Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые точно решаемые нелинейные дискретные уравнения с приложениями в физике конденсированного состояния 13
1.1. Нелинейные дискретные физические системы и способы их описания 13
1.2. Обзор литературы 21
1.2.1. Способы построения дискретных аналогов нелинейных уравнений математической физики, обладающих рядом особых свойств 21
1.2.2. Свойства солитонных решений в дискретных моделях свободных от потенциала Пайерлса-Набарро 26
Выводы 30
2. Построение дискретного уравнения клейн-гордона с ассимметричным потенциалом, допускающего кинковые решения, свободные от потенциала пайерлса-набарро 31
2.1. Дискретизация, использующая ДНИ 31
2.2. Две дискретные модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом 37
2.3. Нахождение статических кинковых решений уравнений ДМКГТ и ДМКГ2 39
Выводы 42
3. Свойства кинковых решений в дискретных моделях клейн-гордона с асимметричным потенциалом. ратчет кинков 45
3.1. Форма кинков 45
3.2. Колебательные спектры кинкоз 48
3.3. Ратчет (ratchet) кинка при отсутствии вязкости 51
3.4. Ратчет кинка при наличии вязкости в ДМКГ2 56
Выводы 60
4. Обобщенное дискретное нелинейное уравнение цредингера свободное от потенциала пайерлса- набарро 74
4.1. Известные дискретизации НУШ свободные от потенциала Пайерлса-Набарро 74
4.2. Конкретизация на случай кубической нелинейности 81
4.3. Обобщенное дискретное НУШ с кубической нелинейностью 83
4.3.1. Законы сохранения 84
4.3.2. Двухточечные отображения для нахождения стационарных решений 87
4.3.3. Движущиеся точные решения 92
4.3.4. Точные короткопернодические и апериодические решения 95
4.3.5. Вопросы устойчивости некоторых решений обобщенного дискретного НУШ с кубической нелинейностью 102
Выводы 106
Заключение 112
Приложение
- Способы построения дискретных аналогов нелинейных уравнений математической физики, обладающих рядом особых свойств
- Две дискретные модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом
- Ратчет (ratchet) кинка при отсутствии вязкости
- Обобщенное дискретное НУШ с кубической нелинейностью
Введение к работе
Актуальность проблемы. Теоретическое изучение дискретных систем является традиционным в физике конденсированного состояния, например, при изучении колебательных спектров идеальных кристаллов, а также колебательных мод, локализованных вблизи дефектов кристаллической структуры. В последние несколько десятилетий необьгаайно вырос интерес к задачам, где смещения атомов от решеточных положений значительны и требуется учет нелинейных слагаемых в разложении сил межатомных взаимодействий. Нелинейные дискретные системы, по сравнению с линейными, проявляют целый ряд качественно новых физических свойств, среди которых одним из важнейших является возможность существования в них волн солитонного типа (ВСТ). ВСТ необьгаайно устойчивы по отношению к возмущениям и, в случаях близких к интегрируемым, взаимодействуют друг с другом почти упруго, то есть восстанавливают свои свойства после столкновения. Таким образом, ВСТ способны эффективно осуществлять перенос энергии, импульса, вещества, электрического заряда и др., что и делает их исключительно важными для физики конденсированного состояния. Такого рода волны возможны и в континуальных нелинейных системах, но дискретность среды вносит заметные корректировки в их свойства и даже может приводить к появлению качественно новых свойств. С математической точки зрения, дискретизация приводит к потере трансляционной симметрии системы, а в физическом плане это проявляется в появлении периодического потенциала, который ВСТ вынуждена преодолевать при движении воль кристалла от одной ячейки периодичности к другой. В теории дислокаций этот потенциал получил название потенциала Пайерлса-Набарро (пПН), и позже этот термин стал использоваться и в других приложениях. Революцией в теории нелинейных дискретных систем стало открытие Тодой полностью интегрируемой цепочки [1], где кинковые решения не испытывают действия пПН. В последствии были открыты и другие интегрируемые дискретные нелинейные цепочки, например, цепочка Абловица-Ладика [2], но всё же число таких систем остается весьма ограниченным. С другой стороны, известен ряд неинтегри-руемых нелинейных дискретных уравнений, допускающих точные решения, например, уравнения, сводящиеся к нелинейному отображению Квиспела-Робертса-Томпсона [3]. Роль таких решений, как в теории нелинейных дискретных систем, так и в их физических приложениях весьма значительна.
В последние десятилетия дискретные нелинейные системы привлекают всё большее внимание в различных разделах физики, например, в физике фазовых превращений, физике пластической деформации, в нелинейной оптике, в физике Бозе-Эйнштейновского конденсата, при исследовании волн кальция в живых клетках, сверхпроводящих Джозефсоновских кон-
тактов, и в целом ряде других областей [4-6]. Дискретность материи на молекулярном и атомарном уровне становится заметной при работе с нано-размерными системами.
Таким образом, весьма актуальными являются следующие задачи, рассматриваемые в настоящей работе:
построение дискретных аналогов для уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, для которых статические (стационарные) задачи сводятся к интегрируемым отображениям, используя методологию, предложенную в работе [7];
изучение законов сохранения полученных дискретизаций;
полуаналитическое и численное исследование свойств ВСТ для таких дискретных моделей;
- физическая интерпретация полученных результатов.
Цель и задачи исследования:
Целью диссертационной работы является исследование волн соли-тонного типа в нелинейных дискретных уравнениях Клейн-Гордона и Шредингера без потенциала Пайерлса-Набарро.
Для достижения данной цели возникает необходимость решения следующих задач:
Построение дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, для которых статические решения свободны от потенциала Пайерлса-Набарро.
Получение и всесторонний анализ некоторых решений этих уравнений.
Физическая интерпретация полученных уравнений и их решений в контексте физики конденсированных сред.
Научная новизна:
Впервые построена дискретная модель Клейн-Гордона без потенциала Пайерлса-Набарро с асимметричным локальным потенциалом.
Исследован ратчет кинка в этой дискретной модели при отсутствии и при наличии вязкости и показано, что скорость дрейфа кинка очень слабо зависит от параметра дискретности, и что при достаточно большом значении коэффициента вязкости происходит смена направления движения кинка.
Для обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера исследованы законы сохранения энергии, нормы и импульса, и получен ряд новых точных решений, как в замкнутой форме, так и в виде двухточечных нелинейных отображений.
Научная и практическая ценность работы: 1. Результаты исследования свойств кинковых решений свободных от потенциала Пайерлса-Набарро в дискретной модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом, а также получение целого ряда точных решений
обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера представляют несомненную научную ценность работы.
2. С практической точки зрения, отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в исследованных дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что означает повышенные транспортные свойства таких моделей. Исследованные уравнения находят широкое применение в физике конденсированного состояния при описании свойств топологических дефектов кристаллов (доменные стенки, дислокации), а также в других разделах физики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Ратчет кинковых решений свободных от пПН в дискретной модели
Клейн-Гордона существенно отличается от такового в дискретной модели с
пПН. В частности, было показано, что в модели без пПН скорость дрейфа
кинка очень слабо зависит от параметра дискретности и дрейф кинка на
блюдается при сколь угодно малом значении амплитуды внешней периоди
ческой силы. Дрейфовая скорость кинка меняет знак при достаточно боль
шом значении коэффициента вязкости.
2. Получен ряд новых точных решений обобщенного дискретного нелиней
ного уравнения Шредингера в явной форме и в форме двухточечных нели
нейных отображений, а также перечень некоторых законов сохранения это
го уравнения.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных форумах: X Международная школа-семинар "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах" (ЭДС - 2008), 8-12 сентября 2008, г. Барнаул, г. Бийск; Всероссийская молодежная научная конференция «Мавлютовские чтения», 28-29 октября 2008, г. Уфа; Международная научно-практическая конференция "Проблемы и перспективы развития литейного, сварочного и кузнечно-штамповочного производства", ноябрь 2008, г. Барнаул; Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (НТИ-2008), 4-7 декабря 2008, г. Новосибирск; Международый симпозиум «Перспективные материалы и технологии» 25-29 мая 2009, г. Витебск, Беларусь; X Международная научно-техническая уральская школа-семинар металловедов -молодых ученых, 7-11 декабря 2009, г. Екатеринбург.
Публикации. Результаты исследований опубликованы в 14 печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 126 наименований. Работа изложена на 123 страницах машинописного текста, содержит 15 рисунков.
Способы построения дискретных аналогов нелинейных уравнений математической физики, обладающих рядом особых свойств
Опишем известные в литературе подходы к построению дискретных аналогов нелинейных уравнений. Задача дискретизации, как уже отмечалось, имеет множество решений, и получаемые дискретные уравнения могут иметь различные свойства. Естественно интересоваться такими дискретизациями, которые обладают особыми, «хорошими» свойствами. Например, большой интерес вызывают дискретные системы, допускающие точные аналитические решения или дискретные системы, имеющие определенные законы сохранения. Разумеется, речь пойдет здесь о неинтегрируемых дискретизациях, поскольку интегрируемые дискретизации [22-25], с их бесконечным числом сохраняющихся величин и с наличием точных многосолитонных решений, представляют собой достаточно узкий класс дискретных моделей. Оказалось, что некоторые неинтегрируемые нелинейные дискретные уравнения могут обладать некоторыми законами сохранения и допускать точные статические и даже точные движущиеся решения
Подобные дискретизации были построены и исследованы разными авторами как для уравнения Клейн-Гордона [42-58], так и для НУШ [59-65]. Такие модели строились и исследовались в ходе выполнения данной диссертационной работы [66-79]. Одним из мощных методов построения особых дискретизаций является использование результатов теорией интегрируемых отображений [6,80]. Именно в работе [6], по-видимому впервые, предлагается рассматривать интегрируемые отображения как новый класс интегрируемых уравнений. В той же работе описано одно семейство разностных уравнений второго порядка и его первый интеграл. В последующих работах, например, в работе [80], были построены новые классы интегрируемых отображений и показана их связь с интегрируемыми цепочками. Подход к дискретизации уравнения Клейн-Гордона, предложенный Шпейтом и Бардом [44] и Шпейтом [45,46], основан на применении идеи Богомольного [81] к дискретным уравнениям. Данный подход гарантированно приводил к гамильтоновским дискретным моделям и также он гарантировал существование статических решений, свободных от потенциала Пайерлса-Набарро, которые можно строить итерационно из нелинейных двухточечных отображений. Подход к дискретизации уравнения Клейн-Гордона, использованный Кеврекидисом [47], гарантирует построение моделей, сохраняющих импульс и также приводит к двухточечному отображению, из которого можно итерационно строить статические точные решения. Однако, было показано, что модели этого типа не являются гамильтоновскими [51]. Достаточно общий метод дискретизации, основанный на использовании дискретизированного первого интеграла (ДЛИ) статической версии исходного континуального уравнения, был предложен в работе [51] и развит в работе [52]. На сегодняшний день, метод ДЛИ является самым общим подходом к построению особых дискретизаций нелинейных уравнений второго порядка. С его помощью можно строить как гамильтоновские, так и негамильтоновские дискретизации уравнения Клейн-Гордона.
Более того, результаты, полученные для уравнения Клейн-Гордона, легко переносятся на БУШ [59,61], поскольку поиск стационарных решений НУШ приводит к уравнению Клейн-Гордона. Метод ДЛИ будет описан нами подробно в разделе диссертации 2.1., ив разделе 2.2. он будет впервые применен к построению особой дискретизации уравнения Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом. Интересный подход был использован в работах [82,83], где стационарные решений обобщенного ДНУШ анализировались с точки зрения трехточечных нелинейных отображений. Было обнаружено, что при некоторых значениях параметров отображения оно порождало на плоскости кривую с топологической размерностью равной единице. Эффективное уменьшение размерности свидетельствовало о сводимости данного отображения к двухточечному и было связано с исчезновением потенциала Пайерлса-Набарро. Упомянем еще один подход к нахождению особых нелинейных дискретных моделей, который, несмотря на свою математическую тривиальность, оказался весьма эффективным [64,65]. В данном подходе рассматривается нелинейное дискретное уравнение достаточно общего вида. Далее осуществляется поиск точных решений этого уравнения путем прямой подстановки в него решения
Две дискретные модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом
Применим теорию дискретизации, изложенную в разделе 2.1., для построения дискретной модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом. Мы возьмем функцию G в виде полинома четвертой степени где кубический член отсутствует в силу того, что сдвигом на константу ф ф-ф0 всегда можно добиться равенства нулю соответствующего коэффициента. Тогда, согласно (2.20), локальный потенциал (при С = 0) будет: (2.25 Простая дискретная модель Клейн-Гордона с таким потенциалом (обозначим ее как ДМКГ1), имеет вид ф„=(У )(фп_1-2ф„+фп+1\-У фп), что с учетом (2.25) дает: Гамильтониан ДМКГ1 имеет вид Более сложная дискретная модель Клейн-Гордона (ее обозначим ДМКГ2) определяется уравнением (2.23), где что было найдено подстановкой проинтегрированного выражения (2.24) в (2.21). Эта модель имеет гамильтониан За асимметрию потенциала отвечает параметр с . При с = 0 потенциал является симметричным. Потенциал (2.25) зависит от четырех параметров. Зафиксируем высоту потенциального барьера на уровне 0.5, а расстояние между минимумами равным 2, также как это принято для классической модели р4 . Степень асимметрии будем варьировать параметром с .
Остается еще один свободный параметр b, который мы положим равным нулю. На рис. 2.1 изображен потенциал (2.25) при Ь = 0 и a = -l, с = 0, d = \ (пунктирная линия) ; а = -83988, с = 0.382925, / = 0.860756 (штрих пунктирная линия); а = -0.643049, с = 0.626843, d = 0.706344 (сплошная линия). Хорошо видно, что асимметрия потенциала растет с увеличением параметра с, в то время как высота потенциального барьера и расстояния между минимумами не изменяются. Прежде всего отметим, что для модели ДМКГ1, заданной уравнением движения (2.26), не известен метод нахождения точных статических кинковых решений, и приходится прибегать к численным методам. Среди таких методов наиболее популярными являются метод стрельбы (см., например, [15]) и градиентный метод. Метод стрельбы основан на линеаризации уравнения (2.26) в окрестности любого из минимумов потенциала. Линейное уравнение может быть точно решено, и это решение будет достаточно точно описывать «хвост» кинка. Весь кинк далее строится итерационно из нелинейного статического аналога уравнения (2.26), переписанного в виде где в качестве начальных условий для pn_v(pn используются значения, найденные из решения линеаризованного уравнения для «хвоста» кинка. Выбор величины срп_х влияет на то, получим ли мы кинковое или какое-либо другое решение. Варьируя значение срп_х следует добиться того, чтобы получить именно кинковое решение с асимптотикой срп - Ру\ при п —»-оо и рп - фу2 при п—»+оо, где (руХ и Фу2 - это положения минимумов потенциала. Подбор параметра (рп_х осуществлялся численно методом проб и ошибок (методом стрельбы).
Градиентный метод основан на минимизации потенциальной энергии модели ДМКГ1, которая, как видно из (2.27), имеет вид Минимизация начинается для некоторой начальной конфигурации, в качестве которой можно взять следующую: частицы с номерами п 0 лежат в одном минимуме потенциала, а с номерами п О в другом. Наиболее практичным, однако, является метод отыскания приближенных статических кинковых решений, основанный на добавлении к левой части уравнения движения (2.26) вязкого члена уфп с коэффициентом вязкости у . Релаксационная динамика для начальных условий взятых, например, в том же виде, что и для градиентного метода, завершится формированием равновесного кинка. Заметим, что выбор коэффициента вязкости / влияет на скорость сходимости к равновесному решению. Слишком малые значения у приведут к медленно затухающему колебательному режиму, а слишком большие значения к весьма медленному движению в сторону равновесной конфигурации. Согласно нашему опыту, хорошие результаты даёт выбор у зависящий от максимального по п значения правой части уравнения (2.26), то есть от максимального значения силы, maxF,,, движущей систему к положению равновесия. В начале релаксации максимальная сила велика, и значение / тоже должно быть относительно большим. С уменьшением максимальной силы следует уменьшать у. Как уже отмечалось, для модели ДМКГ2 точные решения для статических кинков могут быть найдены итерационно из решения двухточечного уравнения
Ратчет (ratchet) кинка при отсутствии вязкости
Для изучения ратчета кинка в ДМКГ1 и ДМКГ2 добавим в правые части соответствующих уравнений движения гармоническую силу с амплитудой А, частотой Q и начальной фазой ср. Используются следующие начальные условия: в системе имеется статический равновесный кинк, и при t = 0 начинает действовать периодическая сила (3.6). В данном разделе исследуется ратчет при отсутствии в системе вязкого трения, а в следующем разделе рассматривается влияние вязкости. При отсутствии вязкости мы вынуждены ограничиться случаем, когда движущая сила имеет малую амплитуду (А 0.04) и частоту, лежащую вне фононного спектра (точнее, ниже фононного спектра). При несоблюдении этих условий будут активно возбуждаться фононные моды и изучение рачета кинка станет невозможным. Изучение ратчета в отсутствии вязкости позволяет непосредственно находить силу, действующую на кинк со стороны внешнего поля. Эта сила пропорциональна ускорению кинка, которое и измерялось в наших вычислениях. На рис. 3.4 представлено влияние начальной фазы ср внешней силы (3.6) на динамику кинка для случая h = 0.6 , А = 0.4 , Q. = 0.5 . На панели (а) показаны примеры изменения во времени координаты кинка для q? = 0 и р = тг/10 (осциллирующие линии) а также квадратичные параболы построенные методом наименьших квадратов для аппроксимации этих траекторий. Смысл коэффициентов параболы известен, здесь а- ускорение, и0 и х0 - начальные скорость и положение кинка. На панелях (б) и (в) даны а и uQ как функции (р. Видно, что если усреднить и0 по фазе, получится ноль, в то время как ускорение а практически не зависит от ср и отлично от нуля. В дальнейшем, при измерении ускорения, всегда будем полагать р = 0.
Возможность аппроксимации траектории кинка в ДМКГ2 квадратичной параболой свидетельствует о его равноускоренном движении. Такой характер движения наблюдается, по крайней мере, до значения скорости и0 «0.4 . При больших скоростях движения наблюдается торможение кинка за счет излучения энергии в виде малоамплитудных волновых пакетов (так называемая радиационная потеря энергии). На рис. 3.5 представлено то же, что и на рис. 3.4, но для кинка в ДМКГ1, где он испытывает действие потенциала Пайерлса-Набарро. Как видно из сравнения рисунков, результат в этом случае оказывается совершенно иным. Траектории кинка, представленные на панели (а), оказываются хаотичными и их аппроксимация квадратичными параболами не имеет смысла. Тем не менее, на панелях (б) и (в) мы приводим значения а и и0 как функции (р чтобы показать их нерегулярное поведение. Таким образом, мы заключаем, что потенциал Пайерлса-Набарро оказывает весьма заметное влияние на динамику кинка в нашей постановке численного эксперимента. В отличие от ДМКГ2, где потенциал Пайерлса-Набарро отсутствует, в ДМКГ1 движение кинка не является равноускоренным, по крайней мере для рассмотренных значений параметров. Это утверждение делается нами на основании результатов, полученных при весьма умеренном значении параметра дискретности h = 0.6, а с ростом этого параметра влияние потенциала Пайерлса-Набарро будет быстро возрастать. Вернемся теперь к ДМКГ2 и изучим влияние параметров A , Q и h на равноускоренное движение кинка при действии периодической силы (3.6). На рис. 3.6 представлено ускорение кинка как функция частоты движущей силы при различных значениях параметра А для h = 0.6 .
Вертикальными сплошными линиями показаны собственные частоты колебательных мод кинка, а вертикальная пунктирная линия показывает нижнюю границу спектра «мягкого» вакуума. На рисунке видно, что ускорение возрастает на один и даже два порядка, когда частота вынуждающей силы Q приближается к значению частоты колебательной моды кинка сом=\32 при рассматриваемом h (см. рис. 3.3 (б)). Этот результат хорошо согласуется с результатами более ранних работ [117, 123-125] где также отмечалось резонансное возрастание дрейфовой скорости кинка, с тем отличием, что в упомянутых работах в уравнение движения вводился член, описывающий вязкость. Также видно, что ускорение увеличивается при приближении частоты движущей силы к другой частоте колебательной моды кинка сош =1.73. Однако это увеличение может быть объяснено приближением частоты Q к границе фононного спектра сох -1.795 . Также результаты, показанные на рисунке 3.6, свидетельствуют о том, что ускорение а пропорционально квадрату амплитуды А. Действительно, увеличение амплитуды периодической силы в два раза приводит к возрастанию ускорения кинка в
Обобщенное дискретное НУШ с кубической нелинейностью
Несложно показать прямой подстановкой в выражение dN/dt = 0, что ДНУШ (4.36), (4.37) с произвольными а уСс а а а при выполнении условий а2 = а3 + а% и а7=а9- а10 = а13 = аи = О, сохраняет норму п С другой стороны, если а2,сх14 произвольны, при а4 = а{ + а6 , а5=а6 , а7=а4+а5 , al0 модифицированную норму Кроме этого, если только а7 отлично от нуля при всех остальных #,-=0, то сохраняется другой вид модифицированной нормы Далее, для произвольных а2 и аъ , при а{ а4 + а6 , а5=а6 , a4=as+a7 , а8 = а9 + а10 и аи= а12 = а13 = а14 = 0, модель сохраняет импульс определенный оператором Если же только а5 и а7 произвольны и отличны от нуля, а все остальные а,,= О, то сохраняется импульс определенный оператором Для произвольных celfa4 и а6 , при a2=2a3=2as и при а5 = а7 = а9 = а10 = ап = а12 = осхъ = аы = 0 , модель (4.36), (4.37) может быть получена из Гамильтониана Наконец, если определить скобки Пуассона нестандартным образом, то уравнение движения (4.36), (4.37) может быть получено из гамильтониана и уравнения движения при условии, что ап -2а5 = 2а6, a% = a9 = alQ аъ =(/3-2)а5, аг4 = (/#-2)а8+а5, =( -2)( 2- ) и ап = ai2 =Qri3 = Qri4 =0 .Таким образом, данная модель сохраняет энергию / . По полученным результатам можно сделать ряд заключений: 1. В случае когда только а2 отлично от нуля, а все остальные at = 0, имеем полностью интегрируемую модель Абловица-Ладика, которая, как известно, имеет бесконечно много сохраняющихся величин, в число которых, например, входят Щ,РХ и Нх при /? = 2, но не входят N,N2,P2 и Н. 2. В случае классической дискретизации НУШ, то есть когда только а Ф О, сохраняются N и Н. 3. Модель где только а7Ф0 сохраняет Щи Р2. 4. N и Pj сохраняются для модели у которой только а2 и аъ отличны от куля, причем а2 = ссъ. 5. TVj и Pj сохраняются в случае когда сс2 произвольно и а{=а4 = а7, as=alQ при всех остальных at=0. 6. Модель, сохраняющая Н, также сохраняет и N. 7.
Модель, сохраняющая Нх, также сохраняет и Nx когда /3 = 2 и а8 = аг9 = а10 = 0. При помощи подстановки i//n(t) = Fnexp(-iu)t) в ДНУШ, определенный выражениями (4.36) и (4.37), приходим к следующему разностному уравнению второго порядка где К - константа интегрирования. Этот факт следует из возможности представления трехточечного разностного уравнения (4.50) в терминах двухточечной функции U(F_,Fn,K), определенной выражением (4.53), в виде Теперь очевидно, что если выполнено U(F_,FniK) = 0, то выполнено и (4.50). С другой стороны, если только ух и у3 отличны от нуля, в то время как ах = аъ = у2 - 74 = 0»т0 двухточечное отображение имеет вид где К - константа интегрирования и В данном случае трехточечное разностное уравнение (4.50) может быть представлено в терминах двухточечной функции W(F_,F„,K) , определенной выражением (4.55), следующим образом: Такое представление делает очевидным, что если выполнено W(F_,Fn,K) = 0, то выполнено и (4.50). Важность двухточечных отображений состоит в том, что они позволяют получать точные решения соответствующих трехточечных уравнений итерационно, начиная с любого допустимого начального значения Fn или F_. На каждом шаге итерации решается квадратное алгебраическое уравнение. Поскольку в качестве начального значения отображения может быть взято любое значение, лежащее в области допустимых значений, получаемые равновесные стационарные решения могут располагаться произвольно относительно решетки, а следовательно, такие решения соответствующих частных видов ДНУШ (4.36), (4.37) свободны от потенциала Пайерлса-Набарро. Покажем, что некоторые точные стационарные решения ДНУШ (4.36), (4.37) могут быть найдены из факторизованных двухточечных отображений или из редуцированного трехточечного уравнения. В первом случае получаемые решения оказываются трансляционно-инвариантными, а во втором - не трансляционно-инвариантными.
