Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Взаимодействие волн напряжений с периодической системой трещин продольного сдвига ... 17
I.Некоторые предварительные соотношения 17
2. Постановка первой динамической задачи теории упругости для периодической системы трещин продольного сдвига 21
3. Построение фундаментального решения 24
4.Сведение краевой задачи о трещине продольного сдвига к интегральному уравнению 29
5. Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности разрезов.Динамический коэффициент интенсивности напряжений 35
6.Численная реализация построенного
алгоритма. Результаты расчетов 37
ГЛАВА II. Первая основная задача динамической теории упругости для изотропной среды с криволи нейными туннельными разрезами ... 59
I. Постановка задачи 59
2. Интегральные представления решений 63
3. Интегральные уравнения краевой задачи (2.1.9) 77
4. Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности вершин разрезов. Динамические коэффициенты интенсивности напряжения 84
5. Результаты расчетов 90
ГЛАВА III. Взаимодействие упрлж волн с жесткой криволинейной вставкой 100
I. Постановка задачи 100
2. Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений 102
3. Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности вершин вставки. Результаты расчета 115
Заключение 122
Литература
- Постановка первой динамической задачи теории упругости для периодической системы трещин продольного сдвига
- Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности разрезов.Динамический коэффициент интенсивности напряжений
- Интегральные представления решений
- Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений
Введение к работе
Проблемы взаимодействия волн напряжений с различного рода дефектами в упругих средах имеют большое значение в теории разрушения, дефектоскопии и в вопросах прогнозирования ресурса конструкций. Поэтому необходимо учитывать инерционный эффект при расчете конструкций и сооружений с трещинами, уметь определять зависимость коэффициента интенсивности напряжений от частоты стационарной трещины под действием гармонических нагрузок. Однако, решение динамических задач теории упругости и акустики для области с разрезами сопряжено с характерными трудностями, связанными с нарушением регулярности границ.
В последнее время благодаря усилиям ученых и исследователей сформулированы основные положения механики разрушения, корректно поставлены математические задачи и разработан достаточно обширный аппарат их решения.
Для решения указанных проблем применяются методы интегральных преобразований, функционально-инвариантных решений, парных уравнений, асимптотические методы и другие.
Из решений задач динамической механики разрушения в случае трещин продольного и поперечного сдвигов, нормального отрыва можно сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупкому разрушению при динамическом нагружении. Большинство имеющихся в литературе исследований относятся к рассмотрению волновых полей в окрестности прямых и круговых трещин. Однако, как показали исследования, динамический коэффициент интенсивности напряжений существенно зависит от кривизны дефекта.
Из всего предыдущего следует, что актуальной является разработка методов решения динамических задач для бесконечных тел
с криволинейными трещинами. С теоретической точки зрения трещина представляет математический разрез, при переходе через который смещения могут претерпевать разрывы. Если разрывы смещений заранее неизвестны, то волновое поле, возникающее из-за наличия трещины оказывается достаточно сложным.
Настоящая диссертация посвящена разработке единого подхода к решению двумерных стационарных задач динамической теории упругости для тел с трещинами-разрезами.
Сущность развиваемого подхода заключается в следующем:
Строятся интегральные представления перемещений или производных от них, обеспечивающие скачки соответствующих кинематических величин по линии разреза. Эти интегральные представления удовлетворяют уравнению движения и-условию излучения.
Граничные условия на разрезах удовлетворяются за счет плотностей фигурирующих в интегральных представлениях решений^. Краевые задачи сводятся к сингулярным интегродифференциальным уравнениям первого рода.
Производится асимптотический анализ интегральных представлений напряжений в окрестности вершин трещин- разрезов, с последующим построением формул для динамических коэффициентов интенсивности напряжений.
Эти коэффициенты определяются в виде функционалов, построенных на решениях интегральных уравнений соответствующих краевых задач.
Разрабатывается схема численной реализации построенных алгоритмов.'
Исследуются динамические коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от кривизны дефектов, их взаимного рас-
- б -
положения, характера нагрузки, значений нормализованных волновых чисел.
Постановка первой динамической задачи теории упругости для периодической системы трещин продольного сдвига
Таким образом краевая задача сводится к определению периодического поля перемещений W удовлетворяющего уравнению (1.2.4) и краевому условию (1.2.5). Кроме этого искомое поле перемещений W должно удовлетворять в полосе периодов при Ц- оо условиям излучения. В полосе периодов, 2.d - периодическое решение краевой задачи, разыскивается в виде [ 79] , v - " ar Uir Ь5 W(fc« І Ык мь-У ) (1 2 6) Здесь Рс%) - искомая плотность, &(6 2;) - oL - периодическое решение уравнения V E+fnE Z dCQCi-ucLfC.Xj (1.2.7) Таким образом под Е () понимаем - периодическое фундаментальное решение уравнения Гельмгольца [бб, 74 ] .
3. Построение фундаментального решения Построение фундаментальных решений в статике пластин и - 25 оболочек рассматривается, например, в работе [82] . Представим Е (эс-i 7 0С2) в виде К--00
Учитывая разложение дельта-функции f131 получаем из (1.2.7) систему обыкновенных дифференциальных уравнений АА(ЗСа - с« (0У= (1-3-3 Решение (1.3.3) находим с помощью преобразования Фурье [Ю, І8І , тем самьм получаем фундаментальное решение уравнения Гельмгольца И(Х )= ISLC, kJ=±i,±Si,... Сц Иїоби - 1 , t cL ,
Для выделения единственного решения применялся принцип предельного поглощения [39, бо] . Согласно которому решение задачи дифракции в среде без поглощения ищется как предел ограниченного решения в среде, обладающей поглощением, при стремлении коэффициента поглощения к нулю. Этот прием позволяет придать решениям об установившихся колебаниях среды физический смысл. Решение, найденное с помощью принципа предельного поглощения, имеет смысл волн, уносящих энергию [30, 92] .
Полученное решение показывает, что полосу периодов можно рассматривать, как волновод со стенками свободными от сил. При фиксированном волновом числе существуют конечное число бегущих вдоль волновода монохроматических волн и бесконечное число неоднородных волн экспоненциально затухающих вдоль оси 0Х2 [31, 37, 41 ] .
Выражение определяет последовательность собственных волновых чисел волновода Следует отметить, что фундаментальное решение в точке приложения сосредоточенного функционала имеет логарифмическую особенность. Следовательно, ряд (1.3.4) и тем более производные от него расходятся в этой точке.
Для дальнейшего целесообразно выделить главную часть фундаментального решения и получить его в явном виде, тогда остаток будет сходится в любой точке полосы периодов. Для выделения главной части фундаментального решения запишем О, d - периодическое фундаментальное решение Е 0 старшего оператора в (1.2.7), то есть будем иметь 7 Ee=Z 8"(хгйо1и)5(ха) (1.3.5) поступая аналогично предыдущему, находим Е„(«ч, .)«л ха)еииЖі «.з. К=-оо 6) где - к.Ха - 28 РЯДЫ (І.З.б) При выполнении условия oz= обу. (а -о, І, й, ... ) являются расходящимися. Ряд (1.3,6) можно просуммировать, записав главную часть фундаментального решения в замкнутом виде. При этом будем использовать формулы Ze =Є (5 ) .(1.3.7) a v- -ad Ь -Ч Ч Ш -1( 0, U\ ft" Имеем Е.ОЧ )-- ] M 8 Siafl) (1.3.9) Таким образом фундаментальное решение Е (ХІ(Х2) можно представить в виде E(Xi(0Cu)= EoCX XaJ -EV Xa) (І.ЗЛО) -29 w tr. Здесь Е = м Z- f w С Са Є (Хг) = 1С , К--±І,±І,± иX2. ІХа1 Сі=И\(о6(4-«а І ,бг и ctt. IW-4M л М ЙЬ Ряд для Е (Х1}Хй)в (1.3,10) сходится во всей полосе периодов. 4. Сведение краевой задачи о трещине продольного сдвига к интегральному уравнению Выделим сингулярную часть интегрального представления (1.2.6), учитывая, что - зо E(fc,2y = E(ls-ftl) = Е( .4-±, й а) (1,4.1) Применяя формулы дифференцирования [35] M(V%).H(!iA) Имеем Ы kect? Г" - 2d ЬЕ НІ" ЫаеыИ ai 2d swUK ( )-. (10 - 1) Подставляя (1.4.3) в (1.4.2), а затем в (1.2.6) получим после преобразования W(0C )=id iPte)l9« + &tt,ftJlcLs (I.4.4) 9(ї,е)= Н -2аг "a?! ЗІ b toUbWrtJ . (х2- и 5ьіг(ха-4й)]- ІкФ $шк (Х2-2) Здесь Q ( ) сингулярное ядро типа Гильберта , a Q (%} ) - ограничено, ф - угол между положительной нормалью к левому берегу L и осью О X 4 . Разность предельных значений (1.4.4) на L дает W -W""=LWlL=P«5) (1.4.5) Таким образом плотность в интегральном представлении (1.276) можно интерпретировать, как скачек амплитуды перемещения на L Вычислим входящие в краевое условие (1.2.5) выражения (1.4.6) W ъ 2d -- - -; - 4 СУгД ОЭ If I "1 к - 32 ottt Slfc4 sign- (X2-u) (1 - На концах разрезов разрезов CL ,и ь скачок амплитуд перемещений [W] должен равняться нулю, поэтому в силу (1.4.5) Р(а) =: Pcfc) =0 (1.4.7) Используя (1.4.7) произведем интегрирование по частям в первых слагаемых выражений (1.4.6) получим W - i6d W 2d. ЛЄ аА) (1А 8) Подставляя предельные значения выражений (1.4.8) в краевое условие (1.2.5) при ii oSU приходим к сингулярному интегродифференциальному уравнению U Ц, С1.4.У) % Ло)=о6«Со#СоЄФо 20- ) - SUL I SLW,CP0 i V a) Здесь ots - элемент дуги Li ; ядро к(&,,& ) сингулярное, типа Гильберта; ядро И/(5,5о) - имеет логарифмическую особенность; функции (4й,$й()заданы (1.3.10). К интегральному уравнению.(1.4.9) необходимо присовокупить дополнительное условие, вытекающее из (1.4.7) & ( dP(etf a ds cU =0 (1.4.10) Асимптотический анализ интегрального уравнения (1.4.9) приводит к выводу, что решение имеет особенность типа квадратного корня на концах разреза. Оно однозначно фиксируется дополнительным условием (1.4.10).
Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности разрезов.Динамический коэффициент интенсивности напряжений
В этом случае относительные динамические коэффициенты интенсивности RL и а вычислялись по формулам (2.4.9).
Кривые изменения Ht в функции от параметра = «а J4 представлены на рис. 3. Кривые I и 2 построены для значений Pt-0 и 0,5" соответственно.
Изменение а в зависимости от С представлено на рис. 4. Кривые I и 2 соответствуют тем же значениям Р , что и на рис. 3 .
Кривые изменения коэффициентов интенсивности имеют в рассмотренных случаях явно выраженный максимум. Например, для прямой трещины -величина вьппе соответствующего значения в статическом случае приблизительно на 25 - 30? .
2. На берегах разреза действует равномерно распределенное гармонически изменяющееся во времени касательное усилие интенсивности Р --ReKe" } ± -Loot in ї. і е Pl » - РГ = - Р sUl,r, Р к -" - Р»к = - Р « где + lh. Кривые относительных динамических коэффициентов интенсивности i и SLV в функции от 0 параметра показаны на рис. о, б . Следует отметить, что для прямой трещины коэффициент интенсивности - = 0 . Зная 4 и М5, можно определить динамические коэффициенты интенсивности - 92 kt-Pvfie Us to (u i - dj klu: рЛсЇЇ CUi lol(ut -J,2) 3. Трещина свободна от усилий, из бесконечности вдоль оси ОХ2 падает волна сжатия. В этом случае ± и У2 расчиты ваются по формулам (2.4.9 ), где под Р понимается максималь ну ъь ная амплитуда напряжения ъ в падающей волне. Поведение М1 иллюстрируется кривыми на рис. 7 . Видно, что W.4 существенно зависит от направления выпуклости трещины по отношению к направлению падающей волны. Кривые относительного коэффициента Wu показыны на рис.8. Для прямой трещины й = Трещина свободна от сил. Из бесконечности вдоль оси 0С2 падает волна сдвига. Коэффициенты ± и и$ расчитывались по формулам (2.4. 9 ), где под Р следует понимать максимум ампера литуды Ъ , падающей волны. Кривые 4 от параметра 0 представлены на рис. 9. Отметим, что для прямой трещины 1 = 0 Аналогичные кривые Мй представлены на рис. 10.
Относительные динамические коэффициенты интенсивности для прямой трещины показаны на рис. II для различных коэффициентов Пуассона. Точками отмечены соответствующие значения, полученные в работе [ Ш 3 Для волны сдвига распространяющейся вдоль оси ОХА справа налево, показаны iUt и 2 на рис. 13 и 14 . Сплошная - 93 линия для вершины CL (начало трещины), штриховая - о (конец трещины). Причем UL при этом для прямой трещины равен нулю. На рис, 12 показан k-i , если волна растяжения-сжатия распространяется вдоль ОХ± , Аналогично предыдущему отмечены линии сплошная и штриховая.
Интегральные представления решений
В данной главе рассмотрена плоская задача динамической теории упругости о взаимодействии упругих волн напряжения с жесткой криволинейной вставкой в неограниченной изотропной среде. Строятся интегральные представления первых производных амплитуд перемещений, обеспечивающие непрерывность вектора перемещения и скачок вектора напряжения при переходе через вставку. Краевая задача сведена к системе двух сингулярных интегральных уравнений, которая реализована численно. Приведен асимптотический анализ поля напряжений в окрестности вершины вставки.
Пусть неограниченное упругое пространство отнесено к системе координат T g 0С3 , в котором имеются жесткие тонкие вставки, представляющие собой разомкнутые дуги Ляпунова L (J = I, 2, ..., И/ )не пересекающиеся друг с другом. Под тонкой жесткой вставкой будем понимать контур при переходе через который смещения непрерывны, а напряжения терпят разрыв.
Рассмотрим действие плоской гармонической Р - волны растяжения-сжатия или SV _ волны сдвига, которая излучается из бесконечности в отрицательном направлении оси 2 . Будем пользоваться следующей системой обозначений: потенциалы в Р -волне обозначать индексом I, ав - волне - индексом 2. Запишем Горизонтальные и вертикальные компоненты упругого смещения находятся по формулам [47] Рассматривается установившийся волновой процесс (2.1.3) . Амплитуды перемещения U4 , и2 имеют вид в падающей волне растяжения-сжатия (3.1Л)
Встречаясь с поверхностью жесткой вставки падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности вставки. Для его определения требуется решить уравнение (Чг+&Нч1 + С)У о (зл.7) при граничных условиях на вставке [Ui+Ui]l = &і+ЛХ (3.1.8) Здесь "і, дает жесткое перемещение вставки вместе с матрицей и не влияет на картину напряженного состояния, л определяет поворот вставки. Решение (3.1.7) на бесконечности должно.удовлетворять условиям излучения. 2. Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений Волна, попадая на вставку порождает отраженные волны обоих типов как Р - волну, так &V - волну, не зависимо какая из - 103 них распространяется в упругом теле [31, 37] . Полное решение системы уравнений (2.1.4) при условии (3.1.6) складывается из решения от падающей волны (регулярное решение) и решения от рассеянной волны (сингулярное решение).
Вторичное волновое поле должно удовлетворять условиям излучения и в окрестности вершины вставки быть сингулярным, это условие получаем в процессе решения задачи.
Интегральные представления производных от перемещения найдем аналогично 2 главы П с учетом (3.1.б) йх Здесь [PL I скачки напряжений на вставке, определяемые в точках «5 = +1$ L . Ядра bO.Jb являются функциями точек и %о- Я 0+ ЭС51О , CLS - элемент дуги, L - граница области. Индексом I и 2 обозначены компоненты матрицы Грина (2.2.II), которые являются решениями (2.2.6) и (2.2.9). Компоненты пере - 104 мещений и напряжений для вспомогательных состояний через фундаментальную функцию ( 20) будем находить из (2.2.15), (2.2.16) . Для-того, чтобы воспользоваться краевыми условиями (3.2.3), надо найти производные от перемещений на левом и правом берегах вставки. Подставляя в (3.2.2) значения всех производных от фундаментальной функции 4f(ZfZe) (2.2.20), получим
Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений
Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.
1. Разработан единый подход к решению двумерных задач ди намической теории упругости для неограниченной упругой изотроп ной среды с криволинейными трещинами или жесткими тонкими встав ками, основанный на : - построении интегральных представлений амплитуд перемещений и первых производных от них; - сведении поставленных краевых задач к сингулярным интегральным и интегродифференциальным уравнениям; - построении асимптотических полей напряжений в окрестности дефектов.
2. На основании предложенного метода решены следующие за дачи : - задача о взаимодействии волн напряжений с периодической системой криволинейных трещин продольного сдвига; - первая основная динамическая задача теории упругости для изотропной среды с криволинейными туннельньши полостями-разрезами; - задача о взаимодействии упругих волн с жесткой тонкой криволинейной вставкой.
3. Получены динамические коэффициенты интенсивности напряжений 14 , 14 п » U з в ш&е функционалов построенных на решениях интегральных уравнений соответствующих краевых задач.
4. Изучено влияние кривизны дефектов, их взаимного расположения, характера действующей нагрузки, нормализованных волновых чисел, длины волны, коэффициентов Пуассона на динамические коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах дефектов.
На основании результатов расчетов можно сделать некото рые качественные выводы. Для периодической системы трещин. а) Динамический коэффициент интенсивности напряжений значительно зависит от кривизны дефектов, их взаимного располо жения, волновых чисе л. б) Если фронт падающей волны перпендикулярен оси симметрии параболического дефекта, то 1 , уменьшается при увеличении кри визны дефекта. в) Динамический коэффициент интенсивности напряжений умень шается с увеличением отношения длины падающей волны к длине тре щины. г) В точках называемых точками скольжения отмечены харак терные резонансные явления. 6. Для трещины в условиях плоской деформации. а) Относительные динамические коэффициенты интенсивности Н, и Уа зависят от кривизны дефекта, волновых чисел и харак тера нагружения. б) Если фронт волны параллелен оси симметрии параболичес кого дефекта, то в вершине находящейся в теневой зоне коэффи циенты интенсивности напряжений существенно выше нежели в дру гой вершине. в) При действии на трещине гармонически изменяющейся наг рузки динамические коэффишенты интенсивности напряжений могут подрастать от 20% до 50% в зависимости от геометрии дефекта по сравнению со своим статическим аналогом. 7. Дифракция волн на жесткой тонкой вставке. а) Отношение максимальных амплитуд напряжений на вставке к амплитудам напряжений в падающей волне слабо зависит от частоты падающей волны и существенно зависит от коэффициента Пуассона и кривизны вставки. б) Из результатов расчетов следует, что отношение максимальных амплитуд напряжений на вставке к амплитудам напряжений в падающей волне прямо пропорционально нормализованному волновому числу, l t , отсюда возникает возможность простого описания асимптотики напряжений окрестности вершины вставки.
