Содержание к диссертации
Введение
1 Колебания сред слоистой структуры с трещинами 15
1.1 Пакет слоев на жестком основании 15
1.2 Смешанные граничные условия для пакета слоев 18
1.3 Пакет слоев на полупространстве 19
1.4 Смешанные граничные условия для слоистого полупространства 20
1.5 Основные соотношения и уравнения линейной теории упругости 21
1.6 Переход к безразмерным параметрам для слоистой среды 30
1.7 Базовые функции и матрицы плоской задачи 32
2. Матрично-функциональные соотношения динамических задач для многослойных сред 36
2.1 Построение матрично-функциональных соотношений в случае идеального контакта между слоями 37
2.1.1 Один слой на жестком основании 37
2.1.2 Два слоя на жестком основании 39
2.1.3 N-слойный пакет на жестком основании 41
2.1.4 Слоистое полупространство 43
2.1.5 Пакет из N слоев со свободной нижней границей 45
2.1.6 Пакет из N слоев с источником гармонических колебаний на нижней грани пакета 46
2.1.7 Некоторые специальные задачи для пакета слоев 48
2.2 Построение матрично-функциональных соотношений в случае разрывных граничных условий 54
2.3 Построение детерминантов матриц-символов 62
2.4 Построение асимптотик матриц-символов ядер интегральных уравнений 70
3 Аналитическое представление элементов матриц- символов грина и их определителей 73
3.1 Случай идеального контакта между слоями 73
3.2 Случай разрывных граничных условий 91
4 Метод фиктивного поглощения в задачах о трещинах 96
4.1 Интегральные уравнения краевых задач для слоистых сред с трещинами 96
4.2 Общая схема метода фиктивного поглощения 98
4.2.1 Интегральное представление решения для одной трещины 103
4.2.2 Интегральное представление решения для системы трещин 106
4.3 Динамическая смешанная задача. 1 способ построения решения 109
4.3.1 Решение системы интегральных уравнений с убывающим ядром 110
4.3.2 Решение системы интегральных уравнений с растущим ядром 112
4.4 Динамическая смешанная задача. 2 способ построения решения 115
4.4.1 Решение задачи для среды с поглощением 115
4.4.2 Решение задачи для системы трещин 120
5. Особенности колебаний слоистых сред с трещинами 123
5.1 Построение дисперсионных кривых 123
5.2 Численный анализ решения интегральных уравнений плоской задачи 125
Заключение 127
- Смешанные граничные условия для пакета слоев
- Построение матрично-функциональных соотношений в случае разрывных граничных условий
- Случай идеального контакта между слоями
- Динамическая смешанная задача. 1 способ построения решения
Введение к работе
Исследования в области динамических смешанных задач теории упругости становятся все более востребованными в настоящее время при решении ряда актуальных практических задач. Среди областей приложения подобных исследований можно указать проблемы фундаментостроения, сейсмостойкого строительства, вибрационной сейсморазведки, использования невзрывных способов поиска полезных ископаемых, неразрушающего контроля состояния различных конструкций, механизмов и деталей машин.
Решению смешанных, в том числе контактных задач, которым посвящена существенная часть исследований в этой области, посвящены многочисленные работы, детальные обзоры которых содержатся в монографиях и статьях [1-3, 5, 11, 15, 32, 39, 61, 62, 109, 111]. Значительный вклад в исследование контактных задач внесли Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, В.А. Бабешко, , Н.М. Бородачев, И.И. Ворович, В.Г. Гринченко, В. Д. Купрадзе, М.Д. Мартыненко, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, Г.Я. Попов, В.М. Сеймов, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд и целый ряд других исследователей. Большая часть полученных результатов относится к статическим контактным задачам. Динамические контактные задачи и возникающие при этом интегральные уравнения изучались в работах В.М. Александрова [4, 10, 62] , В.А. Бабешко [12, 19, 21, 22, 24-26, 28, 32-34, 39-44,46], И.И. Воровича [61-63], В.Т. Гринченко [76], Е.В. Глушкова [39], а также в ряде работ А.О. Ватульяна, Н.В. Глушковой, В.В. Калинчука, В.Д. Купрадзе, О.Д. Пряхиной, В.М. Сеймова, М.Г. Селезнева, А.В. Смирновой, А.Ф. Улитко и других авторов. Причиной меньшей изученности смешанных задач динамической теории упругости является специфика ядер интегральных уравнений смешанных задач, заключающаяся в наличии сильно осциллирующих составляющих ядра, что вносит ряд осложнений в решение подобных задач.
Важнейшим направлением в исследованиях динамических смешанных задач теории упругости является математическое моделирование и последующее решение ряда задач, описывающих взаимодействие различных неоднородностей с упругой средой, причем среда может быть неоднородной, в частности, слоистой. К числу таких задач, например, относится изучение состояния литосферных плит, содержащих множественные трещины в виде разломов, в том числе параллельных, и другие неоднородности. Расположение дефектов и их размеры могут быть самыми разнообразными, а масштабные характеристики могут иметь большой разброс [137].
Настоящая работа посвящена проблемам, связанным с изучением задач теории упругости и математической физики для полуограниченных тел с разрезами и включениями, которые привлекают к себе пристальное внимание ученых в России и за рубежом. Активно развиваются методы изучения возникновения и развития дефектов в материалах. В связи с этим возникла необходимость изучения волновых полей, вызванных вибрацией берегов трещин, находящихся в теле.
Автором построены матрицы-символы Грина для полубесконечной слоистой среды, в которой все слои имеют параллельные границы и трещины расположены в плоскостях разделов слоев, изучены интегральные уравнения плоских динамических смешанных задач о колебаниях слоистой среды, вызванных вибрацией берегов одиночной трещины либо совокупности трещин конечных размеров и нулевой толщины, расположенных на границе раздела слоев.
Постановка и решение указанных задач явились следствием значительного прогресса, достигнутого в исследовании статических и динамических задач для тел, имеющих разрезы и включения. Решению статических и динамических задач теории упругости для упругих тел с
трещинами, в том числе и с конечными и полубесконечными разрезами, уделили внимание В.М. Александров [6-9], А.Е. Андрейкив [15], В.А. Бабешко [16, 17, 23, 27, 29, 35-38, 45, 46], Н. М. Бородачев [50], Ватульян А.О. [55-59], Глушков и Н.В. Глушкова [64-66], Р.В. Гольдштейн [13, 14, 67-71], А.А Гусенкова [78,79], СВ. Кузнецов [91], Н.Ф. Морозов [96], В.З. Партон [106-108], Г.Я. Попов [82, 115-117], Пряхина О.Д. и Смирнова А.В. [120-133], М.П. Саврук [136], Р.Л. Салганик [53, 54, 138], И.И. Слепян [139], В.В. Тихомиров [142-145], Е.И. Шифрин [140, 151, 152], Н.В. Фельдштейн [72], Л.А. Филыдтинский [74, 75], М.К. Kassir [162,163] и другие авторы. В монографиях [15, 104, 106-109] имеются достаточно полные обзоры работ по исследуемой тематике. Для решения двумерных краевых задач, изучаемых в этих работах, используется в основном метод интегральных преобразований, приводящий к сингулярным интегральным уравнениям, которые решаются численными способами, и метод функций комплексного переменного. Большое число работ, в том числе иностранных авторов, среди которых можно указать [155-157, 164, 171, 172, 177, 178], посвящено численному решению названных выше задач. Подобные задачи решались также полуаналитическими методами. В работах Г.В. Ткачева [46, 84, 146] регуляризация систем интегральных уравнений первого рода, к решению которых сводятся краевые задачи, производилась с помощью факторизации функций и матриц-функций, впервые примененной в известной работе Н. Винера и Е. Хопфа .
Математическое исследование динамических смешанных задач требует разработки методов решения порождаемых ими интегральных уравнений и систем уравнений. В этих исследованиях можно выделить два наиболее важных этапа: построение матриц-символов Грина интегральных уравнений и их систем и непосредственно решение этих уравнений.
К настоящему времени для построения матрицы-символа Грина разработаны как аналитические подходы (наиболее известный из них -метод матриц-пропагаторов или матричный метод [95, 157, 169, 174]), так и численные методы [94, 150, 154, 158, 159, 165, 167, 175], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач.
Основные трудности реализации этих методов обусловлены наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, приводящих к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большего порядка, и чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера. Для их преодоления разработан ряд приемов, которые приведены в [39, 64, 166, 168]. Например, в [39] был разработан метод построения матрицы Грина, устойчивость которого достигается выделением экспоненциальных составляющих и выносом их за рамки численного процесса.
В работе [63] предложен эффективный аналитический метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для многослойных сред в случае идеального контакта между слоями. Метод основан на специальном представлении решения для одного слоя и оказался применим для широкого класса краевых и начально-краевых задач. Преимуществом использования такого представления для каждого слоя является отсутствие в решении растущих экспоненциальных составляющих, что позволяет исследовать среды с произвольным количеством слоев, каждый из которых может обладать сложными физико-механическими свойствами.
В работах [45, 120, 122,127, 129] указанный метод обобщен для случая дефектов типа трещин или включений, расположенных на линиях раздела слоев (границах смены физико-механических параметров среды). При этом решение задачи для однородной полуограниченной среды (слой, полупространство, пространство), содержащей систему плоских, параллельно-ориентированных трещин-полостей или включений получается как частный случай, если принять физико-механические параметры слоев равными.
При решении задач для бесконечных и полубесконечных тел существенным моментом является определение условий на бесконечности. Установлению этих условий посвящены работы А.Зоммерфельда [173], В.А. Бабешко [21] и других авторов, в результате которых были строго математически сформулированы принципы предельного поглощения и предельной амплитуды для упругих тел. В настоящей работе используется принцип предельного поглощения.
Разработанная в настоящее время теория динамических смешанных задач в значительной мере опирается на методы, разработанные для решения статических задач, но присутствие осциллирующих составляющих ядер интегральных уравнений наряду с сохранением свойств сингулярности или других локальных особенностей затрудняет прямое применение к этим интегральным уравнениям методов, позволяющих успешно решать интегральные уравнения статических задач. Одним из подходов, позволяющих преодолеть затруднения, связанные с осцилляцией ядер, является метод факторизации, впервые использованный в работе Н. Винера и Е. Хопфа, подробно изложенный в работах Б. Нобла [102, 103] и развитый в работах [12, 20, 30, 31, 62]. Там же сформулированы условия однозначной разрешимости интегральных уравнений и их корректного вывода с использованием принципа предельного поглощения и принципа предельной амплитуды для упругих тел.Особенность метода факторизации состоит в переходе от определения самих искомых функций, определяющих напряжения или перемещения в областях контакта упругих тел или областях, занятых дефектами, вне штампа или дефекта, которые, как правило, в динамических задачах оказывается осциллирующими, к определению их Фурье-преобразований. В работах В. А. Бабешко [14, 31, 43, 44], О.Д. Пряхиной [41-44] реализован способ решения динамических задач, идея которого состоит в выделении осциллирующей составляющей решения, в то время как в качестве неизвестной остается неосциллирующая функция. Суть этого метода, названного методом фиктивного поглощения, состоит в таком преобразовании интегрального уравнения, чтобы исключить в представлении ядра осциллирующие члены, после чего получается интегральное уравнение для среды с поглощением. О преимуществах последнего подробно рассказано в [20]. Позднее этот метод в работах О. Д. Пряхиной получил дальнейшее развитие в применении к задачам электроупругости. Подобный подход позволяет использовать богатый арсенал методов решения смешанных статических задач для динамических, вместе с тем, являясь полуаналитическим, он устраняет недостатки прямых численных методов, позволяя вскрывать все особенности решений смешанных задач, а затем учитывать их в численных процедурах.
Дополнительной трудностью при решении интегральных уравнений, возникающих при моделировании среды, содержащей трещины, является то, что асимптотика ядер этих уравнений оказывается растущей на бесконечности. Это не позволяет сразу применить накопленный теоретический материал для решения контактных задач, в которых ядра соответствующих интегральных уравнений имеют убывающую на бесконечности асимптотику. В настоящей работе для преодоления этого затруднения используется предложенный в работе [23] метод сведения задач с растущими на бесконечности ядрами уравнений к уравнениям с убывающими ядрами за счет выноса дифференциального оператора определенного вида и постановки добавочных условий, которые ставятся из физических соображений, для устранения неопределенности в решении исходных уравнений. Целью настоящей работы является построение математических моделей и разработка методов исследования колебаний многослойных полуограниченных сред, содержащих неоднородности типа плоских трещин.
Научная новизна определяется тем, что в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина многослойных сред с трещинами; новый метод построения детерминантов этих матриц-функций; получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений; для ряда задач с условиями идеального контакта между слоями построены матрицы-символы Грина и аналитическое представление их компонент и детерминантов; построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред; развит метод фиктивного поглощения для одномерных интегральных уравнений типа свертки с растущими ядрами, заданных на системе отрезков; для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей.
Актуальность работы состоит в том, что проблемы, связанные с изучением динамических смешанных задач теории упругости и математической физики для полуограниченных тел с дефектами-трещинами традиционно привлекают к себе пристальное внимание ученых не только в России, но и за рубежом. Активно развиваются методы изучения возникновения и развития дефектов в материалах. В связи с этим возникла необходимость изучения волновых полей, вызванных вибрацией берегов разрезов, имеющихся в теле.
Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях науки и техники: фундаментостроении, сейсмологии, дефектоскопии и других. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений. Работа содержит 160 страниц, в том числе 18 страниц списка использованной литературы и 15 страниц приложений. Список использованной литературы включает 178 наименований.
Смешанные граничные условия для пакета слоев
В работе рассматривается случай установившихся колебаний, поэтому краевые условия и уравнения записываются в амплитудных параметрах, а общий множитель ё т в силу линейности изучаемых задач опущен. В изучаемой задаче на поверхности пакета в области контакта со штампами задаются смещения, на остальной части поверхности ставится условие отсутствия напряжений. На стыках слоев в областях, занятых трещинами, считаются заданными напряжения и ставится условие равенства этих напряжений на противоположных берегах разрезов, на остальной части плоскости раздела слоев ставятся условия идеального контакта - равенство смещений и контактных напряжений. На нижней границе пакета ставится условие отсутствия смещений. Математическая запись этих условий имеет вид Рассмотрим задачу о колебаниях пакета слоев на полупространстве. От рассмотренной ранее задачи для пакета слоев на жестком основании, данная задача отличается тем, что последний, ЛГ-й слой конечной толщины, заменяется полупространством. При этом -co z 0, -oo jc,,y +оо, hk — полутолщина А:-го слоя, плоскости раздела слоев параллельны плоскости хоу. Слои пронумерованы от 1 до N-\сверху вниз. Подстилающее полупространство имеет номер N. Для каждого слоя вводится локальная система координат: Для случая пакета слоев, жестко сцепленных с полупространством постановка динамической смешанной задачи остается той же, что и для пакета слоев на жестком основании за исключением однородного граничного условия для нижнего слоя — вместо условия защемления нижней грани ставится условие убывания смещений при z — -оо. В дальнейшем наряду с цифровой индексацией координатных осей, необходимой для тензорной записи, используем и традиционные обозначения х = (х{,х2, х3 } = {х,у, z], w = [w{, w2, w3} = {и,v, w}. При решении задач механики деформируемых сред удобно использовать уравнения состояния, записанные с помощью свойств симметрии тензоров, в матричной форме. Для этого вводятся векторы и матрицы а = {(та}, s = { a} (а = 1,2,...,6); с = правилам В работе [63] приведены аналогичные формулы для полупространства, метод получения которых заключается в предварительном построении матрично-функциональных соотношений для слоя на жестком основании, далее в полученных соотношениях производится замена z -z-h и берется предел при h — оо. В результате получаем решение в виде W(z) = B (z )Т, где матрица В (z ) имеет ту же структуру, что и В+ в (1.5.22), а определяющими функциями являются Для построения систем интегральных уравнений, описывающих слоистую среду, необходимо единообразно произвести обезразмеривание всех параметров задачи.
В размерных величинах формула (1.5.21), записанная для /-го слоя в пакете, имеет вид Здесь V - двумерное преобразование Фурье по координатам х,у с параметрами а,р. Символ " " указывает на размерные величины. Для того, чтобы во всех слоях обезразмеривание производилось единообразно, в качестве параметров обезразмеривания /л,р, разных в общем случае для каждого слоя, выберем некоторые общие для всех слоев значения ju0,pQ, при этом уравнения, связывающие напряжения и перемещения для каждого слоя запишутся в виде При построении матрично-функциональных соотношений, служащих основой построения систем интегральных уравнений, соотношения (1.6.4) будут использоваться только на границах среды. В дальнейшем рассматривается плоская постановка, а среда предполагается изотропной. Поэтому представляется целесообразным произвести некоторые, упрощения введенных выше соотношений и ввести новые обозначения. Функции К., М/ для слоя с номером к будем обозначать следующим образом: Во второй главе строятся матрично-функциональные соотношения для ряда задач в условиях идеального контакта слоев и при наличии трещин на стыках. Для случая идеального контакта между слоями изучаются задачи о пакете слоев со следующими условиями на нижней и верхней границах пакета: источники гармонических колебаний на верхней грани, нижняя грань пакета жестко защемлена; источники гармонических колебаний на верхней грани, нижний слой является полупространством; источники гармонических колебаний на верхней грани, нижняя грань свободна от напряжений; источники гармонических колебаний на нижней грани, верхняя грань пакета жестко защемлена; источники гармонических колебаний на нижней грани, верхняя грань свободна от напряжений; Далее рассматриваются специальные матрично-функциональные соотношения, описывающие колебания пакета слоев, когда на обеих гранях, верхней и нижней, заданы перемещения либо на одной грани перемещения, на другой - напряжения. Строятся матрицы-символы Грина ряда задач для пакета слоев и слоистого полупространства при наличии трещин между слоями, а также специальный вид их диагональных элементов и детерминантов, что позволяет в дальнейшем получить аналитические представления компонент и детерминантов этих матриц-символов в виде отношения двух целых функций. Построение матрично-функциональных соотношений в случае идеального контакта между слоями Пусть среда представляет собой упругий слой на жестком основании, требуется по нагрузке, приложенной к верхней грани слоя, определить смещения точек поверхности. Толщина слоя занимает область -H z 0, -со х,у х . Введем для слоя локальную систему координат и формально разъединим его с жестким основанием. Уравнения движения в слое имеют вид Перемещения на верхней и нижней границах слоя определяются согласно формуле (2.1.1)
Построение матрично-функциональных соотношений в случае разрывных граничных условий
В случае разрывных граничных условий на стыках слоев имеем Воспользовавшись решением (1.6.4), преобразуем (2.2.1) к виду Дополнив (2.2.2) условиями жесткой заделки и проведя рассуждения, аналогичные изложенным для случая идеальной среды, придем к системе матрично-функциональных соотношений, связывающих смещения точек поверхности среды и контактные напряжения между слоями через напряжения на верхней грани пакета слоев и скачки перемещений в областях, занятых трещинами. Предварительно введем два расширенных вектора Т и U: Для дальнейших исследований необходимо построить диагональные элементы блочных матриц-символов задач с жестко защемленными верхней и нижней гранями в первом случае, а во втором - нижний слой пакета заменяется полупространством. Слои, как и ранее, пронумерованы от / до j, последовательно, сверху вниз. На границах слоев находятся дефекты - плоские трещины. В обоих случаях требуется построить только диагональные блоки соответствующих матриц-функций, а также получить для них формулы, аналогичные (2.2.22) и (2.2.23). Представим матрицы Kw yw и J Jn в виде, аналогичном (2.2.22) и (2.2.23) Вывод полученных представлений полностью аналогичен описанному ранее для других задач и потому здесь не приводится. Выше рассмотрено построение матрицы К для случая, когда имеются дефекты на всех плоскостях раздела слоев и присутствует поверхностная нагрузка, однако в общем случае на каких-либо границах раздела слоев могут выполняться условия идеального контакта, а также может отсутствовать нагрузка на верхней грани пакета слоев. Для удобства введем следующие обозначения: Kj - количество стыков слоев, для которых выполняется условие идеального контакта; Кс - количество стыков слоев, на которых перемещения терпят разрыв (наличие дефектов типа трещин); j\,...,jK - номера стыков слоев, для которых выполняются условия идеального контакта; iv...,iK — номера стыков слоев, для которых выполняются условия идеального контакта.
В данном случае Kc + Kj = N-l, где N- количество слоев. В силу линейности задачи при условии идеального контакта между некоторыми слоями или отсутствия поверхностной нагрузки, векторы Т, U и матрица К преобразуются следующим образом: Пусть на границах раздела с номерами j\,...,jK выполняются условия идеального контакта, тогда в силу линейности задачи из матрицы К ,у в (2.2.16) удаляются i — j\ +2,...,i- jK +2 строки и столбцы, а из T,U удаляются компоненты с этими номерами. В случае отсутствия поверхностной нагрузки, аналогично, из матрицы К/,у в (2.2.16) вычеркиваются первые строка и столбец, а из T,U удаляется компонент с этим номером. Очевидно, что для матриц J,,7.K y J ,J данные рассуждения идентичны. В качестве примера рассмотрим случай, когда имеется условие неидеального контакта только на одной линии раздела слоев и верхняя грань пакета свободна от напряжений (Кс = \), тогда по приведенному выше алгоритму матрично-функциональные соотношения рассматриваемых выше задач с разрывными условиями на границах раздела имеют вид Формулы (2.2.30) удобно также записывать в несколько ином виде, когда известен номер диагонального элемента п = ш; п \: Построение матрицы-функции А, обратной к матрице-функции К, описывающей ядра интегральных уравнений изучаемых задач, позволяет получить ряд матрично-функциональных соотношений, используемых в дальнейшем при построении аналитического представления детерминантов К, необходимых для изучения дисперсионных свойств слоистой среды, решения возникающих интегральных уравнений методом фиктивного поглощения и исследования условий локализации вибрационных процессов в средах с неоднородностями.
При этом считается известным вектор Т: По построению матрица А оказывается блочной трехдиагональной, что значительно упрощает вычисление детерминантов исходной матрицы К. Вначале рассмотрим построение матрично-функциональных соотношений для задачи о слоистой среде на жестком основании, которая возбуждается только за счет колебаний берегов трещин, расположенных в одной плоскости раздела слоев. Тогда, согласно введенным ранее обозначениям, Кс = 1 — количество плоскостей раздела слоев с неидеальными условиями контакта, i{ — номер плоскости этого раздела слоев. Слои в среде пронумерованы от / до j. При поставленных условиях выполняется соотношение (2.2.30). С другой стороны f. можно представить в виде Производя формально разъединение слоев по границе, на которой расположены дефекты-трещины, получаем задачу о пакете слоев со свободной верхней гранью и заданными напряжениями на нижней грани и задачу о пакете слоев на жестком основании с заданными напряжениями на верхней грани пакета, поэтому справедливы следующие представления: Подставив (2.3.3) и (2.3.4) в (2.3.2), получим Из (2.2.30), с учетом предыдущей формулы, находим Аналогичная формула для пакета слоев на полупространстве Для задач с жестко защемленным верхним краем получаем аналогичные соотношения Если известным является номер п диагонального блока, то формулы (2.3.6) - (2.3.9) удобно представить в следующем виде: Пусть теперь рассматривается слоистая среда на жестком основании, в которой трещины расположены в нескольких плоскостях раздела слоев. Количество плоскостей раздела слоев с неидеальными условиями контакта будем, как и ранее, обозначать Кс. Рассмотрим случай свободной от напряжений верхней грани пакета. В этом случае искомый вектор U можно представить в виде Так как считаются заданными напряжения на границах слоев, на которых заданы неидеальные условия контакта, то, согласно полученным раннее соотношениям (2.1.42), первое слагаемое в правой части (2.3.14) можно выразить через известные напряжения с помощью следующего соотношения: Согласно полученным выше результатам матрица-функция А = К" имеет блочную трехдиагональную структуру. К блочной матрице можно применять обобщенное правило Гаусса, при этом детерминант преобразованной матрицы сохраняется. Используя это правило, приведем матрицу А к нижнетреугольному виду. Для этого будем на каждом шаге удалять очередной элемент верхней диагонали, причем удалять блоки будем снизу вверх. Используя (2.4.1) - (2.4.4), получаем следующее асимптотическое поведение элементов матриц-символов Грина для рассмотренных здесь задач с условиями идеального контакта между слоями.
Случай идеального контакта между слоями
Данная глава посвящена построению элементов матриц-символов Грина и их детерминантов в виде отношения двух целых функций. Рассматривается плоская постановка задач, среда предполагается изотропной. Рассмотрим задачу об одном слое на жестком основании с нагруженной верхней гранью. Слой имеет номер N. Тогда из (2.1.21), (2.1.22) следует Для случая двух слоев снова используем матрично-функциональные соотношения (2.1.21), (2.1.22) и, положив i = N — l, получим выражения ДЛЯ CN-l,N И Vl.tf В последней формуле для скобок в первом слагаемом используем (3.1.13), а для последних двух - формулу (3.1.9), в результате получим следующий ее вид, удобный для построения аналитического представления в виде отношения двух целых функций: Рассуждения, приведенные выше, распространяются на любое конечное число слоев. Далее приведем общий вид матрицы-функции CiN, компонентов этой матрицы, ее детерминанта и детерминанта матрицы-функции Ff N. в виде отношения двух целых функций. Будем приводить далее сразу конечные формулы для остальных задач о пакете слоев с условиями идеального контакта между слоями, так как построение их аналогично случаю, рассмотренному выше. Для задачи о пакете слоев с жестко защемленной верхней гранью и источником гармонических колебаний на нижней грани пакета матрица-функция С. N определяется следующим образом: Для задачи о пакете слоев со свободной верхней гранью и источником гармонических колебаний на нижней грани матрица-функция С. N определяется следующим образом: Для получения детерминантов диагональных блоков K. „J матрицы-функции К в виде отношения двух целых функций, вначале получим детерминанты этих элементов с помощью формулы (2.2.22) Метод фиктивного поглощения получил свое название в связи с тем, что он основан на таком преобразовании ядер интегральных уравнений или систем интегральных уравнений, которое позволяет уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими ядрами приводить к интегральным уравнениям с ядрами неосциллирующими, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Такое поведение ядер соответствует задачам для сред с сильным затуханием.
Подобные уравнения решаются приближенными методами, изложенными в работах [26,28,39,62]. Метод фиктивного поглощения позволяет выделить осциллирующие составляющие решения с тем, чтобы в качестве неизвестной оставалась бы неосциллирующая функция. Затем обратными преобразованиями строится решение исходной задачи. В работе [23] для решения интегральных уравнений, описывающих поведение трещин в полубесконечных средах, ядра которых оказываются растущими на бесконечности, был предложен метод сведения их к достаточно хорошо исследованным интегральным уравнениям с затухающим на бесконечности ядром вынесением дифференциального оператора определенного вида. Произвол в полученном таким образом решении исходной задачи устраняется постановкой дополнительных условий на вид ее решения из физических соображений. В настоящей главе метод фиктивного поглощения получил дальнейшее развитие применительно к задачам о колебаниях сред с трещинами. Если на поверхности пакета и границах раздела слоев заданы смешанные граничные условия (1.2.1), то полученные в предыдущей главе матрично-функциональные соотношения приводят к системе N матричных интефальных уравнений относительно перемещений w0 в области контакта штампа и среды и скачков перемещений Aw , / = 1,..., N -1 в областях, занимаемых трещинами. Система интефальных уравнений в случае этажно расположенных трещин и одного штампа, взаимодействующего со средой, имеет вид При взаимодействии системы штампов с полуофаниченной средой и наличии систем трещин на стыках слоев система матричных интефальных уравнений (4.1.1) с учетом (1.1.2), (1.1.3) приобретает вид Изложим общую схему метода фиктивного поглощения на примере одного интегрального уравнения. Одномерные интегральные уравнения динамических смешанных плоских задач для полуограниченных сред имеют вид Функция K(ar) обладает следующими свойствами: 1. К(а)— четная функция параметра а, мероморфная в комплексной плоскости. 2. На вещественной оси может иметь конечное число вещественных нулей, полюсов zk,pk (k = l,2,3,...,N) и счетное множество комплексных zk Pk ( = - +1,..., оо) с точкой сгущения в секторах малых углов, содержащих мнимую ось. 3. На бесконечности К(а) обладает асимптотикой в случае контактных задач или среды с включениями в случае трещин Введем функцию регулярную на всей вещественной оси всюду, кроме конечного числа особых точек (нулей, полюсов), совпадающих с особыми точками К (or) на вещественной оси. Тогда функция будет регулярной на вещественной оси, а её асимптотическое поведение будет совпадать с поведением К [а) при а - оо.
Определение. Носителем функции f(.s), заданной в Q, называется наименьшее замкнутое в Q множество, вне которого функция f(s) равна нулю. Определение. Корневым множеством Z(а) (полярным множеством Р(а)) функции Ща) будем называть совокупность всех алгебраических функций, обращающих в нуль её числитель (знаменатель). Лемма [32] Пусть функция q0( ) принадлежит L (Q),p l и имеет носитель в выпуклой области Q. Для того, чтобы функция обладала этими же свойствами, необходимо и достаточно, чтобы на полярном множестве П(ог) имело место тождество где V - преобразование Фурье по переменной х с параметром а. Для построения решения интегрального уравнения методом фиктивного поглощения представим функцию q0 (JC) є Z, (Q) В виде так, чтобы выполнялись соотношения Согласно этому представлению условия (4.2.7) будут выполнены. Подставляя q( ) в виде (4.2.8) в (4.2.1), используя представление K(a) = S(or)n(a) и вводя новую функцию t(x) соотношением приходим к интегральному уравнению aотносительно новой неизвестной функции t(x). При этом оператор S имеет вид оператора К (4.2.1), в котором функция К (а) заменена на S(#). Эта функция не содержит особенностей на вещественной оси, если функция П(а) содержит все вещественные нули и полюса функции К (or), и может обладать лишь комплексными нулями и полюсами. Контур интегрирования а в (4.2.10) совпадает с вещественной осью. Построение обратного оператора в случае убывающего ядра можно производить различными методами решения статических задач или задач для сред с сильным затуханием.
Динамическая смешанная задача. 1 способ построения решения
Рассмотрим систему интегральных уравнений (4.2.33) с правыми частями вида (4.2.34). Для построения решения строится приближение ядра в виде K(ar)«S(cr)n(a), где S(a) имеет вид (4.2.16). В системе интегральных уравнений (4.2.34) осуществляется вынос дифференциального оператора вида —j + l , после чего ядро дифференциального оператора правые части интегрального оператора позволяет использовать полученное ранее в работе [63] решение для каждой экспоненты отдельно. Неизвестные Подынтегральная функция ядра К(а) до выноса дифференциального оператора имела вид Первый множитель в правой части (4.3.3) представляет собой ядро S(a) задачи для среды с поглощением для убывающих ядер, а во второй множитель, который является функцией П(а), определенной в (4.2.4), добавляются дополнительно по одной паре нулей и полюсов. Такое преобразование позволяет использовать построенные в работе [63] решения для задач с убывающими ядрами. Решение для задачи (4.2.26) с убывающим ядром вида (4.2.15) и В данной главе дается описание дисперсионных кривых, построенных при численном исследовании элементов и определителей матриц-символов конкретных задач. Приводятся результаты численного анализа решений интегральных уравнений, полученных методом фиктивного поглощения. Построение дисперсионных кривых компонент матриц-символов Грина и их детерминантов является необходимым этапом численного решения задач для слоистых сред с трещинами. Для этой цели была разработана программа на языке Fortran 97, которая по входным данным позволяет построить графики дисперсионных кривых. Для графического построения этих кривых использовалась программа Advanced Grapher. В приложении А приводятся графики дисперсионных кривых, полученные в результате работы этих программ. Всюду на графиках в приложении А сплошными линиями обозначены полюса исследуемых функций, а различными видами пунктира — нули этих функций. По оси абсцисс отложена приведенная частота колебаний Q, где а — некоторая линейная величина, а по оси ординат - параметр преобразования Фурье а. Коэффициенты Пуассона и плотности для всех слоев полагаются равными ( vi - 0.3, р{ = 1), а толщины и жесткости слоев, входящих в состав пакета указаны непосредственно на графиках.
На рис. 1-20 представлены характерные кривые нулей и полюсов элементов кх и къ матрицы-функции К33, когда трещина находится между вторым и третьим слоями в трехслойной среде. Анализ указанных графиков показывает, что характер поведения и количество дисперсионных кривых существенно зависит от соотношения модулей упругости слоев. Количество дисперсионных кривых в заданном диапазоне частот обратно пропорционально изменению по глубине относительной жесткости слоев. При уменьшении жесткости с глубиной количество дисперсионных кривых возрастает и, наоборот, при увеличении жесткости слоев с глубиной количество дисперсионных кривых убывает. В случае, когда средний слой жестче остальных, а первый жестче третьего, наблюдаются характерные изгибы дисперсионных кривых (рис. 3, 9, 10), которые были ранее обнаружены в работах, посвященных изучению трехслойной среды с условиями идеального контакта между слоями. Из указанных графиков также следует, что для диагональных компонент диагональных блоков сохраняется чередование нулей и полюсов, кроме областей, в которых наблюдается явление обратной волны. На рис. 21-24 приводятся дисперсионные кривые детерминантов матриц-символов Грина для различных конфигураций слоистой среды с трещинами, жестко сцепленной с недеформируемым основанием. Данные графики . иллюстрируют преимущество изучения нулей, полюсов детерминантов матриц-функций с помощью полученных в работе соотношений (3.2.7) - (3.2.10), заключающееся в том, что можно при построении нулей определителя находить нули каждого сомножителя в числителе отдельно, а потом объединять полученные результаты. Это помимо ускорения процедуры расчета позволяет находить кратные нули по конфигурации среды. На рис. 21 приведены графики нулей и полюсов детерминанта К для четырехслойной среды, в которой есть трещины между первым и вторым, третьим и четвертым слоями, а поверхность нагружена штампом. Пунктиром обозначены однократные нули, а пунктиром с точкой - двукратные нули этого детерминанта. Двукратные нули появляются в силу равенства параметров 1 и 4 слоев и формулы (3.2.9), в которую в данной задаче входят функции Ап и Д44, нули которых при указанных параметрах всюду совпадают. На рис. 22 приведены дисперсионные соотношения для четырехслойной среды, в которой трещины расположены на всех границах раздела слоев, верхняя грань пакета свободна от напряжений. Обозначения нулей такое же, как для предыдущего рисунка. Детерминант для этой среды определяется формулой (3.2.7), в числитель которого в качестве сомножителей входят функции А22 и А33, которые равны между собой в силу того, что все параметры 2 и 3 слоев совпадают, а значит и совпадают и их нули. На рис. 23 даны дисперсионные кривые детерминанта матрицы-символа К для пятислойной среды с нагрузкой на верхней грани и трещинами между 2 и 3, 3 и 4 слоями.
Обозначения однократных и двукратных нулей то же, что и ранее. На рис. 24 дисперсионные кривые детерминанта матрицы-символа К для слоя на жестком основании с нагруженной поверхностью, трещины расположены в четырех плоскостях, параллельных основанию пакета, расстояния между плоскостями раздела, верхней и нижней границей пакета одинаковы. Пунктиром обозначены двукратные нули, пунктиром с точкой — трехкратные нули определителя. Приведем некоторые численные расчеты скачков перемещений на берегах трещин, полученные методом фиктивного поглощения. Далее всюду рассматривается трещина отрыва в двухслойной среде со следующими параметрами: / = 0.2, / = 0.3, Kj = 0.3, v2 = 0.3, pl - р2 = 1. Все безразмерные параметры приведены к параметрам первого слоя. Графики представлены в приложении Б. В формулах метода фиктивного поглощения параметр В полагался равным 10. На рис. 25, 26 отображены реальная и мнимая части скачка перемещений в области [-1,1], занятой трещиной, к берегам которой приложена единичная нагрузка. Кривым с номерами 1,2,3 соответствуют значения 4, 6, 8 безразмерной частоты Q. На графиках видно уменьшение реальной и увеличение мнимой частей скачка перемещений с увеличением безразмерной частоты На рисунках 27, 28 приведены реальная и мнимая части скачка перемещений на берегах трещины, заданной на отрезке [-1,1], берега которой не нагружены, при наличии второй трещины, находящейся справа от нее при заданных единичных нагрузках на её берегах и безразмерной частоте Q = 4, причем кривые 1,2,3,4,5 соответствуют расстоянию Ъ=1,2,3,4,8 между трещинами. По оси абсцисс откладывается безразмерная координата х, по оси ординат — скачок перемещений на берегах трещины Aw. Наблюдаемая асимметрия вещественной части скачка перемещений и его амплитуда уменьшается с увеличением расстояния между трещинами. На рисунках 29, 30 отображены реальная и мнимая части скачка перемещений в области [-2,2], занятой трещиной, к берегам которой приложена нагрузка е щх единичной амплитуды. Кривым с номерами 1,2,3 соответствуют значения 1, 3, 5 параметра 77. При прочих равных параметрах наблюдается рост амплитуды реальной и мнимой частей скачка перемещений с увеличением значений параметра 77. На всех графиках скачок перемещений на краях трещины стремится к нулю, что подтверждает правильность полученных результатов.
