Содержание к диссертации
Введение
I. Обзор работ по устойчивости сжатых стержней 7
1.1. Обзор работ по устойчивости упругих систем, нагруженных неконсервативными силами 7
1.2. Об устойчивости стержней в условиях ползучести 17
II. Устойчивость неупругих систем в неконсервативном поле сил 21
2.1. Устойчивость консольного стержня, нагруженного следящей силой, с учетом вязкого сопротивления и сосредоточенной массы, приложенной на свободном конце стержня 21
2.2. Некоторые сведения из линейной теории вязко-упругости, гипотезы и предпосылки линейно-наследственной ползучести 32
2.3. Устойчивость консольного стержня, обладающего ползучестью при экспоненциальной функции влияния, сжатого тангенциальной силой 38
2.4. Устойчивость консольного стержня, сжатого следящей силой, в условиях ползучести и при наличии сосредоточенной массы на свободном конце стержня 44
2.5. Устойчивость консольного стержня, сжатого тангенциальной силой, в условиях ограниченной ползучести при сингулярной функции влияния 48
III. Исследование устойчивости стержня реута в условиях вязкого сопротивления 53
3.1. Устойчивость стержня Реута с учетом вязкого сопротивления и сосредоточенной массы, приложенной на свободном конце стержня 53
3.2. Исследование устойчивости обобщенного стержня Реута в условиях вязкого сопротивления 55
3.3.Исследование устойчивости обобщенного стержня Реута с эксцентриситетом приложения силы в условиях вязкого сопротивления 63
4. Устойчивость неконсервативных систем с двумя степенями свободы в условиях линейно-наследственной ползучести 72
4.1.Исследование на устойчивость неконсервативной системы с двумя степенями свободы при совместном учете сил инерции и релаксации инвариантного материала 72
4.2. Исследование устойчивости консольного стержня, сжатого "запаздывающей" силой, с учетом релаксации материала 81
4.3.Пример расчета на устойчивость неконсерватив -ной системы с двумя степенями свободы в уcловиях наследственного деформирования 86
Основные результаты и выводы 94
Литература 96
- Обзор работ по устойчивости упругих систем, нагруженных неконсервативными силами
- Некоторые сведения из линейной теории вязко-упругости, гипотезы и предпосылки линейно-наследственной ползучести
- Исследование устойчивости обобщенного стержня Реута в условиях вязкого сопротивления
- Исследование устойчивости консольного стержня, сжатого "запаздывающей" силой, с учетом релаксации материала
Введение к работе
В настоящее время все большее внимание исследователей привлекают задачи о колебаниях и устойчивости равновесия и движения деформируемых систем, что объясняется,с одной стороны, запросами современной техники, требующей совершенствования соответствующих расчетных моделей, с другой,- расширением области теоретических исследований, которые явно смещаются в сторону динамики. При этом возникает, в частности, настоятельная необходимость развития эффективных и строгих подходов к определению частот и критических сил, а также к анализу их зависимости от тех или иных параметров.
Изучение явления потери устойчивости в неконсервативных системах проще всего начать с рассмотрения наиболее простых неконсервативных систем, какими являются стержни, нагруженные следящей силой, и стержни Реута. Уже на их примерах выявляется ряд существенных отличий в поведении неконсервативных систем при потере устойчивости от явления выпучивания обычных консервативных систем. Это дает основание полагать, что и в более сложных неконсервативных системах будут проявляться аналогичные явления. Таким образом, настоящая работа по исследованию стержней Реута и действия следящих сил является необходимым этапом, который впоследствии может быть использован при решении и более сложных практических задач.
Данная работа посвящена проблеме устойчивости равновесия и движения неупругих систем в неконсервативном поле сил. На основе классических методов математической теории устойчивости исследуется влияние различных факторов на малые колебания и устойчивость упруго-вязких систем.
Работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов и
списка литературы.
В первой главе дается краткий обзор литературы по вопросам устойчивости упругих и упруго-вязких неконсервативных систем.
Во второй главе на примере упруго-консольного стержня, защемленного одним концом и имеющим на другом конце сосредоточенную массу при наличии конечного числа сил малого трения, пропорциональных скоростям, и сжатого следящей силой, проведено исследование на устойчивость. Для аналогичного стержня, обладающего наследственной ползучестью для экспоненциальных и сингулярных ядер ползучести, при использовании теоремы А.М.Ляпунова об устойчивости по первому приближению, получены аналитические выражения для определения границ асимптотической устойчивости.
В третьей главе для стержня Реута и обобщенного стержня Ре-ута, нагруженных "запаздывающей" или "опережающей" силой, в условиях вязкого сопротивления проведено исследование на устойчивость движения стержня. Исследовано на устойчивость движение обобщенного стержня Реута с эксцентриситетом приложения нагрузки для различных параметров слежения. Проведена численная реализация определения областей устойчивости.
В четвертой главе для неконсервативной системы с двумя степенями свободы при наличии сил инерции и наложении ограничений на коэффициенты матрицы масс в условиях ограниченной ползучести проведено исследование на асимптотическую устойчивость. Для стержня, обладающего релаксацией и сжатого консервативной и следящей силами, проведен численный эксперимент для построения областей устойчивости.
По результатам проведенных исследований опубликованы три работы /84, 101, 102/.
На защиту выносятся:
- Результаты исследования устойчивости консольного стержня,
сжатого следящей силой, в случае вязкого сопротивления и в условиях ограниченной ползучести.
Результаты изучения особенностей потери устойчивости стержня, сжатого силой, линия действия которой остается постоянной,и обобщенного стержня Реута.
Методика расчета на динамическую устойчивость неконсервативных систем с двумя степенями свободы в условиях наследственной ползучести.
- Результаты численного эксперимента по определению влияния
неконсервативности системы при изменении ее параметров на области
ее устойчивости.
Обзор работ по устойчивости упругих систем, нагруженных неконсервативными силами
Современное развитие техники ставит перед инженерами и конструкторами ряд задач, решение которых не может быть выполнено без детального знакомства с вопросами устойчивости сооружений и их отдельных частей. Улучшение прочностных характеристик традиционных конструкционных материалов и использование новых высокопрочных композиционных материалов обусловило широкое распространение легких, изящных и экономичных тонкостенных конструкций в современном машиностроении. Для таких конструкций роль расчетов на устойчивость в общем цикле прочностных расчетов существенно возросла, ибо разрушение тонкостенной конструкции чаще всего связано с потерей ее общей устойчивости или устойчивости отдельных ее элементов. Применение в различных конструкциях тонких стержней,пластин, оболочек, трубчатых и тонкостенных элементов требует от проектировіциков умения расчета их не только на прочность, но и на устойчивость.
Теория устойчивости равновесия упругих систем берет свое начало от работ Л.Эйлера по продольному изгибу. Подробный анализ этих работ дан Е.Л.Николаи /59/. В работах зарубежных ученых Н.Хоффа /94/, Г.Циглера /97/, Г.Л.Лангхаара /45/ и советских Г.Ю.Дканелидзе /24/, В.В.Болотина, Э.И.Григолюка /8/ и др. дан обширный обзор теоретических и экспериментальных работ по устойчивости упругих систем.
Сейчас все большую актуальность приобретают задачи, в которых существенно расширен класс нагрузок, действующих на конструкцию, например, сил типа следящих, возникающих при обтекании упругих элементов потоком газа или жидкости и других, а также сил трения и упругих несовершенств, вследствие наличия которых реальные системы всегда обладают некоторыми свойствами неконсервативных систем.
Впервые задачу об устойчивости упругой системы, нагруженной неконсервативными силами, рассмотрел Е.Л.Николаи. В его работах /57, 58/ исследуется устойчивость консоли, нагруженной на свободном конце следящим скручивающим моментом и сжимающей силой неизменного направления. Показав на основании линеаризованных уравнений устойчивости отсутствие других форм равновесия, кроме прямолинейной, Б.Л.Николаи предложил использовать для нахождения критическифил метод изучения малых движений вблизи положения равновесия. Невозможность существования в задаче Б.Л.Николаи иных форм равновесия, кроме прямолинейной, на основе нелинейных уравнений была установлена Г.Ю.Дканелидзе /22/.
В.И.Реут /76/ рассмотрел стержень, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце сжимающей силой, линия действия которой при деформации стержня остается неизменной. Однако использованные им статические методы исследования устойчивости не позволили определить критическую силу. Б.Л.Николаи /56/, рассматривая результаты В.И.Реута, указал на необходимость использования динамического критерия устойчивости для неконсервативных задач и нашел критическую силу в задаче, имеющей по В.И.Реуту лишь устойчивое решение.
В пятидесятых годах был опубликован ряд исследований Г.Циг-лера /135, 136,137 идр./, в которых он рассмотрел задачи устойчивости гибкого стержня при различном поведении скручивающего момента и исследовал вопрос о применимости статического и, в частности, энергетического методов к неконсервативным системам. На примере с двумя степенями свободы показано, что статический метод может оказаться непригодным.
М.Бек /106/ провел динамическое исследование устойчивости сжатого следящей силой стержня с равномерно распределенной массой. А.Пфлюгер /127/ рассмотрел такую задачу с учетом дополни -тельной сосредоточенной массы, приложенной на свободном конце стержня. В.И.Феодосьев /88,89,90/ в задаче об устойчивости гибкого стержня, заделанного одним концом и нагруженного на другом конце тангенциальной сжимающей силой, установил отсутствие форм равновесия, смежных с неискривленной формой. Это еще не означает,что прямолинейная форма упругого стержня остается устойчивой при всех значениях сжимающей силы Р . Кроме форм равновесия существуют формы движения, и не исключена возможность, что при некоторых значениях силы Р будет достаточно сколь угодно малого отклонения, чтобы произошел переход от прямолинейной формы равновесия к одной из форм движения.Равновесие, устойчивое в смысле Эйлера, может оказаться неустойчивым в динамическом смысле.
Такую же задачу с помощью динамических уравнений для системы с распределенными постоянными рассмотрели К.С.Дейнеко и М.Я.Леонов /19/. Для стержня, сжатого неконсервативной силой и несущего две сосредоточенные массы, величины которых велики по сравнению с массой стержня, получены приближенные значения для критической силы, определенной для различных величин массы. В работе С.Д.До-брославского /25/ исправляется ошибка, допущенная в работе /19/ (не учтено влияние на устойчивость знака определителя матрицы коэффициентов влияния системы).Уточняется влияние распределения масс на устойчивость стержня, сжатого следящей силой, и получено условие независимости устойчивости стержня от распределения масс.
Некоторые сведения из линейной теории вязко-упругости, гипотезы и предпосылки линейно-наследственной ползучести
Чтобы снизить вес, стоимость и трудоемкость, а также повысить качество строительных конструкций, предстоит осуществить разработку и внедрение новых типов легких и облегченных строительных конструкций. Большую роль в создании эффективных конструкций играет разработка более точных методов расчета с учетом реальных свойств материалов.
Одним из таких факторов является свойство ползучести. Это относится ко всем без исключения металлам и сплавам при достаточно высоких температурах, к бетону, к полимерным материалам. Повышение рабочих параметров современных машин, а следовательно повышение температур и нагрузок, действующих на их элементы, заставляет учитывать ползучесть при оценке прочности и долговечности энергетических установок, летательных аппаратов и многих других объектов. В отличие от обычных расчетов на прочность, расчеты на ползучесть ставят задачей не обеспечение абсолютной прочности изделия, а лишь гарантию того, что конструктивная функция изделия не будет нарушена ранее определенного срока. Таким образом, всякая конструкция, работающая в условиях ползучести, рассчитана на определенную долговечность.
Имея дело с весьма разнообразными материалами, свойства которых к тому же зачастую нестабильны, и будучи вынуждена решать прикладные задачи, теория ползучести удовлетворялась построением приближенных схем, охватывающих явление в общих чертах. В настоящее время не существует единой теории ползучести, пригодной для всех материалов, и, как полагает ряд авторов /36,73/, такой теории и не может быть.
За последние годы вопросы влияния времени и разработка общей теории линейного деформирования получили интенсивное развитие. Вышел в свет целый ряд фундаментальных исследований и монографий, посвященных теории ползучести и теории вязкоупругости как у нас в стране /2,36,37,53,63,67,70,71,73,74,75,78,79,83/, так и за рубежом /3,40/.
В некоторых случаях ползучесть материала может оказаться решающим фактором, определяющим работоспособность конструкции. Одним из таких случаев является вопрос устойчивости стержней,пластинок и оболочек при ползучести.
Впервые исследование устойчивости в условиях ползучести проведено А.Р.Ржаницыным в его докторской диссертации в 1944 году и продолжено им в статьях /77,81/ и монографиях /78,79,83/.
А.Р.йсаницыным рассмотрены вопросы устойчивости прямолинейной оси стержня, материал которого подчиняется наследственной теории старения, закону интегральной наследственной ползучести и, в частности, является упруго-вязким. Сжимающая сила предполагалась произвольной функцией времени, а в частных случаях постоянной, равномерно возрастающей с течением времени и меняющейся периодически. А.Р.Ржаницыным введены понятия длительной и мгновенной критических нагрузок, которые аналогичны эйлеровой в упругом случае. Потеря устойчивости имеет место в некоторый момент времени, если заданная нагрузка больше длительной критической; если она равна мгновенной, то устойчивость теряется в начальный момент времени.
В силу существования различных теорий ползучести возможны различные постановки вопроса устойчивости стержней, материал которых находится в состоянии ползучести. Останавливаясь на той или иной теории ползучести, надо учитывать конкретные свойства материала, условия его нагружения, участок кривой ползучести, на которой будет работать материал, а также те задачи, которые предстоит решить. Различные авторы, решая задачу устойчивости с учетом ползучести, придерживаются различных критериев устойчивости.
Ю.Н.Работнов и С.А.Шестериков /72, 99, 100/ предложили новую трактовку, связав вопрос устойчивости в условиях ползучести с классическим понятием устойчивости. Используя закон упрочнения, они провели его линеаризацию при малых прогибах, а затем анализировали движение стержня под действием возмущений. Состояние стержня считается устойчивым или неустойчивым в зависимости от характера скорости возмущенного движения.
Л.М.Куршин /41/ в качестве критерия неустойчивости берет величину прогиба, по достижении которого несущая способность стержня становится исчерпанной.
Влияние ползучести на устойчивость стержней исследовано в работах /1,13,14,42,47,48,64,65,66,68,69,86/. Подробный обзор отечественных и иностранных работ, посвященных постановке и решению задач устойчивости в условиях ползучести элементов конструкций, дается в работах Н.И.Хоффа /95,116/, В.Д.Потапова / 65 /.
Исследование устойчивости обобщенного стержня Реута в условиях вязкого сопротивления
В настоящее время теория построения устойчивых систем является одной из таких отраслей науки об управлении движениями материальных систем, которая щедро насыщается все новыми специальными исследованиями широкого круга математиков, механиков и инженеров. При этом непрерывно обогащается методика решения задач построения устойчивых систем и постоянно расширяется область применения решений этих задач.
Общее развитие и широкое применение линейной теории вязкоупругости наблюдается сравнительно недавно. Действительно, активность в этой области связана в первую очередь с современным широким распространением и использованием новых материалов. Многие из этих новых материадов обладают механическими свойствами, которые нельзя описать с помощью упругой или вязкой моделей механического поведения; в силу этого становится очевидной необходимость построения более общей теории. Теория упругости может применяться к материалам, которые обладают способностью накапливать механическую энергию, не рассеивая ее. С другой стороны, ньютоновская вязкая жидкость при негидростатическом напряженном состоянии проявляет способность рассеивать энергию, но не способна ее накапливать. Но тогда эти две теории не могут описать поведения тех материалов, которые способны частично, но не полностью, вернуть работу, затраченную на их деформирование. Такие материалы обладают способностью как к накоплению механической энергии, так и к рассеиванию ее.
Характер сопротивления материала действию сил определяется его механическими свойствами, к числу которых относятся упругость, вязкость, пластичность и прочность. Изучению сопротивления твердых тел посвящены такие разделы механики деформируемого тела, как теория упругости, теория пластичности и сопротивление материалов. Рассматриваемое ими твердое тело наделено такими свойствами, как упругость, пластичность и прочность, но лишено вязкости.
Механические свойства реальных аморфных и кристаллических тел зависят от их внутреннего строения и температуры. Повышение последней сопровождается переходом тела из твердого состояния в жидкое. Как показывает опыт, механические свойства меняются при этом не скачкообразно, а постепенно, причем в некотором более или менее значительном температурном интервале как аморфные, так и кристаллические тела вначале становятся упрзгговязкими, а затем уже превращаются в вязкую жидкость. Переходное упруго-вязкое состояние характеризуется сочетанием ясно выраженных всех четырех механических свойств - упругости, пластичности, вязкости и прочности.
Сопротивление упруго-вязкого тела существенно отличается от сопротивления твердого тела или сопротивления вязкой жидкости. Во-первых, утрачивается характерная для твердого тела в упругом его состоянии однозначность зависимости между напряжением и деформацией, поскольку величина деформации упруго-вязкого тела зависит как от величины напряжения, так и от длительности его действия. Во-вторых, обнаруживается неоднозначность предела прочности и предельной деформации материала. Численное значение этих последних показателей для упруго-вязких тел существенно зависит от длительности действия напряжения и, в частности, от скорости деформирования. Способность к упруго-пластичному сопротивлению в сочетании с прочностью отличает вместе с тем упруго-вязкое тело от вязкой жидкости.
Особенности сопротивления упруго-вязких материалов практически настолько существенны, что их нельзя не учитывать в расчетах на прочность, жесткость и устойчивость, связанных с применением этих материалов в деталях конструкций. Отсюда возникает необходимость более тщательного изучения вопросов устойчивости, посвященных сопротивлению упруго-вязких материалов.
Записывая общее выражение упругой оси стержня, предполагалось, что среда оказывает сопротивление движению тела, линейно зависящее от скорости перемещений. Однако за пределом этого предположения остался учет ряда существенных факторов, именно скорость и характер загружения или деформирования во времени, а также масштабный фактор. Путем приближения расчетов конструкций к действительным условиям их работы, устанавливающим зависимость между деформациями и напряжениями с учетом фактора времени, является теория ползучести.
Для различных материалов можно установить много общих закономерностей, позволяющих строить абстрактную теорию ползучеети, пригодную для всех материалов с соответствующими количественными изменениями характеристик, входящих в основные уравнения, или с частными упрощениями этих уравнений. Теория ползучести часто оперирует идеализированными свойствами материалов, что позволяет решать задачи расчета сооружений более просто и наглядно.
Многие строительные материалы при постоянной нагрузке показывают постепенное нарастание деформаций во времени, Это явление называется ползучестью. Кривая, изображающая изменение деформаций с течением времени под действием постоянной нагрузки, называется кривой ползучести. Эту кривую легко получить экспериментальным путем, соблюдая в течение эксперимента постоянство внешних условий: температуры и влажности, также отсутствие толчков, вибраций и т.п. Характер кривых ползучести у многих материалов один и тот же. При небольших напряжениях деформации ползучести пропорциональны внешним усилиям. В этом случае имеет место линейная ползучесть.
Исследование устойчивости консольного стержня, сжатого "запаздывающей" силой, с учетом релаксации материала
Задачей устойчивости движения занимались многие виднейшие математики и механики. Основная теорема об устойчивости равновесия установлена еще Лагранжем. Она служила исходным пунктом для исследований Рауса, который установил признаки устойчивости движения для некоторых частных случаев движений. Задачей устойчивости занимались также Томсон и Тэт / 133/ и Н.Е.Жуковский /30, 31 /. Все эти авторы рассматривали частные случаи движений и для решения задачи применяли : нестрогие методы. Первое строгое решение задачи принадлежит Пуанкаре. Однако результаты Пуанкаре также носят весьма частный характер.
В 1892 году А.М.Ляпунов защищает докторскую диссертацию "Общая задача об устойчивости движения" /50 /. В этом труде задача об устойчивости движения была впервые поставлена во всей ее общности и были предложены мощные и вместе с тем строгие методы ее решения. Эта работа Ляпунова явилась отправным пунктом всех дальнейших исследований по теории устойчивости движения.
Исследование устойчивости движения и, в частности, равновесия имеет принципиальное значение для оценки работоспособности конструкций. Особенно это существенно для нелинейных систем, поскольку для них возможно несколько решений, но не все они устойчивы, и важно провести границу между устойчивыми и неустойчивыми.
Понятие об устойчивости движения является непосредственным обойцением понятия устойчивости равновесия.
Исследование устойчивости равновесия системы можно выполнить как исследование устойчивости движения около этого положения равновесия, возникающего после некоторого достаточно малого начального возмущения. Если таким движением являются установившиеся незатухающие колебания, то проверяемое положение равновесия системы устойчиво; если колебания оказываются затухающими или если колебания вовсе не возникают и система возвращается в исходное положение, то последнее является асимптотически устойчивым. Равновесие системы неустойчиво, если хотя бы одно какое-то достаточно малое возмущение вызывает движение, уводящее систему от невозмущенного состояния.
Признаки устойчивости или неустойчивости движения, в зависимости от знаков корней характеристического уравнения нормальной системы первого приближения, составляют содержание теорем А.М.Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению / 51, 52 /, согласно которым невозмущенное движение считается асимптотически устойчивым, если все характеристические показатели, равные корням характеристического уравнения, имеют неположительные действительные части, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью - либо простые, либо имеют простые элементарные делители. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной действительной частью, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если же среди корней характеристического уравнения действительная часть по меньшей мере одного из них равна нулю, при отрицательных остальных, то исследование устойчивости по уравнениям первого приближения невозможно и необходимо в исследовании учитывать члены высшего порядка малости.
Судить о знаках действительных частей корней характеристического уравнения можно, не находя сами корни, то есть не решая характеристического уравнения. Такое суждение можно производить, пользуясь критерием Рауса-Гурвица /20,98/, согласно которому для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно,чтобы были положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица. Отсюда получаем условия асимптотической устойчивости уравнения (2.4.5) :
Сравнивая условие устойчивости (2.3.22) для задачи о следящей силе, действующей на консольный стержень в общем случае линейно-наследственного закона деформирования и условия устойчивости для такого же стержня, но при наличии массы на конце, можно сделать вывод, что сосредоточенная масса не оказывает влияния на устойчивость стержня.
При обработке опытных данных оказывается, что ядра, содержащие один или несколько экспоненциальных членов, плохо подходят для описания реальных материалов. Вводя спектры ползучести и релаксации, можно аппроксимировать опытную кривую с любой степенью точности, однако набор упругих и вязких элементов не является подходящей моделью для тел с несовершенной упругостью и для описания их поведения следует выбирать другие функции. Экспериментально получаемые кривые ползучести при постоянной нагрузке, мгновенно приложенной в момент времени t = T » обычно имеют вид, показанный на рис. 8. б
