Содержание к диссертации
Введение
1. Роторные системы с подшипниками жидкостного трения как объект динамического анализа 13
1.1. Конструкции, задачи динамики и работоспособность роторных машин с подшипниками жидкостного трения 13
1.2. Обзор исследований в области динамического анализа систем "ротор - подшипники жидкостного трения" 27
1.3. Состояние рынка программного обеспечения для динамического анализа роторных систем 48
1.4. Структура, объект и задачи исследований 68
2. Задачи динамики системы «ротор - подшипники жидкостного трения» с сосредоточенными параметрами 72
2.1. Динамические модели и уравнения динамики роторных систем с подшипниками жидкостного трения 72
2.2. Линейный анализ устойчивости движения системы «ротор - подшипники жидкостного трения» 84
2.3. Решение задачи нелинейного анализа динамики роторной системы методом траекторий 94
3. Конечно-элементный анализ динамики роторных систем с подшипниками жидкостного трения 117
3.1. Уравнения движения ротора с распределенными параметрами 117
3.2. Конечно-элементная модель роторной системы с подшипниками жидкостного трения 127
3.3. Линейный динамический анализ роторной системы 143
4. Определение поля давлений в смазочном слое и расчет характеристик подшипников жидкостного трения 153
4.1. Математическая модель расчета поля давлений 153
4.2. Геометрия радиального зазора в подшипниках 168
4.3. Алгоритм и методы расчета реакций смазочного слоя 179
4.4. Анализ влияния различных факторов на грузоподъемность и динамические характеристики подшипников 195
5. Методология формирования диагностических признаков динамического состояния роторных систем 210
5.1. Подход к формированию эталонных диагностических признаков роторных систем с опорами жидкостного трения 210
5.2. Применение непрерывного вейвлет-преобразования в анализе вибрационных сигналов 217
5.3. Примеры анализа динамического состояния роторных систем с подшипниками жидкостного трения 229
6. Экспериментальные исследования динамических характеристик роторных систем с подшипниками жидкостного трения 251
6.1. Постановка задач и планирование опытных исследований 251
6.2. Экспериментальные стенды и методика проведения опытов 255
6.3. Обработка результатов и сравнительный анализ данных теоретических и экспериментальных исследований 273
7. Практические вопросы динамического анализа роторных систем с подшипниками жидкостного трения 289
7.1. Согласование критериев работоспособности роторных систем с подшипниками жидкостного трения 289
7.2. Программное обеспечение решения задач динамического анализа роторных систем АпРоС 293
7.3. Вопросы проектирования роторных систем с подшипниками жидкостного трения 312
7.4. Примеры практической реализации методологии динамического анализа роторных систем 330
Заключение 345
Литература 350
- Обзор исследований в области динамического анализа систем "ротор - подшипники жидкостного трения"
- Линейный анализ устойчивости движения системы «ротор - подшипники жидкостного трения»
- Конечно-элементная модель роторной системы с подшипниками жидкостного трения
- Геометрия радиального зазора в подшипниках
Введение к работе
Одним из ключевых вопросов обеспечения конкурентоспособности роторных машин является необходимость повышения их производительности при одновременном снижении габаритов, массы и стоимости. Применительно к транспортным, энергетическим и технологическим машинам выполнение этих требований сопровождается ростом частот вращения их роторов, повышением действующих в опорах и передаваемых на корпус сил и амплитуд колебаний. Следствием этого становятся проблемы обеспечения вибрационной надежности и требуемого ресурса агрегата.
Значительную роль в динамике роторной системы играют опорные узлы. Использование подшипников качения в высокоскоростных роторных машинах часто ограничивается их предельной быстроходностью, поэтому все большее применение находят опоры жидкостного трения, позволяющие обеспечить надежное вращение ротора в широком диапазоне скоростей и нагрузок и обладающие конечной жесткостью и высокой демпфирующей способностью.
Рост частот вращения роторов и необходимость обеспечения их устойчивой работы с заданным уровнем амплитуд колебаний повышают требования к точности выполнения проектировочных и проверочных расчетов динамической системы «ротор - подшипники жидкостного трения» с учетом все большего числа значимых факторов. Это обстоятельство требует разработки новых моделей и методов расчета динамики роторных систем с такими опорами.
Применение криогенных жидкостей (водород, кислород и др.) в качестве смазочных материалов обусловлено спецификой проектирования подвеса роторов машин авиационного и ракетно-космического назначения, а также необходимостью решения задач создания и совершенствования агрегатов водородной энергетики. Течение этих жидкостей может сопровождаться появлением паровой фазы вследствие вскипания смазочного материала, что существенно меняет динамические характеристики смазочного слоя и оказывает влияние на динамическое поведение и устойчивость роторной системы.
Обеспечение работоспособности эксплуатируемых машин требует проведения диагностических мероприятий по выявлению дефектов и прогнозу их развития, основой которых являются процедуры вибрационной диагностики. Однако разработанные модели динамического анализа роторных систем могут быть использованы для построения эталонных диагностических признаков при условии учета в них соответствующих дефектов. Такой подход позволяет сократить время и средства на проведение опытных исследований, однако ставит задачи развития методов анализа нестационарных вибрационных сигналов.
Таким образом, недостаточная изученность динамики рассматриваемых роторных систем и проработанность методологии их динамического анализа, выдвигаемые практикой задачи обеспечения требуемых динамических характеристик, повышения ресурса и надежности машин на этапе проектирования, проблемы обеспечения работоспособности эксплуатируемых агрегатов, а также отсутствие инструментальных средств решения задач динамического анализа обуславливают актуальность данной работы. Настоящая диссертация выполнялась в рамках хозяйственных договоров, договоров о научно-техническом сотрудничестве, целевых программ и грантов на проведение научно-исследовательских работ, в т.ч.:
о Теоретические исследования состояния жидкого кислорода при течении в щелевых элементах насоса ЖРД (договор с ОАО «НПО Энергомаш имени академика В.П. Глушко», 1999 - 2000 гг.).
о Работоспособность гидромеханических устройств ТНА и элементов систем топливоподачи криогенных ЖРД (научно-техническая программа Министерства образования РФ «Научные исследования высшей школы в области транспорта», тема №5.2/2000 (005.02.01.42), 2000 - 2001 гг.).
о Разработка и исследование подшипников скольжения насосного агрегата (договор с ОАО «НПО Энергомаш имени академика В.П. Глушко», тема № 127-980-01/378-4-01, 2001 г.).
о Разработка опорных и уплотнительных узлов агрегатов топливоподачи криогенных ЖРД (программа Мин. образов. РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (раздел «Транспортные ракетно-космические системы»), тема № 02.01.001, 2001 - 2002 гг).
о Опоры роторов высокоскоростных турбонасосных агрегатов криогенных жидкостных ракетных двигателей (программа Министерства образования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма: 205. Новые авиационные, космические и транспортные технологии, тема № 02.01.056, 2004 г.).
о Разработка опор скольжения роторов электро- и турбонасосных агрегатов (договор с ФГУП «Турбонасос» № 1162/300-04, 2004 - 2007 гг.)
о Теоретические основы расчета гидромеханических систем с турбулентным двухфазным течением криогенных жидкостей (единый заказ-наряд Министерства образования РФ, тема №. 1.64.03., 2004 г.).
о Создание научно-учебного экспериментального комплекса для исследования и вибродиагностики роторных систем (научно-техническая программа Министерства образования РФ "Развитие информационных ресурсов и технологий. Индустрия образования", тема № 29, 2004 г.).
о Разработка газодинамических подшипников для воздушного турбокомпрессора (договор с ОАО «Конструкторское бюро химической автоматики» № 735/4-04, 2004 - 2005 г.).
о Развитие научной школы по исследованию опорных узлов турбомашин, динамики и диагностики роторных систем с опорами скольжения (научная программа Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы», тема № 4394, 2005 г.).
о Исследование механизма возникновения акустических эффектов в гидромеханических системах методами математического моделирования и компьютерной вибродиагностики (единый заказ-наряд Министерства образования и науки РФ, № тема 1.3.05, 2005 г.).
о Создание универсального лабораторного комплекса по прикладной механике и деталям машин (программа Мин. образ, и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 гг.)», тема№ 3.2.2.4770, 2006 г.). о Теоретические основы расчета комбинированных опор роторов высокоскоростных турбокомпрессоров водородных топливных элементов (грант Российского фонда фундаментальных исследований, программа «Инициативные фундаментальные исследования», тема № 06-08-96505, 2006 г.).
о Исследование характеристик гидродинамического подшипника насосного агрегата (договор с ОАО «НПО Энергомаш имени академика В.П. Глушко», тема № 980-07-011, 2007 г.).
Работа соответствует «Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации» (2006 г.) по направлению «Транспортные, авиационные и космические системы» и направлена на развитие технологий, входящих в «Перечень критических технологий Российской Федерации» (2006 г.) по направлениям: «Технологии водородной энергетики», «Технологии создания новых поколений ракетно-космической, авиационной и морской техники» и «Технологии создания энергоэффективных двигателей и движителей для транспортных систем».
Обзор исследований в области динамического анализа систем "ротор - подшипники жидкостного трения"
Систему «ротор - подшипники» следует рассматривать как единую динамическую систему, состоящую из механической и гидромеханической частей. Механическую часть представляет вал с присоединенными массами, который, обладая конечной жесткостью, подвержен, строго говоря, действию поперечных, крутильных и осевых колебаний вследствие влияния переменных внешних нагрузок. Гидромеханическая часть включает в себя подшипники, играющие противоречивую роль в динамике роторной системы. С одной стороны, обладая демпфирующими свойствами, они могут гасить вибрацию ротора; однако, с другой стороны, при определенных условиях смазочный слой может сам стать источником самовозбуждающихся колебаний ротора высокой амплитуды, которые способны привести к потере работоспособности всего агрегата.
Интерес к теме, связанной с изучением движения быстроходных роторов, установленных в опоры жидкостного трения, постоянно растет. Это подтверждается большим количеством выполненных исследований и обусловлено тенденцией увеличения скоростей и нагрузок турбомашин, применением новых смазочных материалов и конструкций роторно-опорных узлов и, как следствие, необходимостью изучения новых эффектов, оказывающих заметное влияние на работоспособность агрегата, а также разработкой методов расчета. Наиболее значительными мероприятиями международного масштаба в данной области являются: World Congress in Mechanism and Machine Science, International Conference on Rotor Dynamics, International Conference on Vibrations in Rotating Machinery, International Symposium on Stability Control of Rotating Machinery.
Главными целями проведения исследований в данной области являются установление допустимых частот вращения роторов и обеспечение устойчивой работы роторной машины с приемлемыми амплитудами колебаний.
Динамика роторов с подшипниками жидкостного трения возникла и развивается как раздел науки, имеющий междисциплинарный характер. Создание математических моделей роторно-опорного узла, полностью адекватных реальному объекту, представляет значительные трудности ввиду огромного числа факторов, требующих учета (рисунок 1.11). В связи с этим в исследованиях наметились две устойчивые теоретические тенденции. Во-первых, это собственно динамика роторов, компетенцией которой является изучение движения и устойчивости роторов. В этом случае в описании роторной системы определяющая роль отводится факторам, относящимся непосредственно к ротору как твердому, в т.ч. деформируемому, телу с упругими и инерционными свойствами, а влияние опор сводится к линеаризованным реакциям их смазочных слоев.
Во-вторых, это гидродинамическая теория смазки, изучающая свойства и поведение самого смазочного слоя. Такой подход требует детального рассмотрения течения смазочного материала с учетом вязкости, сжимаемости среды, возможности возникновения турбулентных режимов течения, влияния несовершенства формы опорных поверхностей и т.д. Модель ротора в этом случае наиболее проста и сводится, как правило, к схеме одномассового ротора.
В данной работе принят комплексный подход к проведению исследований в области динамического анализа роторных систем с подшипниками жидкостного трения. В диссертации рассматриваются вопросы линейного и нелинейного анализа динамики роторов, а также проблемы анализа вибрационных сигналов, характеризующих перемещения цапфы ротора в зазоре подшипника, и построения эталонных диагностических признаков роторных систем на основе разработанных математических моделей дефектов.
Отдельное внимание уделяется изучению влияния специфических эффектов, происходящих в смазочном слое, таких, как вскипание и парожидкостное состояние смазочного материала, на динамические характеристики роторной системы. Кроме этого подлежит изучению влияние, оказываемое отклонениями формы опорных поверхностей от идеальной (круглоцилиндрической) на динамические характеристики подшипников и роторной системы. В связи с этим обзор литературы проводился по следующим направлениям: 1) работы, непосредственно относящиеся к динамике системы «ротор - подшипники»; 2) исследования в области гидродинамической теории смазки подшипников; 3) труды, посвященные вопросам вибрационной диагностики и анализу вибрационных сигналов роторных систем с опорами рассматриваемого типа.
Достаточно полная систематизация исследований, выполненных в области динамики роторов на опорах скольжения различного конструктивного исполнения, проведена в работах [39, 73, 355, 366, 369, 383, 394, 395]. Аналогичная работа, не потерявшая актуальности и в настоящее время, по систематизации исследований, проведенных в области гидродинамической теории смазки проведена в [314], где приведена обширная информация о таких ее направлениях, как термо-, упруго- и термоупругогидродинамическая теории смазки. В этих работах подробно освещается сложившаяся проблематика, обсуждаются полученные теоретические и экспериментальные результаты, рассматриваются перспективы развития соответствующих направлений роторной динамики систем с подшипниками жидкостного трения.
Методы расчета динамических характеристик ротора, нашедшие широкое применение в инженерной практике, условно можно разделить на две большие группы: методы, в основе которых лежит линейная постановка задачи и методы, учитывающие нелинейность реакций смазочного слоя.
Здесь следует отметить, что подавляющее большинство работ в области динамики роторов на подшипниках жидкостного трения базируется на линейной постановке задачи, несмотря на то, что она дает только первое приближение. В основном, это объясняется относительной простотой и отработанностью алгоритмов решения задачи, а также сформировавшейся традиционностью данного подхода в среде инженеров и исследователей.
Идея описания динамических характеристик подшипников жидкостного трения путем линеаризации гидродинамических реакций смазочного слоя была впервые выдвинута, в первой половине XX века [38, 314, 362, 370] для уточнения расчета критической скорости ротора с учетом влияния динамических свойств смазочной пленки подшипников. Практически одновременно были описаны явления неустойчивости ротора, порождаемой смазочным слоем подшипника, и даны теоретические объяснения причины возникновения самовозбуждающихся колебаний с частотой, равной половине частоты вращения ротора (полускоростной вихрь) [92]. Позднее многими исследователями было установлено, что появление самовозбуждающихся колебаний связано с динамическими характеристиками подшипника.
Линейный анализ устойчивости движения системы «ротор - подшипники жидкостного трения»
Положение центра цапфы уравновешенного ротора при стационарном режиме нагружения определяется соответствующей точкой на кривой подвижного равновесия, а в случае неуравновешенного ротора центр цапфы движется по траектории эллиптического типа вокруг положения равновесия. Такое движение цапфы является устойчивым и обеспечивает работоспособность роторной системы. Следует отметить, что такое движение без возмущений возможно лишь в подшипнике с абсолютно жесткими и гладкими опорными поверхностями, не имеющими отклонений формы. Однако в реальных конструкциях всегда имеются отклонения формы и положения, а также могут действовать мгновенные случайные возмущающие импульсы.
Если на центр цапфы подействует какая-либо возмущающая сила, то он сместится с кривой подвижного равновесия (сбалансированный) или сойдет со своей стационарной орбиты (несбалансированный ротор) как показано на рисунке 2.5. Вследствие этого в смазочном слое возникнут дополнительные гидродинамические реакции, не уравновешенные внешней нагрузкой. В результате центр цапфы будет совершать колебательные движения около устойчивого состояния, характер которых зависит от параметров системы. Можно выделить три различных случая (рисунок 2.5).
1. Центр цапфы занимает некоторое положение 1, определяемое эксцентриситетом ej. Пусть под действием мгновенного импульса центр цапфы переместился на малое расстояние и оказался в точке Г. Если с течением времени начальное положение не восстанавливается и амплитуда колебаний продолжает увеличиваться, то исходное положение цапфы (точка 1) считается неустойчивым и может явиться причиной опасных вибраций ротора. 2. Центр цапфы расположен в точке 2, а эксцентриситет увеличился до ё2. При малом смещении центра цапфы в точку 2 начальное положение не восстанавливается, а центр цапфы совершает малые колебания в окрестности точки 2. В этом случае система обладает устойчивостью по Ляпунову и сохраняет свою работоспособность.
3. Центр цапфы находится в точке 3, а эксцентриситет равен ёъ. При действии возмущающей силы центр цапфы переместился в положении У. Если с течением времени отклонение уменьшается, и центр цапфы возвращается в исходное положение, то такое исходное положение считается устойчивым. Показано, что при ё" 0.7 положение центра цапфы в стационарно нагруженном гидродинамическом подшипнике является устойчивым [38, 127, 322].
В общем случае цапфа, выведенная каким-либо образом из стационарного положения, совершает сложное движение: вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью и колеблется около точки стационарного положения, причем центр цапфы описывает некоторую траекторию. Такое движение цапфы определяет течение жидкости в клиновом зазоре подшипника: вращение цапфы вокруг своей оси вызывает непрерывное круговое течение жидкости, что обеспечивает возникновение и поддержание несущей способности и определяет силы сопротивления вращению; радиальное перемещение цапфы вдоль линии центров выдавливает жидкость из области клинового зазора в зону увеличения зазора и по направлению к торцам; тангенциальное перемещение цапфы перпендикулярно линии центров приводит к дополнительному увеличению кругового потока смазочного материала. Возникновение каждого дополнительного течения жидкости сопровождается адекватным сопротивлением вязкой жидкости движению цапфы, вызвавшему данный поток. Именно эти демпфирующие силы сопротивления, характеризуемые соответствующими динамическими коэффициентами, определяют устойчивость системы.
Механизм потери устойчивости и развития самовозбуждающихся колебаний для роторов, опирающихся на подшипники с жидкой и газовой смазкой, описан в работах [162, 327, 303, 322]. Для случая двухфазного парожидкостного состояния смазочного материала аналогичный механизм предложен в работе [221]. В настоящей работе предлагается некоторое уточнение механизма потери устойчивости и развития автоколебаний путем обобщения результатов упомянутых выше работ. В соответствии с этим потеря устойчивости происходит за счет одновременного действия трех составляющих.
1. Пусть Oi - равновесное положение центра цапфы на кривой подвижного равновесия (рисунок 2.6 а), определяемое эксцентриситетом ё. В этом состоянии внешняя нагрузка (сила тяжести mg) уравновешивается гидродинамической реакцией R (R\- = 0; RY = - mg). Если в результате некоторого возмущения центр цапфы переместится в новое положение (1, 2, 3 или 4), то реакции смазочного слоя изменятся по величине и направлению.
Другим дестабилизирующим фактором является действие сил трения смазочного слоя. Когда центр цапфы 0\ совпадает с центром подшипника О цапфа нагружена равномерно распределенными по всей поверхности силами трения, определяемыми свойствами смазочного материала и скоростью вращения ю (рисунок 2.6 в). При смещении центра цапфы в другое положение, характеризуемое эксцентриситетом ё, изменяется геометрия зазора. В результате там, где толщина смазочного слоя уменьшится, скорость потока возрастет; в зоне увеличения зазора скорость потока падает. Это приводит к тому, что относительная скорость, определяющая действие сил трения, уменьшится в зоне меньшей толщины слоя и увеличится в зоне большей толщины. Следовательно, и силы трения изменят свои значения в соответствии с относительной скоростью: в зоне увеличения зазора приращение сил трения будет положительным, а в противоположной зоне - отрицательным. Равнодействующая этих приращений А1?тр, направленная перпендикулярно смещению в сторону вращения ротора, стремится вызвать его вихревое движение с возрастающей амплитудой. Ограничивающим фактором являются демпфирующие свойства смазочного слоя.
3. Пусть смазочный материал в подшипнике находится в состоянии, соответствующем линии насыщения или близком к нему, а центр цапфы занимает стационарное положение 0\. Тогда мгновенное возмущающее воздействие переводит центр цапфы в новое положение 0[. При этом величина зазора в направлении перемещения ОхО[ уменьшается, давление в клиновом зазоре увеличивается, происходит конденсация пара и его часть переходит в жидкость. Этот процесс сопровождается некоторым уменьшением объема несущего клина и приводит к «проваливанию» цапфы. С противоположной стороны, наоборот, в результате расширения происходит падение давления и дополнительное вскипание смазочного материала. В результате цапфа еще дальше уходит от равновесного состояния, а повышенное давление снизу и пониженное сверху приводят к возникновению дополнительной неуравновешенной составляющей, стремящейся вернуть цапфу в исходное положение, после прохождения которого, в силу инерции, процесс повторяется в обратном направлении. Колебания затухают вследствие наличия демпфирования.
Конечно-элементная модель роторной системы с подшипниками жидкостного трения
Реальная роторная система представляет собой достаточно сложный объект, состоящий из вала, рабочих органов (колес, турбин, шнеков и т.п.) насаженных на вал и опор (подшипники и уплотнения). Для адекватного описания такой системы на основе применяемой балочной модели были разработаны следующие типы конечных элементов: конечный элемент участка вала постоянного сечения, конечный элемент участка вала конического сечения, конечный элемент жесткого диска и конечный элемент упруго-демпферной опоры. Методика определения динамических характеристик подшипников, основанная на численном дифференцировании гидродинамических сил и моментов по кинематическим параметрам, представлена в четвертой главе. Вектор внешних сил І/j имеет одинаковые значения для узлов J и 2, равные нулю, или отличные от нуля в случае наличия в опоре постоянной составляющей, обусловленной, например, гидростатическим давлением. В дальнейшем элементы матриц \кк\ Г/72Л J, [gj и \bkj расположенные на строке / и столбце у будем называть кк тк gk. и Ък соответственно; индекс к указывает на номер элемента. Заметим, что жесткий диск и упруго-демпферная опора являются узловыми элементами, то есть присоединяются к модели вала только в узлах. Поэтому действующие на них внешние силы можно перенести на элементы вала и далее считать, что ни на жесткий диск, ни на упруго-демпферную опору не действуют внешние силы. Данное обстоятельство удобно для формализации рассматриваемого подхода и является вполне естественным, так как элементы жесткого диска и упруго-демпферной опоры являются ничем иным, как элементами, учитывающими граничные условия для уравнений (3.6) - (3.9).
Для определения вектора сил элемента вала положим внешние неконсервативные распределенные силы в направлении осей X, Y и Z, а также распределенные моменты относительно этих осей равными: fxfc, 0 fr( t),fz(,, t), Шд-( , t), my(t,, t) и nizfc, t) соответственно. Осуществляя сборку глобальных матриц по описанной выше схеме, получаем следующие матрицы жесткости, демпфирования и масс для рассматриваемой роторной системы. Следует отметить, что в гироскопическую матрицу входят коэффициенты демпфирования опор.
Разработанные типы конечных элементов с достаточной для проектировочных расчетов точностью описывают роторную систему произвольной конфигурации. Линейная модель у пру го-демпферной опоры позволяет учитывать опорные элементы различных типов (подшипники скольжения, качения, электромагнитные, уплотнения, демпферы). Жесткий диск моделирует такие части роторной системы, как шнеки, колеса и импеллеры и т.п., то есть элементы, которые обладают значительными инерционными свойствами и имеют большую относительную жесткость [341]. Цилиндрический и конический участки вала, несмотря на свою геометрическую простоту, позволяют моделировать валы практически любой формы в продольном сечении на основе аппроксимации произвольных кривых прямыми линиями, так как при соответствующем выборе размеров элемента может быть обеспечена заданная точность приближения. При решении задач динамического анализа роторных систем выделяют четыре самостоятельных вычислительных проблемы: 1) статический анализ (определение статических напряжений, деформаций и перемещений, оценка прочности); 2) определение собственных частот и форм колебаний, логарифмического декремента и т.д. (модальный анализ); 3) построение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) в области рабочих частот (гармонический анализ); 4) анализ переходных процессов, позволяющий моделировать импульсные нагрузки на систему (отрыв лопатки, ударное возмущение и т.д.). Для каждого типа анализа на основе системы уравнений (3.46) получаются разрешающие уравнения. В частности, для статического анализа разрешающее уравнение будет иметь вид: [K]{Q} = {F}. (3.47) Решение уравнения (3.47) имеет следующий вид: {Q}=[K]-l{F}. (3.48) Решая эту систему, получаем искомые элементы. Для нахождения всех ее элементов, необходимо решить п систем подобного вида. Задача облегчается тем, что прямой ход для всех систем делается один раз, поскольку все системы имеют одну и ту же матрицу. Для каждой отдельной системы выполняется только обратный ход после ряда преобразований ее свободных членов. Следует отметить, что решение уравнения статического равновесия (3.47) может быть найдено напрямую методом Гаусса, не прибегая к процедуре обращения матриц. Процедура обращения матриц используется также при решении задач динамического анализа роторной системы.
Для выполнения процедуры модального анализа предполагается, что на систему не действуют внешние силы {F} = 0. Кроме этого, считаем, что перемещения изменяются по гармоническому закону: Тогда система уравнений движения ротора (3.46), может быть записана как следующая однородная система линейных алгебраических уравнений относительно вектора {U}: (к2[М] + Х[В] + [к]){и} = 0. (3.49) Из теории линейных алгебраических уравнений известно, что (3.49) имеет нетривиальное решение, если определитель системы равен нулю, откуда: det(X2[M] + X[B] + [K]) = 0. (3.50) Заметим, что на практике нет необходимости раскрывать определитель и искать корни полинома. Для отыскания корней уравнения (3.50) разработан ряд эффективных численных методов. При отсутствии демпфирования уравнение (3.50) может быть переписано в виде: det(-co2[M] + [ ]) = 0, где со - собственная частота, вещественная положительно определенная величина. Для отыскания собственных значений таких систем эффективен метод итерации подпространства собственных векторов. Введем обозначение [Л] =-[L]_1 [D]. При решении полной проблемы собственных значений для несимметричных матриц эффективным является подход, основанный на приведении исходной матрицы к подобным, имеющим треугольный или квазитреугольный вид. Одним из наиболее распространенных методов этого класса является OR-алгоріттм, позволяющий находить как вещественные, так и комплексные собственные значения [6, 23].
Геометрия радиального зазора в подшипниках
Существенное влияние на поле давлений в смазочном слое оказывает его толщина h, являющаяся функцией положения центра шипа и угловой коорди наты а (рисунок 4.5а). Для случая эксцентричного положения цапфы в гладком цилиндрическом подшипнике при отсутствии перекоса оси ротора функция ра диального зазора хорошо известна и выглядит следующим образом: в полярной системе координат - h-hQ- ecos(a - ф); (4.42) в декартовой системе координат - h = h0 -Xsina — Ycosa, (4.43) где е и ц , X и Y - координаты, определяющие положение центра цапфы в полярной (е - эксцентриситет) и декартовой системах координат соответственно; а - угловая координата по опорной поверхности, определяющая радиальный зазор. Для многоклиновых подшипников в уравнения (4.42) и (4.43) включается дополнительное слагаемое, описывающие расположение и глубину клина.
В общем случае расположения осей подшипника и ротора функцию радиального зазора определяем в предположении отсутствия осевых перемещений цапфы. Центр системы координат OXYZ расположен посередине длины подшипника, ось Z совмещена с его осью, а направления осей X и Y соответствуют показанным на рисунке 4.56. При концентричном расположении оси подшипника и ротора совпадают, а при эксцентричном - ось ротора будет определяться осью Z/ системы координат OJXJYJZJ, полученной из исходной переносом начала координат на расстояния Хо и YQ (эксцентриситет ё) в положительном направлении соответствующих осей. Перекос в вертикальной плоскости характеризуется углом у и ось ротора, в этом случае, совпадает с осью Z2, системы координат OiX2Y2Z2, полученной из системы OJXJYIZJ поворотом по часовой стрелке на угол у относительно оси X]. Перекос в горизонтальной плоскости определяется углом 5, который при повороте по часовой стрелке относительно оси Y2, переводит систему координат OiX2Y2Z2 в OX3Y3Z3. Теперь уже ось Z? совпадает с новым положением оси ротора.
Геометрия радиального зазора, определяя режим трения в подшипнике и реакции смазочного слоя, зависит как от погрешностей изготовления (шероховатость, волнистость, отклонения формы и расположения) и монтажа, так и от деформаций, которые возникают в процессе эксплуатации (рисунок 4.6).
Так ротор, не обладая бесконечной жесткостью, деформируется под действием приложенных сил. Кроме того, при больших частотах вращения меняется диаметр опорной части ротора вследствие действия центробежных сил. Учитывая работу роторной системы в условиях низких температур нельзя пренебрегать влиянием температурных деформаций. Тенденция роста давления подачи смазочного материала приводят к необходимости оценки деформаций опорных частей под действием высокого давления.
При использовании криогенных рабочих тел актуальной является проблема оценки влияния температурных перепадов на величину зазора. Различие в температурах изготовления и монтажа опорного узла ( 293К) и эксплуатации (-20... 120К) и применение материалов с различными коэффициентами линейного расширения, приводят к необходимости учета изменений функции радиального зазора, полученных в результате захолаживания. Для изготовления валов, работающих в криогенной среде, применяются высоколегированные стали марок 12Х18Н9Т, 10Х14Г14НЗТ, 18Х2Н4МА, ЗОХГСА и др. [50].
Изгиб оси ротора, вызванный действием внешней нагрузки и реакциями смазочного слоя, влечет за собой изменение зазора и перераспределение давлений, что непосредственно влияет на динамику ротора. Вследствие возникшего перекоса осей ротора и подшипника и асимметрии эпюры давлений относительно центра подшипника, появляется, помимо силовой, еще и моментная составляющая реакции смазочного слоя. Между прогибом ротора и нагрузкой, воспринимаемой опорами, существует прямая связь: прогиб увеличивает расстояние от оси вращения до центра масс ротора и, таким образом, ведет к росту центробежной силы, что соответственно отражается на реакции подшипника.
Описание движения центра масс данной системы основывается на принципе статической аналогии [172], суть которого заключается в том, что вместо колебаний рассматривают амплитудные прогибы, вызванные амплитудными значениями инерционных сил. Предполагаем плоскую форму упругой линии вращающегося вала, что находит теоретическое обоснование в постулате Вид-лера1, согласно которому упругая линия невесомого прецессирующего вала, несущего эксцентрично расположенную точечную массу, является плоской кривой в режимах собственных, вынужденных и резонансных колебаний.
Учет влияния изгиба вала позволяет уточнить расчет центробежной нагрузки включением в расчетную схему fmax, а также повысить адекватность модели расчета реакций подшипника путем коррекции функции зазора.
Можно заметить, что применение принципа статической аналогии в сочетании с методом конечных элементов, развитым в главе 3, для непосредственного интегрирования уравнения упругой линии вала позволяют уточнить расчет в случае реальной конфигурации ротора с распределенными параметрами.
Высокие частоты вращения (п = (20... 100)103 об/мин) и сравнительно малые (h0 = 20... 100 мкм) радиальные зазоры приводят к необходимости учета, при определении поля давлений, деформаций опорной поверхности ротора под действием центробежных сил. При таких частотах вращения увеличение диаметра цапфы (особенно у полых роторов) может достигать десятков микрон и вызвать тем самым существенное изменение функции радиального зазора.
Сведем расчетную схему опорной части ротора к пустотелому равномерно вращающемуся цилиндру со свободными торцами и ненагруженному внутренним и внешним давлениями [172]. Тогда можно получить следующее, удобное для включения в общий алгоритм расчета, выражение для поправки Ацн, представляющей собой радиальное перемещение точек опорной поверхности цапфы ротора под действием центробежной нагрузки:
