Содержание к диссертации
Введение
1 Очерк развития теории систем с трением и задачи диссертационного исследования 7
1.1 Законы трения Кулона 7
1.2 Ошибочная позиция в расчете систем с трением и необходимость построения специальной теории систем с трением 9
1.3 Парадоксы Пэнлеве. Первая задача теории систем с трением 12
1.4 Анализ движении системы Пэнлеве-Клейпа 19
1.5 Необходимость дополнительной трактовки кинематики системы с трением, освобожденной от контактной связи с трением . 19
1.6 Исследование вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда 19
1.7 Истолкование принципа Гаусса для систем с трением 20
2 Анализ системы Пэнлеве-Клейна 22
2.1 Критический анализ формулы закона Кулона 22
2.2 Уравнение движения и уравнение реакции системы Пэнлеве-Клейна 23
2.3 Анализ движения системы при условии 0 < \i tg (р < 1 26
2.4 Анализ поведения системы при условии 1 < fitgcp < 2 30
2.5 Анализ системы при условии ц tg
2 34
2.6 Анализ поведения системы при ntgip = 1 40
2.7 Анализ движения системы при условии \х tg(/? = 2 42
2.8 Заключение главы 45
3 Кинематика системы, освобожденной от контактной связи с трением 50
3.1 Постановка задачи 50
3.2 Контактная связь с трением 51
3.3 Пример 1. Кривошипный механизм 54
3.4 Пример 2. Задача Пэнлеве-Клейна 60
3.5 Заключение 62
4 Динамика вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда 63
4.1 Вводные предложения 63
4.2 Уравнение движения и уравнение реакции вращательной пары . 65
4.3 Условие парадоксов Пэнлеве 71
4.4 Математическое моделирование маятника Жуковского-Фроуда 75
4.5 Положения равновесия маятника Жуковского-Фроуда 80
4.6 Свободные колебания маятника Жуковского-Фроуда около устойчивого положения равновесия 80
4.7 Режим совместного вращения маятника с шипом с угловой скоростью ф = wo = const 83
4.8 Релаксационные автоколебания маятника Жуковского-Фроуда . 85
4.9 Влияние вязкого сопротивления среды на релаксационные автоколебания 95
4.10 Заключение главы 98
5 Учет сухого трения в кулисном механизме строгального станка 100
5.1 Вводные предложения 100
5.2 Дифференциальное уравнение движения и выражение реакции 100
5.3 Возможность парадоксов Пэнлеве 105
5.4 Анализ режима равномерного движения системы строгального станка 108
5.5 Выводы 136
6 Истолкование принципа Гаусса для систем с трением 141
6.1 Вводные предложения 141
6.2 Силы трения, приложенные к отдельным материальным точкам механической системы 142
6.3 Формулировка принципа Гаусса для систем с кулоновым трением 144
6.4 Пример вращательной пары 148
Общие выводы и заключение 153
Литература 155
- Ошибочная позиция в расчете систем с трением и необходимость построения специальной теории систем с трением
- Уравнение движения и уравнение реакции системы Пэнлеве-Клейна
- Уравнение движения и уравнение реакции вращательной пары .
- Свободные колебания маятника Жуковского-Фроуда около устойчивого положения равновесия
Введение к работе
Прошло более двухсот лет со времени выхода знаменитых мемуаров Ш. О. Кулона «Теория простых машин», в которых впервые были сформулированы законы контактного трения. За это время все ведущие механики мира, как А. Аппель, Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, А. П. Маркеев всегда уделяли должное внимание вопросам о влиянии сил трения па равновесие и движение механических систем. Тем не менее, в науке о системах с трением, как ни в какой другой области механики, еще осталось много нерешенных проблем. К числу таких проблем относятся, в частности, парадоксальные ситуации несуществования и неединственности решения задачи динамики систем с трением. Эти ситуации были обнаружены в конце XIX века П. Пэнлеве и впоследствии получили название "Парадоксы Пэнлеве". Парадоксы Пэнлеве до настоящего времени остаются в центре внимания ученых и специалистов по машиностроению при решении задач динамики систем с трением.
Кроме парадоксов Пэнлеве ученые отметили другие сложные специфические проблемы систем с трением: самоторможение материальных систем, возникновение фрикционных автоколебаний и т. п.
В самом деле, основное различие систем с трением по сравнению с системами без трения заключается в том, что элементарная работа реакции связей в любой системе с трением на произвольном виртуальном перемещении, вообще говоря, не равна пулю. В то же время при расчете динамики систем с трением, инженеры и специалисты, как правило, применяют общеизвестные положения классической механики (главные уравнения динамики, уравнения Лагранжа, уравнения Аппеля, вариационные принципы механи-
ки), которые были выведены на основании предположения о несовершении работы реакциями связей. Осознав значимость отмеченного противоречия, ученые пришли к общему мнению о необходимости создать общую теорию движения систем с трением, в которой с единой позиции разрабатываются подходы ко всем специфическим задачам, возникающим в связи с особенностями систем с трением.
Вышедшая в конце XIX века книга П. Пэнлеве "Лекции о трении"является первой попыткой построить общую теорию движения для систем с трением. В этой книге изучались три специфические задачи:
выводы уравнений систем с трением
решение парадоксов Пэнлеве
построение новой математической формулировки законов трения, которая в отличие от модели Кулона не приводит к парадоксам.
Хотя в книге ни одна из этих задач не доведена до логического конца, многие сделанные Пэнлеве выводы служат новыми идеями для исследователей последующих поколений.
Одновременно с Пэнлеве и после него появлялось большое количество литературы, посвященной созданию теории движения систем с трением. Среди множества публикаций ученых выделяются работы Ле Суан Аня, в которых автор впервые убедительно доказал существования всего шести специфических задач теории систем с трением:
вывод уравнений нормальных реакций
вывод дифференциальных уравнений движения, в которых реакции исключены
решение парадоксов Пэнлеве
вывод условия сохранения неподвижного состояния и условия перехода в движение
разработка понятия самоторможения систем с трением
построение теории фрикционных автоколебаний
В [22] изложены решения этих задач. По мнению автора, эти задачи
исчерпывают теорию систем с трением, тем самым можно охарактеризовать результаты исследований Ле Суан Аня как первую общую теорию движения систем с трением.
Изложенный в настоящей диссертации материал является попыткой сделать некоторое дополнение к теории механических систем с трением. Как будет показано в гл. 1, анализ теории Ле Суан Аня и всех существующих теорий по данной проблематике, подтверждает правомерность постановки следующих задач диссертационного исследования:
1)Анализ движении системы Пэнлеве-Клейна
Кинематика систем с трением при освобождении ее от контактной связи с трением
Исследование вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда с точным учетом кулоновского трения в подшипнике скольжения.
Итолкование принципа Гаусса для систем с трением
Учет сухого трения в кулисном механизме строгального станка
Ошибочная позиция в расчете систем с трением и необходимость построения специальной теории систем с трением
В XX веке среди ученых и специалистов сформировалось общее мнение, что при решении задач с силами трения достаточно сначала отнести силы трения к числу задаваемых сил, затем общеизвестным методом (например методом уравнения Лагранжа) составить уравнения движения и решать эти уравнения для нахождения реакции связей и законов движения. Благодаря такому подходу отпала необходимость строить специальную теорию для данного класса систем, так как величины реакции и законы движения можно определить с помощью теории движения идеальных систем (систем без трения). В соответствии с отмеченной позицией, во многих учебниках теории механизмов и машин [8, 18, 24] авторы уже на стадии постановки задачи исследования рассматривают силы трения как некоторые заранее известные силы. Однако, согласно закону трения, силы трения равны нормальным реакциям R, умноженным на коэффициент трения ц. При этом, если коэффициент трения во всяком случае можно определить при помощи справочников машиностроения, то нормальные реакции R, как правило, являются неизвестными функциями активных сил, координат, скоростей и коэффициентов трения. Поэтому, как реакции R, так и силы трения Rr нельзя рассматривать как некоторые заданные величины.
Определение этих сил является обязательной задачей при рассмотрении реальной системы с трением. Для облегчения этой процедуры во многих учебниках теории механизмов и машин [34 и др.] величины нормальных реакций R часто принимают равными реакциям при отсутствии трения. Благодаря такому допущению, задачи о системах с трением сводятся к задачам о системах без трения, так как все реакции связей и законы движения систем с трением можно определить при помощи известных положений теории систем без трения. Однако, такое допущение в общем случае может привести к грубой ошибке в определении реакции связей, а следовательно и в определении напряженно-деформированного состояния рассматриваемой системы и в определении закона ее движения в целом. С целью убедиться в несостоятельности такого допущения рассмотрим пример маятника Жуковского-Фроуда. На рис. 1.2 приняты следующие обозначения: г - радиус вала, и - угловая скорость вращения вала, / - длина маятника, т. е. расстояние от центра О до материальной точки 8,171- масса точки S (цапфа считается невесомой), if - угол вращения цапфы. Если определять реакцию R согласно отмеченному допущению, то эта реакция будет равна сумме от центробежной силы инерции маятника и проекции силы притяжения тд на линию OS. Тогда получим такую реакцию RQ: тогда как, согласно точному расчету, выполненному Ле Суан Аием [22], величина нормальной реакции определяется формулой Формулы (1.3) и (1.4) показывают, что в то время, когда Ro имеет конечное значение, величина R может обращаться в бесконечность при стремлении величины OS = I к критическому значению U Таким образом принятые в XX веке допущения являются грубой ошибкой.
Доказанное еще раз подтверждает правомерность вывода, сделанного в предисловии. А именно: для данного класса механических систем необходимо построить общую теорию движения, которая включает в себя все специфические задачи, возникающие в связи с особенностью этих систем. Первая попытка построения этой теории изложена в книге "Лекции о трении- известного французского математика и механика П. Пэнлеве [30]. В ней исследовались три специфические задачи: 1) Вывод уравнений движения и уравнений реакции 2) Разрешение парадоксов Пэнлеве 3) Построение новой формулировки закона трения, которая, в отличии от формулировки Кулона, не приводит к парадоксальным ситуациям. Позднее Ле Суан Ань показал, что для построения теории систем с трением необходимо решать не три специфические задачи, а шесть задач, перечисленных во Введении.
Уравнение движения и уравнение реакции системы Пэнлеве-Клейна
Расчетная система этой задачи дана в главе 1 (рис. 1.3). Система состоит из двух материальных точек Mi и Мч с единичными массами т\ = Ш2 = 1. Эти точки соединены нерастяжимым и безынерционным стержнем M\M i, который составляет с горизонтальной плоскостью Ох угол ір и двигается по параллельным направляющим I и II соответственно. Направляющая II считается гладкой. К точке М.2 приложена горизонтальная сила Р. Направляющая I считается негладкой, так что при движении точки М\ возникает сопротивление RT, которое подчиняется закону Кулона (1.2). Для целей последующего анализа этот закон целесообразно записать в обращенной форме где /1+ - как и выше, коэффициент трения покоя, ц - коэффициент трения движения, a R - нормальная реакция основания. Движение данной системы описывается уравнениями Как всякая механическая система, рассматриваемая система может находиться в двух состояниях: 1) в состоянии покоя х = 0 2) в состоянии движения х Ф О Рассмотрим последовательно эти два состояния. Начнем с состояния покоя. Имеем условия: і, = О, х = 0. Уравнения динамики тогда принимают вид уравнений статики Уравнение трения (2.2) дает в этом случае На основе(2.4) и (2.5),предполагая что 0 /? , получим неравенства Итак, если система Пэнлеве-Клейна неподвижна, то необходимо выполнение неравенства (2.7). Вывод таков: система Пэнлеве-Клейна может находится в состоянии покоя при произвольной сколь угодно большой действующей внешней силе, если только выполнено условие (2.7). Переходим к рассмотрению состояния движения.
Принимаем х ф 0 и, возможно, х ф1 0. В этом случае вместо первого уравнения (2.1) имеем второе: Вместе с тем уравнения динамики (2.2) сохраняют силу. Исключая из них силу трения RT с помощью (2.8) получаем систему Введем новые обозначения: \ — signR Є2 — signx При этом система уравнений (2.9) перепишется в виде Исключая отсюда ускорение приходим к уравнению, связывающему усилие Р и реакцию основания R Исключая отсюда усилие Р, приходим к уравнению, связывающему реакцию основания и ускорение Уравнение (2.11) играет решающую роль: с его помощью по заданной внешней силе Р должны быть определены неизвестная реакция основания R. После этого с помощью (2.12) находится ускорение и уже после этого завершается анализ движения. Итак, главное внимание должно быть уделено уравнению (2.11). Оно является нелинейным относительно реакции R. Поэтому прямое его решение оказывается невозможным. Все исследователи, занимающиеся системой Пэнлеве-Клейна обычно решали обратную задачу: задавали R и находили Р. Левая часть уравнения (2.11) порождает два параметра системы: \х и (р. Считаем, что они постоянны, но могут принимать различные положительные значения, кроме того в это уравнение входят х, R. Реакция R может принимать как положительные, так и отрицательные и даже нулевое значения. Что касается скорости х, то она может быть только положительной или отрицательной. Вообще говоря, скорость тоже может принять пулевое значение, но для анализа этого случая следует применять уравнения статики (2.3). Таким образом, следует рассматривать девять комбинаций значений скорости и реакции. Соотношение знаков всех величин Р, R, it существенно зависит от произведения fitgtp. Как видно из последних двух формул, следует рассматривать по отдельности следующие интервалы значений /itgy?: О /itg /? 1, 1 fitg(f 2, fitgip 2 и два пограничных значения jitgcp = 1, /itg(f = 2. Итак, имеется пять возможностей для произведения ц tg (р и девять возможностей для скорости х и реакции R. Всего оказывается 45 вариантов. Рассмотрим их последовательно. Здесь введена следующая индексация случаев: (+ +) означает что х О, R О, а (4- -) - что х О, R 0 и т. д.
Уравнение движения и уравнение реакции вращательной пары .
Выбирем положительное направление вращения по часовой стрелке (рис. 4.1). За независимые обобщенные координаты принимаем угол q между прямой ОС и вертикальной осью Оу и угол (р между прямой CS и осью Оу. Тогда вектор-радиус центра инерции S является функцией этих обобщенных координат Верхний индекс "0"означает, что этот вектор определяется до отбрасы вания контактной связи.
Судя по рис. 4.1 можем записать: Следовательно, Дифференцируя по переменным q и ip, получаем С целью применения принципа освобождаемости для вывода уравнений динамики зададим следующие избыточные переменные. Пусть цапфа вместе с твердым телом совершает поступательное избыточное перемещение на величину h в направлении вектор-нормали т к поверхности соприкосновения (рис.4.1). После такого перемещения вектор-радиус точки S определяется таким образом: (4.5) Здесь индекс " "означает, что вектор r s определяется для освобожденной системы. Из (4.5) следуют выражения производных вектора r s по h, q и р Для определения коэффициентов кинетической энергии используют общеиз вестные формулы теоретической механики с учетом (4.4) и (4.6). Скорость центра инерции системы определяется в виде Кинетическая энергия системы имеет выражение Здесь индексы 1,2,3 при коэффициентах кинетической энергии относятся соответственно к координатам q, ip, h. Внешними усилиями являются силы веса mgi2 и крутящий момент М. При этом обобщенные силы, отнесенные к координатам q, р, h будут Зафиксируем соответственно на цапфе и на вале точки А и В, которые в рассматриваемый момент попадают в контакт, то есть совпадают с точкой Т (рис. 4.1). Скорости их движения могут быть представлены в виде Вектор относительной скорости скольжения V? определяется как относительная скорость точки А по отношению к точке В следовательно, модуль скорости скольжения равен где обозначено є2 = sign [гф — (г — ro)q — rotb o] Отсюда найдем производные величины скорости скольжения по обобщенным координатам
Кроме того, руководствуясь методом вычисления обобщенных реакций связи, предположенным в [22], найдем где Єї = signR, R - нормальная реакция, с которой цапфа и вал прижимаются друг к другу в точке соприкасания. На основе метода отбрасывания связей с учетом (4.8) - (4.15) уравнения Лагранжа II рода могут быть представлены в виде Следуя [22], дифференциальные уравнения движения и уравнение реакции представим в форме где RQ - величина нормальной реакции при отсутствии трения в контактной связи. Заметим, что в [22] приводятся все формулы для вычисления величины L, Fs, Gsj Ro при известных значениях коэффициентов кинетической энергии
Свободные колебания маятника Жуковского-Фроуда около устойчивого положения равновесия
Рассмотрим свободные колебания около устойчивого положения равновесия при следующих ограничениях :. В этом случае : е\ = -1; Є2 = —1,є = -1 Для исследования этих свободных колебаний на фазовой плоскости введем новые переменные: С учетом этих условий можно преобразовать уравнение движения (4.32) к виду Общее решение уравнения (4.36) имеет вид где С - постоянная интегрирования. Для наших условий ір(0) — (3, ф(0) = 0 имеем что соответствует особой точке ф = ф — О фазовой плоскости (ф, ф) Для ненулевых начальных значений фиф фазовые траектории замкнуты, вложены одна в другую, симметричны относительно оси ф, но несимметричны относительно оси ф (рис. 4.4). Причем левое отклонение —фт[п меньше, чем правое фтах- Поэтому колебания по форме существенно отличаются от синусоидальных. Уравнения (4.36) и (4.37) верны только при условии tpmax f . Ибо для На основании сделанного замечания заключаем, что уравнение (4.37) описывает свободные колебания маятника Жуковского-Фроуда, для которых соответствии с этим (5 = 12,12; cmin = -1,65; стах = -О,60; р = 0,45. Для малых колебаний sin ф ф. При этом уравнения (4.36) и (4.37) сводятся к форме, рассмотренной в [1] для пояснения случая, когда зависимая от квадрата скорости сила не нарушает консервативность системы. В этой связи отметим, что маятник Жуковского-Фроуда при постоянном коэффициенте трения может рассматриваться как пример консервативной системы такого рода. Причем наличие в уравнении движения (4.32) члена, зависящего от ф2 объясняется тем, что сила трения пропорциональна нормальной реакции, которая, в свою очередь, зависит от ф2, т. е. отражает центробежную составляющую силы трения. 4.7 Режим совместного вращения маятника с шипом с угловой скоростью ф = щ — const Предложение .
Если то угловая скорость ф(і) будет с временем уменьшаться до значения UQ, после чего цапфа будет вращаться вместе с шипом со скоростью UJQ. Доказательство. Из условий (4.39) следует д cos ip + Іфо2 д cos (р + рш$ 0 Тогда в начальный момент времени справедливы равенства (4.40) и уравнение движения (4.32) приводится к следующему: Соотношения (4.40) и (4.41) справедливы для всех ф Шо, поэтому скорость ф будет во времени уменьшаться до тех пор, пока не станет равной DQ. Пусть в некоторый момент to имеем ф о) — о;о- Легко убедиться в том, что для t to ускорение ф всегда будет равно нулю. В самом деле, если бы в некоторый момент t to значение ф стало строго положительным, то для бесконечно малого положительного At e\(t + At) = sign(g cos (р + IUJQ) = 1 e2(t + At) = signet + At) - uj0) = 1 и из (4.32) вытекало бы неравенство которое может быть только в случае Wg К Но это противоречит заданному условию (4.39) Если же в момент t to ф{$\) 0, то є\ = 1, Є2 = —1 и из (4.32 следовало бы равенство которое снова приводится к условию LUO (2)5, то есть снова противоречит (4.39). Таким образом, после того как угловая скорость достигает значения ф — шо, величина ускорения ф не может быть ни положительной, ни отрицательной, а потому равна нулю. Следовательно, для t to ф = щ, т. е. маятник (цапфа) и вал (шип) будут совместно вращаться с постоянной угловой скоростью ф = шо = const. Предложение доказано. Релаксационными называют [1, 8, 13, 20] фрикционные автоколебания, для которых каждый колебательный цикл отчетливо распадается на два участка: 1) участок сцепления, 2) участок скольжения.
В случае маятника Жуковского-Фроуда следует понимать, что на участке сцепления цапфа вращается совместно с шипом, с заданной скоростью UJQ; а на участке скольжения ф ф а о и относительная скорость вращения цапфы по отношению к шипу будет отличаться от нуля. Для объяснения возникновения релаксационных автоколебаний ученые выдвигают различные предположения о характеристиках сил трения. Среди всех точек зрения в конце XX века особо привлекли внимание специалистов две гипотезы: гипотеза И. В. Крагельского [14,15] и гипотеза Ле Суан Аня [20]. Оба автора считают главной причиной возникновения релаксационных автоколебаний упругих систем с трением скачкообразное изменение силы трения при срыве в зависимости от других факторов. Согласно гипотезе И. В. Крагельского, сила трения срыва F+ зависит от продолжительности Т предшествующего контакта, увеличиваясь с ростом Т. Эта зависимость в [14, 15] была представлена формулой
