Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Магнитное трение в неконтактном под шипнике с проводящим ротором 37
1.1. Определение магнитного поля внутри и вне проводника 38
1.2. Расчет пондеромоторных сил и тормозящего момента 46
1.3. Влияние конфигурации поля и параметров задачи на силовые характеристики опоры 53
ГЛАВА II. Дестабилизирующее воздействие магнитного трения, вызванного вихревыми токами, на движение левитирующего ротора ... 75
2.1. Влияние магнитного трения на устойчивость движения ротора 76
2.2. Циркуляционные силы, обусловленные вихревыми токами в проводящем материале твердого тела 96
2.3. Экспериментальное исследование движения ротора в магнитном поле 103
2.4. Вращение проводящей рамки в переменном магнитном поле 117
Глава III. Динамика проводящего тела в неоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа рейнольдса 124
3.1. Построение решения электродинамической задачи 130
3.2. Расчет силы и момента сил 147
3.3. Проводящий цилиндр в магнитном поле 167
ГЛАВА IV. Силы магнитного трения при движении высокоскоюстного наземного транспорта .. 195
4.1. Моделирование движения поездов с неконтактным подвесом на установках с проводящим барабаном 198
4.2. Экспериментальное исследование динамики магнита над вращающимся барабаном 218
ГЛАВА V Исследование магнитного трения, обуслов ленного гистерезисными явлениями в высокотемпературных сверхпроводниках и ферромагнитных материалах 224
5.1. Гистерезисные явления при левитации магнита над сверхпроводящей пластиной 225
5.2. Определение силы сопротивления при движении магната над высокотемпературной сверхпроводящей керамикой 249
5.3. Тормозящий момент при стационарном вращении высокотемпературного сверхпроводника в магнитном поле 258
5.4. Магнитное трение, обусловленное гистерезисными явлениями во вращающемся теле 266
Заключение 274
Литература
- Расчет пондеромоторных сил и тормозящего момента
- Циркуляционные силы, обусловленные вихревыми токами в проводящем материале твердого тела
- Расчет силы и момента сил
- Экспериментальное исследование динамики магнита над вращающимся барабаном
Введение к работе
Одно из интенсивно развивающихся направлений современной техники связано с созданием и совершенствованием неконтактных подвесов, область применения которых непрерывно расширяется. Актуальность работы обусловлена развитием теории и технологии неконтактного подвешивания твердых тел в электрических и магнитных полях Дальнейшее развитие таких технологий невозможно без исследования влияния магнитного трения на динамику левитирующего тела. Под магнитным трением в работе понимаются процессы диссипации энергии при относительном движении твердого тела и источников магнитного поля в неконтактном подвесе. Магнитное трение вызывается вихревыми токами в проводящем материале твердого тела, гистерезисными явлениями в ферромагнитных материалах и сверхпроводниках.
Терминологии. Преодоление силы притяжения Земли издавна является мечтой человечества. Свободное движение твердого тела без механического контакта с окружающими телами получило название левитации [153, 222, 236]. Техническая реализация этой идеи связана с разработкой неконтактных подвесов. Название "неконтактный подвес" будем использовать для обозначения устройств, где механическое взаимодействие между опорой и ротором заменяется силовым действием электрического или магнитного поля, которое обеспечивает левитацию подвижного тела. Известно, что согласно теореме Ирншоу и обобщению Браунбека в статической системе в вакууме можно осуществить устойчивый подвес лишь диамагнитных и сверхпроводящих тел. В работе рассматриваются магнитный, электродинамический, электростатический и сверхпроводящий подвесы.
В магнитном подвесе для обеспечения устойчивости положения равновесия тела в силовом поле используется система автоматического управле ния током электромагнитов (так называемый активный магнитный подвес). Ь Другой путь - это подвес в переменном поле, устойчивость достигается специальной настройкой резонансных контуров, частоты которых изменяются при смещении тела из положения равновесия (магниторезонансньтй подвес) [172].
Электродинамический подвес основан на взаимодействии поля индуцированных токов в проводящем материале с исходным полем источника. В электростатических опорах твердое тело находится в регулируемом электри- Г ческом поле. В сверхпроводящих левитация обусловлена эффектом Мейс снера (тела в сверхпроводящем состоянии, помещенные во внешнее магнит-нос поле, становятся диамагнитными).
Неконтактные опоры без механического взаимодействия между движущимися телами позволяют исключить механическое трение и приблизиться к «идеальной опоре» с существенно меньшими, по сравнению с подшипниками качения и скольжения, потерями энергии. Тем не менее, в неконтактных подвесах присутствует магнитное трение, которое оказывает существенное влияние на динамику твердого тела в магнитном поле.
Термин «магнитное трение» начал широко использоваться в конце 80-х годов XX века. Он возник по аналогии с принятой в технике терминологией. Дело в том, что одна из классификаций подшипников основана на характеристиках трения, а именно: подшипники качения - трение качения, скольжения - трение скольжения. Для обозначения диссипативных процессов в магнитных подшипниках и неконтактных опорахї стал применяться термин «магнитное трение» [219].
Область применения неконтактных опор. Кратко остановимся на ис-пользовании неконтактных подвесов в современной технике. По этому вопросу имеется весьма обширный обзор [236], но в нем оказались практически не затронутыми российские работы по этой проблеме. Различные облас ти применения подвесов отражены в монографиях [58, 190, 147]. Остановимся на некоторых работах, выполненных за последние несколько десятилетий, в основном, российскими исследователями, которые не вошли в перечисленные обзоры.
Технология левитации во многом стала реальностью благодаря разработке чувствительных датчиков систем инерциальной навигации. Низкий уровень возмущающих моментов, действующих на чувствительный элемент, открывает широкие возможности для неконтактного подвешивания при создании прецизионных приборов различных типов; гироскопов, гирокомпасов, градиентометров [174].
Неконтактный гироскоп имеет ряд преимуществ по сравнению с другими датчиками инерциальных навигационных систем: высокая точность, безотказная длительная работа на выбеге ротора, малое энергопотребление, небольшие габариты и масса. Такой гироскоп мало подвержен износу, вследствие чего надежность прибора в основном определяется надежностью и сроком службы электронных элементов.
Наиболее низкий уровень возмущающих моментов получен в электростатическом гироскопе (ЭСГ), в котором ротор вывешивается в электрическом поле, а магнитное поле служит для управления движением левитирующего тела. Опыт эксплуатации на морских объектах электростатических гироскопов, созданных в ЦНИИ "Электроприбор", подтвердил высокую точность и достаточную надежность корабельных инерциальных навигационных систем на ЭСГ [215],
В апреле 2004 года был выведен на орбиту спутник "Gravity Probe В" (Гравитационный Зонд-Б), специально сконструированный для экспериментальной проверки общей теории относительности. Этому аппарату предстоит проверить правильность двух положений теории относительности Альберта Эйнштейна (об искривлении пространства-времени в окрестности массив ных тел (в данном случае Земли) и о влиянии па этот процесс вращения Земли вокруг собственной оси). Для этого на зонде Gravity Probe В установлено четыре самых точных на сегодняшний день гироскопа с электростатическим подвесом ротора. Аппарату предстоит провести очень тонкие измерения. Об этом говорит порядок измеряемых величин: если теория Эйнштейна верна, то за год оси гироскопов отклонятся от первоначального положения на 6600 угловых миллисекунд (эффект вращения Земли будет еще меньше - 41 угловая миллисекунда) [229 ].
Гирокомпасы с электромагнитным подвесом чувствительного элемента среднего класса точности выпускаются в течение длительного времени и являются наилучшими для данного класса. Точность определения азимута та-. ких приборов составляет 30 угловых секунд за время измерения 9 минут и 2 угловые минуты на периоде измерения 4 минуты [225], Создаются гирокомпасы с магнитным подвесом, которые определяют плоскость меридиана с точностью до 3 угловых секунд.
Коррекция инерциальных навигационных систем, основанная на эпизодическом сравнении измеряемого гравитационного поля с имеющейся картой, позволяет повысить их точность. Разработаны градиентометры с магнитным подвесом, которые регистрируют неоднородности гравитационного поля Земли [36, 224]. Такие высокочувствительные приборы, кроме того, могут быть успешно использованы для геофизических исследований.
Развитие магнитных опор в значительной степени стимулируется достижениями космической техники, где оборудование должно удовлетворять жестким требованиям. Магнитный подвес использован в маховиках и силовых гироскопах, предназначенных для управления ориентацией и для стабилизации углового положения космических аппаратов [173, 214].
В высоковакуумных турбомолекулярных насосах, создающих вакуум 10 7Па, где недопустимо попадание загрязняющих смазочных масел в рабо чую зону, для получения вакуума особой чистоты кроме магнитного подвеса предусмотрена возможность прогрева корпуса работающего насоса до 300 400° С[19].
Малое трение в неконтактном подвесе позволяет раскручивать ротор до скоростей, ограниченных только прочностью материала, В магнитных опорах ультрацентрифуг и устройств для прочностных испытаний возникают центробежные ускорения, превосходящие в несколько десятков миллионов раз ускорение свободного падения [160? 238], Имеется возможность определить не только прочность материалов на разрыв, по и адгезионные свойства покрытий [220].
Отсутствие механического контакта и связанного с ним трения в движущихся частях позволяет создавать подшипники с уникальными свойствами. Магнитные подшипники шпинделей инструментальных станков с частотой вращения 120 000 об/мип, статическая жесткость которых сравнима с шарикоподшипниками и которые обеспечивают стабилизацию оси вращения ротора с точностью до 0Э5 мкм, помогают устранить износ и увеличить скорость обработки деталей [58, 59],
-Осуществляется производство магнитных подшипников для мощных турбонасосов для горючих и агрессивных газов и жидкостей, турбокомпрессоров для циркуляции теплоносителя в атомных реакторах электрических станций. Подшипники этих машин дают возможность работы как в средах высокой чистоты так и в агрессивных средах, при высоких температурах и ресурсе в десятки тысяч часов [20, 69.. 209].
Магнитные подвесы нашли применение в приборах для определения осей анизотропии в сферических ферромагнитных образцах, измерения эффективной константы анизизотропии и моментов вращательного гистерезиса [45]. Отсутствие сухого трения делает эти приборы более чувствительными, чем их прототипы с механическими подвесами.
Магнитная левитация является одним из способов осуществления бес- ГЇ контактного движения высокоскоростного наземного транспорта, который обеспечивает комфорт, безопасность и соответствует современным экологическим требованиям. В 70 - 80 годы проделана огромная научно-исследовательская работа, рассмотрено большое число проектов высокоскоростного пассажирского транспорта на магнитной подвеске с линейным тяговым электроприводом [24, 25, 41, 51, 188, 198]. Разработаны оба вида транспортных подвесов - элекгродинамический и управляемый электромагнитный. Для электродинамического подвешивания экипажей созданы сверхпроводящие магниты и построен опытный образец экипажа на Украине отделением физико-технических проблем транспорта на сверхпроводящих магнитах "ТРАНСМАГ" [25]. На опытном полигоне в Подмосковье инженерно-научным центром по транспорту на электромагнитном подвесе ТЭМП были проведены, ходовые испытания экспериментального вагона с управляемым подвесом массой 16 т. Специальная система подвески (электромагнитная лыжа) обладает адаптивностью к неровностям пути, чтобы не предъявлять особых требований к точности выполнения путевой структуры [11, 51]. Разработан проект скоростной дороги для связи центра г.Москвы с международным аэропортом Шереметьево,
Группа исследователей под руководством В.В.Козореза предложила использовать для транспорта "эффект магнитной потенциальной ямы" для сверхпроводящих систем [74, 158] . Сверхпроводящие магниты, учитывая последние достижения в области сверхпроводимости, могут найти применение в проекте корпорации "Grummin" (США) [255]. Поезда с электромагнит- f ным подвесом и сверхпроводящими магнитами наиболее интенсивно развиваются в Японии. Поезд MLX01, состоящий из 3 вагонов достиг в декабре 2003 г .рекордной скорости - 581 км/час [250].
Индукционный подвес, так же как и электродинамический, основан на взаимодействии вихревых токов с изменяющимся во времени магнитным полем. В электродинамическом подвесе вихревые токи создаются в проводящем материале за счет движения источников, в индукционном - источники неподвижны, поле периодически меняется во времени. Такие системы широко используются при бестигельной плавке металлов [204] и для разработки систем для запуска тел в космос [218, 230,231, 262].
Неконтактный подвес тел без затрат энергии значительно расширяет возможности и делает весьма перспективным применения диамагнитного подвеса. Теоретическая и экспериментальная возможность левитации диа-магнетиков в постоянном магнитном поле была показана Браунбеком. Примером реализации диамагнитного подвеса может служить система для прецизионного измерителя моментов сил с точностью 10" Н-м [26] и электрометр для поиска свободных кварков [27].
В работе [254] описан наклономер с диамагнитной массой который регистрировал приливные колебания, сейсмические волны и микросейсмы. Необходимое демпфирование обеспечивалось вихревыми токами, индуцируемых в подвешенной массе при ее движении в магнитном поле подвеса.
Поскольку диамагнитные свойства таких материалов, как висмут и графит, которые обычно использовались для подвешивания, слабы, то до недавнего времени удавалось вывесить лишь небольшие массы порядка нескольких десятков миллиграммов. Появление новых материалов для постоянных магнитов и веществ с лучшими магнитными свойствами меняет ситуацию. Поиски теплозащитных покрытий космических кораблей привели к разработке промышленного метода получения пиролитического графита, магнитная восприимчивость которого в несколько раз больше, чем у обычного поликристалл ического графита.
При помощи самарий-кобальтовых магнитов и пиролитического графита в Пермском университете в 1978 году удалось довести удерживаемый вес до 26,7 г [179]. Это на несколько порядков больше, чем было ранее. Наряду с высокой эффективностью, следует отметить простоту конструкции такого подвеса, когда вывешиваемый магнит располагается между диамагнитными пластинами и его вес компенсируется дополнительным неподвижным постоянным магнитом. Расчет силовых характеристик такого подвеса, анализ условий устойчивости и оценка максимальной массы» которую можно вывесить, проведены в работе [132],
Разработка диамагнитного подвеса потребовала оценки "динамических потерь41 (в терминологии Уолдрона [259]), наиболее существенными из которых явились потери за счет вихревых токи в диамагнитном элементе.
Большой интерес вызывают неконтактные подвесы на основе высокотемпературных сверхпроводников и их приложение [158, 164,216, 260].
Это далеко не полный перечень использования неконтактных подвесов, дополнительную информацию можно найти в цитируемой литературе.
Вычисление сил и моментов магнитного трения, обусловленных вихревыми токами. Широкое применение неконтактных подвесов и их дальнейшее совершенствование требует исследования динамики проводящего тела в магнитном поле. Для этого потребовалась разработка теории магнитного трения, лежащей на стыке двух классических дисциплин - теоретической механики и электродинамики.
При движении проводящего тела в магнитном поле подвеса возникают потери, обусловленные вихревыми токами. Необходимость исследования влияния вихревых токов на динамику вывешенного тела возникла при практическом использовании магнитных подвесов различных типов.
Оценка пондеромоторных сил и моментов явилась одним из главных звеньев проектирования активных магнитных подвесов ферромагнитных тел [226]. Вихревые токи ограничивали точность приборов и максимально допустимую скорость вращения ротора.
В элеюродинамических подвесах высокоскоростного наземного транс- [ порта и при подвесе проводящих тел в переменном магнитном поле при плавке металлов задача расчета вихревых токов и пондеромоторой силы является одной из основных. Вихревые токи в таких системах используются для создания подъемной силы. В транспортных системах с активным магнитным подвесом силы магнитного трения, наряду с силами сопротивления воздуха, вызывают значительные потери энергии при движении. Отметим, что иногда для сил сопротивления при движении высокоскоростного транс Г порта используется термин "магнитное сопротивление" [11, 249], который V нельзя признать удачным, поскольку он используется в магнитостатике при расчете магнитных цепей.
Определению вихревых токов в проводящем теле и вычислению сил при его движении в магнитном поле посвящено огромное число работ. Особенностью математического анализа проблем, связаіпшх с решением задач о расчете сил магнитного трения в неконтактных подвесах, является зависимость индуцированного магнитного поля от движения твердого тела. В свою очередь, характер движения определяется магнитным полем. Решение такой самосогласованной задачи наталкивается на серьезные математические трудности исследования совместной системы уравнений динамики твердого тела и уравнений электродинамики.
Обзор по вычислению сил и моментов сил, вызванных вихревыми токами, содержится в работах [82, 147, 187]. Следует обратить внимание на тот факт, что в большинстве статей, как правило, полагается постоянство скорости движения вывешенного тела. Часто такое предположение является не- I достаточным при решении динамических задач, на что и указано в моногра = фии Ю.Г.Мартыненко [147].
Задача исследования произвольного движения левитирующего твердого тела весьма сложна для аналитического и численного решения. С точки зре ния приложений, основной интерес представляют интегральные характеристики сил и моментов и их влияние на динамику тела. Изучение поведения твердого тела в электромагнитном поле и разработка методов для решения соответствующих уравнений проводилось в работах [18, 7Ь75, 80, 144 -152э 169, 170, 185, 187, 189, 205, 221, 231, 241], Отметим, что за последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в области применения асимптотических методов механики к решению задач, связанных с теорией левитации.
Один из подходов к решению задач расчета пондеромоторного воздействия магнитного поля па проводящее тело связан с решением уравнений Лагранжа-Максвелла [144, 167, 190, 191].
В ряде мастных случаев для движущегося проводящего тела в магнитном поле удалось решить уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. Для проводящего шара наиболее полно анализ движения в магнитном поле приведен в серии работ Ю.М. Урмана и Р.В. Линькова [136-139]. Магнитное поле задавалось скалярным потенциалом в виде разложения по сферическим гармоникам, электродинамическая задача решалась методом разделения переменных. Важным методологическим приемом для анализа движения шара явилось использование «частотозависимой» функции, позволяющей выявить качественно различные режимы движения в зависимости от магнитного числа Рейнольдса.
Задача о движении твердого тела произвольной формы в магнитном поле для малой глубины проникновения поля в проводник (большие значения магнитного числа Рейнольдса) методом пограничного слоя сводится к исследованию интегродифференциального уравнения. В работах Ю. Г. Мар-тыненко и А.И. Кобрина [ 71, 73, 147 ] показано, что система уравнений разбивается на две независимые части: электродинамическую и механическую, которая не включает уравнений с частными производными. Такое раз биение позволяет существенно упростить решение. Аналогичный асимптотический подход применялся Б.И.Рабиновичем, ВХ-Лебедевым А.И.Мытаревым для анализа и синтеза систем автоматического регулирования с учетом вихревых токов в проводящей путевой структуре и магнито-проводе силового магнита при подвешивании экипажей высокоскоростного наземного транспорта [181],
Другой предельный случай возникает для большой глубины проникновения поля в проводник (малые значения магнитного числа Рейнольдса). При помощи метода сингулярных возмущений исходная нестационарная задача сводится к серии стационарных краевых задач, зависящих лишь от формы тела [55, 72, 147]. Удается установить аналогию с хорошо изученной гидродинамической задачей о движении твердого тела с полостями, содержащими жидкость, и воспользоваться уже имеющимися решениями для анализа движения проводящего тела в магнитном поле.
Многие аспекты левитации тела в подвесе при малых значениях магнитного числа Рейнольдса изучены в связи с исследованием движения искусственных спутников и с разработкой систем ориентации космических аппаратов (за счет взаимодействия магнитного поля Земли с собственным магнитным полем спутника) [42, 145].
Асимптотические методы механики оказались плодотворными для бы-стровращающегося тела, когда можно указать составляющие, резко отличающиеся по своим временным масштабам. Эффективное разделение быстрых и медленных движений и позволяет в этом случае провести анализ движения проводящего ротора в неконтактном подвесе [146].
Основной особенностью движения твердого тела в неконтактном подвесе является значительное усложнение структуры моментов, действующих на твердое тело, по сравнению с классической задачей о движении твердого тела около неподвижной точки. Полезной для понимания физической супі ности процессов при движении быстровращающегося тела с неподвижной точкой оказалось представление моментов в виде суммы двух слагаемых, одно из которых Г.Г. Денисовым и В.Н. Комаровым названо консервативным, а другое - неконсервативным моментом [44]. В монографии Ю.Г. Мар-тыненко [147] показано, что момент сил, приложенных к твердому телу, ортогональный вектору кинетического момента всегда допускает такое разложение. Этот подход использован для построения общей теории моментного воздействия на левитирующее тело [147,201].
Подводя итоги можно сказать, что для улучшения работы устройств с магнитными подвесами весьма важным становится включение в математическую модель, описывающую левитацию твердого тела, все большего числа факторов, позволяющих выявить ряд новых динамических эффектов. Оценка точности, обработка информации и, в конечном счете, создание конкурентоспособных приборов и устройств невозможны без учета влияния как конфигурации поля, так и формы тела на величину сил, обусловленных вихревыми токами. К настоящему моменту хорошо изучены проблемы, связанные с предположением о конфигурации поля - это движение твердого проводящего тела в однородном магнитном поле. При таком подходе главный вектор сил магнитного трения равен нулю и исследование динамики лишь частично отражает реальную ситуацию. Другое упрощение связано с формой тела - изучено движение проводящего шара и сферической оболочки в произвольном магнитном поле. Вопросы, связанные с движением тела, форма которого отличается от шара, в произвольном магнитном поле потребовали дальнейших исследований.
Устойчивость движения. Ключевой проблемой создания неконтактных подвесов является обеспечение устойчивости движения вывешенного тела. Как показывает история развития магнитных подвесов, созданные устройства зачастую оказывались неработоспособными. Одной из причин явились вихревые токи в материале вращающегося тела. Необходимость изучения влияния магнитного трения на устойчивость вращающегося ферромагнитного тела возникла при создании управляемого магнитного подвеса, Впервые анализ проблемы проведен Владимирским ВВ. и Калебиным СМ. при испытании прерывателя потока нейтронов, который представлял собой вращающийся шар с отверстиями, вывешенный в магнитном поле. Начиная с определенной скорости вращения, возникало движение центра масс тела и осуществить неконтактное подвешивание было невозможно [33]. Теоретический анализ задачи движения проводящего шара в ноле точечного магнитного заряда показал, что причиной неустойчивости являются силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии поля и направленные перпендикулярно вектору смещения центра масс шара относительно оси подвеса.
Аналогичные явления, связанные с неустойчивостью движения проводящего ротора наблюдались в электрических машинах. Для объяснения неустойчивости вращения роторов электрических машин в постоянном магнитном поле В.В.Болотин использовал концепцию внутреннего "вращающегося" трения [22]. Было показано, что в уравнениях возмущенного движения появляются циркуляционные (псевдогироскопические) силы.
Проблема устойчивости прямолинейного движения возникает при создании высокоскоростного транспорта с электродинамическим подвесом. Одно из преимуществ такого подвеса заключается в том, что, начиная с определенной скорости, за счет взаимодействия поля вихревых токов в проводящем полотне с полем магнита в вагоне, возможна левитация без применения специальных систем регулирования. Хотя авторы идеи использования электродинамического подвеса для транспортных систем считают одним из преимуществ его стабильность, вихревые токи, как показали натурные испытания, могут служить источником вертикальных колебаний экипажа высоко скоростного транспорта [235, 81]. jy Данные испытаний для поезда MLU-500 показали наличие вертикаль пых и поперечных колебаний экипажа, которые при скорости 300 км/ч составили ±10 мм и ±20 мм (зазор 270 мм). Амплитуда колебаний уменьшалась с увеличением скоросгги движения. Угловые движения экипажа были незначительными [246,249],
При испытании модели (1/25 натуральной величины) возникла серьезная проблема, связанная с возникновением вертикальных колебаний с час- J тотой около 1 Гц [240]. Для обеспечения нормального режима зксішуатации потребовалось активное демпфирование.
Возбу вдение хаотических колебаний при моделировании электродинамического подвеса рассмотрено в работе [163].
Вихревые токи в значительной степени определяют динамику ротора неконтактного подвеса и движение спутников в магнитном поле Земли и других планет. Значительное число работ, обзор которых можно найти в монографии [147], посвящено проблеме устойчивости движения проводящего твердого тела с закрепленной точкой в магнитном поле. Исследование ди-намики проводящего тела в магнитном поле при плоскопараллельных движениях проведено в работе [133],
Магнитное трение, вызванное гистерезисными явлениями при левитации в магнитном поле. Для уменьшения потерь на вихревые токи в современных приборах с неконтактным подвесом (например, в гироскопах [172]) применяются ферромагнитные материалы, обладающие большим удельным сопротивлением, либо шихтованные материалы для валов магнит- / ных подшипников и для путевой структуры высокоскоростного наземного транспорта с магнитным подвесом, В таких материалах гистерезисные потери могут суигествепно превосходить потери на вихревые токи. Определение их величины и учет влияния на динамику объекта становится необходимым звеном инженерных расчетов.
В связи с открытием высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) [164], появляется возможность их практического использования для создания неконтактного подвеса. Большой интерес к этому классу сверхпроводников вполне оправдан, поскольку простота изготовления, повышенные значения критических температур, полей и токов делают их весьма перспективными.
Дальнейшие работы по увеличению точности приборов и совершенствование устройств с неконтактным подвесом требуют учета гистерезисных явлений. Кратко остановимся на результатах исследования гистерезисных процессов при вращении ротора в поле магнитного подвеса.
Число факторов, определяющих гистерезисиые явления, велико: кристаллографическая анизотропия, механические напряжения, процессы вращения и смещения границ доменов, технология изготовления образцов температура. Сложность их совместного учета затрудняет построение строгой теории на основе микрофизических концепций. Для практических расчетов широко применяются различные феноменологические модели [4, 14, 127, 175,186].
Одна из моделей связана с аппроксимацией петли гистерезиса. Такой подход использован в работе Белецкого В.В,, А.А.Хентова [14], где сделаны упрощающие предположение о форме петли гистерезиса. Это позволило рассмотреть влияние перемагничивания в стержнях, связанных с космическим аппаратом на движение спутника в магнитном поле Земли. Показано, что гистерезисные явления оказывают существенное влияние на динамику объекта (вращательный гистерезис не рассматривается).
В работе [127] для моделирования перемагничивания материала с доменной структурой используется уравнение Ландау-Лифшица.
Н.С.Акуловым предложена теория [41, сотласно которой вращательный гистерезис в монокристаллах связан с анизотропией материала и процессами вращения доменов. Однако теория не построена для слабых полей (в этом случае преобладают процессы смещения границ доменов, а не вращения) и для поликристаллических материалов, Брюхатов HJL и Гринчар Н.А. использовали теорию Н.С, Акулова и рассмотрели гистерезис магнитного вращения как процесс, происходящий при статистическом равновесии между комплексами спинов, переходящих от связи с кристаллической решеткой в связь с вращающимся магнитным полем, и комплексами спинов, увлекаемых решеткой [28].
Исходя из экспериментального факта линейной зависимости величины потерь на вращательный гистерезис от величины поля (в определенных пределах его изменения), О.Д.Поздеев предложил считать мощность потерь на вращательный гистерезис в элементе образца пропорциональной модулю скорости изменения индукции магнитного поля [175]. Эта модель описывает процессы при вращении в постоянном поле магнитного подвеса и дает возможность провести оценку величины потерь для вращающегося шара в полях с различной пространственной конфигурацией.
При движении ротора неконтактного подвеса изменяется его ориентация относительно поля. Так, например, в гироскопах момент сил зависит от угла между осью симметрии поля и осью вращения. В связи с этим большой интерес представляют экспериментальные данные о потерях при произвольной ориентации вектора напряженности магнитного поля относительно оси вращения ферритового шара [211].
Плодотворной при описании процессов перемагничивания в переменном поле оказалась концепция комплексной магнитной проницаемости, введенная В.1С. Аркадьевым [5, 6]. Результаты ВЛСАркадьева, развитые в работах Л.Р.Неймана [165], широко используются в современных исследованиях и положены в основу при описании гистерезисных потерь как в ферромаг нитных материалах [203], так и в сверхпроводниках [156]. Введение комплексной магнитной проницаемости значительно упрощает задачу, сохраняя в ней наиболее существенное; наличие потерь на гистерезис, которые не зависят от частоты поля, и нелинейную зависимость между индукцией и напряженностью поля, которая рассматривается как функция координат. Достоинство комплексной магнитной проницаемости - достаточно простое описание свойств материалов, что позволяет исследовать весьма широкий круг задач при установившихся гармонических воздействиях внешнего поля. Компоненты комплексной проницаемости имеют энергетический смысл, что широко используется в инженерных расчетах [54, 178, 208].
Концепция комплексной магнитной проницаемости не описывает неустановившиеся и переходные процессы. Петля гистерезиса, согласно элементарным гипотезам, замыкается сразу же с первого цикла, В действительности, как показывает опыт, на первых трех-пяти циклах петля гистерезиса заметно отличается от установившегося значения в последующих циклах намагничивания, что можно объяснить лишь с позиций наследственной теории магнитного гистерезиса [196].
Для уменьшения потерь при вращении ротора гироскопа используется подвес тела в переменных полях [172]. Исследования по определению потерь в переключающихся импульсных полях выполнены в работе [48]. Для объяснения экспериментальных результатов полагается, что при вращении в переменном поле намагниченность не может мгновенно достигать своего стационарного значения. Учет процессов установления угла между векторами намагниченности и напряженности поля при вращении тела в импульсном переключающемся поле позволил построить зависимость величины потерь от частоты переменного поля и скорости вращения ротора.
Перейдем к обзору работ, связанных с изучением гистерезисных явлений при движении левитирующих тел в сверхпроводящем подвесе на основе ВТСП. Исследование магнитного трения позволяет оценить перспективы использования таких устройств в современной технике.
Гистерезисные потери присутствуют в низкотемпературных сверхпроводниках и существенно влияют на характеристики приборов [130, 210].
Левитация в сверхпроводящем подвесе на основе ВТСП имеет свои особенности. Механическое взаимодействие между ВТСП в смешанном состоянии и неоднородным магнитным полем достаточно сложно из-за сильного пиннинга [155, 156]. Сильный пиннинг является причиной столь необычного явления как гистерезис левитационной силы [247], устойчивая левитация магнита под сверхпроводником [251] (прослежена связь этого явления с гистерезисом намагничивания [253]). Подвес магнита под неодносвяз-ным сверхпроводником описан в работе [168]. Краткий обзор по проблемам магнитного трения при левитации сверхпроводников приведен в статье [219],
В ряде случаев, как и обычное трение, магнитное трение оказывается весьма полезным. Это обстоятельство используется при создании сверхпроводящих подвесов подвесов для транспортировки деталей в роботехниче-ских системах [260].
Важными вопросами в области приложений подвеса являются измерение и расчет подъемной силы при левитации сверхпроводника, т.е. определение грузоподъемности опоры,
В работе [258] измерили силу, действующую на магнит над диском из ВТСП при малых горизонтальных перемещениях магнита, и изучили крутильные колебания вдоль вертикальной оси. Для определения вида потенциальной кривой и общей энергии для преодоления потенциальной ямы магнит прикреплялся к стеклянной нити.
Аналогичные результаты получены методом резонансных колебаний постоянного магнита, свободно вывешенного над поверхностью ВТСП, и исследованы динамические потери [168]. Колебания с амплитудой меньше некоторой рассматриваются как квазиупругие, происходящие в диамагнитной области, без срыва вихрей с центров пиннинга.
Увеличение грузоподъемности подвеса за счет применения дополнительного магнита рассмотрено в работе [244].
Расчет подъемной силы на основе подсчета энергии вихрей, проникающих в сверхпроводник, выполнен в работе [232]. В статье [256] приведены результаты измерения силы в зависимости от высоты подвеса магнита Сравнение эксперимента и теории, предложенной в работе [232], выявили значительные расхождения, особенно дпя малых значений зазора между магнитом и сверхпроводником. Экспериментальные данные дают меньшее значение величины подъемной силы. Показано, что свойства подвеса сильно зависит от состава сверхпроводника. Для определения высоты, на которой находится магнит над сверхпроводящей пластиной, было предложено использовать эффективную магнитную проницаемость. Вычисления подтвердили приемлемость этой модели при подвесе небольших магнитов (характерные размеры сравнимы с величиной зазора), когда гистерезисные эффекты не наблюдались [258].
В работе [247] описан гистерезис «левитационной силы», т.е, зависимость подъемной силы от расстояния между магнитном и сверхпроводником зависит от предыстории движения магнита и сверхпроводника (она различна при удалении магнита от сверхпроводника и при его приближении к нему).
Таким образом, как показывает анализ литературных источников, к настоящему времени не разработано методов расчета подъемной силы, дающих хорошее совпадение с экспериментальными данными во всем диапазоне изменения зазора в подвесе.
Основные эксперименты по вращению и колебаниям твердого тела в подвесе на основе высокотемпературных сверхпроводников направлены, как правило, на определение физических параметров сверхпроводника и крити- jj ческого поля. Характер движения качественно меняется при достижении критических полей, зависит от состава сверхпроводника и его сверхпроводящих свойств.
Расчет тормозящей силы, действующей на движущийся над сверхпроводящей плоскостью проводник с током, проведен на основе модели Бина в работе [223] и в этой работе, по аналогии с механическим трением, используется понятие коэффициента магнитного трения. 1 Колебания маятника со сверхпроводящим шариком в магнитном поле использовались для определения свойств ВТСП [ 248 ]. В работе [ 261] изучались колебания магнита над СП 1-го рода и 2-го рода. Методом конформных отображений исследовано поведение диполя над идеальным СП и составлена функция Лагранжа, определены частоты колебаний электромеханической системы с 2 степенями свободы. В случае проникновение поля в проводник предлагается эмпирическая формула для подъемной силы.
Для исследования свойств высокотемпературных сверхпроводников измеряют механический момент, действующий на вращающийся сверхпроводник (метод "крутящего момента" [156]). Выделяется три составных части такого момента [156];
1) эффект формы - образец стремится повернуться таким образом, чтобы его длинная "ось" (сторона с наибольшим размером) была направлена вдоль оси поля;
2) эффект анизотропии - магнитный момент анизотропного сверхпроводника в смешанном состоянии не параллелен внешнему магнитному полю (если оно не направлено вдоль одной из главных осей тензора анизотро пиит что и приводит к появлению механического момента);
3) эффект пиннинга - при вращении образца во внешнем магнитном поле перестройка его вихревой структуры происходит с задержкой, приводя щей к непараллельное™ магнитного момента и поля.
Первые два механизма аналогичны явлениям, возникающим при вращении ферромагнитных образцов. Последний механизм, как и все явления, связанные с пиннингом, приводит к необратимости и потерям энергии при вращении образца, В медленно вращающемся магнитном поле появляется асимметрия зависимости механического момента, действующего на образец. Такая асимметрия появляется в смешанном состоянии, что и позволяет определить первое критическое поле. Определить критические значения полей позволяет и измерение момента, действующего на вращающийся сверхпроводник.
При помощи анизометра с торсионным подвесом измерен момент, действующий на вращающийся в однородном магнитном поле образец ВТСП [9, 10]. Величина момент представлена в виде суммы двух слагаемых, причем основной вклад вносит составляющая типа сухого трения, которая не зависит от скорости вращения. Влияние анизотропии образца при его вращении рассмотрено в работе [9]. В работе [85] рассмотрены динамические и диссипативные процессы в левитирующих и вращающихся высокотемпературных сверхпроводниках. Экспериментально показано, что левитирующий сверхпроводник не удается раскрутить вращающимся магнитным полем выше определенной угловой скорости.
Воздействие переменного поля на левитирующее в подвесе тело приводит к новым динамическим эффектам. В статье [194] описано исчезновение магнитного трения под действием слабого переменного поля при левитации сверхпроводника. При включении переменного поля возникает вращение магнита над сверхпроводящим кольцом [243] . Отмечен синхронизм в случае, когда угловая скорость магнита равна четверти частоты внешнего поля. Необычное поведение ВТСП в переменном поле описано в статье [195]. В зависимости от частоты внешнего поля сверхпроводник совершал колеба ния, либо вращался в ту или иную сторону.
Анализ литературы показывает, что в настоящее время проблемы магнитного трения изучены явно недостаточно. Целью работы является:
- исследование динамических эффектов, вызванных магнитным трением в неконтактном подвесе;
- разработка методов и алгоритмов расчета сил и моментов магнитного трения;
- анализ влияния формы поля и тела на силовые характеристики неконтактной опоры;
- разработка рекомендаций для проектирования неконтактных опор с улучшенными функциональными свойствами;
- экспериментальное изучение магнитного трения.
Методы исследования определялись спецификой расчетов и математических моделей. Использованы методы аналитической механики, теории поля, качественной теории дифференциальных уравнений и математической физики, асимптотические методы механики (метод многих масштабов и метод осреднения), методы численного моделирования.
Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, экспериментальной проверкой сравнением с экспериментальными данными и результатами других авторов.
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. В первых четырех главах исследуется магнитное трение, обусловленное вихревыми токами. Причем впервой, второй и третьей главе рассматривается динамика вращающихся тел, а в четвертой главе анализируется движение источников поля над проводящим полотном (высокоскоростные поезда). Магнитное трение, обусловленное вихревыми токами, зависит от скорости движение и в этом смысле аналогично вязкому трению, вызванное гистерезисными явлениями - слабо зависит от скорости движения и в этом плане аналогично сухому трению. В пятой главе рассмотрены диссипативные процессы, вызванные гистерезисными явлениями.
Первая глава посвящена исследованию движения проводящего цилиндрического ротора в магнитном подшипнике. Структура магнитного поля предполагается периодической вдоль оси вращения ротора. Эта модель позволяет, в частности, проанализировать эффекты, связанные с геометрическими характеристиками поля и указать способы уменьшения трения в системе без уменьшения грузоподъемности опоры.
Магнитное поле внутри вращающегося проводника определяется в результате решения уравнений электродинамики, записанного в квазистационарном приближении. Построены векторные цилиндрические функции, позволяющие свести решение векторных уравнений элеюродинамики к решению скалярных.
В разделе 1.2. по известному полю определены пондеромоторные сила и момент в магнитном поле с периодической структурой и проанализированы расчетные формулы.
Далее (раздел 1.3) анализируются силовые характеристики опоры. Рассмотрено влияние параметров задачи и формы магнитного поля как на величину, так и на направление возникающих сил магнитного трения. Доказано, что за счет выбора конфигурации магнитного поля можно регулировать тормозящий момент и силу. В частности, можно уменьшить тормозящий момент без изменения грузоподъемности опоры за счет дополнительного осесимметричного поля.
Во второй главе исследуется дестабилизирующее воздействие магнит- h ного трения, вызванного вихревыми токами, на движение ротора в неконтактной опоре.
В разделе 2.1. изучается влияние магнитного трения на устойчивость стационарного вращения при плоскопараллельных движениях ротора. Рассматривается перманентное вращение цилиндра и шара вокруг оси, совпадающей с осью симметрии магнитного поля. Исследование устойчивости решения системы дифференциальных уравнений основано на і } методике, разработанной для гидродинамических задач. На основании формул первой главы вычисляются силы при круговом движении, что дает возможность построить D-разбиение плоскости параметров «жесткость-коэффициент демпфирования» на области с различной степенью неустойчивости. Без внешних источников диссипации устойчивость нарушается при скоростях, превосходящих круговую частоту колебаний тела в подвесе. Определены значения параметров системы, необходимые для обеспечения работоспособности подвеса проводящего ротора.
Для демпфирования колебаний левитирующего тела предложено устройство с феррожидкостью в полости силового электромагнита. Движение левитирующего тела передается феррожидкости и гасится за счет трения о специальные сетки внутри полости.
В разделе 2.2. рассмотрены закономерности, связанные с влиянием конфигурации поля на направление сил магнитного трения. Показано, что в осесиммеїричном поле при смещении вращающегося тела от оси симметрии возникает циркуляционная сила, которая является причиной неустойчи- - вости ротора в подвесе и направлена таким образом, что стремится вызвать движение в форме прямой прецессии независимо от того, достигается максимум поля в центре подвеса или на периферии. Дается физическая интерпретация полученных результатов.
Результаты аналитического исследования проверены на специально созданной для этих целей экспериментальной установке с неконтактным подвесом ротора (раздел 2,3), Проведены эксперименты по измерению циркуляционной силы. Получено хорошее согласование для экспериментальных и расчетных значений.
В переменных полях магнитное трение, обусловленное вихревыми токами, может привести к хаотическим колебаниям твердого тела. В разделе 2,4. для определения области частот, при которых возможны такие колебания, проведено численное моделирование движений проводящей несбалансированной рамки с фиксированной осью вращения (так называемый магнитоэлектрический гаситель колебаний). Построено распределение точек в сечении Пуанкаре на плоскости "угол поворота рамки - угловая скорость". Численные расчеты показали, что возможны хаотические движения: тела. При этом область частот изменения поля близка к характерным угловым скоростям, при которых достигается максимум момента торможения при вращении в постоянном поле (область средних значений безразмерной угловой скорости). Показано, что существует область частот переменного лоля, когда возникает вращение рамки, и она играет роль своеобразного двигателя.
Третьи глава посвящена изучению динамики проводящего тела при движении проводящего тела произвольной формы с шестью степенями свободы в неоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа РеЙнольдса. При моделировании магнитного поля, так же как и в предыдущих главах, предполагается, что поле задано своим потенциалом вг области, не содержащей источников,
В разделе ЗЛ. построено решение уравнений Максвелла. Разработан алгоритм для расчета плотности тока и магнитного поля. Асимптотическое решение ищется в виде регулярной (медленно меняющейся) части ряда и функций типа пограничного слоя по времени, быстро меняющегося в окрестности начальной точки.
В следующей части (раздел 3.2) изучается структура сил и моментов, обусловленных вихревыми токами в проводящем материале движущегося тела произвольной формы в неоднородном магнитном поле.
Более подробно рассмотрен случай движения твердого тела для квазиоднородного поля, представленного суммой однородного поля и поля второй гармоники разложения потенциала. Стационарная электродинамическая задача определения компонент тензора магнитного трения аналогична задаче Стокса-Жуковского о движении тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью.
Методика вычисления силы и момента магнитного трения использована для решения задачи о динамике проводящего шара в квазиоднородном магнитном поле. Задача сводится к решению обыкновенных дифференци-альных уравнений 12 порядка. Численное решение показало, что магнитное трение приводит к взаимосвязи поступательных и вращательных движений твердого тела в неконтактной опоре.
В разделе 3.3. проведен анализ движения проводящего цилиндра в квазиоднородном магнитном поле. Определено распределение токов и построены функции, необходимые для вычисления силы и момента.
Исследовано влияние вихревых токов на устойчивость движения тела вокруг закрепленной точки в осесимметричном квазиоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса. В математической модели точка закрепления предполагается совпадающей с центром масс тела и главные центральные оси всего тела и проводящей части считаются совпадающими. Устойчивым является вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции, что доказывается построением функции Ляпунова.
Далее рассмотрено техническое приложение описанной методики. Ука зан алгоритм расчета тормозящего момента, действующего на электродинамический демпфер неконтактного подвеса. Он представляет собой прово дящую цилиндрическую пластину, помещенную в поле катушки с током. Полученные результаты обобщают известные данные для бесконечного цилиндра. Показано, что конечные размеры цилиндра весьма существенно влияют на расчеты,
В четвертой главе изучаются силы магнитного трения, возникающие при движении высокоскоростных поездов с неконтактным подвесом, которые получили название Маглев (MagLev), и электродинамических тормозов высокоскоростного наземного транспорта.
В разделе АЛ. изучены две задачи: во-первых, анализ соответствия сил, возникающих в барабанных моделях и при движении над плоским полотном, во-вторых, исследование колебаний магнита над проводящим барабаном.
Рассматривается модель барабанного типа, вторичная подвеска источников поля представлена двумя пружинами с постоянной жесткостью, скорость вращения проводящего цилиндра считается постоянной. Магнит моделируется двумя токовыми нитями. Математическое описание включает систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику магнита, и уравнения электродинамики.
Приведено решение электродинамической задачи в случае, когда токовые нити неподвижны над проводящим цилиндром. Доказано, что предельный переход в формулах для расчета левитационной силы приводит к известным результатам для плоского полотна. Другими словами, установки барабанного типа с достаточно большим радиусом цилиндра вполне пригодны для изучения стационарных процессов в системах электродинамического подвеса.
Далее исследуется устойчивость в малом горизонтально движения магнита под действием постоянной силы тяги. Полагается, что, размеры магнита и зазор между магнитом и поверхностью проводника много меньше радиуса цилиндра. Показано, что, начиная с определенной скорости относительного движения магнита и проводника, возникает «отрицательное трение», т.е. при увеличении скорости движения сила магнитного трения уменьшается, способствуя ускорению левитирующего тела. Построено D-разбиение плоскости параметров системы «жесткость подвеса - коэффициент демпфирования» на области с различной степенью неустойчивости, позволяющее количественно определить значение жесткости и необходимое демпфирование для обеспечения устойчивого движения. Для доказательства существования области устойчивости использован метод осреднения. Как следует из условий устойчивости, кривизна поверхности цилиндра существенно влияет на границу области устойчивости. Это объяснятся тем, что при смещении магнита появляется позиционная сила, которая отсутствует при движении над плоским полотном.
Анализ D- разбиения показывает, что при высоких скоростях движения существуют режимы, когда тело будет разгоняться за счет энергии двигателя, обеспечивающего постоянную силу тяги. Если имеется упругая вторичная подвеска, то возможны вибрации силового магнита. Такие процессы неприемлемы для эксплуатации поездов. Обеспечить стационарное движение могут системы активного или пассивного демпфирования.
Из формул для расчета сил магнитного трения следует, что использование зависимости сил сопротивления от скорости, полученных для стационарного движения, как это принято при исследовании фрикционных колебаний в механике, не всегда пригодно для описания динамических процессов при колебаниях магнита. В частности, переход на падающий участок рабочей характеристики зависимости силы магнитного трения от числа Рей нольдса может не сопровождаться неустойчивыми режимами. Физически это объясняется тем, что демпфирующего эффекта вихревых токов при колебаниях источников поля достаточно, чтобы подавить влияние "отрицательного трения".
В высокоскоростном пределе величина «отрицательного трения» стремится к нулю. Таким образом, существует своеобразный «электродинамический барьер» скорости, после прохождения которого требование к демпфированию колебаний силового магнита уменьшаются.
Для экспериментальной проверки динамических эффектов использовалась установка с упруго закрепленным магнитом над алюминиевым барабаном (раздел 4.2). Начиная с определенной скорости вращения цилиндрая возникали колебания магнита. Они происходили на падающем участке зависимости электродинамических сил от скорости и свидетельствовали о неустойчивости положения равновесия. Экспериментальные данные подтвердили результаты теоретического анализа о влиянии сил магнитного трения на устойчивость движения магнита над проводящим полотном,
В пятой главе исследованы процессы магнитного трения, обусловленные гистерезисными явлениями в магнитных материалах и высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП).
В разделе 5Л. описаны эксперименты по изучению гистерезисных явлений при левитации магнита над сверхпроводником. Для построения феноменологической модели, позволяющей оценить величину подъемной си-лы, действующей на постоянный магнит над сверхпроводящей пластиной, проведены ее измерения. При циклическом изменении зазора подъемная сила описывает петлю гистерезиса. Построены эмпирические зависимости силы от зазора между магнитом и пластиной.
Для расчета подъемной силы высокотемпературный сверхпроводник моделируется диамагнитной средой с некоторой эффективной магнитной проницаемостью. Поле постоянного магнита моделировалось полем катушки с током. Проведена оценка границ применимости модели с эффективной магнитной проницаемостью. Для этого решена обратная задача: вычислена магнитная проницаемость, при которой расчетное значение силы совпадало с экспериментальным. Показано, что концепция постоянной магнитной проницаемости применима для оценки величины подъемной силы нижней ветви гистерезисной кривой,
Гистерезные явления приводят к существованию множества состояний равновесия магнита над сверхпроводником. Для стабилизации положения магнита в высокотемпературном сверхпроводящем подвесе предложено использовать слабое, по сравнению с характерным полем магнита, переменное поле, позволяющее устранить гистерезис подъемной силы и за счет этого улучшить технические характеристики опоры.
Описаны конструкции подвеса постоянного магнита над высокотемпературным сверхпроводником, позволяющие существенно повысить грузоподъемность опоры. Экспериментально грузоподъемность опоры повышена на порядок.
Далее (раздел 5.2) приведены результаты измерения силы магнитного трения при движении магнита над диском из высокотемпературного сверхпроводника. Изложена методика эксперимента, приведена зависимость сил сопротивления от скорости движения и зазора между магнитом и диском. Получено, что основной вклад в силу сопротивления вносит составляющая, независящая от скорости движения. Экспериментальные данные для сверхпроводника сравниваются с результатами измерения, сил при движении над проводящим диском (модель электродинамического подвеса). На основе полученных результатов определен коэффициент магнитного трения, равный отношению силы магнитного трения к силе левитации при равномерном движении постоянного магнита.
Раздел 5.3 посвящен исследованию диссипативных процессов при вращении шара из высокотемпературного сверхпроводника в магнитном поле. На специально созданной установке измерен тормозящий момент, обусловленный гистерсзисньши явлениями в материале вращающегося шара. Излагается методика эксперимента. Для определения перспектив использования ВТСП в прецизионной технике проведено сравнение величины тормозящего момента для различных материалов, которые применяются в современном приборостроении. Удельные потери в ВТСП-керамике оказались выше. Как показали эксперименты, переменное поле может уменьшить тормозящий момент.
В разделе 5.4. изучается возможность использования интегральных операторов для описания вращательного гистерезиса. Предложена математическая модель для описания момента трения при вращении ферромагнитных образцов в переменном магнитном поле. Сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными подтверждает теоретические результаты.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:
- изучены закономерности, связанные с влиянием конфигурации поля на силовые характеристики магнитного подшипника;
- исследовано влияние магнитного трения и параметров подвеса на устойчивость движения левитирующего тела;
- разработан метод расчета сил и моментов сил при движениях проводящего тела произвольной формы в неоднородном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса;
- проведен анализ динамики проводящего тела в магнитном поле и обнаружена взаимосвязь движений по различным координатам;
- предложен способ прочностных испытаний материалов и адгезионных свойств покрытий в неконтактном подвесе;
- исследованы динамические эффекты в высокотемпературных сверхпроводящих подвесах и определены характеристики сил трения;
- указаны способы повышения грузоподъемности высокотемпературных сверхпроводящих опор и улучшения их характеристик за счет применения дополнительных магнитных полей.
Практическая ценность работы определяется тем, что полученные результаты позволяют
- определить параметры, при которых нарушается работоспособность устройств с неконтактным подвесом в приборах, машинах, высокоскоростном транспорте и указать способы устранения дестабилизирующих факторов;
- вычислить потери энергии, вызванные магнитным трением при движении левитирующего тела в неконтактных опорах, указать пути их уменьшения;
- дать оценку изменения точности приборов при воздействии сил магнитного трения;
- провести расчет электродинамических демпферов;
- оценить величину силы магнитного трения в подвесах на основе высоко-температурных сверхпроводников;
- улучшить технические показатели устройств с неконтактным подвесом.
Ряд предлагаемых технических решений прошел экспериментальную проверку.
Изложенные результаты могут быть использованы при проектировании, создании и модернизации технических устройств с неконтактными подвесами и в учебных курсах, отражающих достижения теории и практики магнитной левитации в современных технологиях.
Апробация работы. По теме диссертации сделаны доклады на семинаре в
Политехническом университете Нью-Йорка (США? 1993), Всесоюзных конференциях "Современные вопросы физики и приложения" (Москва, 1984, 1987), Всесоюзных конференциях "Современные вопросы механики и технологии машиностроения" (Москва, 1986, 1989), Всесоюзных конференциях "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, 1985, 1991), Всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1993 ), Всероссийской конференции "Проблемы машиноведения" (Н.Новгород, 1996), конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1992), научно-технической конференции "Проблемы машиноведения", семинаре им. акад, А.Ю Ишлинского по прикладной механике и управлению в МГУ (2004), научных семинарах Нижегородского филиала Института машиноведения РАН (1988-2004) и научных семинарах кафедры теоретической механики МЭИ (1983-2004),
Тезисы 23 докладов опубликованы в печати.
По теме диссертации опубликовано 46 работ, включая 1 монографию, 3 изобретения.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (93-013-16256, 96-01-00880, 96-01-00680, 96-02-19792), составляла предмет исследований ряда хоздоговорных тем.
Расчет пондеромоторных сил и тормозящего момента
По известному полю определим тормозящий момент и силу, действующие на элемент ротора длиной 21. Для этого воспользуемся тензором натяжений Максвелла [129] где S - поверхность, ограничивающая тело, ер- вектор внешней нормали к поверхности St г - радиус-вектор точки. Интегрирование ведется по внешней нормали к поверхности тела.
Как показано в работе [8]т поверхность 5 может охватывать не все тело, а лишь его часть, поэтому в качестве поверхности интегрирования вполне допустимо рассмотреть цилиндрическую поверхность S длиной 21 и две плоскости z .=±1, перпендикулярные образующим цилиндра, Вектор внешней нормали имеет на основаниях получившегося цилиндра противоположные направления. Магнитное поле, в силу периодичности по z 9 одинаково при z =±! . Таким образом, при вычислении проекций сил и момента по формулам (1.2.1) и (1.2.2) остается только интеграл по боковой поверхности цилиндра S . Формулы для проекций силы и момента на участке длиной 21 оси декартовой системы координат можно записать следующим образом
При вычислении интегралов удобно для физической интерпретации результатов представить внешнее магнитное поле в виде исходного и индуци рованного полей
Подставим компоненты вектора Не в (L2.3) - (1.2.5) и проведем интегриро-вание с учетом.ортогональности тригонометрических функций. При этом получаются ряды, общий член которых содержит произведения коэффициентов вида c/irncmn- у атпа , описывающих действие поля самого на себя.
Используя формулы для преобразований функций Бесселя, можно показать, что выражения, содержащие такие сомножители, обращаются в нуль. В окончательную формулу войдут лишь произведения коэффициентов вида с amjt.
После соответствующих преобразований находим Здесь для комплексно сопряженных величин введен верхний индекс . Для практических расчетов по полученным формулам необходимо иметь значения коэффициентов стп, характеризующих поле источников.
Запишем выражение для тормозящего момента сил и проекций силы в предположении, что известна нормальная составляющая напряженности магнитного поля на границе невращающегося ротора, Праюпчески в конкретных опорах такую информацию можно получить по результатам измерения поля в зазоре между ротором и статором магнитного подшипника. Остановимся на алгоритме определения входящих в формулу коэффициентов.
Направим ось ОХ (рис.1.1) для горизонтально расположенных валов против силы тяжести. Статическую силу, действующую на невращающийся цилиндр, также направим по оси ОХ, это будет подъемная сила. Внешнее поле, создающее такую силу, симметрично относительно плоскости OXZ.
Пусть распределение нормальной составляющей поля на границе невра-щающегося ротора представлено в виде ряда Фурье где amj1 - известные по результатам измерения коэффициенты разложения в ряд Фурье функции, описывающие поле на границе цилиндра, Н0 - характерное значение поля.
Коэффициенты стл в разложении потенциала (1.1Л) определяются через коэффициенты атм в (1.2.9) из решения магнитостатической задачи Неймана и равны Введем безразмерные величины М и F у которые связаны с моментом и силами соотношениями
Подставляя коэффициенты (1.2.10) и (1.1 Л 7), (1.1.18) в выражения (1.2.6) -(1.2.8), получим расчетные формулы для определения тормозящего момента Мг, подъемной Fx и поперечной Fy сил в магнитном поле:
Циркуляционные силы, обусловленные вихревыми токами в проводящем материале твердого тела
Следует отметить, что подобное поведение частотных функций при различных скоростях движения является общей чертой пондеромоторного взаимодействия проводящих тел с магнитным полем. Аналогичные характеристики для тел других форм отмечены в монографии [187] и подробно рассмотрены для шара в статьях [136-140].
Зависимость экстремума мнимой части частотной функции от но-меров гармоник. При анализе частотных функций интерес представляет значение безразмерного параметра 1 соответствующей точке экстремума функции 1тФ„, „ , соответствующей максимальной величине тормозящего момента для данной гармоники. Остановимся более подробно на зависимости положения экстремума функции от номеров m, п пространственных гармоник. Результаты расчетов представлены нарис. 1.3. при ц-1 для трех различных параметро
При росте параметра гт , что соответствует увеличению номера т или отношения /М, максимум функции сдвигается в сторону больших значений Q, (в высокочастотную область). При увеличении номера п так же сохраняется тенденция к сдвигу в высокочастотную область.
Отметим, что аналогичное поведение частотных функций в зависимо Зависимость частотной функций от безразмерной скорости для параметров: от номера сферических гармоник получено для шара [136-140]. Однако, для цилиндрического тела существуют отличия. Например, если гт 19 то для некоторых начальных номеров п положение точки максимума частотной характеристики относительно гармоники с п = 1 достигается при меньших величинах П . Значения магнитного числа Рейнольдса Re ma?4 = О , , при которых достигается экстремум функции Im Фш п при значениях гх =я72, // = 1 приведены в табл.1.1. и отражены на диаграмме рис.1.4. Именно сдвиг точки максимума в низкочастотную область наблюдается для второй гармоники п-2. Тем не менее, при дальнейшем увеличении номера гармоник п максимум достигается при более высоких числах Рейнольдса.
Таким образом, как показали расчеты, с увеличением номера гармоники величина максимума имеет тенденцию к уменьшению и сдвигается в область более высоких скоростей вращения. Отсюда следует вывод, что для умень шения потерь вместо шихтованного ротора, если рабочая точка находится на возрастающем участке рабочей характеристики, нужно создать более «изрезанное поле» за счет большего числа полюсов.
Влияние формы поля на величину тормозящего момента. Зависимость силы и момента трения от конфигурации поля различна. Из формулы для тормозящего момента (1,2.11) следует, что каждая гармоника вносит вклад в суммарный момент независимо от других гармоник. При этом составляющая магнитного поля, соответствующая осесимметричному полю («= 0J вклада в тормозящий момент не дает.
В формулы (1.2.12) - (1.2.14) для расчета сил входит произведение соседних гармоник п и (п + 1) но угловой координате (р . Отсюда следует: - в осесимметричное поле сила и момент трения равны нулю; - в полях, конфигурация которых описываются только четными или нечетными гармониками присутствует только тормозящий момент.
Магнитное число Рейнольдса RemmiW в точке экстремума частотной функции для гармоник с различными номерами
Осесимметричное магнитное поле. В формулу (1.2,12) для расчета подъемной силы входит произведение ат0атд соседних гармоник по угловой координате ф . За счет создания большой радиальной составляющей магнитного поля ат0 по отношению к составляющей первой гармоники ддаЛ , можно увеличить подъемную силу без изменения тормозящего момента, который не зависит от амплитудной части нулевой гармоники. Нулевой гармонике соответствует осесимметричное магнитное поле. Отсюда следует вывод, что осесимметричное поле не изменяет тормозящий момент, но влияет на грузоподъемность опоры.
Для уменьшения момента без изменения подъемной силы следует создать дополнительное осесимметричное поле и уменьшить амплитуду неоси-симметричной составляющей. Такое поле может быть создано, например, при помощи радиально намагниченных постоянных магнитов. При этом конструкция и параметры ротора остаются без изменения, В реальных устройствах возможность уменьшения тормозящего момента ограничена насыщением материала ротора при намагничивании.
Сравнение величин составляющих пондеромоторной силы и тормозящего момента при различной конфигурации поля. Для более детального анализа влияния формы магнитного поля на силовые характеристики проведен численный расчет по формулам (1.2.11) - (1.2Л 5).
Расчет силы и момента сил
Выводы о влиянии конфигурации магнитного поля на характер движения проводящего тела, полученные в предыдущих разделах диссертации, были проверены на специально созданной экспериментальной установке. Для подтверждения расчетных формул определялись количественные показатели.
Опоры ротора могут оказать существенное влияние на его движение. Для того, чтобы выделить процессы, связанные с вихревыми токами в проводящем материале вращающегося тела, закрепление должно обеспечивать возможность поступательных движений и. оказывать как можно меньшее воздействие на вращающийся ротор. Таким требованием удовлетворяет неконтактный подвес, который и был использован в экспериментах.
Описание экспериментальной установки Схема установки, на которой проводились эксперименты, приведена на рис.2.8. Дюралюминиевый цилиндрический ротор 1 диаметром 0,04 м длиной 0,27 м массой 1,00 кг вывешивался в магнитном поле управляемого электромагнита 2 при помощи ферромагнитного шара 3. Нижний конец вала центрировался с помощью постоянного магнита 4 демпфирующего устройства и стального наконечника 5, ввинченного в ротор.
Для приведения во вращение левитирующего тела использовалось бегущее магнитное поле, создаваемое катушками статора асинхронного двигателя б. Направление и скорость вращения магнитного поля двигателя 6 можно было изменять, что позволяло регулировать скорость вращения ротора и осуществлять его торможение. Магнит 4 демпфирующего устройства 7 устанавливался на поплавке, находящемся в сосуде с жидкостью (глицерин). Такого рода неконтактный демпфер не препятствовал вращению ротора. Вместе с тем, поперечные колебания ротора приводили к колебаниям поплавка, которые демпфировались жидкостью, и, таким образом, осуществлялась диссипация энергии поперечных колебаний ротора. Магнитная система 8, моделирующая магнитный подшипник, представляла собой четыре катушки, соединенные магнитопроводом. Катушки включались встречно так, что создавалось постоянное осесимметричное магнитное поле с периодической структурой вдоль оси вращения, как показано на рис. 1Л. Внутренний диаметр магнитной системы равен 0,048 м, расстояние между полюсами / = 0,02 м. Наблюдение за движением вала осуществлялось с помощью двухлуче-вого осциллографа. На пего подавались сигналы с двух взаимно перпендикулярных фотодатчиков, и на экране высвечивалась кривая, соответствующая движению центра цилиндра. Для измерения скорости вращения на ро - 106 тор наносилась метка, движение которой регистрировалось фотооптическим датчиком, сигнал с которого подавался на частотомер.
Методика эксперимента и основные результаты. Ротор вывешивался в магнитном поле при помоши электромагнита первоначально без демпфера. Демпфер устанавливался таким образом, чтобы избежать отклонения от вертикали (смещение фиксировалось фотодатчиками). Для уменьшения биений ротора проводилась статическая и динамическая балансировка. Для этого использовались винты, расположенные в специально высверленных сквозных отверстиях в верхней и нижней частях ротора. Магнитная система и двигатель устанавливались таким образом, чтобы ось симметрии магнитного поля совпадала с осью вращения ротора. При этом использовалось следующее обстоятельство. Если оси совпадали, то включение небольшого по величине магнитного поля не приводит к смещению вращающегося ротора, поскольку главный вектор системы пондеромоторных сил равен нулю. Регулировочными винтами магнитная система и двигатель устанавливались таким образом, чтобы вращающийся ротор не смещался при включении поля. Вывешенное тело раскручивалось двигателем. Скорость вращения ротора поддерживалась постоянной (с точностью до 1 об/с) за счет регулирования скорости вращения поля двигателя. При выключенной магнитной системе ротор устойчиво вращался до скоростей порядка П= 628 ]/с (100 об/с). При более высоких скоростях возникало плоскопараллельное движение ротора, при котором центр ротора двигался по раскручивающейся спирали. Направление движение совпадало с направлением вращения (прямая прецессия). Такого рода неустойчивость вызвана, по-видимому, взаимодействием вращающегося тела с воздухом
Экспериментальное исследование динамики магнита над вращающимся барабаном
Данная глава посвящена разработке методов вычисления сил и моментов магнитного трения при движении проводящего тела произвольной формы с шестью степенями свободы в неоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса. Исследованы динамические эффекты, вызванные магнитным трением. При моделировании магнитного поля, так же как и в предыдущих главах, предполагается, что поле задано своим потенциалом в области, не содержащей источников.
Анализ динамики твердого тела в неоднородном магнитном поле наталкивается на серьезные математические трудности, В общем случае главный вектор пондеромоторньтх сил отличен от нуля, а его величина, вообще говоря, зависит от углового положения тела относительно поля.
Силы магнитного трения сложным образом зависят от движения тела. Для определения сил и моментов сил, обусловленных вихревыми токами, возможно построение упрощенных математических моделей при использовании асимптотических методов разделения быстрых и медленных переменных [30]. В данной главе именно такой подход применяется для исследования движения твердого тела (малые числа Рейнольдса) произвольной формы в неоднородном поле.
Во многих приборах с неконтактным подвесом скорость вращения или проводимость ротора столь малы, что магнитное число Рейнольдса характерный размер тела, v - характерная скорость) является малым по сравнению с единицей (слабый скин-эффект, когда "глубина проникновения" поля велика по сравнению с характерными размерами тела).
В этом частном, но важном для практики случае, можно воспользоваться асимптотическим методом для соответствующей сингулярно возмущенной электродинамической задачи и ограничиться в выражении для токов, сил и моментов магнитного трения линейными членами разложения по малому параметру.
Расчет полей, токов и сил необходим во многих задачах, а именно: исследование левитации тела в неконтактных подвесах, анализ влияния магнитного поля на динамику тел в космическом пространстве, изучение работы электродинамических демпферов, конструирование магнитных катапульт, разработка поезда на магнитном подвесе и др.
Вычисление момента сил требуется для решения задач управления углом нутации при прецессии ротора. Движение в форме регулярной прецессии твердого тела может быть использовано в технических приложениях. При наложении двух видов вращения образца: вокруг собственной оси и вокруг оси прецессии появляются (при условии неравенства главных моментов инерции) дополнительные переменные периодические силы инерции, частота которых определяется углом нутации [61]. Использование этого эффекта позволило автору совместно с Ю.Г.Мартыненко предложить способ прочностных испытаний материалов, который дает возможность отказаться от режима постоянного разгона-остановки ротора с сохранением циклического действия центробежных сил.
Более детально опишем этот способ. Рассмотрим образец, представляющий собой твердое тело 1 с нанесенным на него покрытием 2 (рис.3 Л.), Ротор вывешивается в поле электромагнита 3 и раскручивается магнитным полем катушек -/, Управление угловым движением осуществляется при помощи катушек управления 5, Силы инерции, действующие на элемент объема испытуемого образца, определяются соотношениями [1501
При вращении образца указанным способом возникают циклически меняющиеся с частой v н двойной частотой v составляющие центробежной силы, что позволяет осуществить испытания на прочность материалов и адгезионных свойств покрытий с циклической нагрузкой. Испытания проводятся до разрушения покрьгтия. Величина силы, которая приводит к отрыву покрытия, определяется по приведенным выше формулам, где Am - масса оторвавшегося участка.
Для покрытия, нанесенного на экватор сферической оболочки, центробежная сила определяется следующим образом где R - внешний радиус оболочки. Имеется постоянная составляющая силы F - Д т R(а / 2 + Ь \ и меняющаяся с двойной частотой циклическая нагрузка F - Am ilia /2(еда2 w). Максимальное значение силы Fm =AmRia +/? , минимальное FQ= AmRb ,
Для указанного способа определения адгезионных свойств покрытий не является существенным тип неконтактного подвеса. Он может быть магнитным, электростатическим, электродинамическим.
В однородном магнитном поле было изучено вращение проводящего тела около центра масс [42,147]. В этом случае главный вектор пондеромо-торных сил обращается в нулц и задача сводится к анализу только углового движения. Показано, что для описания динамики твердого проводящего тела в однородном поле достаточно тензоров второго ранга. Помимо тензора инерции требуется определить компоненты тензора присоединенных моментов инерции, которые используются в гидродинамической задаче о движении твердого тела с полостями, содержащими идеальную жидкость.
Однородное магнитное поле в той или иной мере является приближением реального распределения магнитного поля, поскольку силовые линии поля всегда замкнуты. Следующим важным для практики приближением, зачастую достаточным для инженерных расчетов, является модель квазиоднр-родного магнитного поля. В такой модели уже можно исследовать эффекты, связанные с силовым взаимодействием. Под квазиоднородным полем Н, следуя определению Л,Д. Ландау и Е.М. Лифшица [129], будем понимать слабо меняющееся в пространстве поле, такое, что для любого постоянного (не зависящего от координат) вектора А, вектор (A, VjH является постоянным.
