Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Фрактальное обобщение уравнения энергетического баланса в линейной механике разрушения 6
1.1. Фракталах в природе 8
1.2. Плоская задача об угловом концентраторе напряжений 23
Глава 2. Уравнение энергетического баланса в задачах о накоплении повреждений 34
2.1 Выводе кинетического уравнения повреждаемости типа качанова- работнова из закона сохранения массы материала 35
2.2. Простейшая задача о накоплении повреждений 40
2.3. Выбор начального условия для кинетического уравнения повреждаемости типа качанова-работнова 47
Глава 3. Энергетический подход к решению задачи об интерфейсной Трещине 50
3.1. Решение плоской задачи теории упругости об интерфейсной трещине .52
3.2. Решение задачи механики разрушения об интерфейсной трещине 59
Заключение 67
Литература
- Плоская задача об угловом концентраторе напряжений
- Простейшая задача о накоплении повреждений
- Выбор начального условия для кинетического уравнения повреждаемости типа качанова-работнова
- Решение задачи механики разрушения об интерфейсной трещине
Введение к работе
Одна из важнейших задач механики разрушения - определение условий, при которых произойдет разрушение некоторого образца или конструкции. В рамках линейной механики хрупкого разрушения в качестве основного фактора, вызывающего разрушение, рассматривается величина приложенной нагрузки, а сам процесс разрушения представляется как процесс формирования макротрещины в образце. Чаще всего для определения критической нагрузки, необходимой для образования поверхности хрупкого разрушения, используют энергетический или эквивалентный ему силовой критерий. Энергетический подход к описанию процесса развития трещин был предложен английским ученым Аланом Гриффитсом еще в 20-х годах 20-го века. Работы Гриффитса явились основополагающими для механики разрушения, так как именно в них процесс разрушения был связан с появлением в теле трещин. Гриффите сформулировал два условия, согласно которым происходит распространение трещины: рост трещины должен быть энергетически выгоден, и в процессе разрушения должно происходить преобразование энергии. Таким образом, процесс развития трещины должен описываться уравнением баланса энергии. В случае хрупкого разрушения трещина в твердом теле развивается, когда скорость освобождения потенциальной энергии деформации больше скорости прироста поверхностной энергии тела в результате образования новых поверхностей. То есть при разрушении рост трещины происходит исключительно за счет упругих деформаций без дополнительной работы внешних сил.
Несмотря на то, что Алан Гриффите сформулировал положения теории развития трещин почти век назад, большая часть современных исследований по механике разрушения опирается на результаты его работ. Более того, для решения большинства практических задач критерия Гриффитса в его классической формулировке оказывается достаточно. Однако существует ряд проблем, при решении которых классический энергетический критерий оказывается неприменим в силу различных обстоятельств или результаты его использования плохо согласуются с экспериментальными данными. Это, в основном, те задачи, в которых необходимо учитывать структуру образующейся поверхности разрушения, то есть задачи, где поверхность развивающейся трещины не является гладкой, а содержит множество неровностей разных размеров, что существенно влияет на макроскопические параметры разрушения. Такая геометрия трещины делает невозможным вычисление удельных энергетических характеристик в рамках классической линейной механики разрушения. Выходом в этом случае оказывается представление трещины фракталом. В первой главе диссертации рассматриваются фрактальные модели, применяемые в механике хрупкого разрушения, и обсуждаются их особенности и возможности использования. На основе этих рассуждений строится фрактальное обобщение уравнения энергетического баланса на задачи линейной механики разрушения. В частности, рассматриваются плоские задачи, в которых поле напряжений имеет «нетрадиционную» для линейной механики разрушения особенность (ет г а,аФІ/2) в окрестности конца трещины, и их адекватное решение не может быть получено при помощи классического критерия Гриффитса. В качестве примера рассмотрена задача о разрушении плоскости, ослабленной вырезом в виде симметричной лунки. Полученные результаты хорошо согласуются как с экспериментальными данными, так и с результатами решения этой же задачи при помощи критерия Нейбера-Новожилова.
Вторая глава посвящена вопросам континуальной теории повреждаемости. В простейшей задаче о накоплении повреждений уравнение энергетического баланса Гриффитса используется для оценки уровня начальной поврежденности материала в образце при приложении постоянной нагрузки. Показано, что при соответствующем выборе начального условия, кинетическое уравнение типа Качанова-Работнова позволяет описать данные экспериментов по ползучести хрупких материалов в рамках чисто хрупкого механизма разрушения. Кроме того, рассмотрены теоретические аспекты вывода кинетического уравнения повреждаемости из закона сохранения массы и дана фрактальная интерпретация процесса накопления повреждений.
В третьей главе диссертации рассматривается плоская задача механики разрушения о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух сред. Линейное решение этой задачи является достаточно простым по структуре, но содержит осциллирующие члены как в перемещениях на берегах трещины, так и в напряжениях на ее продолжении. То есть оно предсказывает перехлест берегов вблизи вершин трещины. Однако легко показать, что размер зоны перехлеста пренебрежимо мал по сравнению с длиной самой трещины, и поэтому можно считать, что линейное решение достаточно точно описывает напряженное состояние в рассматриваемой задаче. А поскольку асимптотика упругих полей остается корневой, то для решения задачи о страгивании трещины по интерфейсу можно использовать энергетический подход Гриффитса. В диссертации показано, что энергетическое решение оказывается корректным за счет того, что при подсчете работы по раскрытию трещины, осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и «гасят» друг друга. Это позволило определить величину критической нагрузки, необходимой для старта интерфейсной трещины.
Таким образом, в диссертации рассмотрены задачи, при решении которых до сих пор не использовалось уравнение баланса энергии Гриффитса. При этом получены как новые точные решения рассматриваемых задач механики разрушения, так и новые интересные теоретические результаты, имеющие широкое практическое применение.
Плоская задача об угловом концентраторе напряжений
На начальной стадии пластической деформации появляется большое число дислокаций, равномерно распределенных по объему. Они образуют скопления в виде клубков при увеличении уровня деформаций. В дальнейшем эти клубки формируются в четко выраженную ячеистую структуру. Скопления дислокаций, составляющих стенки ячеек — суть фракталы, размерность которых увеличивается от D = 1 (равномерное распределение дислокаций) до 1 D 2 (рыхлые клубки) и затем возрастает вплоть до D = 2 (четкие геометрические стенки ячеек) [19].
Точно также, принимая фрактальную модель хрупкого разрушения твердых тел, предлагается рассматривать процесс хрупкого разрушения как процесс постепенного увеличения фрактальной размерности образующейся трещины. В плоском случае это можно схематично представить следующим образом: в идеальном материале до приложения нагрузки фрактальная размерность поверхности разрушения ) = 0, трещины еще не существует. При приложении нагрузки, из-за образования многочисленных микротрещин, начинает формироваться область предразрушения, которая может быть смоделирована лакунарным (lacunar) фракталом (типа Канторова множества, рис. 1.2), размерность которого постепенно увеличивается до D = 1, когда появляется явно видимая макротрещина. В этой фазе обычно изучается процесс квазистатического разрушения в классической механике сплошной среды. Дальнейшее увеличение размерности поверхности разрушения приводит к увеличению шероховатости образующейся трещины, моделируемой при помощи агрессивного (invasive) фрактала с размерностью D \ (типа кривой Коха, рис. 1.3), и когда ее фрактальная размерность близка к 2, трещина начинает ветвиться. Так как она больше не может увеличивать шероховатость, то стремится таким образом сбросить излишек накопленной энергии. Этот эффект наблюдается в опытах по изучению быстро бегущих трещин.
Во многих статических задачах оказывается достаточно рассматривать процесс разрушения только в той стадии, когда трещина может быть смоделирована отрезком, то есть когда ее размерность близка к 1. Но именно рассмотрение процесса разрушения как процесса роста и взаимодействия микротрещин, моделируемого при помощи фрактальной геометрии, позволяет решать некоторые задачи, с которыми не в силах справиться классическая механика разрушения, как на первой «лакунарной» стадии зарождения макротрещины, так и на третьей стадии распространения «агрессивной» поверхности квазихрупкого разрушения.
При этом важно помнить, что самоподобная фрактальная кривая, такая как кривая Коха, где фрактальность возникает из локального поперечного возмущения отрезка, не может быть моделью хрупкой трещины [20]. В отличие, скажем, от береговой линии, поверхность распространения трещины должна быть кинематически допустима: области тела, примыкающие к трещине, должны иметь возможность двигаться друг относительно друга, как два жестких тела. Но самоподобная фрактальная кривая, типа кривой Коха, имеет рецессивные звенья, «отступающие» назад, против общего направления распространения трещины (рис. 1.3). В этом случае разделение берегов трещины невозможно без дополнительного разрушения вдоль самой трещины, но тогда распространение поверхности разрушения не представляет собой простой рост одной фрактальной трещины. По этой причине, самоподобные (или локально возмущенные) фрактальные поверхности, получаемые смещением точек кривой по нормали к ее конкретному малому участку, как в случае кривой Коха, неудобно применять для описания фрактальных трещин. Вместо них надо рассматривать самоаффинные фракталы, получаемые смещением по нормали к общему направлению развития трещины (рис. 1.6).
Простейшая задача о накоплении повреждений
Задача теории упругости о трещине, лежащей на границе раздела двух полуплоскостей с разными упругими модулями исследовалась разными авторами. Несмотря на это, она продолжает вызывать живой интерес. Одна из первых попыток решить такую задачу была предпринята Вильямсом [30] в 1959 году. Он исследовал поля напряжений в задаче о полубесконечной интерфейсной трещине. Ее полное решение с использованием предложенной Вильямсом методики было построено Райсом [31] в 1965 году. Он же рассмотрел случай конечной трещины. Полученные им выражения для упругих полей обладали неприятной особенностью: они были высокоосциллирующими функциями координаты. Еще хуже то, что из построенного им решения следовало, что берега трещины должны перекрываться вблизи ее концов. Несмотря на такую некорректность в поведении решения, Райе предпринял попытку решить задачу о страгивании интерфейсной трещины путем введения комплексного коэффициента интенсивности напряжений и использования аналога критерия Ирвина. Его идея, дополненная предположением о существовании безфрикционного контакта берегов трещины вблизи ее концов, была позже развита Комниуоу [32]. Эта же задача была решена при помощи комплексных потенциалов типа Колосова - Мусхелишвили Черепановым [33] в 1962 году и, независимо, Ингландом [34]. Основываясь на решении Черепанова, Салганик [35] показал, что если учесть силы реакции, возникающие на площадках контакта, то в малой концевой области находящейся в равновесии трещины, ее противоположные берега смыкаются монотонно и плавно, а напряжения на ее продолжении получаются конечными. Замкнутое решение задачи об интерфейсной трещине в нелинейной постановке было получено Грековым [36, 37]. Оно не содержит осциллирующих членов в напряжениях, однако осцилляции по-прежнему наблюдаются в перемещениях.
Использование этого точного решения, равно как и решения Салганика, в уравнении баланса энергии для задачи о страгивании трещины является не очень удобным, вследствие необходимости учитывать контакт берегов трещины вблизи ее вершины. Тем не менее, Салганику [35] удалось показать, что в этом случае возможно корректно составить уравнение энергетического баланса. Линейное же решение является гораздо более простым по структуре, но, как было сказано, содержит осциллирующие члены и в перемещениях. Однако асимптотика упругих полей в линейном решении является корневой, а значит, тоже допускает энергетический подход Гриффитса для решения задачи о страгивании трещины вдоль по интерфейсу. Как будет показано далее, энергетическое решение такой задачи оказывается вполне корректным. Чтобы получить представление о ее решении при помощи силового критерия разрушения, можно обратиться к обзору Раиса [38].
Решение плоской задачи теории упругости об интерфейсной трещине Рассмотрим две упругие полуплоскости, соединенные друг с другом по оси JC. Будем считать, что верхняя полуплоскость занята средой с модулем Юнга Е\ и коэффициентом Пуассона V, а нижняя, соответственно, E i и V2- Пусть между ними расположена прямолинейная трещина -а х а, у = 0. Эта трещина раскрывается равными противоположно направленными нормальными усилиями величины /», приложенными к ее берегам. Тогда условия на границе раздела двух сред можно записать в виде:
Выбор начального условия для кинетического уравнения повреждаемости типа качанова-работнова
Концепция энергетического баланса, предложенная Аланом Гриффитсом почти сто лет назад, до сих пор остается наиболее часто используемым инструментом при решении задач механики разрушения. Однако в ряде случаев использование критерия Гриффитса в его классической постановке оказывается невозможным в силу различных обстоятельств. Прежде всего, речь идет о задачах, в которых микроструктура образующейся поверхности разрушения оказывает существенное влияние на характер формирования макротрещины. В этом случае необходимо учитывать микроструктуру берегов при подсчете энергии, затраченной на разрушение. Это можно сделать, представляя трещину фракталом дробной размерности. Вопросы о применении фрактальных кривых при описании процессов разрушения хрупких тел неоднократно обсуждались в литературе. Однако, в основном, фракталы использовались для численного моделирования процессов образования трещин. Были также сделаны попытки пересказать основы классической механики хрупкого разрушения на языке фрактальных трещин. При этом для определения масштабных уровней разрушения эксплуатировалось главное свойство фрактальных объектов — самоподобие. Однако, как уже говорилось, фрактальная модель - это лишь аппроксимация изучаемого объекта в определенном диапазоне масштабных уровней. В диссертации предлагается подход к фрактальному обобщению уравнения энергетического баланса, который оперирует только с макроскопическим масштабным уровнем. В этом случае удается аналитически построить связь между величиной фрактальной размерности модельной трещины и реальными структурными характеристиками процесса разрушения. Это позволяет решать конкретные задачи механики разрушения, в которых характер поля напряжений в окрестности конца образующейся трещины определяется некорневой сингулярностью, и энергетический критерий в его классической формулировке не работает. В качестве примера рассмотрена плоская задача об угловом концентраторе напряжений, для которой удалось составить обобщенное уравнение баланса энергии и определить критическую нагрузку, инициирующую процесс разрушения. Оказалось, что в этой задаче фрактальная размерность поверхности разрушения определяется исключительно величиной угла выреза. То есть предложенный подход позволяет абстрагироваться от проблемы измерения фрактальной размерности поверхности трещин. Дискуссия на тему о справедливости применения той или иной методики измерения размерности до сих пор не закрыта. Возможно, что, сравнивая результаты экспериментальных измерений с полученным аналитическим представлением, удастся выбрать те методики, которые наиболее подходят именно при изучении хрупкого разрушения. Кроме того, полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на связь между масштабными уровнями самого процесса разрушения и структурой поверхности образующейся трещины, благодаря соотношению между фрактальной размерностью и характерным структурным размером разрушения. Это соотношение может быть использовано в дальнейшем для аналитического моделирования процессов динамического распространения трещин.
Решение задачи механики разрушения об интерфейсной трещине
Диссертации рассматриваются вопросы теории повреждаемости. Основой континуальной теории накопления повреждений является уравнение повреждаемости типа Качанова-Работнова, представляющее собой результат обобщения экспериментов по накоплению повреждений, причем набор определяющих параметров, входящих в это уравнение, каждый раз выбирается исходя из соображения наилучшего приближения конкретных экспериментальных данных. Однако смысл уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова гораздо шире. В диссертации предлагается вывод кинетического уравнения повреждаемости из закона сохранения массы. Однако в закон сохранения массы входит дивергенция скорости движения частиц материала, которая, кроме простейших случаев, не может быть подсчитана аналитически, а должна быть аппроксимирована на основе обобщения экспериментальных данных. Тем не менее, до сих пор не построено ни одного кинетического уравнения повреждаемости, способного описать эксперименты по длительной прочности хрупких материалов исключительно в рамках хрупкой модели разрушения, не апеллируя к вязким механизмам при больших номинальных напряжениях. Оказывается, что это позволяет сделать правильный учет уровня начальной поврежденности материала, существующего в образце в момент приложения постоянной нагрузки. Для определения уровня начальной поврежденности необходимо рассмотреть задачу о накоплении повреждений. Несмотря на то, что в общем случае ее не решить, при помощи уравнения энергетического баланса можно построить решение какой-нибудь несложной модельной задачи. В качестве такой задачи рассмотрена плоская задача о формировании периодической системы трещин. Ее решение позволяет сформулировать начальное условие для уравнения типа Качанова-Работнова с учетом уровня поврежденности, возникающего в образце при приложении нагрузки. Построенное решение дает адекватное описание процесса ползучести и позволяет существенно упростить экспериментальные процедуры исследования процесса накопления повреждений в хрупких телах.
Кроме того, для описания процесса накопления повреждений построена фрактальная модель, опирающаяся на понятие «разреженного» (lacunar) фрактала. При этом параметры модели снова определяются на макромасштабе, используя характерный структурный размер процесса разрушения. Это также дает возможность проанализировать существующие методики измерения фрактальной размерности на предмет применимости при описании процессов формирования микроразрушений.
Последняя глава диссертации посвящена построению решения задачи о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух сред. Известно, что решение плоской линейной задачи теории упругости об интерфейсной трещине содержит осциллирующую особенность. Это подразумевает перекрытие берегов трещины вблизи ее концов и, как следствие, некорректность такого решения. Однако можно показать, что размер зоны, в которой происходит перехлест берегов, чрезвычайно мал по сравнению с размером самой трещины. Это дает основания считать, что линейное решение достаточно точно описывает упругое состояние в рассматриваемой задаче. Существенным преимуществом линейного решения оказывается корневая асимптотика упругих полей. Именно это позволяет использовать для решения задачи о страгивании интерфейсной трещины по интерфейсу уравнение энергетического баланса Гриффитса. При этом при подсчете работы по раскрытию трещины, осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и «гасят» друг друга, что дает возможность корректно составить уравнение энергетического баланса и определить величину критической нагрузки, необходимой для старта интерфейсной трещины. В случае, когда упругие модули двух сред совпадают, решение полностью идентично решению задачи Гриффитса о страгивании трещины в плоскости. Анализ построенного решения позволяет сделать важный вывод о том, что наибольшее влияние на величину нагрузки, которую необходимо приложить для страгивания трещины, лежащей на границе раздела двух упругих материалов, оказывает наименьший из двух модулей жесткости этих материалов.
