Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Влияние кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении
1.1. Равновесие цилиндра в докритическом состоянии
1.2. Линеаризованные уравнения равновесия
1.3. Материал Бидермана . ...
1.4. Степенной материал
Глава 2. Устойчивость цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении
2.1. Растяжение трубы при внутреннем давлении
2.2. Бифуркация равновесия .
2.3. Численные результаты .
2.4. Область выпуклости энергии
Глава 3. Неустойчивость растянутого полого цилиндра при кручении и внутреннем давлении
3.1. Полый цилиндр под действием осевого растяжения, кручения и внутреннего давления
3.2. Возмущенное равновесие
3.3. Численные результаты
3.4. Область выпуклости энергии
Глава 4. Устойчивость прямоугольной плиты при двухосном растяжении .
4.1. Невозмущенное состояние равновесия .
4.2. Линеаризованные уравнения равновесия
4.3. Численные результаты
4.4. Область выпуклости энергии
Заключение
Литература
- Линеаризованные уравнения равновесия
- Бифуркация равновесия
- Возмущенное равновесие
- Линеаризованные уравнения равновесия
Введение к работе
Начиная с середины прошлого века достаточно быстро стала развиваться теория больших (конечных) деформаций, что в первую очередь было вызвано использованием в промышленности большого числа искусственных материалов, поведение которых не описывалось классическими линейными теориями. Закритическое поведение конструкций, нелинейное поведение полимеров, не-разрушающие методы контроля напряженных конструкций [16], устойчивость при больших деформациях - это лишь некоторые проблемы, изучаемые в рамках нелинейной механики твердого тела. Несмотря на то, что с момента появления нелинейных теорий поведения материалов и конструкций прошло более полувека, число точных решений задач о больших деформациях достаточно невелико и они получены лишь для тел канонических форм при простых граничных условиях. Это связано с тем, что данные задачи описываются сложными уравнениям, которые могут быть решены точно только для некоторых частных случаев.
Для решения задач нелинейной теории упругости часто применяется полуобратный метод [11,52]. Данный метод заключается в следующем:
1) Вначале задаются в предполагаемом виде деформационные соотношения, связывающие положения точек тела в отсчетной и актуальной конфигурациях.
2) По этим соотношениям выводятся выражения для мер деформаций и тензоров напряжений.
3) Затем, из уравнений равновесия находятся распределения сил, допускаемые предположенным заданием деформационных соотношений.
Основная трудность при использовании полуобратного метода заключается в том, что задаваемая деформация не может быть произвольной, а должна удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме тела. Но даже при использовании полуобратного метода на конечном этапе решения задачи обычно приходится прибегать к помощи численных методов.
При рассмотрении конечных деформаций различных конструкций обычно необходим анализ их устойчивости, причем потеря устойчивости возможна как для тонкостенных тел, так и для массивных конструкций. Например, при достаточно больших деформациях может стать неустойчивой даже неограниченная среда [57]. Исследования по теории устойчивости в нелинейной теории упругости и распространения волн в нелинейных средах принадлежат А. И. Лурье, Н. В. Зволинскому, Л. А. Толоконникову, К. Ф. Черныху, Л. И. Балабуху, В. Л. Би-дерману, А. Н. Гузю, В. А. Еремееву, Л. М. Зубову, У. К. Нигулу, В. А. Пальмову, М. Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А. Е. Грину, Р. С. Ривлину, Ч. Сенсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу, Р. Т. Шилду и другим ученым.
Исследования в области линеаризации нелинейных уравнений теории упругости отражены в известных монографиях В. В. Новожилова [47], А. И. Лурье [44, 45], А. Н. Гузя [13 - 15], А. Е. Грина и В. Зерны [75], А. Е. Грина и Дж. Адкинса [11], К. Трусделла и В. Нолла [92], 3. Весоловского [8], Р. Кнопса и Е. Уилкса [76], М. А. Био [58].
В качестве метода линеаризации нелинейных краевых задач часто используется метод наложения малой деформации на конечную [43, 73]. Используя уравнения нейтрального равновесия, получаемые линеаризацией нелинейных уравнений теории упругости, находится положение равновесия тела, которое отличается от первоначального положения на некоторую малую деформацию и существует без приложения дополнительных поверхностных сил на части границы и добавочных перемещений на остальной поверхности. Такое равновесное состояние называется нейтральным. Сколь угодно малой добавкой к параметру, характеризующему нагрузку или деформацию, тело может быть переведено из данного состояния в неустойчивое положение равновесия. Недостатком этого метода является то, что отсутствие некоторого частного решения уравнений нейтрального равновесия, дающего смежное положение равновесия, является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Метод наложения малой деформации на конечную успешно применялся многими авторами для решения конкретных задач устойчивости и распространения волн в предварительно напряженных телах [12, 55, 91, 93, 94].
Уравнения нейтрального равновесия, справедливые для полулинейного материала, были впервые получены в работах Р. В. Саусвелла [89] и К. Бицено, Г. Генки [56]. Е.Уилкс [95] нашел условия для осесимметричного выпучивания трубы под действием сжатия. В работе К. Пирсона [80] для полулинейного материала был предложен приближенный метод определения критического на-гружения колонны. Выпучивание тонкой пластины из полулинейного материала рассмотрено в [29]. С. Любкин [78] и Ч. Сенсениг [82] первыми изучили дей ствие приложенного внешнего давления, но с частной формой энергии деформации. В [3,4] предложен альтернативный способ вывода уравнений нейтрального равновесия. Первые работы по исследованию закономерностей распространения волн в предварительно напряженных телах, выполненные в рамках малых начальных деформаций, принадлежат М. А. Био [58, 59].
В [22-25, 81] впервые на базе операторного метода Ляпунова-Шмидта выполнен анализ послекритического поведения трехмерных упругих тел. Проблеме устойчивости упругого полупространства посвящены работы [7, 64, 70]. В [28] установлены ограничения на свойства упругого материала, достаточные для устойчивости состояния гидростатического сжатия анизотропного однородного тела. Задачи об устойчивости упругих тел с полостями, заполненными жидкостью без учета и с учетом фазовых переходов исследованы в [19, 21]. В работах [31, 74] рассмотрена устойчивость цилиндра под действием сжатия и кручения. Тесно связанные с проблемой устойчивости равновесия эффективные критерии выполнимости условий Адамара, сильной и ординарной эллиптичности для сжимаемых и несжимаемых материалов предложены в [32, 34, 37, 39] Развитый в [38] метод однородных решений позволил в точной трехмерной постановке исследовать устойчивость толстых плит произвольной в плане формы при любых граничных условиях на боковой поверхности. Разработана классификация несжимаемых изотропных материалов по особенностям потери устойчивости сжатого прямоугольного бруса [36]. Обнаружена качественная зависимость его поведения от принадлежности материала к одному из трех классов. В работах [20, 66] впервые построена общая трехмерная теория устойчивости равновесия упругих тел с моментными напряжениями. В [26] найден точный критерий потенциальности момента при больших поворотах и приведены нетривиальные примеры консервативного и неконсервативного поведения мо-ментной нагрузки. В монографии Л. М. Зубова [96] впервые изучено влияние внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокаций и дисклинаций, на устойчивость упругих тел. В [41] представлена численная схема анализа устойчивости равновесия нелинейно-упругой пластинки с дефектом. Вопросы устойчивости трехмерных тел, обладающих существенной физической нелинейностью, исследованы в [1, 2, 53]. В обзорных статьях Р. Огдена, Фу [69] и В. А. Еремеева, Л. М. Зубова [18] содержится анализ состояния развития нелинейной теории устойчивости упругих тел.
Достаточно часто при изучении устойчивости рассматриваются несжимаемые материалы [60-62, 65, 68, 71]. Это обусловлено тем, что большинство рези-ноподобных и полимерных тел действительно малосжимаемы, а также тем, что для них существует достаточно большой набор универсальных деформаций [44, 50], задание которых обеспечивает выполнение уравнений равновесия для любого материала. При этом поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой деформации, выражаются только через функцию удельной потенциальной энергии. Многие авторы при анализе устойчивости тел в рамках нелинейной теории используют наиболее простую модель — неогуковский материал [5, 63, 67, 72, 79, 88].
В подавляющем большинстве опубликованных работ по упругой устойчивости как тонких, так и массивных (трехмерных) тел рассматривается бифурка ция равновесия (выпучивание) при сжимающих нагрузках. Однако упругая неустойчивость может проявиться и при растягивающих напряжениях. В частности, из опытов на простое растяжение стержней хорошо известно, что после достижения точки максимума на диаграмме нагружения (т.е. зависимости продольной силы от удлинения) процесс однородного деформирования становится неустойчивым. Круговая цилиндрическая форма растянутого образца сменяется осесимметричной формой равновесия, образуется «шейка». Ниспадающий участок диаграммы растяжения, который реализуется в жесткой испытательной машине, является участком неустойчивости. Описанная неустойчивость при растяжении названа у Л. М. Качанова [42] неустойчивостью деформирования тел и считается одним из видов разрушения конструкций. При обычной трактовке ниспадающего участка диаграммы растяжения как неустойчивого, остается неясным смысл и характер этой неустойчивости. Основными вопросами при исследовании упругой устойчивости являются определение спектра критических значений параметра нагружения и построение собственных форм потери устойчивости (мод выпучивания). Весьма желательно также определение за-критического состояния тела. Одно лишь существование ниспадающего участка диаграммы растяжения, очевидно, не дает ответа на эти вопросы. Таким образом, анализ устойчивости растягиваемых тел требует строгого подхода, основанного на общей теории упругой устойчивости.
Явление неустойчивости при растягивающих напряжениях имеет ряд особенностей по сравнению с неустойчивостью при сжатии:
1) Неустойчивость растягиваемых тел чаще всего наступает при боль ших деформациях, что требует полного учета геометрической и физической нелинейности в уравнениях теории упругости.
2) Исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно на основе одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек, а требует рассмотрения пространственных задач нелинейной теории упругости. Например, согласно классическому уравнению Эйлера продольного изгиба прямого стержня потеря устойчивости невозможна при растягивающей продольной силе.
3) Потеря устойчивости при растяжении возможна далеко не для всех материалов. В частности, состояние однородного одноосного растяжения цилиндра всегда устойчиво для материалов, описываемых известными моделями Муни, Бартенева-Хазановича.
4) Различные моды неустойчивости растягиваемых тел, как правило, имеют весьма близкие собственные значения.
Строгая математическая теория образования «шейки» при растяжении прямоугольного бруса в условиях плоской деформации впервые разработана в [33, 35]. В этих статьях на основе точных уравнений теории упругости решена задача о бифуркации равновесия растянутого бруса из несжимаемого изотропного материала, удовлетворяющего условию сильной эллиптичности. Указаны конкретные модели материалов, для которых возможна неустойчивость при растяжении. Для широкого класса несжимаемых тел доказано, что моды бифуркации равновесия могут существовать только при удлинениях, превышающих точку максимума на диаграмме растяжения и расположенных на ниспа дающем участке этой диаграммы. Аналогичные с качественной точки зрения результаты получены в [30, 77] в задаче о неустойчивости при растяжении кругового цилиндра из материала со степенным упрочнением. Модель степенного упрочнения в терминах логарифмических деформаций удовлетворительно описывает поведение ряда упруго-пластических конструкционных материалов при активном нагружении и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций. В [9, 10] построена область параметров употребительной трехконстантной модели сжимаемого нелинейно-упругого материала Блейтца и Ко, при которых диаграмма растяжения имеет точку максимума. Установлено, что соответствующее этой точке удлинение стержня существенно зависит от типа граничных условий на его торцах. Исследование устойчивости некоторых классов универсальных деформаций с помощью постулата Друкера проведено в [17].
Данная диссертация посвящена изучению устойчивости трехмерных нелинейно-упругих тел при растягивающих нагрузках в условиях комбинированного нагружения. Рассматриваются некоторые задачи о бифуркации равновесия тел, имеющих форму цилиндра, а так же задача о выпучивании прямоугольной плиты. Анализируется влияние геометрических размеров тела и физических свойств материала на потерю устойчивости.
Диссертация состоит из четырех глав.
В первой главе изучается вопрос устойчивости деформации кручения и растяжения упругого кругового цилиндра. Рассматривается изотропный несжимаемый материал общего вида. Докритическое состояние тела определяется полуобратным методом. Боковые поверхности цилиндра считаются свободными от нагрузок, а краевые условия на торцах выполняются в интегральном смысле. При выводе уравнений нейтрального равновесия используется метод наложения малых деформаций на конечную. После разделения переменных уравнения нейтрального равновесия приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя численный метод, основанный на конечно-разностной аппроксимации системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для двух моделей несжимаемых материалов построены критические кривые и область устойчивости в плоскости параметров нагружения.
Также в этой главе для любого несжимаемого материала доказана теорема, согласно которой бифуркация равновесия растянутого цилиндра (без кручения) возможна лишь на ниспадающем участке диаграммы нагружения. Следует отметить, что явления типа образования шейки при растяжении стержня и наличия на диаграмме нагружения падающего участка часто связываются с разупрочнением материала [46, 48, 49, 54]. Под разупрочняющимся (неустойчивым) материалом понимается такой, для которого имеет место убывающая зависимость истинных напряжений от удлинений. В данной диссертации разупроч-няющиеся материалы не рассматриваются. Устойчивость при растяжении изучается для материалов с монотонно возрастающей зависимостью истинного напряжения от удлинения. Падающий участок наблюдается на диаграмме зависимости номинального напряжения от удлинения, т.е. на диаграмме зависимости результирующей продольной силы от удлинения. Разупрочнение материала может иметь место на стадии достаточно развитой шейки. Однако, как показали исследования [ЗО, 33, 35, 77], начало образования шейки не связано с разупрочнением материала, а обусловлено явлениями упругой неустойчивости, аналогичными выпучиванию конструкций.
В той же главе, на основании анализа влияния геометрических размеров цилиндра и определяющих соотношений материала на область устойчивости, а также в результате сравнения области устойчивости с областью выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок, предложен практический критерий устойчивости скрученного и растянутого цилиндра в случае положительной продольной силы.
Во второй и третьей главах рассматриваются две задачи устойчивости для полого цилиндра (цилиндрической трубы). Во второй главе исследуется выпучивание трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении, а в третьей главе изучается проблема неустойчивости цилиндрической трубы при растяжении, кручении и раздувании. Как и в задаче для сплошного цилиндра, устойчивость изучается на основе трехмерных уравнений нейтрального равновесия изотропного несжимаемого тела. Особенностью этих задач является то, что их решения позволяют смоделировать неустойчивость в виде образования "шейки" в стенке трубы, а также в трубе, как стержне. В пространстве параметров нагружения построены области устойчивости, и проведен анализ области бифуркационной неустойчивости в зависимости от геометрических параметров задачи и физических свойств материала. Кроме того, точная область устойчивости сравнивается с областью выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок.
В последней главе исследуется проблема устойчивости прямоугольной плиты при двухосном растяжении. Лицевые поверхности плиты считаются свободными, а на ее краях заданы нормальные распределенные нагрузки. При выводе уравнений нейтрального равновесия предполагается, в отличие от предыдущих глав, что удельная энергия деформации задана как функция главных удлинений, которая может не выражаться явно через инварианты меры деформации. Расчеты на устойчивость проводятся для трех моделей несжимаемых материалов. Помимо изучения влияния размеров плиты и свойств материала на бифуркацию равновесия, также проанализирована зависимость области устойчивости от граничных условий на краях плиты.
Растяжение и кручение стержня, раздувание, кручение и растяжение трубы и двухосное растяжение пластинки являются распространенными способами испытания материалов. Таким образом, состояния равновесия, исследуемые на устойчивость в перечисленных выше задачах, реализуются при стандартных испытаниях материалов в экспериментальной механике деформируемых твердых тел.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40, 51, 83-87]. В работах [40, 87], написанных в соавторстве с Зубовым Л. М., постановка задач и анализ результатов принадлежат Л. М. Зубову; вывод уравнений, выбор методов решения и их численная реализация принадлежат Шейдакову Д. Н.
Автор выражает искреннюю благодарность профессору Л. М. Зубову за постоянное внимание и помощь в работе.
Линеаризованные уравнения равновесия
Начиная с середины прошлого века достаточно быстро стала развиваться теория больших (конечных) деформаций, что в первую очередь было вызвано использованием в промышленности большого числа искусственных материалов, поведение которых не описывалось классическими линейными теориями. Закритическое поведение конструкций, нелинейное поведение полимеров, не-разрушающие методы контроля напряженных конструкций [16], устойчивость при больших деформациях - это лишь некоторые проблемы, изучаемые в рамках нелинейной механики твердого тела. Несмотря на то, что с момента появления нелинейных теорий поведения материалов и конструкций прошло более полувека, число точных решений задач о больших деформациях достаточно невелико и они получены лишь для тел канонических форм при простых граничных условиях. Это связано с тем, что данные задачи описываются сложными уравнениям, которые могут быть решены точно только для некоторых частных случаев.
Для решения задач нелинейной теории упругости часто применяется полуобратный метод [11,52]. Данный метод заключается в следующем: 1) Вначале задаются в предполагаемом виде деформационные соотношения, связывающие положения точек тела в отсчетной и актуальной конфигурациях. 2) По этим соотношениям выводятся выражения для мер деформаций и тензоров напряжений. 3) Затем, из уравнений равновесия находятся распределения сил, допускаемые предположенным заданием деформационных соотношений. Основная трудность при использовании полуобратного метода заключается в том, что задаваемая деформация не может быть произвольной, а должна удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме тела. Но даже при использовании полуобратного метода на конечном этапе решения задачи обычно приходится прибегать к помощи численных методов.
При рассмотрении конечных деформаций различных конструкций обычно необходим анализ их устойчивости, причем потеря устойчивости возможна как для тонкостенных тел, так и для массивных конструкций. Например, при достаточно больших деформациях может стать неустойчивой даже неограниченная среда [57]. Исследования по теории устойчивости в нелинейной теории упругости и распространения волн в нелинейных средах принадлежат А. И. Лурье, Н. В. Зволинскому, Л. А. Толоконникову, К. Ф. Черныху, Л. И. Балабуху, В. Л. Би-дерману, А. Н. Гузю, В. А. Еремееву, Л. М. Зубову, У. К. Нигулу, В. А. Пальмову, М. Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А. Е. Грину, Р. С. Ривлину, Ч. Сенсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу, Р. Т. Шилду и другим ученым.
Исследования в области линеаризации нелинейных уравнений теории упругости отражены в известных монографиях В. В. Новожилова [47], А. И. Лурье [44, 45], А. Н. Гузя [13 - 15], А. Е. Грина и В. Зерны [75], А. Е. Грина и Дж. Адкинса [11], К. Трусделла и В. Нолла [92], 3. Весоловского [8], Р. Кнопса и Е. Уилкса [76], М. А. Био [58]. В качестве метода линеаризации нелинейных краевых задач часто используется метод наложения малой деформации на конечную [43, 73]. Используя уравнения нейтрального равновесия, получаемые линеаризацией нелинейных уравнений теории упругости, находится положение равновесия тела, которое отличается от первоначального положения на некоторую малую деформацию и существует без приложения дополнительных поверхностных сил на части границы и добавочных перемещений на остальной поверхности. Такое равновесное состояние называется нейтральным. Сколь угодно малой добавкой к параметру, характеризующему нагрузку или деформацию, тело может быть переведено из данного состояния в неустойчивое положение равновесия. Недостатком этого метода является то, что отсутствие некоторого частного решения уравнений нейтрального равновесия, дающего смежное положение равновесия, является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Метод наложения малой деформации на конечную успешно применялся многими авторами для решения конкретных задач устойчивости и распространения волн в предварительно напряженных телах [12, 55, 91, 93, 94].
Бифуркация равновесия
Уравнения нейтрального равновесия, справедливые для полулинейного материала, были впервые получены в работах Р. В. Саусвелла [89] и К. Бицено, Г. Генки [56]. Е.Уилкс [95] нашел условия для осесимметричного выпучивания трубы под действием сжатия. В работе К. Пирсона [80] для полулинейного материала был предложен приближенный метод определения критического на-гружения колонны. Выпучивание тонкой пластины из полулинейного материала рассмотрено в [29]. С. Любкин [78] и Ч. Сенсениг [82] первыми изучили дей -7-ствие приложенного внешнего давления, но с частной формой энергии деформации. В [3,4] предложен альтернативный способ вывода уравнений нейтрального равновесия. Первые работы по исследованию закономерностей распространения волн в предварительно напряженных телах, выполненные в рамках малых начальных деформаций, принадлежат М. А. Био [58, 59].
В [22-25, 81] впервые на базе операторного метода Ляпунова-Шмидта выполнен анализ послекритического поведения трехмерных упругих тел. Проблеме устойчивости упругого полупространства посвящены работы [7, 64, 70]. В [28] установлены ограничения на свойства упругого материала, достаточные для устойчивости состояния гидростатического сжатия анизотропного однородного тела. Задачи об устойчивости упругих тел с полостями, заполненными жидкостью без учета и с учетом фазовых переходов исследованы в [19, 21]. В работах [31, 74] рассмотрена устойчивость цилиндра под действием сжатия и кручения. Тесно связанные с проблемой устойчивости равновесия эффективные критерии выполнимости условий Адамара, сильной и ординарной эллиптичности для сжимаемых и несжимаемых материалов предложены в [32, 34, 37, 39] Развитый в [38] метод однородных решений позволил в точной трехмерной постановке исследовать устойчивость толстых плит произвольной в плане формы при любых граничных условиях на боковой поверхности. Разработана классификация несжимаемых изотропных материалов по особенностям потери устойчивости сжатого прямоугольного бруса [36]. Обнаружена качественная зависимость его поведения от принадлежности материала к одному из трех классов. В работах [20, 66] впервые построена общая трехмерная теория устойчивости равновесия упругих тел с моментными напряжениями. В [26] найден точный критерий потенциальности момента при больших поворотах и приведены нетривиальные примеры консервативного и неконсервативного поведения мо-ментной нагрузки. В монографии Л. М. Зубова [96] впервые изучено влияние внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокаций и дисклинаций, на устойчивость упругих тел. В [41] представлена численная схема анализа устойчивости равновесия нелинейно-упругой пластинки с дефектом. Вопросы устойчивости трехмерных тел, обладающих существенной физической нелинейностью, исследованы в [1, 2, 53]. В обзорных статьях Р. Огдена, Фу [69] и В. А. Еремеева, Л. М. Зубова [18] содержится анализ состояния развития нелинейной теории устойчивости упругих тел.
Достаточно часто при изучении устойчивости рассматриваются несжимаемые материалы [60-62, 65, 68, 71]. Это обусловлено тем, что большинство рези-ноподобных и полимерных тел действительно малосжимаемы, а также тем, что для них существует достаточно большой набор универсальных деформаций [44, 50], задание которых обеспечивает выполнение уравнений равновесия для любого материала. При этом поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой деформации, выражаются только через функцию удельной потенциальной энергии. Многие авторы при анализе устойчивости тел в рамках нелинейной теории используют наиболее простую модель — неогуковский материал [5, 63, 67, 72, 79, 88].
В подавляющем большинстве опубликованных работ по упругой устойчивости как тонких, так и массивных (трехмерных) тел рассматривается бифурка -9 ция равновесия (выпучивание) при сжимающих нагрузках. Однако упругая неустойчивость может проявиться и при растягивающих напряжениях. В частности, из опытов на простое растяжение стержней хорошо известно, что после достижения точки максимума на диаграмме нагружения (т.е. зависимости продольной силы от удлинения) процесс однородного деформирования становится неустойчивым.
Возмущенное равновесие
Круговая цилиндрическая форма растянутого образца сменяется осесимметричной формой равновесия, образуется «шейка». Ниспадающий участок диаграммы растяжения, который реализуется в жесткой испытательной машине, является участком неустойчивости. Описанная неустойчивость при растяжении названа у Л. М. Качанова [42] неустойчивостью деформирования тел и считается одним из видов разрушения конструкций. При обычной трактовке ниспадающего участка диаграммы растяжения как неустойчивого, остается неясным смысл и характер этой неустойчивости. Основными вопросами при исследовании упругой устойчивости являются определение спектра критических значений параметра нагружения и построение собственных форм потери устойчивости (мод выпучивания). Весьма желательно также определение за-критического состояния тела. Одно лишь существование ниспадающего участка диаграммы растяжения, очевидно, не дает ответа на эти вопросы. Таким образом, анализ устойчивости растягиваемых тел требует строгого подхода, основанного на общей теории упругой устойчивости.
Явление неустойчивости при растягивающих напряжениях имеет ряд особенностей по сравнению с неустойчивостью при сжатии: 1) Неустойчивость растягиваемых тел чаще всего наступает при боль -10-ших деформациях, что требует полного учета геометрической и физической нелинейности в уравнениях теории упругости. 2) Исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно на основе одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек, а требует рассмотрения пространственных задач нелинейной теории упругости. Например, согласно классическому уравнению Эйлера продольного изгиба прямого стержня потеря устойчивости невозможна при растягивающей продольной силе. 3) Потеря устойчивости при растяжении возможна далеко не для всех материалов. В частности, состояние однородного одноосного растяжения цилиндра всегда устойчиво для материалов, описываемых известными моделями Муни, Бартенева-Хазановича. 4) Различные моды неустойчивости растягиваемых тел, как правило, имеют весьма близкие собственные значения.
Строгая математическая теория образования «шейки» при растяжении прямоугольного бруса в условиях плоской деформации впервые разработана в [33, 35]. В этих статьях на основе точных уравнений теории упругости решена задача о бифуркации равновесия растянутого бруса из несжимаемого изотропного материала, удовлетворяющего условию сильной эллиптичности. Указаны конкретные модели материалов, для которых возможна неустойчивость при растяжении. Для широкого класса несжимаемых тел доказано, что моды бифуркации равновесия могут существовать только при удлинениях, превышающих точку максимума на диаграмме растяжения и расположенных на ниспа -11 дающем участке этой диаграммы. Аналогичные с качественной точки зрения результаты получены в [30, 77] в задаче о неустойчивости при растяжении кругового цилиндра из материала со степенным упрочнением. Модель степенного упрочнения в терминах логарифмических деформаций удовлетворительно описывает поведение ряда упруго-пластических конструкционных материалов при активном нагружении и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций. В [9, 10] построена область параметров употребительной трехконстантной модели сжимаемого нелинейно-упругого материала Блейтца и Ко, при которых диаграмма растяжения имеет точку максимума. Установлено, что соответствующее этой точке удлинение стержня существенно зависит от типа граничных условий на его торцах. Исследование устойчивости некоторых классов универсальных деформаций с помощью постулата Друкера проведено в [17].
Линеаризованные уравнения равновесия
Применяя конечно-разностный метод, предложенный в [31], найдем условия," при которых система (2.2.6) с граничными условиями (2.2.7), (2".2.8) имеет ненулевые решения, т. е. происходит потеря устойчивости трубы, находящейся под действием растягивающей силы и внутреннего давления.
В полученных результатах целесообразно перейти от параметра раздувания о к внутреннему давлению р0, используя выражение (2.1.7). У модели (1.4.1) при значениях параметра /? близких к 1/2, как видно на фиг. 2.1 (слева), диаграмма зависимости р0{о) при фиксированном а имеет восходящий и нисходящий участки.
Данная диссертация посвящена изучению устойчивости трехмерных нелинейно-упругих тел при растягивающих нагрузках в условиях комбинированного нагружения. Рассматриваются некоторые задачи о бифуркации равновесия тел, имеющих форму цилиндра, а так же задача о выпучивании прямоугольной плиты. Анализируется влияние геометрических размеров тела и физических свойств материала на потерю устойчивости.
В первой главе изучается вопрос устойчивости деформации кручения и растяжения упругого кругового цилиндра. Рассматривается изотропный несжимаемый материал общего вида. Докритическое состояние тела определяется полуобратным методом. Боковые поверхности цилиндра считаются свободными от нагрузок, а краевые условия на торцах выполняются в интегральном смысле. При выводе уравнений нейтрального равновесия используется метод наложения малых деформаций на конечную. После разделения переменных уравнения нейтрального равновесия приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя численный метод, основанный на конечно-разностной аппроксимации системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для двух моделей несжимаемых материалов построены критические кривые и область устойчивости в плоскости параметров нагружения.
Также в этой главе для любого несжимаемого материала доказана теорема, согласно которой бифуркация равновесия растянутого цилиндра (без кручения) возможна лишь на ниспадающем участке диаграммы нагружения. Следует отметить, что явления типа образования шейки при растяжении стержня и наличия на диаграмме нагружения падающего участка часто связываются с разупрочнением материала [46, 48, 49, 54]. Под разупрочняющимся (неустойчивым) материалом понимается такой, для которого имеет место убывающая зависимость истинных напряжений от удлинений. В данной диссертации разупроч-няющиеся материалы не рассматриваются. Устойчивость при растяжении изучается для материалов с монотонно возрастающей зависимостью истинного напряжения от удлинения. Падающий участок наблюдается на диаграмме зависимости номинального напряжения от удлинения, т.е. на диаграмме зависимости результирующей продольной силы от удлинения. Разупрочнение материала может иметь место на стадии достаточно развитой шейки. Однако, как показали исследования [ЗО, 33, 35, 77], начало образования шейки не связано с разупрочнением материала, а обусловлено явлениями упругой неустойчивости, аналогичными выпучиванию конструкций.
В той же главе, на основании анализа влияния геометрических размеров цилиндра и определяющих соотношений материала на область устойчивости, а также в результате сравнения области устойчивости с областью выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок, предложен практический критерий устойчивости скрученного и растянутого цилиндра в случае положительной продольной силы.
Во второй и третьей главах рассматриваются две задачи устойчивости для полого цилиндра (цилиндрической трубы). Во второй главе исследуется выпучивание трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении, а в третьей главе изучается проблема неустойчивости цилиндрической трубы при растяжении, кручении и раздувании. Как и в задаче для сплошного цилиндра, устойчивость изучается на основе трехмерных уравнений нейтрального равновесия изотропного несжимаемого тела. Особенностью этих задач является то, что их решения позволяют смоделировать неустойчивость в виде образования "шейки" в стенке трубы, а также в трубе, как стержне. В пространстве параметров нагружения построены области устойчивости, и проведен анализ области бифуркационной неустойчивости в зависимости от геометрических параметров задачи и физических свойств материала. Кроме того, точная область устойчивости сравнивается с областью выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок.
В последней главе исследуется проблема устойчивости прямоугольной плиты при двухосном растяжении. Лицевые поверхности плиты считаются свободными, а на ее краях заданы нормальные распределенные нагрузки. При выводе уравнений нейтрального равновесия предполагается, в отличие от предыдущих глав, что удельная энергия деформации задана как функция главных удлинений, которая может не выражаться явно через инварианты меры деформации. Расчеты на устойчивость проводятся для трех моделей несжимаемых материалов. Помимо изучения влияния размеров плиты и свойств материала на бифуркацию равновесия, также проанализирована зависимость области устойчивости от граничных условий на краях плиты.
Растяжение и кручение стержня, раздувание, кручение и растяжение трубы и двухосное растяжение пластинки являются распространенными способами испытания материалов. Таким образом, состояния равновесия, исследуемые на устойчивость в перечисленных выше задачах, реализуются при стандартных испытаниях материалов в экспериментальной механике деформируемых твердых тел.
