Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Разрушение упругой плоскости, ослабленной полубесконечнш тонким вырезом, под воздействием плоских гармонических волн 18
1.1 Постановка задачи. Метод решения 22
1.2 Построение главного члена асимптотики. Случай продольной волны 28
1.3 Исследование хрупкого разрушения упругой плоскости с тонким вырезом под воздействием продольной волны 33
1.4 Поперечная волна. Анализ разрушения 40
Глава 2. Установившиеся колебания упругой плоскости с тонким вырезом конечной длины 45
2.1 Математическая формулировка задачи 48
2.2 Задача разрушения упругой плоскости с тонким вырезом. Случай плоской деформации 53
2.3 Случай деформации антиплоского сдвига 58
Глава 3. Влияние границы на разрушение упругой полуплоскости с краевыми вырезами или жесткими включениями полуэллиптической формы под воздействием волн антиплоского сдвига 65
3.1 Постановка задачи 71
3.2 Задача для полуплоскости. Глубокий вырез 75
3.3 Полуплоскость с мелкой выточкой. Задача для четвертьплоскости 79
Глава 4. Применение метода мазья - пламеневского для определения динамических коэффициентов интенсивности напряжений в задачах установившихся колебаний упругих тел 84
4.1 Общая схема метода 87
4.2 Установившиеся колебания антиплоского сдвига упругого кругового сектора 90
4.3 Плоские установившиеся колебания упругого сектора при смешанных краевых условиях на граничных радиусах 97
Выводы 104
Приложение
- Построение главного члена асимптотики. Случай продольной волны
- Исследование хрупкого разрушения упругой плоскости с тонким вырезом под воздействием продольной волны
- Задача разрушения упругой плоскости с тонким вырезом. Случай плоской деформации
- Полуплоскость с мелкой выточкой. Задача для четвертьплоскости
Построение главного члена асимптотики. Случай продольной волны
В первом параграфе данной главы было показано, что для построения главного члена равномерной асимптотики решения задачи о падении продольной волны на полубеоконечный тонкий вирез вдоль отрицательной части оси оХ в плоскости ХоУ необходимо решить две задачи: Внешнюю для функции LL (,Д) » задаваемую равенствами (1.1 13), (1,1,14) и условием на бесконечности (I.I.II) и внутреннюю для функции И UJ Д) , задаваемую равенствами (I.I#I8) , (1 1.19) с определенным ростом на бесконечности. Внешняя задача (1 1.11), (1 1.13), (I.I.I4) описывает дифракцию продольной волны на полубесконечном разрезе в плоскости )(о7 вдоль отрицательной части оси О Л . Известно, (см. напр./43/) что аисмптотика напряжений в окрестности вершины стационарного разреза при динамическом нагружении, и в частном случае при гармоническом, аналогична статике, с той лишь разницей, что коэффициенты интенсивности напряжений Кх и\чй зависят от времени. Следуя /43/ выпишем асимптотику компонент тензора напряжений внешней задачи в окрестности конца разреза Для нахождения коэффициентов интенсивности напряженийKIOJJH М(Необходимо решить задачу (I.I.II), (1 1.13), (I.I.I4).
Вол новые потенциалы , вводимые соотношением (I.I.I), для произвольного угла &. падения волны построены Мауэ. в работе /77/. Как уже отмечалось, в /77/ преобразованием Фурье задача сводилась к парным интегральным уравнениям, которые в свою очередь сводились к уравнению Винера-Хопфа. Найденные по тенциалы выражаются в виде интегралов обратного преобразования Фурье, которые в квадратурах не вычисляются, что, естественно, сильно затрудняет их дальнейшее применение. Г.П.Черепанов для решения частного случая этой задачи использовал метод Джонсона /35/, который в данном случае оказывается более удобным, так как позволяет найти коэффициенты интенсивности напряжений непосред ственно из уравнения Винера-Хопфа. В приложении I, посвященному определению коэффициентов интенсивности (t(1/Ь)иКй(АД) также используется метод Джонсона /35/. На рисунках 2, 3 приведены за висимости коэффициентов интенсивности КїЦД) и Кхз(АД) » точнее говоря модулей их амплитуд, от угласА. падения волны. Согласно формулам (24) и (25) приложения I запишем коэффициенты Кз(А/т) и Кй(іД)в виде; где - амплитуды соответствующих коэффициентов интенсивности напряжений. Для решения LL vj,ЧА) внутренней задачи необходимо решить задачу (I.I.I8), (I.I.I9 для функции U. \1 \) Как уже отмечалось, задача для вектора Ц (J 1) - статическая задача теории упругости во внешности параболы \ = \ Следуя Н.И.Мусхелиш- Отметим, что аналогичное выражение для потенциалов получено в /56/. Здесь І =иі+І0г - комплексная постоянная,Ч = Х+\% Пользуясь формулами Колосова-Мусхелишвили выписываем компоненты тензора напряжений внутренней задачи в полярной системе координат (Р ) с центром в фокусе параболы V ="- » т»е Р =[( АА)Ч Т/г . Тогда учитывая, что ЦЪЛИ )С0$(ш1-?)и вводя обозначение получаем, что Сравнивая формулы (І.2Л) и (1,2.5) находим, что совпадение аиимптотик тензоров напряжений (1.2.5) внешней и внутренней задач соответственно в зоне %"- с приводит к равенствам: здесь14 (Д/t) и Кц(А,І) определены формулами (23) и (25) приложения I соответственно, !о=мо- безразмерный радиус кривизны контура выреза - - в точке (0,0).
Отметим следующий факт: несмотря на то, что постоянная Ь , входящая в решение внутренней задачи, определялась из условия совпадения асимптотик тензоров напряжений внешней и внутренней задач в промежуточной зоне , т.е. из условия совпадения линейных комбинаций производных соответствующих векторов смещений, к такому же результату приводит согласование и самих векторов смещений внешней и внутренней за-дач в зоне 1 . Здесь проделано согласование напряжений с единственной целью: в дальнейшем при анализе хрупкого разрушения плоскости с тонким полубесконечным вырезом потребуются формулы асимптотик этих тензоров. Общий вид главного члена равномерной асимптотики решения задачи (1.1.9)-(1.1.11) можно выписать по фррмуле (1.1.1 с учетом (I.I.3) и (1.2.6). На примере решенной выше задачи остановимся вкратце на методике построения высших членов в равномерной асимптотики решения задачи (I.I.9) - (I.I.II). Чтобы построить второй член внешнего решения необходимо поступить следующим образом: выписать невязку в краевых условиях (I.I.I0) от решений внешней и внутренней задач. Эта невязка будет порядка U Q) . Решить новую внешнюю задачу, но уже не с однородными краевыми условиями на разрезе, а так чтобы скомпенсировать невязку порядка . Следующим шагом будет решение внутренней задачи с краевыми условиями, снимающими невязку на контуре параболы Лг =- от решений двух пре- дыдущих внешних задач. 1.3 Исследование хрупкого разрушения упругой плоскости с тонким вшрезом под воздействием продольной волны. Рассмотрим более подробно выражения для тензоров напряжений внешней и внутренней задач, определенных равенствами (I.2.I) и (1.2.5) соответственно. Нетрудно видеть, что при % 0() верна оценка
Исследование хрупкого разрушения упругой плоскости с тонким вырезом под воздействием продольной волны
Таким образом, без потери точности вычислений, при можно пользоваться формулами (1.2.5), а при t 8 - формулами (I.2.I) причем при = они совпадают. Учитывая вдаесказанное получаем, что при Х=0(г) напряжения определяются выражениями (1.2.5) и (о Е , а при .= 0(e) - выражениями (1.2.1) и Q г . Аналогичный результат, как и следовало ожидать, относительно зоны наибольших напряжений получается и в случае статики /II/ . Очевидно, что ото связано стем, что распределение напряжений в окрестности конца стационарной трещины не зависит от вида нагру-жений.
Как уже отмечалось, основные вопросы на которые необходимо ответить при исследовании динамических задач хрупкого разрушения следующие: во - первых, при каких значениях параметров нагрузки следует ожидать рост трещины; во - вторых, как быстро будет распространяться трещина; в - третьих, какова критическая длина трещины, т.е. вше какой длины рост трещины повлечет за собой разрушение конструкции вцелом.
Здесь мы попытаемся дать ответ на первый вопрос. Рассмотрение второго вопроса необходимо проводить, используя модель не стационарной, а движущейся трещины, которая в данной работе не рассматривается. Получить ответ на третий из поставленных вопросов невозможно в рамках модельных задач. Следует изучать всю конструкцию вцелом, что является уже областью инженерного проектирования.
Если посмотреть на формулы (1.2.5), определяющие асимптотику напряжений у кромки выреза, то нетрудно видеть, что напряжения на контуре выреза за счет наличия временного сомножитела будут иметь чередование знаков во времени. Условимся считать, что если временной множитель имеет положительный знак, то это будет фаза растяжения, если отрицательный - то фаза сжатия. След довательно, если на фазе растяжения одни точки контура трещины (выреза) испытывают растягивающие усилия, а другие - сжимающие, то на фазе сжатия будет наоборот, т.е. первые точки будут подвержены сжимающим напряжениям, а вторые - растягивающим.
Зафиксируем некоторый момент времени t # например на фазе растяжения, при котором временной множитель имеет значение 1 . Пусть мы определили точку контура выреза, где растягивающие напряжения наибольшие, отметим, что такая точка может быть, вообще говоря, не единственна. Предположим, что значения параметров нагрузки таковы, что если бы такую же картину напряжений получили в статической задаче, то это вызвало бы начало роста трещины. Несмотря на то, что в статике можно только констатировать сам факт возможности разрушения не связывая начало роста трещины с некоторым моментом времени, молчаливо предполагается, что разрушение начинается практически сразу же после приложения критической нагрузки. В противном случае, если бы разрушение начиналось бы по истечении некоторого промежутка времени, то это означало бы, что помимо факторов, вызывающих разрушение и учтенных в критерии разрушения, существуют еще дополнительные, наличие которых в критерии не учтено, и вызывающие, в конечном итоге, само разрушение. Поэтому будем считать, что критическая нагрузка при статическом воздействие на трещину вызывает немедленное развитие дефекта.
Но при гармонической нагрузке точка контура, где в момент ". " усилия были растягивающие, на фазе сжатия будет подвержена воздействию сжимающих сил, что, как известно, приводит к упрочнению упругой среды в окрестности этой точки и способствует торможению начала роста трещины.
Все вышесказанное позволяет воспользоваться следующей моделью хрупкого разрушения при циклических нагрузках. Зафиксируем момент времени X , когда временной сомножитель в тензоре напряжений имеет значение J- Напряженно - деформированное состояние упругой среды с трещиной в момент L характеризуется тензором o( t), зависящим от амплитуды (э \ къ. и частоты СО падающей волны. Предположим, что в результате приложения некоторой статической нагрузки упругая среда имеет тензор Ост. , причем напряженное состояние с тензором Oct. таково, что в силу того или иного критерия разрушения может вызвать начало роста выреза. Тогда под критическим значением пары величин ч »оо . и для циклического нагружения будем понимать набор ((э« о .5 СО ), вызывающий в момент X. напряженное состояние с тензором О w в точности совпадающий с тензором Ост, В качестве критерия хрупкого разрушения воспользуемся критерием В.В.Новожилова /37/
Задача разрушения упругой плоскости с тонким вырезом. Случай плоской деформации
В качестве условия, позволяющего выбрать нужное внутреннее решение из всего набора решений соответствующих однородных задач как в плоском случае, так и для антиплоской деформации, является требование роста на бесконечности внутренних решений какЛМ1) Константы, которые входят в решения однородных задач, определяются условием согласования внешнего и внутреннего решений в зоне 2.2 Задача разрушения упругой плоскости с тонким вырезом. Случай плоской деформации. В этом параграфе рассмотрим задачу (2.1.3), (2.1.4). Для построения главного члена равномерной асимптотики решения необходимо решить две задачи: внешнюю (2.1.9), (2.1.10) и внутреннюю - (2.1.14).
Для построения решения внешней задачи представим вектор в виде: Тогда для функции U ( ) , называемой обычно амплитудой вектора смещения, приходим к задаче где L - оператор, опреленный в равенстве (2.1.5). Задача для функции Ц (%9) неоднократно рассматривалась, и мы будем считать, что коэффициент интенсивности напряжений в этой задаче извест -ным. Очевидно, что коэффициент интенсивности Кг задачи (2.2.2), (2.2.3) связан с коэффициентом интенсивности sr(V) задачи (2.1.9) , (2.1.10) соотношением Введем обозначения: Тогда с учетом обозначений (2.2.5) из (2.2.4) получим, что а асимптотжа напряжений внешней задачи (2.1.9), (2.1.10) в ок рестности точки (J, 0) имеет вид:
Отметим, что коэффициент интенсивности продольного сдвига К її в силу симметрии нагрузки относительно оси 0 X равен нулю. Внутренняя задача (2.1.II), (2.I.I2) сводится к определению функции L"l ) из уравнения (2.1.14), комплексные потенциалы которого приведены в 1.2. Асимптотика напряжений внутренней задачи в этом случае принимает вид: Константа Сюпределялась из условия согласования тензоров на -пряжений (2.2,8) и (2.2.9) в зоне Z 9 Как и в задаче о полубесконечном вырезе напряжения достигают наибольших значений в зоне 0(с ) и имеют порядок. 6 После отображения внешности параболы 12= ]L на нижнюю полу -плоскость комплексной переменной " L при помощи конформного преобразования "J = Сус У2)" "Ц получаем, что на границе Чл О для единственной ненулевой компоненты тензора напряжений справедливо представление Из (2.2.10) следует, что единственная опасная точка контура выреза имеет координаты (0,0). Основываясь на механизме хрупкого разрушения при циклических нагрузках, описанному в 1.3, в силу критерия разрушения (1.3.7) находим критическое значение величины Кг I t которая характеризует коэффициент интенсивности внешней задачи для разреза где То - радиус кривизны контура полости - - в точке (І ,0 ) , Ос. и d - прочностная и структурная характеристики материала соответственно. Величина зависит от амплитуды нагрузкир(хэО) и безразмерной частоты Wl/Cz « Следовательно, соотношение (2.2.II) дает связь таких значений параметров нагружения упругой области G" с характеристиками последней при кото -рых возможно начало роста полости. Остановимся теперь на вопросе определения коэффициента интенсивности в задаче (2.2.2), (2.2.3). Здесь будем использовать результаты работы А2/, согласно которой где СЄт(й і)и m С ЧО - периодические функции Матье первого рода, - модифицированные функции Матье третьего рода, fy=W4- /4&z , - 4 /АСг . Постоянные Cvw иЗХ % есть решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
Полуплоскость с мелкой выточкой. Задача для четвертьплоскости
Задача для четвертьплоскости. Для получения решения задач (3.1,1)-(3,1.5) в области Е (ІункциюЩ х) необходимо продолжить в нижнюю полуплоскость четным образом. Тогда
Константы СY\ определены формулами (3,1,13) и (3.1,14) для жест-» кого включения и выреза соответственно. По формулам (3,1,15) находим представления ненулевых компонент тензора амплитуд напряжений на границе І ц , В случае длинных волн (Ci-Op) ) в задаче о жестком включении величина От?.(jo,l) имеет вид:
На границе мелкой выточки напряжения niljjOj )) имеют порядок C(QJ , т.е. практически не опасны с точки зрения разрушения . Из сравнения (3,3,2) с (3.1,17) и (3,2.4) следует вывод, что напряжения на границе мелкого жесткого включения меньше соответствующей величины для глубокого включения, но примерно в два раза больше напряжений на контуре эллиптического включения в плоскост ХоУ. Опасные точки границы включения имеют координаты ( 0,0) . Для длинных волн величина напряжений на контуре жесткого мелкого включения, в отличии от глубокого, не зависит от угла падения волны и полностью определяется геометрией контура, амплитудой и частотой падающей волны и модулем сдвига упругой среды. Если малая полуось CL равна нулю, то задача о мелком жестком включении вырождается в задачу о распространении волн в полуплоскости, граница которой свободна от напряжений вне отрезка [" v» о 1 » а на этом отрезке жестко закреплена. В этом случае в точках (с,0) и (-О 0) возникает концентрация напряжений. Коэффициент интенсивности напряжений определяется по формуле где напряжение 0 задается равенством: будет всегда начинаться из точки (0,0) независимо от угла падения волны. Из сравнения формулы (3.3.8). с результатами решений предыдущих задач видно, что четвертьплоскость с угловым жестким включением легче всего поддается разрушению, которое выражается в отслоении последнего.
Из результатов решений задач данной главы можно сделать вывод о влиянии границы тела, имеющего краевой дефект, на возможность его хрупкого разрушения, который заключается в следующем: для глубоких (линейный размер углубления дефекта в тело больше его линейного размера вдольграницы) вырезов и включений на границе тела опасность разрушения возрастает по сравнению с бесконечным телом, содержащим вырез или включения. Для мелких и угловых вырезов влияние границы сказывается в уменьшении опасности разрушения, в то время как для жестких включений такой формы опасность разрушения еще больше возрастает.
Определение коэффициентов интенсивности напряжений для тел, имеющих угловые точки, является одной из центральных проблем механики разрушения, так как знание коэффициентов интенсивности необходимо при проектировании любой конструкции или сооружения, содержащих концентраторы напряжений, для расчета предельно до -пустимых эксплуатационных нагрузок, чтобы избежать преждевременного разрушения конструкции. Но как уже отмечалось, несмотря на то что реальные тела имеют весьма сложную геометрию, их начальное разрушение носит локальный характер, т.е. разрушение начинается в окрестности концентратора напряжений и зависит от форм дефектов, прочностных характеристик материала и вида нагрузки. Все вышесказанное позволяет определять коэффициенты интенсивности для модельных областей, содержащих тот же дефект что и реальное тело, и уже по ним судить о концентрации напряжений в исходной конструкции.
