Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод возмущений в задаче о наклонной трещине в однородной плоскости 16
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Точное решение 17
1.3 Решение задачи методом возмущений 18
1.4 Анализ коэффициентов интенсивности напряжений 20
Глава 2. Слабо искривленная трещина на границе раздела полуплоскостей 24
2.1 Прямолинейная трещина на границе раздела 25
2.2 Постановка задачи. Сведение к граничным задачам 33
2.3 Метод малого параметра 36
2.4 Нулевое и первое приближения задачи для криволинейной трещины на границе раздела 40
2.5 Коэффициенты интенсивности напряжений 41
2.6 Результаты расчетов КИН 46
2.7 Интеграл Раиса - Черепанова 57
Глава 3. Слабо искривленная трещина около границы раздела двух сред 62
3.1 Постановка задачи. Метод суперпозиции 63
3.1.1 Метод суперпозиции 64
3.1.2 Напряжения и перемещения первой и второй задач 67
3.1.3 Преобразование граничных условий 69
3.2 Метод возмущений 71
3.3 Прямолинейная трещина около границы двух сред 74
3.4 Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с прямолинейной трещиной 79
3.4.1 Двухкомпонентная плоскость со свободной трещиной 79
3.4.2 Двухкомпонентная плоскость с нагрузкой на трещине в виде полинома 81
3.5 Оценка точности метода коллокации 83
3.6 Результаты расчетов КИН и напряжений на границе раздела 85
3.7 Первое приближение задачи о криволинейной трещине около границы раздела двух сред 93
3.7.1 Самоуравновешенная нагрузка на трещине 94
3.7.2 КИН для криволинейной трещины в первом приближении 96
3.8 Базовая трещина параллельна межфазной границе .97
Заключение 107
Список литературы 110
- Решение задачи методом возмущений
- Нулевое и первое приближения задачи для криволинейной трещины на границе раздела
- Интеграл Раиса - Черепанова
- Напряжения и перемещения первой и второй задач
Введение к работе
1. Актуальность темы
Неоднородные материалы, образованные из сред с разными механическими свойствами, и конструкции из таких материалов широко используются в современной технике, это композитные и слоистые материалы, например, металло-керамические, резино-металлические, различные покрытия и т.д. Разрушение таких материалов и конструкций обычно происходит из-за наличия трещин и их дальнейшего развития в процессе эксплуатации. Проблемы прочности и разрушения композитных материалов актуальны для всех областей техники. Подобные задачи представляют также интерес в геомеханике и механике горных пород.
Для применения существующих критериев оценки прочности и разрушения материалов нужно предварительно знать напряженное состояние в окрестности трещины и ее концов, где напряжения не ограничены по величине. Существует обширная литература, посвященная исследованию трещин в двумерных и трехмерных постановках задач для различных материалов и при различных внешних воздействиях. В большинстве работ рассматриваются прямолинейные трещины, в то время как естественно образующиеся трещины обычно имеют слабо искривленную форму. Работы, где рассматриваются криволинейные трещины, в основном относятся к случаю однородных материалов.
Задачи теории упругости для криволинейных трещин на границе раздела сред с разными упругими свойствами и вблизи этой границы, которые являются предметом исследования диссертации, изучены недостаточно. Этот вывод следует из приведенного ниже обзора литературы. В диссертации рассматриваются только материалы, в которых развитие трещин происходило бы по хрупкому сценарию.
Проекты то тематике рассмотренных в диссертации задач были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (№№ 05-01-00274, 06-01-00658), а также Федеральным агентством по образованию (№ А04-2.10-421) и Правительством г. Санкт-Петербурга (№ М05-2.2К-181).
2. Цель работы
Цель работы состояла в построении решения краевых задач теории упругости для двухкомпонентных тел со слабо искривленными трещинами, расположенными на границе раздела упругих сред с разными механическими свойствами или вблизи этих границ. Предполагалось, что на трещинах задана нагрузка и напряжения на
бесконечности. Задачи решались методом возмущений, необходимо было построить алгоритм для нахождения любого приближения и исследовать поля напряжений в окрестности трещин. В частности, нужно было исследовать зависимость КИН от заданной формы и расположения трещин при разных видах внешних воздействий и свойств материалов.
3. Методы исследования
Решения поставленных задач были основаны на использовании уравнений теории упругости для случая плоской деформации или плоского напряженного состояния и метода возмущений. Этот метод использовался в форме, предложенной Грековым М. А. в [173] для решения задачи о криволинейной трещине в однородной плоскости.
Поскольку точные аналитические решения для трещин произвольной формы сложно получить, в работе принято предположение, что рассматриваемые трещины мало отличаются от прямолинейных.. Это предположение, соответствующее реальной ситуации для естественно образующихся трещин, позволило применить метод возмущений и свести решение краевых задач к граничным задачам Римана - Гильберта относительно коэффициентов разложения комплексных потенциалов в ряды по малому параметру. Следует отметить еще некоторые подходы, использованные в работе. При решении задачи о криволинейной трещине около линии раздела полуплоскостей из разных материалов (глава 3) был применен метод суперпозиции [13], состоящий в том, что решение исходной задачи было найдено в виде суммы решений двух, более простых краевых задач. В каждом приближении задача о трещине вблизи линии раздела сводилась к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной нагрузки на трещине второй задачи. Представление этой нагрузки в виде полинома позволило перейти от интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений, для ее решения был применен метод коллокации.
Таким образом, комплексное применение всех перечисленных методов - теории комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили, метода возмущений и метода суперпозиции решений, позволило получить решения краевых задач для двухкомпо-нентной плоскости со слабо искривленными трещинами.
4. Результаты, выносимые на защиту
Проанализирована точность метода возмущений на простой задачи о наклонной трещине в однородной плоскости.
Методом возмущений получено решение задачи о слабо искривленной трещине,
расположенной на границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Получены зависимости КИН в первом приближении в виде графиков для основных параметров задачи о межфазной трещине (модулей упругости, формы трещины, приложенной нагрузки). Проведен анализ влияния основных параметров задачи на величину КИН.
3. Методом возмущений получено решение краевой задачи для слабо искривленной трещины, расположенной около линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Составлена программа в среде Matlab для численного решения интегральных уравнений Фредгольма и расчетов КИН в нулевом и первом приближениях. Проанализировано влияния основных параметров задачи (модулей упругости, расстояния трещины от линии раздела, угла наклона формы трещины и вида нагру-жения) на величину коэффициентов интенсивности напряжений.
5. Практическая ценность
Используемые для решения поставленных задач методы возмущений и суперпозиции, разработанный алгоритм построения приближений по малому параметру и полученные численные результаты и выводы могут быть применены в прикладных задачах механики трещин для оценки прочности и разрушения материалов и конструкций.
Результаты расчетов КИН удобны для анализа влияния на их величину различных параметров задачи, они также могут быть использованы в различных критериях развития трещин, прочности и разрушения неоднородных материалов и конструкций из таких материалов с криволинейными трещинами.
6. Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления", г. С.-Петербург, СПб-ГУ. 2005 г., на Международных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", г. С.-Петербург, СПбГУ в 2006 и 2007 г.г., на ежегодных конференциях школы академика В.В. Новожилова, г. С.-Петербург, СПбГУ, 2004 - 2006 г.г. Диссертация в целом была доложена на научных семинарах кафедры "Вычислительных методов механики деформируемого тела" С.-Петербургского государственного университета, возглавляемой доктором физ.-мат. наук профессором Ю.М. Далем и кафедры "Сопротивления материалов" С.-Петербургского государственного техничекого университета, возглавляемой доктором физ.-мат. наук, профессором
Б.Е. Мельниковым.
7. Публикации
Основные научные результаты работы опубликованы в семи работах:
Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о наклонной трещине// СПб. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сборник трудов научной школы академика В.В. Новожилова). СПбГУ. 2003. Вып. 7. С. 79-87
Греков М.А., Малькова Ю.В. Криволинейная трещина на границе раздела двух сред// СПб. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сборник трудов научной школы академика В.В. Новожилова). СПбГУ. 2004. Вып. 8. С. 56-71.
Греков М.А., Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о криволинейной межфазной трещине// Труды международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления". СПб.: СПбГУ. 2005. Т.З. С.1655-1656.
Малькова Ю.В. Слабо искривленная трещина около границы раздела двух сред// Труды XXXVII междунар. научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость". 2006. С.-Петербург. СПбГУ. С. 167-172.
Греков М.А., Малькова Ю.В. Силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины криволинейной межфазной трещины// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 3. С. 17-28.
Греков М.А., Малькова Ю.В, Контактные напряжения на межфазной границе при раскрытии приграничной трещины// Труды XXXVIII междунар. научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость". 2007. С.-Петербург. СПбГУ. С. 141-146.
Мальков В.М., Малькова Ю.В. Исследование нелинейной задачи Фламана// Изв. РАН. МТТ. 2006. Л* 5. С. 68-78.
Работы [5, 7] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В публикациях [2, 3. 5, 6], написанных совместно с Грековым М, А., Греков М. А. сформулировал данные задачи, предложил методы решения, консультировал и обсуждал результаты.
В работе [7] соавтору принадлежит постановка нелинейной задачи Фламана и метод решения.
8. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Общий объем диссертации 124 стр., общее количество рисунков и графиков - 46, библиография занимает 15 стр. и содержит 226 наименований.
В первой главе рассмотрена задача о прямолинейной трещине в однородной плоскости, повернутой на малый угол относительно базовой. С помощью метода возмущений получено решение задачи и вычислены основные характеристики разрушения - коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) и направление страгивапия трещины. Полученные результаты сравнивались с точным решением для анализа погрешности метода возмущений и оценки его применимости к такого рода задачам.
Вторая и третья главы содержат главные результаты диссертации. Во второй главе рассмотрена задача о слабо искривленной трещине на границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Получены решения задачи в любом приближении, выраженные через интегралы типа Коши. В третьей главе решена задача для криволинейной трещины, расположенной около линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Предполагалось, что трещина мало отличается от прямолинейной ы применялся метод возмущений. В каждом приближении решение задачи сводилось к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной нагрузки на прямолинейной трещине. Получены численные решения нулевого и первого приближений и проведены расчеты КИН в этих приближениях.
Краевые задачи для трещины на линии раздела (глава 2) и трещины вблизи этой линии (глава 3) отличаются с точки зрения математических методов решения. В первой задаче комплексные потенциалы Колосова - Мусхелишвили найдены из решения граничных задач Римана - Гильберта в явном виде через интегралы типа Коши от известных на каждом шаге функций. Во второй задаче ее решение строилось методом суперпозиции как сумма решений двух вспомогательных задач. Комплексные потенциалы находились в виде интегралов типа Коши от неизвестных функций. Для определения этих функций было получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, отличающееся в каждом приближении только правыми частями. Ядра этого уравнения непрерывны. Интегральное уравнение было сведено с системе алгебраических уравнений, для решения которой использовался метод коллокации. Эффективность данного метода показана в [13], где он применялся при решении подобного рода интегральных уравнений. Для реализации метода коллокации и вычислений КИН была создана программа в среде Matlab.
В заключении диссертации перечислены основные результаты и подведен итог выполненных исследований.
9. Обзор литературы
Различным вопросам механики трещин, расположенных на границе раздела двух сред или в ее окрестности, посвящено очень большое число работ. Издаются специализированные международные журналы, например International Journal of Fracture, Engineering Fracture Mechanics и ряд других, где значительное число статей посвящено этим вопросам. Данный обзор литературы ограничен кругом вопросов, непосредственно относящихся к теме диссертации, т.е. плоским задачам теории упругости для двухкомпонентной плоскости со слабо искривленными трещинами.
Преимущественно рассматриваются работы, использующие аналитические методы решения. В обзоре представлены статические задачи теории упругости, задачи динамики и продвижения (развития) трещин, а также задачи термоупругости, вяз-коупругости, упруго-пластичности почти не рассматриваются. Указанным задачам посвящено значительное число работ, однако они имеют свою специфику в физических и математических моделях, постановке и методах решения краевых задач, фактически это другие классы задач.
Из отечественных авторов, внесших важный вклад в развитие механики трещин, отметим Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлииа, Г.П. Черепанова, В.В. Новожилова, Н.Ф. Морозова, Ю.В. Петрова, Е.М. Морозова, М.П. Саврука, Г.И. Баренблата, В.В. Панасюка, Н.В. Баничука, Р.В. Гольдштейна, Р.Л. Салганика, Л.М. Качанова, С.А. Назарова, A.M. Линькова, Ю.М. Даля, М.А. Грекова.
Из зарубежных авторов назовем фамилии Rice J.R., Sih G.C., Griffith A.A., Gao Н., Williams M.L., Cotterell В., Comninou М., Erdogan F., Hutchinson J.W., Dundurs J., England A.H., Atkinson C., Murakami Y., Chen Y.Z., Chen C.-H., Noda N.-A., Chao C.K., Martin P.A., Nemat-Nasser S., Wu C.H., Isida M., Noguchi H., Gupta G.D., Yamada Т., Sendeckyj G.P., Eriksson K., Herrmann K.P., Iokimidis N.I., Theocaris P.S., Cook T.S.
Обширная библиография по трещинам в неоднородных телах приведена в известных справочниках [12] (под ред. Ю. Мураками, 1990), [5] (под ред. G.C. Sih, 1974), [10] (под ред. В.В. Панасюка, 1988), сборнике статей [7] (под ред. Г. Либовица, 1975) и некоторых других изданиях [4, 6, 8, 9, 11, 58,13, 79, 80, 84]. Поскольку указанные справочники вышли достаточно давно, в них не отражены работы последних 15 - 20 лет, а именно в эти годы появились основные работы по криволинейным трещинам на границе раздела двух сред и в ее окрестности. В приводимом нами обзоре, по возможности, восполнен этот недостаток.
Большинство известных критериев разрушения основаны на знании полей на-
пряжений и перемещений в окрестности криволинейной трещины. В частности это необходимо для определения коэффициентов интенсивности напряжений, направления развития трещины и других вопросов, связанных с прочностью и разрушением материалов. Здесь наиболее распространенным является принцип локальной симметрии, утверждающий, что путь развития трещины проходит таким образом, чтобы напряженное состояние было симметричным относительно направления ее роста [6] (Черепанов Г.П., 1974), [32] (Erdogan F., Sin G.C., 1963).
Применение различных критериев развития трещин и разрушения материала часто затруднено тем, что отсутствуют решения соответствующих сингулярных краевых задач теории упругости для тел с криволинейными трещинами, особенно это относится к задачам о криволинейных трещинах, расположенных на границе раздела сред или вблизи этой границы. Ясно, что нельзя надеяться получить аналитические решения задач для криволинейных трещин произвольного вида. С другой стороны и прямое применение вычислительных методов в этих задачах иногда представляется мало перспективным и полезным для практического применения в критериях продвижения трещин и разрушения. Применение метода возмущений для слабо искривленных трещин позволяет получить алгоритм решения многих важных для практики задач.
Прямолинейные трещины на границе раздела. Этим задачам посвящено много работ. Первой считается статья [16] (Willims M.J., 1957), где получено напряженное состояние у конца полубесконечной прямолинейной трещины, лежащей на границе раздела. Позже в работах [34] (Erdogan F., 1965), [47] (England А.Н., 1965), [20] (Rice J.R., Sin G.C., 1965), используя метод комплексных потенциалов Колосова -Мусхелишвили, изучен случай конечной трещины, лежащей на линии раздела двух полуплоскостей. Упругая задача для произвольного числа разрезов вдоль прямой или круговой линии на границе раздела решена в работе [60] (Черепанов Г.П., 1962).
Аналогичные задачи для двухкомпонентной плоскости с трещиной на границе раздела полуплоскостей при разных видах нагружения рассматривалась в работах [19, 20, 29, 34, 52, 54, 58, 61, 62, 70, 75, 77, 79 - 83, 85, 96, 98, 99, 113, 165, 166, 172, 217 - 219, 221]. Учет контакта берегов трещины при наличии трения и без трения выполнен в [155, 164]. Случай антиплоской деформации рассмотрен в работах [40, 42, 43]. Прямолинейные трещины на линии раздела двух анизотропных полуплоскостей исследовались в работах [49, 68, 146, 150, 152, 153].
Криволинейные трещины в однородной плоскости. Известно немного работ, где получены точные (аналитические) решения задач для областей с криволинейными трещинами частного вида: дуга окружности [1, 2] (Мусхелишвили Н.И., 1966, 1968), [10] (Панасюк В.В., 1988) и другие, дуга параболы [18] (Rao B.S. Ramachandra, 1963).
Криволинейные трещины в однородной плоскости рассмотрены в работах [18, 27, 66, 112, 122,124,134,144, 163, 170,173,190, 198,199, 203, 205]. Решение задачи можно записать через интегралы типа Коши и Адамара [2, 9, 14]. Однако практическая польза от этих решений невелика.
Плоскую задачу о криволинейной трещине можно свести к системе сингулярных интегральных уравнений [1, 2]. Получить аналитические решения этих уравнений возможно только в весьма частных случаях. Обычно для их решения привлекают численные методы. В частности в работе [220] (Ballarini R., Villaggio P., 2006) напряжения получены через функции плотности дислокаций, удовлетворяющие двум сингулярным интегральным уравнениям, которые решались методом степенных рядов (методом Фробениуса). Метод решения сингулярных интегральных уравнений для криволинейных трещин, использующий представление плотности дислокаций полиномами Чебышева был применен в работах [112, 136, 194].
Трещины в полуплоскости рассмотрены в работах [74, 110, 111, 115, 135, 160, 180], в конечной пластине [117]. Численные методы решения задач применялись в работах [136, 139, 200].
Метод возмущений для трещины в однородной плоскости. Метод малого параметра в задачах о слабо искривленных трещинах в однородной плоскости, повиди-мому, впервые был применен в работах [63] (Баничук Н.В., 1970), [64] (Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л., 1970). Авторы ограничились построением нулевого и первого приближений. В работе [63] рассмотрена плоскость с начально прямолинейной полубесконечной трещиной и с помощью принципа симметрии найдена криволинейная часть дальнейшего развития трещины в первом приближении. В работе [64] трещина представлена непрерывным распределением дислокаций, плотность которых подлежит определению из системы интегральных уравнений методом малого параметра.
Решение задачи для слабо искривленной или ломаной трещины дано в работе [23] (Cotterell В., Rice J.R., 1980), где применен метод комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили в сочетании с методом возмущений. Решение ограничивалось первым приближением. На примере трещины в виде дуги окружности было показано, что это приближение дает достаточную для практических целей точность вычисле-
ния КИН. В работе [162] (Wu С.Н., 1994), основываясь на методе возмущений работы [15] (Cole J.D., 1968), получены формулы для КИН первого приближения у вершины трещины.
Метод возмущений применялся также в работах [24, 30, 76, 118, 119, 124, 173, 174, 180, 182]. Автор работы [182] (Martin Р.А., 2006) говорит о преимуществах, в смысле общности, метода возмущений по сравнению с методом степенных рядов работы [220]. Рассматривая задачу для кубической трещины, он пришел к выводу, что значения КИН работы [220] содержат ошибки, кроме того, сопоставление с точным решением задачи для трещины в виде дуги окружности выполнено некорректно.
Метод малого параметра использовался и в статье М.А. Грекова в задаче о криволинейной трещины в однородной плоскости [173]. В отличие от упомянутых выше работ, в этой работе решение не ограничилось первым приближением, был предложен алгоритм построения любого приближения для заданных форм трещин.
Криволинейные трещины на границе раздела. Криволинейные трещины на границе раздела двух сред являются предметом исследования во второй главе диссертации. Этим задачам посвящено относительно небольшое число работ: [48] (England А.Н., 1966), [59] (Perlman А.В., Sih G.C., 1967), [87-89] (Toya M., 1973, 1974, 1975), [71] (Theocaris P.S., Stassinakis C.A., 1977), [72] (Ioakimidis N.I., Theocaris P.S., 1978), [102] (Hui C.Y., Chen Y.C., 1983), [119, 120] (Gao H., 1991), [148] (Hao T.-H., 1990), [176, 177] (Греков M.A., 2006), [187] (Chen C.-H., Hsu J., 1996), [193] (Yuan F.G., Yang S., 1997), [214] (Kovtunenko V.A., 2003).
В работах [48, 59] изучалась проблема трещин в виде дуги окружности на линии раздела двух материалов - круговое упругое включение, частично соединенное с плоскостью. Аналогичные задачи для жесткого кругового или эллиптического включения исследовались в [87-89]. Во всех работах применялись примерно одинаковые методы решения, основанные на теории комплексных потенциалов и сведении к граничным задачам Гильберта.
Работа [71] посвящена экспериментальному исследованию оптическим методом криволинейной трещины в виде дуги окружности на круговом включении в упругую матрицу. Определялись КИН в окрестности концов трещины при одноосном растяжении на бесконечности. В работе [72] выполнен теоретический анализ аналогичных задач.
В статье [102] методом возмущений найдены КИН в задаче о бесконечном ряде острых трещин на линии раздела двух полуплоскостей. Малым параметром является
индекс осцилляции.
В работах [119, 120] (Gao Н., 1991) трещины не рассматриваются, в них метод малого параметра применен для решения задач о включениях в плоскость тел, близких к кругу, выполненных из другого материала. Параллельно рассмотрена задача о слегка волнистой линии раздела между полуплоскостями (без трещин). Получены решения некоторых задач в первом приближении.
Содержание работы [148] не вполне соответствует названию. Сначала говорится о криволинейной трещине на линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов, затем предполагается, что модули упругости одной полуплоскости значительно больше, чем другой, и эта полуплоскость считается жесткой. В этих условиях получено аналитическое решение задачи.
Статья [176] (Греков М.А., 2006) описывает применение метода возмущений к некоторым задачам теории упругости, в частности, к задаче о двухкомпонентной плоскости со слабо искривленной линией раздела при действии напряжений на бесконечности.
В работе [177] (Греков М.А., Малькова Ю.В., 2006) рассмотрена двухкомпонент-ная плоскость со слабо искривленной трещиной при действии постоянных усилий на ее берегах и напряжений на бесконечности. Для решения задачи был применен используемый в статье [173] метод возмущений, и предложен алгоритм построения любого приближения. Исследовано влияние упругих характеристик полуплоскостей и геометрии трещины на КИН. Эта задача рассмотрена во второй главе диссертации.
В статье [187] (Chen С.-Н., Hsu J., 1995) рассмотрена слабо волнистая трещина конкретной формы со свободными берегами, на бесконечности заданы напряжения. При решении этой задачи тоже использовался метод возмущений, но автор ограничился получением только первого приближения.
В работе [193] асимптотическим методом исследовано влияние кривизны у конца межфазной трещины на распределение напряжений. Фактически криволинейная трещина в окрестности ее конца заменяется круговой трещиной подходящего радиуса.
Двумерная модель двух анизотропных неоднородных тел со свободной трещиной на линии раздела рассмотрена в работе [214]. Исследован функционал потенциальной энергии и условия разрушения по Гриффицу при малых возмущениях формы трещины.
Трещины в виде ломаной на линии раздела рассмотрены в работах [100, 101, 145].
Внутренние трещины вблизи линии раздела. Криволинейные трещины в окрестности линии раздела полуплоскостей из разных материалов исследуются в третьей главе диссертации. Имеется некоторое число работ для случая прямолинейных трещин, однако публикаций о криволинейных трещинах обнаружено не было. Для решения задач преимущественно использовались численные методы и метод объемных сил (body force method), описание которого имеется в работе [224]. Метод объемных сил является одним из вариантов метода суперпозиции и предполагает знание функций Грина для частных задач. Применялись методы решения, основанные на введении функций дислокаций.
Трещина, параллельная границе раздела двух полуплоскостей, рассмотрена в работах [28,,35, 188, 202], внутренней трещине, перпендикулярной границе раздела, посвящены статьи [36, 44, 45, 91, 92, 186]. Наклонная трещина вблизи границы раздела рассмотрена в работах [13, 39, 90, 106, 107, 123, 187, 207, 213]. В некоторых статьях учитывался контакт берегов трещины [168, 169, 206].
Интересна работа [28] (Hutchinson J.W., Меег М.Е., Rice J.R., 1987), где рассмотрена трещина, параллельная границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Показано, когда расстояние от трещины до границы раздела мало, по сравнению с длиной трещины, то существует простое универсальное соотношение между КИН данной задачи и задачи о трещине, лежащей на границе раздела. Если решение второй задачи известно при заданных внешних воздействиях, то эта информация может быть использована для получения КИН для трещины, лежащей под линией раздела.
В книге [13] (Греков М.А., 2001) рассмотрена прямолинейная наклонная трещина, расположенная около границы полуплоскости. Применение метода суперпозиции позволило разбить эту задачу на две более простых и свести ее к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое далее решалось методом ко л локации.
Использование метода суперпозиции [13] в сочетании с методом возмущений [173] позволило решить задачу о криволинейной трещине около границы полуплоскостей. В третьей главе диссертации представлен алгоритм построения n-го приближения, вычислены КИН и исследовано влияние на них основных параметров задачи.
Трещины, заканчивающиеся на линии раздела или пересекающие ее. Краевые задачи для таких трещин можно выделить в отдельный класс, поскольку они существенно отличаются от рассмотренных задач для внутренних трещин как по методам решения, так и по свойствам напряжений у конца трещины. Здесь нет стандартных методов решения, обычно используют интегральные преобразования (Меллина
и другие), асимптотические методы или приближенные методы, часто не имеющие строго обоснования.
Трещины, заканчивающиеся на линии раздела, рассмотрены в работах [17, 36, 38, 44, 45, 53, 69, 91, 161, 167, 171, 222, 223].
Задачи о трещинах, ортогональных линии раздела, представлены в работах [36, 38, 44, 45, 69, 91, 92, 106]. Внутренняя наклонная трещина, выходящая на границу раздела, исследована также в работах [40, 43, 77, 93, 106]. Задача об ортогональной трещине для плоскости, составленной из двух анизотропных полуплоскостей, рассмотрена в работе [186] и в некоторых других статьях.
Трещины, пересекающие границу раздела полуплоскостей, рассматривались в статьях [38, 40, 41, 50, 51, 91, 92, 201].
Ряд работ посвящен трещинам в виде ломаной линии, например, [91, 106, 107]. В статьях [91, 107] рассмотрена также Т - образная трещина.
Трещины, мало отличающиеся от круговой, представлены в работах [27, 28] (Gao Н., Rice J.R., 1987; Gao Н., 1988).
Задачи о трещинах в однородной и анизотропной плоскостях исследовались в ряде работ С.А. Назарова (и соавторов) с помощью асимптотических методов, например в [149, 150]. Этими задачами занимался также A.M. Линьков, например в [196, 197].
Задачи динамики, развития и продвижения трещин рассматривались в работах [95, 103, 114, 132, 194, 203, 216] и ряде других. Динамическим задачам для трещин посвящено много работ.
Плоские задачи для трещин в температурном поле исследовались в работах [140, 142, 156 - 159, 191, 210] и других.
Имеется довольно большое количество работ, посвященных трехмерным задачам для плоских и слабо искривленных пространственных трещин, здесь отметим только некоторые из них. Трещины различной формы - эллиптической, полуэллиптической, прямоугольной, дискообразной ("penny - shape") и других форм рассмотрены в работах [24, 25, 33, 37, 55, 56, 89, 116, 125 - 133, 147, 151, 154, 178, 179, 181, 204]. Практически во всех задачах привлекались численные методы решения.
В последние десятилетия появилось достаточно большое количество работ, где рассматривались задачи механики трещин при наличии электрических и магнитных полей. Эти задачи актуальны для пьезоэлектрических и пьезомагнитных упругих сред и ряда композитных материалов, обладающих электромагнитной активностью. Хотя эти задачи представляют интерес, но они выходят за рамки данного обзора.
Решение задачи методом возмущений
Неоднородные материалы, образованные из сред с разными механическими свойствами, и конструкции из таких материалов широко используются в современной технике, это композитные и слоистые материалы, например, металло-керамические, резино-металлические, различные покрытия и т.д. Разрушение таких материалов и конструкций обычно происходит из-за наличия трещин и их дальнейшего развития в процессе эксплуатации. Проблемы прочности и разрушения композитных материалов актуальны для всех областей техники. Подобные задачи представляют также интерес в геомеханике и механике горных пород. Для применения существующих критериев оценки прочности и разрушения материалов нужно предварительно знать напряженное состояние в окрестности трещины и ее концов, где напряжения не ограничены по величине. Существует обширная литература, посвященная исследованию трещин в двумерных и трехмерных постановках задач для различных материалов и при различных внешних воздействиях. В большинстве работ рассматриваются прямолинейные трещины, в то время как естественно образующиеся трещины обычно имеют слабо искривленную форму. Работы, где рассматриваются криволинейные трещины, в основном относятся к случаю однородных материалов. Задачи теории упругости для криволинейных трещин на границе раздела сред с разными упругими свойствами и вблизи этой границы, которые являются предметом исследования диссертации, изучены недостаточно. Этот вывод следует из приведенного ниже обзора литературы. В диссертации рассматриваются только материалы, в которых развитие трещин происходило бы по хрупкому сценарию. Проекты то тематике рассмотренных в диссертации задач были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (№№ 05-01-00274, 06-01-00658), а также Федеральным агентством по образованию (№ А04-2.10-421) и Правительством г. Санкт-Петербурга (№ М05-2.2К-181).
Цель работы состояла в построении решения краевых задач теории упругости для двухкомпонентных тел со слабо искривленными трещинами, расположенными на границе раздела упругих сред с разными механическими свойствами или вблизи этих границ. Предполагалось, что на трещинах задана нагрузка и напряжения на бесконечности. Задачи решались методом возмущений, необходимо было построить алгоритм для нахождения любого приближения и исследовать поля напряжений в окрестности трещин. В частности, нужно было исследовать зависимость КИН от заданной формы и расположения трещин при разных видах внешних воздействий и свойств материалов.
Решения поставленных задач были основаны на использовании уравнений теории упругости для случая плоской деформации или плоского напряженного состояния и метода возмущений. Этот метод использовался в форме, предложенной Грековым М. А. в [173] для решения задачи о криволинейной трещине в однородной плоскости.
Поскольку точные аналитические решения для трещин произвольной формы сложно получить, в работе принято предположение, что рассматриваемые трещины мало отличаются от прямолинейных.. Это предположение, соответствующее реальной ситуации для естественно образующихся трещин, позволило применить метод возмущений и свести решение краевых задач к граничным задачам Римана - Гильберта относительно коэффициентов разложения комплексных потенциалов в ряды по малому параметру. Следует отметить еще некоторые подходы, использованные в работе. При решении задачи о криволинейной трещине около линии раздела полуплоскостей из разных материалов (глава 3) был применен метод суперпозиции [13], состоящий в том, что решение исходной задачи было найдено в виде суммы решений двух, более простых краевых задач. В каждом приближении задача о трещине вблизи линии раздела сводилась к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной нагрузки на трещине второй задачи. Представление этой нагрузки в виде полинома позволило перейти от интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений, для ее решения был применен метод коллокации.
Нулевое и первое приближения задачи для криволинейной трещины на границе раздела
Колосова - Мусхелишвили, метода возмущений и метода суперпозиции решений, позволило получить решения краевых задач для двухкомпо-нентной плоскости со слабо искривленными трещинами. 1. Проанализирована точность метода возмущений на простой задачи о наклонной трещине в однородной плоскости. 2. Методом возмущений получено решение задачи о слабо искривленной трещине, расположенной на границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Получены зависимости КИН в первом приближении в виде графиков для основных параметров задачи о межфазной трещине (модулей упругости, формы трещины, приложенной нагрузки). Проведен анализ влияния основных параметров задачи на величину КИН. 3. Методом возмущений получено решение краевой задачи для слабо искривленной трещины, расположенной около линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Составлена программа в среде Matlab для численного решения интегральных уравнений Фредгольма и расчетов КИН в нулевом и первом приближениях. Проанализировано влияния основных параметров задачи (модулей упругости, расстояния трещины от линии раздела, угла наклона формы трещины и вида нагру-жения) на величину коэффициентов интенсивности напряжений. Используемые для решения поставленных задач методы возмущений и суперпозиции, разработанный алгоритм построения приближений по малому параметру и полученные численные результаты и выводы могут быть применены в прикладных задачах механики трещин для оценки прочности и разрушения материалов и конструкций. Результаты расчетов КИН удобны для анализа влияния на их величину различных параметров задачи, они также могут быть использованы в различных критериях развития трещин, прочности и разрушения неоднородных материалов и конструкций из таких материалов с криволинейными трещинами.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления", г. С.-Петербург, СПб-ГУ. 2005 г., на Международных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", г. С.-Петербург, СПбГУ в 2006 и 2007 г.г., на ежегодных конференциях школы академика В.В. Новожилова, г. С.-Петербург, СПбГУ, 2004 - 2006 г.г. Диссертация в целом была доложена на научных семинарах кафедры "Вычислительных методов механики деформируемого тела" С.-Петербургского государственного университета, возглавляемой доктором физ.-мат. наук профессором Ю.М. Далем и кафедры "Сопротивления материалов" С.-Петербургского государственного техничекого университета, возглавляемой доктором физ.-мат. наук, профессором Б.Е. Мельниковым.
Основные научные результаты работы опубликованы в семи работах: 1. Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о наклонной трещине// СПб. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сборник трудов научной школы академика В.В. Новожилова). СПбГУ. 2003. Вып. 7. С. 79-87 2. Греков М.А., Малькова Ю.В. Криволинейная трещина на границе раздела двух сред// СПб. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сборник трудов научной школы академика В.В. Новожилова). СПбГУ. 2004. Вып. 8. С. 56-71. 3. Греков М.А., Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о криволинейной межфазной трещине// Труды международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления". СПб.: СПбГУ. 2005. Т.З. С.1655-1656. 4. Малькова Ю.В. Слабо искривленная трещина около границы раздела двух сред// Труды XXXVII междунар. научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость". 2006. С.-Петербург. СПбГУ. С. 167-172. 5. Греков М.А., Малькова Ю.В. Силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины криволинейной межфазной трещины// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 3. С. 17-28. 6. Греков М.А., Малькова Ю.В, Контактные напряжения на межфазной границе при раскрытии приграничной трещины// Труды XXXVIII междунар. научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость". 2007. С.-Петербург. СПбГУ. С. 141-146. 7. Мальков В.М., Малькова Ю.В. Исследование нелинейной задачи Фламана// Изв. РАН. МТТ. 2006. Л 5. С. 68-78. Работы [5, 7] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В публикациях [2, 3. 5, 6], написанных совместно с Грековым М, А., Греков М. А. сформулировал данные задачи, предложил методы решения, консультировал и обсуждал результаты. В работе [7] соавтору принадлежит постановка нелинейной задачи Фламана и метод решения. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 124 стр., общее количество рисунков и графиков - 46, библиография занимает 15 стр. и содержит 226 наименований.
Интеграл Раиса - Черепанова
Краевые задачи для трещины на линии раздела (глава 2) и трещины вблизи этой линии (глава 3) отличаются с точки зрения математических методов решения. В первой задаче комплексные потенциалы Колосова - Мусхелишвили найдены из решения граничных задач Римана - Гильберта в явном виде через интегралы типа Коши от известных на каждом шаге функций. Во второй задаче ее решение строилось методом суперпозиции как сумма решений двух вспомогательных задач. Комплексные потенциалы находились в виде интегралов типа Коши от неизвестных функций. Для определения этих функций было получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, отличающееся в каждом приближении только правыми частями. Ядра этого уравнения непрерывны. Интегральное уравнение было сведено с системе алгебраических уравнений, для решения которой использовался метод коллокации. Эффективность данного метода показана в [13], где он применялся при решении подобного рода интегральных уравнений. Для реализации метода коллокации и вычислений КИН была создана программа в среде Matlab.
В заключении диссертации перечислены основные результаты и подведен итог выполненных исследований. Различным вопросам механики трещин, расположенных на границе раздела двух сред или в ее окрестности, посвящено очень большое число работ. Издаются специализированные международные журналы, например International Journal of Fracture, Engineering Fracture Mechanics и ряд других, где значительное число статей посвящено этим вопросам. Данный обзор литературы ограничен кругом вопросов, непосредственно относящихся к теме диссертации, т.е. плоским задачам теории упругости для двухкомпонентной плоскости со слабо искривленными трещинами.
Преимущественно рассматриваются работы, использующие аналитические методы решения. В обзоре представлены статические задачи теории упругости, задачи динамики и продвижения (развития) трещин, а также задачи термоупругости, вяз-коупругости, упруго-пластичности почти не рассматриваются. Указанным задачам посвящено значительное число работ, однако они имеют свою специфику в физических и математических моделях, постановке и методах решения краевых задач, фактически это другие классы задач.
Из отечественных авторов, внесших важный вклад в развитие механики трещин, отметим Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлииа, Г.П. Черепанова, В.В. Новожилова, Н.Ф. Морозова, Ю.В. Петрова, Е.М. Морозова, М.П. Саврука, Г.И. Баренблата, В.В. Панасюка, Н.В. Баничука, Р.В. Гольдштейна, Р.Л. Салганика, Л.М. Качанова, С.А. Назарова, A.M. Линькова, Ю.М. Даля, М.А. Грекова.
Из зарубежных авторов назовем фамилии Rice J.R., Sih G.C., Griffith A.A., Gao Н., Williams M.L., Cotterell В., Comninou М., Erdogan F., Hutchinson J.W., Dundurs J., England A.H., Atkinson C., Murakami Y., Chen Y.Z., Chen C.-H., Noda N.-A., Chao C.K., Martin P.A., Nemat-Nasser S., Wu C.H., Isida M., Noguchi H., Gupta G.D., Yamada Т., Sendeckyj G.P., Eriksson K., Herrmann K.P., Iokimidis N.I., Theocaris P.S., Cook T.S.
Обширная библиография по трещинам в неоднородных телах приведена в известных справочниках [12] (под ред. Ю. Мураками, 1990), [5] (под ред. G.C. Sih, 1974), [10] (под ред. В.В. Панасюка, 1988), сборнике статей [7] (под ред. Г. Либовица, 1975) и некоторых других изданиях [4, 6, 8, 9, 11, 58,13, 79, 80, 84]. Поскольку указанные справочники вышли достаточно давно, в них не отражены работы последних 15 - 20 лет, а именно в эти годы появились основные работы по криволинейным трещинам на границе раздела двух сред и в ее окрестности. В приводимом нами обзоре, по возможности, восполнен этот недостаток.
Большинство известных критериев разрушения основаны на знании полей на пряжений и перемещений в окрестности криволинейной трещины. В частности это необходимо для определения коэффициентов интенсивности напряжений, направления развития трещины и других вопросов, связанных с прочностью и разрушением материалов. Здесь наиболее распространенным является принцип локальной симметрии, утверждающий, что путь развития трещины проходит таким образом, чтобы напряженное состояние было симметричным относительно направления ее роста [6] (Черепанов Г.П., 1974), [32] (Erdogan F., Sin G.C., 1963).
Применение различных критериев развития трещин и разрушения материала часто затруднено тем, что отсутствуют решения соответствующих сингулярных краевых задач теории упругости для тел с криволинейными трещинами, особенно это относится к задачам о криволинейных трещинах, расположенных на границе раздела сред или вблизи этой границы. Ясно, что нельзя надеяться получить аналитические решения задач для криволинейных трещин произвольного вида. С другой стороны и прямое применение вычислительных методов в этих задачах иногда представляется мало перспективным и полезным для практического применения в критериях продвижения трещин и разрушения. Применение метода возмущений для слабо искривленных трещин позволяет получить алгоритм решения многих важных для практики задач.
Прямолинейные трещины на границе раздела. Этим задачам посвящено много работ. Первой считается статья [16] (Willims M.J., 1957), где получено напряженное состояние у конца полубесконечной прямолинейной трещины, лежащей на границе раздела. Позже в работах [34] (Erdogan F., 1965), [47] (England А.Н., 1965), [20] (Rice J.R., Sin G.C., 1965), используя метод комплексных потенциалов Колосова -Мусхелишвили, изучен случай конечной трещины, лежащей на линии раздела двух полуплоскостей. Упругая задача для произвольного числа разрезов вдоль прямой или круговой линии на границе раздела решена в работе [60] (Черепанов Г.П., 1962).
Напряжения и перемещения первой и второй задач
Аналогичные задачи для двухкомпонентной плоскости с трещиной на границе раздела полуплоскостей при разных видах нагружения рассматривалась в работах [19, 20, 29, 34, 52, 54, 58, 61, 62, 70, 75, 77, 79 - 83, 85, 96, 98, 99, 113, 165, 166, 172, 217 - 219, 221]. Учет контакта берегов трещины при наличии трения и без трения выполнен в [155, 164]. Случай антиплоской деформации рассмотрен в работах [40, 42, 43]. Прямолинейные трещины на линии раздела двух анизотропных полуплоскостей исследовались в работах [49, 68, 146, 150, 152, 153]. Криволинейные трещины в однородной плоскости. Известно немного работ, где получены точные (аналитические) решения задач для областей с криволинейными трещинами частного вида: дуга окружности [1, 2] (Мусхелишвили Н.И., 1966, 1968), [10] (Панасюк В.В., 1988) и другие, дуга параболы [18] (Rao B.S. Ramachandra, 1963).
Криволинейные трещины в однородной плоскости рассмотрены в работах [18, 27, 66, 112, 122,124,134,144, 163, 170,173,190, 198,199, 203, 205]. Решение задачи можно записать через интегралы типа Коши и Адамара [2, 9, 14]. Однако практическая польза от этих решений невелика.
Плоскую задачу о криволинейной трещине можно свести к системе сингулярных интегральных уравнений [1, 2]. Получить аналитические решения этих уравнений возможно только в весьма частных случаях. Обычно для их решения привлекают численные методы. В частности в работе [220] (Ballarini R., Villaggio P., 2006) напряжения получены через функции плотности дислокаций, удовлетворяющие двум сингулярным интегральным уравнениям, которые решались методом степенных рядов (методом Фробениуса). Метод решения сингулярных интегральных уравнений для криволинейных трещин, использующий представление плотности дислокаций полиномами Чебышева был применен в работах [112, 136, 194]. Трещины в полуплоскости рассмотрены в работах [74, 110, 111, 115, 135, 160, 180], в конечной пластине [117]. Численные методы решения задач применялись в работах [136, 139, 200]. Метод возмущений для трещины в однородной плоскости. Метод малого параметра в задачах о слабо искривленных трещинах в однородной плоскости, повиди-мому, впервые был применен в работах [63] (Баничук Н.В., 1970), [64] (Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л., 1970). Авторы ограничились построением нулевого и первого приближений. В работе [63] рассмотрена плоскость с начально прямолинейной полубесконечной трещиной и с помощью принципа симметрии найдена криволинейная часть дальнейшего развития трещины в первом приближении. В работе [64] трещина представлена непрерывным распределением дислокаций, плотность которых подлежит определению из системы интегральных уравнений методом малого параметра.
Решение задачи для слабо искривленной или ломаной трещины дано в работе [23] (Cotterell В., Rice J.R., 1980), где применен метод комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили в сочетании с методом возмущений. Решение ограничивалось первым приближением. На примере трещины в виде дуги окружности было показано, что это приближение дает достаточную для практических целей точность вычисле ния КИН. В работе [162] (Wu С.Н., 1994), основываясь на методе возмущений работы [15] (Cole J.D., 1968), получены формулы для КИН первого приближения у вершины трещины.
Метод возмущений применялся также в работах [24, 30, 76, 118, 119, 124, 173, 174, 180, 182]. Автор работы [182] (Martin Р.А., 2006) говорит о преимуществах, в смысле общности, метода возмущений по сравнению с методом степенных рядов работы [220]. Рассматривая задачу для кубической трещины, он пришел к выводу, что значения КИН работы [220] содержат ошибки, кроме того, сопоставление с точным решением задачи для трещины в виде дуги окружности выполнено некорректно. Метод малого параметра использовался и в статье М.А. Грекова в задаче о криволинейной трещины в однородной плоскости [173]. В отличие от упомянутых выше работ, в этой работе решение не ограничилось первым приближением, был предложен алгоритм построения любого приближения для заданных форм трещин. Криволинейные трещины на границе раздела. Криволинейные трещины на границе раздела двух сред являются предметом исследования во второй главе диссертации. Этим задачам посвящено относительно небольшое число работ: [48] (England А.Н., 1966), [59] (Perlman А.В., Sih G.C., 1967), [87-89] (Toya M., 1973, 1974, 1975), [71] (Theocaris P.S., Stassinakis C.A., 1977), [72] (Ioakimidis N.I., Theocaris P.S., 1978), [102] (Hui C.Y., Chen Y.C., 1983), [119, 120] (Gao H., 1991), [148] (Hao T.-H., 1990), [176, 177] (Греков M.A., 2006), [187] (Chen C.-H., Hsu J., 1996), [193] (Yuan F.G., Yang S., 1997), [214] (Kovtunenko V.A., 2003). В работах [48, 59] изучалась проблема трещин в виде дуги окружности на линии раздела двух материалов - круговое упругое включение, частично соединенное с плоскостью. Аналогичные задачи для жесткого кругового или эллиптического включения исследовались в [87-89]. Во всех работах применялись примерно одинаковые методы решения, основанные на теории комплексных потенциалов и сведении к граничным задачам Гильберта. Работа [71] посвящена экспериментальному исследованию оптическим методом криволинейной трещины в виде дуги окружности на круговом включении в упругую матрицу. Определялись КИН в окрестности концов трещины при одноосном растяжении на бесконечности. В работе [72] выполнен теоретический анализ аналогичных задач.
