Содержание к диссертации
Введение
I. Экспериментальные методы определения пшей деформаций и напряжений 9
1.1. Аналитические, численные и экспериментальные методы определения полей напряжений и деформаций 9
1.2.Метод хрупких тензочувствительных покрытий 11
1.3.Метод оптически чувствительных покрытий 13
1.4.Методы голографии 15
1.5. Метод делительных сеток.. 18
1.6.Метод муаровых полос 21
1.7.Метод муара нерегулярных растров 23
1.8.Основные выводы и постановка задач исследования .30
II. Линии перемещений и анализ деформаций 35
2.1.Светопропускание систем изображений движущейся или деформируемой среды 35
2.2.Однородная и изотропная зернистая структура 42
2.3.Системы изображений однородной и изотропной структуры. Линии перемещений 53
2.4. Линии перемещений системы изображений движущейся или деформируемой среды 61
2.5.Определение векторного поля перемещений 66
2.6.Линейные деформации и деформации сдвига. Главные деформации и главные направления 75
2.7.Основные этапы экспериментального исследования деформирования объекта 87
III. Фотографирование деформируемого объекта 88
3.1.Погрешности экспериментального определения деформаций, возникающие при фотографировании деформируемого объекта 88
3.2.Погрешность определения деформации, вызванная дисторсией объектива 89
3.3.Погрешность определения деформации вследствие деформаций изображений 95
3.4. Погрешность определения деформации, вызванная ортогональными перемещениями точек объекта 97
3.5.Погрешность определения деформации вследствие взаимной непараллельности плоскостей объекта и изображения 102
3.6.Погрешность определения деформации, вызванная отклонениями плоскостей изображений 106
3.7.Техника фотографирования 110
ІV. Обработка систем изображений деформируемого объекта и обработка экспериментальных данных 115
4.1.Техника обработки систем изображений 115
4.2. Построение функциональных зависимостей компонент перемещений от координат 120
4.3.Точность определения деформированного состояния 136
4.4.Чувствительность метода определения деформаций 144
4.5.Примеры анализа деформирования высокопористых материалов 151
Заключение 161
Список основной использованной литературы 164
Приложение 180
- Аналитические, численные и экспериментальные методы определения полей напряжений и деформаций
- Линии перемещений системы изображений движущейся или деформируемой среды
- Погрешность определения деформации, вызванная ортогональными перемещениями точек объекта
- Построение функциональных зависимостей компонент перемещений от координат
Введение к работе
Решение многих технических задач связано с созданием новых материалов с заданными свойствами. Одним из перспективных направлений создания материалов с заданными свойствами является разработка технологии и производство пористых металлических и неметаллических материалов, которые в последние десятилетия находят всё более широкое применение в авиации, машиностроении, а также в автотракторной, химической, нефтяной, пищевой и ряде других отраслей промышленности.
В настоящее время пористые материалы используют в качестве фильтров тонкой очистки жидкостей и газов, конструкционных материалов в камерах сгорания и охлаждаемых лопатках турбин, ионизаторов в ионных двигателях, подшипников скольжения, пористых электродов в химических источниках тока, деталей корпусов самолётов для ввода газов и жидкостей в пограничный слой, пористых дросселирующих элементов, пористых гасителей вибрации, глушителей шума, теплоизоляторов и т.п.
Необходимость анализа деформированного и напряжённого состояния изделий из пористых материалов возникает при оценках прочности этих изделий, а также при изучении, с целью учёта и рационального использования, закономерностей деформирования пористых материалов в связи с тем, что технология изготовления пористых деталей обычно связана с деформированием. Этим обусловлена актуальность исследований, направленных на совершенствование существующих и разработку новых методик анализа деформированного и напряжённого состояний, в частности, на разработку методик экспериментального анализа деформированного состояния объектов из пористых материалов.
В свете сказанного, цель настоящего исследования была сформулирована следующим образом: разработать методику экспериментального бесконтактного анализа деформирования пористых материалов с использованием нерегулярных растров на основе оптических эффектов муарового пятна и линий перемещений.
Первая глава работы содержит обзор литературы по вопросам, связанным с темой настоящего исследования, и включает критическую оценку известных экспериментальных методов исследования полей деформаций и напряжений и анализ возможностей применения этих методов для исследования деформирования пористых материалов.
Во второй главе дано аналитическое описание оптического эффекта ориентирования систем позитивных или негативных изображений хаотической структуры вдоль линий - линий перемещений, рассмотрен метод определения векторного поля перемещений с использованием линий перемещений и муарового пятна и определены основные, этапы исследования деформирования объектов по предлагаемой методике.
В третьей главе рассмотрены вопросы фотографирования деформируемого объекта, включающие анализ погрешностей определения деформации, возникающих при фотографировании деформируемого объекта, и описание техники фотографирования.
В четвёртой главе описана техника обработки систем изображений, изложен метод построения осреднённых функциональных зависимостей компонент перемещений от координат, метод расчёта точности определения деформированного состояния и оценка чувствительности предложенного метода определения деформаций, а также приведены примеры анализа деформирования высокопористых материалов.
Выполненный комплекс исследований позволил впервые получить аналитическое описание оптического эффекта ориентирования систе - б мы позитивных или негативных изображений хаотической структуры вдоль визуально воспринимаемых линий - линий перемещений и разработать метод определения векторного поля перемещений плоского деформирования, основанный на использовании оптических эффектов муарового пятна и линий перемещений. Показано, что для экспериментального определения полей деформаций в диапазоне 0,3# 15$ и выше объектов из высокопористых материалов с непрозрачной основой достаточным источником информации являются оптические изображения их, структуры, полученные в условиях некогерентного освещения. Предложен способ обработки экспериментальных данных, оптимальный в смысле точности определения деформированного состояния объекта по разработанной методике. Получены аналитические выражения для оценки чувствительности предложенного метода и точности определения деформированного состояния объекта по разработанной методике. Предложенный способ обработки экспериментальных данных и аналитические выражения для оценки точности определения деформированного состояния могут быть использованы в других экспериментальных методах решения плоской задачи в перемещениях. Разработана методика экспериментального бесконтактного анализа деформирования объектов из пористых материалов в диапазоне деформаций 0,3$ 15$ и выше, позволяющая исследовать поля деформаций в зонах концентрации. Возможности разработанной методики не зависят от степени неоднородности структуры пористого материала и пористости, включая и сплошные материалы.
Практическая ценность работы заключается в разработке методики экспериментального бесконтактного анализа деформирования объектов из пористых материалов в диапазоне деформаций 0,3#+15# и выше, позволяющей исследовать поля деформаций в зонах концентрации независимо от степени неоднородности структуры материала и пористости, включая и сплошные материалы, использующей в качест - 7 ве источника информации о деформировании объекта оптические изображения структуры его поверхности, полученные в условиях некогерентного освещения. Разработаны алгоритм и программа математической обработки экспериментальных данных, полученных по предложенному методу, для определения деформированного состояния объекта и оценки точности определения деформаций. Предложенный алгоритм и разработанная программа могут быть использованы в других экспериментальных методах анализа деформированного состояния, позволяющих получать решение плоской задачи в перемещениях, в частности, в методах делительных сеток и муаровых полос.
На защиту выносится:
-методика экспериментального бесконтактного анализа деформирования пористых материалов в диапазоне деформаций от 0,3% до 15$ и выше;
-метод определения векторного поля перемещений плоского деформирования на основе оптических эффектов муарового пятна и линий перемещений;
-метод расчёта точности определения деформированного состояния при экспериментальном решении в перемещениях задачи плоского деформирования.
Методические разработки и результаты исследований внедрены в Белорусском республиканском НПО порошковой металлургии (г.Минск) с экономическим эффектом свыше 20 тыс. рублей, что подтверждено соответствующим актом.
Для дальнейшего внедрения результатов исследования могут быть рекомендованы Белорусское республиканское НПО порошковой металлургии и другие организации, занимающиеся разработкой технологии и созданием новых изделий из пористых материалов.
Основные результаты, полученные в настоящей работе, докла - 8 дывались и были одобрены на Т7 Всесоюзном семинаре "Оптико-геометрические методы исследования деформаций и напряжений и их стандартизация" (Москва, 1982г.) и на объединённом научном семинаре отделов Института проблем прочности АН УССР (г.Киев, 1983г.).
Материалы диссертации опубликованы в работах /124, 125, 126, 127/.
Работа выполнена в отделе колебаний и разрушения Института проблем прочности АН УССР. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю -академику АН УССР Писаренко Георгию Степановичу и всем сотрудникам отдела, оказавшим помощь при выполнении работы.
Аналитические, численные и экспериментальные методы определения полей напряжений и деформаций
Аналитические методы определения напряжённо-деформированного состояния деталей и элементов конструкций, основанные на экспериментальных зависимостях между напряжениями, деформациями, скоростями деформаций и т.д. с учётом граничных и начальных условий, из-за больших математических трудностей позволяют получить решение только для деталей простой геометрии при простейших нагружениях. Это препятствие успешно преодолевается благодаря созданию и развитию электронно-вычислительной техники. Основанные на применении ЭВМ численные методы анализа напряжённо-деформированного состояния являются дальнейшим этапом развития аналитических методов и представляют собой в настоящее время мощный арсенал средств, наиболее эффективным из них является метод конечных элементов [Ml ], широко применяемый для решения различного класса практических задач. Высокая эффективность и перспективы дальнейшего развития численных методов не устраняют тем не менее необходимость применения экспериментальных методов как источника первичной информации о закономерностях деформирования материалов для обоснования и проверки расчётных методов.
Задачи определения деформаций и напряжений можно разделить на две группы /"92.7: задачи определения деформаций и напряжений в отдельных выбранных точках или сечениях детали и задачи определения полей деформаций и напряжений. Для ряда практических задач бывает достаточно экспериментально определить деформации и напряжения в отдельных точках детали, например, в заранее известных наиболее нагруженных точках. Однако для многих задач, в частности, когда распределение деформаций и напряжений в процессе работы детали или конструкции изменяется, а также когда необходимо установить в детали наиболее напряжённые точки и т.п. - возникает необходимость определения полей деформаций и напряжений. Основными способами определения деформаций и напряжений в точках являются методы тензометрии /92, 123 7. Для экспериментального анализа полей деформаций и напряжений Е настоящее время наибольшее распространение получили такие методы: 1) метод хрупких тензочувствительных покрытий [ 91]; 2) метод оптически чувствительных покрытий [Ъ, 92 ]; 3) методы голографии /"25, 32 7; О метод делительных сеток / 92, 123 7; 5) метод муаровых полос /"38, 120]. Для решения многих задач эффективно совместное применение различных экспериментальных методов /"38, 51, Юі7» сочетание экспериментальных и аналитических методов /"97, 98 7. а также экспериментальных и численных методов [ 49, 88, 89J.
В связи с широким применением в технике новых материалов, в частности, пористых материалов [ 10, 17, 56, 118,119 7, а также в связи с разработкой новых технологий производства изделий из пористых материалов - возникает необходимость определения деформаций и напряжений пористых материалов. Известно аналитическое определение напряжённо-деформированного состояния при решении некоторых задач, связанных с производством изделий из пористых материалов /"62, 63, 121]. Для анализа микродеформаций при прессовании порошков, а также микродеформаций изделий из спеченных пористых материалов применяют рентгенографический метод /"34, 36, 64, 105 7, магнитный метод fllOj, оптически чувствительные покрытия /"317. а также поляризационно-оптический метод [ 20 J. Известно исследование процесса прессования порошков с помощью голографической интерферометрии [ 14 7 и рентгенографическим методом /"50 7- Макродеформации образцов из пористых материалов измеряют с помощью индикаторов часового типа и индуктивных датчиков [ 58, 65 7. Для экспериментального определения полей макродеформаций пористых материалов известно применение делительных сеток /"37, 105 7, метода муаровых полос / 96, 97 7» а также метода муара нерегулярных растров [ 30 ]. Следует отметить, что количество работ, посвященных экспериментальному определению полей макродеформаций пористых материалов, очень невелико и на.основе их анализа трудно сделать вывод о предпочтительности применения и возможностях того или иного метода при решении конкретной задачи, поэтому, с учётом возрастающей актуальности задач анализа деформирования пористых материалов, представляется целесообразным рассмотреть известные методы определения полей деформаций и напряжений и проанализировать возможности их применения для исследования полей макродеформаций и напряжений деталей и элементов конструкций из пористых материалов.
Линии перемещений системы изображений движущейся или деформируемой среды
Анализ литературных источников позволяет сделать следующие .Проблема разработки эффективных методов анализа полей напряжений и деформаций, а частности, методов экспериментального определения полей деформаций, деталей и элементов конструкций из пористых материалов является актуальной. Создание эффективных экспериментальных методов анализа деформирования пористых материалов позволит изучать закономерности деформирования пористых, материалов с целью их учёта и рационального использования для оптимизации технологии изготовления пористых деталей, определять деформированное состояние деталей и элементов конструкций из пористых материалов с целью их рационального проектирования и оценки прочности и надёжности, а также получать исходные зависимости для разработки расчётных методов определения напряжённо-деформированного состояния деталей и элементов конструкций из пористых материалов.
Объём исследований, посвященных вопросам экспериментального определения полей напряжений и деформаций объектов из пористых материалов, чрезвычайно ограничен. Это связано с большими трудностями практической реализации известных методов определения полей деформаций и напряжений применительно к пористым материалам.
Обзор известных экспериментальных методов определения полей деформаций и напряжений и анализ возможностей их применения для исследования полей деформаций объектов из пористых материалов показали, что из известных экспериментальных методов наиболее перспективным для анализа деформирования пористых ма териалов является использование в диапазоне возможного применения нерегулярных растров. Оптическое изображение поверхности пористого материала с непрозрачной основой, полученное в условиях некогерентного освещения, представляет собой нерегулярный растр, следовательно, для определения деформаций объекта из пористого материала с непрозрачной основой с использованием нерегулярных растров не требуются другие источники информации, кроме оптических изображений поверхности объекта, полученных в условиях некогерентного освещения. Использование естественных нерегулярных растров - изображений поверхности пористого материала обладает неоспоримым преимуществом по сравнению с теми экспериментальными методами, которые связаны с нанесением на исследуемую поверхность того или иного преобразователя: делительной сетки, растра, покрытия и т.п., а также очевидным преимуществом по сравнению с методами голографии, использующими когерентные источники света и сопряжёнными со сложной техникой эксперимента и высокой трудоёмкостью. 4.Известно несколько методов определения деформаций с использованием нерегулярных растров на ОСНОЕЄ оптического эффекта муарового пятна: - определение деформаций по величине муарового пятна, основанное на зависимости размера муарового пятна от удлинения, поворота и размеров элементов растра, сопряжено со значительными погрешностями вследствие разброса размеров элементов растра, при этом метод позволяет определять только однородную деформацию на базе размера пятна; - использование кинематических свойств муарового пятна позволяет определять только однородную деформацию на базе перемещения пятна, а уменьшение базы приводит к возрастанию погрешности определения деформации; - определение деформаций по вырождению муарового пятна в полосу - линию равных деформаций путём взаимного поворота растров относительно центра муарового пятна характеризуется очень высокой трудоёмкостью и дополнительными погрешностями определения деформаций вследствие необходимости применения трансформированных изображений; - метод определения перемещений и деформаций по пространственно му изображению муарового пятна, визуализирующему поле относи тельных перемещений, характеризуется высокой трудоёмкостью и низкой точностью, а также необходимостью использования аппара туры для обработки стереопар. Отмеченные недостатки известных методов определения деформаций с использованием нерегулярных растров не позволяют эффективно решать практические задачи анализа полей деформаций. 5.Кроме муарового пятна, в системах позитивных или негативных изображений хаотической структуры можно наблюдать и другой оптический эффект - ориентирование системы изображений вдоль определённых направлений - линий, описание которых в известной нам литературе отсутствует. Аналитическое описание оптического эффекта визуально воспринимаемых линий в системах позитив,-ных или негативных нерегулярных растров может существенно расширить возможности применения нерегулярных растров для анализа деформаций. На основе вышеизложенного в настоящей работе были поставлены следующие задачи: - исходя из общих аналитических выражений еветопропускания систем изображений, описать оптический эффект ориентирования системы позитивных или негативных изображений хаотической структуры вдоль визуально воспринимаемых линий; - используя описание этого оптического эффекта, а также известный эффект муарового пятна, разработать эффективный метод анализа полей деформаций пористых материалов; - разработать способ математической обработки экспериментальных данных, полученных предложенным методом, который был бы оптимельным в смысле точности определения деформированного состояния, а также допускал оценку точности полученного решения и простую реализацию на ЭВМ; - получить аналитические выражения для оценки точности определения деформированного состояния объекта по разработанной методике и исследовать диапазон возможного применения методики по характеристикам структуры пористого материала и величинам измеряемых с заданной точностью деформаций.
Погрешность определения деформации, вызванная ортогональными перемещениями точек объекта
Выясним смысл максимума второй моментной функции системы изображений. Как предполагалось в 2.1, изображения объекта со стоят из прозрачных и непрозрачных точек, а следовательно, и ка ждая из систем изображений: CI - ( также состоит из прозрачных и непрозрачных точек, т.е. функции светопропуекания систем CI С4 могут иметь два значения: нуль или единицу. Итак, системы CI и С4 для ненулевой точки (RJ имеют максимум вторых моментных функций в точке [R A (R)J (индекс к далее до конца текущего параграфа будем опускать с целью упрощения обозначений). Это значит, что если: CI(R )=1, то всегда существует окрестность то чки такая, что: Вероятность {СІ ["-()] =l} Вероятность {СІ [-?()] =і}. То же самое справедливо и для системы С4. Иными словами, если в системах СІ и С4 ненулевая точка (R) прозрачна, то всегда существует окрестность, в которой наиболее вероятно прозрачной является точка [R A(R)J ( 2T(R) , как и выше, означает вектор эй лерового перемещения точки (R) ). Точка [R-(R)1 ственна при условии сплошности движущейся среды. Для точки [R - 2Г(Ю] существует окрестность, в которой наиболее вероятно прозрачной является точка , которая тоже единственна при условии сплошности и т.д. Таким образом, для каждой ненулевой точки (Rj в системах CI и С4 существует множество точек, каждая из которых наиболее вероятно прозрачна в своей окрестности (рис.2.7). Как показано, отмеченное множество точек обладает двумя свойствами: 1) для каждой ненулевой точки (R/ в системах CI и С4 такое множество единственно; 2) каждая пара "соседних" точек множества - это начальное и конечное положения движущейся точки. Рассмотрим теперь линию, проходящую через точку (К) и обладающую тем свойством, что на данном этапе движения, т.е. для данного поля перемещений A(R) , уравнение этой линии в неподвижной системе координат, связанной с начальным состоянием объекта, осталось неизменным. Иными словами, если какая-то точка движущегося объекта в начальном положении принадлежала указанной линии, то в своём конечном положении (т.е. в результате перемещения в конечное положение) она также принадлежит этой линии. Тогда очевидно, что множество наиболее вероятно прозрачных точек, включающее точку (R) , принадлежит этой линии J1 (рис. 2.7). Следовательно, линия JP , проходящая через точку (Rj , проходит через начало и конец каждого вектора перемещения из цепочки векторов перемещений, включающей точку (RJ , и поэтому названа линией перемещений Z I24 - 126J. Итак, единственному множеству наиболее вероятно прозрачных точек, включающему ненулевую точку (R) , соответствует единственная линия перемещений. Очевидно, что верно и обратное утверждение: если через точку (R) проходит единственная линия перемещений, то эта точка - ненулевая. Если через некоторую точку не проходит ни одна или проходит несколько линий, то эта точка - нулевая, т.е. особая. Итак, признаком нулевой точки в системах CI и №, кроме оптического центра светлого пятна, является то, что через эту точку не проходит ни одна или проходит несколько линий перемещений. Так как через каждую ненулевую точку систем CI и СЛ проходит одна линия, то всё ненулевое поле этих систем (в определённом диапазоне перемещений) покрыто семейством линий перемещений. Что касается систем С2 и СЗ, то, как было показано, они не имеют максимума второй моментной функции (имеют минимум), поэтому изображение этих систем ориентации не имеет. Поскольку муаровое пятно, тёмное или светлое в зависимости от типа системы, можно наблюдать в каждой из систем: СІ, С2, СЗ и 04, а линии перемещений - только в системах CI и С4, то системы CI и С4 относительно поля перемещений являются более ёмкими источниками информации, чем системы С2 и СЗ.
Рассмотрим аналитическое выражение линий перемещений. По определению, если точка (X, у ) принадлежит линии у (2 ), то и точка {[-U(; )]; [ "" С ;У)]} также принадлежит этой линии (рис.2.8); U(x , у ) и ?"(#, ) - компоненты эйлерового перемещения точки (X , U ). Если U(X , ) рассматривать как приращение аргумента X , то IX {X ,у ) представляет собой приращение функции и (X ). Относительно функции у (X ) предполагаем, что она в окрестности точки (X ) бесконечно дифференцируема и все её производные ограничены, т.е. /(Х) допускает разложение в ряд Тейлора. Тогда получим:
Построение функциональных зависимостей компонент перемещений от координат
Однородное деформирование. Опыт реализован на устройстве (рис.2.15), кинематическая схема которого представляет собой ромб с шарнирами в вершинах. На сторонах ромба штифтами через отверстия закреплён образец из вакуумной резины, на поверхность которого с помощью пульверизатора тушью нанесена хаотическая структура. Задача решена при условии, что расчётные значения эйлеровых.глаЕных деформаций (см. 2.6) равны по величине и противоположны по знаку:
При этом точность исполнения устройства и измерений таковы, что обеспечивают действительные значения главных деформаций в интервалах: Методом нулевой точки и по полю линий перемещений определяли перемещения четырёх опорных точек, а деформации вычисляли по формулам (2.64). Получены результаты: I) по методу нулевой точки: 2) по полю линий перемещений: о =0,0535, 2.=-0,0467. Очевидно, что решения, полученные по двум методам определения перемещений, можно считать удовлетворительными, так как относительные погрешности определения деформаций не превышают 1%. Точность решения, полученного по методу нулевой точки, как и следовало ожидать, существенно выше, чем по полю линий.
На основании полученных теоретических и экспериментальных результатов можно сделать вывод о высокой эффективности метода нулевой точки, а также о нецелесообразности определения перемещений по полю линий перемещений. Следует также отметить, что определение поля перемещений методом нулевой точки с использованием линий перемещений и муарового пятна возможно лишь при условии достаточно чёткого визуального восприятия линий перемещений или пятна в окрестности нулевой точки и ограничено уровнем измеряемых деформаций 1%. Итак, диапазон перемещений, определяемых с помощью одной системы изображений, согласно (2.35) и (2.39), не ограничен сверху, а диапазон определяемых деформаций ограничен сверху деформациями 15#. Очевидно, что можно расширить диапазон определяемых деформаций путём последовательного применения ряда систем изображений на основе векторного суммирования перемещений, однако этот метод сопряжён с увеличением трудоёмкости пропорционально количеству обработанных систем изображений.
Как показано в предыдущем параграфе, с помощью системы изображений хаотической структуры, т.е. системы нерегулярных растров, методом нулевой точки можно определить векторное поле перемещений плоского деформирования в эйлеровой и лагранжевой формах описания движения, что позволяет определять деформированное состояние как в эйлеровой, так и в лагранжевой форме описания. При отсутствии дополнительных условий, целесообразность определения деформированного состояния в эйлеровой или лагранжевой форме определяется обычно тем, в каком состоянии: недефо-рмированном или деформированном - объект исследования имеет геометрически правильную форму. Если объект исследования имеет геометрически правильную форму в недеформированном состоянии, то деформации удобнее определять в лагранжевой форме; если же геометрически правильную форму объект приобретает в результате деформирования, то деформированное состояние целесообразно определять в эйлеровой форме.
Понятие линейной деформации в экспериментальных методах определения напряжённо-деформированного состояния /"38_7 обычно соответствует понятию удлинения в теории упругости fSlJ, поэтому в дальнейшем линейную деформацию будем понимать в смысле удлинения. Линейные деформации и деформации сдвига в лагранжевой и эйлеровой формах описания движения можно определить по формулам С 38 J: где: индексы L и Е означают соответственно лагранжеву и эйлерову деформацию; верхние знаки в (2.46), как и далее, соответствуют индексу L , а нижние - Е. Поскольку компоненты перемещения: U и 1? в лагранжевой и эйлеровой формах описания движения имеют различный смысл / 123_7, то в (2.46) и ниже сокращённые записи: U ntf - надо понимать как: U7 и ЯУ .
Относительно выражений главных деформаций через компоненты перемещений в известной литературе / 38, 120.7 имеет место неоднозначность и даже противоречие простейпіим примерам, что ука - 77 зывает на необходимость рассмотреть этот вопрос подробнее [ 126 J. Будем искать выражения главных деформаций и главных направлений через компоненты перемещений: U (X ,U ) и #Ч# , ) для плоского деформирования аналогично тому, как это сделано для объёмной задачи / 81_7. Рассмотрим некоторую систему координат Х4Ц4 , полученную из исходной системы XU- поворотом против часовой стрелки на угол об. Обозначим перемещения вдоль X-j и ( соответственно Щ и tfj . Тогда линейные деформации 8% , Ы, и деформацию сдвига 3 можно выразить, согласно (2.46), через Щ и O i :
