Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы. Сравнительный обзор и анализ 25
1.1 .Сравнительный обзор работ, посвященных изучению динамики систем с сухим трением 25
1.2.Трение скольжения в случае точечного контакта 34
1.3.О коэффициенте трения скольжения 37
1.4.Лагранжевы составляющие силы сухого трения 40
1.5.Динамически определимые системы с сухим трением 43
1.6.Случаи трёх- и четырёхточечных опор 46
1.7. О приведении уравнений движения механических систем с точечными парами сухого трения к нормальному виду 55
1.8.Частный случай одной пары сухого трения 61
1.9. Динамика взаимодействия исполнительного органа горной машины с разрушаемой горной породой 66
1.10. Об одном случае интегрируемости уравнений проходки 73
Глава 2. Исследование устойчивости стационарных движений тела на движущемся шероховатом основании 82
2.1. Устойчивость стационарных движений тела в простейшей системе 82
2.2. Система с преобразованным сухим трением 86
2.3. Случай ограниченной мощности приводного двигателя 88
2.4. Модель стационарного винтового движения шнека бурильного станка 93
2.5. Динамическая модель бурильного станка 95
2.6. Реализация нормального режима бурения 98
2.7. Структура пространства параметров системы 101
2.8. Амплитудно-частотная характеристика системы, отвечающая продольному возмущению гармонического типа 108
2.9. Задача о совместных продольно-крутильных колебаниях долота . 112
Глава 3. Общая задача асимптотической устойчивости стационарного движения механических систем с сухим трением 122
3.1. Постановка задачи 122
3.2. Позиционная и асимптотическая устойчивость стационарного движения 125
3.3. Системы с двумя степенями свободы 128
3.4. Два примера на исследование устойчивости стационарного движения 131
3.5. Системы стремя степенями свободы 136
3.6. Стационарное движение подрессоренного твердого тела 138
3.7. Стационарное движение цепочки упруго связанных тел 142
3.8. Континуальные переходы в цепочке 146
3.9. Стационарное вращение бурильной колонны 150
3.10. Об определении предельной глубины бурения 153
Глава 4. О корректности идеализации упругих связей малой податливости в виде абсолютно жестких 162
4.1. Постановка задачи 163
4.2. Критерии неустойчивости первого рода 167
4.3. Критерии неустойчивости второго рода 169
4.4. О корректности модели с абсолютно жестким основанием 172
4.5. Об одной модели привода машины 175
4.6. Усреднение уравнений движения в быстром времени 179
4.7. Быстрые движения в системе с одной парой сухого трения 182
Глава 5. Автоколебания элементов горных машин 187
5.1. Двухмассовая модель привода бурильной колонны 188
5.2. Метод частичной гармонической линеаризации 192
5.3. "Геометрический" механизм перекачки энергии фрикционных крутильных автоколебаний бурильной колонны в низкочастотные продольные колебания 200
5.4. "Динамический механизм" перекачки энергии фрикционных крутильных автоколебаний бурильной колонны в низкочастотные в продольные колебания 211
5.5. Косой удар исполнительного органа горной машины о поверхность забоя 220
5.6. Ударно-автоколебательное движение бура 226
Глава 6. Квазигармонические автоколебания бурильной колонны 235
6.1. Квазигармонические автоколебания в системе с приводом ограниченной мощности 236
6.2. Постановка задачи и метод построения решения квазигармонических автоколебаний бурильной колонны 241
6.3. Построение порождающего решения 245
6.4. Построение решения в первом приближении 247
6.5. Анализ уравнений второго приближения 249
6.6. Случай характеристики момента сопротивления в виде кубической параболы 252
6.7. Область существования и характеристики автоколебательного режима 255
Заключение 260
Литература 264
- О приведении уравнений движения механических систем с точечными парами сухого трения к нормальному виду
- Амплитудно-частотная характеристика системы, отвечающая продольному возмущению гармонического типа
- Два примера на исследование устойчивости стационарного движения
- О корректности модели с абсолютно жестким основанием
Введение к работе
Актуальность темы. Во многих отраслях промышленности при добыче и переработке минерального сырья машины и механизмы работают в условиях интенсивного динамического нагружения, взаимодействия с внешней средой и подвергаются действию вибраций и ударов. В то же время машины и механизмы часто сами выступают генераторами динамических сил, имеющих специальный характер либо являющихся следствием нежелательных процессов, вызванных техническим несовершенством конструкции или условиями контактов исполнительных органов машин с рабочей средой.
В связи с этим вопросы обеспечения эффективной и надёжной работы машин и безопасности их эксплуатации всегда находились в числе актуальных направлений теоретических и экспериментальных исследований динамики машин.
В то же время теория колебаний и теория устойчивости для обеспечения точности программного движения предполагают учёт многих специфических нелинейных эффектов, наиболее важным при этом представляется изучение особенностей динамических процессов с учётом сил сухого трения.
Машины и механизмы с поступательными или вращательными парами сухого трения широко распространены в современной технике. Силы сухого трения сопровождают работу фрикционных и центробежно-фрикционных муфт, вариаторов, клиноременных передач, трансмиссий транспортных средств, горного оборудования. Усилия, возникающие в процессе динамического взаимодействия исполнительных органов и инструмента металлообрабатывающих, деревообрабатывающих станков и камнерезных машин с обрабатываемой средой, могут быть обычно истолкованы как силы усложненного или «преобразованного» сухого трения. Эти силы часто служат причиной возбуждения автоколебаний, влияют на устойчивость стационарных движений. Учет сил сухого трения представляется, несмотря на большое количество работ в этой области, сложной научной проблемой, имеющей серьезное практическое значение.
Вопросам истолкования физических явлений в механических системах, связанных с сухим трением, и особенностям математических моделей в разное время посвятили свои работы известные отечественные и зарубежные ученые: Е.А. Болотов, Н.В. Бутенин, Г. Гамель, Ф. Клейн, Л. Лекорню, Ле Суан Ань,В.М. Матросов, Р. Мизес, Ю.И. Неймарк, Л. Прандтль, П. Пэнлеве, Н.А. Фуфаев и другие авторы.
Методы исследования и изучения динамики систем с сухим трением опираются в значительной мере на классические подходы и связаны с системами нелинейных дифференциальных уравнений, поиском и оценкой их решений, получением необходимых условий или соотношений, определяющих возможность адекватного описания изучаемого явления, что нашло отражение в работах П. Аппеля, А.Ю. Ишлинского, А.И. Лурье, В.В. Никольского, Г.К. Пожарицкого, В.В. Румянцева, Ю.П. Смирнова, А.Ю.Соколова, Ф.Л. Черноусь-ко, Н.Г. Четаева, М.И. Фейгина, И.А. Финогенко и других авторов.
Значительное развитие в последнее время получила теория фрикционных автоколебаний как раздел общей теории механических колебаний. В её формирование существенный вклад внесли исследования А.А. Андронова, В.Л. Вей-ца, М.М. Ветюкова, Н.Л. Кайдановского, М.З. Коловского, В.О. Кононенко, И.В. Крагельского, Р.Ф. Нагаева, Я.Г. Пановко, В.Ф. Петрова, К.В. Фролова, С.Э. Хайкина и других авторов.
Наука о трении получила мощный импульс к развитию благодаря созданию трибофатики - нового научного направления, позволившего установить связи процессов трения между поверхностями контактного взаимодействия в зависимости от условий нагружения, динамического состояния. Большой вклад в развитие трибофатики внесли отечественные учёные: А.К. Асташов, Н.А. Воронин, Ю.Н. Дроздов, Н.А. Махутов, А.П. Семёнов, Л.А. Сосновский, К.В. Фролов, А.В. Чичинадзе и другие.
Анализ влияния сухого трения на эффективность и надёжность работы промышленного оборудования связан с проблемами: адекватного описания харак-
тера зависимости коэффициента трения скольжения, в том числе от относительной скорости проскальзывания; выбора критериев корректности модели; разработки системной концепции и методов решения задач динамики систем с сухим трением; определения критериев устойчивости стационарного движения и автоколебательных процессов; установления новых механизмов возбуждения автоколебаний, которые имеют место в рассматриваемых динамических системах.
Совокупность указанных выше проблем и обуславливает актуальность темы диссертационной работы.
Цель работы - повышение эксплуатационных характеристик промышленного оборудования путем создания системной концепции и методов решения задач динамики механических систем с учетом сухого трения.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:
установлена строгая классификация задач динамики систем с сухим трением, которые могут быть решены в рамках механики абсолютно твёрдых тел;
разработана рациональная методика приведения уравнений движения механических систем с сухим трением к стандартному виду, разрешенному относительно обобщенных ускорений;
определены явные критерии позиционной и асимптотической устойчивости стационарных движений механических систем с сухим трением;
- определены конструктивные критерии: неустойчивости стационарных движений механических систем, обусловленные наличием элементов сколь угодно малой податливости; корректности идеализации упругих связей как абсолютно жёстких;
- в рамках разработанной методики решен ряд актуальных задач динамики
горных машин.
Научная новизна работы. Результаты диссертации позволяют рациональным способом подойти к составлению уравнений движения механических
8 систем при наличии сил сухого трения или родственных им, а также исследовать асимптотическую устойчивость стационарных движений таких систем.
Впервые обнаружена возможность неустойчивости стационарных движений систем с сухим трением, обусловленной наличием связей сколь угодно малой упругой податливости, и, как следствие, вероятность возбуждения высокочастотных автоколебаний системы фрикционного типа.
Решён ряд новых задач динамики горных машин: предложена уточнённая динамическая модель бурильной колонны, учитывающая переменность скорости проходки; обнаружены новые механизмы перекачки энергии фрикционных крутильных автоколебаний в продольные и возбуждение периодического ударно-автоколебательного движения исполнительного органа горной машины шарошечного типа.
Практическая значимость работы заключается в том, что на базе проведенных теоретических исследований создана методология проектирования и параметрического анализа конструкций и режима эксплуатации элементов технологического оборудования горных машин.
Разработанные конструктивные методики применимы в процессе динамического расчёта достаточно широкого класса машин и механизмов. Предложенная методика составления уравнений движения динамически определимых систем с сухим трением и определения критериев асимптотической устойчивости стационарных движений указанных систем может быть использована в процессе обучения студентов и аспирантов механических специальностей.
Реализация результатов работы. Результаты научно-исследовательской работы использовались и внедрялись рядом предприятий Восточной Сибири. Подтверждения о практической значимости и экономической эффективности поступили: от ФГУП Центральное конструкторское бюро «Геофизика», г. Красноярск; ГНУ «Научно-исследовательский институт систем управления, волновых процессов и технологий», г. Красноярск; ОАО «ИркутскНИИхим-маш», г. Иркутск; кафедры «Машины и оборудование нефтегазовых промы-
9 слов», ГОУ ВПО Красноярский государственный технический университет»; ОАО «ПО Усольмаш», г. Усолье-Сибирское Иркутской обл.; ОАО «СибНИИ-стройдормаш», г. Красноярск, где реальный экономический эффект составил 618 тысяч рублей на одну бурильную установку в год; научно-технической лаборатории «Технологии обогащения минерального сырья», г. Иркутск, где ожидаемый экономический эффект составил 800 тысяч рублей в год по одному горно-обогатительному предприятию.
Достоверность результатов теоретических исследований обеспечивается использованием современных, строго обоснованных методов теоретической механики и теории нелинейных колебаний. Все приближённые решения получены при помощи методов малого параметра (метод усреднения и локальный метод Ляпунова-Пуанкаре), хорошо зарекомендовавших себя в нелинейной механике.
На защиту выносятся следующие положения:
обоснование метода составления рациональных уравнений динамически определимых систем с сухим трением на основе подхода Л. Лекорню;
доказательство существования двух групп критериев устойчивости стационарных движений таких систем;
определение критериев корректности идеализации связей сколь угодно малой упругой податливости как абсолютно жестких;
методика определения областей существования и устойчивости стационарных движений и автоколебаний ряда моделей, которые используются в горной механике;
вывод уточненного уравнения для определения предельной глубины бурения;
модели геометрического и динамического механизмов перекачки энергии фрикционных крутильных автоколебаний бурильной колонны в продольные;
модель возбуждения автоколебаний виброударного типа исполнительного органа горной машины;
математическая модель с распределенными параметрами квазигармонических фрикционных автоколебаний бурильной колонны. _ Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации
докладывались и обсуждались:
На научно-технических конференциях БрГТУ (Братск, 1982-2006 гг.); XII Всесоюзной школе механиков «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем» (Даугавпилс, 1982 г.); XIV и XV Республиканских конференциях по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем (Киев, 1986,1988 гг.); II Всесоюзной конференции «Проблемы виброизоляции машин и приборов» (Иркутск, 1989 г.); III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Сыктывкар, 1989 г.); XXIV Всероссийской школе механиков «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем» (Санкт-Петербург, 1997 г.); Международной конференции «Проблемы механики современных машин» (Улан-Удэ, 2000, 2003 гг.); Международном научном симпозиуме «Механизмы и машины ударного, периодического и вибрационного действия (Орёл, 2000 г.); XII Международной научно-методической конференции «Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии» (Великий Новгород, 2000 г.); XIII Симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Москва, 2001 г.); Международном симпозиуме украинских инженеров - механиков во Львове (Львов, 2001 г.); Научном семинаре с международным участием «Современные технологии. Системный анализ. Моделирование» (Иркутск, ИрГУПС, 2004 г.); Международном симпозиуме «Трибофатика-V» (Иркутск, ИрГУПС, 2005 г.) и др.
Первая глава носит в основном постановочный характер. Ее основная цель - сформулировать наиболее рациональный алгоритм составления уравнений движения механических систем с сухим трением и близких к ним с исключенными надлежащим образом реакциями неидеальных свя-
11 зей. Задачи динамики систем, содержащих фрикционные элементы, излагаются в традиционной классической постановке. Триботехнические характеристики фрикционного контакта взаимодействующих твердых тел и проблема разработки новых антифрикционных материалов не рассматриваются. В то же время, и это весьма существенно для последующего, учитывается зависимость коэффициента трения скольжения от модуля скорости проскальзывания. Далее предлагается рациональное представление для лагранжевых составляющих сил сухого трения применительного к системе с произвольным числом обобщенных координат.
В п. 1.4 вводится понятие динамически определимых систем с сухим трением. Здесь имеются в виду системы, для которых нормальные реакции в точечных парах сухого трения могут быть представлены как явные функции действующих на систему активных сил, включая силы инерции [30]. Понятно, что динамика только таких систем может быть изучена полностью в рамках механики абсолютно твердых тел. Аналогичным образом в статике могут быть решены до конца только так называемые статически определимые задачи [7, 118, 196]. В диссертации подробно разбираются все динамически определимые случаи задач о поступательном проскальзывании абсолютно твердого тела. Предложены основы для нахождения условия динамической определимости в случае плоско-параллельного движения твердого тела. Отметим, что ранее близкие задачи были рассмотрены в работах В.В. Никольского, Ю.П. Смирнова [155, 156, 192]. Анализируемые динамические объекты в этих работах названы системами с вариантными удерживающими связями.
В ходе исследований в диссертации устанавливается существенно нелинейный характер зависимости эффективной силы сухого трения от характеристик действующих на тело активных сил. Последнее обстоятельство предопределяет сложности, которые возникают в процессе приведения уравнений движения системы к нормальному виду, разрешенному относи-
тельно обобщенных ускорений. Преодоление этих трудностей позволяет также представить силы сухого трения как явные функции времени, а также обобщенных координат и скоростей. Истинные (а не посторонние) выражения для этих функций в диссертации предлагается определять, руководствуясь следующим подходом Л. Лекорню. Истинные значения нормальных реакций в точечных парах сухого трения являются непрерывными функциями нормы коэффициентов трения по мере монотонного увеличения последней от нуля. В диссертации доказывается корректность и единственность соответствующего представления применительно к динамически определимой системе с несколькими поступательными двухсторонними точечными парами сухого трения. Существенно, что в некоторых предыдущих работах нормальные реакции в двухсторонних парах сухого трения представляются как функции обобщенных координат, скоростей и ускорений. В результате предметом последующего анализа становится явная система нелинейных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно обобщенных ускорений. В настоящей работе составляется и анализируется система кусочно-линейных уравнений относительно нормальных реакций. В результате оказывается возможным определить эти реакции, а также лагранжевы составляющие сил сухого трения как функции только обобщенных координат и скоростей.
В п. 1.7 подробно разбирается случай двухсторонней точечной пары сухого трения. Получено явное выражение для критического значения коэффициента трения скольжения. Показано, что если величина коэффициента трения превосходит критическое значение, то наряду с истинным решением нормальной реакции в паре сухого трения, которое удовлетворяет подходу Л. Лекорню, появляется и не имеющие физического смысла постороннее решение. При этом проскальзывание в противоположном направлении становится невозможным. Иными словами, внезапный толчок в противоположном направлении приводит к мгновенной ударной заклинке (тангенциальный удар).
Вышесказанное иллюстрируется на примере системы с двумя степенями свободы (см. п. 1.8).
Последние разделы первой главы посвящены динамическому описанию взаимодействия исполнительного органа горной машины с разрушаемой горной породой. Здесь горные машины точно так же, как и многие металлообрабатывающие станки и камнерезные машины, отнесены к классу машин, для которых произвольный рабочий инструмент (резец, шарошка и т.п.) движется по следу, сформировавшемуся в результате движения предыдущего рабочего инструмента. Фундаментальным понятием, необходимым при динамическом описании таких машин, является время запаздывания т. Имеется в виду время поворота исполнительного органа машины на угловое расстояние между соседними рабочими инструментами. Основные положения динамики исполнительного органа таких машин были сформулированы ранее. В настоящей диссертации впервые рассмотрена динамика исполнительного органа барабанного типа, который в рабочем режиме совершает плоскопараллельное движение и предназначен для отработки тонких слоев горной породы. При этом было показано, что все результирующие соотношения при определенных ограничениях могут быть сведены к полученным ранее. Далее доказывается возможность построения решения в замкнутой форме в наиболее простом случае постоянства активных сил, сообщающих исполнительному органу движение винтового типа. Установлено, что это движение является либо равномерно ускоренным, либо отвечает полному торможению за конечное время.
Во второй главе диссертации рассмотрены примеры неустойчивости стационарного движения или положения равновесия тела, которая обусловлена исключительно видом зависимости коэффициента трения скольжения или же дифференциально-разностными соотношениями, заменяющими эту зависимость в задачах динамики горных машин. Здесь впервые изучена задача об устойчивости равновесия упруго закрепленного груза на шероховатом основании, движение которого осуществляется благодаря двигателю ог-
раниченной мощности (асинхронного типа). Далее показано, что весьма близка к вышеупомянутой задача об устойчивости равномерного винтового движения исполнительного органа (шнека) горной машины, которая ставится при следующих простейших предположениях. Полагается, что мощность приводного двигателя вращения бесконечно велика; активная сила, прижимающая шнек к забою, постоянна, а инерцией трансмиссии пренебрегается.
В пп. 2.5—2.9 подробно рассмотрена типовая динамическая модель бурильного станка. Задача сводится к исследованию нелинейных дифференциально-разностных уравнений. При этом одной из неизвестных является переменное время запаздывания. Здесь прежде всего показывается, что на заключительной стадии бурения задача допускает стационарное решение, отвечающее равномерному вращению исполнительного органа (долота). При исследовании устойчивости вначале предполагается, что время запаздывания неизменно, а возмущения направлены вдоль оси проходки. Тогда задача сводится к исследованию только одного уравнения второго порядка с постоянным запаздыванием. Последующий точный анализ показывает, что имеется бесконечное множество подобластей неустойчивости стационарного движения в пространстве трех основных безразмерных критериев подобия. При этом выход на границу одной их этих подобластей означает, что один из бесчисленного множества характеристических показателей задачи становится чисто мнимым.
Эти подобласти при больших значениях времени запаздывания частично пересекаются друг с другом. Однако при небольших значениях данного времени могут существовать и изолированные подобласти неустойчивости. Впрочем, в ряде случаев можно воспользоваться достаточно простым условием, которое накладывается на величину эквивалентного продольного коэффициента демпфирования трансмиссий и является достаточным, но не необходимым. Параллельно анализируется амплитудно-
частотная характеристика, отвечающая наличию продольного возмущения гармонического типа. Вблизи границы устойчивости амплитудно-частотная характеристика (АХЧ) приобретает резонансный характер. При определенных условиях АХЧ будет иметь конечное число постепенно убывающих резонансных пиков.
Далее задача об устойчивости винтового движения долота рассматривается в уточненной постановке при учете переменности времени запаздывания. Для этого прежде всего подробно обсуждается техника варьирования переменных величин, аргумент которых (время) отклоняется также на переменную величину. В процессе дальнейшего исследования результирующей системы трех линейных однородных дифференциально-разностных уравнений в вариациях для простоты предполагается, что осевой момент инерции долота и крутильная жесткость трансмиссии достаточно велики. При этом в первом приближении оказывается, что справедливы все полученные ранее (для случая чисто продольного возмущенного движения) критерии устойчивости. Однако, кроме того, появляется дополнительное неравенство, которое накладывает ограничение снизу на величину крутильного коэффициента демпфирования трансмиссии. Существенность этого неравенства обусловлена наличием падающего участка в характеристике радиуса сопротивления [имеется в виду зависимость удельного момента сопротивления вращению долота от его угловой скорости (см. далее п. 1.9)].
В третьей главе задача об устойчивости стационарного движения системы ставится в достаточно общем виде. При этом под стационарным движением имеется в виду такое, при котором часть обобщенных координат системы меняется со временем по линейному закону, а другая часть - неизменна. В основу исследования положены общие уравнения динамически определимой системы с несколькими точечными парами сухого трения, которые были получены в первой главе. Полагаем, что эти уравнения уже разрешены относительно обобщенных ускорений в соответствии с подходом Л. Лекорню и допускают
16 построение вышеупомянутого стационарного решения. Данные уравнения, а также уравнения в вариациях вблизи стационарного решения имеют структуру, которая существенно отлична от структуры уравнений Лагранжа второго рода применительно к системам с идеальными голономными связями. Это проявляется прежде всего в наличии псевдогироскопических (позиционных) сил, которые в линеаризированном варианте нарушают симметрию матрицы позиционных коэффициентов системы уравнений в вариациях. В дальнейшем полагается, что симметричная часть этой матрицы имеет потенциальное происхождение и поэтому положительна. Что же касается матрицы диссипативных коэффициентов системы уравнений в вариациях, то она в общем случае и не симметрична, и не положительна. Данное обстоятельство обусловлено прежде всего тем, что характеристики коэффициентов трения во всех парах имеют падающие участки. Тем самым силы сухого трения содержат существенные компоненты, которые могут быть истолкованы как "отрицательное" вязкое трение. В дальнейшем, кроме того, полагается, что все коэффициенты диссипативной матрицы имеют порядок s, где модуль параметра є может быть достаточно мал.
Решение сформулированной задачи об устойчивости строится в виде рядов по степеням малого параметра є. При этом в первом приближении получаются необходимые (но недостаточные) критерии, выполнение которых гарантирует устойчивость стационарного движения в системе без диссипативных и дополнительных непотенциальных сил существенно отличных от сил сухого трения. Речь идет о консервативной системе с «чисто» кулоновым трением (постоянными коэффициентами трения скольжения). Поэтому данные критерии устойчивости называются позиционными. Невыполнение критериев позиционной устойчивости влечет за собой быстрое нарастание возмущений колебательного характера. Во втором приближении задачи получаются существенно другие критерии, выполнение которых обеспечивает асимптотическую устойчивость стационарного решения. Отметим, что критерии асимптотической устойчиво-
сти оказывается возможным определить в явном виде. При этом область асимптотической устойчивости всегда существенно уже области позиционной устойчивости, как бы ни был мал параметр є, характеризующий сравнительное влияние на возмущенное движение диссипативных сил, положительных и отрицательных. Внутри немалой разности этих областей имеет место слабая неустойчивость, при которой скорость нарастания возмущения имеет порядок є. Последнее обстоятельство особенно наглядно проявляет себя в системах с двумя степенями свободы, когда уравнения границ вышеупомянутых областей удается получить в явном виде на плоскости двух специальным образом подобранных параметров. Вышесказанное в п. 3 иллюстрируется на двух характерных примерах.
В существенно более сложной задаче об устойчивости стационарного движения системы с тремя степенями свободы (п. 3.5) основное внимание уделяется анализу границ области позиционной устойчивости, которую также удается построить в общем виде на плоскости двух безразмерных параметров задачи. Эти параметры определяются в явном виде при исследовании устойчивости равномерной протяжки вдоль по направляющим с кулоновым трением твёрдого тела с тремя степенями свободы на двух упругих амортизаторах. Здесь показано, что условия устойчивости могут нарушаться с ростом коэффициента трения, и это связано также с асимметрией в расположении центра масс тела. Далее показывается, что построенное решение позволяет получить законченное суждение о позиционной устойчивости стационарного движения цепочки одинаковых упруго связанных тел, каждое из которых имеет три степени свободы и полностью отвечает вышеприведенному описанию.
В п. 3.7 рассматривается однородная цепочка вязкоупругосвязанных тел с одной степенью свободы каждое. При этом, однако, учитывается влияние диссипативных сил как положительных, так и отрицательных (сухое трение). Показано, что задача об асимптотической устойчивости стационарного движения может быть здесь решена в замкнутом виде и сводится только к одному нера-
18 венству. Кроме того, установлена возможность континуализации задачи, когда число тел стремится к бесконечности, а общие масса и жесткость цепочки постоянны. Результирующий континуальный аналог цепочки может быть истолкован как бурильная колонна, крутильные и продольные колебания которой допустимо описывать обыкновенным волновым уравнением при учете внутреннего рассеивания энергии по Фохту [159, 166]. Условие асимптотической устойчивости стационарного вращения такой колонны приводит к выражению для предельной глубины бурения, полученному ранее В.А. Пальмовым [164]. Далее в п.п. 3.8-3.9 задача об определении предельной глубины бурения рассматривается в уточненной постановке. Полученное решение отличается от построенного ранее тем, что учтена переменность скорости бурения в возмущенном движении [37].
В некоторых рассмотренных ранее задачах критерий асимптотической устойчивости стационарного движения не выполняется, сколь бы ни была велика жесткость некоторых присущих соответствующим системам упругих связей. В частности, речь может идти о поперечной жесткости направляющих в парах сухого трения [33, 34].
Во всех подобных случаях уместно поставить вопрос о некорректности идеализации этих связей как абсолютно твердых, как бы ни была мала их упругая податливость. Соответственно весьма актуальной оказывается проблема неустойчивости стационарного движения механической системы с точечными парами сухого трения, то есть неустойчивости по отношению к малым возмущениям, возникновение которых приводит к увеличению общего числа степеней свободы данной системы. Существенно, что это увеличение обусловлено малой упругой податливостью как направляющих в парах сухого трения в поперечном направлении, так и некоторых других соединительных элементов.
Отметим, что учет поперечной упругости направляющих приводит к повышению порядка уравнений движения, а его понижение при стремлении жесткости к бесконечности приводит к необходимости использования теории сингу-
19 лярных возмущений дифференциальных уравнений. Предположим, что при абсолютно жестких направляющих (є = О) стационарное решение устойчиво. Если при значениях є «1 окажется, что решение для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с учетом сухого трения неустойчиво, то эту неустойчивость естественно назвать сингулярной. Именно в случае сингулярной неустойчивости стационарного движения и следует говорить о нек-коректности идеализации системы малой податливости связей исходной модели как абсолютно жестких.
В четвертой главе рассмотрен в общем виде вопрос о сингулярной неустойчивости стационарного движения. В основу исследования положена "расширенная" механическая система, мгновенное положение которой определяется как основными обобщенными координатами, так и дополнительными координатами, характеризующими малую упругую податливость вышеупомянутых связей. Решение задачи об устойчивости строится в рядах по степеням малого параметра є, определяющего сравнительную величину данной податливости. При этом оказывается, что все критические характеристические показатели
аналитичны по vs. Получены явные соотношения для определения двух групп существенно различных критериев устойчивости стационарного решения сингулярно возмущенной системы уравнений движения с сухим трением. При этом условие устойчивости первой группы носит позиционный характер, в то время как выполнение условий второй группы гарантируют асимптотическую устойчивость стационарного движения. Существенно, что использование критериев асимптотической устойчивости решения сингулярно возмущенной системы уравнений движения оказывается более простым и конструктивным, чем использование более общих критериев устойчивости стационарного движения, приведенных в третьей главе. Это обстоятельство наглядно подтверждается примерами, о сингулярной неустойчивости стационарного движения подрессоренного твердого тела и привода машин добывающего типа (см. пп. 4.4-4.5), [34].
При выполнении критериев не устойчивости второго рода в системе неизбежно возбуждение высокочастотных фрикционных автоколебаний
В конце четвертой главы (пп. 4.6-4.7) осуществлено усреднение в первом приближении уравнения движения "расширенной" системы в "быстром" времени т = у г-. При этом было установлено следующее. Во-первых, особые
точки (положения равновесия) порождающей системы задачи (є = О) соответствуют как истинным (согласно подходу Л. Лекорню), так и посторонним выражениям для нормальных реакций в парах сухого трения (см. главу 1). Во-вторых, применительно к системе с одной парой сухого трения появление постороннего решения означает по существу возможность "мгновенной" заклинки в случае внезапного возмущения немалой интенсивности. Эти выводы были получены ранее [50]. Здесь, однако, данные выводы получены более точно при помощи обобщенного метода усреднения [66]. Этот метод, в частности, впервые открыл обоснованную возможность аналитического построения решений, отвечающих устойчивым высокочастотным автоколебаниям [37].
В пятой главе диссертации основная в теории фрикционных автоколебаний задача о фрикционных автоколебаниях простейшей системы с одной степенью свободы, получившая в настоящее время достаточно полное качественное и количественное описание, [145], не рассматривается, а основное внимание уделяется более сложным моделям, которые имеют значение прежде всего для динамики горных машин [24, 25].
В п. 5.1 рассматривается задача о фрикционных автоколебаниях бурильной колонны. Принимается упрощенная двухмассовая модель колонны [17]. Полагается, что привод вращения имеет неограниченную мощность. Переменной скорости проходки пренебрегаем, а характеристика суммарного момента сопротивлению вращения бура принимается скачкообразной. Последующее построение автоколебательного режима релаксационного типа осуществляется точным методом поэтапного интегрирования при учете условий непрерывности и периодичности. В результате задача сводится к решению достаточно
21 сложной системы четырех трансцендентных уравнений с четырьмя неизвестными. Чтобы упростить решение поставленной задачи, далее используется приближенный аналитический метод частичной гармонической линеаризации, впервые предложенный ранее при решении другой задачи в работе [222]. Этот метод основан на допущении того, что колебания верхнего тела являются квазигармоническими с заранее неизвестной частотой. В то же время учитывается явно нелинейный характер колебаний нижнего тела (бура).
В работе после соответствующего счета осуществлено развернутое сравнение результатов точного и приближенного решений, которое наглядно свидетельствует об удовлетворительной точности последнего.
Из практики эксплуатации буровых машин [64, 221] известно, что интенсивные низкочастотные продольные колебания буровой колонны вызываются ее крутильными колебаниями и синхронизированы с ними. Именно продольные колебания приводили к осцилляциям низкой частоты осевой силы давления на забой и поэтому в ряде случаев вызывали неравномерный характер выработки "ухабообразный забой".
Для глубокого бурения перекачка энергии крутильных колебаний в продольные происходит в основном благодаря «геометрическому» механизму [15] перекачки, связанному с изменением длины колонны при ее закручивании. Анализ соответствующей динамической модели показал, что учет геометрической нелинейности объясняет снижение интенсивности крутильных колебаний и увеличение их частоты. Получено аналитическое выражение для амплитуды осевой силы.
Для бурильных колонн небольшой длины перекачка энергии происходит, в основном, благодаря "динамическому" механизму перекачки, связанному с пропорциональностью скорости проходки произведению осевой нагрузки на долото и угловой скорости колонны. Тогда в случае фрикционных автоколебаний изменение угловой скорости неизбежно вызывает и изменение осевой нагрузки на долото. Решение системы уравнений, описывающей этот механизм
перекачки энергии, позволяют определить период и амплитуду автоколебаний, однако сами выражения, как и в случае геометрического механизма, не приводятся в виду их громоздкости из-за нелинейности исходных систем уравнений. Отметим, что динамический механизм перекачки энергии объясняет траекторию движения долота по винтовой линии.
В последних параграфах пятой главы рассмотрены виброударные автоколебания исполнительного органа горной машины шарошечного типа. Здесь предполагается, что в качестве рабочих инструментов, производящих непосредственное разрушение горной породы, вместо обыкновенных резцов используются шарошки - зубчатые колеса конической формы, которые шарнирно связаны с исполнительным органом и в рабочем режиме перекатываются по поверхности забоя [25, 26]. Вначале рассматривается "винтовое" соударение исполнительного органа с поверхностью забоя. При этом полагается, что шарошка, в отличие от исполнительного органа, безынерционна, а суммарная сила сопротивления ее внедрению в глубь горной породы направлена против текущей скорости центра шарошки и прямо пропорциональна по модулю площади зоны контакта. Далее показано, что такая задача о соударении может быть решена в замкнутом виде, причем послеударное положение шарошки может быть определено из несложного трансцендентного уравнения. В процессе исследования послеударного движения исполнительного органа были приняты следующие допущения:
мощность привода вращения настолько велика, что угловую скорость исполнительного органа сразу же после удара можно считать фиксированной;
степень разрушения материала в послеударном движении пренебрежимо мала по сравнению с ударным разрушением. Оказывается, что непосредственно сразу после окончания соударения неизбежен отрыв исполнительного органа от забоя, если величина активной силы, которая прижимает его к забою, не превышает некоторое вполне определенное значение.
Это позволило впоследствии получить рекуррентное соотношение (точечное отображение прямой в прямую [151], которое полностью характеризует континуум движений исполнительного органа паразитного виброударного типа. Анализ этого соотношения позволил определить характеристики, а также область существования и устойчивости периодического виброударного движения исполнительного органа бурильной колонны.
Отметим, что на практике не раз была зарегистрирована опасность возбуждения движений именно такого типа.
Шестая глава диссертации посвящена исследованию квазигармонических фрикционных автоколебаний. Как показали предыдущие исследования, область существования квазигармонических автоколебаний обычно существенно уже, чем у релаксационных автоколебаний [18, 28, 52, 145]. В то же время анализ квазигармонических колебаний позволяет получить суждение об области существования в системе фрикционных автоколебаний вообще. Именно это обстоятельство и определяет актуальность исследований автоколебаний квазигармонического типа при помощи асимптотического метода усреднения в предположении произвольности характеристики трения (точные методы здесь не применимы). Такое исследование и было рассмотрено в п. 6.1. Речь здесь идет о квазигармонических автоколебаниях упруго закрепленного тела с учетом сухого трения на основании, движущемся под действием двигателя ограниченной мощности. Такую систему можно рассматривать как результат наиболее естественного обобщения классической модели фрикционных автоколебаний [18, 41].
Далее рассматриваются квазигармонические крутильные автоколебания бурильной колонны на основе ее уточненной модели с распределенными параметрами. Внутренним рассеиванием энергии при крутильных колебаниях колонны, а также распределенным по ее высоте моментом сил сухого трения пренебрегаем. Кроме того, полагаем, что скорость проходки постоянна, мощность привода вращения достаточно велика, а зависимость момента сопротив-
ления движению породоразрушающего инструмента от его угловой скорости соответствует характеристике коэффициента трения, приведенной на рис.1. При этом малым принимается не момент сопротивления, а его изменение. Периодическое решение поставленной нелинейной краевой задачи строится в квазиконсервативной постановке при помощи локального метода малого параметра [19, 23, 177]. Показано, что процесс построения последовательных приближений может быть продолжен как угодно далеко, причем все характеристики произвольного приближения определяются из условий его периодичности. Построено полностью второе приближение задачи о квазигармонических автоколебаниях, которое включает в себя гармоники удвоенной и утроенной частоты. Формула для частоты автоколебаний получена с точностью до слагаемых порядка квадрата малого параметра включительно. Определен безразмерный частотный диапазон существования квазигармонических автоколебаний бурильной колонны.
Автор считает долгом выразить искреннюю признательность доктору фи-
зико-математических наук профессору [Р.Ф. Нагаеву, постоянный творческий
контакт с которым способствовал завершению работы.
О приведении уравнений движения механических систем с точечными парами сухого трения к нормальному виду
Работа [145] посвящена исследованию фрикционных автоколебаний в системе с кусочно-линейной характеристикой коэффициента трения скольжения (см. рис. 2). В ней показано, что квазигармонические автоколебания вышеупомянутого типа устойчивы, если наклон падающего участка данной характеристики меньше наклона возрастающего участка, и неустойчивы в противном случае.
В ходе дальнейших исследований [52, 53] было установлено, что с ростом скорости протяжки v в первом случае происходит монотонное уменьшение интенсивности фрикционных автоколебаний до нуля. При этом на определенном этапе релаксационные автоколебания непрерывным образом переходят в квазигармонические. В то же время во втором случае, когда наклон падающего участка характеристики коэффициента трения превышает наклон возрастающего участка, увеличение скорости протяжки влечет за собой жесткий срыв фрикционных автоколебаний. Кроме того, было установлено существование квазигармонических автоколебаний существенно нового типа, при которых внутри одного периода дважды меняется знак скорости относительного проскальзывания. В результате проведенных исследований стал в первом приближении ясен характер фрикционных автоколебаний, которые возбуждаются в системе с одной степенью свободы.
Вместе с тем причины возбуждения и характер фрикционных автоколебаний, которые возможны в системах с несколькими степенями свободы [60, 163, 170, 175, 183] или же в системах с распределенными параметрами [92], до настоящего времени не были проанализированы в достаточно общем виде. В частности, не была изучена внутренняя органическая связь этих причин со специфической структурой уравнений движения систем с сухим трением, которая получается после исключения реакций неидеальных связей (парадокс Пэнлеве). Имелись только отдельные примеры исследования устойчивости положения равновесия или стационарного (неавтоколебательного) движения системы, например, исследование устойчивости равновесия упруго закрепленного тела с тремя степенями свободы на движущейся шероховатой плоскости [81]. В работе [10] была проанализирована устойчивость равномерного вращения неуравновешенного ротора в подшипнике скольжения с существенным сухим трением. Было показано, что это вращение может быть неустойчивым, если учесть наличие малого зазора в подшипнике. Поскольку такой учет приводит к увеличению на единицу числа степеней свободы ротора, соответствующее возмущение естественно назвать сингулярным.
Рассмотрим на основе проведённого обзора ряд задач, имея в виду их постановочный характер, с целью определения возможностей построения наиболее рационального алгоритма составления дифференциальных уравнений движения механических систем с сухим трением или близких ним, с исключенными надлежащим образом реакциями неидеальных связей.
Силы сухого трения возникают при проскальзывании друг относительно друга сухих твердых тел. Пусть, например, в некоторый момент времени тела контактируют друг с другом вдоль плоской площадки S. Тогда элементарная сила сухого трения в произвольной точке площадки контакта согласно закону Кулона-Амонтона определится по формуле [125]: где q - распределенное нормальное давление; и - скорость относительного проскальзывания тел в этой точке. Что же касается величины /, то она в случае изотропного сухого трения имеет скалярный характер и носит название коэффициента трения скольжения (см. ниже п. 1.2). При этом ясно, что элементарная сила сухого трения направлена в сторону, противоположную скорости проскальзывания. Наоборот, в случае анизотропного трения за величину / обычно принимают 2x2 - матрицу [59], так что направления векторов dF и и не противоположны. Известно, что в теоретической механике "абсолютно твердых" тел установить распределение нормальных давлений по площадке контакта в общем случае невозможно. Поэтому формулу (1.1) используют только в рамках теории твердого деформируемого тела. Иногда весьма эффективными оказываются допущения о линейном характере распределения давлений или же его постоянстве [125]. Эти допущения, однако, носят частный характер и всегда нуждаются в определенном обосновании. Ситуация резко упрощается, когда площадка контакта настолько мала, что изменением коэффициентов трения и скоростей проскальзывания по поверхности площадки можно пренебречь. При этом пренебрежимо мал оказывается и главный момент совокупности нормальных давлений относительно произвольной точки внутри площадки. В этом случае контакт тел можно характеризовать как точечный. Соответственно величину: естественно трактовать как нормальное реактивное усилие в точке контакта, а суммарную силу сухого трения определять по формуле
Таким образом, необходимость учета взаимной деформации тел в процессе контакта отпадает. В дальнейшем всегда, если это не оговорено специально, будем иметь в виду именно точечный контакт при наличии изотропного трения скольжения. В противном случае обязательно будем приводить аргументацию в пользу принятых допущений относительно характера введенных фрикционных усилий.
Для дальнейшего существенно, что нормальные составляющие динамических реакций, возникающих в точке контакта абсолютно твердых тел, не производят работы на возможных перемещениях соответствующей механической системы. Поэтому нормальные реакции характеризуют идеальную компоненту связей, возникающую в паре трения скольжения. Наоборот, силы сухого трения, имеющие смысл касательных составляющих реакций, «работают» на возможных перемещениях. Это обстоятельство сообщает связи, существующей между телами, типично неидеальный характер [125].
Амплитудно-частотная характеристика системы, отвечающая продольному возмущению гармонического типа
Сделаем теперь некоторые выводы из приведенного в пунктах 1.5—1.6 анализа. Во-первых, определяемые согласно полученным формулам нормальные реакции и эффективная сила трения при некоторых условиях могут оказаться сколь угодно большими по модулю. Если, например, одно из неравенств (1.29) весьма близко к равенству, то соответственно возрастают модули величин, определяемых согласно либо (1.25) и (1.26), либо (1.27) и (1.28), что при
С другой стороны, становится очевидной необходимость учета упругой податливости точечного контакта. Если же оставаться в рамках механики "абсолютно твердых" тел и "абсолютно жестких" связей, то вышесказанное будет, по существу, означать невозможность проскальзывания и неизбежность мгновенной заклинки. И тем более это произойдет при последующем увеличении коэффициента fc, которое приведет к нарушению неравенств (1.29). Аналогичная ситуация имеет место и в других подобных случаях.
Во-вторых, компоненты действующих на тело главного вектора и главного момента активных сил X, Y, L в общем случае зависят и от сил инерции. Существенно также, что эффективная сила трения F является нелинейной (кусочно-линейной) функцией Y и L (см., например, (1.35) и рис. 12). Поэтому результирующее уравнение проскальзывания (1.21) не разрешено относительно обобщенных ускорений, и в частности ускорения проскальзывания и. В процессе обращения соответствующих нелинейных соотношений и приведения уравнения проскальзывания к нормальному виду возможна неединственность решений (движения) или их неразрешимость, которая является проявлением парадокса П. Пэнлеве [168] (см. ниже п. 1.7). Поэтому исключение нормальных реакций по вышеописанной схеме следует рекомендовать лишь в наиболее простых случаях, когда коэффициенты трения скольжения сравнительно малы.
Ранее было установлено, что эффективные силы и моменты сухого трения в динамически определимых механических системах являются существенно нелинейными функциями действующих на эти системы активных сил, включая силы инерции. Иными словами, эти усилия в процессе преобразований этих нелинейных соотношений являются в общем случае нелинейными «функциями» обобщенных ускорений. Это коренным образом отличает системы с неидеальными связями, обусловленные сухим трением, от систем с идеальными связями, уравнения движения которых в форме Лагранжа 2-го рода, как известно [73, 167], линейны по обобщенным ускорениям и могут быть эффективным образом разрешены относительно этих ускорений. В рассматриваемом же случае до начала аналитического или численного исследования необходимо рассмотреть вопрос о приведении уравнений движения к нормальному виду, разрешенному относительно обобщенных ускорений. Существенно, что при этом обращение соответствующих нелинейных соотношений может привести к появлению не только истинных, но и не имеющих физического смысла посторонних решений. Возможность неединственности обращения и приведения к нормальной форме (или вообще невозможности обращения) была впервые установлена П. Пэнлеве [168] и послужила впоследствии основой для продолжительной дискуссии [124]. Конструктивный подход определения истинного решения было в свое время указан Л. Лекорню [226, 227]. Истинные значения нормальных реакций в точечных парах сухого трения являются непрерывными функциями нормы коэффициентов трения по мере монотонного увеличения последней от нуля. При выполнении условий подхода Лекорню соответственно никакой двузначности или тем более трехзначности в процессе приведения уравнений движения к нормальной форме разрешенной относительно обобщенных уравнений не возникает.
Рассмотрим механическую систему с п обобщенными координатами ql,:-,qn и т точечными двухсторонними парами сухого трения. Учтем первоначально упругую податливость направляющих в этих парах и введем [125] соответственно дополнительные координаты qn+l,—,q„+m, имеющие смысл поперечных упругих смещений тел в данных парах. Отметим, что взаимная независимость дополнительных координат, безусловно, может быть обеспечена в системах, которые являются динамически определимыми в указанном выше смысле. Полагаем, что в такой «расширенной» системе все связи являются двухсторонними, голономными и стационарными. Поэтому общая кинетическая энергия системы представляется [7, 196] в виде однородной квадратичной формы обобщенных скоростей:
Здесь инерционные коэффициенты atj зависят от qj,—,qn+m и образуют положительную квадратную матрицу. Скорость относительного проскальзывания в паре сухого трения с номером а (a = l,...,m), естественно, не зависит от обобщенной скорости qn+a и является в общем случае линейной однородной формой всех прочих скоростей, в том числе и дополнительных. Поэтому согласно (1.13) лагранжевые составляющие сил сухого трения будут определяться по формулам
Два примера на исследование устойчивости стационарного движения
С другой стороны, становится очевидной необходимость учета упругой податливости точечного контакта. Если же оставаться в рамках механики "абсолютно твердых" тел и "абсолютно жестких"связей, то вышесказанное будет, по существу, означать невозможность проскальзывания и неизбежность мгновенной заклинки. И тем более это произойдет при последующем увеличении коэффициента fc, которое приведет к нарушению неравенств (1.29). Аналогичная ситуация имеет место и в других подобных случаях.
Во-вторых, компоненты действующих на тело главного вектора и главного момента активных сил X, Y,L в общем случае зависят и от сил инерции. Существенно также, что эффективная сила трения F является нелинейной (кусочно-линейной) функцией Y и L (см., например, (1.35) и рис. 12). Поэтому результирующее уравнение проскальзывания (1.21) не разрешено относительно обобщенных ускорений, и в частности ускорения проскальзывания и. В процессе обращения соответствующих нелинейных соотношений и приведения уравнения проскальзывания к нормальному виду возможна неединственность обращения и приведения к нормальной форме (или вообще невозможность обращения) и уже как следствие неединственность или невозможность движения, что является проявлением парадокса П. Пэнлеве (см. ниже). Поэтому исключение нормальных реакций по вышеописанной схеме следует рекомендовать лишь в наиболее простых случаях, когда коэффициенты трения скольжения сравнительно малы.
Так как эффективные силы сухого трения и моменты сухого трения в динамически определимых системах являются существенно нелинейными функциями действующих на эти системы активных сил, включая силы инерции, то это обстоятельство не позволяет использовать уравнение Лагранжа II рода, которые линейны по обобщённым ускорениям и могут быть разрешены относительно их. Если на первом этапе исследований уравнения движения привести к нормальному виду, разрешённому относительно обобщённых ускорений, то можно обнаружить при обращении соответствующих нелинейных соотношений появляются не только истинные, но и посторонние решения, не имеющие физического смысла.
При сведении задачи к кусочно-линейной системе алгебраических уравнений с т неизвестными (1.43) и выборе частного аналитического решения по є, определённого из (1.45), следует, что в непосредственной близости от порогового значения є исходная гипотеза об абсолютной твёрдости тел, находящихся во фрикционном контакте, становится некорректной.
5.Существует ряд частных случаев, когда система уравнений (1.43) может быть упрощена до одного уравнения (1.43), из которого можно получить ряд соотношений для определения пороговых значений коэффициентов трения /„ и величины силы Р (см. 1.53), формирующих неравенства (1.54), (1.55).
6. Силы трения (верчения и качения), проявляющиеся при взаимодействии инструмента рабочего органа и породы, например, в горных машинах (бурение) могут служить источником возникновения сил, приводящих к интенсивному нагружению оборудования. Математическая модель взаимодействия может быть сведена к интегрированию системы двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (1.66), которое может быть решено при определённых ограничениях в общем виде в случае, когда М, Р, р = const. Однако, дальнейшее изучение свойств системы требует оценки устойчивости, влияния ряда факторов, исследованию динамических эффектов.
Таким образом, силы сухого трения оказывают существенное влияние на динамику систем, состоящих из контактирующих тел, упругих элементов, силовых факторов. К таким расчётным схемам и математическим моделям в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений приводятся многие задачи динамики машин и оборудования в горной, добывающей и металлообрабатывающей отраслях, на железнодорожном транспорте.
С учётом проведённых сравнительных обзора и анализа цель диссертации можно сформулировать как повышение эксплуатационных характеристик промышленного оборудования путем создания системной концепции и методов решения задач динамики механических систем с учетом сухого трения.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: - установлена строгая классификация задач динамики систем с сухим трением, которые могут быть решены в рамках механики абсолютно твёрдых тел; - разработана рациональная методика приведения уравнений движения механических систем с сухим трением к стандартному виду, разрешенному относительно обобщенных ускорений; - определены явные критерии позиционной и асимптотической устойчивости стационарных движений механических систем с сухим трением; - определены конструктивные критерии: неустойчивости стационарных движений механических систем, обусловленные наличием элементов сколь угодно малой податливости; корректности идеализации упругих связей как аб солютно жёстких; - в рамках разработанной методики решен ряд актуальных задач динамики горных машин.
О корректности модели с абсолютно жестким основанием
Как показали исследования автора, в ряде рассмотренных ранее задач критерий асимптотической устойчивости стационарного движения не выполняется, сколь бы ни была велика жёсткость присущих соответствующим системам упругих связей. В частности, имеется в виду поперечная жёсткость направляющих в парах сухого трения. К примеру, в п. 3.4 рассмотрена задача (рис. 43) об устойчивости равномерной протяжки двухопорной платформы на двух точечных парах кулонова трения, посредине которой шарнирно прикреплён маятник. Равновесное вертикальное положение маятника фиксируется вязко-упругим элементом с коэффициентом жёсткости С и вязкости п, а коэффициенты сухого трения в передней и задней парах скольжения постоянны и не равны друг другу (/ Ф /2). Стационарное движение такой системы с двумя степенями свободы неустойчиво, если неравенство (3.32) выполняется с противоположным знаком [см.(4.1)]. Это неравенство не зависит от жёсткости пружины кручения С и выполняется, какой бы большой ни была её величина. Вместе с тем при С -» оо рассматриваемая модель фрикционной протяжки с двумя степенями свободы должна бы перейти в простейшую систему с одной степенью свободы (см. рис. 23).
Однако во всех подобных случаях вполне уместно поставить вопрос о корректности идеализации этих связей как абсолютно жестких, как ни была бы мала их упругая податливость. В связи с этим весьма актуальной становится проблема неустойчивости стационарного движения механической системы с точечными парами сухого трения по отношению к малым возмущениям, возникновение которых приводит к увеличению общего числа степеней свободы рассматриваемой системы. Таким образом, речь идет о неустойчивости сингулярно возмущенной системы [56, 57], определяемой влиянием факторов, связанных с возможностью понижения порядка дифференциальных уравнений при идеализации упругих связей как абсолютно жестких. Как частный случай при переходе к абсолютно жестких в поперечном направлении направляющим в точечных парах сухого трения (см. пункт 1.2).
Обратимся снова к примеру, рассмотренному в начале п. 3.4 (см. рис. 43), где было установлено, что для асимптотической устойчивости стационарного решения (3.28) необходимо и достаточно выполнить точное неравенство (3.32), которое не зависит от ряда параметров системы, в том числе и от жесткости пружины кручения с. Поэтому можно ожидать, что при выполнении неравенства, противоположного (3.32), стационарное движение будет неустойчиво, как бы ни была велика величина С. С другой стороны, при С — оо есть основание полагать, что оба тела в рассматриваемой системе связаны абсолютно жестко, и поэтому следует рассматривать более простую модель, представленную на рис. 23. Учитывая вышесказанное, можно утверждать, что сведение к модели с абсолютно жесткой связью возможно только при условии (3.32). Если же справедливо противоположное неравенство то идеализация в виде абсолютно жесткой связи между телами некорректна, как бы ни была велика жесткость на кручение соединительной пружины. Подобная ситуация весьма характерна для систем с сухим трением и обычно проявляется при больших значениях нормы коэффициентов трения. Рассмотрим поэтому данный вопрос с относительно более общих позиций.
С этой целью обратимся вновь к механической системе общего вида, которая была введена в п. 1.2, с обобщенными координатами q\,--,q„ и т точечными парами сухого трения. Будем учитывать малую упругую податливость направляющих в парах сухого трения и тем самым вводить дополнительные обобщенные координаты gn+l, -,qn+m- Уравнения движения такой "расширенной" системы имеют вид (1.40), причем в них следует положить Na =саУп+а(а = ! ,m)- Здесь cl,...,cm - соответствующие поперечные жесткости, которые следует считать весьма большими. Иными словами, са = 0(і/є), где є - достаточно малый положительный параметр. Перепишем систему (1.40) в векторной форме: где постоянные о19...,ил1 известны, a Yi,...,y„P п1,...,пт определяются из уравнений Q = P = 0. Для существования подобного решения потребуем точно так же, как в п. 3.1, чтобы все коэффициенты уравнений (4.2) зависели только от разностей qx -и/,...,# vnlt. Естественно, что в случае абсолютно жестких направляющих (є = О) решение (4.3) прямо переходит в аналогичное, рассмотренное в п. 3.1. Соответственно стационарные значения дополнительных обобщенных координат малы Чп+а = 0(8) в т0 вРемя как яа = 0(l). Вследствие этого уравнения (4.2) можно с самого начала линеаризовать по р, р и р. Существенно также, что в малой окрестности стационарного движения знаки нормальных реакций не меняются: iVa = iVasign na [см. выражения для лагранжевых составляющих сил сухого трения (1.39)].
