Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка задач. Теоремы.
I. Постановка статических задач теории уп- ц ругости с периодическими коэффициентами.
2. Вспомогательные обозначения и функции . 15
3. Усредненные или эффективные коэффивденты.
4. Вспомогательные леммы. Теоремы . 21
5. Доказательство леті I - 4 и теорем I - 25 3.
ГЛАВА II. Трубные включения . 39
I. Постановка задач. Построение решений и 39 усредненных коэффициентов через решение вспомогательных задач.
2. Решение вспомогательных задач. 46
2.1. Ячеечная задача для уравнения Лапласа.
2.2. Ячеечная плоская задача теории упругости.
3. Вспомогательные функции. Усредненные коэффициенты .
3.1. Случай прямоугольных декартовых координат.
3.2. Общий случай косоугольных декартовых координат.
ГЛАВА III. Круглые цилиндрические отверстия и включения .
I. Вспомогательные функции. Усредненные коэффициенты.
2. Системы линейных алгебраических уравнений.
3. Расчеты на ЭВМ. 85
3.1. Влияние концентрации отверстий и включений.
3.2. Влияние включений на усредненные коэффициенты .
3.2.1. Менее жесткие включения. 88
3.2.2. Более жесткие включения. 90
3.3. Влияние соотношения сторон ячейки периодичности.
4. Асимптотика по р решений вспомогательных систем линейных алгебраических уравнении.
Заключение
- Вспомогательные обозначения и функции
- Вспомогательные леммы. Теоремы
- Вспомогательные функции. Усредненные коэффициенты
- Влияние включений на усредненные коэффициенты
Введение к работе
Работа посвящена изучению объемного напряженно-деформи- рованного состояния /НДС/ трехмерных тел с большим числом двоякопериодических круглых цилиндрических пустот или включений и нахождению эффективных упругих характеристик /ЭУХ/ таких тел при произвольных условиях на внешней границе тела. Под ЭУХ будем понимать компоненты тензора обобщенного закона Гука такого сплошного однородного тела, которым можно приближенно заменить исходное тело с пустотами или включениями.
Исследованию задач теории упругости с периодическими коэффициентами посвящена обширная техническая и математическая литература /см., например, \_\ - 4] /• Это связано с тем, что в настоящее время все чаще возникает необходимость расчета конструкций и материалов, имеющих периодическую структуру, обусловленная широким применением армированных и перфорированных материалов и элементов конструкций. При расчете таких конструкций необходимо найти как ЭУХ, так и распределение напряжений внутри тела с учетом концентрации напряжений вблизи включений и пустот. Знание ЭУХ позволяет определить поведение элемента конструкции во всей конструкции без учета микронеоднородности материала. А от концентрации напряжений зависит появление микротрещин и разрушение всего элемента.
В том случае, когда включений или пустот достаточно много, решение соответствующих задач с помощью ЭВМ без их предварительного исследования и упрощения бывает затруднено, а часто и практически невозможно, не говоря уже о нецелесообразности, из-за вынужденного слишком мелкого разбиения тела. Но для таких задач оказывается возможным применить асимптотические методы, позволяющие найти приближенное решение и ЭУХ, исходя из решений более простых вспомогательных задач.
Плоские задачи теории упругости для бесконечных областей с двоякопериодическими отверстиями рассмотрели сначала Натанзон В.Я. [ "] , применивший для плоской задачи теории упругости с круглыми отверстиями идею разложения решения в ряд по эллиптическим функциям в форме Вейерштрасса, а затем Койтер С 8 ] , который свел задачу с отверстиями произвольной формы к интегральному уравнению Фредголъма II рода.
Григолюк Э.И. и Филыптинский Л.А. СЧД9] рассмотрели более общие, чем в работе \_ 1 ] плоские задачи теории упругости для бесконечных областей с двоякопериодическими круглыми отверстиями, задачи для перфорированных пластин и оболочек, сформулировали и решили задачу приведения /т.е. нахождения ЭУХ/ для рассмотренных ими задач, рассмотрели случай, когда в отверстия вставлены упругие шайбы, сделали обзор различных исследований по перфорированным пластинам и оболочкам.
В 70-х годах XX в. появились новые асимптотические методы, позволяющие решать различные П. -мерные задачи с периодическими коэффициентами. Эти подходы были развиты в работах как советских авторов [ \4Z7 &,11, \5 \ , так и зарубежных [ 5, Z\ J .В настоящей работе используется асимптотический метод усреднения Бахвалова Н.С. С 1, Z \
Наряду с асимптотическими методами продолжает развиваться инженерный подход для определения ЭУХ и упрощения исходной задачи. В работе [54"! разработан метод расчета перфорированных днищ атомных реакторов, основанный на сведении задачи к толстой однородной плите с ЭУХ. При дополнительных упрощениях и предположениях в 1ЮЛ предложен метод получения ЭУХ некоторых трехмерных задач.
В литературе имелось доказательство применимости асимптотической методики Бахвалова Н.С. для трехмерных задач теории упругости без пустот в случае периодичности упругих характеристик вдоль всех осей координат. В главе I настоящей работы приведено доказательство для трехмерных задач теории упругости, с пустотами, периодичными вдоль всех осей координат, рассмотрен случай, когда на границе пустот задается одинаковая для всех пустот самоуравновешенная нагрузка, дано доказательство для специфического случая двоякопериодических цилиндрических пустот. Решение раскладывается по малому параметру , где - отношение большей стороны ячейки периодичности к характерному макроразмеру тела. Помимо ЭУХ, используемый в работе асимптотический метод позволяет находить поле напряжений с учетом внутренней структуры тела при объемном НДС и произвольных условиях на внешней границе трехмерного тела.
Так как на практике часто встречаются круглые цилиндрические пустоты и включения, то представляет интерес построить явное решение этих задач /уменьшение времени счета на ЭВМ, повышение точности вычислений, возможность явного исследования влияния различных факторов на ЭУХ с целью оптимизации параметров задачи/.
В [Зо,45] рассмотрены очень жесткие по сравнению с основным материалом включения, объемная концентрация которых мала. В [3] исследован случай произвольных эллиптических включений, но, как указано в [{] , используемый при этом метод имеет свои погрешности и пределы применимости. Метод усреднения задач с пустотами, используемый в [35], не позволяет находить поле напряжений с учетом микронеоднородности материала. В литературе не было решения трехмерных задач теории упругости с двоякопериодическими цилиндрическими пустотами или включениями и включениями в виде круглых труб, построенного на основе методики Бахвалова Н.С.
Во II главе настоящей работы построено асимптотическое решение и ЭУХ трехмерных краевых задач теории упругости с двоякопериодическими включениями в виде круглых изотропных труб, основанное на результатах главы I. Круглые цилиндрические отверстия и включения являются частными случаями этой задачи. Для решения плоских вспомогательных задач на ячейке периодичности использовался подход, аналогичный приведенному в [ 41 , модифицированный с учетом специфики решаемых задач. Интересно отметить, что даже в случае усреднения плоской задачи теории упругости вспомогательные задачи для определения ЭУХ оказались иными, чем в С 4] .
Случай круглых цилиндрических отверстий или сплошных включений, наиболее часто встречающийся в практических расчетах, более детально исследован в главе III настоящей работы. В этой главе получены явные формулы для нахождения ЭУХ и проведен численный анализ влияния на ЭУХ различных физических и геометрических факторов, основанный на расчетах на ЭВМ.
Постановка задач, рассмотренных в работе, определяется запросами практики. Решение для случая трубных включений может быть использовано для расчета конструкций, в которых трубы применяются для охлаждения, массивных железобетонных конструкций с технологическим оборудованием в виде труб. А перфорированные и армированные элементы конструкций находят широкое применение в различных отраслях промышленности, в строительстве и самолетостроении.
Перейдем теперь к более подробному- изложению применяемого в работе асимптотического метода на следующем примере. Рассмотрим случай, когда в круговом цилиндре V , высота и диаметр основания которого равны I, имеется двоякопериодичес-кая система сквозных отверстий, расположенных с периодом вдоль двух осей прямоугольной декартовой системы координат. Оси этих цилиндрических отверстий совпадают с осью цилиндра
V , выполненного из изотропного материала с постоянными Ламе л и U. . Условие равновесия цилиндра запишем в форме
где СІ« - тензор обобщенного закона Гука, связывающего перемещения U. и напряжения О: через деформации:
iUlc
О""-J1 ЬІ ЇУ. -{,2,1 причем кусочно постоянные Q/ равнь/о внутри пустот и ( = A ff ЙА АД сД
гра( Vg).
в остальной части цилиндра( V€;. На поверхности пустот задана самоуравновешенная одинаковая для всех пустот нагрузка: з
Z бк П. - Ти к 4, 2 , 3 , где П. - единичный
вектор внешней к области V нормали. Пусть на одной части
поверхности цилиндра V заданы перемещения U - U , а
з
на остальной - напряжения: У Q\ Yl. - Р k- 2,3.
1-і
Тогда решение этой задачи с точностью до членов порядка
можно представить в следующем виде: U = U( ) .
2. По найденным N л ( ) вычисляются ЭУХ U t
3. Решается усредненная задача в сплошном однородном орто-тройном цилиндре V с ЭУХ (Л .1 :
/ П л "?_ii п П \а-(Л,Ъ , со следующими условиями
ч - j _ 77
на границе цилиндра: U — U , там,где были заданы перемещения, J, 1 К1; = pk ,к Л2,3 , там, где
были заданы напряжения, где к Д fce тГу. «S -VA
Таким образом, в асимптотическую формулу для напряжений входит три типа слагаемых: медленно меняющиеся слагаемые, зависящие от перемещений усредненной задачи; быстро осциллирующие слагаемые, амплитуда которых зависит от перемещений усредненной задачи; быстро осциллирующие периодические слагаемые, амплитуда которых зависит от интенсивности приложенной к границе отверстий нагрузки.
На защиту выносится:
1. Обоснование асимптотической методики усреднения трехмерных краевых задач теории упругости при наличии пустот в ячейке периодичности.
2. Решение вспомогательных задач на ячейке периодичности в случае двоякопериодических цилиндрических отверстий или включений и включений в виде труб кругового сечения в условиях, налагаемых методом усреднения.
3. Явные формулы для вычисления ЭУХ в рассмотренных задачах.
4. Численное исследование на ЭВМ влияния на ЭУХ геометрии ячейки периодичности и соотношения упругих постоянных основного материала и материала включений при различной концентрации отверстий или включений.
В работе используется сквозная нумерация формул в каждой главе.
Вспомогательные обозначения и функции
В такой постановке функция LL(x) определяется неоднозначно, но эта неоднозначность обусловлена наличием отверстия, то есть обращением в нуль коэффициентов и л (Х/Е) функции Ц(х) и Ug.(x) совпадают , что позволяет рассматривать функцию ц (х) Н ( у) как продолжение функции UcM С п (\1с) Возможность такого продолжения будет показана в леммах I, 2. В теоремах также будут использоваться продолжения функций. В этом смысле и было указано на естественность постановки задачи в фор-ме /I /. В дальнейшем будем использовать постановку задачи в форме /I/, так как она является более привычной. Для пони-мания же постановка задачи в форме /I / кажется более удобной, так как из неё, например, сразу видна необходимость существования продолжения решения.
Замечание 2. В реальных случаях размеры ячейки ц бывают конечными, но малыми по отношению к макроразмеру тела pv , который мы приняли равным I. От этой ситуации сразу можно перейти к постановке задачи в форме /I/, /I / всесторонним сжатием в Р раз и соответственным переобозначением перемннных.
Таким образом, функции будут определены с точностью до жёстких смещений, но этот произвол не имеет значения для последующих рассуждений /для однозначного опреде 17 ления N. (и) нужно перейти к фактор-пространству по MPS х жёстким смещениям/. Для нахождения функций обходимо решить задачи /9/, которые представляют собой статические задачи теории упругости в переменных Мі на ячейке периодичности у , на границе которой заданы условия периодичности перемещений и напряжений, а на границе отверстия заданы напряжения [ (mn,vn) , которые определяются по коэффициентам QJ ( ц\ по формуле:
Формулы /14/, /15/ определяют среднее по объему. Усредненные коэффициенты, определяемые по формулам /12/, /12 /, /ІЗ/, /13 /, являются, как будет показано ниже, коэффициентами предельной задачи, то есть задачи /I/ при - 0 .В случае, когда б і , но еще конечно, эти коэффициенты могут быть приняты за приближенные эффективные коэффициенты, определяющие свойства среды, причем они будут все более приближаться к эффективным характеристикам среды по мере стремления к нулю. Знание эффективных коэффициентов важно для практических расчетов, так как они позволяют упростить исходную задачу /I/, заменив в нулевом приближении тело с многочисленными периодическими пустотами однородным телом, сведя тем самым задачу с периодическими разрывными коэффициентами к задаче с постоянными коэффициентами. Если оси X, прямоугольные, то в результате усреднения получим ортотропное тело. Такое упрощение позволяет с достаточной точностью найти перемещения, удовлетворяющие /I/, но для нахождения напряжений нулевого приближения оказывается недостаточно. Как будет показано ниже, следующий член разложения по решения задачи /I/ позволит находить и напряжения, которые представляют Наибольший интерес для расчетов.
Для усредненных коэффициентов известна /CM.L29J / следующая оценка: которая показывает, что нельзя брать в качестве эффективных коэффициентов просто среднее по объему от разрывных коэффициентов задачи /I/, так как это среднее заведомо больше усредненных коэффициентов, а чем больше коэффициенты в задачах теории упругости, тем меньше получатся напряжения. Следовательно, в расчетах брать коэффициенты (0?ЛЫ)/ нельзя, так как это приведет к ошибке не в запас прочности, а наоборот, причем dJ и \ФЛ(ч)/ М0ГУТ значительно отличаться друг от друга, что видно из примеров, приведенных в главе III.
Усредненные коэффициенты оказываются независящими от краевых условий и всей правой части /I/ и находятся на основе решения вспомогательных задач на ячейке, которые в вычислительном аспекте несравненно проще, чем исходная задача.
Характерной особенностью постановки задачи /I/ является то, что отношение V1/1 VI 11 0 остается почти постоянным /при уменьшении размера пустот соответственно увеличивается их количество/.
Вспомогательные леммы. Теоремы
Усредненные коэффициенты, определяемые по формулам /12/, /12 /, /ІЗ/, /13 /, являются, как будет показано ниже, коэффициентами предельной задачи, то есть задачи /I/ при - 0 .В случае, когда б і , но еще конечно, эти коэффициенты могут быть приняты за приближенные эффективные коэффициенты, определяющие свойства среды, причем они будут все более приближаться к эффективным характеристикам среды по мере стремления к нулю. Знание эффективных коэффициентов важно для практических расчетов, так как они позволяют упростить исходную задачу /I/, заменив в нулевом приближении тело с многочисленными периодическими пустотами однородным телом, сведя тем самым задачу с периодическими разрывными коэффициентами к задаче с постоянными коэффициентами. Если оси X, прямоугольные, то в результате усреднения получим ортотропное тело. Такое упрощение позволяет с достаточной точностью найти перемещения, удовлетворяющие /I/, но для нахождения напряжений нулевого приближения оказывается недостаточно. Как будет показано ниже, следующий член разложения по решения задачи /I/ позволит находить и напряжения, которые представляют Наибольший интерес для расчетов.
Для усредненных коэффициентов известна /CM.L29J / следующая оценка: которая показывает, что нельзя брать в качестве эффективных коэффициентов просто среднее по объему от разрывных коэффициентов задачи /I/, так как это среднее заведомо больше усредненных коэффициентов, а чем больше коэффициенты в задачах теории упругости, тем меньше получатся напряжения. Следовательно, в расчетах брать коэффициенты (0?ЛЫ)/ нельзя, так как это приведет к ошибке не в запас прочности, а наоборот, причем dJ и \ФЛ(ч)/ М0ГУТ значительно отличаться друг от друга, что видно из примеров, приведенных в главе III.
Усредненные коэффициенты оказываются независящими от краевых условий и всей правой части /I/ и находятся на основе решения вспомогательных задач на ячейке, которые в вычислительном аспекте несравненно проще, чем исходная задача.
Характерной особенностью постановки задачи /I/ является то, что отношение V1/1 VI 11 0 остается почти постоянным /при уменьшении размера пустот соответственно увеличивается их количество/.
Доказательство леммы 2. В этом случае функции сначала рассматриваются на ячейке где за , в этом случае можно принять, например, -или Т » и продолжать функции нужно последовательно по ячейкам вдоль цилиндрического отверстия, обеспечивая согласованность продолжений по длине отверстия тем, что в продолжении участвуют не одна, как было в лемме I, а две смежные ячейки, сдвигаясь каждый раз на одну ячейку вдоль оси отверстия. Во всём остальном доказательство леммы 2 полностью аналогично доказательству леммы I. Для полноты изложения приведём
Доказательство леммы 3. Рассмотрим сначала функции на ячейке Y- I \л \л /см. доказательство леммы 2/, которую в У! -координатах обозначим через X » Х,гЧк" "с БвеДём обозначения:
В этой главе рассматриваются три типа задач, которые возникают при расчёте физических объектов и перфорированных или армированных конструкций и материалов. Для построения решения таких задач или нахождения соответствующих усреднённых коэффициентов используются методы главы I и теории функций комплексного переменного.
Цилиндрические, пустоты являются частным случаем цилиндрических включений, а последние - частным случаем трубных включений. Поэтому все промежуточные выкладки приведены для случая трубных включений, но выражения для усреднённых коэффициентов для случая цилиндрических пустот и включений удаётся записать в более компактной форме, чем для случая трубных включений. Отметим, что усреднение двумерных задач является частным случаем усреднения соответствующих трёхмерных задач с цилиндрическими включениями, а из усреднения задач теории упругости легко получить усреднение соответствующих задач для оператора Лапласа.
Вспомогательные функции. Усредненные коэффициенты
Для простоты изложения рассмотрим случай прямоугольных декартовых координат, который часто встречается в реальных задачах. Круглые цилиндрические отверстия и включения являются частным случаем задачи с трубными включениями, рассмотренной в главе II. Для того, чтобы получить случай цилиндрических отверстий, нужно положить Y] - і , а цилиндрические включения получатся, если 10 -(J . При этих значениях все формулы значительно упрощаются, и результаты можно записать более компактно. Так как эти два случая представляют самостоятельный интерес, то целесообразно их рассмотреть отдельно. Все рассуждения и формулы приведены для случая цилиндрических включений, так как цилиндрические отверстия являются их частным случаем при Д -(Ц - (J , что сказывается лишь на некоторых коэффициентах, входящих в соответствующие формулы. Суммирование по повторяющимся индексам отменяется.
Для вспомогательных функций М Лг) остаются справедливыми формулы /2.75/, но теперь достаточно в формулах /2.74/ сохранить лишь первые три строчки Ниже приводим входящие в формулы /10/, /II/ те постоянные, которые еще не были определены выше:
Как видно из формул /6/ - /12/, системы линейных алгебраических уравнений значительно упростились по сравнению с более общим случаем трубных включений. Теперь входящие в эти системы коэффициенты вычисляются по простым формулам после нахождения постоянных , , зависящих только от геометрии ячейки периодичности, постоянных зависящих только от соотношений упру-гих постоянных и постоянной , зависящей от обоих факторов. Для удобства приведем явные значения коэффициентов А С
Хотя системы /6/ - /8/ формально являются бесконечными, их коэффициенты и правые части устроены так, что, задавшись желаемой точностью вычислений, отличным от нуля будет лишь конечное число неизвестных, что обусловлено наличием в коэффициентах и правых частях этих систем больших степеней мало-го параметра Р. . Если, например, задаться точностью \Q для нахождения вспомогательных функций и усредненных коэффициентов, то достаточно решить систему из УХ уравнений. Некоторые значения УХ приведены в табл. I.
По формулам 1, 2 был произведен расчет на ЭВМ, позволивший, выявить влияние некоторых факторов на усредненные коэффициенты для случаев цилиндрических отверстий и включений в прямоугольной декартовой системе координат.
Влияние концнетрации отверстий и включений. Влияние концентрации отверстий и включений изучалось при следующих значениях параметров: радиус 0А отверстий и включений в ячейке периодичности в координатах U принимал следующие значения: 0, 0.1, 0.2, ... , 0.9, внутренний радиус р трубы был положен равным нулю, рассматривалась квадратная ячейка периодичности , постоянные Ламе основного материала: 3.7261,(1 - 8.69565, причем результаты получены для двух случаев /соответственно отверстия и включения/:
Вычисления проводились с точностью до 10 . Постоянные Ламе А М. пропорциональны соответствующим значениям постоянных Ламе бетона, а постоянные Х„ (Чг во втором случае пропорциональны соответствующим значениям постоянных Ламе стали. Напомним, что усредненные коэффициенты зависят не от самих постоянных Ламе основного материала и включения, а лишь от их соотношений.
По результатам расчета на ЭВМ построены графики зависимости усредненных коэффициентов от радиуса О. отверстий и включений, приведенные соответственно на рис.1 и рис.2. На этих графиках цифрой I обозначены усредненные енты и - Цл , цифрой бозначены соответственно ли коэффициенты Для сравнения приведем таблицу разностей хмежду средними по объему и усредненными коэффициентами, отнесенных к соответствующим усредненным коэффициентам и выраженных в процентах.
Влияние включений на усредненные коэффициенты
Для выяснения погрешности, вносимой в расчет трехмерных задач теории упругости при использовании в качестве эффективных характеристик обычных средних по объему, было произведено два варианта расчета объемного напряженно-деформированного состояния "защемленного" по боковой поверхности цилиндра с высотой и диаметром оснований, равными 6м, загруженного равномерно распределенной по верхнему основанию нагрузкой 100 атмосфер. Концентрация круглых цилиндрических пустот 33$ о =QOJ . Ячейка периодичности квадратная. Основной материал бетон с коэффициентом Пуассона v-Цс и модулем Юнга Е =3,8-10 . " 1-ый вариант. Эффективные характеристики /ортотропное тело/:
Расчет четверти цилиндра /учтена симметрия задачи/ производится с помощью метода конечных элементов. Для этого тело было разбито на 132 элемента. При этом получилась система уравнений с 392 неизвестными /ширина ленты матрицы - 76/.
Сравнение 2-х вариантов расчета показывает: - расхождение максимальных перемещений в центре нижнего основания цилиндра достигает 37%; растягивающие напряжения б"х и б в этой точке отличаются на 14%, причем в 1-ом варианте все эти величины больше; - расхождение максимальных напряжений в характерных точках боковой поверхности цилиндра: сжимающих ЭХ на эпюре 2-2 на уровне нижнего основания - 15% /больше в 1-ом варианте/; растягивающих О» на эпюре 2 - 2 на уровне верхнего основания - 34% /больше во 2-ом варианте/; - расхождение максимальных касательных напряжений -щ в харак терных точках достигает 85% на эпюре Т„ц на линии 3 - З1 на уровне верхнего основания /больше во 2-ом варианте/. Вывод: расчет показал, что использование в качестве эффективных упругих характеристик обычных средних по объему может привести к недопустимым ошибкам /не в запас прочности/. Причем, наблюдается большое отклонение в максимальных величинах напряжений и перемещений, т.е. в тех величинах, которые используются при проектировании.
Случай круглых цилиндрических отверстий или сплошных включений, наиболее часто встречающийся в практических расчетах, более детально исследован в главе III настоящей работы. В этой главе получены явные формулы для нахождения ЭУХ и проведен численный анализ влияния на ЭУХ различных физических и геометрических факторов, основанный на расчетах на ЭВМ.
Постановка задач, рассмотренных в работе, определяется запросами практики. Решение для случая трубных включений может быть использовано для расчета конструкций, в которых трубы применяются для охлаждения, массивных железобетонных конструкций с технологическим оборудованием в виде труб. А перфорированные и армированные элементы конструкций находят широкое применение в различных отраслях промышленности, в строительстве и самолетостроении.
Перейдем теперь к более подробному- изложению применяемого в работе асимптотического метода на следующем примере. Рассмотрим случай, когда в круговом цилиндре V , высота и диаметр основания которого равны I, имеется двоякопериодичес-кая система сквозных отверстий, расположенных с периодом вдоль двух осей прямоугольной декартовой системы координат. Оси этих цилиндрических отверстий совпадают с осью цилиндра выполненного из изотропного материала с постоянными Ламе л и U. . Условие равновесия цилиндра запишем в форме
Похожие диссертации на Расчет эффективных упругих характеристик сред с периодическими пустотами и включениями
