Введение к работе
Актуальность. Неослабевающий интерес к механике связанных полей различной физической природы продиктован широким спектром практических приложений пьезоэлектрических устройств, работающих на прямом и обратном пиро- и пьезоэффектах. Сложился ряд самостоятельных направлений функциональной электроники, среди которых особое место принадлежит акустоэлектронике. Наиболее распространенные материалы, используемые в акустоэлектронике - пьезоэлектрики. Большинство современных пьезоэлементов, являющихся составной частью различных конструкций, создаются на основе слоистых структур. Разработка и использование слоистых пьезоэлементов позволяет значительно расширить выбор материалов и уменьшить стоимость таких устройств, сохраняя при этом эффективность их технических характеристик. В связи с изложенным выше, исследования колебаний пьезоактивной слоистой среды при различных условиях возбуждения, наличия систем поверхностных и внутренних электродов и учета связанности тепловых, электрических, механических полей, представляются весьма актуальными.
Целью настоящей работы является построение математических моделей,
описывающих колебания многослойных полуограниченных
термоэлектроупругих и электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов, с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и разработка методов их исследования.
Методика исследований базируется на классических положениях теории термоэлектроупругости и формулировке краевых задач. В ходе исследования использовались двухмерные и одномерные интегральные преобразования Фурье, общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории функций комплексного переменного. Предложенный О.Д. Пряхиной и А.В. Смирновой метод построения блочных матриц, являющихся Фурье-образами ядер систем
интегральных уравнений для слоистых упругих сред, и рекуррентная процедура представления их элементов в виде отношения целых функций, развит на случай краевых задач термоэлектроупругости. К решению полученных интегральных уравнений динамических смешанных задач применен метод фиктивного поглощения.
Научная новизна заключается в следующем: предложен эффективный аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с поверхностными и внутренними электродными покрытиями; построены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики пьезоактивных материалов с учетом связанности полей при любом сочетании электродов-включений и произвольном количестве слоев; получены рекуррентные формулы вычисления блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для слоистых пьезоэлектриков класса втт гексагональной сингонии; разработаны алгоритмы и программные средства, проведен численный анализ построенных решений для конкретных задач.
Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в медицине, измерительном приборостроении, акустоэлектронике, дефектоскопии, авиастроении и других областях. Полученные в ходе исследования результаты могут быть использованы при конструировании пьезоэлементов различной конфигурации (биморфов, триморфов), при создании материалов с заданными свойствами.
Работа выполнялась в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение №14.В37.21.0869 по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»); НИР КубГУ по заданию Минобрнауки по теме «Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий в области создания компонентной базы гигагерцового диапазона и пьезоэлектромеханических систем волнового
мониторинга композитных материалов» (№ 1.2737.2011 от 23.11.2011 г.). На практическую значимость исследований указывает также поддержка грантами РФФИ: «Механика связанных полей для слоистых пьезоэлектриков с многоэлектродными структурами» (№ 11-08-00135); «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники» (№ 09-01-96501_р_юг).
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием принципов классической механики и физики, адекватных моделей, строгих математических методов решения и контролем выполнения граничных условий. Также проводилось аналитическое и численное сравнение полученных результатов настоящего исследования с более простыми примерами, которые рассмотрены как в данной диссертационной работе, так и в известных работах других авторов.
На защиту выносятся:
-
Математические модели, описывающие динамические процессы в слоистых термоэлектроупругих и электроупругих средах с внутренними и поверхностными электродами-включениями и с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и методы их исследования.
-
Алгоритм построения матрично-функциональных соотношений и блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред при наличии внутренних электродных покрытий.
-
Рекуррентная процедура построения элементов матриц-символов Грина и их определителей для различных моделей слоистых сред с внутренними и поверхностными электродами.
-
Новые аналитические представления элементов матрицы Грина для биморфного и триморфного пьезоэлектриков в виде отношения целых функций.
-
Реализация метода фиктивного поглощения применительно к задачам электроупругости.
-
Алгоритмы и программы для исследования особенностей колебаний слоистых пьезоэлектрических сред с электродами-включениями.
-
Результаты численного анализа решений динамических задач о сдвиговых колебаниях биморфных и триморфных пьезоэлектриков, содержащих внутренние электроды.
Апробация работы. Основные результаты настоящих исследований обсуждены на следующих конференциях и семинарах: Международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (г. Одесса, 2008 г.); V, VI, VIII, IX Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2008, 2009, 2011, 2012 гг.); IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов ФКТиПМ «Прикладная математика XXI века» (г. Краснодар, 2009 г.); Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (г. Одесса, 2009 г.); XXIX Российской школе, посвященной 85-летию со дня рождения академика В.П. Макеева (г. Миасс, 2009 г.); IV Российской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009 г.); седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.); VII Международной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (г.Ереван, 2011 г.); конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011 г.); Международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте» (г. Одесса, 2011 и 2012 гг.). В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре кафедры интеллектуальных информационных систем Кубанского государственного университета.
Публикации. Результаты выполненных по теме диссертации исследований содержатся в 19 публикациях, в том числе в 2 статьях, которые
были опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
В представленных в журналах и сборниках работах О. Д. Пряхиной и А.В. Смирновой принадлежит постановка и выбор метода исследования. В совместной работе с Масловым Р.Г. ему принадлежит построение решения задачи для слоистой среды с трещиной. Автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред с электродными структурами, разработка рекуррентных процедур, позволяющих строить элементы блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, разработка алгоритмов численной реализации построенных решений конкретных задач, проведение вычислений и анализ полученных результатов.
Структура и объем работы.
