Введение к работе
Актуальность работы. Одной из важных задач современной промышленности является постоянная забота о снижении веса конструкций при сохранении надежности ее работы. Поэтому, при расчетах напряженно-деформированного состояния, до сих пор актуальны теории, позволяющие учитывать геометрическую и физическую нелинейность, микроконтинуальные (микроморфные, микрополярные, микроконтинуальные с растяжением-сжатием) теории деформируемого твердого тела, а также уточненные способы сведения трехмерных задач к двумерным. Очевидно, новое механическое содержание приводит к новым задачам, нуждающимся в математическом исследовании и моделировании.
В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин, эти методы основаны на:
гипотезах о напряженном и/или деформированном состояниях;
разложении всех геометрических и механических величин в ряды;
асимптотическом интегрировании;
представлениях о двумерных средах.
Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. Все они позволяют свести трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерным системам.
Первый метод, который еще называют гипотетическим методом, ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г., Рейснера Е., Генки X., Тимошенко СП., Амбарцумя-на С.А., Левинсона М., Пелеха Б.Л., Хорошуна Л.П., Черных К.Ф., Никабадзе М.У. и др.
Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты (Кильчевский Н.А., Селезов И.Т., Kienzler R., Christensen R.M.), разложением в полиномы Лежандра (Векуа И.Н., Медик М.А., Солер А., Феллерс Дж., Хертеленди, Mindlin R.D., Амосов А.А., Галимов Н.К., Меунаргия Т.В., Пелех Б.Л., Сухорольский М.А., Чепига В.Е., Алексеев А.В., Аннин Б.Д., Волчков Ю.М., Дергилева Л.А., Иванов Г.В., Никабадзе М.У.), разложением в ряды по системе заданных функций (Васильев В.В., Лурье С.А.), разложением в многочлены Чебышева (Чепига В.Е., Никабадзе М.У.) и др.
Третий метод — асимптотическое интегрирование, предложен, например, в работах Гольденвейзера А.Л. В математическом плане асимптотическое интегрирование приводит к равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым), так как рассматриваются всегда члены одинакового порядка.
Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом, находит достаточно редкое применение, так как противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий — весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс.
Анализ опубликованных работ свидетельствует, что проблема разработки уточненных теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций актуальна и в настоящее время. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования. Широко применяются численные методы и дискретные расчетные модели.
Следует отметить, что классическая теория упругости довольно хорошо предсказывает поведение реальных твердых тел, находящихся под различной
нагрузкой, во всех случаях, когда «зернистость» строения рассматриваемых реальных тел не является характерной. Однако классическая теория упругости оказывается не в состоянии удовлетворительно объяснить закономерности некоторых явлений, которые можно наблюдать в реальных упругих телах, не говоря уже о телах другой реологии. Например, с точки зрения теоретических решений классической теории упругости не удается объяснить и предсказать законы распространения коротких акустических волн в кристаллических твердых телах, поликристаллических металлах и высоких полимерах. Заметим также, что дисперсия упругих поверхностных волн Рэлея, не может быть объяснена в рамках классической модели сплошной среды. В рамках же среды Коссера (или более обобщенной среды) этот эффект имеет объяснение. При этом степень затухания амплитуды рэлеевской волны с глубиной, а также эллиптичность волны зависят от материальных констант среды, в том числе и от параметров, описывающих моментные свойства. Это обстоятельство позволяет надеяться на эффективное применение такого типа волн в возможных экспериментальных исследованиях, направленных на обнаружение моментного поведения материала и далее на определение материальных параметров. Обзор работ в этом направлении свидетельствует, что существует несколько экспериментальных методов для их определения и ведется активная работа для нахождения материальных констант различных сред.
В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому их построение и развитие эффективных методов расчета тонких тел являются важной и актуальной задачей.
В диссертационной работе получены различные представления системы уравнений движения микрополярной теории, а также определяющих соотношений (ОС) микрополярной теории тонких тел с одним малым размером в моментах
относительно системы ортогональных полиномов Лежандра. Даны формулировки постановок задач в рамках микрополярной теории упругости в моментах. Исходя из упомянутых выше уравнений движения и ОС и постановок задач, выведены соответствующие уравнения движения, ОС и постановки задач в моментах микрополярной теории тонких призматических анизотропных тел с одним малым размером. Решены некоторые задачи для призматических тонких тел.
Цель работы.
Математическое моделирование деформирования микрополярных призматических тонких тел с применением системы полиномов Лежандра и решение некоторых модельных задач, в том числе построение теорий некоторых приближений.
Научная новизна работы заключается в следующем:
впервые разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных тонких тел переменной толщины с помощью системы полиномов Лежандра;
впервые разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных призматических тонких тел переменной толщины с применением системы ортогональных полиномов Лежандра;
впервые при применении системы полиномов Лежандра получены гиперболические уравнения четвертого порядка в нулевом приближении относительно моментов третьих компонент векторов перемещений и вращений для изотропной среды;
впервые осуществлено моделирование волновых процессов в микрополярной упругой анизотропной среде, получены общее дисперсионное уравнение и скорости распространения волн в бесконечных микрополярных трансверсально-изотропной и ортотропной средах в главных направлениях;
впервые, используя метод И.Н.Векуа решения эллиптических уравнений
2n порядка и метод разделения переменных Фурье, осуществлено моделирование деформирования прямоугольной пластины в рамках гиперболической системы уравнений теории упругости;
Обоснованность и достоверность теоретических положений и выводов диссертации подтверждена строгими математическими выводами, основанными на положениях механики, и подтверждена сравнением полученных решений задач с известными классическими решениями.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения многих важных практических задач в тех областях техники, в которых применяются тонкие тела. В частности, могут быть применены в МГТУ им. Н.Э.Баумана, МАИ, ЦАГИ, ЦИАМ, НИИ Механики при МГУ, ИТПМ СО РАН, ИПМ РАН, ЦНИИ Маш, и в других организациях, занимающихся разработкой и совершенствованием образцов автомобильной, ракетной, морской и авиационной техники.
На защиту выносятся математические модели теории тонких микрополярных призматических тел с одним малым размером и результаты численного решения задач; дисперсионные уравнения для определения скоростей распространения упругих волн в бесконечных анизотропных микрополярных средах.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах:
аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри, (2008, 2009)
научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко, (2008, 2009)
научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад., проф. Г.И. Нигматулина, д.ф.-м.н., проф. Н.Н. Смирнова, (2008, 2009)
научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. ГАН, проф. Е.В. Ломакина, д.ф.-м.н., проф. В.М. Александрова, акад. ГАН, проф. И.Г. Горячевой, (2008, 2009)
научно-исследовательский семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н., М.В. Шамо-лина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, (2008, 2009)
научных конференциях «Ломоносовские чтения» 2003-2009 г.г., секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова,
научно-исследовательский семинар в ин-те машиноведения им. А.А. Бла-гонравова ГАН под руководством д.т.н., проф. Г.В. Москвитина, (2008)
научно-исследовательский семинар факультета «Прикладная математика» МГОУ под руководством д.ф.-м.н., проф. В.Дж. Кулиева, (2010)
научно-исследовательский семинар по механике сплошной среды им. Л.А. Галина ИПМех ГАН под руководством д.ф.-м.н., проф. В.М. Александрова, д.ф.-м.н., проф. В.Н. Кукуджанова, д.ф.-м.н., проф. А.В. Манжирова, (2010)
научно-исследовательский семинар кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э.Баумана под руководством д.т.н., проф. B.C. Зарубина, (2011)
научно-исследовательский семинар кафедры № 902 МАИ «Сопротивление материалов. Динамика и прочность машин» по механике под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В.Тарлаковского, (2011)
Публикация результатов. Гезультаты диссертации частично опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата. Три статьи
изданы в журналах, которые входят в перечень издательств, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, Заключения, нескольких иллюстраций, списка литературы и содержания. Диссертация изложена на 150 страницах.
Личный вклад автора. Представленные в работе научные результаты получены лично автором. Во всех случаях использования результатов других исследований в работе приведены ссылки на источники информации.
Похожие диссертации на Моделирование деформирования микрополярных призматических тонких тел с применением системы полиномов Лежандра
