Содержание к диссертации
Введение
2 Поперечные колебания упругой балки под воздействием гармонически меняющейся продольной силы 17
2.1 О методе прямого разделения движений 17
2.1.1 Пример: маятник с вибрирующей осью подвеса . 19
2.2 Уравнение колебаний балки и граничные условия 21
2.3 Уравнения быстрого и медленного движений 23
2.4 Упрощенный подход 24
2.5 Балка на шарнирных опорах 26
2.5.1 Подход с использованием функции Грина при решении уравнения быстрого движения 26
2.5.2 Определение поправки к первой собственной частоте (альтернативный подход) 30
2.5.3 Сравнение с упрощенным подходом 33
2.6 Балка с защемленными концами 34
2.6.1 Определение поправки к первой собственной частоте 34
2.6.2 Устойчивость 39
2.6.3 Анализ решения 42
2.6.4 Сравнение с упрощенный подходом и результатами численных расчетов 45
2.7 Консольная балка 49
2.7.1 Анализ решения 52
2.7.2 Сравнение с упрощенным подходом и результатами численных расчетов 55
2.7.3 Случай высокочастотного возбуждения (Q —> со) . 57
2.7.4 Анализ приближенного решения 60
2.8 Основные результаты главы 2 63
3 Задача об Индийской магической веревке 65
3.1 Постановка задачи 65
3.2 Определение "вибрационной" поправки к величине критической жесткости , 67
3.3 Анализ решения 77
3.4 Сравнение с упрощенным подходом и результатами численных расчетов 79
3.5 О решении А. Чемпнейса и В. Фразера 83
3.6 Основные результаты главы 3 84
Литература 90
- Пример: маятник с вибрирующей осью подвеса
- Подход с использованием функции Грина при решении уравнения быстрого движения
- Определение "вибрационной" поправки к величине критической жесткости
- О решении А. Чемпнейса и В. Фразера
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время значительный интерес вызывает исследование влияния вибрации на свойства механических систем, в том числе систем с распределенными параметрами. Следствием этого влияния являются такие эффекты, как изменение характера устойчивости положений равновесия системы и изменение ее эффективных жесткост-ных свойств. Изучение этих явлений с целью предотвращения их вредного влияния, а также использования данных эффектов в технике и технологии представляется весьма важной задачей.
Эффективным методом, позволяющим аналитически исследовать поведение нелинейных и параметрически возбуждаемых систем, является метод прямого разделения движений. Этот метод, толчком к развитию которого явилась работа П.Л. Капицы о маятнике с вибрирующей точкой подвеса, был существенно обобщен и широко использован в работах И.И. Блехмана, в которые он вошел как составная часть подходов, названных вибрационной механикой и вибрационной реологией. В последнее время эти концепции получили развитие в трудах как отечественных, так и зарубежных ученых. Вместе с тем, разработка методики использования данных подходов при решении задач о действии вибрации на системы с распределенными параметрами не может считаться завершенной. Это обусловлено, в основном, трудностями, связанными с удовлетворением граничных условий для быстрой компоненты движения. Разработка путей преодоления этих трудностей представляет собой актуальную проблему, поскольку ее решение позволит рассмотреть ряд важных классов прикладных задач механики. Важно также проиллюстрировать разработанные подходы на примере решения конкретных задач.
Цели работы:
Для систем с распределенными параметрами на основе метода прямого разделения движений разработать и реализовать подход, позволяющий удовлетворить всем необходимым граничным условиям,
В ТОМ ЧИСЛе ДЛЯ быстрой КОМПОНеНТЫ ДВЙ^^И^^"^ дым»
Рассмотреть при помощи указанного подхода ряд модельных задач о поведении параметрически возбуждаемых систем с распределенными параметрами. Исследовать влияние точности удовлетворения и характера граничных условий на свойства полученных решений.
Произвести сравнение представленного в диссертации подхода с использованными ранее способами применения метода прямого разделения движений для систем с распределенными параметрами.
Решить задачу об Индийской магической веревке (исследовать возможности стабилизации верхнего вертикального положения равновесия веревки, находящейся под действием собственного веса, при помощи вертикальной вибрации ее нижнего конца).
Общая методика работы. В работе используется общий подход метода прямого разделения движений, методы теории нелинейных колебаний и математической физики (например, метод малого параметра, методы стационарной фазы и Лапласа), а также численные методы. Решения сопоставляются с результатами, представленными в работах других авторов.
Положения, выносимые на защиту.
На основе метода прямого разделения движений разработан подход, позволяющий исследовать поведение систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Подход базируется на построении (согласно требованиям метода) уравнений быстрого и медленного движений и последующем представлении их решений в виде асимптотических разложений по малому параметру (амплитуде). Данная методика позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям как для медленной, так и для быстрой компонент движения.
На основе предложенного подхода решены модельные задачи о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, нахо--дящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой
к
амплитуды, при различных условиях закрепления концов (шарнир-но опертых концах, жестко защемленных концах, консольном закреплении). Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены поправки к первым частотам исследуемого медленного движения.
Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным на основе приближенного подхода, при котором удовлетворяются только граничные условия для главной (медленной) компоненты движения. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдаются отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями, для быстрой компоненты движения.
Решена задача об устойчивости верхнего вертикального положения равновесия упругой балки, нагруженной собственным весом, нижний конец которой вертикально вибрирует. Рассматривается случай высокочастотной вибрации с малой амплитудой. Данная задача является модельной для описания эффекта Индийской магической веревки. Для случая больших частот возбуждения получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано.
Научная новизна и теоретическая ценность. Разработан новый
способ реализации метода прямого разделения движений для случая систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход обладает рядом преимуществ по сравнению с использованными ранее (в том числе и автором диссертации) способами применения метода прямого разделения движений к расчету бесконечномерных систем. На основе указанного подхода решены несколько модельных задач, а также задача об Индийской магической веревке.
Практическая значимость. Метод прямого разделения движений является эффективным инструментом для изучения поведения систем, находящихся под воздействием вибрации. Разработанная в диссертации методика применения метода для случая систем с распределенными параметрами позволит расширить круг изучаемых с его помощью явлений, повысить качественную и количественную точность получаемых результатов. Решения рассмотренных в работе задач имеют явный, удобный для анализа вид и могут быть использованы в практических приложениях, например, при расчете строительных конструкций, в текстильной промышленности, в космических технологиях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались наХХІХ, XXX, XXXI Международных летних школах "Актуальные проблемы механики" ("Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 2001, 2002, 2003); IV Международной конференции по нелинейным колебаниям (IV Euromech Nonlinear Oscillations Conference, Москва, 2002); VIII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2002); XIV Симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем" (Звенигород, 2003); Городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (ИПМаш РАН, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 8 работах, перечисленных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и списка литературы ( "Q наименований). Текст работы изложен на JY страницах. Диссертация содержит 5 рисунков и 3 таблицы.
Пример: маятник с вибрирующей осью подвеса
Изучению влияния вибрационного воздействия на поведение и свойства различных механических систем посвящено весьма значительное количество публикаций как в отечественной, так и в зарубежной печати. Отправной точкой для проведения всех последующих исследований в этой области послужила задача об устойчивости верхнего положения равновесия маятника с вертикально вибрирующей осью подвеса (т.н. задача о перевернутом маятнике). Первые работы, посвященные этой задаче, появились в начале 20 века и принадлежали А. Стефенсону (Stephenson) [45, 46]. Затем последовал еще ряд работ, частности, исследование П.Л. Капицы [15, 16], в котором он рассмотрел указанную задачу в нелинейной постановке. Это исследование явилось толчком к развитию теории метода прямого разделения движений, который был существенно обобщен и широко использован в работах И.И. Блехмана (см., например, [1, 2, 28] и др.), став составной частью более общих подходов, названных вибрационной механикой и вибрационной реологией. Впоследствии исследованием влияния вертикальной вибрации на поведение маятника занималось значительное число ученых, круг публикаций, посвященных этой проблеме, весьма широк (см., например, [26, 37, 40] и др.). Довольно подробный обзор библиографии по данному вопросу содержится в статье В.Ш. Бурда [10].
Следствием этих исследований явилась работа В.Н. Челомея о возможности повышения устойчивости упругих систем посредством вибрации [21]. При помощи метода Крылова-Боголюбова [9] для некоторого класса упругих систем была показана принципиальная возможность повышения "степени устойчивости" системы за счет приложения высокочастотной вибрации. Впоследствии данный эффект был продемонстрирован В.Н. Челомеем экспериментально [22] на примере следующей задачи: рассматривалась балка Бернулли-Эйлера, один конец которой шарнирно оперт, а на другом — жестко закреплен массовый элемент. Под действием веса массового элемента балка приходит в деформированное состояние. Показано, что приложение к указанному элементу осевой вибрационной нагрузки может стабилизировать исходное недеформированное положение равновесия. Достаточно подробное решение данной задачи в нелинейной постановке содержится в работе Дж.С. Йенсена (Jensen) [36].
Появление исследований Челомея дало толчок к началу изучения влияния вибрации на свойства и поведение систем с распределенными параметрами. Последовало значительное количество публикаций, посвященных исследованию поведения самых разнообразных механических систем в условиях вибрации: в том числе рассматривались задачи о влиянии вибрации на поведение упругой среды (см., например, [50]), на процессы, происходящие в жидких средах (см. [13, 14]), задачи о колебаниях и устойчивости упругих элементов (в основном — балочных). Последние из упомянутых задач наиболее близки к теме данной диссертации. При решении подобных задач используются, как правило, различные процедуры, в основе которых лежат метод прямого разделения движений, метод Крылова-Боголюбова или метод многих масштабов (см., например, [19, 38]). Остановимся остановимся подробнее на некоторых из них, а именно на работах, посвященных поперечным колебаниям упругих балок, находящихся под воздействием продольной вибрации. В литературе представлено несколь -11 ко таких исследований.
Задачам о действии вибрации на упругие системы, при решении которых был применен метод прямого разделения движений, посвящен целый ряд исследований, проводимых Й. Томсеном (Thomsen) и его коллегами. Так, статья [49] посвящена исследованию поперечных колебаний горизонтальной консольной балки Бернулли-Эйлера, находящейся в поле силы тяжести, защемленный конец которой горизонтально вибрирует. Амплитуда вибрации. мала, частота — велика.. При решении задачи используются три метода:
Заметим, что в данной работе, также как и в настоящей диссертации, показывается, что упрощенная процедура метода прямого разделения движений не позволяет учесть наличие резонансных явлений в системе. Автор статьи также предполагает, что нахождение выражения для быстрой компоненты движения, удовлетворяющего всем необходимым граничным условиям, позволит с помощь метода прямого разделения движений учесть резонансные эффекты. Однако, при этом утверждается, что такой подход приводит к весьма сложным уравнениям и в общем случае не может быть использован. Поэтому в работе [49] автором предлагаются указанные выше альтернативные методы решения данной задачи. В то же время в настоящей диссертации предлагается подход (основанный на дополнении метода прямого разделения движений некоторой асимптотической процедурой), который позволяет удовлетворять всем необходимым граничным условиям и может быть применен при решении довольно широкого круга задач..
Подход с использованием функции Грина при решении уравнения быстрого движения
В работе Д. Черняка [48] рассматривается задача о поперечных колебаниях шарнирно опертой балки Тимошенко, нагруженной вибрационной продольной нагрузкой. Задача решается при помощи метода многих масштабов, который предполагает введение двух временных масштабов (быстрого и медленного) и разложение искомой функции в ряд по некоторому малому параметру так, что главный член разложения (порядка 0(1)) зависит только от медленного времени. Таким образом, данная процедура также, как и метод прямого разделения движений, позволяет разделить медленные и быстрые движения системы. В результате для медленного движения получено дифференциальное уравнение в частных производных, решение которого находится при помощи процедуры Бубнова-Галеркина. Отметим, что найденная в работе быстрая компонента движения формально не удовлетворяет кинематическим граничным условиям, так как ее главная компонента пропорциональна второй производной медленного движения по пространственной координате. Однако, процедура Бубнова-Галеркина проводится по формам собственных колебаний ненагруженной шарнирно опертой балки Бернулли-Эйлера, т.е. в виде 2k=iUk{t)smkirx, что фактически приводит к удовлетворению граничного условия для быстрой компоненты в рассматриваемом приближении.
Статья В. Крылова, СВ. Сорокина [39] не вполне вписывается в очерченный выше круг рассматриваемых в данном обзоре задач о поперечных колебаниях балок, находящихся под воздействием продольной вибрации, однако с точки зрения использованной в данном исследовании методики решения подобных задач, эта работа представляет интерес для настоящего обзора. В статье рассматривается задача о поперечных колебаниях шарнирно опертой балки Бернулли-Эйлера, изгибная жесткость которой состоит из постоянной составляющей и зависящей от пространственной координаты малой вибрационной компоненты. Кроме того, балка нагружена распределенной по длине балки гармонически меняющейся во времени поперечной нагрузкой. Частота жесткостной вибрационной компоненты существенно выше частоты поперечной нагрузки. Исследование производится на основе метода прямого разделения движений. Согласно методу исходное уравнение, описывающее поведение системы, приводится к двум интегро-дифференциальным уравнениям (для быстрого и медленного движений соответственно). При этом с учетом предположения о малости вибрационной компоненты жесткости уравнение быстрого движения записывается приближенно в виде дифференциального уравнения в частных производных. Решение данного уравнения строится в виде свертки соответствующей функции Грина с правой частью уравнения. Отметим, что аналогичный способ построения решения уравнения быстрого движения предложен в главе 2 настоящей диссертации. Однако, в диссертации предлагается дальнейшая оценка полученного решения при помощи методов стационарной фазы и Лапласа, что позволяет при нахождении медленного движения перейти от интегрально-дифференциального уравнения к дифференциальному уравнению в частных производных, которое допускает аналитическое решение. В то время как в статье [39] для решения интегро-дифференциального уравнения медленного движения предлагается использовать процедуру Бубнова-Галеркина. В работе также исследовано поведение такой же задачи, но для случая бесконечной балки, при помощи метода многих масштабов.
Ярким примером влияния вибрации на свойства механических си -14 стем является так называемый эффект Индийской магической веревки: под действием вертикальной вибрации "мягкая" веревка приобретает дополнительную жесткость, и ее верхнее вертикальное положение может стать устойчивым. Существование данного явления подтверждено экспериментально (см., например, работы [3, 27, 42]).Для объяснение эффекта Индийской магической веревки использовались различные модели, в частности, модель многозвенного маятника. Отметим, что исследования устойчивости верхнего вертикального положения равновесия многозвенного маятника впервые появились вне связи с задачей об Индийской магической веревке. Еще в 1909 году в работе А. Стефенсона (Stephenson) [47] была предсказана возможность стабилизации верхнего положения равновесия двухзвенного маятника. К задаче о колебаниях многозвенного маятника впоследствии обращались и другие исследователи (см., например, [35, 41, 43]).
Определение "вибрационной" поправки к величине критической жесткости
Одно из наиболее полных исследований в данной области принадлежит Д. Ачесону (Acheson). В работе [25] им была сформулирована и доказана теорема о необходимом условии устойчивости верхнего положения равновесия n-звенного маятника с вибрирующей осью подвеса для любого п. При этом поведение маятника описывалось системой из п уравнений типа Матье. Следует отметить, что исследования устойчивости верхнего положения равновесия перевернутого многозвенного маятника показали принципиальную невозможность стабилизации указанного положения равновесия при числе звеньев п —+ со. Это означает, что при помощи такой системы невозможно перейти к континуальной модели, позволяющей объяснить эффект Индийской магической веревки. В работе [34] была рассмотрена задача о стабилизации верхнего вертикального положения равновесия n-звенного маятника с упругими элементами в местах сочленения. Авторы показали, что введение упругости позволяет стабилизировать маятник даже при бесконечном числе звеньев. Однако, данная модель весьма сложна для аналитического исследования.
Другой моделью, используемой для описания поведения Индийской магической веревки, является стержень с вибрирующим нижним концом. В линейной постановке данная модель рассмотрена в работе А. Чемпней-са (Champneys) и Б. Фразера (Fraser) [32]. При решении задачи авторы проводят для случая малой вибрации асимптотический анализ на основе метода многих масштабов. Исследуется устойчивость периодического движения балки, в нулевом приближении (при отсутствии вибрации) совпадающего со свободными колебаниями с первой собственной частотой. При этом получены соотношения, позволяющие определить зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы (системы, свободной от вибрационного нагружения) от частоты вибрации. Для малых вибрационных частот указанная зависимость получена в явном виде. Приведен также численный анализ зависимости критической жесткости от частоты и амплитуды вибрации на основе процедуры Бубнова-Галеркина и теории Флоке. Построена диаграмма устойчивости, отражающая не только устойчивость (неустойчивость) по первой форме колебаний невозмущенной системы, но и по высшим формам. Подобный подход позволяет учесть также влияние обычного и параметрического резонансов. Следует отметить, что при осуществлении упомянутого выше асимптотического исследования устойчивости первой формы колебаний невозмущенной системы авторы статьи [32] также наблюдали потерю устойчивости вследствие резонансных явлений. Заметим, что в настоящей диссертации доказано, что в области вибрационных частот, существенно больших частоты исследуемого одночастотного движения, данные явления не могут быть следствием влияния параметрического резонанса, а являются результатом обыкновенных резонансов на высших гармониках. Впоследствии теми же авторами данная проблема была рассмотрена в трехмерной нелинейной постановке также при помощи метода многих масштабов [33]. Целью исследования являлось изучение влияния нелинейных членов на устойчивость системы.
Автором диссертации данная задача в аналогичной постановке решена при помощи метода прямого разделения движений. Результаты решения изложены в главе 3 диссертации (см. также работы [6, 29, 30]). Более подробное описание статьи [32] и сравнение изложенных в ней результатов с результатами, представленными в данной диссертации, приведено в параграфе 3.5. Однако следует отметить, что возможности для сравнения полученных решений с результатами, изложенными в работах А. Чемп-нейса и Б. Фразера, весьма ограничены, так как в выполненном данными авторами исследовании явное аналитическое выражение для вибрационной поправки к величине критической жесткости получено только для малых частот возбуждения, в то время как в диссертации напротив, выражение для указанной поправки получено для достаточно больших частот вибрации. При этом сравнение результатов, полученных численно, в данном случае представляет определенные трудности.
Рассмотренные выше задачи могут рассматриваться в качестве модельных задач в теории управления, в теории динамических материалов, идея создания которых была сравнительно недавно выдвинута И.И. Блех-маном и К.А. Лурье [7], при расчете строительных конструкции, в текстильной индустрии и космических технологиях. В настоящее время значительный интерес вызывает исследование влияния вибрации на свойства механических систем, в том числе систем с распределенными параметрами. Следствием этого влияния являются такие эффекты, как изменение характера устойчивости положений равновесия системы и изменение ее эффективных жесткости ых свойств. Изучение этих явлений с целью предотвращения их вредного влияния, а также использования данных эффектов в технике и технологии представляется весьма важной задачей.
О решении А. Чемпнейса и В. Фразера
Эффективным методом, позволяющим аналитически исследовать поведение нелинейных и параметрически возбуждаемых систем, является метод прямого разделения движений. Этот метод, толчком к развитию которого явилась работа П.Л. Капицы о маятнике с вибрирующей точкой подвеса, был существенно обобщен и широко использован в работах И.И. Блехмана, в которые он вошел как составная часть подходов, названных вибрационной механикой и вибрационной реологией. В последнее время эти концепции получили развитие в трудах как отечественных, так и зарубежных ученых. Вместе с тем, разработка методики использования данных подходов при решении задач о действии вибрации на системы с распределенными параметрами не может считаться завершенной. Это обусловлено, в основном, трудностями, связанными с удовлетворением граничных условий для быстрой компоненты движения. Разработка путей преодоления этих трудностей представляет собой актуальную про -5 блему, поскольку ее решение позволит рассмотреть ряд важных классов прикладных задач механики. Важно также проиллюстрировать разработанные подходы на примере решения конкретных задач. Для систем с распределенными параметрами на основе метода прямого разделения движений разработать и реализовать подход, позволяющий удовлетворить всем необходимым граничным условиям, в том числе для быстрой компоненты движения. Рассмотреть при помощи указанного подхода ряд модельных задач о поведении параметрически возбуждаемых систем с распределенными параметрами. Исследовать влияние точности удовлетворения и характера граничных условий на свойства полученных решений. Произвести сравнение представленного в диссертации подхода с использованными ранее способами применения метода прямого разделения движений для систем с распределенными параметрами. Решить задачу об Индийской магической веревке (исследовать возможности стабилизации верхнего вертикального положения равновесия веревки, находящейся под действием собственного веса, при помощи вертикальной вибрации ее нижнего конца).
Общая методика работы. В работе используется общий подход метода прямого разделения движений, методы теории нелинейных колебаний и математической физики (например, метод малого параметра, методы стационарной фазы и Лапласа), а также численные методы. Решения сопоставляются с результатами, представленными в работах других авторов.
На основе метода прямого разделения движений разработан подход, позволяющий исследовать поведение систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Подход базируется на построении (согласно требованиям метода) уравнений быстрого и медленного движений и последующем представлении их решений в виде асимптотических разложений по малому параметру (амплитуде). Данная методика позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям как для медленной, так и для быстрой компонент движения.
На основе предложенного подхода решены модельные задачи о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, находящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой амплитуды, при различных условиях закрепления концов (шарнир-но опертых концах, жестко защемленных концах, консольном закреплении). Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены поправки к первым частотам исследуемого медленного движения.
Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным на основе приближенного подхода, при котором удовлетворяются только граничные условия для главной (медленной) компоненты движения. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдаются отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями для быстрой компоненты движения. Решена задача об устойчивости верхнего вертикального положения равновесия упругой балки, нагруженной собственным весом, нижний конец которой вертикально вибрирует. Рассматривается случай высокочастотной вибрации с малой амплитудой. Данная задача является модельной для описания эффекта Индийской магической веревки. Для случая больших частот возбуждения получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано.
Научная новизна и теоретическая ценность. Разработан новый способ реализации метода прямого разделения движений для случая систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход обладает рядом преимуществ по сравнению с использованными ранее (в том числе и автором диссертации) способами применения метода прямого разделения движений к расчету бесконечномерных систем- На основе указанного подхода решены несколько модельных задач, а также задача об Индийской магической веревке. Практическая значимость. Метод прямого разделения движений является эффективным инструментом для изучения поведения систем, находящихся под воздействием вибрации. Разработанная в диссертации методика применения метода для случая систем с распределенными параметрами позволит расширить круг изучаемых с его помощью явлений, повысить качественную и количественную точность получаемых результатов. Решения рассмотренных в работе задач имеют явный, удобный для анализа вид и могут быть использованы в практических приложениях, например, при расчете строительных конструкций, в текстильной промышленности, в космических технологиях.
