Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая постановка упругопластических задач. Алгоритм решения . 14
1.1. Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории упругопластического тела . 14
1.2. Определяющие соотношения теории идеальной пластичности. Линеаризированные соотношения. 16
1.3. Граничные условия и условия сопряжения на границе раздела упругой и пластических областей. Линеаризированные соотношения. 17
1.4. Функция нагружения идеально пластического тела. Линеаризированные соотношения. 18
1.5. Плоское деформированное состояние, случай идеальной пластичности. Линеаризированные соотношения . 19
1.6. Алгоритм для определения решения упругопластической задачи. 22
1.7. Обсуждение результатов. 25
Глава 2. Решение упругопластических задач одного класса с включениями . 26
2.1. Упругопластическое состояние толстой плиты с круговым отверстием, заполненным с натягом круглым включением - цилиндром. 26
2.2. Двухосное растяжение толстой плиты, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным с натягом упругим включением - цилиндром по форме соответствующим отверстию в плите . 30
2.3. Двухосное растяжение толстой плиты с эллиптическим отверстием, заполненным с натягом эллиптическим цилиндром - включением. 47
2.4. Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругопластическим включением в виде цилиндра, внутренний и внешний контура которого близки по форме к правильному многоугольнику . 62
2.5. Обсуждение полученных результатов. 90
Заключение 93
Литература 95
- Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории упругопластического тела
- Плоское деформированное состояние, случай идеальной пластичности. Линеаризированные соотношения
- Двухосное растяжение толстой плиты, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным с натягом упругим включением - цилиндром по форме соответствующим отверстию в плите
- Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругопластическим включением в виде цилиндра, внутренний и внешний контура которого близки по форме к правильному многоугольнику
Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории упругопластического тела
В современной инженерии нередко используются предварительно - напряженные технологии, в частности, постановка крепежных деталей с натягом в корпуса летательных аппаратов, холодная обработка пластинчатых конструкций, предварительный натяг в резервуарах высокого давления и многие другие. В связи с этим большое значение представляет расчет напряженного и деформированного состояний в пластинах с запрессованными элементами различной конфигурации. Этот вопрос в научном плане тесно связан с наиболее сложным и недостаточно изученным разделом математической теории пластичности - неодномерной упругопластической задачей. Сложность состоит в том, что необходимо в ходе решения задачи определить заранее неизвестный вид границы раздела упругой и пластических областей.
Основные методы решения упругопластических задач условно можно разделить на аналитические и вариационно-разностные.
Аналитические методы решения упругопластических задач связаны с применением методов теории комплексного переменного и асимптотических методов, включающих методы разложения по большим или малым значениям некоторого параметра. Из вариационно-разностных методов наибольшее применение к решению упругопластических задач в последнее время находит метод конечных элементов.
Многие задачи, с которыми сегодня сталкиваются математики, физики, инженеры не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих поиск точного решения, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известной или неизвестной границах сложной формы. В этой ситуации исследователь вынужден пользоваться различного рода приближениями и здесь наиболее целесообразно пользоваться приближенными аналитическими подходами. Одним из таких подходов является метод малого параметра или метод возмущений, позволяющий находить решение близкое к уже известному точному. При этом возмущению можно подвергать как форму тела, так и граничные условия.
Математическое обоснование метода возмущений и конкретные результаты приведены в монографиях Б.Д. Анина и Г.П. Черепанова [7], М. Ван-Дайка [25], А.Н. Гузя и Ю.Н. Немиша [38], Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [67], Д. Коула [88], Я.Ф. Каюка [77], В.А. Ломакина [95], А. Найфэ [106], И.В. Свир-ского [123], А.Н. Спорыхина [132], А.Н. Спорыхина и А.И. Сумина [133] и др. Этим вопросам посвящены обзорные статьи в следующих работах [37, 87, 89, 145].
Метод возмущений нашел широкое применение в различных разделах механики, физики, математики, а именно таких, как небесная механика, теория колебаний, устойчивость движения. Относительно недавно этот метод стал использоваться для решения краевых задач деформируемых тел со сложными физико-механическими свойствами. Начало его применения положили работы Пуанкаре [119], посвященные задаче о трех телах в небесной механике. В теории устойчивости трехмерных деформируемых тел метод возмущений, впервые примененный в этой области Саусвелом, затрагивался в работах А. Н. Спорыхина, А. Н. Гузя, М. Т. Алимжанова [1, 2, 39, 128-131, 132]. Следует отметить монографии Ван Дайка, посвященные применению метода возмущений в гидро- и газодинамике [25]. А. П. Соколов, решив задачу в первом приближении о двухосном растяжении тонкой пластины с круглым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана, первым применил метод малого параметра для решения упругопластических задач [126]. Важное значение в этой области имеет монография Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [67], посвященная методу возмущений применительно к решению статических упругопластических задач.
Помимо линеаризации нелинейных уравнений теории пластичности, входящих в математическую модель рассматриваемого процесса, метод малого параметра позволяет учитывать сложную геометрию области течения, влияние неидеальных свойств материала и другие факторы. Определение напряжений и деформаций в пластинах с некруговыми отверстиями было проведено в следующих работах [72, 86, 92, 136, 163]. В работах [3, 19, 42-45, 68, 102, 137-139, 155, 158-162] приведены примеры решения задач с пластической неоднородностью и анизотропией. Помимо вышеуказанного, малый параметр, характеризующий геометрию тела, использовался при изучении образования шейки в образцах [109, 124], правки листов [41], кручения валов различной поперечной формы [96, 111]. Отметим, что Т. Д. Семыкиной [125] решена задача о трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферическим отверстием. Дано первое приближение. Решения некоторых упругопла-стических задач, полученных методом малого параметра, изложены в монографии Г. Н. Савина [120].
Для метода возмущений, как для приближенного аналитического метода, важное место имеет вопрос о сходимости приближений. В связи с этим Ван-Дайк отмечал в работе [25]. «Можно вычислить только несколько членов возмущенного разложения, обычно не больше, чем два или три, и почти никогда не больше, чем семь. Получающиеся ряды часто медленно сходятся или даже расходятся. Тем не менее, эти несколько членов содержат значительную информацию, из которой исследователь должен извлечь все, что возможно». История применения метода показала, что эти два - три приближения во многих случаях определяют решение задачи, пригодное для практики. Сходимость метода была исследована Ивлевым на основе двух примеров, имеющих точные решения. Точное решение задачи о растяжении пластины с круглым отверстием дано Л. А. Галиным [35] для случая плоской деформации и Г. П. Черепановым [146] - для случая плосконапряженного состояния. Д.Д. Ивлевым [67] было проведено разложение точных решений по малому параметру, представляющему собой разность между растягивающими усилиями, и их сравнение с решениями, полученными методом малого параметра.
Плоское деформированное состояние, случай идеальной пластичности. Линеаризированные соотношения
Рассмотрим один из вариантов построения приближенного решения для задачи теории упругопластического тела. Ограничимся первым приближением. После линеаризации системы уравнений (1.1.1.) - (1.1.9.) в случае упруго-пластического включения возможна следующая последовательность действий.
Исходя из заданных при постановке задачи граничных условий на бесконечности (1.1.7.) определяются граничные условия для упругой зоны плиты. На границе раздела упругой и пластических областей используются условия сопряжения решений на этой границе (1.1.9.). Причем, следуя [67], условия сопряжения в любом приближении сносятся с искомой упругопластической границы на невозмущенную, являющуюся окружностью.
Определяются решения в упругой зоне плиты [20]. 3. Полученные решения для напряжений и перемещений в упругой зоне используются в условиях сопряжения на границе раздела упругой и пластической зон плиты (1.1.9.). 4. Пластические напряжения определяются в соответствии с соотношенем (1.5.8.). 5. Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.5.12.) совместно с выражениями (1.5.10.) определяет вид пластических перемещений в плите. 6. Из условия сопряжения для напряжений на линии раздела упругой и пластических областей находятся слагаемые, входящие в уравнение упругопластической границы для плиты. 7. Граничные условия для упругой области включения определяются условиями на границе контакта плиты и включения, вид которых будет приводиться при решении конкретных задач. Подобно плите, во включении на границе раздела упругой и пластических зон используются условия сопряжения решений на этой границе (1.1.9.). Причем, следуя [67], условия сопряжения в любом приближении сносятся с искомой упругопластической границы на невозмущеннуго, являющуюся окружностью. 8. Согласно [20], определяются решения в упругой зоне включения. 9. Полученное упругое решение используется в условиях сопряжения на границе раздела упругой и пластических зон включения (1.1.9.) и определяет граничные условия для пластической зоны включения. 10. Для нахождения напряжений в пластической области включения используются соотношения (1.5.8.) при соответствующих граничных условиях. 11. Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.5.12.), правая часть которого зависит от компонент пластических напряжений текущего приближения, с учетом выражений (1.5.10.) определяет пластические перемещения во включении. 12. Граничные условия на внутреннем контуре включения используются для определения вида всех оставшихся после выполнения пунктов 1-11 неизвестных констант. 13. Из условия сопряжения для напряжений текущего приближения на линии раздела упругой и пластических областей включения находятся слагаемые, входящие в уравнение упругопластической границы для цилиндрического включения. В случае упругого включения алгоритм расчета полей напряжений и перемещений совпадает с алгоритмом Ивлева - Ершова. 1. Напряжения и перемещения для плиты определяются аналогично предыдущему случаю, т.е. по пунктам 1-6, рассмотренным выше. 2. Решение в упругом включении находится, следуя [20], с учетом граничных условий на внутреннем контуре включения. 3. На границе контакта включения и плиты производится совместное определение всех неизвестных констант. 4. Слагаемые, входящие в уравнение упругопластической границы, вычисляются из условий сопряжения для напряжений на линии раздела упругой и пластических областей плиты. Разложение по малому параметру уравнений (1.1.1.)-(1.1.9.), описывающих поведение упругопластического тела, приводит к дифференциальным уравнениям (1.5.6.) и (1.5.12.) относительно компонент напряжений и перемещений соответственно. Приведены их решения и полученные с их помощью выражения для компонент напряжений и перемещений для первого приближения, которые представлены формулами (1.5.8.) и (1.5.13.). Показано, что в пространстве главных напряжений соотношения (1.4.4.) определяют вектор нормали к плоскости, которую описывает линеаризированная функция нагружения. Ввиду того, что уравнения для определения перемещений (1.5.12.) зависят от компонент тензора пластических напряжений, то для их разрешения необходимо привлечь алгоритм, предложенный в п. 1.6. Основные результаты, полученные в первой главе, сводятся к следующему. 1. Приведены (согласно [67]) линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности. 2. Построен алгоритм для определения решения упругопластических задач. 3. Выяснен тип получающихся уравнений для случая плоской деформации. 4. Даны формулы, определяющие напряжения и перемещения в пластической области идеально пластического тела. Следует отметить, что известный метод упругих решений [70] позволяет свести решение упругопластической задачи в рамках деформационной теории к решению задач упругости. Метод разложения по параметру нагружения [78] также сводит задачи теории течения к последовательному решению менее сложных задач теории течения.
Двухосное растяжение толстой плиты, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным с натягом упругим включением - цилиндром по форме соответствующим отверстию в плите
Рассматривается задача о двухосном растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, Е в которое вставлен упругопластический цилиндр __ -включение, внутренний и внешний контура . которого близки по форме к правильному многоугольнику (рис. 13). Количество «сглаженных» углов в контуре, который ограничивает отверстие в плите и, соответственно, внешнюю границу включения, обозначается через т. Внутренний контур включения представляется «сглаженным» п - угольником. Отметим, что если положить т=2, то отверстие в плите и внешний контур включения будут иметь форму эллипса. При п=2 внутреннее отверстие включения примет эллиптическую форму. В случае т=2 и п=2 приходим к задаче рассмотренной в п. 2.3. Аналогично предыдущим задачам из п. 2.2. и 2.3., плита на бесконечности подвергается растяжению ортогональными усилиями с интенсивностями Pi и Рг. Внутренний контур включения нагружен нормальным давлением Р0. Решение проводим для идеальной пластичности в цилиндрической системе координат p,9,z, введенной аналогично приведенному выше. Подобно решенным задачам применяем безразмерный вид величин (напряжения отнесены к к пределу текучести на сдвиг материала плиты, перемещения отнесены к радиусу упругопластической границы rsog во включении при невозмущенном состоянии). Рассматриваем случай плоской деформации. Предполагаем, что пластическая зона полностью охватывает контур отверстия в плите, а также пластическая зона во включении полностью охватывает внутреннее отверстие в нем. За нулевое приближение, учитывая упругопластическое включение, выбираем второй вариант постановки задачи из п. 2.1. Малый параметр представляется выражением: где d3- безразмерная постоянная.
Для описания формы контура отверстия в плите и контуров включения воспользуемся формулой (2.2.6.), полученной линеаризацией уравнения укороченной гипоциклоиды. Учитывая формулу (2.2.6.), выпишем: уравнение контура, ограничивающего включение до деформации р = a, (l + 6d,cosm8-...), (2.4.1.) уравнение контура, ограничивающего отверстие в плите до деформации p = a(l + 6d,cosme-...), (2.4.2.) уравнение контура, ограничивающего внутреннее отверстие во включении до деформации p = p(l + 5d2cosn9-...), (2.4.3.) где оц a; a, a,, р - радиусы в нулевом приближении соответственно отверстия в плите, внешности включения и внутреннего отверстия во включении (см. п. 2.1.); d,,d2- безразмерные константы; 5- малый параметр; тип -количество «сглаженных» углов в соответствующих контурах. Малый параметр 5 характеризует отклонение контура от окружности и возмущение статических граничных условий. За линию контакта плиты и включения, как и ранее, примем внешнюю границу включения, которая представляется в виде:
Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругопластическим включением в виде цилиндра, внутренний и внешний контура которого близки по форме к правильному многоугольнику
Во второй главе представленной диссертации проведено исследование следующих задач: а). Задача о растяжении толстой плиты с отверстием по форме близким к многоугольному, в которое с натягом вставлено упругое цилиндрическое включение, внешние и внутренние очертания которого близки по форме к правильному многоугольнику. б). Задача о растяжении толстой плиты с эллиптическим отверстием, содержащим с натягом эллиптическое упругопластическое включение - цилиндр. в). Задача о растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к многоугольному, в которое с натягом вставлено упругопластическое включение в виде цилиндра, внешний и внутренний контура которого близки по форме к правильному многоугольнику. Исследования проводились в рамках идеальной пластичности. В качестве функции нагружения выбиралась функция пластичности Мизеса. Рассматривался случай плоской деформации.
Задачи решались методом малого параметра, в качестве «нулевого» приближения при этом выбиралось осесимметричное состояние пластины с круговым отверстием, в которое запрессовано круговое цилиндрическое включение. Материал включения для первой задачи принимался упругим, для остальных задач - упругопластическим. Решение задачи а) проводилось по схеме Ивлева - Ершова, а решение задач б), в) проводилось по алгоритму, предложенному в первой главе (п. 1.6).
В процессе решения задач предполагалось, что пластическая зона полностью охватывает контур отверстия в плите, а также во включении, если оно имеет пластическую зону (задачи б) и в)). Процесс нагружения считался активным.
Во всех трех задачах определено два приближения: нулевое и первое. Найдены поля перемещений и напряжений, построены соответствующие графики. Определена зависимость радиуса упругопластической границы от угла G. Выявлено влияние на нее распределения внешних нагрузок, а также возмущение имеющихся контуров в плите и во включении.
Анализ полученных выражений для напряжений и перемещений, как и выражения для радиусов пластических границ для всех рассмотренных задач, показывает присутствие слагаемых, отвечающих за распределение внешних нагрузок, форму отверстия в плите и внешней границы включения, а также форму внутреннего отверстия во включении. Также в соотношениях для перемещений присутствуют члены, содержащие физические параметры среды. Сказанное выше говорит о взаимосвязанном влиянии плиты на включение и включения на плиту, т.е. условно данную ситуацию можно назвать влияние «все на все».
Численный анализ, проведенный согласно выведенным формулам для полей напряжений, перемещений и радиусов упругопластических границ для рассмотренного класса задач (а, б, в) и представленный на рисунках (5, 6, 7,4, . 9-12, 14-17), позволяет сделать следующие выводы.
Существенное влияние на форму упругопластической границы в плите оказывается при возмущении внешнего контура включения. Возмущение внутреннего контура оказывает несущественное влияние на упругопластиче-скую границу. Однако, в случае эллиптического внутреннего отверстия во включении (п=2), возмущение внутреннего контура включения ведет к более существенным воздействиям на пластическую область плиты, чем возмущение внешнего (разность порядка d,8-l0).
Возмущение внутреннего контура во включении оказывает влияние на форму упругопластических границ как в плите, так и во включении (разница отклонений от невозмущенных обеих границ порядка d25). Возмущение внешнего контура включения и соответственно контура отверстия в плите оказывает существенно большее влияние на пластическую зону в плите, чем во включении (разница порядка более d,5 10). Влияние на положение упругопластических границ в плите и во включении оказывает толщина стенок включения. Пластическая зона плиты сужается при этом к отверстию в плите, пластическая зона включения расширяется от внутреннего отверстия во включении (порядка d -10, где d- приращение толщины). Распределение внешних нагрузок во всех трех задачах существенно отражается на форме и положении пластических зон как в плите, так и во включении (задачи б) и в)). При этом направление распространения пластической зоны в плите согласуется с направлением развития пластической зоны в известных исследованиях [67, 79, 80]. В настоящей диссертационной работе проведено исследование напряженно - деформированного состояния пластинчатых конструкций с запрессованными включениями в рамках теории возмущений. Материал элементов представленных конструкций полагался идеально пластическим. Итоги проделанной работы сводятся к следующему: - показано, что использование метода малого параметра для упругопластиче-ских задач позволяет свести решение исходных нелинейных систем уравнений к последовательному решению линейных систем уравнений (за исключением нулевого); - предложен алгоритм решения рассмотренных плоских упругопластических задач, при этом в качестве нулевого приближения бралось осесиметричное состояние пластины с круговым отверстием, заполненным с натягом круговым цилиндрическим включением двух типов (упругим и упругопластиче-ским).
