Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математические постановки задач, схемы численного обращения преобразования Лапласа 17
1.1. Математические модели 17
1.1.1. Упругая среда . 17
1.1.2. Пороупругая среда 17
1.2. Метод квадратур свёрток и шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа . 21
1.2.1. Традиционный метод квадратур свёрток . 21
1.2.2. Метод квадратур свёрток на основе методов Рунге-Кутты 26
1.2.3. Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа 27
1.2.4. Модификация шаговой схемы с переменным шагом интегрирования по аргументу 29
1.2.5. Модификация шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты 30
1.3. Численно-аналитические результаты . 30
1.3.1. Задача о действии осевой силы на упругий стержень . 30
1.3.2. Задача о действии осевой силы на пороупругий стержень 40
1.3.3 Моделирование медленной продольной волны в одномерном случае 54
Глава II. ГИУ и гранично-элементная методика 60
2.1 Граничные интегральные уравнения 60
2.2. Гранично-элементная дискретизация 61
2.3. Программное обеспечение . 65
2.4. Задача о действии торцевой силы на упругое призматическое тело 78
2.5. Задача о действии торцевой силы на пороупругое призматическое тело 101
Глава III. Моделирование поверхностных волн на базе МГЭ 114
3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства 114
3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью 133
3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность двухслойного пороупругого полупространства 147
3.4. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства с выемкой 149
Заключение 159
Список литературы
- Метод квадратур свёрток и шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
- Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
- Программное обеспечение
- Задача о действии вертикальной силы на поверхность двухслойного пороупругого полупространства
Введение к работе
Актуальность работы. Работа посвящена распространению волн в упругих и пороупругих телах. Исследования в упругой постановке имеют более долгую историю, чем в пороупругой постановке. Однако пористые материалы широко распространены как в природе, так и в технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты, горные породы, конструкционные, строительные материалы и т.д. Как упругая, так и пороупругая модели могут быть применены для описания материалов, с которыми приходится иметь дело в различных отраслях инженерии, в строительстве, в химической и нефтехимической промышленности, в геологии, в биомеханике.
В работе разрабатывается методика моделирования с
использованием шаговых по времени схем метода граничных элементов
(МГЭ), создаётся соответствующее программное обеспечение,
позволяющие делать выводы о распространении волн как в однородных, так и неоднородных телах. В качестве реализации модели неоднородности рассматривается кусочно-однородное тело.
Применение шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты,
усечение процедуры шага по времени за счёт введения переменного шага
интегрирования и учёта симметрии подынтегральной функции,
распараллеливание вычислительных потоков при компьютерном
моделировании позволяют достичь большей точности, максимальной
экономии времени расчётов и оптимизации использования
вычислительных средств. Использование аппарата граничных
интегральных уравнений (ГИУ) в динамической теории упругости берёт начало с работ Мюнца Ч.Х. 1932 г. Началом исследования волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Френкеля Я.И. в 1944 г. В данном исследовании используется модель пороупругой среды Био. В моделировании динамических процессов с помощью МГЭ можно условно выделить два основных подхода: решение во времени на основе шаговой схемы и решение в преобразованиях Лапласа или Фурье с
последующим обращением преобразований. Возможности традиционных
шаговых схем по времени на основе аппроксимации сплайнами
ограничены отсутствием фундаментальных решений во времени. При
построении шаговой гранично-элементной схемы на базе
фундаментальных решений в преобразованиях по Лапласу используется
метод квадратур свёрток, позволяющий существенно расширить
возможности МГЭ. В настоящее время происходит бурное развитие МГЭ
для решения динамических задач как упругости, так и пороупругости.
Однако гранично-элементное моделирование динамики упругих и
пороупругих тел в основном сводится к случаям, где граничная
поверхность состоит из участков, параллельных координатным
плоскостям. Также остро стоят проблемы снижения вычислительных затрат подходов к исследованию пороупругой динамики и постоянного уточнения получаемых результатов.
Цель работы заключается в развитии методики гранично-временных элементов и создании соответствующего программного обеспечения на основе шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа совместно с семейством методов Рунге-Кутты для решения трёхмерных смешанных начально-краевых задач динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел, а также в численном исследовании динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел.
Методика исследований основана на граничных интегральных уравнениях прямого подхода трёхмерных изотропных линейных теорий упругости и пороупругости в преобразованиях по Лапласу; на описании пороупругой среды моделью Био с четырьмя базовыми функциями – три компоненты перемещений упругого скелета и поровое давление; на получении решений во времени на основе шагового метода численного обращения преобразования Лапласа на узлах методов Рунге-Кутты; на компьютерном моделировании искомых решений методом граничных
элементов в сочетании с методом коллокации, локальной поэлементной аппроксимацией на основе согласованной модели интерполирования Гольдштейна.
Достоверность исследований основана на строгом соответствии
исходной краевой задачи в частных производных математических теорий
упругости и пороупругости системе применяемых регуляризованных ГИУ;
на корректно проведённой процедуре дискретизации ГИУ при
компьютерном моделировании; на тщательно реализованных и
проверенных алгоритмах программного обеспечения; на анализе
сходимости полученных решений, а также их сравнении с
аналитическими, численно-аналитическими решениями и результатами других авторов.
Научную новизну работы составляют: гранично-элементное
моделирование краевых задач смешанного типа динамики трёхмерных
упругих и пороупругих тел в сочетании с шаговым методом численного
обращения преобразования Лапласа на узлах семейства схем Рунге-Кутты;
применение в компьютерном моделировании трёхмерной динамики
согласованной модели аппроксимации Гольдштейна на обобщённых
четырёхугольных элементах; решение на основе применения метода
гранично-временных элементов совместно с методами Рунге-Кутты
волновых задач о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на
упругое и пороупругое призматические тела, пороупругое
полупространство (в том числе с фиктивной границей) и слоистое
полупространство, полупространство, ослабленное полостью, и
полупространство с выемкой; исследование возбуждения медленной волны в пороупругой среде с помощью шаговой схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты.
Практическая значимость результатов исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для компьютерного моделирования динамики составных упругих и пороупругих трёхмерных
тел с помощью шаговой по времени схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты наряду с методом Эйлера; решении с помощью полученной методики динамических задач о действии силы на пороупругие призматическое тело и полупространство с демонстрацией эффекта возбуждения медленной волны, а также задач о пороупругих слоистом полупространстве, полупространстве, ослабленном полостью, и полупространстве с выемкой.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Развитие и создание методики решения краевых задач динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел на основе совместного применения метода гранично-временных элементов с шаговой схемой на узлах методов Рунге-Кутты.
-
Развитие и создание соответствующего программного обеспечения, реализующего шаговую схему на узлах методов Рунге-Кутты с переменным шагом интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы и возможностью учёта симметрии подынтегральной функции, с использованием алгоритма распараллеливания вычислительных потоков.
-
Моделирование эффекта возбуждения медленной продольной волны в пористых средах на динамических откликах поров ого давления и потока на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.
-
Моделирование решений следующих волновых задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты:
о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы упругого и пороупругого призматических тел;
о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного и слоистого пороупругих полупространств;
о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью, и пороупругого полупространства с выемкой.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались на
X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и
прикладной механики (Н.Новгород, 2011), XXV Международной
конференции «Математическое моделирование в механике
деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных
элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII Всероссийской (с
международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XVIII Нижегородской сессии молодых ученых – естественные, математические науки (Н. Новгород, 2013), форуме молодых ученых (Н. Новгород, 2013), XX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи, 2014), V Международной инженерной конференции Университета Кхон Кэна KKU-IENC2014 «Engineering and Technological Responses to Global Challenges» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).
Публикации. Опубликовано 16 работ [1-16], из них 16 по теме
диссертации. В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 5 работ в соавторстве [1-5]. Результаты работ принадлежат Ратаушко Я.Ю., кроме постановок задач и постпроцессорных представлений.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 218 наименований. Общий объем диссертации составляет 179 страницы машинописного текста, включая 235 рисунков и 2 таблицы.
На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-7
2843.2012.8 2012-2013гг.; № НШ-593.2014.8 2014-2015гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2012 - 2014 годы (ГК №14.1337.21.1249 от 14 сентября 2012г.); грантами РФФИ (проекты № 12-01-00698-а, № 13-08-00742-а, № 14-08-00811-а, № 14-08-31415 мол_а).
Метод квадратур свёрток и шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
Существуют приближённые гранично-элементные формулировки [200, 201] на базе подхода Нардини-Бреббия. По настоящее время этот подход использует только упрощённую модель и статический закон Дарси.
Неклассическое расширение метода ГИУ было предложено Бабешко В.А. в работах [7, 8, 24]. Рассмотренный подход с использованием конечного преобразования Фурье приводит к системе регулярных ГИУ. Для анизотропных моделей эти ГИУ являются точными, в отличие от подхода с двойным применением теоремы взаимности. Методика Бабешко была развита в работах Ватульяна А.О. и его учеников [15-23], а также Сумбатяна М.А. [63]. Публикация [34] позволяет распространить её на пороупругость.
Отметим также в ряду авторов, внесших вклад в развитие метода интегральных уравнений для решения задач о деформировании твёрдого тела, Анина Б.Д., Глушкова Е.В., Гольдштейна Р.В., Горячеву И.Г., Игумнова Л.А., Калинчука В.В., Морозова Н.Ф. [54], Пряхину О.Д. [24], Соловьёва А.Н. [72].
Одно из традиционных приложений формулировки МГЭ в пространстве частот – исследование системы вида дамба-резервуар. Первые расчёты на основе двумерной модели были представлены в [115, 160]. Трёхмерная постановка вопроса присутствует в [77]. В [107] на основе МГЭ были рассмотрены отклики осесимметричных оснований в пороупругих средах. Иное приложение гранично-элементной формулировки для пороупругой динамики – для исследования поведения свай в грунте – опубликовано в [159]. В работе Каттиса [145] для анализа бурения туннелей вместо модели Био использовано упрощение из [166, 167].
В пороупругой динамике находит применение также непрямой подход метода ГИУ [179, 180]. В [196-198] с его помощью рассматривается задача о жёстком включении в пороупругое полупространство. В [152] на базе непрямой формулировки МГЭ для пороупругости проводится исследование рассеяния сдвиговых волн.
Обзор показывает бурное развитие МГЭ для решения динамических задач как упругости, так и пороупругости. Однако гранично-элементное моделирование динамики упругих и пороупругих тел в основном сводится к случаям, где граничная поверхность состоит из участков, параллельных координатным плоскостям. Также остро стоят проблемы снижения вычислительных затрат подходов к исследованию пороупругой динамики и постоянного уточнения получаемых результатов.
Цель работы заключается в развитии методики гранично-временных элементов и создании соответствующего программного обеспечения на основе шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа совместно с семейством методов Рунге-Кутты для решения трёхмерных смешанных начально-краевых задач динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел, а также в численном исследовании динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел.
Методика исследований основана на граничных интегральных уравнениях прямого подхода трёхмерных изотропных линейных теорий упругости и пороупругости в преобразованиях по Лапласу; на описании пороупругой среды моделью Био с четырьмя базовыми функциями – три компоненты перемещений упругого скелета и поровое давление; на получении решений во времени на основе шагового метода численного обращения преобразования Лапласа на узлах методов Рунге-Кутты; на компьютерном моделировании искомых решений методом граничного элементав сочетании с методом коллокации; локальной поэлементной аппроксимацией на основе согласованной модели интерполирования Гольдштейна [28].
Научную новизну работы составляют: гранично-элементное моделирование краевых задач смешанного типа динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел в сочетании с шаговым методом численного обращения преобразования Лапласа на узлах семейства схем Рунге-Кутты; применение в компьютерном моделировании трёхмерной динамики согласованной модели аппроксимации Гольдштейна на обобщённых четырёхугольных элементах; решение на основе применения метода гранично-временных элементов совместно с методами Рунге-Кутты волновых задач о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на упругое и пороупругое призматические тела, пороупругое полупространство (в т.ч. с фиктивной границей) и слоистое полупространство, полупространство, ослабленное полостью, и полупространство с выемкой; исследование возбуждения медленной волны в пороупругой среде с помощью шаговой схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты.
Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходной краевой задачи в частных производных математических теорий упругости и пороупругости системе применяемых регуляризованных ГИУ; на корректно проведённой процедуре дискретизации ГИУ при компьютерном моделировании; на тщательно реализованных и проверенных алгоритмах программного обеспечения; на анализе сходимости полученных решений, а также их сравнении с аналитическими, численно-аналитическими решениями и результатами других авторов.
Практическая значимость результатов исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для компьютерного моделирования динамики составных упругих и пороупругих трёхмерных тел с помощью шаговой по времени схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты; решении с помощью полученной методики динамических задач о действии силы на пороупругие призматическое тело и полупространство с демонстрацией эффекта возбуждения медленной волны, а также задач о пороупругих слоистом полупространстве, полупространстве, ослабленном полостью, и полупространстве с выемкой.
Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
Отклики перемещений, вызванные силой F=-1Н/м2, наблюдаются в точке у = 3м стержня длиной / = 3м. Численные результаты получены для материала с параметрами: Е = 2.111011Н/м2; v = 0; р = 7850кг/м3 (с = 5184.5м/с). Выберем отрезок времени 0.01 с, что составляет чуть более 4 периодов функции перемещения по времени. Для обращения преобразования Лапласа использован коэффициент R=0.997. Общее число узлов по аргументу ср (учитывая двукратное использование каждого q t для двухэтапной
Результаты обращения при N=/2=500 и N=/2=1000 представлены на рис. 4, 5 соответственно. Решения получены на основе формул шагового метода обращения преобразования Лапласа на узлах методов Эйлера, Лобатто и Радо. Для сравнения приведено решение, рассчитанное по аналитической формуле. На рис. 6 более крупным планом представлен вид двух последних пиков.
Подход, основанный на схеме Радо, независимо от числа узлов аппроксимации даёт наименьший сдвиг по времени (запаздывание или опережение) и наилучшим образом приближает искомую функцию в целом. Модификация шагового метода на основе схемы Лобатто в данных условиях близка в точности приближения результата к традиционному подходу.
На рис. 7, 8 представлено сравнение модификаций шагового метода на основе схем семейства Рунге-Кутты с модификацией, использующей переменный шаг интегрирования по аргументу ср; для последней рассматривается кусочно-равномерная сетка на промежутках [О, ж 12], [ж 12, 3ж 12], [3ж 12, 2ж]. Число узлов на промежутках выбирается исходя из их процентного распределения 47.5, 5, 47.5, и сохранения общего количества узлов при расчётах по разным схемам. Рис. 7 соответствует N=/2=500, рис. 8 - N=/2=1000. Рис. 8 изображает вид двух последних пиков решения крупным планом. Модификации шагового метода с линейной и квадратичной аппроксимацией образа функции при переменном шаге интегрирования по ср дают неразличимые результаты для всех дальнейших исследований (в том числе с применением схем Рунге-Кутты), поэтому далее все графики построены с учётом линейной аппроксимации.
Перераспределение узлов q t по расчётному промежутку вышеописанным способом для традиционного подхода не позволяет намного превзойти результаты, полученные с помощью подхода на основе схемы Радо, лишь ускоряя сходимость с измельчением сеток. На малом числе узлов подход на основе методов семейства Рунге-Кутты отстаёт в точности аппроксимации от подхода с переменным шагом; с дальнейшим измельчением сеток схемы на основе методов Рунге-Кутты предоставляют лучшие результаты. Также при N=/2=2000 график, полученный с помощью схемы с переменным шагом, проявляет характерные осцилляции [10] (рис. 10а), поэтому необходимо использовать модификацию метода на основе формул интегрирования сильно осциллирующих функций (рис. 10б), в то время как остальные схемы использованы без изменений.
На рис. 11, 12 представлено сравнение результатов, полученных с помощью подходов на основе методов семейства Рунге-Кутты и на основе метода Эйлера при использовании переменного шага интегрирования по аргументу ср. Рассматривается кусочно-равномерная сетка, построенная с теми же условиями, что и ранее. Рис. 11 соответствует N=/2=500, рис. 12 - N=/2=1000. Рис. 13 изображает вид двух последних пиков решения крупным планом. очетание схем Рунге-Кутты с переменным шагом уже при N=/2=500 допускает некоторые осцилляции, поэтому для расчётов использована модификация на основе формул интегрирования сильно осциллирующих функций. С учётом этого можно утверждать, что шаговый метод на основе схемы Радо на любой из рассмотренных сеток представляет лучший результат при приблизительно равных вычислительных затратах.
Традиционный шаговый метод с переменным шагом обнаруживает появление осцилляций только при измельчении сетки до N=/2=2000. На рис. 14 показаны результаты, полученные на этой сетке с его помощью, а также методом на основе схемы Радо с переменным шагом без учёта и с учётом формул интегрирования сильно осциллирующих функций. схема Эйлера, переменный шаг схема Радо, схема с ключом
Рис. схема Радо, переменный шаг аналитическое решение Шаговый метод с переменным шагом по ср на основе схемы Рунге-Кутты более чувствителен к измельчению сеток в отношении возникновения нефизичных осцилляций, чем метод, основанный на схеме Эйлера, что преодолевается посредством использования формул интегрирования сильно осциллирующих функций. Однако в целом применение переменного шага интегрирования по аргументу ср совместно со схемой семейства Рунге-Кутты (в частности схемой Радо) даёт лучшую аппроксимацию, позволяя объединить такие достоинства этих подходов, как быстрая сходимость при измельчении сеток, меньший сдвиг решения по времени (запаздывание или опережение) и лучшая передача качественного характера решения. Несмотря на некоторые преимущества использования схемы Лобатто перед традиционным шаговым методом, она всё же уступает схеме Радо. В дальнейшем при расчете будем использовать схему Радо.
Обратимся также к решению задачи о действии осевой силы на упругий стержень со следующими параметрами: F = —\, р = 0.5, c = v2, / = 0.3, у = 0.3. В [10] показано, что с помощью формулы переменного шага интегрирования по аргументу ср «с ключом» можно снизить вычислительные затраты за счёт уменьшения количества расчётных узлов L. Схема на основе метода Радо позволяет сверх того добиться сходной точности приближения решения на меньшем числе шагов по времени N. На рис. 15 показаны отклики перемещений, полученные традиционным шаговым методом при N=L=2000 и комбинированной формулой с кусочно-равномерным шагом на интервалах [0;я73], [я73;5я73], [5я73;2я-] при N=2000 и Ц=333, L2=41, L3=333 (решение из [10]) -кривые совпадают. Также приведено решение шаговым методом на основе схемы Радо при N=300, j=330, 2=40, 3=330.
Программное обеспечение
На основе представленной схемы метода гранично-временных элементов на узлах методов Рунге-Кутты был создан программный комплекс для расчёта задач трёхмерной динамической теории упругости и пороупругости. В него входят два основных исполняемых приложения LBEM и CQMforBEM, написанных на языке Фортран. Программа LBEM представляет консольное приложение, реализующее параллельные вычисления решения поставленной задачи в изображениях по Лапласу. Модуль CQM_for_BEM является управляющим и реализует шаговую схему численного обращения преобразования Лапласа для получения решения поставленной задачи во времени. Управление пакетом LBEM производится с помощью обмена данных об аргументах, в которых необходимо произвести расчёты изображений функций, посредством текстового файла.
Программа LBEM. Программа LBEM является исполняемым файлом и для корректной работы требует файл конфигурации, передаваемый в качестве параметра командной строки. В конфигурационном файле задаются такие исходные данные задачи, как гранично-элементная сетка, натянутая на поверхность тела, параметры материалов, граничные условия и т. д. Этот файл считывается на этапе запуска и задаёт модель работы программы.
Выполнение пакета LBEM представляет последовательный проход различных модулей, определённых в файле конфигурации. Каждый модуль представляет собой набор подпрограмм, ориентированных на реализацию определённой функциональности, и набор входных и выходных параметров. Взаимодействие модулей заключается в обмене данными. Обмен данных осуществляется через банк данных в оперативной памяти компьютера, который позволяет записывать и считывать форматированные данные. После завершения выполнения каждого модуля его выходные данные могут быть записаны в банк данных и использованы затем другими модулями. Подобная реализация взаимодействия модулей повышает независимость каждого модуля. Это позволяет минимизировать затраты на добавление в программу и отладку новой функциональности. На рис. 47 представлена схема организации взаимодействия между основными модулями программы. Стрелками обозначены направления потоков данных модулей.
Модуль SYST обеспечивает доступ к банку данных и конфигурационному файлу программы. Модуль FREQ позволяет осуществлять обмен данными с управляющим пакетом CQM_for_BEM (или другим) и передавать необходимые конфигурационные данные в модуль INTG. Обработка параметров материалов: считывание параметров из конфигурационного файла и их приведение к безразмерным величинам производится в модуле GMAT. Обезразмеренные константы материалов передаются в модуль INTG. Параметры обезразмеривания считываются модулем SCAL, который состоит из подпрограмм, используемых для обезразмеривания величин другими модулями. Данные и подпрограммы модуля SCAL используются также модулями BCON и GMAT. Модуль BCON отвечает за обработку граничных условий задачи и передает информацию о неизвестных величинах в модуль NUMB для вычисления количества неизвестных и их нумерации. Если решаемая задача имеет физическую симметрию, то в конфигурационном файле могут задаваться плоскости симметрии задачи, которые обрабатываются модулем REFL. Данные обработки используются модулем GEON для построения полной геометрии задачи. Данные REFL используются также в модуле INTG. Этот модуль замыкает цепочку, ведущую к получению решения задачи. Его основной задачей является вычисление коэффициентов дискретного аналога и решение соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Результатом вычислений становится набор значений изображений искомых функций по Лапласу для каждого узла/элемента гранично-элементной сетки. Рис. 47
Параллельный подход. Один из ключевых аспектов развития современных компьютеров – прирост вычислительной мощности за счёт создания многоядерных процессоров. Для эффективного использования ресурсов компьютера в этих условиях применяется теория параллельных вычислений. Главной её идеей является выделение из алгоритма частей, которые могут выполняться одновременно и независимо друг от друга.
Распараллеливание процессов эффективно применяется в модуле INTG. В алгоритме, блок-схема которого приведена на рис. 48, каждая итерация цикла по частотам выполняется независимо от остальных. Для распараллеливания этого цикла использована технология OpenMP [101]. Технология OpenMP характеризуется параллельным исполнением потоков с общим массивом памяти. Эффективность подхода определяет высокая скорость обмена данными между потоками, так как нет необходимости в их дополнительной пересылке.
Программа CQM_for_BEM. Программа CQM_for_BEM является исполняемым файлом и для корректной работы требует файл конфигурации, передаваемый в качестве значения одного из параметров командной строки (–config). Конфигурационный файл содержит информацию, необходимую для управления пакетом LBEM, такую, как данные об узлах интегрирования по аргументу параметра преобразования Лапласа и о временной дискретизации, а также параметры для получения оригинала искомых функций как завершающего этапа вычислений. Корректный проход вычислений с помощью программного комплекса подразумевает двукратный запуск пакета CQM_for_BEM: Рис. 48 первый раз в режиме управления пакетом LBEM посредством заполнения необходимых данных об аргументах изображения искомых функций по Лапласу в зарезервированный файл (это достигается путём передачи в качестве аргумента командной строки параметра –fill); второй раз в режиме прохода шаговой по времени схемы численного обращения преобразования Лапласа, результатом которого является получение оригиналов искомых функций (режим работы по умолчанию). Предусмотрены два варианта формирования итоговых результатов: в виде отдельных файлов для каждой компоненты искомых функций и каждого узла/элемента гранично-элементной сетки (используется для построения графиков динамических откликов), либо в виде одного файла, содержащего все итоговые данные (используется программой визуализации расчётного объекта). Также предусмотрена возможность вывода отдельных данных о спектрах искомых функций, что позволяет, не заканчивая решение задачи, скорректировать параметры схемы или исходные данные для дальнейшего получения точных результатов. Управление режимом вывода спектров функций достигается с помощью параметра командной строки –spectre, который может принимать значения no, function, method или all. Аналогично возможно отключить расчёт оригиналов функций, если в данный момент в качестве результата расчётов интересен только спектр: это достигается параметром –results, который может принимать значения no или yes.
Задача о действии вертикальной силы на поверхность двухслойного пороупругого полупространства
Рассматривается задача о действии вертикальной силы t3=t0f(f), t0 =-1Н/м2 на элемент поверхности однородного пороупругого полупространства площадью 0.25м2 (рис. 218). В качестве закона изменения нагрузки на участок взята функция Хевисайда f(t) = H(t) . На расстоянии D = 1м от области нагружения находится выемка размерами L = 1 м, W = 0.5м, Н = 1м. Дневная поверхность полупространства свободна и проницаема: на поверхности поровое давление р = 0. Для расчётов используются следующие параметры материала (песчаник): К = 1.02109 Н/м2, G = 1.44-109 Я/м2, ps =2650 кг/м3, = 0.23 Рис. 218 сетка Задача решалась методом гранично-временных элементов с применением схем Эйлера и Радо на гранично-элементных сетках из 588 (сетка 1), 720 (сетка 2), 972 (сетка 3) элементов с учётом одной плоскости симметрии (рис. 219-221).
Динамические отклики вертикальной компоненты перемещений рассматриваются в точках на расстоянии соответственно l=1.75м (точка A), l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м от зоны приложения нагрузки. Для расчётов с использованием схемы Эйлера взяты следующие параметры: R=0.997; L=415 узлов на промежутке [о, п\ из них 400 распределены равномерно на [0,2], 15 - на [2,4 число шагов по времени N=100. Сеточная сходимость решения с использованием схемы на узлах метода Эйлера в вертикальных перемещениях в точке А продемонстрирована на рис. 222. сетка сетка сетка Рис. 222 Далее будем рассматривать сетку 1 (588 элементов).
На рис. 223-226 показаны результаты исследования схемы на узлах метода Эйлера для выбора оптимального шага в точках l=1.75м, l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м соответственно. представлены решения, полученные с помощью шаговых методов на узлах схем Эйлера и Радо в точках l=1.75м, l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м соответственно. Для расчётов с использованием схемы Радо взяты следующие параметры: L=121 двукратный узел на промежутке из них 113 распределены на [0,2], 8 - на [2,4 N=30 шагов по времени.
Шаговая по времени схема МГЭ на узлах метода Радо даёт результаты, близкие к решениям на основе традиционной шаговой схемы, но требует гораздо меньше затрат: 30 шагов по времени по сравнению с 100 для схемы на узлах метода Эйлера, и 121 двукратный узел по аргументу ср по сравнению с 415 однократных для схемы на узлах метода Эйлера.
На рис. 231-234 решения для пространства с выемкой в точках l=1.75м, l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м соответственно приведены в сравнении с результатами для полупространства без выемки.
Проведено компьютерное моделирование задач о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого пространства, в т.ч. с фиктивной границей (в постановке составного полубесконечного тела). Рассматривается выбор оптимальной гранично-элементной и временной сеток. Представлены оценки пороупругого решения по упругой модели.
Приводится исследование поведения откликов перемещений на поверхности с удалением от области приложения нагрузки. На основе задачи о полупространстве с фиктивной границей демонстрируется эффект влияния коэффициента проницаемости на появление медленной волны сжатия. Представлена трёхмерная визуализация границ верхнего слоя полупространства, полутоновая визуализация изменения порового потока на границе полупространства и слоя. Рассматривается также случай различных материалов слоя и полупространства (задача о слое песчаника на скальном полупространстве) при различной толщине слоя. Проводится сравнение результатов с решениями других авторов на основе других схем МГЭ. Решаются задачи о действии вертикальной силы на поверхность полупространства, ослабленного полостью, и полупространства с выемкой. Представлено исследование влияния формы полости на форму откликов перемещений и порового давления в точке поверхности полупространства на заданном расстоянии от приложенной нагрузки. Представлены оценки пороупругого решения для полупространств со сферической и кубической полостями по упругой модели. Проводится сравнение откликов вертикальных перемещений на поверхности полупространства с выемкой и без выемки на различном расстоянии от области нагружения.
В качестве основных результатов работы и выводов отметим следующие положения:
1. Разработана методика решения краевых задач динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел на основе совместного применения метода гранично-временных элементов с шаговой схемой на узлах метода Эйлера и методов Рунге-Кутты.
2. Создано программное обеспечение, реализующее шаговую схему на узлах метода Эйлера и на узлах методов Рунге-Кутты с переменным шагом интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы, возможностью учёта симметрии подынтегральной функции, с использованием алгоритма распараллеливания вычислительных потоков.
3. Продемонстрирован эффект возбуждения медленной продольной волны в пористых средах в откликах порового давления и потока на примере численно-аналитических и численных решений задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.
4. Получено решение следующих волновых задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты: действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец упругого и пороупругого призматических тел; действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного и слоистого пороупругих полупространств; действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью, и пороупругого полупространства с выемкой.
