Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Плоская трещина нормального разрыва в безгра ничной линейно упругой среде 27
1.1. Постановка задачи 27
1.2. Оценки энергии и объема при произвольной нагрузке 33
1.3. Изопериметрические оценки минимального собственного числа оператора, соответствующего задаче о трещине отрыва, снизу и объема трещины при однородной нагрузке сверху . 43
1.4. Оценки минимального и максимального вдоль контура трещины коэффициентов интенсивности напряжений 53
1.5. Изопериметрическая оценка объема трещины снизу в случае однородной нагрузки 62
1.6. Построение приближенных формул для определения исследуемых характеристик задачи о трещине от рыва в случае однородной нагрузки 67
Глава 2. Метод приближенного решения операторных уравнений и его применение к решению пространственных задач о трещинах 79
2.1. Постановка задачи 79
2.2. Метод приближенного решения операторных уравнений 83
2.3. Применимость метода к решению некоторых смешанных задач и примеры расчета 91
Глава 3. Плоская трещина нормального разрыва при наличии линейных связей между ее поверхностями 108
3.1. Постановка задачи 108
3.2. Локальные и интегральные оценки решений 110
3.3. Методика приближенного решения и результаты расчетов 118
Глава 4. Свойства одного класса псевдодифференциальных уравнений и их применение к оценкам решений задач о трещинах в неоднородных и нелинейных пространствах 131
4.1. Постановка задачи 131
4.2. Теоремы сравнения. Локальные оценки решений 135
4.3. Изопериметрические неравенства. Интегральные оценки решений 141
4.4. Связь между коэффициентами в асимптотике решения уравнения и правой части у границы области. Выражение приращения энергетической характеристики решения при вариации области через коэффициенты в асимптотике решения 147
4.5. Применение свойств исследуемых псевдодиффе ренциальных операторов к анализу решений задач о трещинах в неоднородных и нелинейных пространствах 155
Заключение 160
литература
- Изопериметрические оценки минимального собственного числа оператора, соответствующего задаче о трещине отрыва, снизу и объема трещины при однородной нагрузке сверху .
- Применимость метода к решению некоторых смешанных задач и примеры расчета
- Локальные и интегральные оценки решений
- Изопериметрические неравенства. Интегральные оценки решений
Изопериметрические оценки минимального собственного числа оператора, соответствующего задаче о трещине отрыва, снизу и объема трещины при однородной нагрузке сверху .
В этом пункте доказывается Теорема І.І. Среди всех областей заданной площади минимальное собственное число оператора р А при нулевых краевых условиях Дирихле принимает минимальное значение на круге, объем трещины при однородной нагрузке принимает максимальное значение также на круге. Таким образом, имеют место неравенства , I ) А ДК,0 7 V0(G)tVe(Kt),IBe V0 () - объем трещины, занимающей область G-7 при действии однородной нагрузки, KR -как и прежде круг радиуса R, площадь которого равна площади области G-.
Прежде чем перейти к строгому доказательству теоремы I.I, кратко изложим основные моменты этого доказательства и рассмотрим его связь с доказательствами изопериметрических неравенств для величин, связанных с оператором Лапласа, которые приводятся в [62J. В [б2] все доказательства проводятся по одной схеме. Сперва строится функционал, экстремальным значением которого является исследуемая величина. Этот функционал может содержать интегралы от функции (или ее квадрата) и всегда содержит интеграл от квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа. Затем рассматривается функция, на которой реализуется экстремальное значение функционала, и с ней связываются геометрические объекты (определяемые функцией область и поверхность, либо поверхности ее уровня). После этого производится симметризация поверхностей, соответствующих данной функции и по новым поверхностям строится новая функция, определенная уже в симметризованной области. Рассматривается значение функционала на новой функции. Поскольку интеграл от квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа, связан с величинами площадей поверхностей, которые при симметризации убывают, удается доказать убывание и этого интеграла. Интегралы от функции или ее квадрата при симметризаци-ях не изменяются. Поэтому значение функционала при указанной операции изменяется в одну сторону (убывает либо возрастает). Вследствие этого и значение исследуемой величины в симметризованной области меньше (или больше), чем в исходной. И, наконец, благодаря известному геометрическому факту, заключающемуся в том, что с помощью последовательности симметризации любую область можно перевести в круг (на плоскости) или в шар (в пространстве), получаются доказываемые изопериметрические неравенства.
Доказательство теоремы I.I будем проводить по такой же схе ме. Благодаря сильной эллиптичности оператора Л удается пост роить функционалы, экстремальными значениями которых являются величины h&) и V„ (Є-) («ункщонал для i () уже был записан в п. 1.2 формула (1.9)). Эти функционалы содержат интег рал от функции (или ее квадрата) и квадратичную форму, опреде ляемую оператором Следовательно, основ ная трудность состоит в доказательстве убывания формы (Av,V) при симметризации области, занимаемой трещиной, поскольку такая форма непосредственно не связана с геометрическими характерис тиками областей. Однако можно взять гармоническую в полупрост ранстве функцию, которая на границе полупространства Хг = О совпадает с заданной функцией 1Ґ. Тогда форма (АіГД) будет равна интегралу от квадрата градиента гармонической функции по полупространству. В [62] интегралы от квадрата градиента по трехмерной области встречаются при доказательстве изопериметричес-кого неравенства для электростатической емкости. В той задаче поверхности уровня функции не имеют критических точек, без края и вложны одна в другую. В нашем случае поверхности уровня имеют форму чаши или нескольких чаш и могут иметь критические точки. В [62J в задаче об электростатической емкости проводится симметризация Штейнера поверхностей уровня относительно различных плоскостей. В рассматриваемой задаче благодаря тому, что поверхности уровня в виде чаш также вложены друг в друга, удается ввести операцию симметризации относительно плоскостей, перпендикулярных плоскости Х- = 0. Введенная операция симметризации яв-ляется несколько более общей, чем симметризация Штейнера поверхностей уровня, так как допускает наличие критических точек функции. ВЇЄ критических точек введенная симметризация совпадает с симметризацией поверхностей уровня. Поскольку множество критических точек у гармонической функции имеет меру ноль, удается воспользоваться техникой, развитой в Гб2], и завершить доказательство теоремы І.І.
Применимость метода к решению некоторых смешанных задач и примеры расчета
Отсюда получаем, что n - "U .Действительно, покажем, что AU - AU B смысле И0. Если это неверно, то в силу конечномерности АЁ а, и ограниченности множества AUAft следует, что существует подпоследовательность Аи ц » ; сходящаяся к
Таким образом, существует несколько элементов, принадлежащих /\ о, ) на которых реализуется минимум выражения ([ A u„--f IIо7 /\Ua АН ; что невозможно. Из сходимости AtXn/ — AUaco следует U. —- а оо в силу непрерывности обратного оператора. Теорема 2.2 доказана.
Заметим, что Ы приближение решения в Е а получаемое по методу минимума квадратов при использовании базиса Если подпространства А ru таковы, что U А Е плотно в Н0? п то приближенные решения при 1- о сходятся к точному. Для метода минимума квадратов необходимо вычислять величи ны что часто бывает очень сложно сде лать из-за того, что трудно получить результат применения опера тора А к базису Є і . В предлагаемом методе необходимо вычис лять величины C L » А BV? к ) в ряде случаев удается так подо брать к ) что А В" К7 а вследствие этого и соответствующие скалярные произведения достаточно просто вычисляются. Поиск ми нимума $ [ -ц) сводится к решению системы линейных уравнений относительно С і cl[LCel, (ej A,,B JK,)]--tt,6fl,)(ej A, BfK) (2.7)
Если удается построить полную, линейно независимую систему ,..., ,.- зН0,ч ек, ик»в, чюА в»р./еім вч;-) и (Ч %- )о легко вычисляются, то ортонормированный базис v A v.. ; р,. строится путем ортогонаяизации системы ..,
Рассмотрим уравнение (1.5) задачи о трещине нормального разрыва в упругом пространстве. В этом случае пространствами И и Н являются Н42,() и И_1/2 ) соответственно. Для применения второй разновидности метода введем пространство И0= L2C&-). В качестве пространства R выберем также Ьг (6-) а оператор & положим единичным, т.е. 8lT=2/\
Если строить систему ,..- ,vfp,-v ортого-нализируя Ч в смысле скалярного произведения в Н л (необходи-мые для этого величины (A4 J_ j М ) легко вычисляются), то получаемые приближенные решения будут соответствовать решениям, получаемым по методу Дубнова-Галеркина. Если строить ,,.-, Р)... ортогонализируя 4х Г в смысле Lz (О (необходимые для ортого-нализации скалярные произведения СН »Ч$) вычисляются совсем просто), то приближенные решения будут соответствовать решениям, получаемым с помощью метода минимума квадратов.
Способ построения элементов базиса 6 ,-,6 ,,.. будет ясен из рассмотрения конкретных примеров. Он ничем не отличается от аналогичных построений в традиционных вариационных методах.
Нетрудно видеть, что предложенные способы получения приближенных решений применимы и к задачам о трещинах, описываемым уравнениями, разрешимость которых исследована в приложении. Пространствами Н и Н здесь являются пространства вектор-функцийи
Ортонормированный базис --, ,... может быть получен путем ортогонализапии вектор-функций, каждая компонента которых является функцией типа , 00. Отметим, что предложенные методы применимы также к решению контактных задач, где снова можно использовать функции (х).
Поскольку при решении конкретных примеров, рассмотренных ниже, были использованы функции У [%) перепишем формулу (2.8) в частном случае 6 = 2
Локальные и интегральные оценки решений
Интегродифференциальное уравнение (3.2) описывает линейную работу арматуры. Это уравнение может соответствовать также задаче о трещине, между поверхностями которой имеется клеевой слой. Если не учитывать возможности разупрочнения, считая что с увеличением раскрытия увеличивается сопротивление ему, то следует положить, что d (x Х-г) А Это мы в дальнейшем и будем предполагать.
Поскольку, по доказанному в гл. I, (Au,Uj / const lift , то из условия с1(У) /0 следует, что уравнение (3.2) при pCx V\_ z СО имеет и единственное решение
Так же, как и в случае отсутствия связей, нетрудно видеть, что уравнения (3.1) , (3.2) являются граничными для гармонической в полупространстве Х3 0 функции, т.е. существует и единственная функция Ф (л 1,Хг,% )7 удовлетворяющая условиям Ниже для решений сформулированной задачи доказаны теоремы сравнения и изопериметрические неравенства, аналогичные тем, которые были доказаны для задачи в случае отсутствия связей. Причем, как уже указывалось в главе I, доказанные здесь теоремы сравнения несколько более сильные, чем полученные в [20J .для задачи без связей, так как утверждают строгие неравенства, допускают знакопеременные нагрузки и возможность налегания поверхностей трещин. Случай налегания поверхностей трещин здесь рассматривается таким же образом, как и случай, когда налегание отсутствует. Кроме этого, доказаны теоремы сравнения по функции d 00 7 характеризующей жесткость связей. Проведены численные расчеты задач о круговой и прямоугольных трещинах при различных значениях параметра связей. Решение для круговой трещины получено путем численной реализации интегрального уравнения, к которому в этом случае сводится уравнение (3.2), а для прямоугольных трещин - с помощью приближенного метода, изложенного в главе 2. Локальные и интегральные оценки решений
Сначала докажем теоремы сравнения для решений уравнений вида (3.2). Доказательства здесь, так же как и в случае отсутствия связей, опираются на тот факт, что уравнение (3.2) связывает граничные значения гармонической в полупространстве функции и ее нормальной производной.
Доказательство. Воспользуемся формулировкой задачи (3.3). Обозначим гармоническую функцию ИСх Х -Л при этомUO zA)5 -Іі(уд,Хг). Допустим, что утверждение теоремы 3.1 неверно. В этом случае найдется точка СХл,Х (г; где ИСХлДг О. Если обозначить точку, в которой LL[у.л,хг) достигает минимума через
Здесь было учтено, что в силу сделанных предположений и теоремы 3.1 IX, 0^»**,0)>0. Поскольку WCtfXzp)І'ЬХг*'0> приходим в противоречие с тем, что VС^А'У-г., %ъ) достигает максимума в точке С X* ,Хг , 0"). Теорема доказана.
Теоремы 3.1-3.3 позволяют находить двусторонние локальные оценки решения задачи, если известны решения для других областей, функций d(x) и нагрузок р(х). Из этих оценок следуют также оценки коэффициентов интенсивности напряжений.
В главе I из теорем сравнения были получены изопериметри-ческие оценки коэффициентов интенсивности напряжений для выпуклых областей G- при однородной нагрузке р= const >0 в терминах геометрических характеристик области (1.70), (I.7I). Здесь, благодаря теоремам 3.1 и 3.2, можно получить аналогичные оценки в случае р = con & , cU const-.
Поскольку р>0 , из теорем 3.1 и 3.2 следует, что коэффициенты интенсивности положительны и если (г0 с G- с 0гл , причем границы всех областей касаются в точке М , то коэффициенты интенсивности напряжений в этой точке для областей G-0, G-, G- л связаны неравенствами N& См)бЦ/ CM)* Не СМ), где H& (M) -коэффициент интенсивности напряжений в точке М для области б-.. Далее можно действовать так же, как в главе I (п. 1.4). Цусть Q-выпуклая область и кривизна кривой Ъ б- изменяется в пределах
Изопериметрические неравенства. Интегральные оценки решений
Численные результаты, приведенные в табл. 3.1-3.4, удовлетворяют доказанным выше теоремам сравнения. А именно: значения коэффициентов интенсивности напряжений в середине стороны квадрата выше коэффициентов интенсивности напряжений для описанной круговой трещины для любого значения і0 7 также для любого "t 0 величины коэффициентов интенсивности напряжений на малой стороне прямоугольника увеличиваются с ростом Ol и значения коэффициентов интенсивности напряжений в точке (2;1) для Q. = 4 больше их значений в точке (0;1) для OL = 2, а значения коэффициентов интенсивности напряжений в точке (1;1) для Q = 2 выше значений в точке (0;1) для квадрата.
Результаты расчетов показывают, что с ростом параметра 0 эффект увеличения коэффициентов интенсивности напряжений на общей части контуров при расширении области снижается. Действительно, величина относительного различия коэффициентов интенсивности напряжений в середине стороны квадрата и на вписанном в него круге ((( к6- к)/ кб где "к& "к коэффициенты интенсивности напряжений для квадратной и круговой трещин соответственно) , выраженная в процентах, приблизительно составляет при-і0=0-16#, 1о = 0,2 - 13,б, t0 = 0,4 - II,G5S И і = 0,8 - 7,5 . Относительное различие между значениями коэффициентов интенсивности напряжений в середине малой стороны прямоугольника с Q = 4 ( М(/») ) и квадрата С С Г" )/ С4)) составляет для iQ = 0 -6,1 , t0 = 0,2 - 4,8 , t0 = 0,4 - 3,8 , {Q = 0,8 - 2,4 . Различие между величинами коэффициентов интенсивности напряжений в серединах малых сторон прямоугольников с Q = 4 ( f/ )) и Q=2 С (м)7(№чГ"а))/0;составлящее при і = 0 - 1,2$, при возрастании і до 0,8 почти исчезает и составляет всего 0,5%. Различие между коэффициентами интенсивности напряжений в серединах больших сторон прямоугольников oOl =4И Ol =2 также убывает с 8,1$ при iQ = 0 до 4,6$ при Ї = 0,8.
Другим интересным свойством решений, обнаруженным в результате анализа численных данных табл. 3.2-3.4, является стремление к выравниванию коэффициентов интенсивности напряжений вдоль большей части контура (вне окрестностей угловых точек) при увеличении параметра t 0 . Рассмотрим относительное различие между значениями коэффициентов интенсивности напряжений в серединах малой и большой сторон прямоугольников. Для прямоугольника с Q = 2 это различие составляет при -fc = 0 - 11,6$, "t0 = 0,2 -10,2$, o = 0,4 - 8,9$, t0 = 0,8 - 7,5$. .Аналогичные данные для прямоугольника с О. = 4 выглядят следующим образом: і = 0 IV,7$, + = 0,2 - 15,5$, + = 0,4 - 13,8$, і = 0,8 - 11,3
Эти результаты показывают, что рассматриваемое различие с увеличением х убывает. К аналогичным выводам можно прийти, если анализировать различие между значениями коэффициентов интенсивности напряжений в разных точках на стороне прямоугольника и в ее середине. Величины отношения разности между коэффициентами интенсивности напряжений в серединах сторон прямоугольника и в точках (0,lQl ;1) большой и (Q.;0,ll ), і = 4,...,9 малой сторон к значению в середине стороны представлены в табл. 3.5. Рассмотрение начинается с точек (0,40. ;1) и (Q, ;0,4) большой и малой сторон, поскольку величины коэффициентов интенсивности напряжений в более близких к середине точках очень мало отличаются друг от друга, в особенности для прямоугольника с Q. = 4 и, как было отмечено в главе 2, для прямоугольника с отношением сторон 1:4 в результате малых погрешностей вычислений возникла даже незначительная немонотонность (не превышающая 0,5$) изменения коэффициентов интенсивности напряжений при движении от середины большой стороны к угловой точке. В табл. 3.5, как и прежде, верхняя часть строк относится к большой стороне прямоугольника, нижняя - к малой. Результаты представлены в процентах.
