Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель конечных упругопластических деформаций несжимаемой среды 13
1.1. Исходные кинематические зависимости 13
1.2. Определение обратимых и необратимых деформаций. (Уравнения переноса) 18
1.3. Определяющие соотношения в упругой области и в области разгрузки 22
1.4. Определяющие соотношения в процессах пластического течения 28
1.5. Замкнутая система уравнений модели 31
Глава 2. Остаточные напряжения у цилиндрической полости 34
2.1. Упругое равновесие среды 34
2.2. Пластическое течение 42
2.3. Остаточные напряжения 50
2.4. Повторное пластическое течение при общей разгрузке . 58
2.5. Остаточные напряжения после повторного пластического течения 64
Глава 3. Влияние остаточных напряжений на повторное нагружение 68
3.1. Упругое равновесие среды при повторном нагружении . 68
3.2. Пластическое течение в среде с накопленными необратимыми деформациями 74
3.3. Эффект "приспособляемости" среды к циклическим нагружениям 81
Глава 4. Остаточные напряжения у сферической полости и их влияние на повторное нагружение 85
4.1. Упругое равновесие среды со сферической полостью 85
4.2. Пластическое течение около сферического концентратора напряжений 91
4.3. Остаточные напряжения у сферической полости 98
4.4. Остаточные напряжения и деформации при возникновении повторного пластического течения 104
4.5. Упругое равновесие полой сферы при повторном нагружении 112
4.6. Развитое пластическое течение 119
4.7. Циклическое нагружение полой сферы 126
Заключение. Основные результаты 128
Литература 1303
- Определяющие соотношения в упругой области и в области разгрузки
- Повторное пластическое течение при общей разгрузке
- Пластическое течение в среде с накопленными необратимыми деформациями
- Остаточные напряжения и деформации при возникновении повторного пластического течения
Введение к работе
При деформировании твердых тел накопление в них необратимых деформаций связано с двумя взаимозависимыми необратимыми термодинамическими процессами. Первый из них определяется зависимостью диссипации энергии от скорости протекания процесса и связывается с проявлением вязкостных свойств материалов [76, 26, 2]. Следствием этого оказываются явления ползучести и релаксации напряжений. Второй вызван ростом необратимых деформаций, связанный со структурными изменениями в материалах. Такое свойство материалов накапливать необратимые деформации называют пластичностью [80, 20, 85, 21, 22]. Последнее является предметом настоящего исследования, поэтому на особенностях математического моделирования этого явления остановимся подробнее.
В моделировании процессов интенсивного накопления необратимых деформаций, связанных с проявлением пластических свойств материалов, существует два подхода. Первый из них называют деформационной теорией пластичности или теорией упругопластических процессов, второй - теорией пластического течения.
Простейшие опыты говорят нам о том, что деформации в теле следует разделять на обратимые и необратимые. В случае, когда необратимые деформации превалируют, обратимыми пренебрегают, рассматривая деформирование реального тела в рамках модели идеальной пластичности. На таком пути приходится пренебрегать и упругим откликом деформируемого тела на внешние усилия, то есть необходимо присущими любому реальному телу свойствами упругости. Данная идеализация реальных свойств материалов, безусловно, определяется стремлением использовать в теории наиболее простой математический аппарат. Успехи на таком пути как раз и предопределили прогресс в развитии теории пластичности. Они оформились в теорию [14, 18, 20, 30, 74, 80, 84, 85], называемую часто теорией пластического течения. Другое направление в теории пластичности, называемое теорией упругопластических процессов, главным образом связано с именем А.А. Ильюшина [22, 23, 24, 25] и его сотрудников [53, 54] и является одной из наиболее распространенных теорий малых
упругопластических деформаций изотропных материалов. Центральным ее моментом является постулат изотропии, означающий инвариантность определяющих соотношений относительно ортогональных преобразований в пятимерном пространстве Ильюшина. Кроме того, принимается принцип запаздывания скалярных и векторных свойств материала и гипотеза локальной определенности B.C. Ленского [53, 54]. Справедливость основных положений положений теории А.А. Ильюшина подтверждается большим количеством экспериментальных данных.
В случае, когда протекающие в деформируемом теле процессы существенно зависят от упругих свойств материала и пренебречь ими не возможно, используют положение о малости как упругих, так и пластических деформаций [4, 32, 82], то есть ограничиваются рамками модели Прандтля-Рейса.
Различные попытки усложнения модели с целью учесть отклонения от идеального характера пластического течения предпринимались неоднократно [3, 5, 28, 29, 21, 27]. Предпринимались также попытки учесть температурные эффекты [75, 89], вязкоупругие [2, 26, 76] эффекты в теории пластического течения [14]. И все же проблема моделирования больших необратимых деформаций на фоне присутствующих обратимых оставалась практически не затрагиваемой до второй половины нашего века.
Одним из возможных направлений развития теории больших упругопластических деформаций является построение непротиворечивого аналога теории А.А. Ильюшина. Имеются попытки обобщения деформационной теории пластичности на случай конечных деформаций [5, 66, 67, 81, 83, 132, 133]. Наиболее последовательный подход содержится в монографии А.А. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [68], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей теоретической части данная монография обобщает теорию упругопластических процессов А.А. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода дана постановка краевых
задач термоупругопластичности, а также методы их решения, представлены результаты решения ряда технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галеркина и соответствующие разрешающие конечноэлементные соотношения.
Различным подходам в построении теории пластического течения материалов посвящена обширная литература. Отметим лишь популярные монографии, решающие проблемные вопросы теории [18, 20, 21, 30, 31, 56, 57, 65, 75, 80, 82, 84, 85, 86, 89, 90] и некоторые оригинальные публикации [3, 4, 6, 12, 19, 27, 30].
Обобщение классических подходов теории идеальной упругопластич-ности (тело Прандтля-Рейса) с целью учесть конечные деформации наталкивается на две принципиальные трудности. Первая из них заключается в определении обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций. Известно множество вариантов разделения меры полной деформации на упругую и пластическую составляющие [43, 79, 82, 106, 117, 126], и вопрос, какой же из них лучше, остается открытым.
Отличительной особенностью построения кинематики упругопласти-ческой среды большинства работ является введение промежуточной (разгрузочной) конфигурации, деформация материала которой является чисто пластической, а сама она определена с точностью до жесткого вращения. Согласно принципу объективности определяющие соотношения для упругопластических материалов должны быть инвариантны относительно вращений как в актуальной, так и в промежуточной конфигурации.
Одним из наиболее распространенных подходов является предложение Ли [117, 118] представить полные деформации F в виде произведения градиентов упругой Fe и пластической Fp составляющих
F =дг_= дг dp =F F дго дрдго е р' где го, г р - радиусы-векторы начального, текущего и разгрузочного положения точки деформируемой среды. Однако, при разложении F, принятом в [117], в общем случае не выполняются принципы материальной индифферентности и термодинамической допустимости. Для
возможности построения определяющих соотношений для анизотропных материалов необходимо видоизменить данное разложение.
Развитие идеи Ли содержится в статьях Кондаурова В.И., Кукуджа-нова В.Н. [43] и Кондаурова В.И. [41]. В рамках построенной на такой основе модели конечных упругопластических деформаций изучались закономерности распространения волн напряжений [42, 44] и предлагались способы расчетов в нестационарных задачах необратимого деформирования твердых тел [43, 40]. Заслугой авторов данных статей является не только исправление неточностей в подходе Ли, но, что особенно существенно, конкретизация модельных зависимостей с целью расчетов реальных краевых задач.
В работе Грина и Нахди [106] разделение полных деформаций Е на упругую Ее и пластическую Ер составляющие принимается как Е = Ее + Ер. Это приводит к тому, что закон упругости становится сильно и специфическим образом зависимым от пластических деформаций, что делает теорию практически не конкретизируемой.
В работе Л.И. Седова [79], являющейся первой, посвященной кинематике конечных упругопластических деформаций, предлагается аддитивное разложение компонент тензора полной деформации на упругую и пластическую составляющие. Этот подход эквивалентен подходу [106], но предложен раньше.
В работе Клифтона [100] используется разложение
F — F F которое отличается от разложения Ли порядком следования сомножителей.
В работе Немат-Нассера [126] в качестве исходного принимается аддитивное разложение вектора перемещений и на упругую ие и пластическую Up составляющие: и = ие + ир. При этом мера упругой и полной деформации не инвариантны относительно жестких вращений.
Различные аспекты кинематики упругопластических сред изложены в работах [3, 15, 40, 41, 42, 43, 52, 77, 82, ПО, 109, 114].
Таким образом, существует достаточное множество формально не противоречивых теорий, но имеющиеся в них сложности завуалированы,
перенесены из разряда принципиальных в сложности конкретизации , причем конкретизировать эти теории для реальных материалов практически невозможно.
Другой проблемой в теории конечных упругопластических деформаций является определение тензора скоростей пластических деформаций. Связь тензора пластических деформаций и скоростей пластических деформаций осуществляется по средством объективной производной (Яу-мана, Олдройда, Трусдела и др. [1, 5]). В [1, 92, 101, 102, 104] этот вопрос решается экспериментально. Однако, такой подход не может быть обобщен на другие виды деформирования, и нет полной уверенности, что наиболее подходящая производная была рассмотрена. В. Прагер в своих работах [71, 72, 73] отдает предпочтение объективной производной Яумана. В [1] "истинными" считаются конвективные производные (хотя их несколько). В работе [73] предпочтение отдается производной Коттера-Ривлина, поскольку такое дифференцирование связывает dij - тензор конечных деформаций Альманси с єц - Эйлеровым тензором скоростей деформаций. В.И. Левитасом [49] была введена объективная производная, называемая R - производной. С помощью нее удалось получить определяющие соотношения для общего случая, исключающего при деформировании конечные повороты. В.И. Левитасом был сформулирован усиленный принцип объективности, являющийся синтезом принципа объективности и введенного понятия деформации без поворотов, заключающийся в следующем: 1) определение понятия деформации без поворота для данного материала; 2) постулирование соотношений при деформации без поворота; 3) строгое их обобщение для случая конечных поворотов. Но и таким образом удается только спрятать проблему. Трудности возникают непосредственно при конкретизации такой теории.
Попытку исправить положение в теории пластического течения при конечных деформациях предпринял совсем недавно А.Д. Чернышев [88]. Им предлагается последовательно использовать законы термодинамики. Но, по-существу, оставаясь в рамках, предложения Ли об алгебраическом разделении деформаций на обратимые и необратимые на основе гипотезы
о существовании единственного разгрузочного состояния, трактуемого в качестве идеального при неограниченном измельчении тела с целью снятия внутренних напряжений, А.Д. Чернышев сам вынужден этим нарушать последовательность в таком подходе. Поэтому остается не ясным в предложенных построениях [88], как вводить тензор скоростей пластических деформаций, то есть встает проблема "выбора" объективной производной и так далее.
Иной подход для разрешения данной проблемы был предложен Г.И. Быковцевым и А.В. Шитиковым [13]. В данной работе отброшено понятие промежуточной (разгрузочной) конфигурации, определение обратимых и необратимых деформаций представлено дифференциальными зависимостями. Таким образом, любое разгрузочное состояние не зависит от характера деформирования, а определяется только его начальными параметрами.
На основе положений неравновесной термодинамики (а процесс пластического деформирования является существенно неравновесным) в работе В.П.Мясникова [58] предложены определяющие соотношения класса деформируемых материалов, допускающих необратимые деформации. Понятия тензоров обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций вводятся также дифференциальными зависимостями посредством построенных соответствующим образом уравнений их изменения (переноса). Тензор полных деформаций принимается в виде суммы данных тензоров, характеризующих внутреннюю структуру среды и являющихся основными, наряду с энтропией, внутренними термодинамическими параметрами. Таким образом еще раз подчеркнуто, что способ разбиения деформаций на обратимую и необратимую части не принципиален для построения модели, дальнейшая конкретизация связана только с удобствами математического описания. В данной работе отличие упругих деформаций от пластических связано только с тем, в каком из уравнений переноса и каким способом поставлен источник данного внутреннего термодинамического параметра. Для понимания механического и термодинамического смысла вводимых гипотез при построении
теории конечных упругопластических деформаций работа В.П. Мясни-кова [58] незаменима. В ней предельно просто и ясно указаны свойства материалов, закладываемые в модель, и в каком качестве они предстают при использовании формализма феноменологической термодинамики необратимых процессов. Так же, как и в [13], не возникает проблема выбора объективной производной, ее вид обязан следовать из использованного термодинамического формализма. Это тем более важно, так как до сих пор публикуются статьи дискуссионного содержания об аддитивном и мультипликативном разделении полных деформаций на обратимые и необратимые [95, 97, 93] и о выборе объективных производных [97, 129, 136].
Различные аспекты кинематики больших обратимых и необратимых деформаций и способы математического моделирования упругопластических процессов деформирования рассмотрены в работах [64, 77, 96, 103, 111, 123, 128, 135]. Вариационные подходы к построению теории использовались в [91, 103]. Имеются первые попытки поставить и решить краевые задачи теории. Так в [129] рассматривалась задача о чистом сдвиге, в [136] разработаны подходы к решению задач трехосного нагружения и кручения, в [112] поставлена модельная задача для несжимаемого материала. В [115] приведены аналитические решения двух статических задач об изотропной полой толстостенной сфере при действии внешнего и внутреннего давления. Даже в этих простейших модельных задачах приходится прибегать к численным расчетам. Среди численных методов наиболее популярным остается метод конечных элементов [49, 68, 105, 107], таким способом решены некоторые технологические задачи теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина [68], когда обратимые деформации считаются малыми, а также проведены расчеты [49, 98] конечных упругопластических деформаций согласно теории течения при высоких давлениях.
В настоящей работе построена простейшая модель конечных упругопластических деформаций, основанная на постулировании для упругих и пластических деформаций вполне конкретных дифференциальных уравнений переноса и принятии идеального характера пластического течения.
Это позволило построить теорию, свободную от новых, требующих своего экспериментального определения параметров материалов и на такой основе поставить и решить ряд модельных краевых задач такой теории.
В качестве модельных были выбраны задачи, связанные с пластическим течением около одиночных сферической и цилиндрической полостей в упругопластической среде. Данный выбор обусловлен тем, что при малых размерах полостей пластическое течение в их окрестностях начинается даже при умеренных внешних нагрузках и не укладывается в рамки малых деформаций. Следовательно, это явление является характерным примером принципиальной необходимости в теории конечных упругопластических деформаций. С другой стороны наличие подобных дефектов в материале приводит к возникновению остаточных напряжений, существенно влияющих на характер процессов деформирования при повторных нагружениях, то есть на длительную прочность.
Первая глава данной диссертационной работы посвящена разработке основных модельных соотношений теории конечных упругопластических деформаций. В основу принятых построений положен подход Г.И. Бы-ковцева и А.В. Шитикова [13] о дифференциальных определениях для тензоров упругих (обратимых) и пластических (необратимых) деформаций. Предложена простейшая модель упругопластической среды, основанная на таком подходе, при этом основной упрощающей гипотезой при построении простейшего варианта теории является предположении о независимости свободной энергии от необратимых деформаций [7], развивающееся в настоящей работе. Последнее приводит к однозначной связи тензора пластических деформаций с тензором скоростей пластических деформаций, представленной как объективная производная от тензора пластических деформаций по времени. При этом тензор пластических деформаций неизменен не только при жестких перемещениях тела, но и в процессах разгрузки, когда скорость пластических деформаций равна нулю. Помимо этого, принято условие изотропной идеальной пластичности для несжимаемой упругопластической среды.
Во второй главе в рамках предложенной модели рассматривается одномерная задача о наличии остаточных напряжений у цилиндрической
полости при разгрузке среды. Для этой цели решен ряд вспомогательных задач: задача о равновесии толстостенной трубы, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала при конечных обратимых деформациях под действием всестороннего давления, задача о пластическом течении в окрестности цилиндрической полости при увеличении внешнего давления. Отмечен эффект возникновения повторного пластического течения при общей разгрузке среды, связанный с уровнем накопленных необратимых деформаций. Приводятся расчеты остаточных напряжений и деформаций около одиночного цилиндрического дефекта сплошности после нагрузки и последующей разгрузки упругопластического материала.
В третьей главе рассматривается задача о влиянии остаточных напряжений на повторное нагружение толстостенной трубы, в окрестности полости которой могут накапливаться большие деформации. Обнаружен эффект "приспособляемости" упругопластического материала к циклическим нагружениям.
В четвертой главе поставлена и решена задача о динамике процессов нагрузки и разгрузки материала в окрестности одиночной сферической каверны в упругопластической среде, вычислен уровень внешнего давления, по достижению которого необходимо проявляется повторное пластическое течение при разгрузке.
В диссертации применяется двойная нумерация формул, первая цифра указывает номер главы.
Определяющие соотношения в упругой области и в области разгрузки
Таким образом, вопрос о том, что же следует считать обратимыми (упругими), а что необратимыми (пластическими) деформациями, остается нерешенным. В [41, 117] такое разделение основывается на том, что некоторому деформированному состоянию с развитыми необратимыми деформациями соответствует другое единственное состояние, которое называют состоянием разгрузки. Сложность данной гипотезы заключаются в том, что разгрузочное состояние может быть не единственным, а зависеть от характера процесса разгрузки. Более того, трудно бывает определить само состояние разгрузки.
Опираясь на кинематические соотношения предыдущего раздела, разделим деформации на упругие и пластические, и, далее, в работе определим на примере модельных задач состояние разгрузки.
Будем считать тензорами обратимых и необратимых деформаций симметричные тензоры ezj и pij соотношения (1.16) при условиях определения их зависимостями (1-18) и (1.20) соответственно. Причем, тензор bij вычислен согласно (1.22), а г записан в виде (1.23). Далее, свяжем процесс разгрузки с тождеством tij = 0. Тогда в процессе разгрузки b = rij, где г - кососимметричный тензор с компонентами, выраженными зависимостью (1.23), а изменение тензора упругих деформаций дифференциальной зависимостью Учитывая симметрию тензора упругих деформаций е = е;г-, получим откуда следует выражение для кососимметричного тензора rZJ: 111 Подставив (1.31) в (1.30), получим дифференциальное уравнение переноса при разгрузки для упругих и для пластических деформаций Неизменность тензора необратимых деформаций pjj в процессе разгрузки гарантирована его определением, согласно дифференциальному уравнению (1.33). При этом, изменение компонент этого тензора, вследствие его вращения, зависит от уровня обратимых деформаций ец и Рассмотрим случай активного нагружения. При этом необратимые деформации изменяются и їц ф 0. В этом случае, с учетом (1.22) и (1.18) следует уравнение изменения тензора упругих деформаций de{ Из последней зависимости, в силу симметрии тензора е -, как и выше, с учетом того, что тензор tij произвольный, но симметричный, следует равенство (1.31). Тогда, получим дифференциальное уравнение, определяющее в каждый момент времени и в каждой точке деформируемого тела тензоры упругих (обратимых) деформаций: Из уравнения (1.20), с учетом (1.22), для пластических деформаций получаем В уравнениях (1.34) и (1.35) тензор t остается до сих пор неопределенным симметричным тензором. Его определение невозможно в рамках кинематики. Определения (1.32) и (1.33) тензоров обратимых и необратимых деформаций будем использовать в процессе разгрузки, а определения (1-34) и (1.35) - в области активного деформирования. Разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие необходимо связать с произволом исследователя, конкретизирующего модель. Действительно, полные деформации могут быть измере ны в эксперименте, в то время как обратимые и необратимые деформации таким способом не измеримы. Выходит, само их введение служит только целям математического моделирования реального процесса. Иными словами, разделение деформаций на обратимую и необратимую части, сколь бы разумными не выглядели оговариваемые условия для такого разделения, является необходимым элементом идеализации реального процесса деформирования. Основанием для разделения полных деформаций dij на упругие (обратимые) ец и пластические (необратимые) щ здесь выбрано условие о сводимости всех изменений компонент pij тензора пластических деформаций к таким, как если бы тело вращалось жестко. Однако, скорость такого вращения зависит от пространственных координат точки тела, поскольку обратимые деформации и скорость их изменения определяют нелинейные добавки к угловой скорости жесткого вращения. Таким образом, изменение pij в процессе разгрузки оказывается таким же, как в жестком вращении, только в случае малых деформаций. Произвольность тензора t{j и связанная с этим кинематическая неопределенность в процессах активного деформирования вполне естественна, и, удивительно, если б это было не так. Связано это опять же с невозможностью экспериментального измерения, а следовательно, и наперед задаваемого разделения составляющих тензора полных деформаций. Проведенная из каких-либо соображений разбиение полных деформаций на обратимые и необратимые заставляет считать последние независимыми термодинамическими параметрами системы. Формализм неравновесной термодинамики требует в таком случае постулирования для них соответствующих уравнений изменения (уравнений переноса) [58, 78]. Зависимости (1.34) и (1.35) как раз играют роль таких кинематических уравнений. Источник необратимых деформаций, согласно (1.55), определяется только не известным до сих пор тензором tij, а потоковая составляющая в данном уравнении определяется и вращением тензора в условиях, стесняемых упругими деформациями. Аналогично в уравнение переноса (1-34) источник определяется разностью elj — tiJ1 потоковая часть может зависеть от пластических деформаций, накопленных в процессе деформирования материала. В дальнейшем и источники и потоки в (1.34) и (1.35) будут конкретизированы.
Повторное пластическое течение при общей разгрузке
Наиболее простые решения задач теории конечных упругопластиче-ских деформаций, как и других механических теорий, получаются тогда, когда искомые функции зависят от одной только координаты и дифференциальные уравнения в частных производных становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями. Таких задач немного и они обычно служат пробным камнем при выяснении степени эффективности той или иной теории, решение их относительно просто, и результат обозрим.
В качестве одного из примеров рассмотрим задачу о толстостенной трубе, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала, под действием внешнего давления. Обозначим: RQ - внешний радиус трубы, г0 - внутренний радиус, Р - всестороннее давление (рис.1).
Будем считать, что труба очень длинная и к ее торцам приложены сжимающие усилия, компенсирующие осевые напряжения, возникающие при деформировании. Вследствие принципа Сен-Венана, можно утверждать, что поперечные сечения ее останутся плоскими, и напряженное состояние будет во всех сечениях одинаково. Очевидно, что эту задачу следует рассматривать в цилиндрических координатах, т.е. (г, 6,z), считая, что вектор перемещений имеет одну отличную от нуля компоненту перемещений ur = ur(r,t). В этом случае движение среды обладает цилиндрической симметрией. Тогда тензор деформаций Аль-манси d{j имеет две не равные нулю компоненты drr и dgg (остальные его компоненты dro, drjZ, d$r, dzz равны нулю). Таким образом, уравнение неразрывности (1.64) для несжимаемой упругопластической среды при цилиндрически симметричном деформировании примет следующий вид: Последнее уравнение немедленно интегрируется с учетом замены: Таким образом, найдем радиальное перемещение которое согласно (2.1) определяется до решения соответствующей краевой задачи. Следовательно, цилиндрически симметричное движение среды оказывается кинематически определенным. Необходимо отметить, что cp(t) - постоянная интегрирования, зависящая от времени. Для ее определения положим, что точка с первоначальной координатой T=RQ В момент времени t=0, в некоторый текущий момент времени t имеет координату r=R(t), следовательно, компоненты перемещения ur(R(t))=R(t)—Ro, а постоянная интегрирования вычисляется зависимостью p(t) = R2-R2(t). (2.4) Заметим, что подобные действия справедливы для другой точки с начальной координатой г=г и текущей r=s(t). При этом Из соотношений (2.4) и (2.5) следует , что Пусть, далее, поверхности r=Ro и r=r$ (го СЛо) соответствуют свободному состоянию рассматриваемого полого цилиндра. Будем прикладывать к внешней поверхности r=R сжимающее давление Р (рис.1), в то время как внутренняя поверхность г = s остается свободной от нагрузки, т.е. С увеличением внешнего давления Р напряжения игг и адд растут по абсолютной величине. До тех пор, пока компонента тгг тензора напряжений не превышает на границе r=R некоторого порогового значения PQ, т.е. выполняется arr(R) — TQ, осуществляется упругое равновесие. При arr(R)=—Po на внутренней поверхности трубы r=so впервые выполнится условие пластичности. Немного подробнее остановимся на его выборе. В условиях цилиндрической симметрии, согласно формуле Мурнагана (1.63), напряжения (Jrr = -p + Ti(drr,dee), (теє = -p + T2{drr,dee), (2.7) Tzz = - P, где T\ и Ті (известные функции) являются главными. Поэтому условие пластичности максимального касательного напряжения (условие Треска) можно записать в виде Условие пластичности максимального приведенного напряжения (условие Д.Д Ивлева) запишется в форме Учитывая, что c=-(crrr+cr +crzz)=—р+-(Гі+Г2), получаем условие пластичности Д.Д. Ивлева в нашем случае в форме Наконец из условия пластичности.
Пластическое течение в среде с накопленными необратимыми деформациями
Начальным состоянием для повторного нагружения является состояние полной разгрузки, когда arr(sk)=0 и сггг(Я&)=0. Распределение напряжений в этом случае выражается зависимостями (2.115), (2.117), (2.120) и представлено графически на рис.20.
Будем увеличивать внешнюю нагрузку. чением давления растут по абсолютной величине. До тех пор, пока компонента игг тензора напряжений не превышает на границе г=/?2 некоторого порогового значения PS PQ, то есть, если выполняется неравенство сггг(Д2) — P i то происходит обратимое деформирование. При агг(ІІ2)=Рз напряженное состояние на поверхности г=«2 (внутренняя поверхность трубы) снова выходит на поверхность нагружения aee(s2)=—2k. Для такого состояния среды становятся справедливыми следующие граничные условия: и оно является начальным для последующего процесса необратимого деформирования (рис.24). Решение данной задачи является более сложным процессом по сравнению с задачей упругого равновесия. Это объясняется тем, что теперь в каждой из трех зон следует учитывать уровень накопленных необратимых деформаций. Напряжения в каждой из трех зон определяются формулой Мурна-гана по известному полю перемещений (2.3) интегрированием уравнения равновесия с соответствующими граничными условиями (3.1)-(3.3). При этом, в области 52 r r2n и Г2п г .гіп необходимо учитывать накопленные необратимые деформации. Рассмотрим сначала зону упругого деформирования rin r i?2- Напряжения определяются полными деформациями, представленными в (2.17), где 7/ = 1 + 72г 2, зависимостями (2.18), в которых, как и ранее, функция добавочного гидростатического давления Р(г) находится интегрированием уравнения равновесия (2.20), но уже при граничном условии (3.1) На таком пути получим т; = 1+72Г-2, m=RlR?(t). В области Г2п г .гіп на характер упругого деформирования оказывают влияние накопленные необратимые деформации, которые при этом не изменяются. В параграфе 2.5 в конечный момент разгрузки пластические деформации вычислялись зависимостями (2.118), где г следует заменить rjt, считая ее начальной (Лагранжевой) координатой. Тогда формула (2.55) будет связывать ее (г&) с текущей (Эйлеровой) координатой г следующим образом: что дает возможность найти компоненты пластических деформаций: Теперь, зная полные и пластические, запишем соотношения для упругих деформаций По найденным упругим деформациям, как и в параграфе 2.3, с использованием (2.70), (2.71),(2.78), где p(t) следует заменить ее значением на 72, интегрируя уравнение равновесия (2.20) с использованием условия равенства напряжений на границе г = г\п, получим
Остаточные напряжения и деформации при возникновении повторного пластического течения
При дальнейшем нагружении сферы до Р\=Р\ граница пластической области гз() выходит на поверхность г і. (Напомним, что г - граница зоны пластического течения при разгрузке среды.) Область Г2 г і (г2=гз) в этот момент времени мгновенно приходит в пластическое состояние, то есть выполняется условие (3.42).
Распределение напряжений, показанное на рис.51, находится зависимостями (4.98), (4.104), (4.107), (4.108) при решении уравнения (4.111) до Р4=- 1=- 3+0 5- Таким образом, замечаем, что цикл завершился, так как среда пришла в состояние, которое она занимала при первоначальной нагрузке (рис.37).
Отметим, что для сферы, как и для толстостенной трубы, можно получить такое решение аналитически.
Если теперь снять внешнюю нагрузку, то получим напряженное состояние, представленное на рис.42. То же характерно и для изменения радиусов граничных поверхностей. Таким образом, несжимаемая упру-гопластическая среда и в этом случае обладает эффектом "приспособляемости" к циклическим нагружениям. Цикл может быть разорван, когда нагружающее усилие превысит давление Р\. 1. Построена модель конечных упругопластических деформаций для несжимаемого упругопластического тела, основанием которой являются дифференциальные уравнения для задания тензоров обратимых и необратимых деформаций и идеальный характер пластического течения. Построен простейший вариант модели, основывающийся на гипотезе о независимости свободной энергии от необратимых деформаций. 2. В рамках модели получены решения одномерных краевых задач о пластическом течении около сферического и цилиндрического концентраторов напряжений в несжимаемой упругопластической среде, допускающей большие деформации, при всестороннем сжатии материала. При таком деформировании вычислены законы движения граничных поверхностей и границы пластической области. Найдены обратимые и необратимые деформации и напряжения, распределившиеся по толщине слоя. Полученные для них численные результаты представлены графически. 3. Изучен процесс разгрузки среды, когда в окрестности одиночных дефектов сплошности накоплены конечные обратимые и необратимые деформации. 4. Вычисленно пороговое нагружающее внешнее давление, при котором в процессе разгрузки возникает повторное пластическое течение при продолжающейся общей разгрузке. 5. Отмечено, что при разгрузке среды напряжения становятся растягивающими напряжениями. Указано распределение остаточных напряжений около одиночных цилиндрической и сферической полостей после нагрузки и последующей разгрузки упругопластического материала.. Решена задача о циклическом нагружении упругопластической среды со сферической и цилиндрической каверной, в окрестности которых могут накапливаться большие деформации. Обнаружен эффект "приспособляемости" среды к циклическим нагружениям. 7. Численно показано, что при повторном нагружении в среде с остаточными деформациями необратимое деформирование возможно при некотором давление, значение которого вдвое превышает значения давления при первоначальном нагружении. Этот факт не зависит от уровня накопленных деформаций и говорит о том, что произошло упрочнение.
