Содержание к диссертации
Введение
1 Колебания упругих полуограниченных сред под действием поверхностных и вертикально ориентированных внутренних нагрузок 15
1.1 Краевые задачи о колебаниях упругого полупространства и слоя при наличии поверхностной нагрузки и вертикально ориентированных включений 15
1.2 Метод интегральных преобразований в решении краевых задач 18
1.3 Задача о совместном действии поверхностной нагрузки и системы вертикально ориентированных включений на упругое полупространство 20
1.4 Задача о совместном действии поверхностной нагрузки и системы вертикально ориентированных включений на упругий слой, жестко сцепленный с недеформируемым основанием 27
2 Волновые поля в полуограниченной упругой среде, возбуждаемые совместным действием поверхностных и внутренних источников 33
2.1 Компоненты Р, S-волн в упругом полупространстве, определенные для внутренних и поверхностных нагрузок 33
2.2 Волна Релея в упругом полупространстве при совместном и раздельном действии поверхностных и внутренних нагрузок 38
2.3 Составляющие волны Релея для внутренних и поверхностных нагрузок, в случае упругого слоя 42
2.4 Амплитудно-частотные характеристики объемных и поверхностных волн 46
3 Совместные колебания невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально ориентированных внутренних нагрузок ... 53
3.1 Вывод интегрального уравнения динамической контактной задачи с учетом вертикально ориентированных включений 53
3.2 Решение вспомогательного интегрального уравнения осесимметричной задачи 56
3.3 Решение контактной задачи с учетом вертикально ориентированных включений 65
3.4 Влияние внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом 68
4 Совместные колебания невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему горизонтально ориентированных внутренних нагрузок 70
4.1 Вывод интегрального уравнения динамической контактной задачи с учетом горизонтально ориентированных включений 70
4.2 Решение контактной задачи с учетом горизонтально ориентированных включений 74
4.3 Анализ влияния внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом 75
Заключение 78
Список использованных источников
- Метод интегральных преобразований в решении краевых задач
- Волна Релея в упругом полупространстве при совместном и раздельном действии поверхностных и внутренних нагрузок
- Решение контактной задачи с учетом вертикально ориентированных включений
- Решение контактной задачи с учетом горизонтально ориентированных включений
Введение к работе
Актуальность темы. Актуальность исследований обусловлена необходимостью создания мощных виброисточников для изучения строения Земли, поведения свайных фундаментов при сейсмическом воздействии, а также широким использованием в различных областях механики, геофизики, акустоэлектроники, дефектоскопии задач о колебаниях упругих сред, вызванных вибрирующими источниками, расположенными как на границе, так и внутри среды.
Целью диссертационных исследований является построение математической модели виброисточника, анкерно сцепленного с грунтом, а также определение и анализ:
количественных характеристик волновых полей, генерируемых поверхностным и внутренними источниками;
контактных напряжений, возникающих в области контакта излучающей плиты и поверхности основания.
Методика исследований. Методом интегральных преобразований исходные краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых строятся в виде суперпозиции общего и частного решений. Для корректной постановки задач используется принцип предельного поглощения. Используя метод стационарной фазы, получены асимптотики объемных волн в упругом полупространстве. Замыкая контур интегрирования в интегральном представлении решения и используя теорему Коши о вычетах, построены аналитические выражения, определяющие амплитуды волны Релея в упругих полуограниченных средах типа полупространства и слоя Используя полученное интегральное представление решения, исходная краевая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно неизвестного напряжения в области контакта. Решение интегрального уравнения контактной задачи строится методом фиктивного поглощения. С помощью разработанных в среде Compaq Visual Fortran 6.1 пакетов прикладных программ, проведен численный анализ решений поставленных задач.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
- изучено влияние излучения системы вертикально
ориентированных включений на общее волновое поле,
возникающее в упругом полупространстве и слое, жестко сцепленном с недеформируемым основанием;
метод фиктивного поглощения развит применительно к решению интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой смешанной задаче теории упругости о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально (горизонтально) ориентированных включений;
исследовано влияние внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения рассмотренных задач в таких областях современной науки, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других.
Работа поддерживалась различными научно-
исследовательскими фондами (РФФИ (03-01-00694, 08-08-00144, 06-08-00671), РФФИ_р_юг (00-01-96007, 00-01-96008, 00-01-96024, 03-01-96537, 03-01-96645, 06-01-96600, 06-01-96639), грант Президента РФ (НШ-2107.2003.1, НШ-2298.2008.1)), что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.
Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором адекватных моделей, применением строгих математических методов и сравнением с результатами других авторов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии» в 2001 г., научно-практической конференции «Проблемы строительства в сейсмоопасных регионах» в 2002 г., 111 Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием в 2003 г., IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» в 2005 г., V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» в 2008 г.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников (113 наименований) и приложения, в которое вынесены результаты численных расчетов. Общий объем диссертации
Метод интегральных преобразований в решении краевых задач
В данном разделе, на основе решений, найденных в интегральной форме, проводится исследование волновых полей в дальней от источников зоне.
Используя метод стационарной фазы, получены асимптотики объемных волн в полупространстве. Замыкая контур интегрирования, в представлении решения и используя теорему Копій о вычетах, построены аналитические выражения, определяющие амплитуды волн Релея в полупространстве и слое. Приведены графики результатов численных расчетов. Подробно анализируется зависимость амплитуд указанных типов волн от частоты колебаний источников при изменении их характеристик и параметров среды.
На основе полученных интегральных представлений решения задачи (1.1)—(1.3), методом стационарной фазы построены асимптотики Р, S-волн в упругом полупространстве. Запишем решение (1.23) задачи (1.1)—(1.3) в следующей интегральной форме ur (г, z) = j(D{ (а)Р(а, z) + D2 (а)М(а, z) + Кх (а, z)) aJl (ar)da, Г, (2-І) uz (r, z) = J (Dj (а)і?(а, z) + D2 (a)S(a, z) + K2 (a, z)) aJ0 (ar)da. г Здесь Г - контур интегрирования, почти всюду совпадающий с вещественной положительной полуосью, отклоняясь в комплексную плоскость а только при обходе вещественных особенностей подынтегральной функции, в соответствии с принципом предельного поглощения [22].
Обозначим область интегрирования в (2.2) через D. Учитывая, что в соответствии с принципом излучения [2, 5], при а Хл, я = 1,2; аи =-/JK2 - ос2 (показатель e"z чисто мнимый), а при а Х„, w = l,2;
Присутствие в подынтегральном выражении (2.3) быстро осциллирующих функций elRS 5 _) Goj позволяет применить метод стационарной фазы [111], согласно которому вклад невырожденной стационарной точки х0 в асимптотику интеграла F(R) = J f(x)eiRSW dx, x = (Xl,x2,...,xm), R = — матрица Якоби, sgn( S"(x)) - разность между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы S"(x). Запишем систему для определения стационарных точек в нашем случае
Согласно [111] вклад границы области An в асимптотику интеграла имеет больший порядок убывания 0(R 3 2).
На основе полученных интегральных представлений решения задачи (1.1)-(1.3) на поверхности упругого полупространства (при z = 0), применяя процедуру замыкания контура интегрирования и используя теорему Коши о вычетах, определив особые точки у подынтегральной функции, построены аналитические выражения, для вычисления амплитуды волн Релея.
Запишем полученное решение (1.23) задачи (І.І)-(І.З), в следующей интегральной форме при z = О: ur(r,0)= \{Drl{a)-Drl{a))aJx{ar)da, г "z 0,0) = \{DzX (a) - Dz2 (a)) aJ0 (ar)afa. (2.6) Здесь „ , ч р(а)а(Я-а,а2) „ , ч (« ("AO + H ))) 2pc2A(a) A(a) 4рс2Д(а) Dz2(a) = A(a) A(a) = a2o"!a2 - H2, Г - контур интегрирования, определяемый в соответствии с принципом предельного поглощения [22]. Используя представление функции Бесселя через функции Ханкеля Л, ( ) = Щ\аг) + Н(аг) , т = 1,2; запишем (2.6) в виде иг(г,0) = і J(Drl(a) - Д2(а))аЯ,(1)(аг)й?а + J( rl(a) - г2(а))аЯ1(2)(агуа г г J(Dzl(a) - 2(а))аЯ«(агУа + \(Dzl(a) - Dz2(a))aH (ar)da В интегралах содержащих Яд2)(аг) и Я[2)(аг), сделаем замену a = -a и используя соотношение Я 2)(аг) = (-1)/и+1Я 1)(аг) и свойства подынтегральных функций Drk (-a) = -Drk (a), Dzk (-a) = Dzk (a), к = 1,2; получим следующие выражения: nr(r,0) = i \(Drl (a) - Д2 (a)) a#,(1) (ar) /a - {(Д., (a) - Dr2 (a)) аЯ (ar)da г г f(Z)zl (a) - Dz2 (a)) affj4 (ar)da - \(Dzl (a) - Dz2 (а)) аЯ (or)da l_r где Г - контур интегрирования, симметричный относительно начала координат контуру Г. Изменяя направление интегрирования по контуру Г на противоположное, запишем окончательно иг (Г, 0) =4 J(Z rl (a) - Dr2 (а)) оЯ,(1) (ar) Ja, wz (r, 0) = J(Z)zl (a) - Dz2 (a)) aflj4 (ar) Ja, (2.7) где о = -ГиГ. Особыми точками подынтегральных функций в (2.7) являются их однократные полюса и точки ветвления a = Х19Х2 Решением дисперсионного уравнения Л(а) = 0 является волновое число С, рэлеевской волны [1]. Продолжим подынтегральную функцию в верхнюю полуплоскость, учитывая экспоненциальное убывание Н 1\аг), п = 0,1; при Ima —»а , г г0 а и, замкнем контур интегрирования a, обходя разрезы, соединяющие точки ветвления, по их берегам вдоль контура L (рисунок 2.1). XJr—iJr r- ea
Контур CR представляет собой дугу полуокружности. Устремляя радиус дуги полуокружности к бесконечности, по лемме Жордана, интегралом по контуру CR можно пренебречь, при а - оо [112]. Вклад интегралов по контуру L, определяемый точками ветвления С, = К15Х2, имеет больший порядок убывания 0(г 2 2), чем вклад полюсов 0(г"1/2) [2]. Используя теорему Коши о вычетах, в результате приходим к выражению при г -» оо: иг (г,0) = niRes((Drl(a) - D,2(a))a#,(1)(ar))(l + 0{г 1)), uz(r,0) = 7i/Res((Z zl(a) - Dz2(a))aH (ar))(\ + 0(Г1)).
На основе полученных интегральных представлений решения задачи (1.1), (1.2), (1.4) на поверхности упругого слоя (при z = 0), применяя процедуру замыкания контура интегрирования и используя теорему Коши о вычетах, определив особые точки у подынтегральной функции, построены аналитические выражения, для вычисления амплитуды волн Релея.
Волна Релея в упругом полупространстве при совместном и раздельном действии поверхностных и внутренних нагрузок
С ростом частоты величина амплитуд Р, S-волн, возбуждаемых вертикально ориентированными включениями, резко падает, причем тем быстрей, чем длинней включения (кривая два на рисунках А. 11 - А. 14) и жестче среда. В прежней «каплеобразной» форме диаграммы направленности Р-волны, излучаемой вертикально ориентированными включениями, появляются лепестки, положение максимумов которых определяются интерференцией волн, распространяющихся от источника и отраженных от поверхности полупространства (кривая два на рисунках АЛ, А. 15, А. 17). Аналогичные изменения наблюдаются для формы диаграммы направленности S-волн (кривая два на рисунках А.2, А. 16, А. 18).
При формировании общей диаграммы направленности Р, S-волн, учитывалось, что вертикально ориентированные включения излучают волны в противофазе с поверхностной нагрузкой (кривая три на рисунках АЛ - А Л 8). Зависимость величины амплитуд Р, S-волн общей диаграммы направленности от функции распределения нагрузки и длины включений наблюдается на рисунках А.З - АЛО. На примере диаграмм направленности Р-волны, хорошо видно, что, при параметре Б2 = 1 функции распределения нагрузки, влияние вертикальных включений на форму диаграммы направленности создаваемой поверхностной нагрузкой не существенно (кривая три на рисунке А. 5), а при є2 = 0 общая диаграмма направленности имеет ярко выраженную боковую направленность (кривая три на рисунке А.З).
Вертикальная составляющая волны Релея для внутренних и поверхностных нагрузок, характерна периодическим изменением величины амплитуды, убывающей с ростом частоты. АЧХ горизонтальной составляющей волны Релея аналогичны вертикальной составляющей. Однако для горизонтальной составляющей величина амплитуды меньше.
Увеличение радиуса поверхностной нагрузки приводит к уменьшению амплитуды вертикальной составляющей волны Релея и к увеличению количества частот «запирания» (рисунок А. 19). Для вертикальных включений увеличение радиуса их расположения приводит к увеличению амплитуды сигнала, возбуждаемого колоннами на поверхности полупространства, усложняет интерференционную картину волнового поля, что проявляется в увеличении количества частот «запирания» и изменения их значения (рисунок А.20). Наличие интерференционной картины и частот «запирания» находится в полном соответствии с общей теорией [2], согласно которой энергия колебаний поверхностных волн, возбуждаемых вертикальными включениями, переходит в энергию объемных волн (рисунки АЛ 1, АЛ2, и А.25).
При проведении численных расчетов изучалось влияние распределения нагрузки вдоль образующей вертикальных включений на значения амплитуды поверхностной волны. Видно (рисунки А.21, А.22), что равномерному распределению нагрузки (st =1) соответствуют меньшие значения амплитуды колебаний вне зависимости от значения частоты и длины включений. Однако для функции нагрузки с параметром є2 = 0 величина амплитуды зависит от значения частоты и длины включений (рисунки А.23, А.24). Для функций распределения нагрузки с параметрами Sj = 0 и є2 = 1, при прочих равных значениях параметров, АЧХ поверхностной волны полностью совпадают. Полученные результаты (рисунки А.25 - А.27) позволяют утверждать, что влияние вертикальных включений на общее волновое поле зависит от значения частоты и длины включений.
Полученные результаты сопоставлялись с данными работ [44, 87-89] и во всех случаях получилось хорошее совпадение.
Для слоя на недеформируемом основании были построены дисперсионные кривые, полученные из решения уравнения (2.11) (рисунок А.28). Выбраны первая, вторая и третья моды для изучения АЧХ вертикальной составляющей волны Релея в диапазоне частот v = 0 10 Гц.
Увеличение радиуса поверхностной нагрузки приводит к увеличению амплитуды вертикальной составляющей волны Релея (рисунок А.29 - первая мода, рисунок А.35 - вторая мода, рисунок А.38 - третья мода). Для вертикальных включений увеличение радиуса их расположения с ростом частоты усложняет интерференционную картину волнового поля, что проявляется в увеличении количества частот «запирания» и изменения их значения (рисунки А.ЗО - первая мода, рисунок А.36 - вторая мода, рисунок А.39 - третья мода).
Существенно усложняет интерференционную картину волнового поля изменение функции распределения нагрузки вдоль образующей вертикальных включений (рисунки А.31, А.32). Это проявляется в увеличении количества частот «запирания» и изменения их значения.
Увеличение длины включений не влияет на амплитуду вертикальной составляющей волны Релея на частотах до появления следующей моды, затем наблюдается изменение амплитуды, причем количество частот «запирания» остается постоянным (рисунок А. 33 - первая мода, рисунок А. 37 - вторая мода, рисунок А.40 - третья мода). Влияние вертикальных включений увеличивается с ростом частоты (рисунок А.34). Вертикально ориентированные включения с ростом частоты оказывают существенное влияние на интерференционную картину общего волнового поля, изменяя количество частот «запирания» и их значения.
Решение контактной задачи с учетом вертикально ориентированных включений
Запишем вспомогательное интегральное уравнение осесимметричной задачи в следующем виде jk(r,T)q(x)xdx = f(r), 0 х а, (3.4) к(г,х) = JK(a)J0(ar)J0(ax)ada. Контур а0 - часть контура ст, лежащая в правой полуплоскости. Функция К (а) определяется типом среды и обладает следующими свойствами: - (ос) - четная функция параметра а, мероморфная в комплексной плоскости. - На вещественной оси может иметь конечное число вещественных нулей, полюсов zk, pk (k = l,N) и счетное множество комплексных zk, рк (к = N + 1,оо) с точкой сгущения в секторах малых углов, содержащих мнимую ось. - На бесконечности имеет следующее асимптотическое поведение -1 -1 К(а) = с а 1+0(0 при а -» х , Введем функцию - a2-zl которая содержит все особенности функции К(а) на вещественной оси, а на бесконечности стремится к единице П(а) = 1 + 0(а 1). Тогда функция S{a) = K{a)n \a) является регулярной на вещественной оси и ее поведение совпадает с поведением К(а), при рт - полюса функции П{а), лежащие выше контура сг0; }(а),Ф(сО - преобразования Бесселя функций q{r),q{r) а а 0(a) = \q(r)JQ {ar)rdr, Ф(а) = J p(r )./0 (ar)rdr. Не нарушая общности, построим решение q{r) = q(r,r\) уравнения (3.4) с правой частью f(r) = J0(r\r). В качестве функций q (r) возьмем ф(г) = с 5(г г )» 0 rk a, (3.8) где 5(г,гл) - функции Дирака с непересекающимися носителями в точках г = гк, гк — точки, делящие интервал (0, а) на равные отрезки, ск — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Лемма 3.2 [32] Пусть функция q0(r) принадлежит Lp(0,a), р \ и имеет носитель на [0, а]. Для того, чтобы функция оо t(r)= jn( x)Q0(a)J0(ar)ada о обладала этими же свойствами, необходимо и достаточно, чтобы на полярном множестве функции П(а) имело место тождество а Qo(Pk)= J4o(r)J0(pkr)rdr = 0, к = 1,я. о В силу (3.7) функция q0(r) удовлетворяет условию леммы 3.2, на основании которой вводим новую неизвестную t(r) соотношением t(r) = JT(a)J0(ar)ada, Г(а) = Я(а) 0(а). (3.9) Подставляя (3.6), (3.8) в (3.4), учитывая свойства 5-функций и используя представление ядра в виде K{a) = S(a)II(a), (3.10) получим уравнение относительно t(r) с регулярным ядром js(r,T)t(x)xdx = Яг)-скк(г,гк), 0 r a, (3.11) k=\ s(r,x) = jS(a)J0(ar)J0(aT)ada.
Приближенное решение уравнения (3.11) с правой частью J0(rr), построено методами решения задач для сред с сильным поглощением, выбирая S(a) = , (с учетом большого значения параметра В), которое хорошо л/ос2 + 2 описывает поведение t{r) = t (г) вблизи края и внутри круга [30] в- (« -о V 2- -г2 #J2)0 1С7) - -гп tX](r) = JQ(rlr)S l(r]) + b(ri) : (3.12) кл)=Л;а л,2тг (3.13) Преобразование Бесселя 71(ос) получим непосредственным интегрированием функций t (г) в аналитическом виде. В силу линейности задачи решение уравнения (3.11) будет связано с решением уравнения К t = J0(r\r) следующим соотношением Г(сс) = Тц (а) - J ск Г Да, г, ) + J0 (аг, )], Ца,г,) = /5(л)[Я(л)-1]Гп(а)У0(лгА)лвГл. Используя соотношения (3.9), (3.8), (3.6) находим "г "І -і n ck\ L{a,rk) + JQ{ark) Я (a)+J ckJ0(ark). Применяя обратное преобразование Бесселя к функции g(a,t), получим интегральное представление решения осесимметричной задачи q(r,4) = /„(г) + J" [Л"1 (а) - l] (a)/0(ar)cufa і !Lck) ln \a)L(a,rk)J0(ar)ada+ j[II l(a) l]J0(ar)J0(ark)ada =1 I a. a. Постоянные c ., согласно лемме 3.2, определяются из условия T{zl) = О, что равносильно системе линейных алгебраических уравнений "г і — Иск \L i,rk) + J0(z,rk) = Г(г,), / = 1,л где z; - нули функции /7(a), лежащие выше контура ст. Для построения окончательного решения q(r,r\) используется представление функций ./7(a) в виде (3.5), полученное при аппроксимации К{а) из (3.10), по следующей схеме. Составим не имеющую действительных нулей и полюсов функцию H(a) = K(a)R(a), (3.14) где (сО = v П К -р)) П-г z, П——2- «2 "i; ,«i а -z, п,-«. п2=пх; П а2_л2Ь и2 «і Для однозначности функции i/(a) проводим разрез от Bi до zoo и от -Bi до -г оо и фиксируем ветвь условием J В2 =В 0. a Делаем замену х = а2 + А2 , переводящую полуось [0, оо) в отрезок [0, 1] ( \ можно равномерно приблизить многочленом, причем для V / и на отрезке [0, 1], согласно теореме Вейерштрасса, функцию #(сс) = # приближения воспользуемся полиномом Бернштейна [113] ВЛх) = ркпн( \(1-х)П кхк (3.15) где п\ Ьк=-" Щп-к)\ a -, получим требуемую Совершив в (3.15) обратную замену х = а2 л-А2 аппроксимацию: Н(а)&Вп(а), причем нули полинома Бернштейна всегда можно определить, а полюсами являются корни ±iA кратности п, где п — степень полинома Бернштейна.
Возвращаясь к формуле (3.10), находим (3.16) Функция (3.16) имеет 2n комплексных корня, определяемых многочленом Бернштеина, симметричных относительно всех осей; 2щ простых действительных нулей ±z( и 2{п2-пх) простых комплексных нулей при п2 пх; полюсы - п двукратных ±iA, 2п2 вещественных ±pj и 2(я, -п2) простых комплексных полюсов при пх п2. Кроме того, к числу особенностей функции К (а) (Н(а)) относятся две точки ветвления ±/5, но они расположены на мнимой оси. Выбор параметра А существенно влияет на точность аппроксимации, причем оценка аппроксимации будет вытекать из известных оценок аппроксимации функций полиномами Бернштеина [113]. Точность аппроксимации можно получить любого порядка, повышая степень полинома Бернштеина.
Решение контактной задачи с учетом горизонтально ориентированных включений
Реализован метод решения интегрального уравнения (3.3), используя решение (3.17) вспомогательного уравнения (3.4), построенное методом фиктивного поглощения. Построены аналитические выражения, для вычисления контактных напряжений под штампом, создаваемых вертикально ориентированными включениями.
Предположим, что qY{r) - напряжения под штампом без учета влияния включений, при единичных смещениях штампа (wz(r,0) = l). В этом случае имеем 4i(r) = q(r,0). (3.19) Рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение (3.4), решение которого определено соотношением (3.17) при г\ = 0, в следующем виде \k{r, x)q{x, G)xdx = 1, 0 г а. (3.20)
Установим связь между решением q{x,Q) и решением следующего интегрального уравнения а оо jk(rix)q2(x)xdx = - Q2(a)Ju(ar)ada, (3.21) о о где 72(т) - напряжения под штампом, создаваемые вертикально ориентированными включениями 0 т а; Умножим (3.20) на -Q2(a)J0(ar)a и проинтегрируем по а от 0 до оо, в результате получим а оо ] оо jk(r, т) - JQ2 (a)q(x, 0)J0 (ar)ada xdx = - JQ2 (OL)JQ (ar)ada. (3.22)
Из сравнения (3.21) и (3.22), определим выражение для напряжений под штампом, создаваемых вертикально ориентированными включениями оо Яг№ = JQ2( )q( 0)J0(ar)ada. (3.23) Таким образом, решением исходной задачи (3.3) является следующее выражение Я.(г) = Чі(г) + д2(г). (3.24) Применяя процедуру разворота контура интегрирования [14] в (3.23), учитывая свойства подынтегральной функции Є2(-а) = б2(0 получим q2(r) = -I j q(r,0)J0(ar)aH«\ar0)da. 2 І Д(а) (3.25) Здесь Qii Y 4рс2 -К а, (а2а1ст2еа А -H{a2sh(o2h) + Gxc 2ch( 52hjfj \ Л(С)е"ст,(А+е: / + +а2а1(Яеа А-(а2сй(а1й) + a s/i ))) J Л(С СТг(А+ —A. -at (a2 + #e A (a2s/ (a2/0 - a c/z /z))) J fz(Qea&d -K -a2ox(H -e h(a2ch{Gxh)-a s/ /z))) \ fz(Qea dC, Продолжим подынтегральную функцию в верхнюю полуплоскость, Ima - 00, г0 а и, учитывая экспоненциальное убывание Н (аг0), при замкнем в ней контур интегрирования а (рисунок 2.2). Полюса подынтегральных функций (3.25), находятся из решения дисперсионного уравнения (2.11).
Используя лемму Жордана и теорему Коши о вычетах, в результате приходим к выражению при 0 г а: ?2 (r) = -я/]Г es k=i а ( Q q(r,0)J0(ar)aH«\ar0) Д(а)
Откуда, вычисляя вычеты в точках a = Csk, получим аналитическое выражение, для вычисления контактных напряжений под штампом, создаваемых вертикально ориентированными включениями q2(r) = -niYJ k=l 42«г(г,ОУ0(С г)САЯ«(С г0) Д(С ) (3.26) Здесь А (ос) - определено в соотношении (2.12).
Приведены результаты численных расчетов контактных напряжений возникающих в слое при единичной амплитуде колебаний. Дан анализ зависимости величины контактных напряжений от частоты колебаний источников, их геометрических размеров, величины и характера распределения нагрузки на включениях.
Численные расчеты проводились по формулам (3.17), (3.19), (3.26), (3.24), с единичной нагрузкой на включениях и противоположной по направлению. Функция распределения напряжений для вертикально ориентированных включений считается заданной и вычисляется по формулам (2.13), (2.14).
При переходе через окрестность собственных частот v0 «1,5; 2,5; 4,5 Гц., Re(?(0,0)) становится отрицательной, а при переходе через окрестность частот (v0»5,0 Гц.) выхода кривых вещественных нулей - положительной, что подтверждается в работе [2]. Изменение знака контактных напряжений, создаваемых штампом и включениями, зависит от размеров источников (рисунки А.50, А.51).
На рисунках А.41, А.43, А.45, А.47, приведены графики действительной части qx{r), характеризующие изменение величины контактных напряжений с ростом частоты. На рисунках А.42, А.44, А.46, А.48, приведены графики действительной части q2(r) характеризующие изменение величины контактных напряжений с ростом частоты, создаваемых включениями. Полученные данные согласуются с результатами, представленными в работе [32].
Для функции распределения нагрузки на включениях, вычисляемой по формуле (2.14) при є2=0; 0,5; 1, и для функции определяемой по формуле (2.13) при st = 0; 0,5; 1, величина напряжений под штампом меняется не значительно (рисунок А.49). Изменение характера распределения контактных напряжений под штампом, зависит от совокупности параметров: частоты колебаний и размеров источников (рисунок А.53).
Полученные результаты позволяют утверждать, что вертикально ориентированные включения, в зависимости от параметров, либо усиливают, либо ослабляют контактные напряжения под штампом (рисунок А.52) и на низких частотах мало влияют на характер напряжений. Характер функции распределения нагрузки на включениях, на низких частотах, не оказывает существенного влияния ни на величину, ни на характер напряжений возникающих под штампом.
Похожие диссертации на Колебания полуограниченных сред, содержащих вертикально ориентированные включения
