Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Взаимодействие межфазных трещин и отслоившегося межфазного включения 15
I. Задача взаимодействия межфазной трещины и отслоившегося межфазного включения при сложном нагружении 15
2. Переход на риманову поверхность и построение комплексных потенциалов 21
3. Коэффициенты интенсивности напряжений и другие механические характеристики 29
4. Частные случаи задачи 35
5. Взаимодействие межфазной трещины и межфазного включения под действием сосредоточенных сил, приложенных к их берегам 38
6. Взаимодействие системы трещин и отслоившегося включения 45
Глава 2. Межфазная трещина и отслоившееся межфазное включени в поле действия сосредоточенных сил и пар сил 48
1. Механическая постановка задачи 48
2. Поведение комплексных потенциалов в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил и пар сил 50
3. Решение задачи 55
4. Коэффициенты интенсивности напряжений и числовые расчеты 62
Глава 3. Полубесконечная межфазная трещина или полубесконечное межфазное включение 65
1. Задача взаимодействия полубесконечной межфазной трещины и отслоившегося межфазного включения 65
2. Построение комплексных потенциалов 69
3. Частные случаи задачи 75
4. Межфазная трещина и полубесконечное межфазное включение 78
5. Полубесконечное включение и система конечных трещин 86
Заключение 88
Список литературы 89
- Переход на риманову поверхность и построение комплексных потенциалов
- Взаимодействие межфазной трещины и межфазного включения под действием сосредоточенных сил, приложенных к их берегам
- Поведение комплексных потенциалов в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил и пар сил
- Построение комплексных потенциалов
Введение к работе
Во многих композиционных материалах содержатся дефекты в виде трещин и тонких жестких включений, полностью соединенных с материалом или отсоединившихся от него частично или полностью. Эти дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе эксплуатации. Например, полностью или частично отсоединившиеся включения могут возникнуть в результате разрыва армирующих элементов. Под действием приложенных нагрузок в этом месте или в месте непрочного соединения материалов может появиться трещина, рост которой рано или поздно приведет к локальному или полному разрушению тела. Наибольшее влияние на зарождение и рост трещин оказывают полностью отслоившиеся жесткие остроугольные включения. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи теории упругости для кусочно-однородных тел с дефектами различной природы на линии раздела сред.
В настоящее время достаточно полно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов одного и того же типа. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.Ф.Морозова [33], В.В. Панасюка [41], В.З. Партона и Е.М.Морозова [42], Г.П. Черепанова [73, 74] и многих статьях. В этих же работах подробно исследован процесс зарождения трещин в однородной среде с позиции хрупкого разрушения. Возможность образования трещин в управляемом режиме рассматривается в статье А.А. Маркина и В.В. Глаголева [32].
В меньшей мере изучено влияние на напряженное состояние дефектов разных типов. В работах Л.Т. Бережницкого и др. [10], В.Е.Петровой [43, 125], Y.Z. Chen [96], К.Х. Ни и A. Chandra [112] методом интегральных уравнений
изучается взаимодействие в однородном теле трещин и полностью сцепленных со средой тонких жестких включений. Результаты исследований данной проблемы представлены в виде графиков, таблиц и асимптотических формул для
кин.
Исследованию кусочно-однородных тел с дефектами на линии раздела сред при различных способах нагружения посвящено очень большое число работ. Интерес к этой проблеме возник, когда в работе M.L. Williams [149] было показано, что классическая модель трещины-разреза, успешно используемая в теории трещин в однородной среде, для межфазного случая приводит к физически несбалансированному решению: при смене краевых условий типа «отрыв-сцепление» в вершине трещины возникает осциллирующая особенность. Берега трещины вблизи вершины бесконечное число раз перекрываются, а на продолжении трещины напряжения бесконечно часто меняют знак.
Результаты экспериментального определения величин напряжений вблизи концов межфазной трещины приведены в обзорной статье С. Atkinson и R.V. Graster [85]. Вопросам разрушения композитных материалов посвящена монографии А.Н. Гузя [17], G.C. Sih и Е.Р. Chen [136].
Различные аналитические решения задачи о классической межфазной трещине (или трещине Гриффитса) были получены Г.П. Черепановым [71] с помощью краевой задачи Римана, А.Н. England [101] с помощью краевой задачи Гильберта, F. Erdogan [102, 103] и другими авторами. Было показано, что при растягивающих усилиях, приложенных на бесконечности кусочно-однородной плоскости, длина отрезка, на котором происходит осцилляция, мала по сравнению с длиной собственно трещины. Осцилляторные характеристики напряжений и перемещений исследовались W. Qian и СТ. Sun [129].
В.Н. Акопяном [1] была изучена трещина, на одном берегу которой заданы компоненты напряжения, а на другом - компоненты перемещения; была выведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, описывающая поставленную задачу, и построено ее замкнутое решение. В работе Д.В. Грилицкого [16] рассматривалась классическая трещина на круговой линии раздела сред в поле действия сосредоточенной силы и сосредоточенного
момента, приложенных в произвольной точке среды не на линии раздела. Обобщение этой задачи на случай нескольких трещин и нескольких точек приложения сил и моментов было получено И.А. Прусовым [45]. Задача была решена в явном виде с помощью формул Колосова-Мусхелишвили. Также в этой статье были рассмотрены две полуплоскости с разрезами на линии их соединения, однако решение для этого случая не приводилось. Для решения задачи о трещине, возникающей на границе раздела упругой полосы и упругой полуплоскости под действием приложенной к поверхности этого тела нормальной сосредоточенной силы, В.М. Александровым и Д.А. Пожарским [2] использовались функции Папковича-Нейбера. Задача отыскания этих функций с помощью преобразования Фурье сводится к решению системы двух интегральных уравнений, приближенное решение которых получено с помощью асимптотических методов. В этой же работе найден максимум осцилляции берегов трещины. Задача о периодической системе классических межфазных трещин была решена В.М. Александровым и М.А. Сумбатяном [3], K.N. Srivastava и др. [140].
Вопрос образования и распространения трещин Гриффитса при несимметричных нагрузках изучался W. Wang [147]. Общее аналитическое решение задачи для отдельной трещины и для периодической системы трещин было получено методом граничных интегральных уравнений. Условия возникновения трещин в зоне слабого адгезионного соединения на линии раздела сред рассматривались И.В. Симоновым и B.L. Karihaloo [139]. Было показано, что критическое напряжение на бесконечности, при котором происходит образование трещины, зависит от упругих постоянных материалов, длины слабой зоны и сил трения в ней. Трещина, на которой имеются как зоны раскрытия, так и области налегания, изучается в работах Р.В. Гольдштейна и др. [14, 15,107].
В последние годы большое внимание уделяется также трещинам, расположенным не на линии раздела сред, а вблизи нее (так называемым субинтерфейсным трещинам), и их взаимодействию друг с другом и с межфазными трещинами. Так, в работе R.Ch. Qing [130] изучается прямолинейная трещина, лежащая в одной из двух сжимающихся полуплоскостей и оканчивающаяся на
линии их соединения. Исследуется сингулярное поле деформаций вблизи вершин трещины для произвольного угла встречи трещины с линией раздела сред. Вопросам численного исследования напряженного состояния трещины, перпендикулярной линии раздела сред, посвящена статья J.N. Chang, DJ. Wu [93]. В статье А.С. Wijeyewickrema и др. [148] с помощью метода интегральных преобразований Меллина решается задача о трещине, заканчивающейся на границе между двумя материалами, где выполняется закон трения Кулона. Взаимодействие двух трещин, одна из которых параллельна линии раздела сред, а другая перпендикулярна ей, изучается в статье Е.Е. Theotokoglou [143]. С помощью комплексных потенциалов Мусхелишвили проблема сводится к задаче Гильберта, решение которой при наличии дислокаций в какой-либо из полуплоскостей сопряжено с построением соответствующих функций Грина. В работе [144] того же автора рассмотрена упругая плоскость с круглым включением и решается задача взаимодействия межфазной трещины с трещиной, расположенной вблизи нее вне этого включения. В статье W.-Y. Tian и Y.-H. Chen [146] исследуется взаимодействие полубесконечной межфазной трещины с множественными ориентированными микротрещинами в зоне вблизи конца макротрещины. После вывода решений для полубесконечной межфазной трещины и специальной подинтерфейсной трещины при различных условиях на-гружения, с помощью метода псевдонапряжений задача сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются методом численного интегрирования Чебышева.
Поскольку классическая модель межфазной трещины является физически несогласованной, было предложено несколько других моделей межфазной трещины. Так, Р.Л. Салгаником [48, 119], основываясь на полученном классическом решении, рассматривалась трещина, имеющая в окрестности вершин бесконечно много участков контакта и отслоений. Г.А.Ваниным [II] было предложено сдвинуть межфазную трещину в один из материалов с тем, чтобы в итоге получить задачу о трещине в однородной среде. В статье В.В. Ларкиной и В.В. Твардовского [31] выдвигалось предположение о том, что упругие свойства материалов вблизи линии раздела сред меняются не скачкообразно, а плавно.
Была построена модель трещины, в которой на границе раздела на продолжении трещины имеется не линия резкого перехода, а слой малой толщины, в котором упругие свойства материалов меняются непрерывно так, что один материал непрерывно переходит в другой. В этой работе задача была решена в явном виде методом краевой задачи Римана, и с помощью F-интеграла Райса-Черепанова найдено критическое значение КИН, при достижении которого происходит рост трещины.
В статье V. Boniface и K.R.Y. Simha [92] традиционная степенная особенность порядка ХА без осциллирующей особенности в вершине трещины достигается за счет нахождения строго определенного угла раскрытия трещины, зависящего от упругих постоянных материалов. Е.Л. Нахмейном и Б.М. Нуллером [37] для предотвращения перекрытия берегов трещины вблизи ее открытого конца предложено учитывать в краевых условиях скачок вертикальных перемещений. Показано, что при этом трещина удлинится не более, чем на тысячную долю ее первоначальной длины. Собственно же задача решается с помощью краевых задач Дирихле-Римана и Гильберта-Римана для трещины, берега которой смыкаются возле одного из ее концов.
Однако наибольшую популярность получили модели межфазной трещины, в которых на ее продолжении предполагалось наличие некоей промежуточной зоны между областью раскрытия и областью жесткого контакта. В этой зоне обычно задаются либо условия скольжения (с трением или без трения) и разрыва касательных смещений (модель Комниноу [18, 97]), либо условия пластичности и разрыва нормальных смещений (модель Дагдейла [8, 23]). Именно этим моделям посвящено наибольшее число работ, в которых исследуется напряженное состояние во внутренних точках упругих областей, вычисляются КИН в вершинах трещин и находятся длины промежуточных зон. При этом с помощью интегральных уравнений, функции Грина, преобразования Меллина и метода граничных элементов решаются задачи для полубесконечных трещин (Ю,А. Антипов [4], А.А. Каминский и др. [23], W.-Y. Tian и Y.-H. Chen [145]), конечных трещин с одной (И.В. Симонов [60], К.Р. Herrmann и др. [ПО]) или двумя (А.А. Каминский и др. [21], J. Dundurs и А.К. Gautesen [99, 105, 106]) зо-
нами контакта, или для системы межфазных трещин (И.А. Прусов [46] Г.П. Черепанов [70], F. Erdogan [103], N.A. Noda и К. Oda [124], W. Wang [147], L.G. Zhao и др. [155]). В развитие модели Дагдейла предложена модель «трезубец» [22], в которой, помимо пластической полосы, от вершины трещины отходят вглубь материалов еще две пластические линии скольжения, длина которых значительно превышает длину пластической линии на границе раздела материалов. В обзорной статье D.L. Leguillon [116] для трещины с контактной зоной на одном из концов обсуждаются условия, при которых осцилляция может исчезнуть, и исследуется направление скольжения в контактной зоне.
Отметим, что в работах J. Dundurs, М. Comninou [18] и В.В. Лободы [117] доказана справедливость оценки размеров областей контакта с помощью вычисления длин тех зон, в которых перекрытие материалов предсказывается решением задачи для классической межфазной трещины. Более того, показано,
что при растягивающих нагрузках длины этих зон имеют порядок 10^...10"7 по сравнению с длиной самой межфазной трещины, а при сдвиговых нагрузках, напротив, могут быть очень велики (сравнимы с длиной самой трещины).
Решения задачи о межфазной трещине между анизотропными материалами можно найти в статьях С.А. Назарова [36], А.В. Шевельовой [79], J.R. Berger и V.K. Tewary [89], J.R. Willis [150]. В этих работах при решении задач используются степенные ряды, краевые задачи Римана и функции Грина. В статье F. Hui [ИЗ] рассматривается трещина Зенера-Строха, образующаяся, в отличие от трещины Гриффитса, при коалесценции дислокаций на границе двух материалов.
Различные модели межфазной трещины и связанные с ней проблемы механики разрушения подробно описаны в обзорной статье I.S. Raju и В. Dattaguru [131]. Другие аспекты задачи о межфазной трещине обсуждаются в работах Ю.А. Антипова и др. [80], К. Atkinson [83, 84], Ch. Bjerken и Ch. Persson [90], K.T. Chau и Y.B. Wang [95], Г. Мишуриса [123], D.K. Shin и JJ. Lee [137], Zh. Suo и J.V. Hutchinson [142] и других.
Несколько меньшее число работ посвящено задачам о включениях в однородной среде и на линии раздела сред. Так, полностью отслоившееся от среды
тонкое жесткое межфазное включение рассматривается в монографии Г.Я. Попова [44], а частично отслоившиеся от среды жесткие включения при различных типах краевых условий изучаются, кроме того, в монографии Н.И. Мусхе-лишвили [34] и статьях R. Ballarini [88], D. Elata [100], G.R. Miller и R.P. Young [122] и др. Механизм отслоения жесткого включения от материала при растяжении описан в работах Н.М. Кундрата [26-29]. В статье Ю.А. Антипова [5] рассматривается тонкое, абсолютно жесткое включение которое под воздействием силы и момента, приложенных полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслаивается вдоль нижнего берега, так что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказывается, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае сводятся к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае — к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана. В статье В.А. Хандогина [68] рассматривается напряженное состояние ортотропной плоскости с одним линейным разрезом, нижний берег которого армирован упругой мембраной, которая упруго препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу и сдвигу. Путем решения двумерной краевой задачи Римана комплексные потенциалы Лехницкого находятся в явном виде. Показано, что в зависимости от жесткости армирующей мембраны в вершинах дефекта могут возникать сингулярности напряжений любого порядка от 0 до (— 1 + г), где є -> 0, в зависимости от жесткости мембраны. В работе [69] того же автора аналогичная задача изучается для изотропной плоскости. В работе К. Markenscoff и L. Ni [121] для межфазной трещины, подкрепленной с нижнего крана жесткой мембраной, ставится смешанная задача Мус-хелишвили, и с помощью функции Грина задача сводится к диагонализуемои системе сингулярных интегральных уравнений. В статье К. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [122] с помощью функций Грина решается задача уже для полностью сцепленного со средой включения. Полностью соединенному со средой тонкому жесткому межфазному включению или системе включений посвящены исследования R. Ballarini [87], F. Erdogan и G.D. Gupta [104], К. Wu [152] и др.
Жесткое межфазное включение между анизотропными полуплоскостями изучается в работе A. Asundi и W. Deng [82]. Задача решается в явном виде с помощью метода аналитических функций и метода Строха. Отдельно находятся осциллирующая и неосциллирующая составляющие поля напряжений. В статье Th. Homulka и L.M.Keer [111], задача, аналогичная решенной в [121], рассматривается для разреза между анизотропными полуплоскостями. Методом Строха задача сводится к матричной задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6x6, и путем диагонализации сводится к отдельным задачам.
Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучаются в работах V. Boniface и N. Hasebe [91], С.К. Chao и M.N. Shen [94], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [127, 128] и др.
Кроме того, некоторые работы посвящены взаимодействию трещины и включения в однородной среде (Y.Z. Chen [96], В.Е. Петрова [125], X. Han и др. [109]). В статье К.Х. Ни и A.Chandra [112] эта задача для системы жестких включений решается методом интегральных уравнений, которые с помощью квадратур Гаусса-Чебышева сводятся к отдельным уравнениям и решаются численно. В работе М.-Н. Zhang и R.-J. Tang [154] путем сведения к системе сингулярных интегральных уравнений типа Коши решается задача взаимодействия трещины и упругой пластины.
Что касается задачи взаимодействия межфазных трещин и межфазных включений, соединенных со средой или отслоившихся от нее, частично или полностью, то автору неизвестны какие-либо исследования в этом направлении, хотя некоторые задачи о вдавливании штампа в упругую плоскость и задачи о расклинивании кусочно-однородных тел по сути близки к поставленной в данной работе. Следует назвать, например, статьи ЕЛ. Нахмейна и Б.М. Нуллера [38-40], Ю.А. Антипова и Н.Х. Арутюняна [7], И.В. Симонова [57-63], И.А. Солдатенкова [64], Ю.А. Черноивана [75].
В данной работе в рамках линейной теории упругости решается задача взаимодействия классической межфазной трещины и полностью отслоившегося тонкого жесткого остроугольного межфазного включения, расположенных на
линии соединения двух разных по упругим свойствам полуплоскостей. Структурно работа делится на три главы.
В первой главе рассматривается задача взаимодействия единственного межфазного включения с одной, а затем и с несколькими открытыми межфазными трещинами при наиболее общих нагрузках, приложенных к берегам трещин, включения и на бесконечности. На берегах трещины задаются значения касательного и нормального напряжений, на берегах включения — значения касательного напряжения и производной от вертикальной компоненты смещения, на бесконечности — напряжения и вращения.
Полагается, что во всех задачах граничные условия непрерывны по Гель-деру. Решения задач ищутся в классе напряжений, которые в вершинах сингу-лярностей могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1 и имеют заданное доведение на бесконечности.
В 1 ставится механическая задача и формулируются условия ее физической реализуемости. Эти условия сводятся к требованиям раскрытия трещины на некотором ее участке (в силу классической модели трещина не может раскрыться по всей длине) и наличия контакта всей поверхности отслоившегося включения с окружающим его материалом. С помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова [74] поставленная задача сводится к системе шести краевых задач, в каждой из которых фигурируют граничные значения двух функций комплексного переменного Ф(г) и fi(z). Путем введения особым образом двух других функций F\(z), Fi(z) эту систему удается свести к комбинации двух краевых задач теории аналитических функций: задачи Римана и частного случая краевой задачи Гильберта — задачи Шварца [12], причем для каждой из функций F\(z) и F2(z) получаются отдельные задачи.
Решение этих задач, приведенное в 2, основано на переходе из комплексной плоскости на двулистную риманову поверхность. На этой поверхности формулируются и решаются в явном виде краевые задачи Римана-Гильберта, а затем, выбирая один из листов этой поверхности, получаем решения исходной задачи на плоскости.
Идея применения римановых поверхностей для решения задач теории упругости, гидромеханики и других разделов механики сплошной среды заложена в работах Л.И. Чибриковой [76-78] и Э.И. Зверовича [19, 20]. Первый автор, используя метод симметрии, свела первую и вторую основную задачу теории упругости для плоской области, ограниченной алгебраической кривой, к задаче сопряжения на соответствующей римановой поверхности, а второй тем же методом свел основную смешанную задачу теории упругости для однородной плоскости с коллинеарными разрезами к задаче сопряжения на двулистной римановой поверхности. При этом оба автора ограничились лишь исследованием разрешимости задач в рамках теории функций. Вопросы механики разрушения (исследование напряженного состояния, нахождение параметров разрушения) ими не рассматривались вовсе.
Римановы поверхности уже использовались для построения математических моделей течений в гидродинамике [13, 55], теории фильтрации [30], теории рассеивания [81], а также для решения некоторых краевых задач теории упругости. Основные задачи теории упругости для плоскости с конечным числом коллинеарных разрезов, включая наиболее сложную и наиболее интересную для приложений смешанную задачу при произвольном расположении точек смены типа граничных условий на берегах разрезов, решены в работах JLA. Корзана [24, 25]. Метод сведения ряда контактных задач теории упругости для системы полуплоскостей к краевой задаче Римана на римановой поверхности описан в статье Б.М. Нуллера [40]. В работах В.В. Сильвестрова [49, 50] риманова поверхность используется для решения основных задач теории упругости непосредственно на римановых поверхностях с разрезами, а в [54] — для изучения различных моделей упругой винтовой поверхности. Во всех перечисленных работах рассматриваются задачи для однородных упругих сред. В случаях неоднородных сред и конструкций метод римановых поверхностей для решения различных задач теории упругости применяется в работах Ю.А. Антипова и Н.Г. Моисеева [б], В.В. Сильвестрова [51]. Перспективы применения метода для исследования кусочно-однородных плоскостей с межфазными трещинами при наличии на их продолжениях линий скольжения описаны
в [56]. Подробное описание приложений данного метода для решения других задач механики и физики можно найти в обзорной статье Л.И. Чибриковой [78] и монографии Ю.Л. Родина [134], а приложения краевой задачи Римана на плоскости для решения двумерных задач механики - в работах Л.А. Толокон-никова и В.Б. Пенькова [66, 67].
В 3 на конкретных примерах проверяются условия физической реализуемости построенного решения, находятся КИН. В 4 из общего решения, как частные случаи, получаются решения задач об одиночной межфазной трещине, одиночном межфазном включении, а также о трещине и включении, берега которых свободны от напряжений. Случай действия на трещину или включение сосредоточенной силы рассмотрен отдельно в 5. Наконец, в 6 решение задачи обобщается на случай нескольких трещин. Во всех этих параграфах решаемые задачи иллюстрируются конкретными примерами расчета КИН.
Во второй главе рассматривается задача взаимодействия отслоившегося межфазного включения с межфазной трещиной при наличии сосредоточенных сил и пар сил. Решение задачи, сформулированной в 1, ищется в классе напряжений, которые в вершинах трещины и включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, в точках приложения сил и пар сил — в бесконечность порядка не больше двух, а вне любой фиксированной достаточно малой окрестности множества сингулярностей ограничены.
В этом случае используется тот же самый метод, что и для решения задачи в главе 1, но предварительно приходится выяснять поведение комплексных потенциалов, через которые выражается решение, в окрестностях точек приложения сил и пар сил. В 2 рассматриваются отдельно случаи сосредоточенной силы, приложенной к точке на линии раздела сред, и к внутренней точке одной из полуплоскостей. При этом выясняется, что в последнем случае комплексные потенциалы имеют особенность не только в точке приложения силы, но и в точке, симметричной ей относительно линии раздела сред. Исследуется проблема наложения особенностей.
Решение краевых задач строится в 3, а исследование влияния сосредоточенных сил и пар сил на КИН в вершинах трещины и включения проводится в 4.
В третьей главе рассматриваются задачи взаимодействия полубесконечной трещины с включением конечной длины ( 1-3) и полубесконечного включения с конечной открытой трещиной (4) или системой трещин ( 5).
Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Международной конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике» (Минск, 2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2002), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2003, руководитель — профессор Маркин А, А.) и на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2003, руководитель — профессор Сильвестров В.В.).
Основные результаты, полученные в данной работе, отражены в публикациях [156-165].
Переход на риманову поверхность и построение комплексных потенциалов
Во многих композиционных материалах содержатся дефекты в виде трещин и тонких жестких включений, полностью соединенных с материалом или отсоединившихся от него частично или полностью. Эти дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе эксплуатации. Например, полностью или частично отсоединившиеся включения могут возникнуть в результате разрыва армирующих элементов. Под действием приложенных нагрузок в этом месте или в месте непрочного соединения материалов может появиться трещина, рост которой рано или поздно приведет к локальному или полному разрушению тела. Наибольшее влияние на зарождение и рост трещин оказывают полностью отслоившиеся жесткие остроугольные включения. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи теории упругости для кусочно-однородных тел с дефектами различной природы на линии раздела сред.
В настоящее время достаточно полно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов одного и того же типа. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.Ф.Морозова [33], В.В. Панасюка [41], В.З. Партона и Е.М.Морозова [42], Г.П. Черепанова [73, 74] и многих статьях. В этих же работах подробно исследован процесс зарождения трещин в однородной среде с позиции хрупкого разрушения. Возможность образования трещин в управляемом режиме рассматривается в статье А.А. Маркина и В.В. Глаголева [32].
В меньшей мере изучено влияние на напряженное состояние дефектов разных типов. В работах Л.Т. Бережницкого и др. [10], В.Е.Петровой [43, 125], Y.Z. Chen [96], К.Х. Ни и A. Chandra [112] методом интегральных уравнений изучается взаимодействие в однородном теле трещин и полностью сцепленных со средой тонких жестких включений. Результаты исследований данной проблемы представлены в виде графиков, таблиц и асимптотических формул для кин.
Исследованию кусочно-однородных тел с дефектами на линии раздела сред при различных способах нагружения посвящено очень большое число работ. Интерес к этой проблеме возник, когда в работе M.L. Williams [149] было показано, что классическая модель трещины-разреза, успешно используемая в теории трещин в однородной среде, для межфазного случая приводит к физически несбалансированному решению: при смене краевых условий типа «отрыв-сцепление» в вершине трещины возникает осциллирующая особенность. Берега трещины вблизи вершины бесконечное число раз перекрываются, а на продолжении трещины напряжения бесконечно часто меняют знак.
Результаты экспериментального определения величин напряжений вблизи концов межфазной трещины приведены в обзорной статье С. Atkinson и R.V. Graster [85]. Вопросам разрушения композитных материалов посвящена монографии А.Н. Гузя [17], G.C. Sih и Е.Р. Chen [136].
Различные аналитические решения задачи о классической межфазной трещине (или трещине Гриффитса) были получены Г.П. Черепановым [71] с помощью краевой задачи Римана, А.Н. England [101] с помощью краевой задачи Гильберта, F. Erdogan [102, 103] и другими авторами. Было показано, что при растягивающих усилиях, приложенных на бесконечности кусочно-однородной плоскости, длина отрезка, на котором происходит осцилляция, мала по сравнению с длиной собственно трещины. Осцилляторные характеристики напряжений и перемещений исследовались W. Qian и СТ. Sun [129]. В.Н. Акопяном [1] была изучена трещина, на одном берегу которой заданы компоненты напряжения, а на другом - компоненты перемещения; была выведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, описывающая поставленную задачу, и построено ее замкнутое решение. В работе Д.В. Грилицкого [16] рассматривалась классическая трещина на круговой линии раздела сред в поле действия сосредоточенной силы и сосредоточенного момента, приложенных в произвольной точке среды не на линии раздела.
Взаимодействие межфазной трещины и межфазного включения под действием сосредоточенных сил, приложенных к их берегам
Обобщение этой задачи на случай нескольких трещин и нескольких точек приложения сил и моментов было получено И.А. Прусовым [45]. Задача была решена в явном виде с помощью формул Колосова-Мусхелишвили. Также в этой статье были рассмотрены две полуплоскости с разрезами на линии их соединения, однако решение для этого случая не приводилось. Для решения задачи о трещине, возникающей на границе раздела упругой полосы и упругой полуплоскости под действием приложенной к поверхности этого тела нормальной сосредоточенной силы, В.М. Александровым и Д.А. Пожарским [2] использовались функции Папковича-Нейбера. Задача отыскания этих функций с помощью преобразования Фурье сводится к решению системы двух интегральных уравнений, приближенное решение которых получено с помощью асимптотических методов. В этой же работе найден максимум осцилляции берегов трещины. Задача о периодической системе классических межфазных трещин была решена В.М. Александровым и М.А. Сумбатяном [3], K.N. Srivastava и др. [140].
Вопрос образования и распространения трещин Гриффитса при несимметричных нагрузках изучался W. Wang [147]. Общее аналитическое решение задачи для отдельной трещины и для периодической системы трещин было получено методом граничных интегральных уравнений. Условия возникновения трещин в зоне слабого адгезионного соединения на линии раздела сред рассматривались И.В. Симоновым и B.L. Karihaloo [139]. Было показано, что критическое напряжение на бесконечности, при котором происходит образование трещины, зависит от упругих постоянных материалов, длины слабой зоны и сил трения в ней. Трещина, на которой имеются как зоны раскрытия, так и области налегания, изучается в работах Р.В. Гольдштейна и др. [14, 15,107].
В последние годы большое внимание уделяется также трещинам, расположенным не на линии раздела сред, а вблизи нее (так называемым субинтерфейсным трещинам), и их взаимодействию друг с другом и с межфазными трещинами. Так, в работе R.Ch. Qing [130] изучается прямолинейная трещина, лежащая в одной из двух сжимающихся полуплоскостей и оканчивающаяся на линии их соединения. Исследуется сингулярное поле деформаций вблизи вершин трещины для произвольного угла встречи трещины с линией раздела сред. Вопросам численного исследования напряженного состояния трещины, перпендикулярной линии раздела сред, посвящена статья J.N. Chang, DJ. Wu [93]. В статье А.С. Wijeyewickrema и др. [148] с помощью метода интегральных преобразований Меллина решается задача о трещине, заканчивающейся на границе между двумя материалами, где выполняется закон трения Кулона. Взаимодействие двух трещин, одна из которых параллельна линии раздела сред, а другая перпендикулярна ей, изучается в статье Е.Е. Theotokoglou [143]. С помощью комплексных потенциалов Мусхелишвили проблема сводится к задаче Гильберта, решение которой при наличии дислокаций в какой-либо из полуплоскостей сопряжено с построением соответствующих функций Грина. В работе [144] того же автора рассмотрена упругая плоскость с круглым включением и решается задача взаимодействия межфазной трещины с трещиной, расположенной вблизи нее вне этого включения. В статье W.-Y. Tian и Y.-H. Chen [146] исследуется взаимодействие полубесконечной межфазной трещины с множественными ориентированными микротрещинами в зоне вблизи конца макротрещины. После вывода решений для полубесконечной межфазной трещины и специальной подинтерфейсной трещины при различных условиях на-гружения, с помощью метода псевдонапряжений задача сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются методом численного интегрирования Чебышева.
Поскольку классическая модель межфазной трещины является физически несогласованной, было предложено несколько других моделей межфазной трещины. Так, Р.Л. Салгаником [48, 119], основываясь на полученном классическом решении, рассматривалась трещина, имеющая в окрестности вершин бесконечно много участков контакта и отслоений. Г.А.Ваниным [II] было предложено сдвинуть межфазную трещину в один из материалов с тем, чтобы в итоге получить задачу о трещине в однородной среде. В статье В.В. Ларкиной и В.В. Твардовского [31] выдвигалось предположение о том, что упругие свойства материалов вблизи линии раздела сред меняются не скачкообразно, а плавно.
Поведение комплексных потенциалов в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил и пар сил
Была построена модель трещины, в которой на границе раздела на продолжении трещины имеется не линия резкого перехода, а слой малой толщины, в котором упругие свойства материалов меняются непрерывно так, что один материал непрерывно переходит в другой. В этой работе задача была решена в явном виде методом краевой задачи Римана, и с помощью F-интеграла Райса-Черепанова найдено критическое значение КИН, при достижении которого происходит рост трещины.
В статье V. Boniface и K.R.Y. Simha [92] традиционная степенная особенность порядка ХА без осциллирующей особенности в вершине трещины достигается за счет нахождения строго определенного угла раскрытия трещины, зависящего от упругих постоянных материалов. Е.Л. Нахмейном и Б.М. Нуллером [37] для предотвращения перекрытия берегов трещины вблизи ее открытого конца предложено учитывать в краевых условиях скачок вертикальных перемещений. Показано, что при этом трещина удлинится не более, чем на тысячную долю ее первоначальной длины. Собственно же задача решается с помощью краевых задач Дирихле-Римана и Гильберта-Римана для трещины, берега которой смыкаются возле одного из ее концов.
Однако наибольшую популярность получили модели межфазной трещины, в которых на ее продолжении предполагалось наличие некоей промежуточной зоны между областью раскрытия и областью жесткого контакта. В этой зоне обычно задаются либо условия скольжения (с трением или без трения) и разрыва касательных смещений (модель Комниноу [18, 97]), либо условия пластичности и разрыва нормальных смещений (модель Дагдейла [8, 23]). Именно этим моделям посвящено наибольшее число работ, в которых исследуется напряженное состояние во внутренних точках упругих областей, вычисляются КИН в вершинах трещин и находятся длины промежуточных зон. При этом с помощью интегральных уравнений, функции Грина, преобразования Меллина и метода граничных элементов решаются задачи для полубесконечных трещин (Ю,А. Антипов [4], А.А. Каминский и др. [23], W.-Y. Tian и Y.-H. Chen [145]), конечных трещин с одной (И.В. Симонов [60], К.Р. Herrmann и др. [ПО]) или двумя (А.А. Каминский и др. [21], J. Dundurs и А.К. Gautesen [99, 105, 106]) зо нами контакта, или для системы межфазных трещин (И.А. Прусов [46] Г.П. Черепанов [70], F. Erdogan [103], N.A. Noda и К. Oda [124], W. Wang [147], L.G. Zhao и др. [155]). В развитие модели Дагдейла предложена модель «трезубец» [22], в которой, помимо пластической полосы, от вершины трещины отходят вглубь материалов еще две пластические линии скольжения, длина которых значительно превышает длину пластической линии на границе раздела материалов. В обзорной статье D.L. Leguillon [116] для трещины с контактной зоной на одном из концов обсуждаются условия, при которых осцилляция может исчезнуть, и исследуется направление скольжения в контактной зоне.
Отметим, что в работах J. Dundurs, М. Comninou [18] и В.В. Лободы [117] доказана справедливость оценки размеров областей контакта с помощью вычисления длин тех зон, в которых перекрытие материалов предсказывается решением задачи для классической межфазной трещины. Более того, показано, что при растягивающих нагрузках длины этих зон имеют порядок 10 ...10"7 по сравнению с длиной самой межфазной трещины, а при сдвиговых нагрузках, напротив, могут быть очень велики (сравнимы с длиной самой трещины). Решения задачи о межфазной трещине между анизотропными материалами можно найти в статьях С.А. Назарова [36], А.В. Шевельовой [79], J.R. Berger и V.K. Tewary [89], J.R. Willis [150]. В этих работах при решении задач используются степенные ряды, краевые задачи Римана и функции Грина. В статье F. Hui [ИЗ] рассматривается трещина Зенера-Строха, образующаяся, в отличие от трещины Гриффитса, при коалесценции дислокаций на границе двух материалов.
Различные модели межфазной трещины и связанные с ней проблемы механики разрушения подробно описаны в обзорной статье I.S. Raju и В. Dattaguru [131]. Другие аспекты задачи о межфазной трещине обсуждаются в работах Ю.А. Антипова и др. [80], К. Atkinson [83, 84], Ch. Bjerken и Ch. Persson [90], K.T. Chau и Y.B. Wang [95], Г. Мишуриса [123], D.K. Shin и JJ. Lee [137], Zh. Suo и J.V. Hutchinson [142] и других.
Построение комплексных потенциалов
Несколько меньшее число работ посвящено задачам о включениях в однородной среде и на линии раздела сред. Так, полностью отслоившееся от среды тонкое жесткое межфазное включение рассматривается в монографии Г.Я. Попова [44], а частично отслоившиеся от среды жесткие включения при различных типах краевых условий изучаются, кроме того, в монографии Н.И. Мусхе-лишвили [34] и статьях R. Ballarini [88], D. Elata [100], G.R. Miller и R.P. Young [122] и др. Механизм отслоения жесткого включения от материала при растяжении описан в работах Н.М. Кундрата [26-29]. В статье Ю.А. Антипова [5] рассматривается тонкое, абсолютно жесткое включение которое под воздействием силы и момента, приложенных полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслаивается вдоль нижнего берега, так что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказывается, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае сводятся к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае — к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана. В статье В.А. Хандогина [68] рассматривается напряженное состояние ортотропной плоскости с одним линейным разрезом, нижний берег которого армирован упругой мембраной, которая упруго препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу и сдвигу. Путем решения двумерной краевой задачи Римана комплексные потенциалы Лехницкого находятся в явном виде. Показано, что в зависимости от жесткости армирующей мембраны в вершинах дефекта могут возникать сингулярности напряжений любого порядка от 0 до (— 1 + г), где є - 0, в зависимости от жесткости мембраны. В работе [69] того же автора аналогичная задача изучается для изотропной плоскости. В работе К. Markenscoff и L. Ni [121] для межфазной трещины, подкрепленной с нижнего крана жесткой мембраной, ставится смешанная задача Мус-хелишвили, и с помощью функции Грина задача сводится к диагонализуемои системе сингулярных интегральных уравнений. В статье К. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [122] с помощью функций Грина решается задача уже для полностью сцепленного со средой включения. Полностью соединенному со средой тонкому жесткому межфазному включению или системе включений посвящены исследования R. Ballarini [87], F. Erdogan и G.D. Gupta [104], К. Wu [152] и др. Жесткое межфазное включение между анизотропными полуплоскостями изучается в работе A. Asundi и W. Deng [82]. Задача решается в явном виде с помощью метода аналитических функций и метода Строха. Отдельно находятся осциллирующая и неосциллирующая составляющие поля напряжений. В статье Th. Homulka и L.M.Keer [111], задача, аналогичная решенной в [121], рассматривается для разреза между анизотропными полуплоскостями. Методом Строха задача сводится к матричной задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6x6, и путем диагонализации сводится к отдельным задачам.
Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучаются в работах V. Boniface и N. Hasebe [91], С.К. Chao и M.N. Shen [94], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [127, 128] и др.
Кроме того, некоторые работы посвящены взаимодействию трещины и включения в однородной среде (Y.Z. Chen [96], В.Е. Петрова [125], X. Han и др. [109]). В статье К.Х. Ни и A.Chandra [112] эта задача для системы жестких включений решается методом интегральных уравнений, которые с помощью квадратур Гаусса-Чебышева сводятся к отдельным уравнениям и решаются численно. В работе М.-Н. Zhang и R.-J. Tang [154] путем сведения к системе сингулярных интегральных уравнений типа Коши решается задача взаимодействия трещины и упругой пластины.
