Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Фундаментальные решения двумерных уравнении электроупругости 14
1. Приведение плоской задачи электроупругости к функциям комплексного переменного 14
2. Сосредоточенная сила.или,заряд.в.пьезокерамической пластине 23
3. Функции Грина.для.пьезокерамической полуплоскости 26
Глава II. Взаимодействие трицин и вкинений. в пьезокерамической среде 31
4 Растяжение пьезокерамической.пластины.с упругим линейным включением 31
5 Сопряжение механические и электрические поля при растяжении пластины,с,трещиной и включением 39
6. Взаимодействие пьезокерамической матрицы с регулярной системой тонких упругих включений 44
7. Специальная модель композиционного материала с дефектами типа .трещин в матрице 53
8. Макромодель.регулярной.пьезокерамической структуры 69
Глава III. Краевые задачи, электроупругости. полуплоскости 80
9. Передача нагрузки от упругого. ребра. к. полубесконечной пластине 80
10. Взаимодействие ребра с трещиной в полубесконечной пластине 85
11.Периодическая система ребер 96
Глава ІV. Кусочно однородная пьезокерашческая среда с регулярной системой включений 104
12. Постановка задачи об определении сопря женных полей в кусочно однородной структуре 105
13.Интегральные уравнения краевой задачи (12.4) 111
14.Теорема единственности 119
16.Разрешимость интегральных у равнений (13. II ) 124
16.Некоторые сведения по построению макромодели ВКМ 128
Заключение 132
Литература 138
- Сосредоточенная сила.или,заряд.в.пьезокерамической пластине
- Взаимодействие пьезокерамической матрицы с регулярной системой тонких упругих включений
- Взаимодействие ребра с трещиной в полубесконечной пластине
- Постановка задачи об определении сопря женных полей в кусочно однородной структуре
Введение к работе
Интенсивное развитие радиоэлектроники, электроакустики, измерительной техники привело в последние годы к бурному росту новых направлений физики диэлектриков, которые лежат на стыке с механикой сплошной среды и изучают связанные электро-упрутие процессы [3,13,24,31,48]. Все это стимулировало интерес исследователей к электроупрутости.
Линейная теория электроупрутости была развита в работах Д.Берлинкура, Д.Керрана, Г.Йаффе [із], И.С.Желудева [зб], У.Мезона [48J, Дж.Найя L49J» Согласно этой теории связь меж -ду сопряженными электрическими и механическими полями выражена в линейных уравнениях состояния.
Анализ решения краевых задач электроупругости представляет собой значительные трудности ввиду связанности электри -ческих и механических полей в пьезокристаллах или пьезокера -миках. Двумерные задачи линейной электроупругости можно све -сти к краевым задачам теории функций комплексного переменного. Это в различных вариантах проделано в работах А.С.Космодами -анского, А.П.Кравченко, В.Н.Ложкина [36, 37, 38], И.А.Векови-щевой [іб, 17j, Л.В.Белокопытовой, Л.А.Фильштинским [7,8] .
В процессе изготовления различного рода пьезокерамик,в последних могут возникнуть дефекты типа разрыва сплошности, инородных включений и т.д. Согласно современным представле -ниям о прочности, развитие таких микродефектов под действием приложенных механических и электрических полей может привести к локальному или полному разрушению конструкций. Поэтому вопрос о взаимодействии включений и трещин в пьезокерамике при электрических или механических нагружениях является достаточно актуальным.
По-видимому, впервые задача о прямолинейных туннельных трещинах на границе пьезоэлектрика и упругого тела была рассмотрена Б.А.Кудрявцевым, В.З.Партоном, В.И.Ракитиным [39J, там же были получены критерии разрушения пьезоэлектрическо -го тела с трещиной.
Принципиальным при постановке электрических краевых задач для пьезокерамических тел с трещинами является вопрос о граничных условиях на её берегах. Механические граничные условия ставятся обычным образом. Электрические граничные ус -ловия для трещины-математического разреза ставятся таким же образом как на границе двух диэлектриков. Вопрос этот под -робно обсуждался в работе Й.Б.Половинкиной, А.Ф.Улитко[55].
При рассмотрении краевых задач электроупругости для пьезоэлектрических сред с криволинейными разрезами - трещинами целесообразно использовать запись соответствующих краевых задач в терминах функций комплексных переменных. Таким путем Л.В.Белокопытова, Л.А.Фильштинский ,в [7J рассмотрели растяжение неограниченной пьезокерамической среды с криво -линейными трещинами-разрезами. Идея решения была взята из [бб] и заключалась в построении интегральных представлений соответствующих аналитических фушщии, обеспечивающих скачок перемещений и непрерывную продолжимость вектора механических напряжений при переходе через разрезы. Краевая задача была сведена к системе сингулярных интегральных уравнений. Асимптотический анализ интегральных представлений ре -шений дал возможность записать формулы для коэффициентов интенсивности механических и электрических величин.
Следует отметить, что метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным при решении краевых задач теории трещин как в изотропных, так и в анизотропных средах. Решению соответствующих краевых задач для изотропных сред посвящаны монографии І.Т.Бережницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Статута, [ю] , В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацыпшна [52] , Г.П.Черепанова Г70 J , семитомная монография "Разрушение" американских авторов [57"] и др.
Растяжение анизотропных сред с криволинейными трещина -ми рассмотрено в работах Н.И.Волкова, Л.А.Фильштинского [ I8 , В.А.Любчака, Л.А.Фильштинского [43] , Л.А.Фильштинского [68 . В частности, в [68 ] построена функция Грина для анизотропной полуплоскости, с использованием которой записаны интеграль -ные представления решений, автоматически обеспечивающие вы -полнение краевых условий на её границе. Из анализа существующей литературы по этому кругу вопросов следует эффективность сингулярных интегральных уравнений как в теоретическом аспекте, так и в вопросах численной реализации алгоритмов решения краевых задач.
Задачи о передаче нагрузки от упругого ребра к пластине (задачи включения) берут свое начало с работ Е.Мелана,В.Кой-тера. Подробный обзор соответствующих исследований для изо -тройных сред можно найти в монографии [ 20J. Обзор различных исследований о передаче нагрузки от упругого ребра к беско -нечным или полубеоконечным анизотропным пластинкам содержится в [бО, 6l].
К вопросам этого крута тесно примыкает теория ленточного композиционного материала (ЛМ) с изотропной или анизотропной матрицей. ЛМ представляет собой относительно не жесткий массив (матрица), армированный тонкими туннельными лентами. Здесь возникают вопросы, связанные с определением напряженного состояния матрицы, а также проблема осреднения Зщругих свойств таких материалов. Теория ЛКМ с изотропными и анизотропными компонентами рассматривалась В.Н.Долгих, Л.А. Филынтинским в [25, 28, 64 J . Идея анализа заключалась в построении интегральных представлений решений, обеспечивающих скачек контактных усилий на границе волокно-матрица, с пос -ледущим сведением условия совместности деформаций волокна и матрицы к сингулярному шгаегродифферешщапьному уравнению. Макроскопические параметры упругости ЛКМ выражались в виде функционалов, определенных на решениях соответствующих ин -тегральных уравнений.
Практически основной интерес представляет собой исследование взаимодействия различного рода дефектов типа трещин, включений и т.д., а также вопросы торможения трещин ребрами жесткости. Соответствующие исследования и обзор литературы можно найти в монографиях Л.Т.Бережницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Стащука [ю], М.П.Саврука [59], а также в работах Л.Т.Бе-режницкого [9, II, 12] , Н.И.Волкова, Л.А.Филыптинского.
Влияние края на напряженное состояние в полубесконеч -ной пластине с ребром исследовано в [бэ].
Представляется актуальным исследование взаимного влияния трещин и включений в бесконечных и полубесконечных пье -зокерамических средах, а также построение структурной теории ленточного композиционного материала с пьезокерамическои матрицей.
Существует несколько подходов к исследованию упругих и жесткостных свойств волокнистых композиционных материалов. Наиболее точный из них заключается в учете микроструктуры ячейки, т.е. в построении структурной теории ЮЛ. При этом обычно рассматривается модель КМ с двоякопериодиче ской уте -ладкой волокон. Исследование упругих и жесткостных свойств таких материалов стали возможны благодаря развитию методов решения краевых зєдач теории упругости, обладающих групповой симметрией, в частности двоякопериодических задач [21, 64J. Микроструктурная теория КМ с изотропными компонентами и простейшей структурой ячейки развита в [іб] .В этих ра -ботах использовалось представление решения в виде рядов по эллиптическим функциям, развитое в [21J . Теория КМ с изо -тройными компонентами и произвольной микроструктурой ячейки простроена М.Г.Грингаузом, Л.А.Фильштинским в [23 ] . Здесь уже использовался метод интегральных уравнений. Краевые задачи обобщенной плоской деформации и в продольном сдвиге КМ сводились к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. В этой же работе решена проблема осреднения упругих свойств КМ в наиболее общем виде. Модель композиционного материала с анизотропными компонентами и произвольной микроструктурой ячейки рассмотрена В.Н.Долгих, Л.А.Фильштинским в [26, 27]. В [28J исследуются упругие и жесткостные свойства КМ с де -фектами типа частичной отслойки волокна от матрицы.
Представляется актуальным развить и обобщить эти методы с целью построения теории волокнистых КМ с пьезокерами -ческой матрицей.
Настоящая диссертационная работа является составной частью научных исследований, проводимых в рамках координа -ционного плана АН УССР В 43 от 17 декабря 1979 года по комплексной проблеме "Физико-химическая механика хрупкого разрушения конструкционных материалов". Она посвящена разработ - 9 -ке методов решения краевых задач электроуцругости для бесконечных и полубесконечных тел с трещинами и линейными включениями, а также разработке структурной теории волокнистых композиционных материалов с пьезокерамической матрицей. диссертация состоит из введения, четырех глав и зак -лючения.
В первой главе двумерные задачи электроупругости записаны в терминах теории функций комплексного переменного. Строятся фундаментальные решения двумерных уравнений элект-роупрутости, а также функции Грина для пьезокерамической полуплоскости при различных механических и электрических условиях на её границе.
Во второй главе изучаются сопряженные механические и электрические поля в пьезокерамической пластине с упругим линейным включением. Для достаточно жесткого включения по -лучено замкнутое решение. Затем разрабатывается алгоритм решения задачи о взаимодействии включения и трещины в пьезокерамической плоскости. Как обобщение предыдущего материала дается постановка и решение краевой задачи теории регуляр -ных структур с пьезокерамической матрицей с учетом и без учета дефектов в матрице. Решение соответствующих краевых задач разыскивается в виде интегралов типа Коши с ЭЛЛЙПТИ -ческими ядрами. Краевые задачи сводятся к системам сингу -лярных интегральных уравнений. Проводится осреднение упругих, электрических и пьезоэлектрических свойств указанной структыры. Приведены результаты расчетов.
В третьей главе рассматривается задача электроупругости для полуплоскости с криволинейными разрезами и упругими линейными включениями. Исследуются вопросы влияния границы полуплоскости, взаимного расположения ребер и трещин,кривизны трещины на коэффициент интенсивности электрических и механических величин, контактные усилия и усилия в ребрах. Выяс -няется характер особенности в контактных усилиях на выходящем к границе полуплоскости конце ребра.
В четвертой главе разрабатывается теория волокнистого КМ с пьезокерамической матрицей и достаточно произвольной микроструктурой ячейки. Строятся общие представления решений в виде интегралов типа Коши с эллиптическими ядрами. Краевая задача сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которых доказывается. Затем про -изводится осреднение упругих, электрических и пьезоэлектри -ческих свойств КМ.
В заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы.
Общая методика выполнения исследований. Первоначально строились фундаментальные решения (функции Грина) для плоскости или полуплоскости. На их основе конструировались ин -тегральные представления соответствующих задач, которые подставлялись в краевые условия. В результате чего получались системы интегральных уравнений. В случае разомкнутого контура были получены системы сингулярных интегральных уравнений, для которых известно, что совместно с дополнительными физи -чесними условиями они полностью определяют решение поставленной задачи. Эти системы сводились по схеме Мультоппа [35] к системам алгебраических уравнений, которые численно реализо -вались на ЭВМ ЕС - 1022.
В случае замкнутого контура проводилась регуляризация интегральных уравнений,т.е.получалась система интегральных уравнений Фредгольма второго рода.Затем производилась численная реализация,вычисления интегралов проводились по методу прямоугольников.
Научная новизна работы заключается в следующем: а/в математической постановке задач электроупругости для плоских пьезоэлектрических сред,ослабленных криволинейными разрезами и усиленных упругими включениями; б/в разработке эффективного метода решения задач электроупругости; в/в доказательстве разрешимости системи интегральных уравнений Фредгольма второго рода,определенной для ВКМ с пьезо-керамической матрицей; г/в построении фундаментальных решений для пьезокерамичес-кой плоскости и полуплоскости,в которой действует сосредоточенная сила или заряд; д/в решении проблемы1 осреднения физико-механических свойств ЛЮД и ВКМ с пьезокерамической матрицей и туннельными трещинами ;
е/в определении характера особенности в контактных напряжениях на конце рейра,выходящем на границу полуплоскости; ж/в получении точного решения об определении числовых характеристик сопряженных электрических и механических полей в пьезокерамической пластине с достаточно жестким линейным включением;
з/в определении типа особенности в компонентах вектора напряженности электрического поля.
Практическая ценность. По лученные результаты! позволяют вияснить значения коэффициентов интенсивности механических напря - 12 -жений и: компонент вектора напряженности электрического поля, что дает возможность повысить надежность прогнозов прочности. Результаты работы могут быть использованы в НИИ и: КБ,занимающихся расчетом и проектированием конструкций и;з пьезоэ-лектриков.В частности!,развитые алгоритмы могут быть использованы для построения рациональных проектов КМ оценки влияния трещин и: включений на прочностные и электрические характеристики:, а также для оценки предельных электроупругих нагрузок в конструкциях из КМ ,
Некоторые разработанные алгоритмы внедрены в расчетную :/рак-практику КБ Роменского завода автоматических телефонных стан-ций(соответствующий акт прилагается).
На защиту выносятся предлагаемый метод решения краевых задач для электроупругой среды с включениями; и: трещинами, проблемы осреднения КМ с пьезокерамической матрицей,формулы для вычисления макропараметров структуры,полученные в работе результаты и сделанные на их основе выводы.
Апробация работы.Основные результаты диссертационной работы докладывались на УІ Всесоюзной конференции; по теории упругости(Ереван,І979);на У Всесоюзном: съезде по теоретической и: прикладной механике(Алма-АтаД981);на городском семина-ре"Научные сюновы прочности"(Харьков,Г982).Диссертационная работа в целом обсуждалась на семинаре кафедры высшей математики Сумского филиала ХПИ"Мётоды прикладной математики в технике" (Сумы,1993);на научной семинаре по динамике и; прочности; машин Харьковского политехнического института(Харьков,!983);на семинаре механико-математического факультета Киевского государственного университета(Киев,Г983);на семинаре кафедры теории упругости; Ленинградского государственного университета(Ленинград, 1983);на семинаре кафедры высшей математики.
Московского института химического машиностроения (Москва, 1984).
Основные положения диссертации изложены в статьях и докладах [4, 5, 6, 29, 32, 33, 34J. Вклад автора и соавто -ров в работы, выполненные по совместительству, определяются следующим образом.
В докладах [4,33J диссертанту принадлежат исследова -ния напряженного состояния пьезокерамической пластины с включением и линейно армированного композиционного материала с пьезокерамической матрицей.
В работе [б] диссертантом написаны пункты 3,4,5, где выполнены исследования сопряженных электрических и механи -ческих полей для пьезокерамической полуплоскости с ребрами. Пункты 1,2 написаны соавторами Белокопытовой Л.В. и Филып -тинским Л.А.. В работе [б] диссертантом написан только пункт "Пьезокерамическая матрица, подкрепленная волокном". Соавтор работ [5,б"УФильштинский Л.А. является научным руководителем диссертанта, поэтому с ним обсуждалась постановка задач, намечались пути их решения и анализировались полученные результаты.
В работах [29,32 вклад диссертанта состоит в поста -новке задач и определении пути их решения. С соавтором Л.А. Филыптинским обсуждались результаты исследований, соавторами Дгркиным И.А., Олейником В.М. выполнены численная реализация алгоритма и выкладки при решении соответствующих задач.
В работе [34] диссертанту принадлежат исследования взаимодействия трещины и включения в пьезокерамическом полу -14 пространстве. С соавтором Л.А.Фильштинским обсуждались постановка задач и результаты исследований
В диссертации используется двойная нумерация формул и рисунков. Первое число указывает номер параграфа, второе -порядковый номер формулы или рисунка в параграфе.
Сосредоточенная сила.или,заряд.в.пьезокерамической пластине
В первой главе двумерные задачи электроупругости записаны в терминах теории функций комплексного переменного. Строятся фундаментальные решения двумерных уравнений элект-роупрутости, а также функции Грина для пьезокерамической полуплоскости при различных механических и электрических условиях на её границе.
Во второй главе изучаются сопряженные механические и электрические поля в пьезокерамической пластине с упругим линейным включением. Для достаточно жесткого включения по -лучено замкнутое решение. Затем разрабатывается алгоритм решения задачи о взаимодействии включения и трещины в пьезокерамической плоскости. Как обобщение предыдущего материала дается постановка и решение краевой задачи теории регуляр -ных структур с пьезокерамической матрицей с учетом и без учета дефектов в матрице. Решение соответствующих краевых задач разыскивается в виде интегралов типа Коши с ЭЛЛЙПТИ -ческими ядрами. Краевые задачи сводятся к системам сингу -лярных интегральных уравнений. Проводится осреднение упругих, электрических и пьезоэлектрических свойств указанной структыры. Приведены результаты расчетов.
В третьей главе рассматривается задача электроупругости для полуплоскости с криволинейными разрезами и упругими линейными включениями. Исследуются вопросы влияния границы полуплоскости, взаимного расположения ребер и трещин,кривизны трещины на коэффициент интенсивности электрических и механических величин, контактные усилия и усилия в ребрах. Выяс -няется характер особенности в контактных усилиях на выходящем к границе полуплоскости конце ребра.
В четвертой главе разрабатывается теория волокнистого КМ с пьезокерамической матрицей и достаточно произвольной микроструктурой ячейки. Строятся общие представления решений в виде интегралов типа Коши с эллиптическими ядрами. Краевая задача сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которых доказывается. Затем про -изводится осреднение упругих, электрических и пьезоэлектри -ческих свойств КМ.
В заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы. Общая методика выполнения исследований. Первоначально строились фундаментальные решения (функции Грина) для плоскости или полуплоскости. На их основе конструировались ин -тегральные представления соответствующих задач, которые подставлялись в краевые условия. В результате чего получались системы интегральных уравнений. В случае разомкнутого контура были получены системы сингулярных интегральных уравнений, для которых известно, что совместно с дополнительными физи -чесними условиями они полностью определяют решение поставленной задачи. Эти системы сводились по схеме Мультоппа [35] к системам алгебраических уравнений, которые численно реализо -вались на ЭВМ ЕС - 1022.
В случае замкнутого контура проводилась регуляризация интегральных уравнений,т.е.получалась система интегральных уравнений Фредгольма второго рода.Затем производилась численная реализация,вычисления интегралов проводились по методу прямоугольников.
Научная новизна работы заключается в следующем: а/в математической постановке задач электроупругости для плоских пьезоэлектрических сред,ослабленных криволинейными разрезами и усиленных упругими включениями; б/в разработке эффективного метода решения задач электроупругости; в/в доказательстве разрешимости системи интегральных уравнений Фредгольма второго рода,определенной для ВКМ с пьезо-керамической матрицей; г/в построении фундаментальных решений для пьезокерамичес-кой плоскости и полуплоскости,в которой действует сосредоточенная сила или заряд; д/в решении проблемы1 осреднения физико-механических свойств ЛЮД и ВКМ с пьезокерамической матрицей и туннельными трещинами определении характера особенности в контактных напряжениях на конце рейра,выходящем на границу полуплоскости; ж/в получении точного решения об определении числовых характеристик сопряженных электрических и механических полей в пьезокерамической пластине с достаточно жестким линейным включением; определении типа особенности в компонентах вектора напряженности электрического поля.
Практическая ценность. По лученные результаты! позволяют вияснить значения коэффициентов интенсивности механических напря - 12 -жений и: компонент вектора напряженности электрического поля, что дает возможность повысить надежность прогнозов прочности. Результаты работы могут быть использованы в НИИ и: КБ,занимающихся расчетом и проектированием конструкций и;з пьезоэ-лектриков.В частности!,развитые алгоритмы могут быть использованы для построения рациональных проектов КМ оценки влияния трещин и: включений на прочностные и электрические характеристики:, а также для оценки предельных электроупругих нагрузок в конструкциях из КМ , Некоторые разработанные алгоритмы внедрены в расчетную :/рак-практику КБ Роменского завода автоматических телефонных стан-ций(соответствующий акт прилагается).
На защиту выносятся предлагаемый метод решения краевых задач для электроупругой среды с включениями; и: трещинами, проблемы осреднения КМ с пьезокерамической матрицей,формулы для вычисления макропараметров структуры,полученные в работе результаты и сделанные на их основе выводы.
Взаимодействие пьезокерамической матрицы с регулярной системой тонких упругих включений
Используя (I.17), (5.4), (5.7) и выражение для глав -ной сингулярной части интеграла типа Коши в окрестности конца линии интегрирования Г19] , находим асимптотические формулы для компонент тензора механических напряжений и вектора напряженности электрического поля [б
Здесь верхний знак относится к вершине с = в, нижний - к вершине с = а. Рассматривается ленточный композиционный материал (ЛКМ), представляющий собой пьезокерамическзгю матрицу, армирован -ную двоякопериодической системой тонких параллельных лент. Принимаются следующие допущения: 1) ленты - упругие изотропные диэлектрики, обладающие одинаковыми размерами и свойствами, направление армирования - вдоль оси 07 (рис.6.1), 2) ленты непрерывно скреплены с матрицей по всей поверх ности контакта и обладают жесткостью только в своей плоскости 3) внешнее нагружение осуществляется при помощи средних напряжений (.б!,), L15, , 3 и средних значении: компонент вектора напряженности электрического поля R) »( Е , . В этих условиях ЖМ находится в состоянии плоской деформации. Общие представления решений ищутся в классе квазипериодических функций и описываются интегралами типа Коти с ядрами вида дзета-функций Вейерштрасса, при этом напря -женно-деформированное состояние в структуре вполне опреде -ляется полями механических и электрических величин в пре -делах фундаментальной ячейки (параллелограмма периодов). Искомые функции фк( к) представим в виде [33J Как и в 4, величины 6К определяются системой (2.2) при Р-2П, Р= О, СО = 0, константы RK вычисляются из условий существования в среде заданных средних напряжений и напряженности электрического поля, ( -j? ) - дзета- функция Вейерштрасса [_40 J , о ( х ) - неизвестная функция. В силу свойства квазипериодичности дзета-функции можно показать, что представления (6.1) совместно с условием (4.7) обеспечивают квазипериодичность перемещений и потенциала электрического поля в структуре (см. 7).циклические веса дзета-функции Вейерштрасса соответствующие периодам), где (дІ9Сд - основные периоды армирования. По -стоянные gl связаны соотношением Лежандра Г40] о)- (0 =2Йі. При таком выборе функций Ч (Z ) электрические крае -вые условия (4.1) выполняются автоматически. Функция О(х) ищется из условий совместности деформаций матрицы и включения. Интенсивность погонного нормального усилия в сечении (- 0Со4&) определяем по формуле Используя обобщенный закон Гука для изотропной среды [56] получим выражение для - соответственно коэффициент Пуассона, модуль Юнга и толщина включения. Подставляя предельные значения функций (6.1), а также выражения (6.3) и (6.4) в (4.5), приходим к сингулярному ин-тегродифференциальному уравнению Комбинацию Ре 21D R выразим через средние значе ния тензора механических напряжений и средние компоненты вектора напряженности электрического поля Если (Ха Za компоненты главного вектора механических усилий, действующих на какой-либо грани ячейки, а /]} \ п \ - суммарные потоки соответствующих компонент векторов индукции и напряженности электрического поля через эту грань (рис.6.1).
Взаимодействие ребра с трещиной в полубесконечной пластине
Структурная теория линейно армированной среды в детерминированной постановке обычно предполагает идеаль -ную (двоякопериодическую) схему армирования, При рас -смотрении такой модели возникают вопросы, связанные с определением локальных свойств напряженного состояния в структуре, а также с проблемой осреднения её упругих свойств. Проблема осреднения упругих свойств регулярной кусочно однородной структуры сравнительно легко решает -ся для изотропных материалов с простой микроструктурой ячейки (гексагональная, квадратная).
Для более сложной микроструктуры, а также при на -личии компонент с усложненными физико-механическими свойствами, приходится рассматривать соответствующие краевые задачи теории упругости для многокомпонентных сред.
Модели упругих линейно армированных композицион -ных материалов с изотропными и анизотропными компонента ми рассматривались в [23,64] . В данной главе исследуются сопряженные механиче -ские и электрические поля в пьезокерамической среде, армированной регулярной системой упругих включений про -извольного поперечного сечения. Предполагается, что в элементарной ячейке структуры заданы средние компоненты механических и электрических полей. Построены общие представления решений краевой задачи, удовлетворяющие условиям квазипериодичности перемещений и потенциала электрического поля в структуре. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказываются теоревлы существования и единственности решения такой системы. Затем рассматривается проблема осреднения такой регу -лярной пьезокерамическои структуры, построена её макромодель, получены формулы для вычисления эффективных пьезокерамических модулей, в которых учтено влияние дефектов. Согласно этим формулам, параметры макромодели выражаются через функционалы, построенные на решениях полученной системы интегральных уравнений. Неограниченная пьезокерамическая среда армирована вдоль оси О У двоякопериодической системой анизотропных цилиндри -ческих волокон (материал волокна - диэлектрик, для которого плоскость X02- плоскость упругой симметрии). Будем предполагать, что поперечное сечение волокна - односвязная область D , ограниченная простым, достаточно гладким, замкнутым контуром с непрерывной кривизной. Пусть в структуре действуют средние напряжения в,, ФД Ои средние значения напряженности электрического поля. Здесь и в дальнейшем считаем, что между волокном и матрицей имеет место идеальный механический и электрический контакт, т.е. по всей поверхности контакта волокно непрерывно скреплено с матрицей, без натяга, конгруэнтные волокна обладают одинаковыми физико-механическими свойствами.
В силу геометрической и силовой симметрии в структуре возникают двоякопериодические сопряженные механические и электрические поля. Пусть С01 и С0 (сц, 0, Тжсог (п -основные периоды структуры. Основную фундаментальную ячейку (параллелограмм периодов) обозначим через П, контур включения в пределах фундаментальной ячейки обозначим I = U В тогда контуры остальных включений mn— . Полная граница области L= U 1тп (рис.12.1).
При такой идеализации в плоскости поперечного сечения среды получаем бесконечно связную область инвариантную от -носительно группы трансляции Т () = 2 +Р , где Р - комплексный период. В этих условиях поля механических напряжений, вектора индукции и напряженности электрического поля, обладают той же группой симметрии, что и область П.
Задача заключается в описании механических и электрических полей в матрице, которые характеризуются величинами (I.I7), (I.I8). Электрическое поле во включениях не связа -но с механическим полем напряжений и определяется обычным образом [49 ]. Основные характеристики анизотропного диэлектрика имеют вид Г 42,60J С -с7 WJ соответственно упругие и диэлектриче -ские постоянные включения.
В силу периодичности структуры, условия сопряжения волокна и матрицы достаточно выполнить в пределах фундамен -тальной ячейки. Условия идеального механического и электрического контакта волокна и матрицы заключаются в непрерыв -ной продолжимости через границу раздела сред векторов механического напряжения и перемещения, а также касательной компоненты вектора напряженности и нормальной компоненты вектора индукции электрического поля Г 33 \
Постановка задачи об определении сопря женных полей в кусочно однородной структуре
В случае равномерного растяжения ЛКМ без дефектов - с ростом безразмерного параметра Zt/dii увеличивается . усилие в нормальных сечениях волокна, максимальное значение соответствует середине включения; - распределение контактных напряжений и внутренних нор мальных усилий не изменится, если равномерное растяжение заменить однородным электрическим полем 3 = - 0,06 (ц/к), 3. Результаты вычислений для задачи о взаимодействии ленточных включений и тутшельных трещин в КМ (7), когда вершина трещины одинаково удалена от концов соседних включений, показали, что - рост параметра 2 &/сй± вызывает увеличение механических напряжений и напряженности электрического поля в окрест -ности вершин трещин; - когда перемычка между конгруэнтными трещинами уменьшится, механичесіше напряжения и компоненты вектора напряженности электрического поля увеличиваются; - при длинах трещин,больших четверти, но меньших половины длины периода {JUL происходит явление взаимной разгрузки, что соответствует отмеченному другими авторами явлению взаимного упрочнения трещин. 4. Рассмотрение предыдущей задачи при условии, когда вершина трещины близка к середине включения ( 7), позво лило сделать вывод - при удалении вершины трещины от элемента жесткости нор малыше напряжения на продолжении за вершину трещины рас тут, т.е. включение тормозит рост трещины, но эффект под крепления в ЛКМ можно вызвать не только действием одно родного механического поля, но и электрического. 5. При исследовании макромодели ЛКМ с дефектами (8), в котором сечение трещины практически параллельно оси предварительной поляризации, можно сделать следующие выводы - увеличение длины разре&а или уменьшение длины включения существенно уменьшает жесткость структуры в направлении оси ОХ, но не меняет её в направлении оси 0Z , что соответству ющим образом отражается на значениях коэффициентов($н)/ - наличие трещин и включений в регулярной структуре несу -щественно влияет на коэффициенты диэлектрической проница -емости; - пьезомодули более чувствительны к изменению длин вклга -чений, чем трещин, т.е. с увеличением длин включений пьезо-эффект КМ несколько уменьшается. 6. Расчеты, сделанные для полуплоскости, подкреплен ной одним или периодической системой ребер ( 9,11), пока зали, что - изменение ориентации ребра относительно оси предварительной поляризации пластины оказывает существенное влияние на порядок особенности контактных напряжений, так для углов наклона ребра от 0 до 51 контактные напряжения ограничены, в остальных случаях порядок особенности меньше, чем 0,5, кроме этого, он зависит от физико-механических свойств ма -териала полуплоскости и не зависит от жесткости ребра; - чем больше жесткость ребра, тем больше нормальные усилия в сечении ребра; - с ростом параметра /т усилия в сечениях периодической системы ребер увеличиваются, но для ребер, перпендикуляр -ных к границе полуплоскости, это увеличение незначительно. 7. Из анализа влияния трещины на механические и элект рические поля в пьезокерамической полуплоскости ( 10) следует, что . . - с ростом трещины уменьшаются нормальные усилия в ребре, но увеличиваются коэффициенты интенсивности 0 9 Xte 9 СЕ&У на продолжении за вершину трещины; - граница полуплоскости (неэлектродированная, свободная от нагрузок) разгружает трещину, как в механическом, так и в электрическом плане, и чем больше трещина или включение, тем эта разгрузка ощутимее; - чем меньше ребро или больше трещина, тем сильнее меха -нические и электрические поля на концах трещины; - в случае, когда на берегах трещины действует равномерная нормально распирающая нагрузка, а ребро свободно от внешней нагрузки, конец ребра, выходящий на границу, растянут, причем граница раздела существенно зависит от величины трещины. 8. Исследование зависимости макромодулей ВКМ (15) от геометрических и физических свойств его компонент показа -ло, что - с ростом радиуса жесткость структуры возрастает; - диэлектрическая проницаемость увеличивается; - пьезоэффект структуры практически не меняется. Достоверность результатов и выводов диссертационной работы подтверждается строгостью математических постано -вок и теоретической обоснованностью методов решения за -дач; хорошей согласованностью с имеющимися в литературе решениями для анизотропной среды; физической интерприта-цией результатов вычислений.
