Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Хрупкое разрушение упругой, ослабленной тонким вырезом 21
1. Модели реальных трещин в линейной механике разрушения 21
2. Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругой плоскости с тонким вырезом 25
3. Определение разрушающей нагрузки в случае одноосного растяжения или сжатия
4. Построение диаграмм разрушающих нагрузок для двухосного напряженного состояния
Глава II. Хрупкая прочность упругих пространственншс тел, содержащих тонкие полости 53
1. Напряженное состояние пространства, ослабленного тонкой дисковидной полостью
2. Тонкая тороидальная полость в полубесконечном упругом теле 62
3. Применение критерия В.З.Новожилова в пространственных задачах механики хрупкого разрушения
Глава III. Состояние и интегральные характеристики пространственных упругих тел с включениями
1. Пространство с абсолютно жестким тороидальным включением 80
2. Бесконечная матрица, содержащая тонкое жесткое волокно 96
3. Структура напряженно-деформированного состояния и интегральные характеристики упругих тел с тонкими включениями
3аключение
- Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругой плоскости с тонким вырезом
- Построение диаграмм разрушающих нагрузок для двухосного напряженного состояния
- Тонкая тороидальная полость в полубесконечном упругом теле
- Структура напряженно-деформированного состояния и интегральные характеристики упругих тел с тонкими включениями
Введение к работе
Развитие техники и технологии, появление и широкое использование новых материалов, в частности, композиционных, требуют постоянного совершенствования методов расчета конструкций. В первую очередь это относится к механике разрушения, основная задача которой - оценка прочности конструкций - состоит в определении областей допустимого изменения геометрических и физических параметров материалов и диапазона рабочих нагрузок. Другим важнейшим и, в известном смысле, альтернативным вопросом является оптимальное проектирование и снижение веса элементов при сохранении надежности и заданных характеристик конструкции.
Аналитический расчет напряженно-деформированного состояния упругих тел сложной конфигурации сопряжен, как известно, с серьезншш математическими трудностями. Непосредственная численная реализация задач механики деформируемого твердого тела (особенно трехмерных) при наличии концентраторов напряжений или тонких элементов связана всегда с большим объемом вычислений.
На практике, однако, часто достаточно использовать просто хорошее приближение к точному решению или, что то же самое, ввести упрощающие предположения, то есть принять за основу некоторую модель реальной конструкции. Примерами тому могут служить проверенные практикой двумерные теории пластин и оболочек, теории эффективных свойств композиционных материалов, представление трещин математическими разрезами. Вместе с тем любая модель имеет, естественно, свою, ограниченную область применения. Известно, что нельзя, например, в двумерной теории пластин, точно удовлетворить все краевые условия на торцах; в задачах меха -5 ники трещин ребро разреза становится носителем особенности в компонентах тензора напряжений и т.д. Поэтому для анализа явлений, не описываемых в рамках теории "первого приближения", привлекаются уточненные модели, учитывающие краевой эффект в пластинах и оболочках, теометрига трещин, взаимодействие включений и т.п.
В тесной связи с проблемой построения адекватных моделей в механике и физике находится вопрос об отыскании приближенных (асимптотически точных по некоторому параметру) решений краевых задач математической физики. Такие решения представляются в виде формальных рядов, содержащих малый параметр, причем, каждый следующий член разложения тлеет по сравнению с предыдущим более высокий порядок малости. Эти ряды не обязательно сходятся, но уже главные их члены близки к точному решению исходной задачи.
Ставшая уже классической теория регулярных возмущений краевых задач (см., например, монографии [51] Т.Като и [128] К.Шридрихса ) нашла многочисленные применения и в задачах механики деформируемого твердого тела. В книге [114] О.М.Саркисяна метод малого параметра последовательно применяется к теории кручения стержней. Эти же идеи в монографии [46] Д.Д.Ивлева и Л.В.Ершова использованы для расчета конструкций в рамках теории упруго-пластического тела. В обзоре [57] В.Д.Кубенко, Ю.Н.Неми-ша, К.И.Шнеренко и И.А.Шульги содержится обширная библиография по применению метода "возмущения формы границы" к задачам о концентрации напряжений в пластинах и оболочках, пространственным задачам теории упругости, плоским задачам в классической и моментной постановках и другим. В книге [98] В.В.Панасюка изучается напряженно-деформированное состояние упругого тела, содержащего плоскую в плане трещину-разрез, близкую по форме к эллиптической или кротовой. Регулярные возмущения приводят, как правило, к предельной задаче, правые части которой содержат малый параметр. Последовательное решение рекуррентной системы, получающейся расщеплением операторов задачи и краевых условий в ряды по степеням этого параметра дает равномерную асимптотику решения для всей области определения. Особенно эффективным метод -малого параметра оказывается при изучении решений задач о малых возмущениях границы, совпадающей с канонической поверхностью и вариации внешних нагрузок вблизи известного напряженного состояния.
Асимптотики ряда важнейших задач механики деформируемого твердого тела не могут быть найдены в рамках классической теории возмущений. Это задачи в областях, одно или несколько измерений которых малы по сравнению с характерным геометрическим параметром; задачи, операторы которых содержат малый параметр при старших производных. Оператор предельной краевой задачи или поверхность, на которой поставлены краевые условия, имеют здесь размерности, меньшие по отношению к исходным. Нерегулярные возмущения возникают в теории осреднения композиционных материалов (в силу "быстрой осцилляции" упругих параметров), при сглаживании особенностей границы области и т.д. Обсуждение понятий сингулярное возмущение и предельная краевая задача можно найти в статьях [127] К.шридрихса, [&] В.М.Бабича и В.С.Булдырева и других работах (например, монографиях, указанных ниже в обзоре). Естественными малыми параметрами в конкретных ситуациях могут служить: относительная толщина пластинки или оболочки, отношение упругих постоянных, показатель моментности, размер ячейки, длина волны и т.п. Равномерные по параметру асимптотические разложения отыскиваются уже не в одном, а в нескольких итерационных процессах, так что коэффициенты этих рядов конструируются из решений нескольких предельных краевых задач.
Строгие математические исследования сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач начаты :/1.Й.Вишиком и Д.А.Люс-терником в работе [іб], где описаны алгоритмы построения равномерных асимптотик задач для гладких областей, операторы при этом содержат малый параметр при старших производных. В обзоре [121] В.А.Треногина приведена обширная библиограпмя по развитию и применению этого метода к задачам математической физики.
Большое распространение в приложениях получили методы составных и сращиваемых асимптотических разло-кений. Отметим здесь известные монографии [14] М.Ван-Дайка, [83] А.Х.Найфэ, [55] Дж.Коула, [97] Ф.Олвера и [142] В.Эксхауза. В значительной степени эта теория развита [31, 67, Iioj A.M.Ильиным и его учениками.
Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругой плоскости с тонким вырезом
Механика разрушения берет свое начало от фундаментальных работ [ЗБ8, 159] А.А.Гриффитса, в которых заложены основы большинства известных к настоящему времени концепций линейной теории. Исследование напряженно-деформированного состояния упругого тела, ослабленного тонкими полостями произвольной геометрии, даже в плоском случае сопряжено с известными математическими трудностями. А.А.Гриффитс представлял реальную трещину тонким вырезом эллиптической формы, когда отношение полуосей последнего является малым параметром. Положение об увеличении поверхностной энергии при образовании в сплошном упругом теле трещины-разреза легло в основу энергетического критерия разрушения. Выводы А.А.Гриффитса подтвердились в многочисленных экспериментах, его теория успешно применяется в теоретических исследованиях и в инженерной практике.
Дальнейшим развитием идей А.А.Гриффитса явилась разработка новых моделей трещин и новых критериев разрушения. Широкое распространение получило представление трещин в упругом теле математическими разрезами. Применение методов теории функций комплексной переменной, интегральных уравнений и интегральных преобразований позволило эффективно строить для таких областей аналитические решения задач теории упругости. Отметим здесь известные книги[ 72, 98, 102, III, 112, 129]. Важнейшей характеристикой напряженно-деформированного состояния при этом подходе служит коэффициент интенсивности напряжений, условие достижения которым критического значения критерий [164] Г.Ирвина определяет величину предельной нагрузки. Считается, что развитие трещины начинается в малой окрестности ее края по площадкам, на которых главное растягивающее напряжение принимает наибольшее значение. Другой метод состоит в использовании условия максимума плотности упругой энергии Г180]. Основные трудности исследования напряженного состояния и вычисления разрушающих нагрузок в рамках модели трещина-разрез вызваны наличием в компонентах тензора напряжений корневой особенности на ребре разреза. Выли предложены уточненные варианты такой модели [9, 60J, учитывающие действие вблизи края трещины сил "сцепления", компенсирующих особенности напряжений. Подход, включающий учет неупругого поведения материала вблизи вершины трещины, развит в [177, I3IJ. В работе Г 26І на основе вариационного метода рассматриваются задачи о трещинах, когда их берега сцеплены или проскальзывают. Элементы асимптотического подхода содержатся в книге L129J, работе [ 25] и других.
Несмотря на то, что существует много методик определения разрушающих нагрузок и решено большое число задач, вопрос о наилучшем соответствии результатов расчета при использовании различных моделей трещины остается открытым (см. работы [61, 76j], где проведен анализ разрушающих нагрузок и направлений развития трещины на моделях тонкого эллипса и разреза . Другие тому примеры - необходимость [ 146-148] более точного исследования напряженного состояния в окрестности вершины трещины при двухосном нагружении и при изучении явления [ 15] ветвления трещин.
Рассмотрим упругое пространство, растягиваемое на бесконечности усилиями Н и содержащее тонкую полость, которая в пределе стягивается к математическому разрезу по ограниченной гладкой двумерной поверхности П . Зададим на границе полости условие отсутствия напряжений и попытаемся найти приближенное решение задачи теории упругости во внешности полости. Для этого перенесем граничные условия на берега разреза и представим искомое решение в виде суперпозиции поля, порожденного в однородном пространстве усилиями Н и поля, отвечающего приложению к берегами нагрузок "(-» . Известно, что решение последней задачи существует и единственно в классе функций, исчезающих на бесконечности. Это решение вдали от кромок вносит малую невязку в условия на границе полости, однако на ребре разреза имеет в напряжениях корневую особенность. Такая ситуация является типичной в теории эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. В малой окрестности кромок полости решение указанной предельной задачи оказывается неприменимым. В этой области возникает "пограничный слой" - убывающее на бесконечности решение другой предельной задачи теории упругости (в области, где характерные размеры кромок и линейный параметр поверхности ГІ соизмеримы), при этом в главном оба они совпадают в некоторой трубке, охватывающей ребро разреза. С точки зрения механики разрушения важным является исследование именно решения пограничного слоя, поскольку оно верно описывает напряженно-деформированное состояние в непосредственной близости у кромок трещины - зоне наибольшей концентрации напряжений. Отметим, что обычный силовой критерий оценки предельной нагрузки ( по максимуму главного растягивающего напряжения) здесь "не работает". Действительно, стягивая полость к разрезу г! , получаем падение ( 4 до нуля, что не согласуется с расчетом по энергии. Работы [73, 75J Н.Ш.Морозова показали, что в таких ситуациях эффективно может быть применен критерий [ 96J, предложенный В.В.Ново-жиловым.
Построение диаграмм разрушающих нагрузок для двухосного напряженного состояния
Действие нагрузок вдоль линии трещины. Рассмотрим сначала один важный частный случай двухосного нагружения плоскости с трещиной-тонким вырезом. Именно, пусть составляющая(JC действующих на бесконечности усилий направлена вдоль оси Ux и пропорциональна обратной величине параметра О . Контур выреза, как и в 3 свободен от напряжений. (Рис. 4у.
Из (2.7) следует, что в первом приближении (и---/) - это задача о продольном растяжении плоскости с разрезом. Она имеет простое решение Граничные условия для следующего приближения, это вытекает из .(2.8), принимают вид: Сохраним предположения 3 о геометрии кромок выреза. Плотности в Формулах (2.ІЗ) даются соотношениями: Интегралы в выражениях (2.12), (2.13) существуют в смысле главного значения. В самом деле, в силу (2.4) ( X =-//2) и принятых в пункте I 2 ограничений на гладкость функций і (я) , решение 2.12 не дает на кромках логарифмических [їв] особенностей так как в первых интегралах (2.13) эти особенности взаимно компенсируются, а для плотности - ( у выполнено Компоненты тензора напряжений теперь могут быть найдены из (2.12) по формулам Гво] Г.В.Колосова - Н.И.Мусхелишвили. Построю,! теперь в окрестности правой кромки выреза решение пограничного слоя. После замены переменных уравнение границы выреза, как это вытекает из (2.15), переписывается в виде Р-±\ЙГ+ 0( г) Из (2.1б), (2.Г?) следует, что первые два приближения есть однородные упругие решения во внешности параболы ЇЇ етДм интегралов типа Кожи [Зі] получаем выражения для комплексных потенциалов первого приближения: Используя вид (З.б) однородного решения для внешности параболы и асимптотику при I !"" О. второго члена (2.12) основного разложения (2.4), находим потенциалы второго приближения: где постоянная L определяется из условия [83 J согласования (4.4) с решением (2.12") в Д - окрестности Еершины Еыреза. Имеем: Поскольку граничные условия (4.2) имеют на кромках выреза особенности, то решение (2.12) с плотностями (4.з)не будет, вообще говоря, единственным. Устраним эту неединственность вве дением в разложение (2.4) собственных функций оператора QC В области , отвечающих нулевому собственному числу. Вы делим из этого набора однородное решение, имеющее на кромках выреза особенности . Это позволит скомпенсировать невязку, возникающую в граничных условиях (2.3) от функций (4.3). Тагами свойствами обладает решение задачи о расклинивании плоскости с разрезом двумя равными по величине и противоположно направленными сосредоточенными силами, приложенными на некотором расстоянии $ 0 от кромки выреза. Комплексные потенциалы могут быть представлены L 98 J формулами: функция М.В.Келдыша - Л.И.Седова принимает вид: Отвечающие (4.б) компоненты тензора напряжений вычисляются по формулам [80J Д.Вестергарда. Построение пограничного слоя в окрестности кромки (-Й)О) проводятся аналогично. Равномерная по параметру О асимптотика решения задачи конструируется, как показано в 2, из решений (4.і), (2.12) (с учетом (4.3) , (4.3), (4.4) и (4,б)) при помощи срезающей функции. При этом справедлива оценка невязки: Так как основное разложение и решение пограничного слоя (это было уже отмечено в предыдущем параграфе) в области f4 а совпадают в каждом приближении с точностью то будем, как и в 3, пользоваться первым в Q - окрестности кромок, а последним - в круге Г"0Г Є . Оценка невязки будет Ode). 2. Диаграммы разрушающих нагрузок. В главном (по ) напряженное состояние во внешности тонкого выреза совпадает вдали от кромок с полем равномерного растяжения сжатия нагрузками ц/ плоскости без дефекта, а в окрестности кромок оно представляется линейной суперпозицией решений (4.3) и (4.4) пограничного слоя при этом существенно, что напряжения всюду млеют порядок \J\" ) , поэтому для оценки прочности плоскости с тонким отверстием и определения направления его развития достаточно изучить характер распределения напряжений вблизи кромок. В рамках теории нормального отрыва это означает, что на контуре требуется найти площадки, по которым действуют наибольшие растягивающие напряжения и применить затем соответствующий критерий разрушения. Отобразим внешность параболы У) = -ф на нижнюю полуплос кость при помощи гоункции и найдем из формул Г.В.Колосова - Н.И.Мусхелишвили по комплексным потенциалам (4.3) и (4.4) компоненты тензора напряжений. На контуре выреза получим.
Тонкая тороидальная полость в полубесконечном упругом теле
Расчет разрушающих нагрузок и определение направления развития трещин в трехмерных упругих телах. Наиболее универсальным в настоящее время является метод, основанный на идее [І58І А.А.Гриффитса, энергетического рассмотрения явления разрушения. Эта концепция была обобщена [I7IJ Ё.О.Орованом на случай квазихрупких тел.
Энергетический критерий сформулировали также [ 71J Е.М.Морозов - для идеально упругопластических материалов и [131J Г.П.Черепанов - для сплошной среды с произвольней законом связи напряжений и деформаций. Эти критерии хрупкого разрушения и модель практически применимы в случаях, когда напряженное состояние тела симметрично относительно плоскости расположения трещины-разреза.
Задачи о хрупком разрушении упругих пространственных тел с плоскими трещинами при сложном напряженном состоянии решались в [l67, 174 J - на основе применения критерия ІІ59І А.А.Гриффитса, а в [б J - при помощи критерия fІ64І Г.Р.Ирвина. Направление развития трещины определялось из условия максимума плотности упругой энергии и в рамках теории нормального отрыва, соответственно.
Другой подход состоит в представлении реальной трещины полостью, один или несколько измерений которой малы по сравнению с ее характерным геометрическим размером. Исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности и на границе полости проводится, как правило, для случая, когда последняя является поверхностью эллипсоида (см., например, [58]). Другой путь - использование [50 ] предельного перехода к бесконечно тонкому разрезу при выводе интегральных уравнений и последующий их анализ. Вопросы хрупкого разрушения пространства с эллипсоидальной полостью когда одна из полуосей много меньше двух других изучались на основе метода [134]дж.Эшелби, в работах [l69, 170, 1723 . Условием распространения трещины считалось достижение наибольшими растягивающими напряжениями на поверхности полости некоторой критической величины, принимаемой за постоянную материала.
Известно [II2J, что применение энергетического критерия при изучении хрупкого разрушения упругого тела, ослабленного трещинами достаточно произвольной геометрии, наталкивается на серьезные трудности вычислительного плана (в выражения для разрушающей нагрузки, например, для простейшего случая - плоского в плане эллиптического разреза - уже входят специальные функции и интегралы). Критерий Г.Р.Ирвина хорошо работает, корда напряженное состояние вблизи ребра трещины-разреза полностью характеризуется одним из коэффициентов Кі интенсивности. В противном случае критериальное соотношение становится функцией всехБИД ее мжно определить, по-видимому, только из экспериментов. Наконец, при расчете разрушающей нагрузки для тонкой полости по обычному силовому критерию (наибольшие растягивающие напряжения на контуре равны постоянной материала) для получения корректных результатов необходимо специальным образом связывать эту константу с малым параметром относительной "толщины" полости. 3 данном параграфе разрушающая нагрузка для бесконечного упругого тела, содержащего трещины, отыскивается по критерию 9б"] В.В.Новожилова с использованием асимптотических представлений 1 и 2 точных решений для тонких полостей. Направление развития трещины определяется в рамках теории нормального отры-ва.
Тонкая дискообразная полость. Из результатов 1 главы ясно,, что наибольшие напряжения возникают в окрестностях кромки полости. Поэтому особый интерес представляет изучение структуры и экстремальных свойств решения пограничного слоя.
Из формул (1.7) и (1.8) следует, что компоненты тензора напряжений в окрестности кромки полости в полярной системе ко-ординат с центром в фокусе параболы могут быть, представлены формулами:
Структура напряженно-деформированного состояния и интегральные характеристики упругих тел с тонкими включениями
Влияние и дальние поля смещений, напряжений и деформаций. Результаты I, 2 показывают, что применение метода/ 64J к исследованш напряженно-деформированного состояния упругой матрицы, содержащей тонкие армирующие элементы, позволяет получить удобные для непосредственного анализа асимптотические представления точных решений при достаточно общих предположениях о геометрии волокнообразных включений.
В малой окрестности элемента Г ближнее поле, пограничный слой ) напряженно-деформированное состояние с известной точностью описывается линейной суперпозицией решений плоских задач теории упругости и антиплоского сдвига в области, внешней по отношению к поперечному сечению волокна. Это обстоятельство дает возможность сравнительно просто исследовать вопрос о концентрации напряжений в области контакта последнего с матрицей; при этом решение строится в квадратурах, если известно конформное отображение сечения на каноническую область. В случае незамкнутого элемента ситуация осложняется тем, что напряженно-деформированное состояние вблизи его концов существенно трехмерно, поэтому для получения равномерной точки асимптотики конструируются дополнительные пограничные слои.
При изучении поведения упругих решений вдали от включений дальнее поле действие последних на матрицу можно представить распределенными по некоторой предельной кривой отрезку или двумерной поверхности сосредоточенными силами с некоторой специальным образом подобранной плотностью. Этот факт имеет принципиальное значение в механике композиционных материалов. Важнейшую роль здесь играют интегральные характеристики, являющиеся аналогами применяемых в электростатике емкости и поляризации Гюб/.
Асимптотики тензоров упругой и поляризационной емкостей. Эти характеристики служат мерой потенциальной энергии упругой де формации и могут быть получены из решения упругой задачи Робена [59, 62J. В монографии [62 J они найдены для включений эллипсои дальной формы. . Рассмотрим поля смещений и Х }б \y AzjAhJ а также решения у и Z задачи (2. і) - (г.з) в отсутствии масс о ВЕК сил при Х , соответственно. Тензоры энергии, являются коэффициентами квадратичной формы и главного момента контактных усилий, приведенных к началу координат. . ,., —уи Обозначим через р (С/у и 1 ((f) отвечающие / и . плотности. Окружим включением -Llg шаром Р диаметра Р и применим в области оЦДА к полю смещений Є А + в ЮС и решению задачи Робена теорему взаимности Бетти. Переходя к пределу при V О , находим здесь і - характерный линейный размер волокна. 3. Примеры. В рассматриваемых в 1,2 случаях интегральные уравнения относительно неизвестной плотности ft и /С" сосредоточенных на г\ сил решаются явно. Приведем конкретные результаты расчетов.
