Содержание к диссертации
Введение
I. Равновесие упругого пространства, системой плоских трещин 19
1.1. Постановка задачи и вывод интегральных уравнений 20
1.2. Построение асимптотических решений 25
1.3. Равновесие предварительно напряженного упругого тела, ослабленного плоской эллиптической трещиной 31
1.4. Численные результаты исследования 39
2. Равновесие упругого полупространства с трещинами, лежащими в плоскости, перпендикулярной к его границе . 47
2.1. Постановка задачи и вывод интегральных уравнений 47
2.2. Система трещин в упругом полупространстве; асимтоти-ческое решение задачи 65
2.3. Асимптотические оценки в случае малых относительных расстояний и численный анализ результатов 70
3. Равновесие упругого слон, ослабленного плоскими трещинами 78
3.1. Постановка задачи, свойства ядра интегрального , уравнения. 78
3.2. Построение решения интегрального уравнения в случае больших относительных толщин слоя . 84
3.3. Построение решения в окрестности контура трещины при малых значениях относительной толщины слоя 90
3.4. Метод последовательных приближений 92
3.5. Вариационный метод решения интегрального уравнения 98
3.6. Равновесие упругого слоя, ослабленного прямоугольной трещиной 101
3.7. Анализ и сопоставление численных результатоы исследования ЮЗ
4. Односторонняя трещина на жестком включении, параллельном границе полупространства
4.1. Постановка и вывод системы интегральных уравнений задачи
4.2. Круговое отслоившееся включение (задача об отрыве) 121
4.3. Круговое отслоившееся включение -(задача о кручении) 143
Заключение 149
Литература
- Построение асимптотических решений
- Система трещин в упругом полупространстве; асимтоти-ческое решение задачи
- Построение решения интегрального уравнения в случае больших относительных толщин слоя
- Круговое отслоившееся включение (задача об отрыве)
Введение к работе
Современный уровень развития техники, как известно, характеризуется значительным увеличением габаритов конструкций, применением новых, все более прочных материалов. При этом наиболее высокие требования предъявляются к повышению надежности работы круп -ногабаритных и высоконагруженных конструкций, в частности, эле -ментами, подверженными наиболее интенсивным нагрузкам, как правило, являются сварные соединения (см. например [34,35,37] ) В процессе проведения сварочных работ в металле шва, а также в местах перехода от сварного шва к основному металлу зачастую появляются шлаковые включения, непровары, поры и трещины, каждый из перечисленных дефектов в процессе эксплуатации конструкции может вырасти в трещину, что, как правило, и приводит к усталостному или хрупкому разрушению сварного соединения. Нормы контроля качества сварных соединений, помимо размера дефекта, регламентируют в некоторых случаях допустимую частоту их расположения, причем некоторые нормы оговаривают величину расстояния между одиночными дефектами, а также глубину их расположения, другие определяют допустимое количество одиночных дефектов на участке шва заданной протяженности. Очевидно, одной из основных целей, которые преследует такая регламентация, является устранение взаимного влияния трещиноподобных дефектов на прочность конструкции.
Одним из важнейших аспектов механики хрупкого разрушения является исследование напряженно-деформированного состояния около трещин в деформируемых твердых телах, а также критерии распространения трещины в таком теле при заданном поле внешних воздействий, следует отметить, что процесс хрупкого разрушения реальных деталей является достаточно сложным и наиболее точное его описание можно получить только в трехмерной постановке.
Таким образом, исследование напряженного состояния трехмерных тел, ослабленных трещинами, в настоящее время является весьма актуальным, при этом особый интерес в исследовании указанных задач представляет определение коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины как одной из важнейших характеристик механики разрушения,
К первым работам по исследованию предельного равновесия изотропного твердого тела, ослабленного трещиной, следует отнести работы А.А.Приффитса, Р.А.Сакка, Е.О.Орована, Д.Р.Ирвина.Сакк [9^] при решении задачи о равновесии трехмерного тела, ослабленного дискообразной трещиной, подвергнутого на бесконечности равномерному растяжению, воспользовался энергетическим критерием Гриффитса [84] Сущность энергетического критерия заключается в следующем: распространение трещины в хрупком теле начинается в том случае, когда скорость высвобождения энергии упругой деформации в процессе ее распространения превысит прирост поверхностной энергии трещины. Дальнейшее обобщение энергетического критерия Орованом [93] дало возможность распространить теорию Гриффитса на металлические материалы. Однако, поскольку решение пространственных задач в рамках энергетического критерия наталкивается на существенные технические трудности, Орваном [88] был предложен силовой критерий и показана его эквивалентность энергетическому. Основной принцип силового критерия заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений в окрестности контура трещины в момент локального разрушения в данной точке контура равен некоторой постоянной материала, характеризующей его трещино-стойкость. В дальнейшем Л.И.Слепян [58] показал, что энергия,необходимая для разрыва связей, определяет лишь нижнюю для крити -ческого значения высвобождающейся энергии. Однако, для случая статических задач, указанная нижняя граница близка к верхней, и при фиксированном типе деформаций эквивалентность критериев силового и энергетического следует понимать в том смысле, что энергия, выделяющаяся в результате роста трещины, непосредственно связана с асимптотикой поведения напряжений у ее контура. Кроме этого, как показано в[58І , значение энергетического критерия достаточно велико и в связи с тем, что на поток энер -гии в край трещины не влияют искажения, вносимые линеаризацией соотношений теории упругости.
В предлагаемой диссертационной работе вопрос о прочности трехмерного упругого тела, ослабленного плоскими трещинами, рассматривается с позиций силового критерия, в связи с этим рассмотрен ряд задач о равновесии изотропного упругого пространства, полупространства, слоя, ослабленных системами компланарных трещин. Каждая из указанных задач сводится к решению сингулярного интегрального уравнения, решения которых строятся асимптотическими и численными методами.
В последние два десятилетия появилось значительное число работ, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния трехмерных тел, ослабленных плоскими трещинами и определе -нию коэффициента интенсивности напряжений в окрестности контура. Так, задачи о равновесии упругого пространства, содержащего плоский эллиптический разрез, при различных условиях загружения рассматривали А.Е.Андрейкив, р,в#Гольдштейн, в.И.Моссаковский, В.М.Ентов, Г.С.Кит, В.В.Панасюк, Ю.Н.Подильчук, Г.П.Черепанов, и др. Среди работ названных авторов следует указать [39,45,9, 50,74,19,із] . Также указанные задачи рассматривались в работах целого ряда зарубежных авторов [54, 86, 88, 89, 97, 28, 83, 99,
100, 102] В этих работах рассмотрены различные случаи нормальных, касательных и смешанных нагрузок, приложенных к берегам трещин.
Определению критических нагрузок для случаев трещин, форма которых в плане близка к круговой, посвящены работы [ 39,44,
43, 46, Зб] .
Целый ряд работ советских и зарубежных авторов посвящен рассмотрению задач о прямоугольных трещинах в упругом пространстве.Среди них следует отметить исследование задачи вариационно-разностным методом [ 22І , а также результаты для случая квадратной трещины [ 9,12,79,Юб] . Распределение напряжений в окрестности контура трещины изучено в результате решения соответствующих сингулярных интегральных уравнений.
Особое место в теории пространственных задач для тел с трещинами занимают задачи о равновесии тел, подвергнутых предварительной конечной деформации. Цикл работ, посвященных этим задачам принадлежит А.Н.Гузю [26, 27] . В [27] , например, для случая двустороннего равномерного предварительного растяжения в плоскости трещины установлено изменение коэффициента интенсивности напряжений в неогуковском бесконечном теле при произвольном контуре трещины, в работе Л.М.Филипповой [ 72,73]рассмотрена модель несжимаемого изотропного материала общего вида. Коэффициенты предварительного растяжения, как и в работе [27] , в обоих направлениях предполагаются равными. Кроме этого, зарубежными авторами рассмотрены задачи о предварительной двухосной[87] и радиальной [95] деформации тела с дискообразной трещиной, В этих задачах рассмотрены также различные модели несжимаемых тел. В каждом из рассмотренных случаев решение проводится путем линеаризации около состояния предварительной конечной деформации.
Большой практический интерес представляют задачи об односторонних трещинах, образованных в результате отслоения среды от плоского жесткого включения, основные результаты по пространственным задачам теории упругости об отслоившемся жестком включении принадлежат Г.Я.Попову. В частности, в монографии[52J получена система интегро-дифференциальных уравнений задачи о включении произвольной в плане формы в упругом пространстве, получены аналитические решения для случаев отрыва и кручения кругового отслоившегося включения. При построении решения автор пользуется методом ортогональных многочленов.
Значительное количество работ отечественных и зарубежных авторов посвящено изучению взаимного влияния трещин, лежащих в одной плоскости упругого пространства, В частности, задача о равновесии упругого пространства, ослабленного двумя дискообразными трещинами рассматривалась в работах А.Ф.Улитко [7о"] , А.Е.Андрей-кива, В.В.Панасюка [її] , В.Д.Коллинза [80] и др., в предположении, что относительное расстояние между трещинами достаточно велико. В работе [ п] результат получен как частный случай задачи для произвольного числа круговых линий раздела граничных условий. В статье Г.Я.Попова, С.А.Шумихина [53] построено решение ука -занной задачи методом ортогональных многочленов в случае двух трещин различных радиусов, в [ю] рассмотрена задача в более общей постановке.
Задачи о взаимном влиянии достаточно удаленных между собой трещин, форма которых близка к круговой, рассмотрены в работах [ 39, 44] . Взаимодействие двух эллиптических трещин изучалось численными методами в работах [85, 19, 92 J , а также в T9,32j при указанных выше ограничениях.
Критические нагрузки для упругой среды, ослабленной двояко-периодической системой компланарных круговых трещин получены в [9І . В работах, упомянутых выше, напряженное состояние предполагается, как правило, симметричным относительно плоскости расположения трещин. Это позволяет ставить задачу как смешанную задачу теории упругости для полупространства с системой областей смены граничных условий.
Принципиально большую математическую сложность представляют постановка и решение задач о равновесии упругого тела, содержа -щего систему произвольно ориентированных плоских трещин. В работах [ Ю, 32] задача сведена к системе интегральных уравнений, решение которой для достаточно больших относительных расстояний между трещинами строится методом последовательных приближений, а для малых расстояний - предлагается строить численно.
Большой практический интерес представляют задачи о равновесии упругого полупространства, ослабленного трещиной. В частности, при условии отсутствия на границе полупространства верти -кальных перемещений и касательных напряжений математическая постановка этой задачи совпадает со случаем равновесия упругого пространства, ослабленного двумя соосными равными трещинами.Случай круглых трещин рассмотрен в [ Ч2І . Случаи, когда граница полупространства свободна от напряжений, рассмотрены для различных условий нагружения в работах [зі, 105] . В работе f105] также рассмотрен вариант жесткого защемления границы. Как правило, решение указанной задачи осуществляется путем построения решений смешанных задач для слоя и для полупространства и дальнейшего их сопряжения, в результате этого задача сводится к решению системы интегральных уравнений. Если трещина расположена достаточно далеко от границы, то решение можно строить в виде асимпто- тического разложения в ряд по малому параметру. В случае достаточно малых относительных расстояний решение задачи осуществляется численно [І05І .
Постановка и решение задачи для случая, когда плоскость расположения трещины перпендикулярна границе полупространства, представляются существенно более сложными, и исследование таких задач в известных работах проводилось численными методами, так, случай эллиптической внутренней трещины при равномерном давлении на ее берега методом массовых сил рассмотрен в работе [ 92 J , а также в статье [ 97І методом альтернирования, т.е. последовательным удовлетворением граничных условий на свободной поверхности и на поверхности трещины. Коэффициент интенсивности напряжений в окрестности контура круглой трещины определен в работе f101 ] .
К одним из первых отечественных работ, посвященных исследованию равновесия упругого слоя, содержащего плоские трещины следует отнести работы В.М.Александрова, Б.И.Сметанина, Н.В.Паль-цуиа, я.С.Уфлянда [б, 8, 59, 71, 42І . Так, в статье [б] получено интегральное уравнение указанной задачи для случая, когда трещина расположена в срединной плоскости слоя, a f7l3 , напри -мер, задача решается сведением к парным интегральным уравнениям. В дальнейшем, в работах [8, 59] получены эффективные решения задачи для круглой трещины в случаях большой и малой относительной толщины слоя. В первом из указанных случаев решение строится в виде асимптотического разложения по отрицательным степеням параметра, равного отношению толщины слоя к радиусу трещины, этот метод, получивший название "метода больших "Xй, был развит в работах [з, 5» 7, 15] . Для случая малых относительных толщин в смешанных задачах В.М.Александровым был предложен метод [2І , в последствии названный "методом малых *\ ". В работе [ 20 ] прямым вариационным методом с предварительным выделением особенности исследована задача о равновесии слоя ослабленного плоской эллиптической в плане трещиной. Грани слоя предполагались свободными от напряжений. В качестве координатных функций выбирались степенные,
В случае, когда плоскость трещины перпендикулярна свободным граням слоя, задача имеет также большой практический интерес. Для круглой и эллиптической форм трещин различными численными методами проведены исследования указанной задачи авторами работ [92, 81, 90] и др.
Кроме перечисленных методов в пространственных статических задачах теории упругости весьма эффективен метод конечных элементов и для тел с разрезами ( [78, 82,.77, І07І и др.). Среди работ отечественных авторов, посвященных применению этих методов в рассматриваемых задачах, следует отметить монографию В.З.Партона, Е,М,Морозова [48] . Из статей и монографий, в которых содержатся наиболее полные обзоры основных методов и результатов исследования трехмерных задач теории упругости для тел с разрезами, следует указать работы [9, 44, 55, 74, 20, 77] и др.
Постановка и решение задач, рассмотренных в представляемой работе, явились следствием значительного прогресса, достигнутого в исследовании трехмерных статических задач для тел, имеющих плоские разрезы.
Перейдем теперь к краткому изложению содержания работы. Диссертация состоит и четырех глав, введения, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе описана математическая постановка задач для тел, ослаблен- ных разрезами. Каждая из рассмотренных задач предполагается симметричной относительно плоскости расположения трещин в упругом пространстве. В случае двух симметрично расположенных трещин,бесконечной цепочки, двоякопериодической системы задача сведена к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода. В каждом из рассмотренных случаев в ядре соответствующего интегрального уравнения по сравнению со случаем изолированной трещины в упругом пространстве появляется регулярное слагаемое, которое характеризует влияние на распределение напряжений в окрестности контура одной из трещин других. Как частные случаи из полученых интегральных уравнений вытекают соответствующие уравнения для задачи об изолированной трещине в пространстве и плоских аналогов упомянутых задач.
Второй параграф посвящен описанию асимптотического метода, применяемого при построении решений полученных интегральных уравнений. В предположении, что относительные расстояния между трещинами достаточно велики, решение отыскивается в виде асимптотического разложения в ряд по малому параметру, регулярные части ядер в каждом из рассмотренных случаев представимы в виде аналогичных разложений. Асимптотическое решение задач получается в результате приравнивания выражений при одинаковых степенях параметра и последовательного решения получаемых интегральных уравнений, В задаче о двоякопериодической системе трещин показана возможность построения решения и в виде двойного асимптотического разложения. При этом система интегральных уравнений получается в результате приравнивания соответствующих членов при одинаковых комбинациях степеней двух параметров. Форма трещин в рассмотренных задачах предполагалась эллиптической.
В случае, когда трещины достаточно близко расположены, в качестве асимптотических решения предлагается брать решения соот -ветствующих плоских задач. Это подтверждается и числовыми примерами .
Задача об упругом равновесии пространства, подвергнутого предварительному двухосному конечному растяжению или сжатию, рассмотрена в третьем параграфе, в плоскости предварительной деформации расположена трещина. К берегам ее приложены возмущающие нормальные нагрузки. Рассмотрен случай несжимаемого неогуковского материала. Задача сведена к сингулярному интегральному уравнению. В предположении эллиптической формы трещины, построено асимптотическое решение задачи в случае, когда коэффициенты предварительной конечной деформации различаются достаточно мало. Из этого решения как частный вытекает случай равенства коэффициентов предварительной деформации в обоих направлениях. Если предварительная деформация отсутствует, то из полученного результата вытекает решение известной соответствующей классической задачи.
В четвертом параграфе первой главы проводится численный анализ полученных результатов. В случае двух симметричных эллипти -ческих трещин проводится сопоставление с известными результатами численного исследования.
Вторая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию задачи о равновесии упругого полупространства, ослабленного системой плоских трещин, трещины расположены в плоскости, перпендикулярной границе полупространства.
Первый параграф главы содержит математическую постановку задачи, граница полупространства считается свободной от напряжений, задача симметрична относительно плоскости расположения тре-
14 щин.Далее последовательно изложен метод обобщенных интегральных преобразований [51] применительно к рассматриваемой задаче.Построение матрицы Грина полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет в результате обращения интегрального преобразования свести задачу к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода относительно функции относительных перемещений (раскрытия) берегов трещины. Как частный случай из него вытекает интегральное уравнение задачи о трещине в пространстве. В предположении,что область,занятая трещиной - полоса,параллельная границе полупространства,следствием полученного уравнения является известное интегральное уравнение соответствующей плоской задачи [47] .
Во втором параграфе проводится построение асимптотического решения задачи для случая,когда область,занятая трещиной,представляет собой два симметрично расположенных эллипса.задача сводится к решению одного интегрального уравнения первого рода по эллиптической области,Получено асимптотическое разложение функции скачков перемещений берегов трещины,Как частные случаи последнего вытекают решения задачи об упругом равновесии пространства, о слаб лен ного двумя симметричными эллиптическими трещинами и задачи об одной трещине в полупространстве.В случаях,когда трещины достаточно близко расположены к границе полупространства или сильно вытянуты вдоль нее(именно эти случаи не охватывает указанное асимптотическое решение),в качестве приближенного решения следует использовать результаты исследования соответствующей плоской задачи.указаны диапазоны изменения геометрических параметров»в которых достаточную для практики точность дает каждое асимптотическое решение.
В третьей главе диссертационной работы рассмотрена задача о равновесии упругого слоя, ослабленного системой трещин. Трещи- ны расположены в срединной плоскости слоя, грани слоя гладко задаты между двумя основаниями, в первом параграфе рассмотрена математическая постановка задачи, приведены различные формы записи соответствующего интегрального уравнения, описаны свойства его ядра.
Во втором параграфе последовательно описан процесс построения асимптотического решения задачи для случаев одной и двух симметрично расположенных эллиптических трещин. Предполагается, что относительное расстояние между трещинами достаточно велико, а их размеры достаточно малы по сравнению с толщиной слоя.
Построение асимптотического решения задачи для малых относительных толщин слоя осуществляется в третьем параграфе главы» Естественно, из указанных решений как частные случаи вытекают соответствующие асимптотические решения задачи о круглой трещине [59] .
В четвертом параграфе решение интегрального уравнения строится в виде произведения двух функций, одна из которых является решением этого уравнения, полученным известным асимптоти -ческим методом для предельного значения одного из параметров. Для второй из указанных функций строится интегральное уравнение второго рода. . При этом под знаком интеграла выделяется раз -ностный множитель. Приведен довольно общий пример, на котором продемонстрирована сходимость процесса последовательных приближений.
Пятый параграф третьей главы посвящен описанию практической реализации метода ритца при решении рассматриваемых интегральных уравнений. При этом решение уравнения строится в виде разложения в двойной тригонометрический ряд с заранее выделенной особенностью. С помощью этого разложения строится функционал, минимиза- ция которого приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Описанный алгоритм реализован для случаев эллиптической и прямоугольной форм трещины. В последнем случае исследовано поведение решения в угловых точках контура.
В заключительном, шестом параграфе проводится анализ численных результатов. Проводится сопоставление результатов исследования указанных задач, полученных каждым из описанных методов. В частности, в задаче об одной эллиптической трещине, указаны диапазоны изменения геометрических параметров, в которых достаточную для практики точность дает каждое из решение.
Четвертая, заключительная глава посвящена исследованию задачи о равновесии упругого полупространства, которое содержит жесткое плоское включение, одна грань которого находится в контакте без отрыва и трения со средой, а другая отслоилась. Плоскость, в которой расположено включение, параллельна границе полупространства. К включению приложена нагрузка, вызывающая его смещение.
Первый параграф посвящен математической постановке задачи и выводу системы интегральных уравнений для включения произвольной в плане формы.
Задачи о круговом включении в случаях его поступательного смещения перпендикулярно своей плоскости и кручения рассмотрены соответственно во втором и третьем параграфах четвертой главы. При построении решений использован метод ортогональных многочленов.
Анализ численных результатов позволяет установить влияние свободной границы полупространства на множитель при особенности напряжений в окрестности контура включения. Установлена связь между усилием, приложенным к включению и его смещением.
Отметим, что в каждой из рассмотренных в работе задач основной целью исследования является определение коэффициента интенсивности напряжений в окрестности контура трещин. При этом в каждом случае приводится сравнение указанной величины с соответствующими значениями для известных предельных случаев.
В Заключении кратко изложены основные результаты и выводы, полученные в данной работе.
Результаты численного анализа приведены в виде таблиц и графиков. Последние вынесены в приложение I. Описания этих графиков даны при обсуждении результатов в соответствующих параграфах каждой из глав.
В приложении 2 аналогично задаче о трещинах, рассмотрено равновесие упругого полупространства, в поверхность которого поступательно внедряются два симметрично расположенных эллиптических в плане штампа с плоской подошвой, задача сведена к одному сингулярному интегральному уравнению первого рода по эллиптической области, решение, полученное асимптотическим методом, сопоставлено в известным случаем круглых штампов [55] .
Задача о внедрении эллиптического штампа в упругий слой исследована в работах В.М.Александрова [15] асимптотическими методами "больших и малых V". В приложении з проиллюстрирована возможность применения методики, описанной в четвертом параграфе третьей главы, в контактных задачах.
В приложении 4 описана схема применения метода ритца в динамических задачах теории упругости для тел с разрезами, в ка -честве примера рассмотрена задача об антиплоских колебаниях берегов трещины, расположенной в срединной плоскости слоя. Пост -роено также асимптотическое решение указанной задачи, диапазон практической применимости которого установлен с помощью вариационного метода.
Результаты диссертационной работы внедрены в Производственно-ремонтном предприятии "ростовэнерго" при проведении ремонт -ных работ на новочеркасской ГРЭС. Экономический эффект, полученный в результате внедрения, составил 14 тыс.рублей, технический акт внедрения прилагается (приложение 5).
Построение асимптотических решений
Если в (1.5) осуществить предельный переход, например,при , то интегральное уравнение (1.4) с таким ядром будет соответствовать задаче о равновесии упругого пространства, ос -лабленного однопериодической системой (цепочкой)одинаковых плоских трещин. Плоским аналогом последней из указанных задач является задача о равновесии упругой плоскости, содержащей бесконечный ряд коллинеарных трещин равной длины С 47І Интегральное уравнение этой задачи вытекает из (1.4), (1.5) при соответствующих предположениях в результате непосредственных вычислений: а,
Отметим также, что если в ядрах интегральных уравнений (1.3) и соответственно, то в результате будет получено интегральное уравнение, соответствующее задаче о равновесии упругого пространства, ослабленного изолированной плоской трещиной.
Заметим, что указанным способом могут быть получены интегральные уравнения целого ряда задач о взаимном влиянии компланарных трещин, и в дальнейшем проведен асимптотический или численный анализ их решений, В частности, нетрудно получить интегральное уравнение задачи о взаимном влиянии четырех симметричных трещин, центры которых расположены в вершинах прямоугольника. Стороны прямоугольника соответственно равны 2с{ и 2l . Соответствующее интегральное уравнение первого рода по области, занятой одной из трещин, будет иметь вид, аналогичный (1.3), где в регулярной части ядра добавится еще два слагаемых, и она примет следующий вид:
В дальнейшем на построении решений этой и других подобных задач останавливаться не будем. Это связано с тем, что процесс пост -роения этих решений совершенно аналогичен тому, который будет продемонстрирован на задачах, рассмотренных подробно.
При решении интегральных уравнений вида (1.3) может быть использован асимптотический метод, известный в литературе как "метод больших X " (см.например [ 15] ). Для этого в первой из рассматриваемых задач введем параметр и представим регулярную часть ядра интегрального уравнения (1#3) в виде следующего разложения:
Решение этого интегрального уравнения будем искать в виде аналогичного асимптотического разложения по отрицательным степеням параметра реализация разложений (1.6) и (1.7) в уравнении (1.3) и сопоставление выражений при одинаковых степенях сводит задачу к бесконечной системе последовательно разрешаемых интегральных уравнений первого рода: и так далее.
Непосредственными вычислениями легко убедиться, что в рассматриваемой задаче разложение (1.6) имеет следующий вид: где в данном случае имеем:
Аналогично результату, который получен Л.А.Галиным в контактной задаче [І7І , можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема I.I. Если функция нагрузки, приложенной к берегам трещин, является некоторым полиномом степени П. то решение первого из уравнений (1.8) для случая эллиптической области Ъ 2 примет вид:
Коэффициенты Ч{.: выражаются через О , по схеме, изложенной, например,в [ 15 ] Как частный случай из (1.12) при f-»oo вытекает решение задачи о равновесии упругого пространства, ослабленного изолированной плоской эллиптической в плане трещиной загруженной на берегах равномерными усилиями.
При решении второй из рассматриваемых здесь задач может быть также применен асимптотический метод. Для этого введем в рассмотрение два безразмерных параметра - /& и ?г=4/
Далее наиболее естественным путем является построение решения интегрального уравнения (1.4) в виде двойного асимптотического разложения по отрицательным степеням этих параметров:
При этом реализацию указанного разложения следует осуществлять путем представления несингулярной части ядра интегрального уравнения (1.4) в виде двупараметрического ряда и последовательного решения системы интегральных уравнений, получающихся в результате приравнивания соответствующих членов при одинаковых комбинациях степеней параметров Ск и . Однако такой путь связан с непосредственными вычислениями производных высоких порядков и весьма громоздок. С точки зрения практического построения решения уравнения (1,4) оказывается бОЛее уДОбНЫМ ВВеСТИ Предположение : 2 я. t » t (Q -fc и td i ) , которое тем не менее нисколько не сужает диапазона применимости получаемых результатов.
Система трещин в упругом полупространстве; асимтоти-ческое решение задачи
Если предположить, что ь2 - полоса, определяемая условиями: нагрузка р(н) не зависит от X ,то уравнение (2.21) в результате соответствующих вычислений сводится к известному интегральному уравнению плоского аналога рассматриваемой здесь задачи - задачи о равновесии полуплоскости, ослабленной перпендикулярным к ее границе разрезом [47] а р
Совершенно аналогичным путем могут быть осуществлены постановка и вывод интегрального уравнения задачи для полупространства и при других условиях на его границе, в частности, в случае жесткого защемления границы полупространства, проблема будет сведена к решению той же краевой задачи (2.5)! (2.6), где матрицы и и U будут иметь несколько иной вид.
Пусть трещина занимает в плоскости Ц-0 составную симметричную область а нагрузка, приложен ная к берегам трещин, симметрична по эс ,
Пользуясь симметрией задачи относительно плоскости Х=0 , в результате замены переменных уравнение (2.21) можно свести к интегральному уравнению первого рода по одной из указанных об -ластеи () , сместим далее начало координат в центр этой области» не вводя новых обозначении для іь , ь2 , р и осей координат, из (2.21; получим (индекс при функции Л(эс Ю здесь и далее опущен;: где ядро уравнения Кк имеет по-прежнему вид (2.22),
В проведенных выше рассуждениях требование, чтобы форма трещин была эллиптической, не является существенным. Таким образом, интегральное уравнение (2.23) справедливо для любой формы симметричных трещин.
Здесь же заметим, что не представляет принципиальных затруднений получить интегральное уравнение задачи о равновесии упругого полупространства, ослабленного цепочкой трещин. Плоскость расположения трещин перпендикулярна границе полупространства, трещины расположены вдоль границы. Для этого необходимо в интегральном уравнении (2.21) осуществить прием, который был использован в главе I, Построение асимптотического решения названной задачи не представляет специального интереса, поскольку этот алгоритм аналогичен изложеному ниже.
В результате проведенных преобразовании области расположения трещин определятся неравенствами:
При решении интегрального уравнения (2.23) в случае эллип тической формы трещин и полиномиальной нагрузки рС ч) может быть использован тот же асимптотический метод, который достаточ но подробно изложен в главе I. Для этого введем в рассмотрение два безразмерных параметра , характери зующих относительное расстояние трещин до границы полупространства и относительное расстояние между ними. Здесь п - расстояние от центров трещин до границы, 2р -расстояние между их центрами.
В этом случае;ч также, как и прежде, можно строить двойное асимптотическое разложение решения по параметрам л , z 9 однако оказывается более удобным ввести следующее предположение: . это позволяет значительно быстрее получить результаты и не сужает диапазона изменения параметров, в котором решение задачи дает достаточную для практического использования точность.
Построение решения интегрального уравнения в случае больших относительных толщин слоя
Проведенные построения позволяют, аналогично тому, как это сделано в контактной задаче [ 15 ] , получить "вырожденное" решение задачи о трещине в слое малой относительной толщины.
Соотношение (3.20) дает "внутреннее" решение интегрального уравнения (3.8) при малых значениях параметра о Оно тем более точно, чем глубже рассматриваемая точка удалена по нормали от контура во внутренность области 2 . Точность построенного "вырожденного" решения определяется полученной оценкой. При приближении к контуру трещины соотношение (3.20) теряет смысл. Перейдем теперь к рассмотрению методов решения полученных интегральных уравнении. Построение решения интегрального уравнения в случае больших относительных толщин слоя
Метод построения общего решения интегральных уравнений вида (3.1) для случая достаточно больших значении параметра подробно описан в главе I. Следуя этому методу, запишем интегральное уравнение (3.1) с учетом (3.6) в виде:
При этом решение уравнения (3.2 IJ представимо в форме: где Y0 (х,у) - решение соответствующей задачи для случая трещины в пространстве, a )L ( »$) определяются последовательно из уравнении, аналогичных (1.8)
Пусть Q - эллиптическая область Для определенности положим p(x,ij) = p= Соисі В этом случае решение уравнения (3.21) в форме (3.22) будет иметь вид:
Перейдем теперь к рассмотрению задачи о двух симметричных относительно оси ОС-О трещинах, лежащих в плоскости
Пусть . Заметим, что при выводе интегрально го уравнения существенным является требование симметрии каждой из областей , , i2z (Рис. 3.1). В этом случае интегральное уравнение (3.1) можно преобразовать к следующему виду:
Индексы при функциях УУ С ") И D (2c,Lj) соответствуют тре 86 щинам, занимающим области Ограничимся далее рассмотрением важного частного случая:
Заметим, что введенное предположение сделано лишь для простоты: Применяемый здесь метод позволяет произвести рассмотрение общего случая симметричных полиномиальных нагрузок рС су) , рассматриваемый случай соответствует равномерному растяжению слоя, ослабленного двумя симметричными трещинами.
Поскольку обе трещины находятся в одинаковых условиях, и Y-i (.3 /) = Уь (-Ос, /) і достаточно ограничиться рассмотрением одного из интегральных уравнений (3.24).
Произведем замену переменной в интеграле по области Qz , лежащей по левую сторону от оси ординат, так, чтобы область интегрирования совпадала с ±2 . учитывая четность функции У(осм) , интегральное уравнение, вытекающее из (3.24) в предположении (3.25) может быть записано в виде одного двумерного интегрального уравнения первого рода. В рассматриваемой задаче принято:
Перенося начало координат в центр области Q. , запишем полученное интегральное уравнение в виде:
Рассмотрим случай, когда трещины имеют эллиптическую в плане форму, В новой системе координат области, занимаемые трещинами, могут быть описаны следующими неравенствами:
Пусть, для определенности (Х Ь (все дальнейшие построения для случая \ ь проводятся совершенно аналогично). Введем два безразмерных геометрических параметра: которые характеризуют соответственно относительную толщину слоя и относительное расстояние между трещинами.
С целью избежания громоздких вычислений при построении асимптотического разложения решения по двум этим параметрам, воспользуемся допущением, аналогичным примененному . в предыдущем, которое не сужает диапазона практической применимости по -лучаемых асимптотических решений:
Параметр "t изменяется таким образом, чтобы параметры SA и f (3.29) оставались достаточно большими, в этом случае решение интегрального уравнения (3.26) можно строить в виде(3.22). Для этого регулярную часть ядра интегрального уравнения (3.26) представима в форме ряда по степеням параметра
Выражения при степенях параметра d. образуются в результате представления функции Басселя в ядре в виде ряда и вычисления соответствующих интегралов по формулам (3.7). В результате суммирования коэффициентов при одинаковых степенях d получим:
Для вычисления коэффициентов (Зі32) более удобно воспользоваться их интегральными представлениями, вытекающими из следующих соотношении, легко проверяемых непосредственными вычислениями
Второе из соотношений (3.33) вытекает из первого в результате дифференцирование его по параметру oL , как видно из (3.5)» подынтегральные выражения в (3 33) экспоненциально убывают на бесконечности, что значительно облегчает вычисление интегралов. Далее, применяя при решении интегрального уравнения (3.30) с ядром (3.31) изложенный выше метод "больших "X и, получим решение его в виде следующего асимптотического разложения по па -раметру
Если в (3.22) осуществить предельный переход при . - о ,то решение (3.34) будет соответствовать задаче о равновесии слоя бесконечно большой толщины (т.е. пространства), ослабленного двумя симметричными эллиптическими трещинами. Эта задача достаточно подробно рассмотрена выше. решение задачи о слое с одной эллиптической трещиной (3.23) вытекает из (3.34) в результате предельного перехода при z- = Последнего можно достичь, если в (3.22), (3.34) осуществить одновременно предельный переход при - оо9Ъ-+0 , сохраняя в допустимых пределах соотношение Отметим, что аналогично могут быть получены интегральные уравнения и построены асимптотические решения задач о других системах компланарных трещин в упругом слое.
Круговое отслоившееся включение (задача об отрыве)
Связь функций Ц, Гд , А2 f р 9 Сг с искомыми скачками напряжений и перемещений р , Р , і , X дается формулами (4,9), в которых все малые буквы следует заменить большими.
К системе уравнений (4.10) следует добавить условие равновесия включения, позволяющее установить связь между нагрузкой Р и смещением В :
В монографии [523 выписаны условия равновесия, которые соответствуют более общему случаю приложения нагрузки. Предельный случай рассматриваемой здесь задачи вытекает из уравнений (4.10), если в них осуществить предельный переход при u- o , Соответствующие уравнения приведены в работе[52].
Отметим, что в соответствующем решении в области-оо _0 следует положить С - /J-0 . Это обусловлено требованием затухания компонент напряжений и перемещений на бесконечности
Представим разрывы компонент напряжений и перемещения в виде соответствующих разложений ханкеля:
Поскольку указанные скачки функций имеют место лишь в области расположения включения соотношениям (4Л9) соответствуют следующие: ля удовлетворения граничным условиям (4.13), (4.14) воспользуемся соотношениями закона Гука:
Проинтегрируем второе и третье из соотношений (4 24) по переменной Исключая функцию Уг(ї) из левых частей пер вого и третьего соотношений (4,24), получим:
Здесь Ь - постоянная, подлежащая определению в дальнейшем. Второе из соотношений (4.24) перед интегрированием следует до-множить на 1 ,
Интегральные уравнения для определения функций J (г) ,. Pi(t) , QCt) вытекают из (4.24), (4,25) в результате использования формул обращения (4.20). В результате вычислений, аналогичных описанным в [52] , получим:
Слотам первые два уравнения системы (4.34), а затем вычтем из первого уравнения второе. Сделаем далее замену переменной под знаком интеграла и перейдем к безразмерным координатам:
Покажем, что правая часть первого из уравнений (ч,35) является нечетной функцией по переменной ОС , а правая часть второго из этих уравнений - четной, учтем при этом (4,33) и сформулируем Следующую ЛЄММУ:
Лемма 4,1, Пусть функции Pft) и V0 являются одновременно четными или нечетными, в этом случае при условии существования интеграла функция 4.(х) является четной. Если же одна из указанных функций является четной, а другая нечетной, то f Сх) - нечетная функция. Действительно, пусть У(к) = УС-Ь)j тСЬ) T C t)
Последнее равенство вытекает в результате подстановки под знаком интеграла Таким образом, произведя указанные преобразования, продиф-J ференцируем рассматриваемые интегральные уравнения по переменной .в результате этого первые два из них могут быть записаны в виде: где функции h . С%) и ч-СЛ являются соответственно четной и нечетной. Решение уравнений (4,36) можно строить с использованием известного спектрального соотношения
Решение уравнений (4.36) будем искать в виде: Yv = tD Здесь и далее для искомых функций введены новые обозначения: Теорема 4»I, Между коэффициентами разложений (4 38) решений первого и второго интегральных уравнений (4,36) имеет место зависимость: Для доказательства этого утверждения подставим разложения (4.38) соответственно в первое и второе уравнения системы (4 36) и вос пользуемся спектральным соотношением (4.37).
