Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор: эволюция волновых пакетов в одномерных квантовых системах 10
1. Квантовые возвраты и коллапсы, автокорреляционный анализ 10
2. Пространственно ограниченный осциллятор как двухмодовая система 15
3. Туннелпрование, делокализация и хаос в системе с двумя потенциальными ямами 17
4. Уравнение Шредингера - Ланжевена - Костина 22
5. Управление квантовыми волновыми пакетами 27
Глава 2. Моделирование простых квантовых систем 31
1. Основные положения и используемые формулы 31
2. Пространственно ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом 33
3. Отрицательное трение 39
4. Система с двухямным потенциалом 43
5. Порционное туннелпрование 51
6. Дифракция квантового волнового пакета на плоской щели 63
Глава 3. Вынужденные колебания квантовых волновых пакетов в системе с полиномиальными потенциалами и трением 67
1. Вынужденные колебания квантового волнового пакета в системе с квадратичным потенциалом и стенками 67
2. Учет энгармонизма 78
3. Влияние случайной силы на колебания в системе с ограниченным квадратичным потенциалом 83
4. Влияние внешней периодической силы на колебания в системе с двойной ямой 90
Глава 4. Пространственно ограниченный осциллятор с трением и обратной связью 94
1. Модель обратной связи 94
2. Когерентные колебания 95
3. Неравномерные временные промежутки между импульсами обратной связи 100
4. Сложные режимы движения 104
Глава 5. Методы численного интегрирования квантовых уравнений движения 114
1. Методы решения стационарного и нестационарного одномерного уравнения Шредингера 114
2. Тестирование алгоритма расчета собственных функций и собственных значений уравнения (5.1) 117
3. Метод интегрирования уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина 121
4. Тестирование численного метода решения нестационарного уравнения Шредингера и уравнения ШЛК 128
5. Метод дискретного преобразования Фурье 134
Заключение 136
Библиографический список 139
- Пространственно ограниченный осциллятор как двухмодовая система
- Пространственно ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом
- Учет энгармонизма
- Когерентные колебания
Введение к работе
Введение и актуальность задачи. Исследование квантовых динамических закономерностей имеет фундаментальное значение для развития физики конденсированного состояния, химии, наноэлектроники и точных технологий. Современные достижения лазерной импульсной фемто- и аттосекундной техники позволяют проводить экспериментальные исследования динамики микрочастицы на разных пространственных масштабах. Поэтому возрос интерес к теоретическим исследованиям процессов когерентных колебаний и делокализации квантовых волновых пакетов, резонансов во внешних полях как в изолированных квантовых системах, так и с учетом взаимодействия с окружающей средой. Объектом исследований становятся различные квантовые системы, в том числе традиционные, такие как потенциальная яма с непроницаемыми стенками, осциллятор и ротатор. Необходимость в проведении этих исследований также обусловлена прикладными задачами, такими как: передача информации квантовыми системами, разработка квантовых компьютеров и других приборов. В последние годы интенсивно разрабатываются методы управления квантовыми волновыми пакетами под воздействием электромагнитного поля. Один из них представлен теорией оптимального управления. Эта теория рассматривает динамический процесс перехода из исходного приготовленного состояния в конечное заданное состояние при помощи специально создаваемых лазерных импульсов с определенной формой и соответствующим Фурье-спектром. Теория реализуется в рамках численных итерационных алгоритмов, описывающих обратную связь между импульсами и квантовыми состояниями и являющихся самосогласованными. Для решения задач управления необходимо изучать условия, при которых движение может быть когерентным и, наоборот, чувствительным к разрушению когерентности. Возникновение декогерентности является фундаментальной проблемой, ей уделяется много внимания в научной литературе.
Для описания квантовых изолированных систем используются различные формы уравнений движения: нестационарное уравнение Шредингера, квантовое уравнение Гамильтона-Якоби, уравнения Маделунга. Влияние окружающей среды на динамику микрочастицы может быть учтено различными способами описания. Если не требуется полного описания системы вместе с окружающей средой и можно перейти к упрощенному, более краткому описанию, то достаточно ввести в уравнения квантовой динамики для системы один или несколько параметров, характеризующих влияние окружающей среды. Так появилось уравнение Гейзенберга-Ланжевена для оператора импульса [1], которое послужило основой для формулировки уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина (ШЛК) [2, 3]. Уравнение ШЛК содержит слагаемое, включающее коэффициент трения. Так как оно предназначалось для описания квантового броуновского движения, то содержит еще одно слагаемое - потенциал случайной силы. Оба слагаемых входят в уравнение ШЛК аддитивно и не зависят друг от друга. При
З і ''
определенных допущениях, а также в модельных задачах, действие случайной силы можно игнорировать, как это сделано в статьях [4-7]. Уравнение ШЛК без случайной силы имеет в качестве классического аналога уравнение движения с диссипативной силой, пропорциональной скорости и противоположно ей направленной.
Диссертационная работа посвящена численному интегрированию уравнения ШЛК и исследованию динамических закономерностей в пространственно-ограниченных квантовых системах с полиномиальными потенциалами, трением и обратной связью. Основные темы исследования: собственные колебания в одномерных системах, вынужденные колебания при импульсном воздействии на квантовые волновые пакеты, моделирование обратной связи, туннелирование в системах с полиномиальными потенциалами, влияние окружающей среды в рамках уравнения ШЛК. Рассматриваемая тематика и полученные результаты являются актуальными и значимыми для приложений в современной радиоэлектронике.
Цели и задачи исследования. Цель исследований — развитие динамической теории когерентных процессов, делокализации и сложных колебаний при внешних воздействиях и влиянии окружающей среды. Это определяет постановку следующих задач
-
Исследование квантового пространственно-ограниченного осциллятора в рамках нестационарного уравнения Шредингера; расчеты динамических средних и их Фурье-спектров, а также контурных карт (уровней) плотности вероятности.
-
Анализ квантового пространственно ограниченного осциллятора с трением в рамках уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина; расчеты динамических средних и их Фурье-спектров, а также фазовых траекторий.
-
Динамические расчеты при разных начальных условиях: в форме гауссова пакета с заданной скоростью, при помощи воздействия одиночного импульса внешней силы.
-
Исследование вынужденных колебаний для пространственно-ограниченного осциллятора с трением, переход к установившемуся режиму колебаний; когерентные колебания; влияние случайной силы на колебания.
-
Разработка квантового аналога классической системы с обратной связью, с отрицательным трением, переход к хаотическому режиму колебаний.
-
Численное моделирование пространственно-ограниченных квантовых систем с трением и полиномиальными потенциалами, пропорциональными третьей и четвертой степеням по координате.
-
Расчеты инжекции двумерного квантового пакета волн через плоскую щель, дифракция на щели, управление пакетом.
В этих исследованиях необходимо установить области параметров, при которых в процессе эволюции волновые пакеты остаются локализованными и произведение неопределенностей остается минимизированным и, наоборот, когда происходит делокализация квантовых волновых пакетов, а движение становится сложным,
нерегулярным; выявить режимы когерентного движения в условиях диссипации и воздействия внешних сил.
Научная новизна диссертации
-
С единых позиций в рамках уравнения Шредингера — Ланжевена — Костина проведены всесторонние и обширные количественные исследования динамики квантовых волновых пакетов в системах с полиномиальными потенциалами, подверженных действию внешних силовых полей и окружающей среды.
-
Разработан численный метод решения уравнения ШЛК, использующий процедуру установления по псевдовремени. Подобный метод применяется для решения уравнений классической гидродинамики и других.
3. Пространственно-ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом
(осциллятор в ящике) исследован с учетом трения и силы, обусловленной
ланжевеновским случайным потенциалом. Если амплитуда колебаний соизмерима с
половинным размером системы, то частотный спектр усложняется: вместо одной
спектральной линии имеет место структурированный их набор, но спектр остается
дискретным. Детально изучены вынужденные колебания пространственно-
ограниченного осциллятора с трением и внешней силой в виде периодической
последовательности импульсов. Установлены режимы вынужденных когерентных
колебаний с минимизированным произведением неопределенностей координаты и
скорости, а также режимы колебаний, когда происходит рост квантовых флюктуации и
произведения неопределенностей координаты и скорости.
-
Предложена модель квантового осциллятора с трением и обратной связью, являющаяся аналогом классического осциллятора с трением и обратной связью (классические механические часы). Варьируя параметры предложенной модели — коэффициент трения, силу обратной связи — найден режим движения с минимизированным произведением неопределенностей координаты и скорости, с дискретным частотным спектром колебаний. При определенном значении силы с уменьшением коэффициента трения существует бифуркационное (критическое) значение коэффициента, при котором возникают сложные колебания в системе, характеризующиеся всюду плотным частотным спектром для зависимости средней координаты от времени.
-
В квантовой системе с двойной потенциальной ямой при воздействии силы трения и внешней гармонической силы исследованы различные режимы туннелирования и колебаний. Частоты внешнего воздействия были близки или равны частотам переходов между соседними энергетическими уровнями, при этом высота барьера между ямами варьировалась в определенных пределах. Частота переходов между первым возбужденным и основным уровнем, обусловленная туннелированием, характеризует релокализацию волнового пакета. Частота перехода между возбужденными третьим и вторым энергетическими уровнями характеризует мелкомасштабные колебания пакета в каждой из ям. Частотные Фурье-спектры для
колебаний средней координаты и карты уровней плотности вероятности дают картину динамики квантовых волновых пакетов. Возможны режимы, когда Фурье-компонента на частоте релокализации является доминирующей.
6. В квантовой системе, образуемой разностью потенциалов второй и третьей
степени по координате, исследовано динамическое туннелирование из ямы, в которой
происходят колебания волнового пакета, через барьер в свободное пространство.
Установлено дискретное порционное туннелирование, при малой высоте барьера оно
становится двухступенчатым.
7. Исследована дифракция квантового волнового пакета на плоской щели в рамках
двумерного уравнения Шредингера — Ланжевена — Костина. Для начального гауссова
пакета с продольной скоростью изучены карты уровней плотности вероятности на
двумерной координатной плоскости в фиксированные моменты времени, динамика во
времени средних продольной и поперечной скоростей, а также распределение
плотности вероятности в зависимости от поперечной координаты для фиксированных
моментов времени и определенного значения продольной координаты. Влияние трения
на эти распределения также изучено.
Защищаемые положения:
-
предложен метод численного решения квантового уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина, основанный на введении дополнительной производной по псевдовремени в разностную схему Кранка-Никольсона; разработан программный код для подробного изучения решений уравнения ШЛК;
-
найден режим вынужденных когерентных колебаний с минимизированным произведением неопределенностей и изучено влияние стенок на рост произведения и структуру Фурье-спектров координаты и скорости;
3) представлена и исследована модель квантового аналога классического
осциллятора с трением и обратной связью, в том числе с отрицательным трением;
установлен переход от когерентных колебаний к сложным, характеризующимися всюду
плотным спектром;
4) установлены закономерности туннелирования в системах с полиномиальными
потенциалами: а) для двойной ямы с трением и внешней силой мелкомасштабные
осцилляции затухают, а осцилляции, обусловленные туннелированием, сохраняются, б)
для комбинации потенциалов кубического и квадратичного обнаружены режимы
порционного туннелирования через определенные промежутки времени.
Практическая значимость работы. Теоретические исследования и компьютерное моделирование волновой динамики микрочастицы, визуализация расчетов формируют научные представления и базу знаний, необходимых в физике конденсированного состояния, электронике, разработках квантовых приборов и компьютеров, и в других целях. Разработанный программный продукт может быть использован для последующих исследований движения микрочастицы в квантовых системах с полиномиальными потенциалами и диссипацией, а также в учебном процессе.
Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов, положений и выводов подтверждается внутренней согласованностью всей совокупности данных качественного анализа и численных расчетов, корректным применением апробированных методов вычислительной физики, квантовой механики и теории конденсированного состояния.
Апробация. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Политехнический симпозиум (Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2007); Демидовские чтения на Урале (Екатеринбург, 2006); Tenth. Intern. Workshop on NDTSC-2006 (Olsztyn, Poland, 2006); XIV, XV международные конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2007, 2008); XIII, XIV международные научно-методические конференции «Высокие интеллектуальные технологии в образовании и науке» (Санкт-Петербург, 2006, 2007); X, XI, XII Всероссийские конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах» (Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2007); семинар сектора численного моделирования ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН; семинары кафедры теоретической физики СПбГПУ; семинар сектора теории конденсированного состояния отделения теоретической физики в ПИЯФ им. Б.П. Константинова РАН.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка (119 наименований); содержит 147 страниц текста, иллюстрируется 55 рисунками.
Личный вклад автора. Соискатель принимал участие в постановке ряда задач, разработке метода решения уравнения ШЛК, анализе результатов, им проведены все численные расчеты и создан программный продукт.
Пространственно ограниченный осциллятор как двухмодовая система
Одномерный гармонический осциллятор, ограниченный бесконечно высокими стенками потенциальной ямы, или, другими словами, пространственно-ограниченный осциллятор, давно обсуждается в научной литературе [24 - 27]. Несмотря на это, интерес к этой модели «осциллятора в ящике» остается и в настоящее время. В одной из последних работ [28] обращается внимание на то, что данная модель является примером простейшей двухмодовой системой, которая имеет точные предельные решения. Одно из них соответствует гармоническому осциллятору, а другое — для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Вблизи этих предельных решений может быть использована теория возмущений. Авторы разработали так называемый непрямой метод описания, который использует оба набора собственных функций: для гармонического осциллятора и для частицы в яме. С помощью этого метода, используя теорию возмущений, можно получить аналитические решения в промежуточной области энергетического спектра. Этот метод может быть применен для более сложных систем, например, для расчета ядер атомов. Гамильтониан одномерного осциллятора в одномерном ящике, рассматриваемый авторами этой статьи, имеет вид:
Где VL(x) — ограничивающий потенциал с нулевым значением для x L и оо для x L, p=—ihdldх, ш — характеристическая частота осциллятора. Как отмечено выше, эта система имеет два точных предельных решения. Если со—О, то рассматриваемая система становится системой для свободной частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками, ширина которой 2L. Для этого случая собственные функции и энергетический спектр хорошо известны. Другой точно решаемый предел уравнения с гамильтонианом (1.11) соответствует L— оо . В этом случае решениями стационарного уравнения Шредингера являются решения для гармонического осциллятора на полном интервале. Энергетический спектр исходной системы отличается от спектров этих двух предельных случаев. Для гамильтониана (1.11) можно определить три спектральных области: (і) область спектра, в котором Еп П , (іі) область спектра, соответствующая одномерному гармоническому осциллятору с линейной зависимостью Еп п, (ііі) промежуточная область спектра, не совпадающая с предыдущими. Первая область соответствует движение частицы при высоких энергиях. Роль квадратичного потенциала становится несущественной. В этом режиме мы можем использовать стандартную теорию возмущений для вычисления поправок к энергии частицы в яме, возмущенной потенциалом осциллятора. Может быть показано, что теория дает лучшие результаты для более высоких энергетических уровней. Если 77- со , то первая поправка энергии стремится к постоянному значению когда n» 2—5— Этот анализ подтверждается численными вычислениями. При низких энергиях, когда классические точки поворота осциллятора лежат далеко от границ потенциальной ямы, спектр гамильтониана (1.11) совпадает со спектром осциллятора. Число таких состояний может быть легко оценено. Промежуточный спектр наблюдается, когда точки поворота осциллятора совпадают со стенками ямы. Следовательно, критическая энергия, которая разделяет две предельные спектральные области, заключение отметим, что непрямой базис, разработанный авторами рассматриваемой статьи, состоит из базисных состояний модифицированного гармонического осциллятора, который удовлетворяет граничным условиям, вместе с базисными состояниями свободной частицы в ямы. Теперь чтобы получить волновые функции и собственные значения энергии гамильтониана (1.11) необходимо решать обобщенную задачу на собственные значения внутри этого базиса. В статье дано подробное описание базисных векторов, их матрица перекрытия и составлены соответствующие уравнения для отыскания собственных значений.
Пространственно ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом
Квантовая система, рассматриваемая в данном параграфе, включает квадратичный потенциал, ограниченный непроницаемыми стенками. Для этой системы анализируется энергетический спектр стационарной задачи, а также свойства нестационарного решения. Рассмотрим сначала стационарные решения. В этом случае уравнение для собственных функций и собственных значений имеет вид где „, (р„ - собственные значения энергии и собственные функции, соответственно, п — номер квантового состояния. Специфика рассматриваемой квантовой системы, как отмечалось выше, состоит в том, что квадратичный потенциал задан на конечном отрезке [—Ci,;CL] между стенками системы. Как известно [24], энергетический спектр такой системы становится неэквидистантным. При малых номерах квантовых состояний он с высокой степенью точности совпадает со спектром квантового гармонического осциллятора. Однако с ростом номера состояния происходят изменения в структуре спектра. При достаточно больших номерах можно ожидать переход к состояниям частицы в потенциальной яме без квадратичного потенциала. Используя нулевые граничные условия для ц „ на стенках системы =±CL, были проведены расчеты собственных значений „ для и=0,1, ,46. Энергетические спектры є „ для гармонического осциллятора на полном интервале (—со, со), для частицы в потенциальной яме с непроницаемыми стенками, для пространственно-ограниченного осциллятора на конечном промежутке [ Ci, CL) В целом различаются между собой. Здесь кратко обсудим расчеты для Ає,=єп+1 — е„ . Результаты расчетов для Л„ как функции п приведены на рис. 2.1. Здесь же приведены данные для потенциальной ямы без квадратичного потенциала. Грубо можно выделить три режима движения: осцилляторный, промежуточный и для частицы в потенциальной яме без квадратичного потенциала. Осцилляторный режим определяется тем, что Д„ 0 , т. е. разница энергий между соседними уровнями приблизительно равна частоте осциллятора П. Если П = 1 , то число состояний п, удовлетворяющих этому условию, равно 5; при Q.—2 число я равно 11. С увеличением п разница Д„ постепенно возрастает. Например, при П = 1 для п-6 величина Д„=1.08166 ; при Q=2 для п=\ 5 величина Дн=2.1712 . Затем происходит излом функциональной зависимости Д „("), почти горизонтальная прямая переходит в наклонную прямую, возникает промежуточная область. В промежуточной области значения Д„ увеличиваются с ростом п, однако отличаются от значений Д„ для потенциальной ямы без квадратичного потенциала. При больших п решения задачи соответствуют решениям для ямы без квадратичного потенциала. Теперь рассмотрим нестационарные режимы движения, когда задано начальное условие, а эволюция системы подчиняется нестационарному уравнению Шредингера. В этих режимах характер динамических свойств зависит от начальных условий: отклонения пакета от состояния равновесия, начальной скорости и, соответственно, степени приближения средней координаты (С) к Cz,, т. е. к стенкам системы. Рассмотрим простейший вариант начальных условий в форме гауссова пакета, размещенного в центре системы, но с малой начальной скоростью где А определяется из условия нормировки, а (У) — У о характеризует скорость центра гауссова пакета в начальный момент времени. При малых скоростях Уо можно организовать режимы колебательного движения, соответствующие или близкие к режиму квантового гармонического осциллятора на неограниченном интервале (—оо;оо) . В этих режимах колебания происходят на собственной частоте осциллятора 1 = 1 . Анализ реализаций и Фурье-спектров динамических переменных и их средних подтверждают возможность таких колебаний, если У о достаточно мала.
Учет энгармонизма
Выше был рассмотрен квадратичный потенциал, ограниченный бесконечными стенками. Однако, во многих практических приложениях важно также учитывать ангармоничность потенциала. В частности, можно рассмотреть ангармоническую поправку четвертой степени по координате:
Для начала рассмотрим классическую задачу с потенциалом (3.5) без трения и вынужденной силы. Оценим период колебаний в такой системе: Для малой степени ангармоничности (/? ; 1 ) были проведены численные расчеты колебаний квантовых волновых пакетов в потенциале (3.5), которые показали соответствие периода колебаний с формулой (3.6). Ниже рассматривается случай большой степени ангармоничности.
Задача заключается в анализе влияние энгармонизма в системе с вынужденной силой и трением. В дальнейшем будем рассматривать случай /? = 1 . Прежде чем перейти к динамической задаче, проанализируем стационарный спектр энергий системы с потенциалом (3.5). Спектр энергии и их разности приведены в таблице 3.1.
Таким образом, можно отметить что при данном значении параметра 0 степень ангармонизма достаточно велика, а спектр энергии является существенно не эквидистантным даже в случае малых значений энергий. Если рассмотреть нестационарную задачу без трения и внешней импульсной силы с начальным условием в виде гауссова пакета с V0=—l , то в системе возбуждаются колебания с несколькими частотами. Фурье-спектр средней координаты в этом случае выглядит так, как показано на рис. 3.5. Здесь явно видны две частоты колебаний, соответствующие и Л е2, причем первая имеет большую примерно на порядок интенсивность.
Теперь перейдем к анализу нестационарной задачи с трением и внешней импульсной силой (3.2). С учетом энергетического спектра, период повторения импульсов внешняя
импульсной силы задавался равным 2тт7Де1 = 2тт71.40 . Амплитуда импульсов равна F0— 10 , коэффициент трения /г = 0.5 . Результаты расчета представлены на рис. 3.6.
На рис. 3.6а показано распределение плотности вероятности во времени. Здесь видно, что пакет колеблется в потенциальной яме с небольшим изменением своей формы, что связано с влиянием только ангармонизма, поскольку колебания происходят вдали от стенок. На рис. 3.66 показаны зависимости средних координаты и скорости от времени. На графике явно видны моменты времени, когда действует импульсная сила, однако влияние ангармонизма почти не существенно, что также демонстрирует Фурье-спектр средней координаты (рис. З.бв): имеется основная гармоника, соответствующая частоте 2тг/1.40 , а также её высшие гармоники, что коррелирует с аналогичными картинами для колебаний пакета в квадратичном потенциале. Однако, совершенно другая ситуация для стандартных отклонений (рис. З.бг). Здесь мы видим, что ангармонизм сильно влияет на значения стандартных отклонений, произведение стандартных отклонений уже не является минимизированным и колеблется на уровне «0.6 . Это также означает, что форма пакета не является гауссовой и меняется в процессе колебаний. Картина колебаний остается примерно такой же и в случае уменьшения коэффициента трения (мы рассматривали случаи к = 0.4 и 0.2), при этом другие параметры остаются неизменными. Таким образом, можно сделать вывод, что в данном случае ангармонизм в первую очередь влияет на форму волнового пакета, тогда как сам пакет колеблется примерно аналогично ситуации, когда имеется только квадратичный потенциал.
Когерентные колебания
Прежде чем перейти к квантовой модели движения с трением и обратной связью, полезно кратко обсудить численные решения уравнения для классического осциллятора с трением и обратной связью, обусловленной потенциалом (4.2) с ограничивающими стенками, например, для параметров F0=—0.5 , =0.1, Ат=тг/16 и начального условия Со—0, VQ= — 1 (рис. 4.1). Последовательным значениям тл. соответствуют значения С=0 , V 0 . На интервале [0,70] функция С(т) осциллирует с затуханием, затем её амплитуда колебаний становится неизменной (см. рис 4.1а). Основная гармоника Fc{Cl) имеет частоту Q 1 , высшие гармоники являются слабыми (рис. 4.16). Если коэффициент трения увеличить, например, до к - 0.5, а остальные параметры и начальное условие оставить неизменными, то в системе будут генерироваться колебания с меньшей амплитудой. В этом случае основная частота будет заметно меньше единицы, интенсивность Фурье-компоненты на этой частоте более чем на порядок ниже по сравнению с предыдущим случаем, когда =0.1 , Высшие гармоники также возбуждаются слабо.
В том случае, когда сила обратной связи достаточно велика, а коэффициент трения мал (например, F0=-\0 , k = 0.1), колебания являются настолько сильными, что частица при своем движении может достигать стенок системы. В этом случае необходимо задать закон отражения от стенки. Для данных расчетов использовался закон упругого отражения: при достижении стенки скорость частицы мгновенно меняется на противоположную (то есть модуль скорости сохраняется, меняется её" знак). При таком подходе движение частицы остается регулярным для рассмотренных значениях параметров.
Теперь рассмотрим задачу о колебаниях для динамических средних (С), (У) с позиции квантового уравнения ШЛК при значениях параметров F0=—0.5, К0= —1, = 0.1. В моменты времени т3, когда (0=0, (У) 0, включается сила F0, характеризующая обратную связь. Плотность вероятности N распределена вдали от стенок системы (рис. 4.2а). На рис. 4.26 даны реализации для средних (С), (У) как функции времени. Колебания этих величин смещены по фазе относительно друг друга, а относительно оси (С)—0 не являются совершенно симметричными. Между последовательными включениями Uос промежутки времени А г, сохраняются и характеризуют период колебательного процесса, который равен Is.x T.n. Функция F y(Q) содержит интенсивную основную частоту F,(s){l)=2-10 , вторая гармоника является слабой F [2) 1 О F ( 1) , остальные также малы и спадают с увеличением номера гармоники (рис. 4.2в). Установившееся колебательное движение характеризуется минимальным значением произведения неопределённостей асету = О.Б . Как известно, аналогичная ситуация имеет место для когерентных колебаний гармонического осциллятора. Поэтому можно сказать, что для данного режима колебаний диссипация не играет деструктивной роли в ослаблении когерентности. В характере динамического поведения следует отметить аналогию с классическим осциллятором (ср. рис. 4.1) и выполнение принципа соответствия.
Для того, чтобы рассмотреть влияние начальной скорости пакета V0 на переход к установившимся колебаниям и на произведение стандартных отклонений о\- оу, был исследован динамический режим, характеризующийся параметрами: FQ— 0- 5 , к=0.1 , 0= —10 . По сравнению с предыдущим режимом, когда Г0= —1 , здесь следует отметить заметную фрагментацию исходного волнового пакета и последующее постепенное удаление его от стенок ямы (рис. 4.3а). Синхронно с этой картиной меняется
