Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Некоторые вопросы механики разрушения многослойных сред и механики усталостного разрушения 5
1.1. Обзор некоторых основных работ в области механики разрушения многослойных сред с трещинами и механики усталостного разрушения 5
1.2. Цель исследования и структура диссертационной работы 21
ГЛАВА II. Биупругая среда с трещиной под действием температуры 25
2.1. Постановка задачи 25
2.2. Решение краевой задачи А 27
2.3. Частные случаи общего решения 38
2.3.1. Температура, синусоидально изменяющаяся повремени, амплитуда которой является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией свободной от внешних нагрузок поверхности 39
2.3.1.1. Постоянная амплитуда 44
2.3.1.2. Амплитуда, периодически изменяющаяся по координате поверхности 45
2.3.1.3. Анализ полученных результатов 46
2.3.2. Мгновенный нагрев разных участков поверхности биупругого полупространства 52
ГЛАВА III. Биупругая среда с трещиной под действием температуры /продолжение/ 56
3.1. Краевая трещина в биупругой среде 56
3.I.I. Полупространство под действием цикличеакой температуры 58
3.I.I.I. Постоянная амплитуда 58
3.1.1.1.2. Амплитуда, периодически изменяющаяся по координате поверхности 60
3.1.1.1.3. Рост термоусталостной трещины в полупространстве под действием циклической температуры ... 62
3.1.2. Полоса под действием циклической температуры и постоянная амплитуда 65
3.1.3. Биупругое полупространство под действием циклической нагрузки и температуры 67
ГЛАВА ІV. Многослойные среды с трещинами 71
4.1. Теоремы о сведении сингулярного интегрального уравнения 1-го рода определенного класса к уравнению Фредгольма 2-го рода 72
4.2. Постановка задачи 78
5 4.3. Решение краевой задачи. Анализ полученных результатов 81
3аключение 99
Приложения 106
- Обзор некоторых основных работ в области механики разрушения многослойных сред с трещинами и механики усталостного разрушения
- Температура, синусоидально изменяющаяся повремени, амплитуда которой является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией свободной от внешних нагрузок поверхности
- Рост термоусталостной трещины в полупространстве под действием циклической температуры
- Теоремы о сведении сингулярного интегрального уравнения 1-го рода определенного класса к уравнению Фредгольма 2-го рода
Введение к работе
В последний годы достаточно подробно исследована линейная механика разрушения однородных изотропных упругих сред с трещинами. Фундаментальные аспекты в этой области /такие, как модели трещин, критерии разрушения и т.п./ получили к настоящему времени обоснование и логическое завершение.
В связи с широким применением многослойных материалов в авиационной и космической технике, в мощных энергетических установках и судостроении при экстремальных условиях их работы - высоких уровнях нагружения и температуры, поиски путей повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных конструкций придают механике разрушения многослойных сред особую актуальность.
В настоящее время интенсивно развиваются вопросы поведения трещин в многослойных материалах под действием внешней нагрузки.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов механики разрушения многослойных сред с трещинами под действием температуры и внешней нагрузки.
На защиту выносятся следующие основные научные положения:
- исследование развития трещин в биупругой среде s под действием температуры и внешней нагрузки.
- разработка подхода и его применения для решения определенного класса плоских и антиплоских задач механики разрушения многослойных сред с трещинами.
Диссертационная работа состоит из 4 глав, приложений, списка литературы.
Под биупругой средой понимается жесткое сцепление вдоль прямой линии двух однородных изотропных упругих сред.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [2-5, 35-37] .
Отдельные результаты диссертационной работы неоднократно были доложены на семинаре кафедры "Прикладной и вычислительной математики" АзПИ имЛ.Ильдрыма /1982-1984/, на семинаре кафедры "Сопротивление материалов" АзПИ имЛ.Ильдрыма /1983,1984/, семинаре лабораторий "Механики усталостного разрушения" и "Механики разрушения конструкций" Института математики и механики АН Азерб.ССР /1982-1984/, а также на У Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике /Баку, 1984/.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Валеху Джафар оглы Кулиеву за постоянное внимание к работе, ценные советы и замечания.
Обзор некоторых основных работ в области механики разрушения многослойных сред с трещинами и механики усталостного разрушения
В этой! работе [38"] коэффициент CL назван коэффициентом интенсивности напряжений для клина с углом раствора больше ЗГ , находящегося в биупругой среде, он имеет размерность силы, деленной на длину в степени (z+А) . Решение вышеприведенной задачи является в свою очередь упругой асимптотикой при решении различных задач теории упругости для клиновидной области с утлом раствора больше її с трещиной [W2] /или с полосами скольжения [50 \ /ив некоторых других слечаях. Решения последних задач, очень важны при оценки на ударную вязкость или трещиностойкость биметаллов [82] .
Рассмотрим частные случаи общего решения. Трещина, перпендикшгяшая к границе раздела различных УПРУГИХ сред. Этот случай впервые был рассмотрен Заком-Вилъямсом [ і 4 ] и получается из вышеприведенной задачи, когда оС = sr При этом характеристическое уравнение (Ж; 1.5) принимает вид что совпадает с уравнением Зака-Вильямса [ 14] . Уравнение (І.І.6) имеет единственный действительный корень в интервале -Kh 0 . Анализ приведенный в Г14] показывает, что если трещина переходит из более твердойсреды в более мягкую /т.е. К Jli2 ljUt 1 и V, = ])2 = 0.5 /, то порядок особенности больше, чем в однородном теле /т.е. -у/з /, и наоборот. При больших значениях К можно найти следующее асимптотическое выражение для искомого корня уравнения (I.I.6) Г101] Приведем окончательные результаты для напряжений в окрестности вершины трещины, перпендикулярной к границе раздела различных упругих сред, получаемые из вышеприведенной задачи при а = ir /см., также [5"2] / Эти результаты особенно важны при исследовании поведения трещины на границе раздела - торможении, ветвлении, преломлении №,51-54], В работе [52] t показано, что основной причиной торможения поперечных трещин в композиционных материалах является образование трещин скольжения, возникающих на границе раздела различных упругих сред при пересечении ее магистральной трещиной нормального разрыва. В этой работе проанализирован этот механизм на основе точного решения обобщенной задачи Зака-Вильямса, найденного при помощи модифицированного метода решения уравнения Винера-Хопфа. Предполагалось, что длина трещины скольжения мала по сравнению с длиной магистральной трещины ошрнва и характерным размером тела. В этом случае решение Зака-Вильямса (і.1.7) представляет собой точную асимптотику полученного решения на расстояниях, больших по сравнению с длиной трещины скольжения, но малых по сравнению с длиной магистральной трещины отрыва. Как известно /см., напр., Г52] /, начало развития магистральной трещины определяется некоторым критическим значением коэффициента интенсивности напряжений Kj . Полученные формулы в [52] дают точную зависимость этого критического значения от длины поперечной трещины скольжения. Из этой зависимости /как показано в Г52] / следует, что с увеличением длины трещины скольжения, упомянутое критическое значение Кj увеличивается /и тем существеннее граница раздела тормозит развитию магистральной трещины/, если трещина переходит из более жесткой среды в менее жесткую. В этой же работе проанализирован также переход из менее жесткой среды в более жесткую. Клин с углом раствора, большим #" . в однородной изотропной упругой среде. В этом случае К2 =1 , К=1 , к, - о , Величина }І - корень уравнения. Заметим, что /как показано в Г50] / это уравнение для каждого ы. (#" 2 2JT в области Ь 0 имеет единственный корень. Этот корень действителен и принадлежит полуинтервалу [ -1/2 . 0 ) . Отсюда следует, что степень сингулярности напряжений в вершине клина с ушгом раствора большим 7Г , меньше чем у трещины.
Температура, синусоидально изменяющаяся повремени, амплитуда которой является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией свободной от внешних нагрузок поверхности
В последние годы многие авторы провели обширные экспериментальные исследования по изучению влияния частоты нагружения, внешней среды, температуры, числа циклов и других факторов на рост усталостных трещин /см.обзорные статьи Уэя [152], Пэриса и Джонсона /"/437 » а также работы Г40-42,69 J3, 94,100, 10к - 10В,113,11%, 121, 127-12$, 138 ,№,150,160,163]
Формула Г.П.Черепанова-В.Д.Кулиева (I.I.6) обнаруживает хорошее совпадение с опытными данными [100,105,106] . Целью работы является исследование процесса разрушения биупругой среды с трещинами под действием температуры и внешней нагрузки. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложений и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность проблемы исследований и кратко изложены основные научные положения, которые выносятся на защиту. В первой главе, состоящей из двух параграфов, сформулированы проблемы механики усталостного разрушения и механики разрушения многослойных сред с трещинами. Дан обзор работ по затронутым вопросам /см. I.I, Глава І/. В этом параграфе /т.е. 1.2, Главы I/ указана цель диссертационной работы.
Вторая и третья главы посвящены исследованию процесса разрушения биупругой полуплоскости с трещиной нормального разрыва под действием температуры. Предполагается, что упругая полуплоскость % о ІУ/ г оо , составленная из двух различных материалов жесткосцепленных вдоль плоскости X = h содержит краевую трещину 04Х4?,и о 9(C h) Считается, что берега трещины не сопротивляются тепловому потоку. Боковая поверхность полуплоскости X 0 , /у/ оо подвержена воздействию некоторой заданной температуры Т (уЛ) Предполагается, что материал каждого из слоев является термоупругим. Кроме того, предполагается, что теплофизические и упругие свойства материалов слоев являются постоянными и не зависят от температуры.
Задача считается симметричной относительно плоскости и = 0 .На бесконечности напряжения равны нулю, а смещения -исчезают. Решение этой задачи построено с помощью принципа суперпозиции. Вначале построено решение указанной задачи без трещины /Глава П/. Сначала, с помощью преобразований Фурье по координате и и Лапласа по времени і при определенных условиях /см. 2.1, главы П/ построено решение уравнения теплопроводности в каждой среде. Затем из уравнения Пуассона определяются потенциалы смещения . ( / = 1,2) и тем самым - компоненты тензора термических напряжений и вектора смещений вследствие действия термических напряжений. Общие напряжения и смещения, в теории термоупругости, равны сумме температурных и статических напряжений и смещений.
Общее решение уравнение плоской задачи теории упругости построено с помощью метода Папковича-Нейбера и интегралов Фурье для гармонических функций. Удовлетворяя всем граничным условиям /см. 2.1, главы П/ полностью определяются компоненты тензора напряжений и смещений.
Рассмотрены частные случаи общего решения: - Температура, синусоидально изменяющаяся по времени, амплитуда которой является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией свободной от внешних нагрузок поверхности X = о Здесь рассмотрен случай при г -+ оо . Этот случай во-первых означает, что продолжительность периода синусоидально изменяющейся температуры достаточно велика, следовательно можно применять квазистатический подход /гипотеза Дюамелья/. Во-вторых не рассматривается начальная стадия процесса и ограничивается изучением установившегося чисто периодического состояния. При этом, как показано в 2.3 главы Пт, напряжения и перемещения разлагаются в ряды Фурье в зависимости от времени і ив силу линейности уравнений можно ограничиться изучением произвольного члена этих разложений. - Постоянная амплитуда. - Амплитуда, периодически изменяющаяся по координате поверхности. Проведен численный анализ распределения температур в биуп-ругой среде? для случая постоянной амплитуды. В этой же главе исследовано распределение температур, напряжения и смещения, когда мгновенно нагреваются разные участки поверхности до разного уровня биупругого полупространства. В третьей главе исследуется рост краевой трещины в биупругой среде под действием внешней температуры. Здесь более подробно исследован рост термоусталостных краевых трещин в биупругой среде под действием циклической температуры. Анализ показывает, чтобы исследовать прочность и долговечность биметаллов с трещиной необходимы следующие этапы:
Рост термоусталостной трещины в полупространстве под действием циклической температуры
Заметим, что поскольку К по заданным К irnax (К 1) , tfj и \)2 является монотонно возрастаю щей функцией по tfb є [о, О , то нагрузку б всегда можно выбрать так, чтобы 1К h . При К y i рост трещины в первом слое будет динамическим. Следовательно, возникает новая задача о поведении динамической трещины на границе раздела различных упругих сред и при переходе ее, т.е. в зависимости вязкости скольжения адгезионного слоя либо происходит торможение магистральной трещины на границе раздела, либо -преломление. При (=h размерность К. и степень сингулярности напряжений в вершине трещины зависит от « G /G , Таким образом, чтобы исследовать прочность и долговечность биметаллов необходимы следующие этапы [36] : - разработка методики испытания биметаллов на вязкость разрушения К /шш К /, на циклическую вязкость разрушения К р и на вязкость скольжения адгезионного слоя К- /об этом более подробно см. в Г 52.] /; - разработка методики для построения диаграммы усталостного разрушения в инвариантных переменных ctt/dn - К гтх ; - теоретические и экспериментальные исследования поведения динамической трещины на границе раздела и при переходе ее; - определение коэффициента интенсивности напряжений К /может быть К и К /, когда вершина трещины находится во второй среде. Механизм термической усталости подобен механизму усталое - 70 -ти при механическом воздействии, поскольку в том и другом случае причиной разрушения являются, как показано выше, повторные напряжения и деформации. Следовательно, для определения скорости роста термоусталостных трещин в биметаллах могут быть применены такие же методы, как для скорости роста усталостных трещин, Определим скорость роста трещины, когда боковая поверхность биупругой полуплоскости находится под действием циклической температуры. При этом функция &1(ое,і ) будет иметь вид где 6 . (j = i72) - известные функции; они определяются по формуле (2.3.20) . Подставляя вместо функции б2(х) в (3.1.8) (3.1.32) и представляя функции Ф(т) в виде Из (3.1.8) , находим ІКоэффициент интенсивности напряжений Кт согласно (3.1.34) и (3.1.7) будет Определив отсюда максимальное значение Кт за один цикл и подставив в (3.1.22) при lrQ О , находим скорости роста термоусталостных трещин. В [44,58,139, 141 ] с помощью метода Папковича-Нейбера, интегралов Фурье для гармонических функций и принципа суперпозиции, решения определенного класса плоских и антиплоских задач механики разрушения многослойных сред с трещиной сведены к дуальным /парным/ интегральным уравнениям с тригонометрическими ядрами. Представление искомой функции конечным интегральным преобразованием типа Ханкеля от новой неизвестной непрерывной функции позволяет свести эти уравнения к обобщенному интегральному уравнение Абеля /или уравнению Шлемильха/ с неизвестной правой частью. Из последнего с помощью формулы обращения Абеля получено интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывным ядром. При этом считается, что границы раздела сред прямолинейны и жестко сцеплены друг с другом, а трещина находится целиком в одном из слоев. В случае, если тлеется еще трещина на границе раздела, то вышеописанная процедура для решения задач не применима. Не применим также другой метод, использованный в [ 109 J при исследовании разрушения кусочно-однородной среды, состоящей из двух полуплоскостей с трещинами, находящимися на границе раздела и перпендикулярных к ней, к задачам, когда хотя бы толщина одного из двух слоев конечны. Ниже предложен метод [ 3? ], позволяющий свести решения некоторого класса плоских и антиплоских задач механики разрушения многослойных сред с трещинами, находящимися как внутри одного из слоев, так и на границе раздела, к системе интегральных уравне - 12 ний. Суть этого подхода изложена при исследовании разрушения двухслойного материала конечной толщины с трещинами продольного сдвига. Предложен также способ регуляризации определенного класса сингулярных интегральных уравнений 1-го рода, часто встречающихся в механике разрушения.
Теоремы о сведении сингулярного интегрального уравнения 1-го рода определенного класса к уравнению Фредгольма 2-го рода
На основании научных результатов полученных в диссертационной работе можно сделать следующие выводы: 1. Исследован процесс разрушения биупругой среды с краевой трещиной под действием термомеханических нагрузок, при этом установлено условие, при выполнении котррого происходит торможение трещины. 2. Исследован усталостный рост трещины в биупругой среде под действием циклической температуры; впервые показано, что если трещина находится в более жесткой среде возможно термоусталостный рост трещины и ее скорость можно определять по известным формулам. 3. Анализ показывает, что если трещина выходит из более податливой среды на границу раздела Л к двух различных упругих сред, то критическая нагрузка является функцией не только отношений упругих свойств двух сред, а также Ц\і » где С - длина краевой трещины. 4. Предложен новый подход, позволяющий построить решения некото рого определенного класса плоских и антиплоских задач механи ки разрушения многослойных сред с трещинами, находящимися как внутри, так и на границе раздела. Известно, что в плоских и осесимметричных задачах решение уравнений теории упругости можно выразить через одну бигармони-ческую функцию. Однако, даже и в этих случаях иногда удобнее пользоваться не одной бигармонической функцией, а несколькими гармоническими функциями напряжений. В диссертационной работе применяется известное представление Папковича-Нейбера перемещений и напряжений через три гармонические функции: ф Ф , Ф Приводим соответствующие общие зависимости для перемещений [95] Формулы (П.I.5) есть обобщенные формулы Абеля [95,96,6,62] Многие смешанные краевые задачи математической физики сводятся к нахождению неизвестной функции, если результат применения к ней одного интегрального оператора известен на одной части некоторого интервала, а результат применения второго интегрального оператора известен на остальной части указанного интервала. В этих случаях говорят, что задача сводится к парным интегральным уравнениям типа [6,д5] Здесь if (у) - неизвестная функция, подлежащая определению из (П.2.І) и (П.2.2) ; K.-fajf) Cj US) , fc ) $Ю известные функции в своих областях определения. Общая теория для таких уравнений отсутствует, однако для специальных видов ядра Кг ( jf) и пределов интегрирования а и $ удалось разработать эффективные методы их решения. Рассмотрим простой случай /только этот случай встречается в настоящей диссертационной работе/. Пусть в (П.2.1) и (П.2.2) Подставляя (П.2.12) в (П.2.7) , окончательно находим искомую функцию ф(у; Более подробно о парных интегральных уравнениях написано в работах [6,9, 75\ 95, 96] .
