Содержание к диссертации
Введение
1 Формула Гриффитса для трещины в пьезоэлектрической среде 14
1.1 Матричная форма записи определяющих соотношений 14
1.2 Сведение к интегро-дифференциальной задаче 19
1.3 Степенные решения модельной задачи 26
1.4 Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины 35
2 Сингулярности полей в пьезоэлектрических и электропроводящих телах 43
2.1 Запись определяющих соотношений в матричной форме 43
2.2 Разрешимость задачи в комплексной форме 46
2.3 Разрешимость модельной задачи и полиномиальное свойство 49
2.4 Сведение к интегро-дифференциальной задаче 54
2.5 Степенно-логарифмические решения и общее строение спектра 59
2.6 Базисы степенных решений, адаптированные к критериям разрушения 65
3 Принцип соответствия в плоских задачах о прямолинєном развитии трещин 73
3.1 Аффинные преобразования в плоской задаче анизотропной теории упругости 73
3.2 Алгебраические преобразования задач теории упругости 81
3.3 Сингулярные составляющие напряженного состояния вблизи трещины 82
3.4 Преобразование сингулярных составляющих при замене координат. 85
3.5 Вариационно-асимптотическая модель квазистатического роста трещины 87
3.6 Принцип соответствия 90
3.7 Инвариантные интегралы 94
Литература
- Сведение к интегро-дифференциальной задаче
- Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины
- Разрешимость модельной задачи и полиномиальное свойство
- Алгебраические преобразования задач теории упругости
Введение к работе
Потребность применения пьезокерамических преобразователей в ультраакустике, радиоэлектронике, измерительной и вычислительной технике привело в последние десятилетия к интенсивному развитию раздела механики деформируемого твердого тела, получившему название электроупругостъ. Данное направление, беря за основу использование физических свойств естественных кристаллов и керамик искуственного происхождения, изучает механику связанных механических и электрических полей в соответствующих элементах конструкций.
После открытия пьезоэффекта братьями Жаком и Пьером Кюри и классического трактата В. Фойгта [89], теория электроупругости получила развитие в трудах:.У. Мэзон |41]: 1952г., Дж. Най [61] 1960г., В. Новацкий [62] 1961г., Д. Бер-линкур, Д. Керран, Г. Жаффе [10] 1966г., А.А. Ильюшин [21] 1978г., Л.И. Седов [68] 1983г. и др. Дальнейшее развитие механики связанных полей в пьезоэлек-триках связано с постановкой граничных задач электроупругости и разработкой методов их решения. Здесь стоит упомянуть работы следующих авторов; Дж. Барроут [8], Б.А. Кудрявцев [30], В,М. Баженов, Г.В. Куцеико, А.Ф. Улитко [6], А.С. Космодамианский, А.П. Кравченко, В.Н. Ложкин [26], И.Б. Половинкииа, А.Ф. Улитко [65], Z.T. Kurlandska [82], А.В. Белоконь, И.И. Воронич [9], Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, В.И. Ракитин [31],.Б.А. Кудрявцев, В.И. Ракитин [33], А.Ф. Улитко [70], Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, Н.А. Сеник [32], В.А. Кокунов, Б.А. Кудрявцев, Н.А. Сеник [23], А.О. Ватульян, В.Л. Кубликов [13], В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга [18], Y.E. Рак [87], С.А. Амбарцумяп, М.В. Белубекян [3[, Z. Suo, СМ. Kuo, D.M. Barnett, J.R. Willis [88] и др. Достаточно полный обзор статей, опубликованных до 1980 года, содержится в работе [29].
Как и в обычной механике деформируемого твердого тела, наиболее просто поддаются анализу двумерные статические задачи электроупругости о плоской и антиплоской деформации тел, а также об изгибе пластин. Переход к комплексным переменным позволяет свести двумерные постановки электроупругости к соответствующим граничным задачам теории аналитических функций. В этом случае механические и электрические поля выражаются, например, для пьезокерамик, через три аналитические функции своих комплексных переменных. Указанный метод использовался различными авторами (см., например, работы [14, 17, 27] и др.). Так в работе [26] на основе методов, развитых в [27], изучена концентрация напряжений на контуре эллиптического отверстия в пьезокерамическои полуплоскости при действии на ее границе точечного электрического заряда. Краевая задача механики разрушения для прямолинейной трещины на границе пьезоэлектрика с проводником решена в [31]. В монографии [17] построены фундаментальные решения статических задач электроупругости для пьезокерамическои плоскости и полуплоскости, а также функции Грина для неограниченной пластины, ослабленной прямолинейной трещиной или жестким линейным включением.
При рассмотрении граничных задач электроупругости для с трещинами, которые в недеформировашюм состоянии ассоциируются с математическими разрезами, принципиальное значение имеет правильная постановка условий электрического контакта берегов разреза. Этот вопрос подробно обсуждается в статьях [65, 88].
Практический интерес представляет изучение сопряженных механических и электрических полей в составных пластинах, состоящих из двух разнородных пье-зокерамических полуплоскостей, непрерывно скрепленных вдоль общей прямолинейной границы. Функция Грина для соответствующей двумерной;задаче электроупругости когда на границе раздела сред имеется межфазная трещина, построена в работе [71]. Существенно, что как ив классической теории упругости, в окрестности вершин трещины имеется степенная особенность, усиленная осцил- ляцией [66, 74]. Обзор исследований межфазной трещины приведен в статье [19], ряд важных результатов в этом направлении получен в работах [22, 28, 31, 66] и
Критерий разрушения электроупругого тела, инициированного концентрацией напряженности электрического ноля на полях электродов, предложен в работе [7]. На основе электромеханических аналогий использованы соотношения механики разрушения применительно к электрическому пробою диэлектрика. Получено соотношение, согласно которому при электромеханическом разрушении электроупругого диэлектрика поверхностная энергия состоит из механической и электрической составляющих, которые в частном случае содержат критерий разрушения упругой среды и критерий электрического пробоя,диэлектрика. Энергетический критерий разрушения пьезоэлектрического тела, ослабленного трещиной, построен в работах [31, 33]. Однако неточности вычислений (см. далее) допущенные при построении критериев разрушения ставят под сомнение полученные результаты.
Аналитических вычисления сингулярностей полей напряжений вблизи угловых вырезов в плоских телах, проведенные в рамках линеаризированной теории упругости, обычной или усложненной (например, континуум Коссера), или линейной теории пластин (модели Кирхгофа и др.), указывают сингулярность 0(гт~1^2) в вершине О трещины; здесь г — расстояние до точки О, а 2т — порядок дифференциального уравнения. Это обстоятельство послужило отправным пунктом для создания большинства методов прогнозирования разрушения в механике трещин. Между тем, прямые расчеты возможны лишь для изотропных сред или ор-тотропных, но при специальном расположении трещин. Для общих формально самосопряженных эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем с постоянными коэффициентами исследования поведения решений в вершинах разреза были впервые проведены в работе ]45]. Именно, при требовании полиномиального свойства [50] системы уравнений и знакоопределенности приращения функционала энергии вследствие роста трещины, было установлено, что показатели А син-гуляриостей решений гхФ(<р) являются либо целыми числами А Є 2, либо имеют вид A = \/2 + k + ifiq, где і — мнимая единица, к є 2, q= 1,... ,Q,a {/^i,... ,//q} — набор вещественных чисел, не зависящих от к. Помимо этого было проверено, что для всех показателей, кроме, быть может, А = 0, ...,2(т — 1), нет сингулярных решений гЛФ(<, log г), полиномиально зависящих от логарифма. Доказательство этих фактов опиралось на конструкции известные в механике трещин, в частности, формулу Гриффитса для приращения потенциальной энергии деформации, которые удалось приспособить к задачам Дирихле и Неймана для общих самосопряженных систем дифференциальных уравнений.
В статье [54] было отмечено, что все результаты и доказательства из [45] сохраняются для трещины на стыке двух упругих сред. Как известно [81], при определенных соотношениях между постоянными Ламе упругих изотропных сред, напряжения действительно приобретают осцилляции около кончика разреза, что соответствует ненулевым мнимым частям ця = Im А показателей А. Для трещины в однородном теле показатели А вещественные — этот факт, не поддающийся проверке при помощи метода [45] в случае произвольной анизотропии, установлен в работе [80] на основе анализа асимптотики решений интегро-дифференциальных уравнений, эквивалентных обычной краевой задаче о трещине. Принципиально новый подход и более общие результаты содержатся в публикации [78], где рассмотрены общие, не обязательно самосопряженные, эллиптические системы дифференциальных уравнений и доказано, что показатели степенных решений являются целыми или полуцелыми в том случае, когда на берегах разреза поставлены одинаковые краевые условия. Вместе с тем, метод, развитый в [78], непосредственно неприменим для систем с кусочно-постоянными коэффициентами, претерпеваю- щими разрывы па линии разреза.
В настоящей диссертации исследуются сингулярности напряжений в вершине трещины на стыке двух пьезоэлектрических сред как при наличии электрического контакта берегов трещины (гл.1), так и в случае их электрической изолированности (гл.2). Конкретные вычисления сингулярностей упругих и электрических полей проведены лишь в частных случаях (см. 6 [63]), а методы [78] и [45, 54] пе работают — последний из-за того, что по своей физической природе пьезоэлектрическая задача не может быть переформулирована как мишшизационная. Тем не менее, в разд. 1.3 (разд. 2.5) доказано, что показатели сингулярностей в пьезоэлектрической задаче остаются такими же, как и в чисто упругой, Для этого используется разработанный в [51] прием устранения электрического потенциала и эквивалентное сведение дифференциальной задачи к интегро-дифференциальной, изложенное в разд. 1.2. Решение последней задачи доставляет минимум некоторому энергетическому функционалу (не физическому!) и допускает исследование при помощи метода [45, 54].
Общая теория эллиптических задач в областях с кусочно гладкими границами (см. ключевые работы [24, 38, 39] и, например, книгу [83]) позволяет для ответов на большинство вопросов ограничиться изучением модельной задачи о полубесконечной трещине Л = {х = (хі,х2) Є К2 : Хі ^ 0, х2 = 0} на границе двух однородных полуплоскостей Щ. = {х : ±х2 > 0}. Переход к искривленным трещинам в неоднородном теле с гладкими упругими модулями не изменяет множество показателей А и даже не приводит к возникновению дополнительных множителей log г (по поводу логарифмов см. [79]). Подчеркнем, что полученные сведения о сингулярностях решений касаются и трехмерных тел с трещинами, имеющими гладкие фронты — при интерпретации последних как ребер достаточно воспользоваться общими результатами [55, 83] и др.
Результаты анализа сингуляриостей упругих и электрических полей применяются для прогнозирования разрушения в рамках энергетического критерия Гриф-фитса, оперирующего с полной (потенциальная + поверхстная) энергией тела. Как уже упоминалось ранее, атрибуты классической механики трещин передаются любой самосопряженной системе. При рассмотрении удлинения трещины, в том числе с изломом, как сингулярного возмущения области, асимптотические формулы для приращения энергетических функционалов для линейных краевых задач были установлены на математическом уровне строгости в [37]. Упомянем также работу [69], где была получена аналогичная формула в нелинейной задаче Синьорини о прямолинейно растущей трещине при возможном контакте берегов.
При взаимодействии полей различной физической природы имеется несколько термодинамических характеристик системы, в частности, свободная энергия и энтальпия (см. [34] и др., а также далее разд. 1.1). Каждой из названных характеристик отвечает своя реализация пьезоэлектрической задачи: в первом случае система дифференциальных уравнений не является формально самосопряженной, а во втором — является. Таким образом, результаты [37] обеспечивают прямое вычисление приращения квадратичной формы, отвечающей энтальпии, при развитии трещины вдоль линии раздела сред (такое предположение о характере разрушения физически осмыслено). Связь (1.1.9) энтальпии и свободной энергии, а также интегральные представления (1.4.15) коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) позволяют приспособить асимптотическую формулу для потенциальной энергии. При этом полученное выражение (1.4.16) для скорости высвобождения энергии качественно отличается от случая чисто упругой задачи. Во-первых, оно перестает быть локальной характеристикой полей в устье трещины, так как столбцы КИН Км и А"Е, порожденные механическими и электрическими воздействиями, входят в формулу (1.4.16) по-отдельности. Во-вторых, скорость высвобо- ждения энергии равна разности квадратичных форм от КУ1 и Kff что объясняет экспериментально наблюдаемую возможность управлять процессом разрушения, в частности, останавливать его путем наложения внешних электрических полей. Подоплека перечисленных особенностей формулы Гриффитса для трещины в пьезоэлектрическом теле кроется в отсутствии формальной самосопряженности краевой задачи и в незамкнутости системы, излучающей вовне электромагнитную энергию. Таким образом, энергетический критерий Гриффитса разрушения хрупких пьезоэлектрических тел не эквивалентен силовым критериям Ирвина и Новожилова, локальным по своей природе. По той же причине инвариантный интеграл Эшслби-Черепанова-Райса (см. [75, 77, 86]) для пьезоэлектрической среды не вычисляет скорость (1.4.18) высвобождения энергии при продвижении трещины.
Полученные результаты и выводы противоречат формулам, опубликованным в гл.6 книги [63], однако внимательная проверка выкладок обнаруживает просчеты на стр. 296 [63[: ошибочное определение работы (лишний множитель 1/2) и неправильное интегрирование по частям в соотношении взаимности. Устранение названных изъянов возвращает упущенный член в формулу (33.23) из [63].
Заключительная 3 глава посвящена изучению принципов соответствия в плоских задачах о прямолшгом развитии трещин в чисто упругих телах. Установлено, что произвольно анизотропный материал алгебраически эквивалентен ортотроп-ному с осью симметрии четвертого порядка. Другими словами, для любой матрицы А упругих постоянных найдется преобразование т из (3.2.2), подчиненное условию det т = 1 и такое, что матрица A = (А.^) из (3.2.3) соответствует орто-тропному материалу с осью симметрии четвертого порядка, т.е.
Ац = А22, Азі = А32 = 0.
Кроме того, можно соблюсти дополнительное условие Ац > Аі2 + Азз-
Введенные алгебраические преобразования привлекаются для изучения осо- бенностей вблизи вершин трещин и угловых вырезов — замена координат (3.2.2) не влияет на показатели А син гул яркостей (разд. 3.6). В то же время направление и длина трещины-отрезка изменяются, однако такие энергетические характеристики, как упругая энергия и инвариантные интегралы, приобретают разве лишь постоянные множители (разд. 3,7), Это обстоятельство указывает на возможное сходство квазистатических процессов разрушения для алгебраически эквивалентных сред и в разд. 3.5 устанавливается, что вариационно-асимптотическая модель [47, 46, 5] этих процессов в алгебраически эквивалентных телах G и G приводят к подобным решениям; Значения предельных нагрузок, вызывающих рост трещин, связывают посредством критических значений Кіс и Кіс КИН, после чего каких-либо свободных констант для подгонки не остается. Удивительно то, что вариационное неравенство, описывающее рост трещин, содержит разнообразные характеристики как самого тела с трещиной, так и наведенного в нем напряженного состояния (разд. 3.3), однако алгебраический пересчет этих характеристик (разд. 3,4) оказывается согласованным с их позициями в математической постановке задачи разрушения.
Модели [46, 5] относятся к прямолинейному росту трещины, вызванному разрывной модой напряженного состояния, и поэтому детализированная проверка принципа соответствия производится при условиях упругой и геометрической симметрии тел G и G. В принципе упругая и прочностная анизотропии тел независимы (см. [64, 72] и др.), т.е. распространение принципа соответствия на анизотропные тела требует предположений о связи их прочностных свойств посредством алгебраических преобразований. Если случилось, что такая связь имеет место, то из принципа соответствия выводится, например, условие прямолинейного развития трещины (разд. 3.6). Отметим, что преобразования (3.2.2) и (3.2.3)-(3.2.5) приводят к перемешиванию мод (см. далее формулы (3.4,3) и (3.4.7)) и поэтому на- званное условие (3.6.1) содержит линейную комбинацию КИН К\ и Кч и в случае произвольной анизотропии отличается от очевидного на первый взгляд равенства К2 = 0.
Результаты диссертации докладывались автором на конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (Ростов-на-Дону, декабрь 2001), на семинарах кафедры теории упругости Санкт-Петербургского Государственного университета под руководством академика Н.Ф. Морозова (сентябрь 2002, февраль 2003, май 2004), а также на семинаре института Проблем машиноведения под руководством академика Н.Ф. Морозова (Санкт-Петербург, июнь 2004). Они опубликованы в пяти работах [90] - [94],
Личный вклад соискателя отражен в положениях, выносимых на защиту:
Формула Гриффитса для приращения потенциальной энергии деформирования вследствие прямолинейного развития трещины на стыке произвольно анизотропных электроупругих сред при электрическом контакте берегов.
Вывод формулы Гриффитса для приращения потенциальной энергии деформирования вследствие прямолинейного развития трещины па стыке произвольно анизотропных электроупругих сред в случае электрической изолированности берегов.
Теоретическое обоснование экспериментально установленной возможности управлять процессом разрушения путем наложения дополнительных электрических полей.
Установление всех сингулярностей упругих к электрических полей вблизи вершины трещины на границе двух произвольно анизотропных пьезоэлектричеких тел в случае электрического контакта берегов и при их электрической изолированности.
Построение базисов степенных решений, адаптированных к различным крите- рням разрушения.
Обоснование алгебраической эквивалентности произвольно анизотропного плоского тела ортотропному с осью симметрии четвертого порядка, обладающего дополнительным условием Ац > Ai2 + А33, где А = (А^) — матрица жесткости ортотропного материала.
Формализация принципов соответствия в плоских задачах о прямолинейном развитии трещин в чисто упругих телах.
Сведение к интегро-дифференциальной задаче
Придать физический смысл величинам (1.1.10) и (1.1.11) затруднительно, однако именно они и энтальпия (1.1.8) обеспечивают вариационную постановку пьезоэлектрической задачи: требуется найти вектор-функцию для которой справедливы включения и интегральное тождество
Здесь подпространство функций, анулирующихся на квадратичная форма, определенная по функционалу (1.1.8). Мы не будем формулировать и доказывать известное утверждение о разрешимости задачи (1.1.12) — оно получится в разд. 1.2 как очевидное следствие конструкций, используемых для других целей. Тем не менее, упомянем, что, например, при = 0 решение задачи (1.1.12) оказывается стационарной, точкой функционала (1.1.10) на пространстве Н, вообще говоря, седловой — у этого функционала минимума нет. Фунционал Ы{и) минимум имеет, однако его стационарная точка соответствует решению задачи о невзаимодействующих полях (нужно положить ЛЕМ = 0 в формуле (1.1.4) и всюду далее). Все указанные песоотвествия происходят из-за того, что краевая задача со связями (1.1.1) должна быть несамо-сопряжетюй, но при образовании интегрального тождества (1.1.12) с симметричной квадратичной формой перед интегрированием по частям система уравнений (1.1.5)i умножается па вектор (ум,иЕ)т, а не на (vM, — иЕ)т, как это следовало бы делать в соответствии с определением (1.1.2). Физическая подоплека обсуждаемых фактов — незамкнутость системы в рассматриваемой пьезоэлектричекой модели [34, 63, 18]: электромагнитное поле не может существовать лишь внутри тела Q.
Замечание 1.1.1 Можно проверить, что функционалы U н U, вычисленные на решении {гім,иЕ} задачи (1.1.5), (1.1.6), связаны соотношением в котором Ав(и) = — ЛЕ(и) — выражение (1.1.7)2 при дм = 0 и м = 0, т.е. работа собственно электрических воздействий. В этом разделе рассматриваем наиболее интересный случай, когда условия Дирихле (1.1.5)з отсутствуют, т.е. дуга Г пустая; переход к случаю Y 0 требует разве лишь упрощений. Из жестких смещений и постоянных электрических потенциалов составим линеал матрица размером 4x3,
Верхний левый (2 х 3)-блок матрицы (1.2.1) обозначим dM(x)T и введем подпространства Hl(la)l и # (fi)_L, составленные из упругих смещений им Я](Гїо)2 и потенциалов иЕ Я1(П), которые подчинены условиям ортогональности оспользуемся приемом, разработанным в [51], и устраним электрический потенциал из задачи (1.1.5), (1.1.6). Считая упругую компоненту им Hl(Qo) фиксированной, рассмотрим " электрическую" часть задачи, а именно, уравнение
Доказательство. Согласно предложению 1.2.2 функционалы (1.1.10) и (1.2.12), вычисленные на решениях и = (им,ив)т и им задач (1.1.12) и (1.2.9), совпада ют. Благодаря предложению 1.2.1 решение им Є Я ГЇо) доставляет минимум функционалу (1.2.12). При удлинении трещины пространство Я ґїо) увеличива ется (допускаются разрывы вектора им на отростке трещины), а значит, мини мум уменьшается, поскольку оператор Т не зависит от длины трещины. В самом деле, первое слагаемое в левой части (1.2.9) содержит лишь дифференциальные (локальные) операторы, а отображение Г, присутствующее во втором слагаемом, определяется из задачи (1.2.6), в которой трещина никак не фигурирует благодаря электрическому контакту берегов
Для исследования сингулярностей упругих и электрических полей в вершине трещины необходимо рассмотреть модельную задачу о составной плоскости с полубесконечным разрезом, т.е. положить 0,± = Е = {х : ±х2 0}, Г = 0, А± = {х : xi 0, х2 = 0}, S = Л+ U Л_ = 0, Т \ Л = {х : хх 0, х2 = 0}. В данном разделе рассматривается именно модельная задача, но за ней сохраняется номер (1.1.5), (1.1.6).
Утверждения доказанные в предыдущем разделе, на основании результатов [25, 44, 59] приспосабливаются к модельной задаче. Именно, пространство Н1 ) (пространство Я1 (По)) необходимо заменить пространством Vі(В?) (пространством Fl(R2 \ Л)), полученным пополнением линеала C fR2) (линеала гладких вплоть до берегов Л± функций с компактными носителями) по весовой норме
Пространства Я1 ) и Hl(fi)± заменяются подпространствами K tR2 \ Л) и Vі (R2)., выделенными условиями ортогональности какой-либо компакт положительной меры. В (1.3.2) указано три условия ортогональности, а в (1.2.2) — четыре. Этот эффект, обусловленный переходом к неограниченной области, и его связь с принципом Сен-Венана объясняются в [25] и [59] (первопричина состоит в том, что поступательные смещения можно приблизить по норме (1.3.1) вектор-функциями с компактными носителями, а поворот — нет). Далее понадобятся лишь решения задачи при В соответствии с (1.3.2) для разрешимости такой задачи требуется, чтобы правая часть /м имела нулевое среднее. а также их линейные комбинации, называются степенными. В формуле (1.3.3) А Є С, а Ф — полином переменной log г с коэффициентами из пространства С[—7г, я-]3. Поскольку при любом t 0 вектор-функция х ы. U{tx) по-прежнему удовлетворяет однородной задаче (1.1.5), (1.1.6), выражение rA ( ,2,logr) также остается степенным решением; здесь штрих обозначает производную по второму аргументу. Множество S показателей А Є С, для которых существует нетривиальное степенное решение (1.3.3), называется спектром пучка, ассоциированным с модельной задачей (ем. [24, 83] и, например, [54]). При этом {Ф ,...,Ф } — жорданова цепочка, отвечающая собственому числу А, и состоящая из собственного Ф и присоединенных Ф \..,, Ф векторов.
Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины
Напомним, что здесь Я1(П) — пространство комплекенозначных функций. Утверждение теоремы 2.3.1, разумеется, остается в силе и для задачи ( ) = (2.3.7) 4-(2.3.8), записанной в вещественной форме, т.е. аналогично Далее такую задачу для ограниченного тела П обозначаем ( ).
Тот факт, что форма (2.2.4) аннулируется только на векторных полиномах из линеала (2.3.1), означает наличие у нее полиномиального свойства в полном объеме (см. [52, 50]). Это свойство обеспечивает, в частности, эллиптичность краевых задач ( ) и ( )±г, а также позволяет путем анализа строения линеала полиномов выяснить в каких функциональных пространствах разрешима краевая задача, поставленная на области с кусочно гладкой границей (угловые точки, ребра и пр.) и с выходами на бесконечность конической и цилиндрической форм (см. книгу [83], обзор [50, статьи [55, 49] и др.). Модельные задачи ( ) и ( ) = (2.2.2) + (2.2.3) относятся как раз к упомянутому классу и мы сформулируем результат об их однозначной разрешимости, вытекающей из цитированных работ. Под Vg(7(R±) будем понимать пространство Кондратьева с индексами І Є No = N U {0} и j3, y Є R, , 2 , состоящее из функций v Є Щ0С(Ж±\О), для которых конечна весовая норма
Так как энергетический функционал (2.2.4) вычисленный по решению и на полуплоскости с разрезом Л, оказывается конечным. Такие решения принято называть энергетическими. Далее понадобятся обобщенные энергетические решения задачи ( ) с правыми частями (2.3.10) — они отыскиваются в классе 7І{У ? \Л) функций с конечной нормой весовой множитель. Ввиду неравенства Корна (см. [25]) и варианта неравенства Харди "с логарифмом" (см., например, [83]) пространство H(R2 \ Л)4 можно получить как пополнение пространства гладких (вплоть до берегов разреза) вектор-функций с компактными носителями по энергетической норме {]\0(Ух)щЬ2{№.2)\\2 + lu;L2(K)3)1/2; здесь К — ограниченное множество с положительной площадью.
Теорема 2.3.3 При любых правых частях (2.3.10), подчиненных условию ортогональности (2.3.11), задача ( ) имеет обобщенное энергетическое решение из класса 7і(Ш2 \ Л)4. Это решение определено с точностью до постоянного слагаемого изШ.4, которое, в свою очередь, можно фиксировать так, чтобы обобщенное решение совпало с решением (2.3.12).
В теореме 2.3.1, обслуживающей конечное составное тело, возникло пять условий разрешимости (2.3.9) (см. (2.3.2)), а в теоремах 2.3.2 и 2.3.3 — только четыре, поскольку формула (2.3.11) не требует обращения в пуль момента внешней нагрузки. Исчезновение этого требования — характерная черта плоских задач в областях с угловыми выходами на бесконечность (ср. с [25, 59]). Дело в том, что постоянный вектор можно приблизить по энергетической метрике функциями с компактными носителями, а поворот, т.е. четвертый столбец матрицы (2.3.2), — нельзя. Иными словами, поворот не попадает в энергетический класс 7і.(И2 \ Л)4, а значит, ввиду альтернативы Фредгольма для самосопряженного оператора задачи ( ) в обобщенной постановке соответствующего условия разрешимости не возникает. Отметим, наконец, что решение и, указанное теоремой 2.3.2, исчезает на бесконечности, а энергетическое решение при правых частях (2.3.10) стабилизируется к постоянному вектору с К.4 и равенство с = 0 делает его единственным.
Сведение к интегро-дифференциальной задаче
По аналогии с разд. 1.2, воспользуемся приемом, разработанным в 42], гл.7, и [51], и устраним электрический потенциал из задачи ( ). Считая упругую компоненту им Є Я1(7}ц заданной, рассмотрим "электрическую" часть задачи: понимаем проекции, выделяющие механическую и электрическую составляющую полей (ср. с гл.1).
Обобщенная постановка задачи (2.4.1) сводится к интегральному тождеству Благодаря свойству матрицы АЕЕ и неравенству Пуанкаре (2.3.4)г, задача (2.4.3) однозначно разрешима в классе при любых им, причем последний символ " означает выполнение условия В частности, определено инъективное отображение
Разрешимость модельной задачи и полиномиальное свойство
Доказательство. Для проверке первого утверждения достаточно повторить рассуждения, использованные при доказательстве следствия 1.3.2.
Поскольку согласно [38) (см. также теорему 3.5.8 [83]) решению Ux(x) — г 2+п Ф( / ,logr) с максимально возможной степенью deg 0 в формуле (2.5.4) соответствует (степенное) решение (2.5.3) с deg# = 0, прежняя схема рассуждений годится для проверки отсутствия степенно-логарифмических решений.
Осталось определить количество степенных решений. Непрерывным изменени ем матриц А± из закона Гука в (2.1.6) можно перейти к задаче ( ) для изотроп ного однородного материала. Поскольку по доказанному собственные числа пучка не могут покидать прямой {тг+1/2), теорема [16] о сохранении полной кратности спектра при непрерывном варьировании пучков указывает на наличие четырех собственных чисел, как и для изотропной среды с трещиной, где, например, для показателя Л = 1/2 существуют решения г Ф ( /?)» j = 1,2,3, порождающие корневые сингулярности напряжений трех основных мод, и решение г 2ФЕ, поро ждающее корневую сингулярность напряженности электрического поля. Осталось воспользоваться свойствами 1 и 3 спектра . Базисы степенных решений, адаптированные к критериям разрушения
В этом разделе рассмотрим тот случай, в котором все показатели степенных решений оказываются вещественными, т.е. целыми и полуцелыми (например, трещина в однородной плоскости; см. теорему 2.5.2). Для того чтобы фиксировать базисы в линеалах L , степенных решений, отвечающих показателям А — Z, воспользуемся приемами из [54, 4] и соотнесем определения с различными критериями разрушения. Подчеркнем, что при ненулевых мнимых частях показателей какого-либо специального определения базисов не требуется.
Как и в [58 для чисто упругой задаче, разобьем степенные решения на четыре группы. В первую группу поместим решения Xjam+1{r, p)=rm+1/2-2m+1( p), j = 1,...4, m = 0,1,..., (2.6.1) обладающие конечной энергией в любом круге, и порождающие в вершине разреза особенности упругих напряжений и электрической индукции или их производных. Вторая группа содержит однородные полиномы Xjfim(r,tp) = rm3 j 2m{(p), .7 = 1,...4, т = 0,1,... (2.6.2) Оставшиеся решения имеют сингулярности, и для них квадратичная форма (2.2.4) расходится в вершине разреза. В третью группу включим решения, представ имые в виде rj 2m+1(r,Vj) = r-m-1/2 m+1( )t ; = 1,...4, т = 0,1,..., (2.6.3) Yi (r, р) = Ф ( ) log г + Ф (у ), j = 1,... 4. Оставшиеся решения составят четвертую группу Yi-2m{r,ip) = r-m4fi 2m((p), j = 1,...4, m = l,2,... (2.6.4) Если базисы (2.6.1), (2.6.2) фиксированы, то, как уже пояснялось в разд. 2.5, базисы (2.6.3), (2.6.4) можно выбрать, исходя из условия нормировки Q[X Yi-nr)=6ijSnik. (2.6.5) Кроме того, в соответствии со свойством 3 спектра можно соблюсти условие с№"+ , гр) = (г, у»), п = 0,1 (2.6.6) Таким образом, остается нормировать степенные решения с показателями А = 1/2 и А= 1. Вспоминая классическое определение коэффициентов интенсивности напряжений Kj= 1іт(2тгг )1/2ац(щг,0), (2.6.7) для первой группы (2.6.1) назначаем следующие условия на продолжении трещины : аи± ( .2 +1. Г) 0) = (2 )- - , к = 1,2,3, (2.6.8) а± (Xi i.Ty0) = фк)-1 2 1 j = 1,...,4 (в силу (2,1.9)i левые части не зависят от ±). Такая нормировка согласована и с (2.6.7) и с (2.6.6). Возможность выполнения равенств (2.6.8) устанавливается от противного. В самом деле, если этого сделать нельзя, то найдется степенное решение (2.6.1) с показателем Л = гп + 1/2, для которго
Равенства (2.6.9) вместе с краевыми условиями (2.1.8)г на верхнем берегу разреза означают, что U — решение однородной задачи Неймана для уравнения D{—Vх)тА+D{VX)U = 0 на полуплоскости R+. Известно, что такое решение гладкое и не может иметь нецелый показатель Л — требуемое противоречие найдено. Отметим, наконец, что полиномиальные решения (2.6.2) можно подчинить следующим условиям (ср. с работой [4]); Поскольку нормировка (2.6.8) связана с определением КИН (2.6.7), соответствующий базис следует назвать " силовым" .
Для базиса, соотнесенного с " деформационным" критерием разрушения, следует рассматривать скачок [U] (г) = /(г, +х) — U(r, — 7г) вектора смещений на берегах трещины. Условия нормировки выглядят так:
Как и ранее, возможность нормировки (2.6.10) доказывается от противного. Если, например, нельзя соблюсти равенства (2.6.10), то найдется степенное решение U(x) = гт+1/2Ф(ф), для которого [U] (xi) = 0 при xi 0. Теперь благодаря краевым условиям (2.1.8)2 условия сопряжения (2.1.9) выполнены на всей оси абсцисс, а значит, согласно [67J сужения U на полуплоскости — гладкие вектор-функции, т.е. показатель т 4-1/2 невозможен.
Если {х : х2 = 0} — плоскость упругой симметрии физических свойств материала, то " силовая" и " деформационная" нормировки доставляют базисы {г1 2Ф } и {г Ф- }, лишь множителями отличающиеся один от другого. Пропорциональными оказываются и коэффициенты Щ и Kj в разложениях и(х) = с + Y, І 1/2Ф " (?) + 0(r) решения задачи ( ), т.е. столбцы К " = {К {\,.. Kl )T связаны формулой Ks=KKd, (2.6.11) в которой К, — диагональная матрица размером 4 х 4. В общем случае матрица /С не обладает какими-либо свойствами симметрии, но остается невырожденной. Она зависит от матриц А± в (2.1.7) (для однородного материала, в частности, от направления трещины) и определяет связь деформационного и силового критериев разрушения. Базисы сингулярных решений пересчитываются по формуле rW& fa) = ХХ г1/2фРа (2.6.12) p=i где }Cpj — элементы транспонированной матрицы JC1 . Отметим, что согласно (2.6.8) и (2.6.7) слева в (2.6,11) стоит столбец КИН.
Как отмечалось ранее (см. первую группу степенных решений (2.6.1)) существует в точности четыре линейно независимых степенных решения XJ,1(r, ср), порождающих в вершине разреза особенности упругих напряжений и электрической индукции, подчиненных условиям нормировки (2.6.8). Благодаря результатам [38] по базису Х х единственным образом восстанавливается базис Y 1 в линеале степенных решений модельной задачи с показателями —1/2: соблюдаются условия биортогональности (2.6.5). По определению весовые функции ZJ = {z , } суть "неэнергетические" решения однородной задачи ( ) для ограниченного тела Г2 с предписанным ростом около вершины О:
Алгебраические преобразования задач теории упругости
Применим критерий Ирвина в его апостериорной формулировке, т.е. в каждый момент т рассматривая как неподвижные, так и смещающиеся вершины: Первое из условий означает, что трещина не может зарастать, а второе (третье) требует, чтобы в неподвижной (смещающейся) вершине КИН не превосходил критического значения Кіс (был равен /\c). Последнее равенство вытекает из невозможности роста трещины в случае К [т) Kic. Как обычно (см. работы [85, 47, 46, 5] и др.), эти соотношения преобразуем в вариационную задачу: требуется найти столбец удовлетворяющий при всех пробных столбцах X неравенству
Поясним обозначения. Включение (3.5.3) означает, что обе компоненты столбца Н(т) неотрицательны; Рц — элемент матрицы Р, фигурирующей в (3.3.7), С — (С ф) — симметрическая (2 х 2)-матрица, составленная из коэффициентов в разложении (3.3.8) весовых функций zl a, N — диагональная матрица размером
Исследование вариационного неравенства (3.5.4) и истолкование его решений приведены в [46, 5]. В случае устойчивого квазистатического роста решение (3.5.3) является единственным и допускает оценку Я"(т) constF(r)_, т.е. оказывается малым при малых т; здесь z± = 2-1(,г ± z).
Замена (3.2.2) с диагональной матрицей m = diag{mj,rot} сохраняет геометрическую и упругую симметрии тела G = G0 \ М с матрицей жесткости А (см. (3.2.3)). Пусть Кіс критический КИН для материала, заполняющего G, и аз = Кіс/Кіс. Нормировав нагрузку, приложенную к поверхности SGo и полученную из (3.5.1) согласно (3.2.4), находим, что в силу (3.4.7) и (3.4.8)
Поскольку величина b(m, l) из (3.4.2) оказывается нулевой благодаря строению матрицы m (векторы ml и mt ортогональны), соотношения (3.4.6) и (3.4.9) упрощаются, Формулы (3.5.5) и (3.5.6) позволяют сделать алгебраические преобразования в вариационном неравенстве (3.5.4). Сократив появляющийся общий множитель mf1, получаем В разд. 3,5 обнаружена тождественность двух вариационных неравенств: полученного алгебраическими преобразованиями из (3.5.4) и написанного на основе аналогичных (3.5.2) соотношений
Это наблюдение обеспечивает следующий принцип подобия процессов квазистатического роста трещин вдоль главных осей ортотропии: в алгебраически эквивалентных телах G и G, связанных аффинным преобразованием m и нагруженных усилиями (3.5.1) и (3.5.5) соответственно, отношения длин появляющихся отростков трещин М(т) и М(т) совпадает с относительным удлинением m;_1 трещины М при преобразовании т. Иными словами, в любой (малый) момент т тела GQ\M(T) и G0 \ М(т) подобны, причем коэффициент подобия тг-1 не зависит от т.
Наложенные условия геометрической и упругой симметрии фиксируют направление развития трещины и, тем самым, исключают из рассмотрения анизотропию прочностных свойств тел G и G. Вообще говоря, никаких априорных связей между прочностными и упругими свойствами сред нет (ср. с [64, 72) и др.). Таким образом, при рассмотрении произвольных тел требуется еще одно допущение: при любом направлении развития трещины М в тело G его прочностные характеристики пропорциональны с постоянным коэффициентом ае прочностным характеристикам тела G с трещиной М, полученной из М преобразованием (3.2.2). В этом случае логично считать, что квазистатические процессы развития трещин протекают подобно. Подчеркнем, что сам факт подобия доказан строго лишь в условиях симметрии.
Пусть G — анизотропное тело, алгебраически эквивалентное телу G с изотропными прочностными свойствами. Трещина М растет прямолинейно в случае Кг = 0. Согласно формулам (3.4.7) последнее равенство преобразуется к виду Формула (3.6.1) представляет собой условие прямолинейного роста трещины М в теле G.
Обнаруженное соответствие существенно использует элементарный факт: замена координат (3.2.2) сохраняет угол 2тг при вершинах трещины. Аналогичное преобразование клина G = {х : г 0, р Є (аа—а,а0+й)} изменяет как направление а0 биссектрисы, так и полу раствор угла о. Тем не менее, инвариантными остаются показатели Аир степенно-логарифмических решений однородной задачи в клине G
Иными словами, показатели сингуляриостей напряжений для алгебраически эквивалентных сред в вершинах клипов G и G = mG, связанных преобразованием (3.2,2), оказываются одинаковыми. Поскольку однородные условия (3.2.1)2 и (3,2.1)з преобразуются соответственно в однородные условия (3.2.6)2 и (3.2.6)з, сказанное верно для четырех краевых задач, пум еру мых индексами г, j — 0,1, причем 0 отвечает зажатой, а 1 — свободной стороне. Пусть, например, Ау(ао а, А) — показатель с наименьшей положительной вещественной частью для клина G с одной из четырех групп краевых условий на сторонах. Разность 1 — Х (а0 а, А) указывает порядок наибольшей сингулярности напряжений в вершине клина. Переход к клину G = mG с атрибутами ао,а и матрицей жесткости А, найденной согласно (3.2.3), сохраняет этот показатель для всех групп условий
Таким образом, если известны зависимости Ау(оо,а,Л) от а0 и а для всех четырех задач в G, то для нахождения четырех показателей Ау(а0,а, A), i,j = 0,1, достаточно знать лишь один из них, а остальные три можно восстановить по относительному расположению графиков Х (а0,а,А).
Обсуждение. 1. Канонические упругие среды. Свойства аффинных преобразований, установленные в разд. ЗЛ (также см. работу [1), разбивают упругие среды на классы алгебраически эквивалентных. По доказанном, любая среда принадлежит классу, порожденному трехпараметрическим семейством ортотропных матриц жесткости с дополнительными свойствами (3.2.7). Класс эквивалентности, включающий изотропные среды (семейство, параметризуемое, например, модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона v) содержит некоторые из ортотропных матриц. Так, преобразование (3.2.2) с диагональной матрицей т = diag{/), р-1} переводит изотропную среду в ортотропную
