изгибаемого элемента для внутренних усилий, свободно лежащего на деформируемой среде основания (рис. 4.3.1):
Таким образом, получаем систему определяющих уравнений задачи. 4.4. Метод исследования устойчивости. Рассмотренные выше модели основания инкрементального вида применительно к задачам устойчивости процесса деформирования системы «высотный объект – деформируемое основание» позволяют получить докритическое напряженно-деформированное состояние основания высотного объекта с учетом физической нелинейности, неоднородности деформационных свойств и их изменения в условиях влияния внешних техногенных и природных факторов. Проблема устойчивости в данном случае рассматривается как устойчивость процесса нелинейного деформирования системы при нагружении и в условиях изменения (деградации) физико-механических свойств нагруженной деформируемой среды. Принятый в работе критерий устойчивости процесса деформирования упругопластической среды (критерий «равноактивной бифуркации») может быть распространен и на задачи устойчивости с учетом неоднородности деформационных свойств и их изменения в условиях влияния внешних техногенных и природных факторов. В этом случае проблема устойчивости процесса деформирования системы «высотный объект – деформируемое основание» сводится к проблеме устойчивости симметричного состояния равновесия некого “ упругого эквивалента “ системы. Упругий эквивалент [24] – это гипотетическая система, у которой геометрия и форма абсолютно тождественны с исходной системой. Инкрементальная теория строится так, что все её выражения имели в себе все нужные уравнения при переходе из состояния Pn в состояние Pn+1. При этом состояние Pn+1 имеет бесконечно малое различие от состояние Pn. Мера данной малости и указывает возможность линеаризации определяющих уравнений по отношению к приращениям переменных состояния. В случае инкрементальной теории, в которой при решении по шагам, переход из одного состояния P0 в некое состояние Pf осуществляется при использовании промежуточных состояний, где необходимо решение знать.
Так статический бифуркационный критерий упругой устойчивости – критерий Эйлера, может быть использован для исследования устойчивости равновесного состояния «упругого эквивалента» ситемы, позволяющий найти точку бифуркации процесса деформирования. При этом точка бифуркации тождественна условию появления наираннего (по параметру нагружения и (или) по параметру внешнего воздействия) момента неединственности и при продолжении процесса деформирования системы, с учетом изменения физико-механических свойств нагруженной деформируемой среды. В случае инкрементальной теории выражения принимаются для приращений, а полные функции получаются суммированием приращений, которые получены на предыдущих шагах. С каждой точкой деформируемого тела связаны тензоры приращений деформаций и напряжений и тензоры полных деформаций и напряжений.
Инкрементальная модель основания на базе уравнений равновесия Навье
Влияние наведенной неоднородности на общую устойчивость высотного объекта рассмотрим, на примере изменения деформационных свойств основания при изменении параметра влажности грунтового основания (С), влияющей на диаграмму деформирования. На (рис. 5.4.1) приведены экспериментальные результаты, полученные в [114]. С помощью испытаний на компрессию проводилось исследование деформационных свойств грунта. В случае испытания образца грунта по такой схеме, наблюдается процесс уплотнения. Автор подготовил образцы, отличающиеся содержанием минеральной влажности: I образец – Sr = 0.83 (С = 25.8%); II образец – Sr = 0.9 (С = 27.9%); III образец – Sr = 0.94 (С = 29.1%); IV образец – Sr = 1.0 (С = 32.8%).
В работе [64] для каждой функции П. (С) в заданном диапазоне изменения влажности, от естественной влажности 25,8% до полного водонасыщения 32,8%, определены экспериментальные коэффициенты: К = 1, К = 1; К = 1; h = -9 10-3; к2 = -0,1; s} = -0,06; s2 = -0,01; s3 = 1; m; = -0,035; т2 = -0,085; т3 = 1; п = 2,5; у=2;%= 1, позволившие получить аппроксимацию экспериментальных данных (рис. 5.4.1). В работе [64] предложены аналгичные зависимости для более сложных задач, в которых учитывается уровень нагружения, влияющий на изменение деформационных свойств основания в процессе его увлажнения.
Таким образом, зависимости для диаграмм деформирования грунтовой среды на основе экспоненциального закона, в том числе в условиях наведенной неоднородности, достаточно адекватно отражают данные эксперимента.
В дальнейшем, для диаграммы деформирования основания, примем экспоненциальный закон, представляя в качестве примера развития наведенной неоднородности, изменение диаграммы деформирования в виде плавного перехода от экспоненциального закона деформирования с упрочнением к экспоненциальному закону деформирования без упрочнения. Таким образом, имеется ввиду, что изменением параметра диаграммы деформирования У отвечает развитию наведенной неоднородности среды основания (5.4.3).
Таким образом, как отмечается в работе [111], получаем некую поверхность деформирования, где в результате последовательного решения задачи по шагам, строятся траектории изменения состояния напряженно-деформированного для каждой точки слоя основания (рис. 5.4.2.б)
На первом этапе рассматривается задача нагружения среды основания монотонно возрастающей нагрузкой (участок от 0 до А). На втором этапе рассматривается задача с уже нагруженной средой основания, при которой происходит изменение диаграммы деформирования (участок от А до В) (рис. 5.4.2в).
Устойчивость высотного объекта на втором этапе связана с изменением параметра диаграммы деформирования слоя основания, в данном случае параметра У. Таким образом, качестве разыскиваемого критического параметра задачи выступает параметр У, критическое значение которого зависит от уровня нагружения основания до начала развития процесса наведенной неоднородности основания.
Напряженно-деформированное состояние основания, общая устойчивость и деформации крена высотного объекта
Особенностью докритического напряженно-деформированного состояния в задачах устойчивости высотного объекта на основании с наведенной неоднородностью физико-механических свойств является второй этап деформирования при постоянном уровне нагружения. В этом случае на втором этапе деформирования граничные условия на поверхности основания по линии контакта фундаментной плиты и основания становятся однородными, так как приращение нагрузки от опор сооружения становится равным нулю. Роль грузовых членов в разрешающей системе уравнений равновесия Навье в инкрементальной форме выполняют члены уравнений, представляющие собой производные от функций переменных состояний (параметров деформируемой среды основания, являющихся постоянными на данном шаге) Фу функции, учитывающие наведенную неоднородность физико-механических свойств основания; у{С) - переменный коэффициент диаграммы деформирования, зависящий от внешнего фактора (например, показателя влажности основания С). На рис. 5.4.3а в качестве примера показан характер распределения функции I1X1O x 1 для области основания под линией контакта поверхности основания и фундаментной плиты.
На рис. 5.4.3б в качестве примера приведена, соответствующая эпюре L] , на рис. 5.4.3а эпюра АМ п із /). Функции В} и В3 представляют собой «фиктивные нагрузки», учитывающие наведенную неоднородность. Максимальная величина «фиктивной нагрузки» возникает в местах концентрации напряжений.
Рассмотрим расчет вертикальных перемещений линии контакта фундаментной плиты и поверхности основания в условиях наведенной неоднородности. В этом случае угол упрочнения диаграммы деформирования основания У будет изменяться. Таким образом, получаем поверхность деформирования, отражающую снижение жесткости несущего слоя основания (рис. 5.4.3).
