Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Пневматические шины - объект исследования напряженно-деформированного состояния 15
1.1. Основные требования к характеристикам пневматических шин 15
1.2. Состояние вопроса по методам расчета пневматических шин 16
1.3. Постановка задачи исследования 34
Выводы 42
ГЛАВА 2. Методы расчета напряженно - деформированного состояния пневматических шин 43
2.1. Постановка задачи 47
2.2. Вывод основных соотношений метода конечных объемов 50
2.3. Реологические соотношения для расчетной модели 73
Выводы 80
ГЛАВА 3. Алгоритмы определения напряженно- деформированного состояния шин 81
Выводы 95
ГЛАВА 4. Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния пневматических шин 96
4.1. Расчет напряженно-деформированного состояния тороидальной оболочки 97
4.2. Расчет радиальной шины 102
4.3. Расчет радиальной шины 175/70R13 модели 0-174 107
4.4. Расчет бортовой зоны 113
4.5. Расчет обжатия диагональной шины 115
Выводы 119
Заключение 121
Литература
- Состояние вопроса по методам расчета пневматических шин
- Вывод основных соотношений метода конечных объемов
- Реологические соотношения для расчетной модели
- Расчет радиальной шины
Введение к работе
Состояние и актуальность темы. Пневматические шины являются ответственными элементами автомобилей. Шина на автомобиле во многом определяет его надежность, безопасность, экономичность и комфортабельность. Ужесточающиеся экологические требования приводят к непрерывному совершенствованию автомобилей и повышают требования к шинам. Современная шина должна иметь высокий ресурс, обладать хорошими тягово-сцепными свойствами, обеспечивать устойчивость и управляемость автомобиля, иметь низкое сопротивление качению для повышения экономичности и обладать низким уровнем шума.
В зависимости от расположения нитей корда в каркасе различают диагональные и радиальные шины. Наиболее сбалансированное сочетание потребительских свойств реализовано в шинах с меридиональным расположением нитей корда в каркасе [1, 2]. Такие шины получили название радиальных шин или шин типа Р. В наиболее развитых странах от всех производимых шин доля радиальных шин составляет от 75% до 98% [3]. В нашей стране существует устойчивая тенденция по росту объема выпуска радиальных шин, как для легковых, так и для грузовых автомобилей. Важность увеличения доли радиальных шин от общего количества выпускаемых шин заключается в заметной экономии топлива при переходе на радиальные шины. Так, по данным [3], экономия топлива и снижение выбросов в окружающую среду составляет 8% для грузовых и 18% для легковых шин при применении радиальных шин.
Несмотря на то, что в радиальных шинах существует принципиально лучшая возможность сбалансированного сочетания требуемых свойств, достижение этого баланса при проектировании является сложной задачей. В то же время продолжается проектирование шин диагональной конструкции, в основном для летательных аппаратов и грузовых автомобилей.
На этапе проектирования пневматических шин конструктор должен решать множество вопросов [4]. К важнейшим из них относятся: определение напряженно-деформированного состояния шины; изменение характеристик шины при изменении ее конструкции, материалов, условий нагружения; получение требуемых характеристик конструкции и материалов для реализации необходимых эксплуатационных свойств шины; оптимизация конструкции шины.
Современный подход к обеспечению конструктора необходимым инструментом предполагает развитие компьютерных методов расчета и проектирования шин. Ведущие мировые производители шин, такие как «Континенталь», «Мишлен», «Пирелли» тратят огромные средства на интеллектуальное оснащение и проведение компьютерного проектирования. Косвенным свидетельством объемов затрат может служить список мощностей вычислительной техники, применяемой при анализе деформации в шине методом конечных элементов (МКЭ), приведенный в обзоре Ф. Таббадора и
ДР- [4].
Авторы обзора делают вывод об ограничении приложения метода конечных элементов к проблеме проектирования шин мощностями вычислительной техники.
В зарубежной практике принят экстенсивный путь моделирования, подразумевающий повышение дискретности представления шины в модели МКЭ. Этот подход не дает возможности проводить параметрические сопоставительные исследования, поскольку каждый расчет превращается в уникальный эксперимент. Положительные качества такого подхода ярко проявляются при замене натурного эксперимента вычислительным.
Российские школы придерживаются иного подхода [5, 6, 7], суть которого заключается в том, что на начальной стадии проектирования шины при определении генеральных соотношений размеров и характеристик шин следует применять вычислительные методы и математические модели, не требующие специальной подготовки персонала и не предъявляющие особых требований к мощности ЭВМ. Как правило, эти методы рассчитаны на сравнительные оценки напряженно-деформированного состояния пневматических шин и требуют наличия шин - прототипов, для которых имеются экспериментальные данные. В то же время, практически не ведутся работы по разработке методов расчета, предназначенных для уточненных расчетов. Исключением являлась фирма «Старт», которая пошла по пути разработки собственной программы расчета шин на базе метода конечных элементов.
Большая часть работ по развитию применения методов теории оболочек к расчету шин, опубликованных в последние годы, принадлежат Э.И. Григолюку и Г.М. Куликову [7 - 15]. Применение этих работ в практике определения напряженно-деформированного состояния шин при проектировании не позволяют ответить на все вопросы, встающие перед конструкторами. В первую очередь это относится к определению напряженно-деформированного состояния в опасных зонах шин: зоне окончания брекера и бортовой зоне.
Успешное функционирование отечественной шинной промышленности без государственной поддержки объясняется высокой востребованностью шин на потребительском рынке. Для сохранения российскими производителями шин своей ниши на внутреннем и внешнем рынках, при активных попытках внедрения ведущих шинных фирм мира на российский рынок, необходимо проводить техническую политику, направленную на значительное расширение номенклатуры шин, быстрое освоение новых образцов, удовлетворяющих современным требованиям к пневматическим шинам. Одна из сложных проблем, встающая перед конструкторами, заключается в модернизации выпускаемых шин, пользующихся спросом на рынке, путем снижения материалоемкости с одновременным повышением эксплуатационных характеристик. Только в этом случае можно успешно конкурировать с зарубежными образцами.
Поскольку на шинных заводах отсутствует исследовательская экспериментальная база, подобная зарубежной, существует потребность в создании методов анализа, которые позволили бы не только устанавливать влияние основных конструктивных параметров шин на их характеристики, но и позволили бы заменять часть натурных экспериментов вычислительными. В то же время, эти методы должны предъявлять минимальные требования к мощности ЭВМ и позволять использовать современные ПЭВМ.
Разработка и развитие расчетных методов должны приводить к созданию объектно-ориентированных программ, которые могли бы использоваться непосредственно на шинных заводах в повседневной практике конструкторов шин. В идеале такие программы должны позволять проводить достоверную оценку напряженно-деформированного состояния при всех условиях эксплуатации автомобилей, включая: нагружение шины внутренним рабочим давлением; движение и маневрирование по асфальтированной дороге; движение и маневрирование по гололеду; движение и маневрирование по дороге, покрытой слоем воды; движение и маневрирование по дороге, покрытой слоем снега. Большая часть теоретических и практически все экспериментальные работы по исследованию напряженно-деформированного состояния шин в нашей стране проводились в НИИ шинной промышленности. Изменение экономической ситуации привело к тому, что НИИ шинной промышленности прекратил свое существование. И богатый опыт, накопленный в этом институте, оказался недоступным для КБ шинных заводов.
В нашей стране до начала 90-х годов существовала только одна программа для расчета механических характеристик шин - АПР (Автоматизированный Поверочный Расчет), разработанная в отделе механики шин НИИ шинной промышленности О.Н. Мухиным [16]. В основу программы положена расчетная модель радиальной шины в виде кольца на упругом основании. Простота этой модели не дает возможность детально исследовать напряженное состояние шины, хотя позволяет при соответствующей настройке достаточно точно определять жесткостные характеристики радиальных шин.
Активные работы по приложению теории оболочек к расчету радиальных шин позволило изучить осесимметричную задачу о напряжениях в шине при наддуве [17].
В середине 90-х годов был разработан объектно-ориентированный пакет «КАСКАД» [5, 18, 19]. В основу этого пакета программ легли методы расчета радиальных шин на основе модели многослойной армированной оболочки, развитой А.Е. Белкиным [17,18]. Этот пакет реализован как надстройка над AutoCAD и состоит из ряда модулей, для ввода в проблемно-ориентированном диалоге геометрии шины по пресс-форме и расчетов напряженно-деформированного состояния. Легкость работы с пакетом и быстрота вычислений позволяют за короткое время перебрать ряд вариантов конструкции. К ограничениям пакета следует отнести следующее: пакет ориентирован на оценочные расчеты, эффективные при наличии шины - прототипа, для которой имеются экспериментальные данные или результаты расчета МКЭ; напряженно-деформированное состояние бортовой зоны не определяется; пакет предназначен только для расчета радиальных шин.
Проведенный анализ показывает, что для выполнения расчетов напряженного состояния шин в конструкторских отделах шинных заводов применяются два вида расчетных программ: «тяжелые» универсальные, на основе МКЭ (ANSYS, NASTRAN, MARC), позволяющие проводить детальный анализ напряженно-деформированного состояния, но требующие значительных затрат на адаптацию пакетов для определения напряженно-деформированного состояния пневматических шин; «легкие» объектно-ориентированные («КАСКАД», «АПР»), использующие упрощенные модели шины или теорию оболочек, позволяющие быстро ввести исходную геометрию шины и за несколько минут определить напряженно-деформированное состояние шины, не требующие мощных ПЭВМ (на шинных заводах нашей страны).
В настоящее время существует потребность в объектно-ориентированной программе, которая не предъявляет жестких требований к ресурсам ЭВМ и может работать на современных мощных ПЭВМ, а также, позволит за приемлемое время получать достаточно точные результаты, сопоставимые с коммерческими пакетами МКЭ, с достаточной детализацией напряженно-деформированного состояния конструкций как радиальных, так и диагональных шин. По терминологии, принятой для CAD/САМ систем, такую программу можно отнести к «среднему» классу.
Для адекватного численного моделирования процессов деформирования конструкций необходимо выполнение следующих требований к современным численным методам: а) точное представление областей сложной геометрии; б) высокий порядок точности пространственных и временных схем дискретизации.
В последние годы активно развивается подход, основанный на представлении среды в виде конечных объемов [71, 73], и аппроксимации уравнений сохранения в интегральной форме на этих объемах. Основные преимущества такого подхода заключаются в единообразии аппроксимации уравнений на конечных ячейках произвольной формы и, следовательно, в упрощении аппроксимации уравнений для сложных расчетных областей. Кроме того, в методе конечных объемов сеточные законы сохранения выполняются в каждой расчетной ячейке, а для формирования уравнений не привлекаются вариационные принципы.
Возможность алгоритмизации расчетных программ, сопоставимая с конечно-разностными методами точность и большая скорость счета, основанная на идеях представления данных А.И. Гулидова [76], являются причинами, по которым нами был выбран метод конечных объемов для разработки методов расчета пневматических шин.
Целью диссертации является разработка методов и алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния произвольной конструкции пневматических шин на основе метода конечных объемов при статическом и динамическом режимах нагружения.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
Адаптация метода конечных объемов для задач расчета пневматических шин, позволяющая на этапе проектирования прогнозировать их напряженно-деформированное состояние.
Подбор и уточнение математической модели диагональных шин.
Подбор и уточнение математической модели радиальной шины.
Разработка эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния диагональных пневматических шин.
Разработка эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния радиальных шин.
В диссертационной работе рассматриваются задачи осесимметричного нагружения пневматических шин и задачи трехмерного нагружения. Выбор этих задач обусловлен следующим.
Определение равновесной конфигурации шины, т.е. деформированного состояния, которое приобретает шина под действием внутреннего давления, является необходимым этапом, позволяющим конструктору определять габаритные размеры надутой шины.
Напряженно-деформированное состояние шины под действием внутреннего давления является исходным для всех режимов эксплуатации шины.
Определение разрушающего внутреннего давления является одним из обязательных испытаний пневматических шин.
Определение критической скорости вращения шины является одним из обязательных испытаний новой шины.
Эксплуатационные нагрузки на пневматические шины носят трехмерный характер.
Научная новизна.
Впервые разработаны методы расчета напряженно-деформированного состояния пневматических шин на основе метода конечных объемов.
Разработанные расчетные методы позволяют по единому алгоритму проводить расчеты радиальных и диагональных пневматических шин.
Адаптированы основные соотношения для определения приведенных модулей упругости композиционного материала для расчета пневматических шин, выполненных из высокоэластичных материалов.
Разработанные расчетные методы позволяют при проведении расчетов автоматически учитывать реальные граничные условия и, тем самым, позволяют решать контактные задачи.
Разработанные расчетные методы не требуют большого объема оперативной памяти.
Разработанные расчетные методы позволяют, в зависимости от конкретной цели, проводить как проектные, так и поверочные расчеты.
Достоверность полученных результатов подтверждается: сравнением полученных результатов с решениями, полученными другими методами; сопоставлением полученных результатов с экспериментальными данными.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: XXI академические чтения по космонавтике. (Москва, 30 января-1 февраля 2002 г.).
Семинар «Методы вычислительной математики» Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (10 сентября 2002 г.).
IV международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 12-14 ноября 2002 г.).
Научный семинар факультета летательных аппаратов НГТУ под руководством профессора Г.И. Расторгуева (7 апреля 2003 г.).
Российская научно-техническая конференция «Наука, Промышленность, Оборона» (Новосибирск, 23-25 апреля 2003 г.).
18-я Межреспубликанская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово 1-3 июля 2003 г.).
Межкафедральный семинар НГАСУ под руководством профессора Г.И. Гребенюка (Новосибирск, 5 ноября 2003 г.).
Семинар кафедры строительной механики СГУПС (НИИЖТ) под руководством профессора М.Х. Ахметзянова (Новосибирск, 6 ноября 2003 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 1 статья.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 133 стр., включая 33 рисунка и 7 таблиц. Список литературы содержит 112 наименований.
Содержание работы. В первой главе приведены требования, предъявляемые к пневматическим шинам, проанализированы существующие методы расчета напряженно-деформированного состояния шин. Проведенный анализ методов расчета шин показал, что применяемые методики расчета шин не позволяют получать достоверной информации о напряженно-деформированном состоянии элементов конструкции шины при эксплуатационных нагрузках. Сформированы требования к расчетным методам проектирования пневматических шин.
Во второй главе, на основе метода конечных объемов, выведены основные соотношения для расчета оболочек пневматических шин. Приведены основные соотношения для определения механических характеристик композиционного материала, применяемого при производстве шин. Приведены формулы для определения фактических углов наклона нитей корда в каркасе и расстояния между нитями в шине.
В третьей главе описаны основные алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния пневматических шин. Приведены разработанные автором методы и алгоритмы, положенные в основу численной реализации методов расчета шин. Обосновано применение закона Гука для высокоэластичных материалов.
В четвертой главе содержатся результаты расчетов как тестовых примеров, показывающих достоверность и работоспособность разработанных методов расчетов, так и результаты расчетов конкретных конструкций пневматических шин.
В заключении приводятся основные результаты выполненной работы.
ВЫРАЖЕНИЕ БЛАГОДАРНОСТИ
Автор выражает признательность академику Транспортной Академии доктору физ.-мат. наук Ю.В. Немировскому, высказавшему свои критические и полезные замечания по работе; доктору физ.-мат. наук А.И. Гулидову за поддержку, плодотворное обсуждение материалов работы и полезные рекомендации; сотрудникам кафедры «Прочность летательных аппаратов» НГТУ и декану самолетостроительного факультета доктору физ.-мат. наук Г.И. Расторгуеву за поддержку и ценные рекомендации при обсуждении работы.
Состояние вопроса по методам расчета пневматических шин
На сегодняшний день расчетным путем не удается определять все требуемые эксплуатационные характеристики шин. В ведущих шинных фирмах ведется исследовательская работа по разработке расчетных программ, которые позволят минимизировать объем экспериментальных исследований. Для реализации этих требований конструктор должен обладать объектно-ориентированной программой, которая позволит определять показатели шин, необходимые для оценки конструкции новой шины, и расчетным путем устанавливать напряженно-деформированное состояние пневматической шины. Важный момент, затронутый в этих показателях, заключается в оценке влияния начальных несовершенств конструкции, возникающих на этапе подготовки сырья (неоднородность физико-механических характеристик резины) и изготовления конструкции, на эксплуатационные характеристики. Проведенный анализ литературных источников показал, что эта работа в нашей стране практически не проводится.
В зависимости от угла расположения нитей на экваторе, шины разделяются на диагональные и радиальные [1, 22]. Конструкция диагональной шины приведена на рис. 1.1, радиальной - на рис. 1.2. На рис. 1.1 - рис. 1.2.: 1 - протектор; 2 - слои брекера; 3 - слои каркаса; 4 -бортовые кольца; 5 - гермослой.
Диагональные шины - это шины, у которых нити корда в каркасе и брекере расположены под углом к меридиональной плоскости. Кордные нити слоев каркаса, перекрещиваясь между собой, образуют сетку, при этом число слоев каркаса и брекера обычно четное. В диагональных шинах брекер служит для увеличения прочности связи между неодинаковыми по жесткости резиновым протектором и резино - тканевым каркасом. Рис. 1.1. Конструкция диагональной шины.
Радиальные шины - это шины, у которых в каркасе нити корда расположены по меридиану. Появление радиальных шин относится к 1921 году, когда в Англии Кардайл и Рива предложили располагать нить корда в каркасе шины по меридиану радиально от борта к борту без пересечения, параллельно друг другу во всех слоях. Надо отметить, что эта конструкция представляется идеальной с точки зрения использования корда и амортизационных качеств шины, но эту идею удалось реализовать только в начале 60-х годов, дополнив приведенную схему брекерным поясом с направлением нитей, близким к окружному (угол 70-80 градусов). Такую шину необходимо конструировать так, чтобы давление воздуха в ней вызывало натяжение нитей пояса [1].
Конструктивно шина представляет собой резинокордную тороидальную оболочку, у которой основную нагрузку воспринимает каркас, выполненный из нескольких слоев прорезиненного корда. Каркас покрышки является основным силовым элементом шины, воспринимающим нагрузку от внутреннего давления воздуха, и нагрузку, возникающую при передаче на шину радиальной силы, тяговых, тормозных и боковых сил. Каркас радиальной шины состоит из нескольких слоев (от одного — для легковых автомобилей до нескольких десятков - для карьерных самосвалов и тяжелых транспортных самолетов) обрезиненного корда. Кордные слои каркаса закреплены на проволочных или ленточных бортовых кольцах. Корд представляет собой ткань, состоящую из прочных нитей основы и редких нитей утка. Благодаря такой структуре каркаса, при обрезинивании корда резина заполняет промежутки между нитями, что обеспечивает высокую гибкость и долговечность каркаса при эксплуатации шин. Корд изготавливается из натурального или синтетического волокна. В случае применения металлического корда нити утка не применяются.
Таким образом, с точки зрения механики, боковая стенка шины представляет собой пакет кордных слоев, разделенных резиновыми прослойками. Такую конструкцию необходимо рассматривать как композиционный материал, сочетающий жесткий и прочный регулярно расположенный армирующий материал с однородной основой.
Вывод основных соотношений метода конечных объемов
Постановка задачи: для произвольного момента времени t 0 в заданной расчетной области V определить компоненты тензора деформаций и напряжений, удовлетворяющие уравнениям (2.1) - (2.10) (для осесимметрчных задач) или уравнениям (2.11) - (2.13) (для трехмерных задач) по заданным начальным (2.17) и граничным условиям (2.14) - (2.16).
Вывод основных соотношений метода конечных объемов Для адекватного численного моделирования процессов деформирования конструкций необходимо выполнение следующих требований к современным численным методам: а) точное представление областей сложной геометрии; б) высокий порядок точности пространственных и временных схем дискретизации.
В последние годы активно развивается подход, основанный на представлении среды в виде конечных объемов [71-73], и аппроксимации уравнений сохранения в интегральной форме на этих объемах. Основные преимущества такого подхода заключаются в единообразии аппроксимации уравнений на конечных ячейках произвольной формы и, следовательно, в упрощении аппроксимации уравнений для сложных расчетных областей. Кроме того, в методе конечных объемов сеточные законы сохранения выполняются в каждой расчетной ячейке, а для формирования уравнений не привлекаются вариационные принципы.
Воспользуемся идеями метода конечных объемов (МКО) [71, 72, 84-87], и построим расчетную схему для пневматических шин [88].
Введем основные допущения: 1. компоненты векторов скорости и координат определяются в узлах конечных объемов; 2. компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации считаем постоянными по конечному объему и отнесем их к геометрическому центру ячеек.
Первый этап - разбивка объема шины на конечные объемы. Для задач осесимметричного нагружения будем рассматривать конечные объемы представляющие собой кольца треугольного или четырехугольного Щ поперечного сечения. Для трехмерных задач будем рассматривать шестигранные конечные объемы. Рассмотрим меридиональное сечение шины, в котором отражено распределение материалов в шине (рис. 2.4). На меридиональном сечении построим сетку. Для этого: - на внутреннем контуре шины задаются точки; - строятся отрезки, перпендикулярные внутреннему контуру, началом которых являются заданные точки, а концы отрезков располагаются на внешнем контуре шины; - узлы сетки расположим таким образом, чтобы часть из них находилась на линиях, разделяющих слои деталей шины; - концы отрезков (на внешнем и внутреннем контурах шины) также являются узлами сетки: - соединяются полученные точки отрезками прямых.
В итоге получим меридиональное сечение шины с нанесенной на нем сеткой (рис. 2.4), в которой криволинейные участки аппроксимированы отрезками
Рассмотрим фрагмент расчетной сетки, приведенной на рис. 2.4. На меридиональное сечение оболочки нанесем две сетки: а) одну построим таким образом, чтобы часть узлов сетки находилось на линии стыковки слоев; узлы этой сетки обозначены на рис. 2.5.а буквами А, В, С, D, Е, F, G, Н, К; б) вторая сетка строится таким образом, чтобы узлы сетки находились в центре ячеек первой сетки; на рис. 2.5.а эта сетка нанесена пунктирными линиями. Первую сетку и конечные объемы будем называть базовыми, вторую сетку и соответствующие конечные объемы будем называть сеткой и объемом соответствующего узла (для рис. 2.5. - узла А). Таким образом, получили конечные объемы, представляющие собой кольца с четырехугольным сечением. Компоненты тензора напряжений и тензора деформаций будем определять в центрах базовых конечных объемов, а перемещения и компоненты скоростей перемещений — в узлах этих объемов. Массу конечных объемов разнесем по узлам.
Реологические соотношения для расчетной модели
В уравнениях (2.28)-(2.29) масса ma - это масса узла А, которая получается как сумма четырех масс конечных объемов ABCD, DEFA, FGHA, НКВА, деленная на количество узлов каждого конечного объема.
Для осесимметричной задачи масса конечного объема вычисляется по формуле (с учетом того, что мы разделили уравнения (2.19)-(2.20) на 2л) : Mk=p-Sk-rk, (2.30) где: Sk- площадь ячейки, rk— радиус центра масс ячейки. В [85] такая масса называется плоской. Радиус центра масс k-го конечного объема определяется по формуле 1 А Г =7Г2 /, (2.31) где суммирование ведется по узлам і, принадлежащим ячейке; Nk — количество узлов ячейки к.
В узле і в общем случае сходятся несколько ячеек (при разбиении рабочей области на четырехугольные ячейки в узле сходятся четыре ячейки), поэтому масса узла определяется формулой: mrlkMk/Nk, (2.32) где: Nk - количество узлов ячейки к; суммирование идет по числу ячеек, сходящихся в данном узле.
Вывод основных соотношений для треугольных сетокЧетырехугольные сетки нашли широкое распространение при использовании метода конечных разностей. В случае прямоугольных сеток удается получать достаточно простые расчетные формулы.
Наличие отработанных алгоритмов построения треугольных сеток [63, 91, 92] позволяет достаточно просто разбивать расчетную область на треугольные ячейки. В этом пункте будут выведены уравнения метода конечных объемов для треугольных сеток.
Рассмотрим фрагмент меридионального сечения шины с нанесенной на него треугольной сеткой (рис. 2.7). Для треугольных ячеек, близких к равносторонним треугольникам, число окружающих узел ячеек равно шести.
Построим вокруг узла А ячейку конечного объема следующим образом. Соединим геометрические центры треугольников с серединами сторон, содержащих узел А. Для полученного конечного объема проведем выкладки для получения системы уравнений методом, приведенным в предыдущем пункте. Для этого рассмотрим систему уравнений (2.21)-(2.22). Применим стандартную процедуру метода конечных объемов для конечного объема узла А, показанного в виде заштрихованной области на рис. 2.7. Рассмотрим первое слагаемоКомпактная запись системы уравнений (2.28) и (2.29) для конечных объемов, имеющих поперечное четырехугольное сечение, полученных из (2.21) и (2.22), и система уравнений (2.36) и (2.37) дают одинаковую компактную форму записи: где: индексы j+1 и j обозначают узлы, соседние с узлом А: j+І - соседний узел по часовой стрелке, j - соседний узел ячейки против часовой стрелки; суммирование в формуле проводится по всем ячейкам, содержащим узел А; шА - масса узла А. Члены уравнений р имеют следующий вид: е, стоящее в круглых скобках в формуле (2.21).
Характерные условия нагружения пневматических шин при эксплуатации носят неосесимметричныи характер. В этом случае для определения напряженно-деформированного состояния шин применяют два подхода: а) разложение действующей нагрузки в ряд Фурье; б) решение трехмерных задач теории упругости. Рассмотрим вывод основных соотношений метода конечных объемов для трехмерного случая [93].
Компоненты тензора напряжений и тензора деформаций будем определять в центрах базовых конечных объемов, а перемещения и компоненты скоростей перемещений - в узлах этих объемов. Массу конечных объемов разнесем по узлам.
Построение базовой расчетной сетки проходит в два этапа. На первом этапе строится расчетная сетка на меридиональном сечении шины так же, как и для четырехугольных конечных объемов для осесимметричного случая. На втором этапе полученные кольцевые элементы разделяются на ряд тетраэдров. В итоге получаем базовую трехмерную расчетную сетку конечных объемов. Фрагмент такой сетки, состоящей из восьми тетраэдров, окружающих узел 8, приведен на рис. 2.8.
Построение конечного объема вокруг узла 8 аналогично построению конечного объема для осесимметричных задач. Рассмотрим рис. 2.9. Находим середины ребер шестигранника и на каждой грани соединяем их отрезками прямых, которые показаны пунктиром. На пересечении этих линий получаются вершины а, Ь, с, d, е, f. Координаты вершины g находятся по формуле:
Расчет радиальной шины
В качестве тестового примера рассмотрим определение НДС шины 175/70R13, для которой имеются результаты расчетов методами теории оболочек [7].
Конструкция шины состоит из одного слоя каркаса, изготовленного из текстильного корда и двух перекрестным образом расположенных слоев брекера из металлокорда. Шина нагружена эксплуатационным давлением р=0.2 МПа. Механические характеристики материала следующие. Слои металлокорда расположены под углом ±70 на экваторе, модуль корда Е = 89,6-10 МПа, модуль упругости резины Е = 3.0 МПа. Модуль упругости каркаса Е = 2,8-103 МПа, угол на экваторе равен 0.
На рис. 4.4 обозначены следующие элементы шины: 1 — протектор; 2 -слои брекера; 3 - боковина; 4 - каркас; 5 - наполнительный шнур; 6 - бортовая лента. Распределение материалов в шине приведено в табл. 4.2. Для всех слоев коэффициент Пуассона vr = 0.49.
В табл. 4.2. нумерация слоев идет от внутреннего контура. Для упрощения расчета внутренний резиновый герметизирующий слой не принимается во внимание. Первый слой — каркас; второй слой — наполнительный шнур; третий слой - заворот каркаса в бортовой зоне; четвертый слой - бортовая лента; пятый слой — резина; шестой слой — резина; седьмой и восьмой слои - брекер; девятый слой - протектор. методу и по методам, приведенным в работах [7, 15]. Кружками обозначено решение, полученное в работе [7] по нелинейной теории оболочек; ромбами -по теории оболочек типа Тимошенко [7, 15]; треугольниками и квадратами -решение, полученное автором: треугольники - внутренний слой брекера, квадратами - внешний слой брекера. Из рисунка видно качественное совпадение результатов, полученных по теории анизотропных оболочек и по методу, разработанному автором. Различие составляет 3% . Для определения усилий в нитях применена формула [43]: Tc=——Ec[sucos yc+s22sm ус -єХ2ьтус cos J . (4.1)
Кроме того, результаты расчетов напряжений и деформации приводились к системе координат, принятой для оболочек [33, 35, 42, 105]. Анализируя полученные результаты, следует отметить следующее. 1. Качественная картина, полученная тремя разными методами, одна и та же. 2. Решение, полученное по теории многослойных оболочек, лучше согласуется с представлением о напряженно-деформированном состоянии брекерной зоны и согласуется с экспериментальными данными. 3. Решение, полученное по разработанному методу, позволяет достоверно оценивать напряженное состояние в нитях брекера.
На рис. 4.7, 4.8 приведены результаты расчета распределения поперечных касательных напряжений ап, $гъ по толщине шины 175/70R13 в зоне окончания брекера. Сплошной линией показано решение, полученное в работе [15], значками - значения касательных напряжений, полученное методом, описанным в главе 3.
Полученные результаты показывают, что поперечные касательные напряжения в шине носят существенно неравномерный характер. Максимум касательных напряжений смещен в сторону внутреннего слоя брекера. Этот результат совпадает с накопленными статистическими данными о разрушении шин [1]. Удовлетворительное совпадение результатов, полученных разными
Радиальная шина 175/7OR 13 модели О-174 с зимним рисунком протектора, бескамерная, предназначена для эксплуатации на легковых автомобилях семейства ВАЗ (ВАЗ -2104, -2105, -2106, -2107, -2108, -2109, 2110). Эта модель шины проектируется в настоящее время на Омском шинном заводе. Технические характеристики шины приведены в табл. 4.3. Поскольку при проектировании шины задают размеры по пресс-форме, в табл. 4.4. приведены проектные геометрические параметры шины. Меридиональное сечение шины приведено на рис. 4.9. Распределение материалов и их механические параметры в шине 175/70R13 модели О-174 приведены в табл. 4.4.
