Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели процессов деформирования сыпучих материалов во вращающихся цилиндрических емкостях 6
2. Математическая модель и численное решение задачи о допредельном деформировании сыпучей среды 17
2.1 Математическая модель допредельного упругопластического деформирования сыпучей среды. Постановка задачи 17
2.2 Описание численного алгоритма 24
2.3 Результаты расчетов 30
3. Динамика течения сыпучей среды в тонких слоях 45
3.1 Исследование задачи методом клеточных автоматов 45
3.2 Задача о течении тонкого слоя сыпучего материала в динамической постановке 52
3.3 Упрощенная модель 78
3.4 Кинетика процесса смешения сыпучего материала во вращающейся емкости 83
4. Сравнение расчетных данных с лабораторными экспериментами 98
4.1 Движение сыпучего материала во вращающемся барабане 98
4.2 Движение сыпучего материала по конической насыпи и прямолинейному желобу 106
4.3 Численное моделирование 110
Заключение 114
- Математическая модель и численное решение задачи о допредельном деформировании сыпучей среды
- Задача о течении тонкого слоя сыпучего материала в динамической постановке
- Кинетика процесса смешения сыпучего материала во вращающейся емкости
- Движение сыпучего материала по конической насыпи и прямолинейному желобу
Введение к работе
В ряде отраслей промышленности используются технологические процессы, которые сводятся к деформированию и разрушению сыпучих материалов во вращающихся цилиндрических емкостях. К ним относятся шаровые мельницы, мельницы самоизмельчения, смесители барабанного типа, устройства для сушки сыпучих материалов, цементные печи. Для расчета и оптимизации таких процессов необходимо исследование упруго-пластического деформирования сыпучего материала в данных емкостях. Большая часть работ в этой области выполнена в рамках инженерных схем расчетов. Представляет интерес исследование процессов деформирования строгими методами механики деформируемого твердого тела с использованием современных математических моделей и методов численного решения краевых задач.
Целью данной работы является исследование процесса деформирования сыпучего материала во вращающейся цилиндрической емкости в рамках строгих математических моделей механики деформируемого твердого тела и анализ кинетики смешения материала.
Идея работы состоит в том, чтобы исходную достаточно сложную задачу разбить на две: динамическую задачу о течении материала в тонком поверхностном слое и квазистатическую задачу об упруго-пластическом деформировании материала вне данного слоя и затем полученное решение использовать для исследования кинетики перемешивания материала без привлечения дополнительных гипотез.
В работе использовался метод конечных элементов для численного решения краевых задач, а также метод клеточных автоматов, аналитический и численный методы для исследования динамического течения материала в тонких слоях. Для обработки лабораторных и численных результатов использовались статистические методы.
В результате численного решения квазистатической задачи о деформировании области с плоской свободной границей, угол наклона к
4 горизонту которой постепенно увеличивается, определены поля перемещений и напряжений, области активного нагружения и упругой разгрузки, участки на границе контакта, где трение развито полностью либо выполняются условия прилипания (трение развито не полностью).
Решение указывает на возможность двух принципиально различных режимов деформирования материала. При первом режиме условие полностью развитого трения достигается по всей границе контакта с емкостью, что вызывает смещение материала как жесткого целого без перемешивания.
При втором режиме трение развито не полностью (есть участок прилипания) и в предельное состояние переходит материал, примыкающий к свободной поверхности, что вызывает течение в поверхностном слое.
Для исследования течения в поверхностном слое строится динамическая модель. Ее численная реализация позволила исследовать роль параметров материала и начальной конфигурации профиля свободной поверхности материала. Решение указывает на возможность либо непрерывного течения, либо течения, которое сводится к сходу отдельных лавин. Показано, что с увеличением времени начальная конфигурация профиля свободной поверхности материала «забывается» и устанавливается стационарный процесс.
Численно без привлечения дополнительных гипотез показано, что многократная реализация процесса схода лавин приводит к диффузии ключевого компонента и перемешиванию материала во всей области.
В упрощенном варианте задача сводится к исследованию динамики одномерных отображений. Показана возможность существования циклов с удвоением периода, режимов типа шумящих циклов и хаотических режимов.
Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что в строгой постановке определены поля перемещений, напряжений и деформаций во всей деформируемой области. Из решения определены диапазоны параметров, при которых материал либо смещается вниз как жесткое целое без перемешивания, либо в предельное состояние переходит поверхностный слой,
5 что приводит к течению с перемешиванием. Эти обстоятельства являются принципиально важными с технологической точки зрения.
Сравнение численных решений с результатами лабораторных экспериментов показывает удовлетворительное качественное совпадение.
Автор выражает благодарность А. П. Бобрякову, А. Ф. Ревуженко за руководство работой и О. П. Бушмановой, совместно с которой проводился ряд численных расчетов.
Математическая модель и численное решение задачи о допредельном деформировании сыпучей среды
Для получения количественных решений в механике сыпучих сред широко используются численные методы. В настоящее время одним из распространенных методов является метод конечных элементов [57—60], который используется для получения решений различных конкретных задач [61-63 Серяков, Баймбетов]. Суть метода состоит в том, что исследуемая область разбивается сеткой на элементы, затем определяются перемещения узлов сетки, вычисляются напряжения и деформация в элементах при заданных начальных напряжениях. При разбиении области сеткой каждому узлу сетки присваивается порядковый номер. С целью уменьшения объема используемых в пакете программ структур данных нумерация сетки оптимизируется [64-66, Бушманова]. Сыпучие материалы используются также для моделирования сложных нелинейных систем. Для систем, имеющих сложную структуру, независимо от поведения ее отдельных элементов всегда есть пути, которые приводят к катастрофе [67]. Подтверждение этот подход получил в недавно предложенной и активно развивающейся теории самоорганизованной критичности. Базовым подходом этой теории стало представление о песчаном откосе, на который подается по одной песчинке. Добавление еще одной песчинки может привести к тому, что положение остальных песчинок не изменится, либо к тому, что несколько песчинок скатятся с откоса, либо сойдет достаточно большая лавина. Сход лавин, различные геофизические процессы, а также ряд процессов в макроэкономике являются объектами исследования этой теории [68-71]. Как отмечалось, существует ряд технологических процессов, в которых реализуется течение сыпучих или порошковых материалов во вращающихся емкостях. К таким можно отнести процессы течения в смесителях барабанного типа и различных сушильных аппаратах, мельницах, цементных печах и т. д. В настоящее время на предприятиях, выпускающих минеральные порошки, исходное сырье подвергают операциям дробления и измельчения [72]. Одним из основных элементов технологической цепочки является измельчение в шаровых мельницах. Перерабатываемый материал загружается внутрь мельницы, после чего она приводится во вращение. Считается, что мельница работает эффективно, если при минимальных энергетических затратах производительность будет максимальная. Измельчение является одним из самых энергоемких процессов. Известно, что шаровые мельницы имеют низкий КПД (2-20%) [73], поэтому совершенствованию мельниц посвящено большое число работ. К одним из первых в этой области можно отнести работу Девиса [74].
Автором принята следующая модель движения материала внутри барабана: предполагается твердотельное движение вместе с барабаном по круговым траекториям и подбрасывание с падением по параболическим траекториям под действием только гравитационных и центробежных сил. Частицы материала при движении считаются свободными телами, их взаимодействие не учитывается. Однако экспериментальные данные показывают необходимость учета взаимодействия частиц друг с другом. Взаимодействие частиц при соскальзывании было исследовано Григорьевым, Свердликом [75, 76]. В работе авторы предполагают, что материал, пересьшающийся во вращающемся барабане, в общем случае может быть разделен на три части: частицы, совершающие движение вместе с барабаном; соскальзывающие частицы; частицы, которые находятся в свободном полете. Авторами определяются условия и механизм перехода сыпучей массы в состояние соскальзывания и полета. Выделяется линия скольжения. Выше нее все слои материала скользят относительно расположенных ниже слоев, и, следовательно, скорости этого скольжения увеличиваются по мере удаления от линии скольжения вверх. Точка пересечения линии скольжения с линией, соответствующей поверхности поднимающейся вместе с барабаном части загрузки, является крайней граничной точкой, где возникают условия свободного падения (полета). В зонах, расположенных выше этой точки, условия для свободного полета частиц возможны только от вертикали, проходящей через эту точку, в направлении вращения барабана. Для оптимизации процесса во многих работах анализируется кинематика движения материала внутри мельницы. Основным фактором, который влияет на движение материала, является угловая скорость вращения [77,78]. В машинах, работающих при относительно малых скоростях вращения барабана, можно наблюдать два вида движения сьшучего материала, как пишут Трофимов и Коротич в своих работах [79,80]. Колебательное движение реализуется при малой степени заполнения и в случае сравнительно небольшого трения о внутреннюю поверхность барабана. Здесь сыпучий материал ведет себя подобно одному твердому телу. Каскадное движение это - движение с обрушением и перемешиванием. В своих работах Трофимов изучает характер движения сыпучего материала в поперечном сечении барабана. Автор показал, что общий поток складывается из поднимающегося и скатывающегося потоков частиц материала. Поднимающийся поток - слой материала, который вращается вместе с барабаном за счет сил трения. Скатывающийся поток — можно рассматривать как результат относительного движения частиц материала вдоль неподвижного слоя под действием сил тяжести и силы внутреннего трения. Наибольшие скорости будут иметь частицы, которые находятся у свободной поверхности, скорость частиц, находящихся у неподвижного слоя, будет минимальной. Толщина скатывающегося слоя находится из условия, что количество скатывающегося материала по поверхности откоса равно количеству материала, поднимающегося вместе с барабаном.
При достаточно большой скорости вращения наблюдается еще один режим движения - водопадный. Исследованию движения материала в барабанах с водопадным процессом посвящены работы Сланевского, Новикова, Патрина, Образцова [81-83]. В этих работах подробно изучена траектория движения материала в барабанных аппаратах. При движении материала внутри барабана формируется малоподвижное ядро циркуляции в центральной части барабана. В работе [84] Марюта исследовал размер ядра в зависимости от режима работы мельницы, угла трения, физико-механических свойств измельчаемого материала. Показано, что размеры малоподвижного ядра меняются в достаточно широких пределах, а масса его в некоторых случаях соизмерима с массой материала, движущегося по круговым, наклонным и параболическим траекториям. Исследования [85] показали, что изменение коэффициента трения измельчаемого материала (в пределах 0,05 — 0,2) снижает оптимальное значение угловой скорости на 10-15 %. Это указывает на необходимость учета трения при расчетах оптимального числа оборотов барабана. На эффективность работы влияет также размер фракций загружаемого материала. Для эффективной работы необходимо ограничить максимальный размер исходного сырья (не более 20 мм). Однако частицы указанной крупности легко вбирают в себя атмосферную влагу и быстро превращаются в глинообразную массу. Оптимальная скорость вращения также зависит от диаметра барабана мельницы и при его увеличении с 7 до 10,5 м ее значение снижается в 1,2 раза [86]. Для того чтобы процесс измельчения происходил быстро и эффективно, внутрь мельницы вместе с измельчаемым материалом загружают также измельчающие тела. Их влияние исследовалось в работах [87]. Для многих технологических процессов смешение сыпучих материалов является необходимой операцией. Барабанные смесители используют в химической, пищевой промышленности, при производстве строительных материалов и в других отраслях [88, 89]. Для создания новых и модернизации существующих смесителей необходимо детальное исследование процесса. В различных областях промышленности широко используются процессы смешивания сыпучих материалов, эффективность которых во многом определяется типом и режимом эксплуатации оборудования. В ряду машин для получения смесей сыпучих материалов особое место занимают барабанные смесители, что объясняется их высокой производительностью, надежностью и простотой конструкции. Однако нестабильное качество смеси компонентов, отличающихся размером частиц и плотностями, сужает рамки использования данного типа машин. Поэтому разработка моделей процесса приготовления смесей, а также создание методов расчета новых конструкций барабанных смесителей для реализации процесса является актуальной.
Задача о течении тонкого слоя сыпучего материала в динамической постановке
Таким образом, на основании располагается слой постоянной толщины Айв сечении слоя действует нормальное напряжение Р (касательными напряжениями в сечении пренебрегаем). На подошву слоя действует сила трения. Ниже учтем силы веса и инерции. Центробежной силой, которая связана с кривизной профиля, будем пренебрегать. (Этот вопрос подробнее рассматривается ниже). На этом основании будем пренебрегать и слагаемыми, связанными с кривизной профиля в квазистатических и динамических уравнениях движения слоя. Рассмотрим вначале квазистатический процесс нагружения [113,116]. Условие равновесия элемента слоя имеет вид: где р р — мобилизованный угол трения на его подошве, 0 x Lx. Ниже давление отнесено к у Lx, здесь у — удельный вес материала (в Н/м , деформация плоская), Z -масштаб длины, все линейные размеры отнесены к Lx. Краевое условие имеет вид Р(0)-0. Сыпучий материал не вьщерживает растягивающих напряжений и поэтому дифференциальное уравнение (3.9) должно быть дополнено неравенством: р 0. Таким образом, задача сводится к необходимости определения неизвестной функции Р(х), которая должна удовлетворять дифференциальному уравнению и указанному неравенству. Задача решается следующим образом. В уравнении (3.9) значение угла q вообще говоря, заранее неизвестно, то есть, строго говоря, из соотношения (3.9) следует только неравенство: Предположим, что трение по подошве слоя мобилизовано полностью, то есть положим ф = р . Тогда получим: Проинтегрируем это уравнение и определим участки слоя, где действует сжимающие напряжения. На границах этих участков Р=0. Данные участки назовем кластерами. Особенностью рассмотренной постановки является то, что при р = const решение выписывается в явном виде. Действительно, Таким образом, весь слой разбивается на кластеры по следующему алгоритму: 1. Задается исходный профиль свободной поверхности материала у = /( ). 2. Для каждого значения ХІ подсчитывается значение Pi, (где Pt = Р(х,)) по формуле (3.11). Если Рї 0, то вычисляется значение Р2; если Р2 0, то вычисляем Р3 и т. д. до тех пор, пока некоторое значение Рк не станет равным нулю.
Цепочка элементов от 1 до к (включительно) является кластером. 3. Далее, точно также, отправляясь от Рк = 0, определяется цепочка элементов, образующая следующий кластер и т. д. 4. Типичной будет следующая ситуация: Рк = 0, но значение Pt+1, вычисленное в предположении о полностью мобилизованном трении, получится отрицательным. Это означает, что трение в действительности полностью не мобилизовано (то есть p q ) и следует положить Рк+Х =0 (данное условие определяет значение р р = а). В данном случае кластер состоит из одного элемента. Характер решения и данный алгоритм удобно представить себе с помощью графика, изображенного на рис. 3.9. Из точки М с координатами (0;f(0)) проведены прямые MD (параллельно оси абсцисс) и МС, под углом р к прямой MD. Рассмотрим произвольную точку профиля В. Вычислим значение Р в этой точке. Согласно равенству (3.11) имеем: Значение f(0)-f(x) равно длине отрезка BD, значение tgq х равно длине отрезка CD. Поэтому Р(х) равно длине отрезка ВС. Длина отрезка будет наибольшей, если а = р . Из рис. 3.9 видно, что в точке JCi значение P(xj=0. При х хх значение Р(х) становится отрицательным, поэтому на этом участке, согласно неравенству Р 0 решение уравнения (3.11) принять нельзя; на промежутке JCI JC значение Р(х) полагается равным нулю, и каждый элемент является кластером. При JC JC7 решение примет вид: Оно аналогично равенству (3.11), если перенести начало координат в точку х=х7. Далее весь расчет повторяется снова. Таким образом, можно принять, что в начальный момент времени разбиение слоя на кластеры вычислено. Далее в каждом кластере подсчитывается максимальное значение величины сжатия Рк. Здесь к — номер кластера. Среди трения р заменяется на рк кинематическое, которое меньше статического значения (pst. Перейдем теперь к описанию динамики движения лавины. Вначале рассмотрим динамику движения отдельно взятого элемента среды. Пусть по профилю у = fix), как по твердой поверхности, скользит элемент массой т. Обозначим через x(t), y{t) координаты элемента в момент t. На элемент действуют вес тела, равный mg, и сила реакции опоры R, которая вследствие сухого трения отклоняется от нормали п к профилю на угол ср. (рис. 3.11).
Предположим, что величина скорости и конфигурация профиля таковы, что вкладом центробежной силы в реакцию опоры можно пренебречь. Отсюда: Пусть в начальный момент времени t-О тело находится в точке С(х0 ,у0) и начальная его скорость равна 0 (рис. 3.12): В некоторый момент t тело находится в точке А с координатами (х,у). Потенциальная энергия тела в точке А равна W = mg(y0 — у). При перемещении в точку В с координатами (x + dx,y + dy) потенциальная энергия получит приращение Рассмотрим теперь энергию, которая диссипируется на контакте. Обозначим через dS путь АВ: Проекция силы R на направление АВ равна: Отсюда приращение диссипации энергии равно: Главным здесь является то обстоятельство, что множитель cos а сократился, поэтому независимо от формы профиля, диссипация энергии тела при его перемещении из точки А в точку В будет такой же, как и при смещении такого же тела по горизонтальной плоскости из точки А в точку В . Проще этот же факт можно пояснить по-другому. Нормальная составляющая веса равна mg cos а, длина пути АВ = , поэтому работа равна mgtg(pdx. Далее определяется точка, в которой торможение элемента приводит к его остановке. Тело остановится в точке, которой соответствует угол наклона секущей, равный tgcp. То есть координаты указанной точки должны удовлетворять равенству: Уо У Нетрудно показать, что построенному решению соответствуют динамические уравнения, в которые введена поправка на центробежные силы. Действительно, так как v - это величина скорости, направленной по касательной к профилю, то имеем.
Кинетика процесса смешения сыпучего материала во вращающейся емкости
Перейдем теперь к описанию основных результатов. Расчеты проводились по следующей схеме: 1. Вначале задавался исходный профиль свободной поверхности материала y=f(x), угловая скорость вращения барабана со; значения кинематического и статического углов трения pkt pst, а также h - толщина слоя и критическое давление сжатия Р , при котором слой теряет устойчивость. 2. Согласно алгоритму, описанному выше, профиль разбивался на кластеры. В каждом кластере подсчитывается максимальное значение давления сжатия Рк, где к — номер кластера. Максимальное значение сравнивалось с критическим значением сжатия слоя р . Если Ршл Р , то это означает, что весь материал находится в допредельном состоянии, и течения нет. В этом случае делается следующий шаг по параметру нагружения. (То есть осуществляется поворот всей области деформирования на угол coAt). Последнее приводит к тому, что профиль становится круче. Далее процедура подсчета Р повторяется снова. Ясно, что после определенного числа шагов по параметру нагружения величина Ртт достигнет своего критического значения. Здесь необходимо отметить два обстоятельства. Может оказаться, что после реализации очередного шага нагружения значение Ртах превысит критическое: Ршя Р . В этом случае последний шаг нагружения Aa = oAt уменьшается так, чтобы было выполнено условие / = Р . Второе обстоятельство связано с тем, что в принципе критическое значение Р может быть достигнуто одновременно в двух или большем числе точек. Рассмотренный алгоритм не предусматривает случай одновременного движения двух или большего числа лавин. При малых значениях »этот случай не реализуется. Итак, в определенный момент времени t=to, значение сжатия достигает величины Р . Выделяем теперь кластер, в котором достигается максимальное значение давления и определяем значения я(/0) и b(t0) - начало и конец лавины, которая придет в движение. Эти данные являются начальными условиями для решения краевой задачи (3.22)-(3.25). Далее весь материал разбивается на две части: на кластер (лавину) и подложку, по которой кластер скользит как по жесткой шероховатой опоре. 3. Численно интегрируется задача (3.22)-(3.25). Решением является функция a(t), которая описывает закон движения кластера. У движущегося кластера есть две возможности остановки: первая реализуется в случае выхода кластера на пологий участок. В этом случае расчет ведется до момента обращения скорости кластера в нуль.
Если же профиль свободной поверхности достаточно крутой, то кластер разгоняется и останавливается в граничной правой точке профиля. Удар здесь не рассматривается. После остановки кластера весь материал переходит в допредельное состояние. 4. Вследствие схода кластера свободная поверхность материала меняется. Вычисляется новая конфигурация профиля и весь процесс рассчитывается заново для нового профиля. Расчеты проводили с различными начальными данными. В зависимости от начального профиля свободной поверхности материала и статического угла трения, материал либо сразу приходил в движение, либо некоторое количество шагов по времени течения не было, и конфигурация профиля менялась только за счет вращения. После того, как начиналось течение, подсчитывались две последовательности: /; — длина движущегося кластера и TS - время, в течение которого кластер сходит вниз до остановки. Для анализа процесса в целом подсчитывались следующие величины: L(t) -количество сошедших кластеров за время от 0 до значения t; 1, F, о-(/), т(г)— среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение последовательностей /,. и г,. В расчетах использовались формулы: Перейдем теперь к описанию результатов. Исследуем, как на характер движения материала влияет величина h (толщина слоя). Пусть скорость вращения барабана » = 0. Углы q k — q st —15, начальный угол поворота барабана а = 35; Дх) = -0,7х + 1. Проводилось три серии расчетов, которые отличались задаваемой толщиной h движущегося кластера. a)h=h ; б) h=0,5h ; в) h=0,33h , где h =0,04. В каждом случае происходит постепенное ссыпание материала до тех пор, пока профиль не примет вид прямой, наклоненной под углом 15 к горизонту. Из таблицы видно, что общее число лавин в случае (б) возросло примерно в два раза по сравнению со случаем (а). Значения среднего арифметического и среднего квадратичного отклонения изменились незначительно. В случае (в) общее число лавин возросло примерно в три раза по сравнению со случаем (а). Значения среднего арифметического и среднего квадратичного отклонения также изменились незначительно.
Это означает, что, несмотря на различное значение толщины слоя, характер движения материала не меняется. Увеличим теперь угол внутреннего трения и начальную крутизну профиля. Пусть рк = pst = 27, начальный угол поворота барабана а = 80; f{x) = -5,67х + 6. В этом случае происходит постепенное ссыпание материала и выравнивание профиля до угла рк. С такими данными проводились три серии расчетов, которые также отличались задаваемой толщиной движущегося кластера: a) h=h ; б) h=0,5h ;B) h=0,3h . В таблице 2 приведены значения соответствующих величин. Таким образом, из таблиц 1;2 видно, что значения величин /, ,сг(7), аіт) для случаев (а-в) практически одинаковы. Отсюда следует, что толщина слоя, находящегося в движении принципиально не влияет на характер течения материала. Рассмотрим теперь роль угловой скорости вращения. Если скорость вращения барабана со Ф 0, то на конфигурацию свободной поверхности профиля влияют два противодействующих фактора: с одной стороны, вращение приводит к увеличению угла откоса, с другой стороны - ссыпание материала приводит к выполаживанию профиля. В определенном диапазоне изменения скорости вращения, кинематического и статического углов трения, пересыпание материала осуществляется отдельными порциями. Происходит накопление материала, который затем лавинообразно сходит вниз. Рассмотрим указанные режимы на конкретных примерах. Если угловую скорость задать равной 0, то происходит постепенное ссыпание материала и выравнивание профиля. Динамика профиля изображена на рис.3.17(а-в). В данном случае pk= pst =0, начальный угол поворота барабана а = 35. Из графика видно, что каждый кластер, который начинает движение, сначала движется с ускорением, затем выходит на более пологий участок, движение замедляется и кластер останавливаются. Через достаточно большое количество шагов по времени профиль выравнивается и приобретает вид прямой. Движение материала приводит к постепенному уменьшению угла откоса и после выполнения условия а 27 течение прекращается. Затем вследствие вращения угол откоса увеличивается и течение начинается снова. На рис. 3.19 изображен график функции a(t) (после схода большого количества кластеров). значения кинематического и статического углов трения. Пусть рк = 30, pst = 32, си = 0,01; f(x) = -0.47х +1; а = 25. В рассмотренном случае кинематический и статический углы имеют близкие значения, угловая скорость довольно большая, поэтому процесс пересыпания переходит в непрерывный режим. На рис. 3.21 показан график зависимости длины кластера, находящегося в движении, от времени. Как видно из графика, пересыпание не прекращается с течением времени.
Движение сыпучего материала по конической насыпи и прямолинейному желобу
Выше было рассмотрено два основных процесса: деформирование материала в допредельной области и его течение в предельном состоянии в тонком слое. Есть еще целый ряд представляющих интерес ситуаций, где происходит течение в тонком слое. Для их исследования можно использовать описанные выше результаты (меняя соответственно условия нагружения). Вначале рассмотрим задачу о течении сыпучего материала по склону конической насыпи [117]. Эксперимент состоял в следующем. Формируется насыпь, близкая к конической, и на ее вершину тонкой струей подается сыпучий материал (рис.4.16). Это приводит к многократным накапливаниям материала у вершины и последующему стеканию отдельных лавин. Сама насыпь и поступающий на нее материал представляет собой множество отдельных частиц. Взаимодействие между частицами является существенно нелинейным. Последнее приводит к тому, что время, место схода и длина каждой лавины управляются достаточно сложными законами. На рис.4.17 показана типичная диаграмма изменения во времени веса материала (на чашке весов) при непрерывной подаче струи. Диаметр основания 68 мм. Наблюдается три режима течения материала. При первом режиме происходит накопление частиц у вершины, при втором реализуется порционное скатывание, при третьем формируется стационарный стекающий поток. На диаграмме эти состояния соответствуют следующим обозначениям: аб - участок накопления частиц; бв — обрушение; гд — течение материала стационарным непрерывным потоком (ручьем). Из диаграммы видно, что на участке гд вес конической насыпи не меняется, устанавливается динамическое равновесие: количество поступающего материала равно количеству его схода с поверхности склона. Механизм пульсирующего режима виден на рис.4.18, на котором приведена фотография насыпи (вид сверху). В месте падения струи видна область скопившегося материала, который покоится на поверхности склона. Его состояние является допредельным. 18 В процессе дальнейшего накопления достигается предельное состояние и материал смещается по склону. На рисунке видна граница, разделяющая поверхности склона и откоса (угол склона меньше угла откоса). Для количественной оценки процесса проведена статистическая обработка экспериментальных данных. В каждом опыте обработано достаточно представительное число циклов «накопление - обрушение», которое составляло от 275 до 1150 измерений.
Рассматривалась последовательность, составленная из отдельных циклов «накопления-обрушения», затем подсчитывалась плотность распределения и математическое ожидание этой последовательности. На рис.4.19 приведен график плотности распределения для одного из опытов. По оси абсцисс отложен вес порций (мг, с заданной точностью измерения), по оси ординат -количество порций с конкретным весом, отнесенное к общему количеству порций. Общее количество порций в данном случае равно 882. Вес самой большой порции - 1733 мг. Из графика видно, что большинство порций имело вес от 560 до 580 мг. Таким образом, течение материала по песчаному склону может происходить либо в пульсирующем режиме, либо в режиме стационарного потока. Больший интерес представляет пульсирующий режим. Эксперименты показывают, что отношение времени продолжительности различных режимов, а также средний вес порций зависят от координаты места подачи струи, то есть от длины склона, на котором формируется лавина (место подачи струи смещалось от центра чашки на различные расстояния). Рассмотрим теперь механизм возникновения неустойчивого состояния на длинном песчаном склоне (рис. 4.20). Вначале материал стекает по гладкому дну желоба, покрывая его тонким слоем по всей длине (угол трения сыпучего материала по металлу меньше угла наклона желоба, равного 30, желоб заканчивается вертикальной перегородкой). После накопления материала процесс переходит в пульсирующий режим. Дальнейшее заполнение объема происходит отдельными порциями. Отличие от рассмотренного выше процесса состоит в том, что каждая порция теперь оседает на склоне. В целом заполнение объема происходит за счет малого смещения отдельных порций, постепенно продвигающихся вниз по склону. Количество отдельных порций, а также конфигурация рельефа поверхности могут вызвать лавины разной длины, но все они оказываются меньше длины склона. Критической становится ситуация, когда материал заполняет область, ограниченную на рисунке пунктирной линией с углом наклона pst. При этом угле малое возмущение вызывает глобальный сход материала по всей длине склона. Объем материала можно оценить областью, заключенной между прямыми, наклоненными под углами pst,g k. Если теперь продолжить подачу материала, то весь процесс повторится снова. Описанный эксперимент был промоделирован численно, используя модель, рассмотренную в гл.2. Подача струи (параметр нагружения) моделировалась за счет того, что на каждом шаге по времени высота первого столбца увеличивалась на некоторую постоянную с, то есть высота слоя в первой ячейке задавалась уравнением h[l]=ct.
Задавались также значения срк, pst кинематического и статического углов трения и начальный профиль в виде прямой, наклоненной под углом а к горизонту, то есть f(x)= ga х. Затем численно был реализован процесс схода лавин по схеме, описанной выше. Подсчитывалась последовательность {4} длин лавин, и ее среднее арифметическое значение 7. Исследуем влияние величин рки ри на характер движения материала. Пусть а = 34, (рк =32, 3,,=34. На рис. 4.21 изображен график зависимости длины движущегося кластера от времени. Как видно из графика, процесс ссыпания происходит непрерывно (между сходами кластеров нет перерывов, как только сошел один кластер, начинает сходить другой). Увеличим теперь разницу между кинематическим и статическим углами трения пусть рк=28, pst=36, а = 28. На рис. 4.22 изображен график зависимости длины движущейся лавины от времени. При данных значениях динамического и статического углов трения материал начинает стекать порциями. Расчеты показали, что при сближении значений динамического и статического углов трения порционный режим постепенно переходит в непрерывный. Из графиков видно, что в первом случае самая большая лавина имеет длину 0,4; во втором случае 0,5, а в третьем случае 0,8. То есть с уменьшением параметра нагружения длины лавин также уменьшаются, и значение / убывает, (см. таблицу 4.4). Однако дальнейшее уменьшение скорости подачи материала приводит к тому, что / выходит на асимптотическое значение. Это как раз соответствует подаче материала «по одной песчинке» - случаю, который обычно рассматривается методом клеточных автоматов в теории самоорганизованной критичности. Таким образом, видно удовлетворительное качественное совпадение экспериментальных данных и численных расчетов. 1. Для исследования задачи о деформировании области с плоской свободной границей, угол наклона к горизонту которой постепенно увеличивается, использовалась математическая модель, учитывающая допредельное пластическое деформирование, упругую разгрузку, постепенное накопление пластических деформаций и переход среды в предельное состояние, а также такие основные свойства сыпучей среды, как внутреннее трение и дилатансия. Задача решалась методом конечных элементов. Построены поля перемещений и напряжений, определены области активного нагружения и упругой разгрузки. Найдено напряженное состояние материала во всей области и область, в которой состояние материала близко к предельному. Показано, что в предельное состояние переходит не весь поверхностный слой, а только его верхняя часть; на нижней части происходит упругая разгрузка. 2. Исследовано влияние коэффициента заполнения емкости, угла внешнего трения и упруго-пластических характеристик материала на режим его деформирования. Показано, что возможно два режима деформирования: либо в предельное состояние переходит материал, примыкающий к свободной поверхности, и начинается течение в тонком слое, которое приводит к перемешиванию, либо происходит срыв материала по всей границе контакта, что приводит к его смещению как жесткого целого без перемешивания. 3. Исследовалась задача о течении в тонком слое.
