Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения теории наложения конечных деформаций, необходимые для решения задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле 11
1.1. Используемые основные термины и обозначения 11
1.2. Кинематика деформаций 13
1.2.1. Векторные базисы 13
1.2.2. Аффиноры деформаций 16
1.2.3. Тензоры деформаций 17
1.2.4. Представление тензоров деформаций через градиенты смещений 18
1.2.5. Другие тензорные характеристика деформаций 19
1.2.6. Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации 20
1.3. Определяющие соотношения 21
1.4. Уравнения равновесия и граничные условия 23
1.5. Плоская деформация и плоское напряженное состояние 24
Глава 2. Постановка задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле 26
2.1. Модель образования включения 26
2.2. Общая постановка задачи 27
2.3. О применении метода Синьорини 31
2.4. Постановка задачи в приближениях 33
Глава 3. Алгоритм решения задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле. Результаты расчетов 44
3.1. Сжимаемые материалы 44
3.2. Несжимаемые материалы 50
3.3. Анализ результатов расчетов 56
3.3.1. Сравнение методов 73
Заключение 82
Список ли терагуры 83
- Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации
- Плоская деформация и плоское напряженное состояние
- О применении метода Синьорини
- Анализ результатов расчетов
Введение к работе
В диссертационной работе впервые получено решение плоской задачи об образовании в предварительно нагруженном теле кругового нелинейно-упругого включения. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих соотношений. Форма включения задается в момент образования. Учитывается, что возникновение включения приводит (по крайней мере, в его окрестности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [32,33].
В середине 40-х годов XX века, наряду с «классической» линейной теорией упругости, стали появляться работы, в которых предпринимались попытки решать задачи с учетом либо «физической», либо «геометрической» нелинейности моделей. Немного позднее пришло осознание существования единой нелинейной теории упругости, были заложены ее основы. Это стало мощным толчком в постановке и решении нелинейных задач, что нашло отражение в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Trcloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и др. На сегодняшний день общее число публикаций по нелинейной теории упругости огромно, разработаны модели и многие методы решения задач в данной области.
Интерес к построению моделей, учитывающих положения нелинейной теории упругости, обусловлен также и использованием в современных технологиях высокоэластичных маетриалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [63]. Описания подобного рода мо-
4 делей для высокоэластичных материалов можно найти в работах Р.Ривлина [97], М.Муни [95], Л.Трелоара [82,83], В.В.Новожилова [60,61], Л.И.Седова [69], А.И.Лурье [47], А.Грина и Дж.Адкинса [1,14], К.Трусделла [84], Д.И.Кутилина [29]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости внесла и тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [77,78, 79,80]. Задачи, поставленные и решенные тульскими учеными, можно найти в работах Г.С.Тарасьева [71,72,73], Н.М.Матченко [49,50,51], А.А.Маркина [52,53,54], В.А.Левина [32,33] и их учеников.
Зарождение в рамках теории упругости концепции наложения деформаций было обусловлено тем, что при рассмотрении многих практически важных задач исследователи сталкивались с проблемой, когда тело уже имело начальные деформации и напряжения. В случае, если эти начальные деформации и напряжения малы, достаточно использования классической линейной теории упругости. Если же нет, то в качестве упрощения удобно принять, что начальные деформации большие, а вновь приобретенные - малые. Это привело к созданию теории наложения малых деформаций на большие, результаты которой нашли широкое практическое применение. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено, например, в [10]. Однако ко многим задачам такая теория не применима, например, для задач, когда концентраторы напряжений (полости, включения) образуются в теле, уже имеющем большие деформации и напряжения. А это значит, что есть необходимость в развитии и применении теории наложения больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [71,72] и В.А.Левиным [31,32,44,45,81].
Особенностью теории многократного наложения больших деформаций является рассмотрение нескольких состояний тела: начального (ненапряжен-
5 ного), (/г-і)-го промежуточного и конечного - состояния тела после деформирования. Считается, что деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия, причем под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних нагрузок, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).
Термин «наложение больших деформаций» не следует ассоциировать с математической суперпозицией деформаций. Это означает, что параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него не есть сумма параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого отдельного воздействия на него, как в случае малых деформаций. Также отметим нелинейность связи между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения; нелинейность представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений. Решение такой задачи приводит к проблеме решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.
Именно поэтому постановка и решение задач о поэтапном нагружении тел крайне сложна, что и обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.
В данной работе для решения исследуемой задачи использовался метод Синьорини, предложенный применительно к механике деформируемого твердого тела в работах Ф.Стопели и А.Синьорини [98,98]. Применение метода Синьорини к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23,24,31,32,33,36,38,39,37,58,59,73].
Использование данного метода позволяет свести решение исходной нелинейной задачи к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Идея использования такого подхода состоит в том, что на каждом шаге метода Синьорини плоская задача линеаризованной упругости для од-
породного тела с включением может быть решена методом Колосова-Мусхелишвили [27,28,57]. В данной работе получено два первых приближения метода Синьорини.
Известным недостатком метода Синьорини является вопрос о его сходимости, поэтому в данной работе было проведено сравнение результатов, полученных этим методом, с результатами численных расчетов, полученных методом конечных разностей.
Применение метода Синьорини к решению исследуемой задачи связано с определенными трудностями проведения промежуточных аналитических выкладок для каждого приближения. Однако с развитием компьютерной техники и появлением систем символьных вычислений, таких как Mathematica, Maple и др., становится возможным получить в том числе и приближенные аналитические (в некоторых случаях) выражения характеристик напряженно-деформированного состояния для подобного рода задач. Используемая в данной работе система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы символьных вычислений «Mathematica» к решению задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [66,34,37]. Необходимость создания специализированного программного комплекса на базе системы символьных вычислений «Mathematica» при наложении конечных деформаций обусловлена неспособностью широко распространенных современных промышленных пакетов на базе метода конечных элементов решать задачи подобного рода.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность темы. Техническое совершенствование способствует созданию новых материалов, способных испытывать и выдерживать большие деформации. В случае возникновения в телах из таких материалов дефектов (включений) становится важным описать поведение самого предварительно
7 нагруженного тела при перераспределении в нем конечных деформаций, вызванном образованием включения. Например, это важно в задачах мониторинга. Вышеизложенным и определяется актуальность рассмотрения задач теории наложения конечных деформаций для включений.
Применение систем аналитических вычислений, таких как «Mathe-matica», «Maple» др., позволяет в некоторых случаях получить приближенные аналитические выражения характеристик напряженно-деформированного состояния тела при образовании в нем включения. Последнее позволяет в формульном виде произвести предварительную оценку прочности конструкций в случае возникновения в них включений в процессе эксплуатации.
Основными целями диссертационной работы являются:
моделирование образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;
определение характеристик напряженно-деформированного состояния тела при перераспределении конечных деформаций на основе теории наложения деформаций;
- получение решения поставленной задачи с использованием системы символьных вычислений «Mathematica».
Научная новизна. Впервые с учетом наложения (перераспределения) конечных деформаций получено решение плоской задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле. Решения найдены для различных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая учета «собственных» деформаций материала включения. Для ряда определяющих соотношений получено приближенное аналитическое решение.
Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения зада-
8 чи метода Синьорини системы символьных вычислений «Mathematica». Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения задачи, полученными с применением метода конечных разностей, а для малых деформаций с классическими результатами.
Практическая значимость. Решена задача о перераспределении конечных деформаций в предварительно нагруженном теле в случае образования в нем включения. В ряде случаев получены приближенные аналитические представления основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем включения. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№98-01-00458, № 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика.
На защиту выносятся:
- модель образования упругого включения в предварительно нагру
женном теле;
- математическая формулировка плоской задачи, соответствующая
данной постановке;
- алгоритм решения задачи для различных нелинейно-упругих опреде
ляющих соотношений;
- решения (в том числе и приближенные аналитические) поставлен
ной задачи, полученные с использованием системы символьных вычислений
«Mathematica».
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 103 наименования, и двух приложений. Общий объем работы - 112 страниц машинописного текста.
В первой главе кратко изложена теория наложения больших деформаций в упругих телах, приведены кинематические соотношения этой теории, рассмотрены определяющие соотношения, используемые далее в работе при решении задачи. В качестве сжимаемых материалов используются материалы
9 Мурнагана и Л.А.Толоконникова. В качестве несжимаемых материалов применяются материалы Муни, Черныха (их частные случаи - материалы Тре-лоара и Бартенева-Хазановича соответственно), Л.А.Толоконникова, Валани-са-Ландела, Исихары-Хашицумы-Татибамы, а также неогуковскии материал и материал Муни-Ривлина [12]. Записаны уравнения равновесия и граничные условия. Далее сформулированы математические постановки граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Так как рассматриваются только плоские задачи, то обращается внимание на особенности постановки задач для случая плоской деформации и плоского напряженного состояния.
Во второй главе диссертации рассматриваются модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле и математическая постановка плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения. Рассматривается применение метода Синьорини к решению поставленной задачи. Отметим, что, используя этот метод, можно получить бесконечную последовательность систем линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в конечном состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала нулевое приближение, затем первое приближение и т.д. Приводится в приближениях запись определяющих и геометрических соотношений, формализуется в общем виде постановка краевой задачи в перемещениях для /-го приближения.
В третьей главе приводится общий и подробный алгоритмы решения поставленной задачи. Рассматривается применение метода Колосова -Мусхелишвили к решению линеаризованных задач на каждом шаге метода Синьорини. Записывается постановка линеаризованной краевой задачи для упругих сжимаемых и несжимаемых материалов в комплексной форме. Рассматривается подход к решению линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Ко-
10 лосова - Мусхелишвили. Приводятся и анализируются результаты решения задачи для различных типов материалов (Мурнагана, Л.А.Толоконникова, Муни, Черныха, Валаниса-Ландела, Исихары-Хашицумы-Татибамы и др.). На графиках приведено распределение напряжений, отнесенных к модулям упругости материалов. Из представленных графиков виден качественный результат учета нелинейных эффектов.
Также проводится сравнение результатов, полученных методом Синьо-рини, с результатами решения задачи, найденными с использованием метода конечных разностей, для случая всестороннего нагружения материала Мурнагана.
В диссертации имеются два приложения, в одном из которых в качестве иллюстрации приведен вариант авторской программы для решения рассмотренной в диссертационной работе задачи для случая плоской деформации материала Мурнагана, в другом - выписаны приближенные аналитические (с учетом метода Синьорини) формулы характеристик напряженно-деформированного состояния для различных типов нелинейно-упругих материалов.
Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации
В данной главе кратко изложены основные соотношения теории многократного наложения больших упругих деформаций. Согласно данной теории, напряженно - деформированное состояние может быть описано не только в координатах начального и конечного состояний (конфигураций), но и в координатах одного из нескольких промежуточных состояний (конфигураций). Это важно при рассмотрении задач, в которых в процессе нагружения изменяются границы, граничные условия, а также механические свойства материала части тела.
Используемые основные термины и обозначения В работе используются следующие обозначения: г - радиус-вектор частицы в п -м состоянии; f - лагранжевы «вмороженные» координаты частицы; ЗІ - базисные векторы в п -м состоянии. Знак (индекс) над символом, кроме э и г, указывает номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется данная величина (причем индекс 0 соответствует начальному состоянию, индекс N - конечному). ип = / - г - вектор перемещений, характеризующий переход из предыдущего (її -1) -го состояния в последующее п -е состояние; изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние р и отнесенный к координатному базису т - го состояния; G — ар Х 1 „- тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние р и соответствующая мере Грина (С0, - тензорная мера Грина); F р=х 1 р,Х qр тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние р и соответствующая мере Фингера (F0 j - тензорная мера Фингера); Г = — lnG - «левый» тензор Генки (при q = 0, /7 = 1); рп, fn - плотность и массовая сила в п -м состоянии; Л,„ „ - относительное изменение объема при переходе из т -го в п -е состояние; 70п- тензор истинных напряжений, описывающий накопленные в теле напряжения при переходе из начального в п -е состояние (при /2 = 1- тензор Коши); о,и = 1 + Д0;„ )сго,„ - тензор обобщенных (полных для я-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе п -го состояния; о,н- тензор обобщенных (полных для /7-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т -го состояния:,//- ,,,,,,; т т m Z(i,p =o,/ —Xo,9- тензор обобщенных дополнительных напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т -го состояния. Гц- граница тела в л-м состоянии в координатах к-го состояния; N„ Здесь кратко приведем основные кинематические соотношения теории наложения конечных деформаций, используемые в работе. . Векторные базисы Будем различать ./V состояний тела: начальное, или естественное (ненапряженное) состояние, когда в теле отсутствуют напряжения и деформации; (N-2) промежуточных состояния, в которые поочередно переходит тело иод влиянием внешних воздействий либо при изменении механических свойств части нагруженного тела, при этом в теле накапливаются (возникают) большие дополнительные деформации и напряжения, которые накладываются на уже имеющиеся большие деформации и напряжения; конечное, или текущее состояние, в которое тело переходит после приложения к нему (в заранее заданном порядке) всех нагрузок [32] . Схема перехода из (// -1) го в п- е и (л + 1)- е состояния показана на рис. 1.1. Под внешними нагрузками в дальнейшем понимается приложение массовых сил, приложение или удаление нагрузки как по существующим границам областей, так и по вновь полученным после удаления или добавления частей тела. Так как процессы, происходящие в теле, являются упругими, то существуют векторы перемещений ипк ,п из предыдущего (yV-l)-ro состояния в последующее п -е; здесь к означают лагранжевы координаты частиц тела, приписанные им в одном из состояний, / - время, а п - номер состояния, в котором находится частица. Радиус- векторы одной и той же частицы в каждом состоянии обозначим rU;k,t\, в случае п = 0 имеем п ). Здесь и далее индекс над символом, кроме э, и г, указывает номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется (или к которому относится) данная величина (причем индекс 0 соответствует начальному состоянию, индекс N - конечному). Отметим, что если переход из начального в первое промежуточное состояние не зависит от времени, т. е. щ = их К М, то все равно входящие в (1.4) ковариантные производные V„ii{ (при т 1) зависят от времени, поскольку в выражения для этих производных входят символы Кристоффеля [47,70]. Из (1.4) следует, что базисные векторы в одном из состояний можно задавать произвольно, а базисные остальных (N-1) состояний определяются однозначно с помощью производных от перемещений. Кроме лагранжевой системы координат, может быть введена система отсчета в общем случае с криволинейными координатами rf, относительно которой рассматриваем движение частиц тела. Координаты, занимаемые Часті тицей в каждом из состояний, обозначим rf :
Плоская деформация и плоское напряженное состояние
Далее рассмотрение конкретных задач будет проводиться для плоского случая. Остановимся на этом подробнее.
Как известно, задача механики деформируемого твердого тела является плоской, если в некоторой декартовой системе координат (JC,, х2, х3) деформации и напряжения в теле не зависят от координаты х,. К плоским задачам относятся задачи о плоской деформации и плоском напряженном состоянии. В случае плоской деформации перемещения в направлении, перпендикулярном к плоскости ххОх2, отсутствуют, т.е. и3=0. Можно показать, что если материал изотропен и компоненты их и и2 вектора перемещений не зависят от х3, а «3 = 0, то деформации и напряжения в теле не будут зависеть от л"3. При этом компоненты сг13, J2}, т2Х, Jn тензора истинных напряжений будут равны нулю, а компонента т33 - отлична от нуля. Рассматривают также обобщенную плоскую деформацию [85], когда щ=их(хх, х2), и2 = и2(хх, х2), иъ = (Я -1) х5, где Я - заданная константа, не зависящая от координат. Случай Я = 1 соответствует плоской деформации.
В случае обобщенного плоского напряженного состояния, в соответствии с [57,86], выбирается декартова система координат (xj,x2,x3) таким образом, чтобы плоскость ххОх2 совпадала со средней плоскостью пластины, а оси хх и х2 совпадали с главными осями начальной деформации. При этом т13 - 72г = т33 =0. Обычно для плоского напряженного состояния полагают также, что компоненты тензора напряжений о не зависят от хъ.
Физическая модель образования включения может быть например следующая (см. рис. 2.1). Пусть первоначально имеем две ненагруженные бесконечно протяженные плоскости из различных нелинейно-упругих материалов. Приложим к плоскостям в общем случае произвольные различные нагрузки. При этом, в терминах теории многократного наложения конечных деформаций, «тело переходит в первое промежуточное состояние». Далее, в каждой из плоскостей наметим круговой замкнутый контур (границу включения), причем радиусы намеченных контуров различны, но математически близки ДО = (i?2 -/?,)- О. Теперь, изымем из каждой плоскости намеченные
части, заменяя их действие на оставшиеся внешними силами по принципу освобождаемости от связей. Наложим изъятое нагруженное включение большего радиуса на оставшуюся часть плоскости с изъятым включением меньшего радиуса, «спаяв»3 части тел по границе, и отпустим внешние силы, действующие на каждую из частей соединяемых тел. При этом предполагается, что существующее различие в радиусах накладываемого включения и полости в плоскости мало и не приводит к «вспучиванию», а также к возникновению динамических эффектов. Считается, что такое соединение приводит к перераспределению в рассматриваемой плоскости конечных деформаций и напряжений, по крайней мере, вблизи включения и некоторой его окрестности. Тело переходит во второе промежуточное состояние, оно же конечное в данной модели, при этом, естественно, меняется и граница включения.
Рассмотрим подробнее постановку задачи об образовании плоского упругого включения на основе теории многократного наложения конечных деформаций. Пусть в нелинейно-упругом бесконечно протяженном теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие статические деформации и напряжения. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается замкнутый контур (будущая граница включения). Предполагается, что внутри части тела, ограниченной этим контуром, скачкообразно меняются механические свойства материала . При этом считается, что в результате внутри образовавшегося включения и в некоторой его окрестности возникают большие деформации и напряжения, которые накладываются на большие начальные деформации и напряжения, уже имеющиеся в теле. Тело
Возможная физическая модель образования включения описана выше переходит во второе промежуточное (конечное в нашем случае) состояние. Естественно, меняется и форма граничного контура включения (рис.2.2).
О применении метода Синьорини
Количество неизвестных узловых перемещений равно количеству уравнений. Отметим, что исходные дифференциальные уравнения нелинейные, следовательно, получается нелинейная система алгебраических уравнений. Ее решение найдем методом Ньютона.
Метод Ньютона - это итерационный численный метод. Выбирается начальное приближение (в данном случае нулевое). На каждой итерации мы решаем систему линейных алгебраических уравнений, уточняя начальное приближение.
Имеем систему нелинейных алгебраических уравнений вида Выбираем начальное приближение х = xr.xn = 0..0. Для отыскания уточнения строится матрица Якоби в точке решения Решается система Ja(x) Ах = -f(x) и величина уточнения прибавляется к предыдущему приближению: х = х + Ах. Процесс останавливается, когда максимальная невязка решения становится меньше заранее выбранной степени точности. Приведем несколько иллюстраций сравнения двух рассмотренных методов в случае всестороннего нагружения материала Мурнагана. На рис. 3.16а, 3.166 приведены распределения компоненты тензора напряжений 7П. матрицы и включения, отнесенных к Gm, вдоль координаты г для случая плоской деформации материала Мурнагана с параметрами при всестороннем растяжении нагрузкой p = 0.\Gm, полученные двумя методами. Радиус включения R = \. Рис. 3.16а - решение, полученное методом Синьорини, рис. 3.16.6 -решение, полученное методом конечных разностей. Сравнение рис. 3.16а и 3.166 показывает, что решения, полученные двумя методами «качественно» совпадают. Различие между решениями в численных значениях составляет порядка 5-7 %. На рис. 3.17 приведено изменение значения компоненты тензора напряжений 7„. матрицы и включения в точке границы включения, отнесенных к Gw, при изменении Gv от 0 до Gm для случая плоской деформации материала Мурнагана с параметрами \т =1.07, Gm =0.471, Cim =-0.93, С4,„ = 1.72, C5m = -5.31Д = 1.07, C3v =-0.93, C4v = 1.72, C5v = -5.31 при всестороннем растяжении нагрузкой р = 0. \Gm. Радиус включения R = 1. На Рис. 3.18 приведено изменение значения перемещения ип. матрицы и включения в точке границы включения, отнесенных к Gm, при изменении модуля сдвига материала включения Gy от 0 до Gm для случая плоской деформации материала Мурнагана с параметрами \т при всестороннем растяжении нагрузкой p-0.\Gm. Радиус включения R = \. На рис. 3.7, рис. 3.18: 1- зависимость, полученная методом Синьорини, 2- зависимость, полученная методом конечных разностей. Графики, представленные на рис. 3.17 и 3.18 показывают, что значения характеристик напряженно-деформированного состояния в рассматриваемой характерной точке (точке границы включения) при изменении модуля сдвига включения Gv, полученные двумя различными методами, близки в случае перемещений и практически постоянно разняться в напряжениях. Если Gm = Gv, т. е. при всестороннем растяжении плоскости без включения, различие в случае использования этих методов по напряжениям составляет порядка 20 %, по перемещениям менее 4 %. Это объясняется тем, что каждым из методов задача решалась в перемещениях. Основные результаты и выводы диссертационной работы 1. Предложена модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле. 2. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов. 3. Разработан алгоритм решения задачи. Получены решения, в том числе приближенные аналитические (в символьной форме), плоской задачи о круговом в момент образования включении для различных типов нелинейно-упругих материалов с использованием системы символьных вычислений «Matematica». 4. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Для рассмотренных случаев разница между линейным и нелинейным решением достигала 35 %.
Анализ результатов расчетов
Приведем и проанализируем результаты расчетов рассматриваемой задачи для различных типов определяющих соотношений. Рассмотрим результаты решения плоской задачи, постановка и метод решения которой приведены выше, также проанализируем влияние «собственных» деформаций включения на напряженно-деформированное состояние (НДС). Проведем сравнение решения, полученного методом Синьорини, с решением, полученным методом конечных разностей, для случая всестороннего растяжения материала Мурнагана. В приложении 2 работы, приведены полученные с помощью системы символьных вычислений «Mathematica» приближенные аналитические (с учетом метода Синьорини) выражения характеристик напряженно-деформированного состояния тела для различных типов нелинейно-упругих соотношений. Они представлены элементарными функциями координат, параметров материалов и нагружения.
Приведем несколько иллюстраций результатов расчетов для материала Мурнагана. На рис. 3.1а, 3.16 соответственно, приведено распределение компонент тензора напряжений тп, сг22 матрицы и включения, отнесенных к Gm, вдоль координат х,у, для случая плоской деформации материала Мурнагана с па А,„ = 1.07,С,„ = 0.477,С3„, = -0.93,С4„, = 1.72,С5я =-5.31, раметрами при рас \ = 0.39,G,. = 0.186,C3v = -0.013,C4,. = -0.075C5l. = 0.63 тяжений вдоль оси ОХ нагрузкой p = 0.3Gm. Радиус включения R = \. На графиках: 0- нулевое приближение (линейное решение), 1 - первое приближение. На рис. 3.2а, 3.26 соответственно, приведено распределение компонент тензора напряжений о-,,, т22 матрицы и включения, отнесенных к Gm, вдоль координат х,у, для случая плоской деформации материала Мурнагана с па А,„ = 1.07,(7,,, = 0.477, С3н = -0.93, С4т = U2,C5m = -5.31, раметрами при рас Л„ = 0.39,Gv = 0.186,C3l. = -0.013,C4l. = -0.07,C5l, -0.63 тяжений вдоль оси & нагрузкой /7 = 0.3G,,, и учете «собственных» деформаций включения (принято о,1,=2 о,1/„)- Радиус включения R = \. На гра 58 фиках: 0- нулевое приближение (линейное решение), 1 - первое приближение. с учетом «собственных» деформаций включения (принято vF01v = 24J[jUll) Представим изображения рис. 3.1а,3.1б, 3.2а,3.2б совместно для каждой из компонент на рис. 3.3а, З.Зб. На графиках: 0- нулевое приближение (линейное решение), 1 - первое приближение с учетом «собственных» деформа 59 ций включения, 2- первое приближение без учета «собственных» деформа ции включения. Анализ рис. 3.3а и 3.36 показывает, что учет «собственных» деформаций включения влияет на перераспределение напряжений не только во включении, но и в его окрестности. Поправка от учета нелинейных эффектов но напряжениям в среднем составляет порядка 25 %. На рис. 3.4а, 3.46 приведены контурные перемещения включения. На графиках: 0- исходный контур, 1 - нулевое приближение (линейное решение), 2- первое приближение. Из рисунка видно, что контурные перемещения для обоих случаев достаточно близки, однако различие все же составляет порядка 8-Ю %. Поправка от учета нелинейных эффектов по перемещениям составляет порядка 20 %. Рассмотрим теперь результаты расчетов для материала Л.А. Толокон-никова (сжимаемый материал). На рис. 3.5а, 3.56 соответственно, приведено распределение компонент тензора напряжений тп, т22 матрицы и включения, отнесенных к Gm, вдоль координат х,у, для случая плоской деформации материала Л.А. Толоконни-кова с параметрами \, =1.07,Gm =0.477, \ =0.39,Gv = 0.186 при растяжении вдоль оси ОХ нагрузкой p = 0.\Gm. Радиус включения R = \. На графиках: 0- нулевое приближение (линейное решение), 1 - первое приближение.
