Содержание к диссертации
Введение
1. Исследования в области механики разрушения упруго-пластических тел 4
2. Напряжённо-деформированное состояние упругопласти-ческой пластины с движущейся трещиной нормального разрыва.
2.1.Поля напряжений и деформаций в пластической области в рамках теории малых упругопластических деформаций 18
2.2. Представление функции напряжений в упругой области 27
2.3.Построение контура пластической зоны 29
2.4.Напряжённо-деформированное состояние вблизи конца страгивающейся трещины (изотропная теория течения с линейным упрочнением) 54
2.5.Страгивающаяся трещина в рамках модели плоского тела 64
2.6.Напряжения и деформации в области разгрузки... 80
3. Построение областей активного догружения и разгрузки у конца трещины в момент её страгивания 84
3.1.Области разгрузки и активного догружения в рамках деформационной теории пластичности 84
3.2. Построение границ областей полного, неполного догружения,разгрузки и определение соответствующих постоянных интегрирования (модель плоского тела) 88
3.3.Зоны разгрузки и активного догружения в условиях изотропной теории течения с линейным упрочнением. Определение соответствующих постоянных интегрирования
4. Зависимость критической нагрузки для тела с трещиной от определяющих соотношений различных теорий пластичности
4.1.Энергетический критерий упругопластического разрушения 109
4.2.Баланс энергии в рамках деформационной теории пластичности
4.3. Энергетический критерий локального разрушения в рамках модели плоского тела 124
4.4.Энергетический критерий локального разрушения в случае соотношений теории течения с изотропным упрочнением
Основные результаты и выводы
Список основной использованной литературы... 142
Приложение
- Исследования в области механики разрушения упруго-пластических тел
- Представление функции напряжений в упругой области
- Построение границ областей полного, неполного догружения,разгрузки и определение соответствующих постоянных интегрирования (модель плоского тела)
- Энергетический критерий локального разрушения в рамках модели плоского тела
Введение к работе
В течение последних десятилетий на стыке классической механики деформируемого твердого тела, физики твердого тела и химии поверхностных явлений сформировалась быстро развивающаяся область науки о прочности материалов - механика разрушения твердых тел. Использование разнообразных конструкционных материалов в авиационной и космической технике, в мощных энергетических установках и судостроении при экспериментальных условиях их работы-высоких уровнях нагружения и температуры, поиски путей повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных конструкций придают проблемам механики разрушения особую актуальность.
Предает механики разрушения в широком понимании этого термина не нов, вопросы прогнозирования прочности конструкций в течение всего периода технической цивилизации оставались объектом внимания как естествоиспытателей, так и специалистов по проектированию и эксплуатащш аппаратов и сооружений самого разнообразного назначения. Однако степень учета и использования запасов несущей способности конструкций на различных этапах являлась далеко не одинаковой.
Конкретными вариантами критериев разрушения в разных случаях являются наибольшее главное удлинение или напряжение,главное касательное напряжение,энергия формоизменения и т.п. Основным звеном прочностного расчета при этом является отыскание полей тензора напряжений и вектора перемещений или их скоростей в рамках соответствующей краевой задачи с выбранной реологической моделью тела и заданными внешними параметрами, тогда как детали процесса разрушения считаются несущественными и исключаются из рассмотрения.
Такой подход,предполагающий, что тело яєляется бездефектным, а потеря несущей способности происходит в узкой области изменения внешних параметров ( с феноменологической точки зрения, мгновенно) является удовлетворительным далеко не всегда, на что указывают имеющиеся экспериментальные данные и случаи разрушения конструкций при напряжениях ниже технического предела прочности /68/. С другой стороны, достижение критического уровня усилий и наступление локального разрушения в некоторой точке тела отнюдь не обязательно приводит к разрушению тела в целом, поэтому привлечение в этих случаях классических теорий предопределяет недоиспользование запасов прочности и находится в противоречии с основной тенденцией современного машиностроения - резкого изменения веса и габаритов конструкций.
Основная идея механики разрушения сводится к следующему/%з7. Переход элемента деформируемого тела из сплошного состояния в разрушенное сопровождается некоторым промежуточным состоянием деформируемого тела, которое обязательно необходимо учитьшать при решении задачи о прочности тела с дефектами типа трещин. Важнейшей особенностью областей деформируемого твердого тела,где возникают такие промежуточные состояния, является то, что в этих областях материал всегда деформирован за предел упругости и что именно здесь совершаются наиболее интенсивные процессы пластического течения,взаимодействия с окружающей средой, диффузионные процессы,повреждаемость материала и другие явления,предопределяющие в конечном счете локальное разрушение материала. Учет промежуточных состояний материала в рамках механики сплошных сред требует введения новых (по сравнению с классическими) расчетных концепций и моделей.
В основе современной механики разрушения лежат модели разрушения твердых тел. Их условно можно разбить на две группы /38,76j.
К первой относятся однофазные модели. В этих моделях элемент среды при разрушении сразу переходит из сплошного состояния в разрушенное. Наиболее известным представителем этой группы является модель Гриффитса-Ирвина 98,106]. Ко второй группе относятся более сложные двухфазные модели,согласно которым разрушение элемента среды состоит из двух последовательных фаз. Вначале элемент среды переходит в некоторое промежуточное состояние (к примеру, расслоение в полимерах), а затем во второй фазе происходит его окончательное разрушение. Представителем этой группы является модель М.Я.Леонова - В.В.Панасюка [46,50].
К известным критериям разрушения относятся энергетический критерий Гриффитса[98,99], силовой критерий Ирвина [І0б], критерий, основанный на инвариантности J - интеграла, Черепанова-Райса/87/, [іІЗ], критерий критического раскрытия трещины (КРТ или СОД) [50,125/, интегральный вариационный критерий [54,55,57_/.
Описание указанных моделей и критериев, а также моделей и критериев, не отмеченных выше, и библиографию по данному вопросу можно найти в монографиях Л.И.Седова [77], Г.Н.Савина [75], Г.П.Черепанова [84] , В.В.Панасюка [64] , В.З.Партона и В.М.Морозова [65j, Л.М.Качанова [Зі] и в обзорных статьях [l,24,27,66,76J.
Основоположником современной механики разрушения справедливо считают А.А.Гриффитса [98,99]. Игл была предложена модель разрушения, исследующая разрушение тела,наделенного разрывом сплошности -трещиной. Размер последней, представляемой в виде тонкого разреза, считается известным и превышающим на несколько порядков характерный параметр структуры материала (например, зерна поликристаллического агрегата), что позволяет использовать в задачах о трещинах феноменологические теоріш (упругости,пластичности и др.), развитые на основе кощепции сплошной среды. Критерий Гриффитса основьшается на равенстве изменения полной энергии упругого тела Ш , высвобождаемой при продвижении трещины и работы &Д , необходимой для образования ее новой поверхности №= GruS, (1Л) Величина и имеет смысл удвоенной поверхностной энергии 2 Г упругого тела и является константой материала.
К числу недостатков энергетического критерия (l.l) относится его неудобство в вычислительном аспекте,связанное с трудностями определения величины LWJUO для тел с усложненной геометрией границы. Этот недостаток был в значительной мере устранен Ирвином [I06J, показавшшл, что вследствие локального характера разрушения хрупкого тела скорость высвобождения энерггошИуМ зависит лишь от коэффициентов интенсивности напряжений/ MJJ »П// / характеризующих сингулярность для основных типов напряженного состояния около кончика трещины; критерий разрушения, называемый при этом силовым, принимает вид где Л" является квадратичной функцией СЕОИХ аргументов или, в более общем случае,определяется экспериментально.
Разрушение металлов, как правило,сопровождается предварительным появлением и развитием пластических деформаций около вершины трещины. Характерный линейный размер области, где возникают и развиваются пластические деформации, может быть соизмерим с размерами исходного дефекта или всего тела. В таких случаях применение концепции Гриффитса-Ирвшіа (без дополнительных поправок) уже неправомерно.
Основываясь на экспериментальных данных, Ирвин и Орован fl06,II2j выдвинули концепцию квазихрупкого разрушения,согласно которой пластические деформации при распространении трещины сосредотачиваются в тонком приповерхностном слое трещины. Пластическая зона считается малой в сравнении с длиной трещины 21 ж другими характерными параметрами і геометрии тела с трещиной. Энергия, затрачиваемая на образование единицы поверхности трещины,выражается в виде суммы удельной работы против сил молекулярного сцепления - поверхностного натяжения G и удельной работы пластических деформаций. При вычислении коэффициентов интенсивности К в рамках обычного упругого анализа длину трещины с с следует увеличить на величину, равную диаметру пластической зоны ("поправка на пластичность"). Для каждого из основных типов состояний (нормального отрыва,продольного или поперечного сдвигов) соотношение (1.2) запишется в виде
Вязкость разрушения Н определяется обычно опытным путем для образца с усталостной трещиной регламентированных размеров.
Такой учет упругопластических эффектов при страгивании трещины является весьма грубым и может быть оправдан лишь для достаточно малых пластических зон,стесненных упругими. Вопросы экспериментальной проверки, уточнения границ щжменимости критерия [30,68J и методов вычисления коэффициентов интенсивности[10,58, 65,84j с достаточной полнотой отражены в монографиях и периодической литературе.
Если пластическая зона около кончика трещины не мала,понятие коэффициентов интенсивности напряжений и критерии (1.2),(1.3) утрачивают смысл. Тем не менее при монотонном нагружении нелинейно упрчняющегося тела решение сингулярно по напряжениям [22,23,84,104,105,114,115] :
Ру - р GyOP), Г - 0 (1.4)
(:. - ограниченные при р 0 функции полярного утла / ; п - показатель особенности,зависящий от параметра нелинейности диаграммы 6 о() при 6 ). Коэффициент & определяет согласно [85J критерий локального разрушения,аналогичный (1.3)
І = (1.5)
В [84] была сформулирована общая теория особенностей,допускающая энергетическое истолкование, в раглках которой поток энергии в кончик растущей трещины определяется в шде Г -- fc[(V p!% Ui,Jnx -щх $ J/z . (1.6)
функционал (1.6) вычисляется на заданном распределенииїдо любому малому контуру С лежащему в плоскости нормального сечения трещины и окружающему ее кончик (U - удельная внутренняя энергия; /1 #. - компоненты внешней нормали и вектора потока тепла на С ; р - плотность материала, 1 = 1) - скорость распространения трещины) .
Почти одновременно и независимо/ - интеграл (1.6) рассматривался Райсом [II3J , ограничившимся случаем статики и изотермического деформирования нелинейно упругой среды и (применительно к динамике дислокаций и точечных дефектов) в работах Сандерса, Эшелби, Аткинсона и других авторов [ъ] .
Условие подрастания трещины в теории Черепанова является непосредственным следствием первого начала термодинамики и имеет вид Г = Л -7) Величина Г ,равная удвоенной згДельной работе разрушения считается в условиях квазихрупкого разрушения константой; в [84] приведены примеры построения в этом приближении связи между критическими параметрами при плоском напряженном состоянии упругого идеально-пластического тела в рамках модели Дагдейла. Одним из принципиальных вопросов, связанных с обоснованием Г - критерия в упругопластической теории трещин,является его согласование с моделями структуры кончика трещины. Согласно f84] , развитие трещины при наличии сопротивления материала разрушению { 0 ) может описываться лишь классом решений упругопластичес-кой задачи,обеспечивающим асимптотику подинтегральных членов в (1.6) порядка Л . Если,в частности,влияние термодинамических членов в (1.6) невелико, указанное требование эквивалентно условию на поля напряжений и деформаций 6Lj Єif г 19 г а (1.8)
Для нелинейно упругих тел (или упругопластических тел с определяющими соотношениями типа деформационной теории без разгрузки) условие ненулевого притока энергии в кончике трещины (1.8) выполняется. В то же время, как показывает решение задачи о квазистатическом стационарном распространении трещины при продольном сдвиге идеально пластического материала / 94j , в материалах, для которых упругая разгрузка не следует тому же правилу, что и активное нагружение, особенность произведения главных членов Ьл , с Л оказывается слабее, чем в (1.8). Универсальность этого вьгоода была установлена в (20,25,79,80j для широкого круга определяющих уравнений пластичности,режимов роста и типов напряженных состояний. Ранее,применительно к некоторым типам наследственных вязкоупругих сред,аналогичное заключение было сделано авторами работы [38J (см. также [30] ).
Возможные способы построения решений задач о растзтцей трещине, согласующиеся с критерием (1.7) обсуждались в[2б/, /38J , J43J. В частности, в работе [2б] В.А. Ибрагимова и В.Д.Клюшникова отмечено, что выражение для Г в форме (1.6) аппелирует к понятию энергии деформаций,корректному вообще лишь для определяющих уравнений конечного (деформационного) типа.
В работе [38/ Кострова В.В.,Никитина Л.В.,Флитмана Л.М. бы ла введена классификация континуальных моделей кончика трещины, связанная с возможными размерами Д - зоны разделения материала в кончике. Если величина А равна нулю, разрушение считается хрупким; в этом приближении отыскиваются решения в линейной механике разрушения. Для упрутопластических сред такое приближение, как это следует из указанных выше результатов, оказывается недостаточным и должно быть заменено условием ДФО (неидеально хрупкий тип разрушения). Величина потока энергии в кончике трещины, соответствующая ненулевому значению удвоенной удельной работы разрушения / , достигается в этом случае, как показывает,например, полученная в [26] оценка, и для слабых особенностей Щ; , 8ц , и, в частности, для ограниченных их значений при Г- 0 .
Аналогичные представления были развиты ранее из иных соображений в линейно упругих моделях Леонова-Панасюка /50/ , Барен-блатта [2] . Некоторые численные величины А применительно к пластичности содержатся в [43 J .
В работе [126] сделан краткий обзор основных математических моделей квазистатического распространения трещины нормального разрыва в упругопластическом теле.Более подробный сравнительный анализ проводится лишь по трем моделям квазистатического разрушения, предложенным в разное время Черепановым [83], Внуком [і2б] и Си [120] .
К числу наиболее типичных допущений,принимаемых в задачах о концентрации в условиях пластичности, можно отнести использование конечных определяющих зфавнений деформационной теории пластичности вместо теорий в приращениях. В условиях монотонного на-гружения можно ожидать, что относительная погрешность сверхтонкой структуры мала и стремится к нулю при Г О , если указанная замена сохраняет асимптотику при jf- t °° (jf - интенсивность деформации сдвига) одноосной связи вторых инвариантов девиато-ров напряжений и деформаций при степенном упрочнении [84] . Это следует из того, что нагружение в элементах среды вблизи кончика является монотонным и асимптотически сближается с лучевым, как это отмечалось Райсом [П4] и непосредственно очевидно, если использовать теорему А.А.Ильюшина о простом нагружении [29] .
Строгое обоснование концепции, а также потребности нелинейной механики разрушения требует детальных математических исследований закономерностей пластического течения около движущейся трещины. Обычно использовавшийся при этом подход основывался на экстраполяции решений для неподвижной трещины на случай распространения трещины. Фактически указанная методика оказывается неточной, поскольку траектория нагружения в пространстве для любого элемента, лежащего в достаточно малой окрестности конца продвигающегося разреза существенно отличается от таковой при фиксированном положении разреза и увеличивающейся внешней нагрузке [20,109] . Это обстоятельство было впервые отмечено в 1971 г. А.Чайтли и Ф.Макклинтоком [94] , рассмотревшим задачу о квазистатическом стационарном распространении трещины продольного сдвига Е идеально упругопластическом материале. Основное изменение картины локального деформирования оказывается связанным прежде всего с уменьшением порядка особенности по деформациям приГ-?# впереди трещины:
Y» 6t(7t) , Yx lnr/l (1.9) „ ft в сравнении с особенностью порядка Г для неподвижного разреза [ш] . Сходные с отмеченными выше результаты относительно порядка сингулярности были получены ранее в [69,84] для плоскодеформиро ванного состояния, а также в /iioj . Дальнейшее развитие указанное направление получило в работах Л.И.Слепяна [79,80j . В первой из них задача Чайтли-Макклинтока изучена применительно к случаю- изотропного упрочнения по линейному закону (деформационная теория) и сверхтонкой структуры. Основные выводы подтверждают сделанное в [102] заключение о снижении порядка особенности по деформациям и напряжениям в первичной пластической зоне и наличия совпадающей с разрезом особой линии для деформаций їу Плоская деформация около конца идеальнопластической трещины рассматривалась в другой цитированной статье. Показано, что при стра-гивании трещины у ее конца возникают области разгрузки. Доказано, что тензор напряжений в окрестности конца трещины имеет логарифмическую или более сильную особенность.
Исследование сверхтонкой структуры конца трещины продольного сдвига проводилось и в работе В.А.ИбрагимоЕа, В.Д.Кшопшикова [25J. Здесь в качестве рабочего использовался вариант теории скольжения для антиплоского тела. При этом бесконечно малая окрестность конца страгивающейся трещины полностью охвачена областью неполного догружения, что свидетельствует о непропорциональности траектории нагружения для лежащих здесь элементов среды. Зоны полного догружения и разгрузки вырождаются в линии. Сделан вьшод об уменьшении порядка особенности по напряжениям. Исследована зависимость показателя особенности от упругопластических свойств материала. Аналогичные результаты для трещины нормального отрыва в условиях плоской деформации получены в работе [4IJ . В работе В.А.Ибрагимова (20/ рассматривается также асимптотическое решение задачи о квазистатическом стационарном росте трещины продольного сдвига в упругопластическом материале в рамках теории течения с линейным трансляционным упрочнением. В работе [19/ В.А.Ибрагимовым приведено решение упругопластической задачи о стационарном росте тре щины продольного сдвига с учетом ненулевого размера зоны разрушения перефончиком. Показано, что в отличие от решений в классической постановке (с непрерывным полем перемещений) удельная работа разрушения отлична от нуля.
Попытка учета в общем энергетическом балансе пластической диссипащш за фронтом стационарной трещины с пластической зоной Дагдейла при плоском напряженном состоянии сделана в работе Д.Хатчинсона fl03] .
Таким образом, одним из наиболее существенных аспектов при исследовании перераспределения напряженно-деформированного состояния в момент страгивания трещины является вышеуказанное снижение порядка особенности главных членов по напряжениям и деформациям, поскольку последние определяют энергетический баланс вблизи кончика трещины.
Точное количественное и качественное описание указанных особенностей локального разрушения твердых тел возможно только в рамках теорий пластичности, учитывающих историю нагружения и изменение порядка особенности по напряжениям и деформациям у конца трещины. Отсюда ясно, что задача по определению влияния пластических деформаций у конца трещины,определяемых на основании указанных теорий, на величину критических нагрузок для тел с трещинами является важной и актуальной.
Основной целью настоящей работы является исследование влияния пластических деформаций,определяемых в рамках: различных теорий пластичности, на найденные на основании энергетического критерия локального разрушения зависимости между критическими параметрами.
При этом рассматривается упругоплаотическая пластина с трещиной нормального разрыва в условиях плоской деформации. Поля напряжений и деформаций в случае фиксированной трещины опреде ляются (приближенно) с помощью соотношений теории малых упруго-пластических деформаций. Перераспределение напряженно-деформированного состояния в момент страгивания трещины находим,используя в пластической области соотношения различных теорий пластичности, в том числе деформационной, теории течения с изотропным упрочнением и теории пластичности,основанной на концепции скольжения (с поверхностью нагружения с угловой точкой). При этом предполагается, что отношение максимального размера пластической зоны к длине трещины есть малая (но конечная) величина.
Таким образом, в отличие от решений классического типа, обладающих точечным энергостоком, в кончике трещины имеем некоторую область, диссипация энергии внутри которой (работа напряжений на пластических деформациях плюс поверхностная энергия) отождествляется с энергетическими затратами на продвижение трещины. Энергетический критерий локального разрушения остается в силе. При этом изменение потенциальной энергии пластины, определяемой как работа напряжений на соответствующих упругих деформациях, подсчитывается по всей площади пластины. Вследствие конечности размеров зоны пластических деформаций пластическая работа отлична от нуля, несмотря на то, что порядок особенности по напряжениям и деформациям здесь уменьшается (в случае применения соотношений теории скольжения). Отметим, что пластическая зона у конца трещины при страгивании разбивается на области разгрузки и авктивного догружения. Причем последняя в случае теории скольжения состоит из двух подобластей: полного и неполного догружения.
Энергетический критерий локального разрушения применяется в рамках трех вышеуказанных теорий. Это позволяет сравнить на его основе зависимости между критическими параметрами (длиной трещины и нагрузкой) в каждом из рассмотренных случаев и оценить, насколько существенно использование той или иной теории пластичности при применении энергетического критерия.
Научная новизна. Впервые учтено влияние пластических деформаций , определенных в рамках теории с сингулярной поверхностью нагружения величины предельных нагрузок для тел с трещинами, найденные на основании энергетического критерия локального разрушения. Показано, что это влияние может быть существенным. В рамках варианта теории скольжения для плоского тела исследовано перераспределение напряженно-деформированного состояния упруго-пластической пластины с трещиной нормального разрыва в момент страгигания последней. При этом предложен метод построения полного решения упругопластической задачи об упрочняющемся теле с фиксированной трещиной нормального разрыва в случае плоской деформации.
Достоверность.научных результатов, полученных в настоящей работе, следует из непротиворечивости исходных положений, согласованности их с основными законами механики континуума и известными опытными данными.
На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:
- определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластической пластины с фиксированной трещиной нормального разрыва и построение контура пластической области (деформационная теория пластичности);
- решение задачи о перераспределении напряженно-деформированного состояния в момент страгивания трещины в рамках теории пластичности , основанной на концепции скольжения (с поверхностью нагру-жения с угловой точкой);
- перераспределение напряженно-деформированного состояния при страгивашш трещины в рамках теорий пластичности с регулярной поверхностью нагружения (деформационной и теории течения с линейным упрочнением);
- построение на основе энергетического критерия локального разрушения аналитических зависимостей между критическш-ж параметрами в каждом из случаев применения соотношении той или иной теории пластичности.
диссертационные исследования соответствуют Координационному плану научно-исследовательских работ АН СССР на I98I-I985 гг. "Исследование статики и динамики упрутопластических систем" (гос. регистр. Ш 0182.4.059У43 от 17.06.1982 г.) по проблеме "Механика деформируемого твердого тела" (код I.I0.2).
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на I Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов,1983 г.), УШ Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь,1983 г.), на Всесоюзном семинаре-совещании "Физико-химическая механика хрупкого разрушения конструкционных материалов" (Славское,1982 г.), на трех научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Львовского политехнического института (Львов,I98I-I983 гг.), на научном семинаре кафедры теоретической механики ДТУ.
По материалам диссертации было опубликовано 7 печатных работ.
Исследования в области механики разрушения упруго-пластических тел
В течение последних десятилетий на стыке классической механики деформируемого твердого тела, физики твердого тела и химии поверхностных явлений сформировалась быстро развивающаяся область науки о прочности материалов - механика разрушения твердых тел. Использование разнообразных конструкционных материалов в авиационной и космической технике, в мощных энергетических установках и судостроении при экспериментальных условиях их работы-высоких уровнях нагружения и температуры, поиски путей повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных конструкций придают проблемам механики разрушения особую актуальность.
Предает механики разрушения в широком понимании этого термина не нов, вопросы прогнозирования прочности конструкций в течение всего периода технической цивилизации оставались объектом внимания как естествоиспытателей, так и специалистов по проектированию и эксплуатащш аппаратов и сооружений самого разнообразного назначения. Однако степень учета и использования запасов несущей способности конструкций на различных этапах являлась далеко не одинаковой.
Конкретными вариантами критериев разрушения в разных случаях являются наибольшее главное удлинение или напряжение,главное касательное напряжение,энергия формоизменения и т.п. Основным звеном прочностного расчета при этом является отыскание полей тензора напряжений и вектора перемещений или их скоростей в рамках соответствующей краевой задачи с выбранной реологической моделью тела и заданными внешними параметрами, тогда как детали процесса разрушения считаются несущественными и исключаются из рассмотрения.
Такой подход,предполагающий, что тело яєляется бездефектным, а потеря несущей способности происходит в узкой области изменения внешних параметров ( с феноменологической точки зрения, мгновенно) является удовлетворительным далеко не всегда, на что указывают имеющиеся экспериментальные данные и случаи разрушения конструкций при напряжениях ниже технического предела прочности /68/. С другой стороны, достижение критического уровня усилий и наступление локального разрушения в некоторой точке тела отнюдь не обязательно приводит к разрушению тела в целом, поэтому привлечение в этих случаях классических теорий предопределяет недоиспользование запасов прочности и находится в противоречии с основной тенденцией современного машиностроения - резкого изменения веса и габаритов конструкций.
Основная идея механики разрушения сводится к следующему/%з7. Переход элемента деформируемого тела из сплошного состояния в разрушенное сопровождается некоторым промежуточным состоянием деформируемого тела, которое обязательно необходимо учитьшать при решении задачи о прочности тела с дефектами типа трещин. Важнейшей особенностью областей деформируемого твердого тела,где возникают такие промежуточные состояния, является то, что в этих областях материал всегда деформирован за предел упругости и что именно здесь совершаются наиболее интенсивные процессы пластического течения,взаимодействия с окружающей средой, диффузионные процессы,повреждаемость материала и другие явления,предопределяющие в конечном счете локальное разрушение материала. Учет промежуточных состояний материала в рамках механики сплошных сред требует введения новых (по сравнению с классическими) расчетных концепций и моделей.
В основе современной механики разрушения лежат модели разрушения твердых тел. Их условно можно разбить на две группы /38,76j.
К первой относятся однофазные модели. В этих моделях элемент среды при разрушении сразу переходит из сплошного состояния в разрушенное. Наиболее известным представителем этой группы является модель Гриффитса-Ирвина 98,106]. Ко второй группе относятся более сложные двухфазные модели,согласно которым разрушение элемента среды состоит из двух последовательных фаз. Вначале элемент среды переходит в некоторое промежуточное состояние (к примеру, расслоение в полимерах), а затем во второй фазе происходит его окончательное разрушение. Представителем этой группы является модель М.Я.Леонова - В.В.Панасюка [46,50]. К известным критериям разрушения относятся энергетический критерий Гриффитса[98,99], силовой критерий Ирвина [І0б], критерий, основанный на инвариантности J - интеграла, Черепанова-Райса/87/, [іІЗ], критерий критического раскрытия трещины (КРТ или СОД) [50,125/, интегральный вариационный критерий [54,55,57_/. Описание указанных моделей и критериев, а также моделей и критериев, не отмеченных выше, и библиографию по данному вопросу можно найти в монографиях Л.И.Седова [77], Г.Н.Савина [75], Г.П.Черепанова [84] , В.В.Панасюка [64] , В.З.Партона и В.М.Морозова [65j, Л.М.Качанова [Зі] и в обзорных статьях [l,24,27,66,76J.
Представление функции напряжений в упругой области
Появление малой пластической области у конца трещины влечет за собой перераспределение напряженно-деформированного состояния Ео всей пластине. Ясно, что это перераспределение затронет лишь малую область,окружающую пластическую зону и будет очень слабо сказываться при значительном удалении от ее;. границ. В предыдущем разделе с точностью до постоянных интегрирования определено напряженно-деформированное состояние в пластической области у конца неподвижной трещины нормального отрыва в бесконечной пластине, растягиваемой на границе усилиями интенсивности р . Опишем поля напряжений и деформаций в упругой области. Как и ранее, полагаем деформированное состояние плоским. Упругие напряжения и деформации должны удовлетворять уравнениям равновесия и условию совместности деформаций (п.1.2), (п.1.3). Тождественно удовлетворяя уравнениям равновесия, введем . функцию напряжений Эри Ц ( Ґ Ч ) согласно формулам (П. 1.22). Последнюю представим в виде суммы где Ы. 1 (ГЦ ) - функция Эри,определяемая по формулам (п.1.21), (п.1.24) и обеспечивающая распределение напряжений согласно (п.1.23), что отвечает известному решению Н.И.Мусхелишвили задачи о растяжении упругой пластины с прямолинейной трещиной ГбзЛ. Функция (J. (Г,Ф ) определяет поправку к напряжениям (п. 1.23), вносимую появлением пластической области. При этом напряжения, вычисляемые по формулам (п.1.22) имеют вид где (oL: - напряжения по Мусхелипшили (п. 1.23), a 6q - неизвестные поправочные напряжения,определяемые функцией Эри U(r j ij №,4 ) удовлетворяют уравнениям (п.1.2), (п.І.З), условиям симметрии задачи и краевым условиям (п.I.19).Поэтому напряжения Qi. (Г Ч ) должны также удовлетворять всем этим требо- 0 ваниям и, кроме этого, стремиться к нулю при Г- =х= вследствие слабого влияния пластической зоны на распределение полей напряжений и деформации на значительном расстоянии от границ последней. Как следует из уравнения (п.І.І2), в случае упругости функция ЭриЦ(Г4)) является бигармонической. Поскольку функция li ( Г f ) - бигармоническая, то бигармонической должна быть и функция U (Г,Ч )» т.е. Разыскиваем ее в виде ряда по степеням Г , общий член которого по аналогии с (п.1.14) представим в виде Если функция U.roCr jip ) имеет порядок Г , то как следует из формул (2.16),(2.17), соответствующий член ряда в напряжениях имеет порядок Гт" . Тогда для того, чтобы Г- .оо напряжения стремились к нулю,необходимо выполнение условия: m «2 Как было показано в приложении I ,т з/Д , иначе перемещения в конце трещины оказьшаются неограїшченньми.
Объединяя два последних неравенства, получим Подставляя выражение (2.43) в уравнение (2.42), получим уравнение для определения функции Тт (г Ч )t общее решение которого по аналогии с (п.1.17) представим в виде Тт( )гА,со5(т-2)Ч,+А2&і м-Р) + АзСо&тЧ,+ А4 мтЧ 2-45) Удовлетворяя краевые условия (п.1.20), получим Д2=А4=0 лл = п/р (п=0±1,-2у.)Тогда ясно, что условию (2.44) удовлетворяет лишь т = 3/,2 Поскольку п=3 (нечетное), то на основании изложенного в приложении I следует Д, = 5Аз и Учитывая, что функция Цм (Г, ) определена выражениями (п.I.21),(п.1.24), на основании (2.40),(2.43),(2.46) получим U( V-r%pf[A/coS ±coSf)-r -cos2 r(coS4 ).0(r )]/2-47) где А2=(А1+АУ(рИ ) . При этом напряжения в упругой области,определяемые по формулам (п.1.22), принимают вид 64.[r1feAl(5co4,cosf)-2(l-cos24 )+r JK5cos-coSf) ]. Эти выражения отличаются от соответствующих им выражений (п.1.23). л2 (п. 1.24) лишь постоянной интегрирования А2р1! вместо упругой постоянной Ai"2p(L формации у вершины трещины посвящено достаточно много работ как в теоретическом, так и в экспериментальном плане. Решение задач об упрутопластическом равновесии тел с трещинами в точной постановке классических теорий связано с большими математическими трудностями: необходимо найти совместное решение различных уравнений в упругой и пластической областях, а также неизвестную границу раздела этих областей. Одно из первых упрощений для решения этой задачи - представление пластической зоны в виде узкой полосы,компланарной с плоскостью трещины (модель Леонова-Панасюка-Дагдейла 1 48,50,95] ). Однако стали низкой и средней прочности разрушаются, как правило, с относительно большой пластической деформацией у вершины трещины и при достаточно больших напряжениях в нетто - сечении, порядка предела текучести. Разрушению образцов из таких сталей в условиях, близких к плоской деформации,предшествует текучесть в наз лонных плоскостях скольжения, поэтому форма зоны пластической деформации должна быть двухлепестковой, а не в виде узкой полосы на продолжении трещины. Из формул (2.48) видно, что максимальные напряжения имеют место у вершины трещины ( Г4- О ), где возникают первые пластические деформации. Некоторый прогноз развития пластических зон около трещин можно сделать [13,52,108 1 на основании вида областей превышения условия текучести в упругом теле. Была предпринята [12,53І также попытка введения поправочного коэффициента, учитывающего пластичность материала.
При этом, как и в работах 82,III] , предполагалось, что контур области пластических деформаций около отверстии и трещин геометрически подобен кривой постоянной интенсивности напряжений ТІ_=ТО при условии, что Т[ определяется по упругому решению, to - предел текучести материала. Коэффициент подобия в общем случае зависит от размеров и формы концентраторов напряжений, а также от величины и направления внешних усилий. Нестрогость такого подхода очевидна:возникновение первых пластических деформаций может привести к существенному перераспределению напряжений и тем самым к изменению характера развития пластической зоны,особенно в малоупрочняющихся материалах. Райсом Г71J сделан вывод о том, что развитие пластических зон отличается от такового, предсказуемого на базе упругого решения, тем существеннее, чем меньше упрочнение материала.
Построение границ областей полного, неполного догружения,разгрузки и определение соответствующих постоянных интегрирования (модель плоского тела)
В рамках модели плоского тела зона пластических деформаций в момент страгивания трещины разбивается на три подобласти: разгрузки , полного и неполного догружения. Функции скоростей напряжений Эри LL(r}Vj ъ двух последних областях с точностью до постоянных интегрирования определены Е разделе 2.5. Определим неизвестные постоянные интегрирования из условия непрерывности скоростей напряжений на границах соответствующих подобластей. функции Эри в областях полного и неполного догружения представляются в виде(2.85). Тогда на основании (2.86) имеем функции и параметр /И представляются в виде рядов (П.6.10) по степеням малого параметра JIL . Подставляя эти выражения в соотношения (3.16), с точностью до малых высших порядков получим Как было показано в разделе 2.5 , /Пь= о S. При построении контура пластической области предполагалось, что величина Л У) здесь является малой первого порядка по сравнению с единицей. То же самое предполагалось относительно параметра yzz. . Следовательно, можно считать, что на контуре пластической области (а значит, и внутри ее) ll-OCry. Тогда на основании (3.15),(3.17) следует Функции U opj , Ы(\р) определены формулами (2.147),(2.164),(2.165) и (2.147)(2.170),(2.171) для областей полного и неполного догру- жения соответственно. Напомним, что входящие в них постоянные М » / (ts$ j K=P nJ связаны соотношениями (2.166),(2,167) в области полного догружения и (2.172),(2.173) - в случае неполного догружения. Отсюда, в частности, следует Подставляя выражения /„(W , i/ Vj в соотношения (3.18), с учетом (3.20),(3.21) в зоне полного догружения получим Область пластических деформаций окружена зоной упруго деформированного материала. Скорости напряжений в последней определены по формулам (3.II). Напомним, что эти формулы справедливы в малой окрестности конца трещины,включающейся в себя пластическую область. При страгивании трещины ее поверхность, незагруженная внешними усилиями, увеличивается. Поэтому можно предположить, что область разгрузки примыкает к поверхности трещины, а область полного догружения -к продолжению трещины, так что область неполного догружения лежит между ними.
Скорости напряжений в области разгрузки с точностью до постоянных интегрирования Сй , F3 определены по формулам (3.9). Неизвестные постоянные интегрирования в областях полного,неполного догружения и разгрузки найдем, исходя из условий непрерывности скоростей напряжений на границах указанных областей. Согласно алгоритму метода последовательных приближений скорости напряжений в областях активного догружения представляются в виде рядов по степеням малого параметра fi . При вычислениях мы ограничились лишь двумя приближениями (т.е. с точностью до 0 ( /и )). Условиям непрерывности скоростей наггряжений должно удовлетворять каждое из приближений. В нулевом приближении скорости напряжений в областях полного и неполного догружения определяются по формулам типа (2.98), в которых постоянные М1 , В3 нужно заменить на Jtti , В3-, {с=р}п ) соответственно. Из условия непрерывности напряжений 6у , 0 на границе этих областей следует Лір=Л1п , тогда из равенства напряжений б г шле ем Взр- & . Зона полного догружения граничит с упругой областью.
Тогда из условий сопряжения скоростей напряжений (2.98), (З.ІІ) на общей границе этих областей с учетом вышеуказанного получим Отсюда следует, что в нулевом приближении ( /1=0 ) выражения скоростей напряжений Е областях полного,неполного догружения и упругой области тождественно совпадают. Отметим, что выражения скоростей напряжений в нулевом при-ближений 6"Л можно получить с помощью соотношений (2.147),(3.19), о полагая в последних ju-o , так что Теперь построим границы,разделяющие область разгрузки и неполного догружения Г0ОР) , а также области полного и неполного догружения f)(yj . Согласно сказанному в разделе 2.5 первая из них определится из уравнения а вторая Величины Ы , Xf , определены как функции полярных координат Л , У формулами (2.139), (2.150),(2.136),(2.149),(3.24). Подставляя их выражения в уравнения (3.27),(3.28) и разрешая последние относительно г , получим СУ &СО}Л]]:
Энергетический критерий локального разрушения в рамках модели плоского тела
В разделе 3.2 нами определены границы областей активного догружения и разгрузки в случае применения в пластической области соотношений модели плоского тела. Найдены также значения постоянных интегрирования,входящих в выражения скоростей напряжений, и параметра mi , определяющего уменьшение порядка сингулярности по напряжениям и деформациям у конца трещины ( Л-»- 0 ). Определим теперь скорость изменения пластической работы V Ее. выражение представляется в виде интеграла (4.9).Причем скорости деформаций,определяемые на основании концепции скольжения (в области активного догружения) имеют вид (2.145).Вследствие предположения о пропорциональности траекторіш нагружения элементов среды у конца трещины в момент,предшествующий страгиванию, напряжения в выражении интеграла (4.9) определяем по формулам деформационной теории. разделяется на три части - область полного Ov , неполного догружения О у и разгрузки »5У , то с помощью (4.9) получим Поскольку область пластичности О/ в момент страгивания под - область полного О Удельная скорость изменения энергии в каждой из подобластей имеет вид,аналогичный (4.12). причем, если девиаторы напряжении «V» ЛУ7 .определяемые по формулам (2.133) деформационной теории,имеют одинаковые выражения для всех подобластей,то скорости деформаций в каждом случае определяются по-разному. Получим явные выражения удельной скорости диссипации энергии в областях активного догружения. Подставляя в (4.46) соотношения (2.145), с учетом (2.116) получим
Здесь функции Jj , Jg определяются по формулам (2.143),(2.144). Поскольку 4- Sr+S (как уже указывалось выше, величина Q равна в данном случае интенсивности касательных напряжений), то с помощью (4.48) получим, что Q.s0(P /.По предположению, в пластической области JM-- 0 (r J , Тогда, поскольку первое слагаемое выражения (4.47) (в круглых скобках) найдено с точностью до членов порядка Г / (см.4.49), а величинами порядка r" JMm« мы пренебрегаем, то для сохранения той же точности во втором слагаемом выражение orf. +bpof ( І-Ь/П- ) с учетом вышеуказанного нужно определять с точностью Л / , а остальными членами пренебрегать. Это означает, что в разложениях функций Q , « , r f T ( L=/))it )Ks & ) в ряды по степеням Г I при вычислении второго слагаемого выражения (4.47) достаточно удерживать лишь главные члены. Тогда на основании (4.48),(3.24),(3.26) где функции уtK){ )(к=Ь,П]Ы )определены согласно (4.50),(4.51), (4.55). Область пластичности в общем случае можно представить в ви де, изображенном на рис.3.2. Характерно, что контур /5 касает ся поверхности трещины ( /---) и ее продолжения ( У= О ).Кри вая // /V/ согласно (3.29) является касательной к линии продол жения трещины - к ее поверхности ( У-Г ) (см.3.30). Таким образом.интегралы (4.45) можно представить в виде В общем случае интегралы,входящие в (4.55) с учетом (4.54), представляются следующим образом
