Содержание к диссертации
Введение
1. Нелинейные дискретные системы в физике конденсированного состояния 14
1.1. Соотношение между континуальными уравнениями и их дискретными аналогами 14
1.1.1. Некоторые нелинейные эффекты в дискретных уравнениях 15
1.1.2. Гомогенизация и дискретизация 17
1.1.3. Свойства, приобретаемые и теряемые при дискретизации нелинейных уравнений в частных производных 19
1.2. Обзор литературы 21
1.2.1. Трансляционно-инвариантные дискретизации 21
1.2.2. Столкновения солитонов в системах, близких к интегрируемым 25
1.2.3. Дискретная модель с частицами конечных размеров 27
1.2.4. Дислокации несоответствия на границе медь/сапфир : 29
1.2.5. Теоретическая прочность и наноиндентирование 30
1.2.6. Несоразмерная фаза в двумерном кристалле 33
1.2.7. Оценка когерентности двух кристаллических решеток 34
Выводы 35
2. Построение трансляционно-инвариантных дискретизаций уравнения клейн-гордона и точные статические решения построенных дискретных моделей 36
2.1. Дискретизация, использующая ДЛИ 36
2.2. Возможные обобщения 41
2.3. ТИ дискретизация уравнения ф4 42
2.4. Точные статические решения для ТИ дискретизации уравнения ф4 44
2.5. Нахождение ДЛИ для известной ТИ дискретизации уравнения ф4 50
Выводы 52
3. Трансляционно-инвариантные дискретизации нелинейного уравнения шредингера 53
3.1. ТИ дискретизации для нелинейности общего вида 53
3.2. ТИ дискретизации для кубической нелинейности 58
3.3. ТИ модель с кубической нелинейностью, допускающая решения в явном виде 60
Выводы 64
4. Свойства трансляционно-инвариантных дискретных моделей ф4. результаты численного моделиро-в ания 65
4.1. Пять дискретных моделей ф4 65
4.1.1. Модель 1: Классическая модель с потенциалом Пайерлса-Набарро 65
4.1.2. Модель 2: ТИ модель Шпейта, сохраняющая энергию 66
4.1.3. Модель 3: ТИ модель CKMS, сохраняющая энергию 61
4.1.4. Модель 4: ТИ модель, сохраняющая импульс 69
4.1.5. Модель 5: ТИ модель, сохраняющая импульс 69
4.2. Колебательные спектры кинков 70
4.3. Сравнение формы статических кинков 72
4.4. Степень упругости столкновения кинков 73
4.5. Мобильность кинков 74
Выводы 87
5. Свойства трансляционно-инвариантных дискретных моделей нуш. результаты численного моделирования 89
5.1. Спектры малых колебаний солитонных решений 90
5.2. Мобильность солитонных решений в ТИ дискретизациях 99
Выводы 106
6. Нетривиальные эффекты столкновения солитонов в системах близких к интегрируемым 107
6.1. Многосолитонные эффекты в модели Френкеля-Конторовой при слабой дискретности 107
6.2. Сильно неупругие двухсолитонные столкновения в слабовозмущенном НУШ 117
Выводы 128
7. Топологические солитоны в одномерной дискретной модели с частицами конечных размеров 129
7.1. Одномерная модель кристалла с частицами конечных размеров 129
7.2. Равновесные решения модели и ее фазовая диаграмма 130
7.2.1. Преобразование Ищибащи 130
7.2.2. Точные равновесные решения 132
7.2.3. Равновесные решения в синусоидальном режиме 133
7.2.4. Устойчивость некоторых равновесных решений 135
7.2.5. Фазовая диаграмма 136
7.3. Солитоны и автоволны в четырех-периодической структуре 136
7.4. САА подход для равновесных структур с нечетным периодом 140
Выводы 152
8. Топологические солитоны в двумерных прикладных задачах 153
8.1. Сетка дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир 153
8.2. Устойчивость идеального двумерного кристалла
при однородной деформации 155
8.3 Наноиндентирование двумерного кристалла 161
8.4 Влияние поверхности на теоретическую прочность двумерного кристалла 162
8.5 Моделирование несоразмерной фазы в 2D модели с частицами конечных размеров 165
8.6 Метод оценки когерентности кристаллов, обобщающий РСУ метод 173
Выводы 202
Заключение 204
Список литературы
- Некоторые нелинейные эффекты в дискретных уравнениях
- Точные статические решения для ТИ дискретизации уравнения ф4
- ТИ модель с кубической нелинейностью, допускающая решения в явном виде
- Мобильность солитонных решений в ТИ дискретизациях
Введение к работе
Изучение соотношений между континуальными и дискретными системами является классической, давно рассматриваемой проблемой физики конденсированного состояния и прикладной математики, например, в задаче гомогенизации, то есть при построении континуального аналога для дискретной физической системы, а также в численных методах решения континуальных уравнений. В течение двух последних десятилетий интерес к дискретным задачам необычайно возрос в различных разделах физики, рассматривающих нелинейные системы [1-5]. Задачи подобного типа возникают в физике фазовых превращений [6,7], физике пластической деформации [8-27], в нелинейной оптике [4,5], в физике Бозе-Эйнштейновского конденсата [28], при исследовании волн кальция в живых клетках [29], сверхпроводящих Джозефсоновских контактов [30], при изучении денатурации белка [31] и цепочек химических реакций [32], и в целом ряде других областей. Дискретность материи на молекулярном и атомарном уровне становится все более заметной для нанотехноло-гий.
Среди объектов нелинейной физики одним из наиболее интересных и важных для практических применений являются волны солитонного типа (уединенные волны) [4,6,33-35]. Эти волны, как в континуальных, так и в дискретных физических системах, могут переносить энергию, импульс, массу, электрический и топологический заряд, другие физические величины, а также информацию. Уникальным свойством уединенных волн является их живучесть и устойчивость по отношению к возмущениям. Для математической физики со-литоны представляют огромный интерес как точные решения некоторых нелинейных уравнений, среди которых особое положение занимают полностью интегрируемые уравнения, такие, как уравнение синус-Гордона, Кортевега-де-Фриза (КДФ), или нелинейное уравнение Шредипгера (НУШ). Интересно, что
существует и ограниченное число полностью интегрируемых дискретных систем, например, цепочка Тоды, сводящаяся в континуальном пределе к уравнению КДФ, а также интегрируемая дискретизация НУШ, цепочка Абловица-Ладика.
Однако, известные точно решаемые нелинейные уравнения, как правило, описывают грубо идеализированные модели, в то время как более точные модели включают дополнительные (возмущающие) члены, разрушающие интегрируемость. Изучение влияния возмущающих членов представляется важной задачей.
С другой стороны, очень важным является отыскание новых интегрируемых уравнений, что открывает новые перспективы в исследовании нелинейных систем.
В настоящей работе:
для некоторых весьма популярных нелинейных уравнений строятся дискретные аналоги, обладающие рядом замечательных свойств, таких, как полная интегрируемость соответствующей статической (стационарной) задачи, а также сохранение трансляционной инвариантности (ТИ);
исследуется взаимодействие волн солитонного типа в интегрируемых уравнениях, возмущенных слабой дискретностью;
решается несколько прикладных задач, среди которых: дислокации несоответствия на границе металл/керамика; зарождение дислокаций в двумерном (2D) бездефектном кристаллите при его наноиндентировании; зарождение дислокаций на открытой поверхности 2D бездефектного кристалла, подверженного растяжению или сжатию; статика и динамика топологических солитонов в кристаллах с частицами конечных размеров, и другие.
Решение этих задач представляется весьма актуальным для физики конденсированного состояния в свете вышесказанного.
Целью работы является построение и анализ свойств нелинейных дискретных моделей различных размерностей, пригодных для описания определенных физических процессов и явлений в конденсированных средах. Акцент делается на поведении топологических солитонов в нелинейных дискретных системах, описании их структуры, энергетики, подвижности и взаимодействия. В качестве приложений рассматриваются модели дислокаций и доменных стенок в кристаллах, дислокаций несоответствия на межфазной границе, несоразмерные фазы, а также другие проблемы, изучаемые в физике конденсированного состояния.
Научная новизна работы заключается в следующем.
Построен широкий класс одномерных нелинейных дискретных моделей, обладающих свойством трансляционной симметрии. Статические (стационарные) задачи для таких дискретных систем являются точно решаемыми. Трансляционная инвариантность означает, что равновесные решения могут располагаться произвольно относительно узлов решетки, что означает отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро. Метод построения ТИ дискретных моделей основан на использовании дискретизированного первого интеграла (ДНИ) исходного континуального уравнения, взятого в статической (стационарной) форме.
Для солитонов в системах близких к интегрируемым показана возможность безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при их столкновении. Физическая интерпретация данного эффекта состоит в обнаружении канала обмена энергиями/импульсами между сталкивающимися солитонами в системах близких к интегрируемым, где, как было принято считать, солитоны взаимодействуют практически упруго. На основе данного эффекта нам удалось объяснить фрактальные структуры наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также существование короткоживущих многосолитонных квазичастиц.
3. Получены новые результаты по статике и динамике топологических со-литонов в ID и 2D моделях кристаллов, а также в реальных материалах. Практическая и научная ценность работы заключается в следующем.
Предложен достаточно общий метод дискретизации таких классических уравнений теоретической физики как уравнение Клейн-Гордона и НУШ, сохраняющий трансляционную инвариантность, присущую исходным континуальным уравнениям. Построенные модели в статическом (стационарном) варианте являются интегрируемыми. Отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в этих дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что, в свою очередь, означает повышенные транспортные свойства таких моделей.
Открытие нетривиального канала безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при столкновении солитонов в системах близким к интегрируемым показывает, что волны солитонного типа не всегда сохраняют свои свойства при взаимодействии друг с другом, а также свидетельствует о необходимости вероятностного подхода к описанию результатов взаимодействия волн солитонного типа. Степень неупругости столкновения растет линейно с ростом параметра возмущения интегрируемого уравнения. Для сравнения, потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения, а это значит, что при малых значениях этого параметра, предложенный механизм безрадиационного обмена энергией/импульсом является доминирующим.
К практически важным результатам работы относятся также результаты численного моделирования зарождения, свойств и динамики топологических солитонов в приложении к: описанию несоразмерной фазы в кварце и других кристаллов с микроскопическими частицами конечных размеров, поведению дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, возникновению дислока-
ций в объеме бездефектного зерна при его ианоиндентировании, и ряду других прикладных задач.
На защиту выносятся следующие положения:
Разработан метод построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, обладающих трансляционной симметрией и свободных от потенциала Пайерлса-Набарро.
Указан метод нахождения всех точных статических (стационарных) решений для ТИ дискретных уравнений.
Объяснен механизм безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами между солитонами, взаимодействующими в системах близких к интегрируемым.
Предложена модель кристалла с частицами конечных размеров и изучены особенности топологических солитонов в этой модели.
Решен ряд прикладных задач, например, показана нерегулярность сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир; исследовано зарождение дислокаций в объеме бездефектного 2D кристалла при его ианоиндентировании, и на поверхности 2D кристалла, подверженного сжатию или растяжению; исследована несоразмерная фаза в кварце.
Охарактеризуем работу по главам.
В первой главе приведен обзор теоретических представлений о волнах со-литонного типа в дискретных системах в сопоставлении с солитонными волнами в континуальных нелинейных уравнениях. Дается обзор литературы по главам диссертации. Формулируется ряд открытых проблем теории и практики волн солитонного типа в дискретных системах.
Вторая глава диссертации посвящена изложению оригинальной методики построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона, наследующих трансляционную инвариантность (ТИ) континуальных уравнений и не имею-
щих потенциала Пайерлса-Набарро. Наш подход основан на использовании ДЛИ статического континуального уравнения. Здесь же даются точные решения статической задачи для построенных дискретных моделей.
В третьей главе, метод ДНИ, развитый в предыдущей главе на примере уравнения Клейн-Гордона, распространяется на случай НУШ для построения дискретизаций этого уравнения свободных от потенциала Пайерлса-Набарро. В диссертации сначала рассматривается НУШ с нелинейностью общего вида, а затем подробно изучается случай Керровской (кубической) нелинейности. Для этого случая обсуждаются законы сохранения ТИ модели, исследуются ее стационарные решения, кроме того, найдены некоторые точные движущиеся решения.
В четвертой главе обсуждаются физические свойства дискретной модели Ф* и сравниваются три типа дискретизации: классическая дискретизация, трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая полную энергию и негамильтоновская трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая импульс. Во всех случаях исследуется поведение простейшего топологического солитона, а именно кинка. Сравниваются колебательные спектры различных цепочек, включающих одиночный статический кинк. Исследуется мобильность кинков в ТИ моделях по сравнению с классической моделью.
В пятой главе исследуются необычные свойства солитонов в ТИ дискретизациях НУШ. Получен колебательный спектр цепочки, содержащей солитон в классическом дискретном НУШ и в ТИ моделях. Показано, что солитоны в ТИ дискретном НУШ могут двигаться с весьма малыми скоростями, и могут быть ускорены сколь угодно слабыми внешними полями, даже в режиме сильной дискретности.
В шестой главе изучаются столкновения солитонов в уравнении синус-Гордона и в НУШ при наличии малых возмущений. Обсуждается степень не-
упругости столкновения как функция параметра возмущения и параметров сталкивающихся солитонов. Анализируется точность выполнения основных законов сохранения в слабо-возмущенных уравнениях. Демонстрируется механизм безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами сталкивающихся солитонов. Дается объяснение фрактальному рассеянию солитонов и возникновению короткоживущих связанных многосолитонных квазичастиц.
В седьмой главе изучаются топологические солитоны в одномерной цепочке частиц конечных размеров, предложенной для описания основных эффектов, наблюдаемых при фазовых переходах в кристаллах с несоразмерной фазой. Получена подробная фазовая диаграмма модели, описаны периодические равновесные решения в синусоидальном режиме, описан переход от синусоидального режима к режиму с периодическими доменными стенками, получены решения для доменных стенок (топологических солитонов) как с использованием САА аппроксимации, так и с позиций многонолевого подхода. Численно исследуется точность построенных приближенных решений. Также численно изучается динамика топологических солитонов и динамика автоволн.
В восьмой главе изучаются топологические солитоны в двумерных задачах и решается ряд прикладных проблем. В первом параграфе моделируется сетка дислокаций несоответствия на границе металлокерамического соединения медь/сапфир. Во втором параграфе рассматриваются вопросы теоретической прочности бездефектных кристаллов при однородной деформации. Строится и анализируется поверхность в трехмерном пространстве однородной деформации, отделяющей области устойчивости и неустойчивости кристаллической решетки. В третьем параграфе изучается возникновение дислокаций в объеме бездефектного двумерного кристаллита, при его наноиндентировании. Предложен метод, позволяющий предсказывать точку возникновения дислокационной петли и направление скольжения дислокаций. В четвертом пара-
графе исследуется влияние поверхности на теоретическую прочность двумерных кристаллов. Решается задача устойчивости двумерного волокна и двумерной полуплоскости при однородном растяжении или сжатии параллельно поверхности. В пятом параграфе моделируется несоразмерная фаза, возникающая в модели с частицами конечных размеров под действием внешнего давления. Численно изучается переход между lq и 3q фазами, характерный для кристаллов с гексагональной симметрией. В шестом параграфе предлагается оригинальная методика оценки когерентности границы раздела двух кристаллических тел, в общем случае, имеющих различную структуру.
Некоторые нелинейные эффекты в дискретных уравнениях
В XIX веке господство континуальной механики, физики и математики было бесспорным. Естественный ход развития науки привел к тому, что XX век открыл новые горизонты в познании и поставил новые задачи, что привело к возрастающему интересу к дискретным системам. Так, например, теория дислокаций, прообразом которой могут считаться сингулярные решения континуальной теории упругости, полученные в 1905г. Вольтера, в своем развитии, неизбежно привела к необходимости рассмотрения атомистических моделей дислокаций, простейшей из которых является модель Френкеля-Конторовой (1938г.) [6]. В математическом плане дислокации представляют собой топологический дефект, нередко называемый также топологическим со-литоном. Классическая теория солитонов также начиналась с рассмотрения континуальных систем, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных [33-35]. Солитонами были названы особые локализованные решения некоторых полностью интегрируемых нелинейных уравнений, обладающих бесконечным числом законов сохранения. В таких идеализированных системах солитоны взаимодействуют друг с другом абсолютно упруго, то есть после прохождения друг через друга они полностью восстанавливают свои первоначальные свойства. Кульминацией теории солитонов оказалось открытие Крускалом, Гарднером, Грином и Миурой метода обратной задачи рассеяния интегрирования некоторых нелинейных уравнений. Оказалось, что существуют и дискретные нелинейные уравнения, обладающие свойством полной интегрируемости и допускающие точные многосолитонные решения. Впервые такая дискретная модель была предложена в 1967г. Тодой [36]. Напомним, что цепочка Тоды в континуальном пределе сводится к интегрируемому уравнению КДФ. Позже были найдены и другие интегрируемые цепочки, среди которых упомянем полученную в 1975г. цепочку Абловица и Ладика [37,38], даю 16 щую в континуальном пределе НУШ, а также интегрируемую дискретизацию уравнения синус-Гордона, построенную Орфанидисомв 1978г. [39].
Следует отметить, что число найденных точно интегрируемых уравнений, как континуальных, так и дискретных, постоянно растет, но все-таки, круг таких уравнений остается весьма ограниченным [40]. Поэтому, кроме солитонов в строгом понимании этого термина чаще рассматриваются так называемые волны солитонного типа, которые имеют некоторые, но не все свойства солитонов. Например, весьма популярная разновидность уравнения Клейн-Гордона, уравнение синус-Гордона, является полностью интегрируемым, а значит, его локализованные решения являются солитонами; но другая его разновидность, уравнение ф4, являясь неинтегрируемым, допускает решения в виде солитон-ных волн, распространяющихся без потери энергии на излучение, но взаимодействующих друг с другом неупруго.
Интерес к неинтегрируемым нелинейным дискретным уравнениям начал стремительно возрастать с появлением электронных вычислительных машин (ЭВМ), поскольку получение точных аналитических решений таких уравнений возможно лишь в редких случаях. Так, на заре развития ЭВМ, в 1953г., Ферми, Паста и Улам, по результатам численного эксперимента обнаружили интересный эффект, связанный с квазипериодическим возвращением энергии колебаний в одну длинноволновую моду, что перемежалось колебательными режимами, когда энергия была распределена между многими модами. С каждым периодом, величина энергии, возвратившейся в длинноволновую моду, уменьшалась, поскольку часть ее рассеивалась в виде фононных колебательных мод малой амплитуды и, в итоге, система приходила к тепловому равновесию с энергией, поделенной поровну между всеми фононными модами. Эти результаты были опубликованы в 1955г. и с тех пор проблема Ферми-Паста-Улама привлекает к себе значительное внимание исследователей [41]. Новую мощную волну интереса к нелинейным дискретным системам породила работа Сиверса и Такено 1988г. [42], где было показано, что в таких системах возможны устойчивые колебательные моды с частотой, лежащей вне фононного спектра, а значит, не теряющие энергию на излучение. До этой работы существовало представление, что локализованные колебательные моды образуются на примесных атомах или на дефектах кристаллической решетки, но оказалось, что и в идеальной решетке их существование возможно, при достаточно высокой степени дискретности и нелинейности.
Не менее интересной и обещающей долгую жизнь в науке была работа по компьютерному моделированию эволюции нелинейной цепочки при возбуждении в ней не длинноволновой моды, как в экспериментах Ферми-Паста-Улама, а наоборот, коротковолновой моды [43]. Оказалось, что в этом случае, путь к равнораспределению энергии между фононными колебательными модами лежит через образование высокоамплитудньк, сильно локализованных в пространстве колебательных мод.
За последние два десятилетия возникло четкое понимание того, что одновременный учет эффектов нелинейности и пространственной дискретности может объяснить многие эффекты в различных физических и биологических системах, что, как уже отмечалось во Введении, отражено в целом ряде недавних публикаций [1-7,28-32].
Точные статические решения для ТИ дискретизации уравнения ф4
Сделаем несколько комментариев к приведенным решениям. Для выбранного Л, можно найти /? решая первое уравнение в соотношениях (2.42)-(2.47), а затем А из второго уравнения. Подставляя найденные значения в (2.41), получаем статическое решение дискретных уравнений (2.35) и (2.36). Решения (2.43) и (2.44) определены (имеют действительную амплитуду) для Л 0, а остальные для Л 0. Выражения, связывающие С и от в (2.42)-(2.47), устанавливают связь между решениями в виде эллиптических функция Якоби и решениями, получаемыми итерационно из нелинейного отображения (2.39). Что касается второго свободного параметра решений (2.42)-(2.47), а именно, произвольного сдвига х0, его роль в нелинейном отображении (2.39) играет произвольное начальное значение ф0. Каждое из решений (2.42)-(2.47) занимает определенную область плоскости параметров (с, ), как это показано на Рис. 2.1.
Заметим, что мы не смогли найти решение в замкнутой форме для области, отмеченной знаком вопроса на левой панели Рис. 2.1, для С 4-8/Л, но и в этой области параметров точное решение может быть построено рекуррентно из нелинейного отображения (2.39), как описано выше. На Рис. 2.2 даны примеры статических решений уравнений (2.35) и (2.36) при Л = 1: (а) решение 1/sn (2.45) близко к пределу гиперболических функций (т близко к 1), (Ь) решение 1/sn (2.45) в пределе тригонометрических функций (т = 0), (с) решение sn (2.42) близко к пределу гиперболических функций (м близко к 1), (d) решение sndn/cn (2.47) близко к пределу гиперболических функций (т близко к 1). Решения могут быть получены и итерационно из отображения (2.39), для чего следует взять (а) С = 1.23хЮ 9, $,=1 + 72, (Ь) С = 112, $,=2.45, (с) С = 2х10 5, ф0=0, (d) С = -6.75х1(Г4, ф0=0. Горизонтальные пунктирные линии имеют ординаты фп = +V2/A .
Выше было показано как ДПИ может быть использован для построения ТИ дискретизаций. Сформулируем обратную задачу о нахождении ДПИ для известной ТИ дискретной модели. Общей подход к решению поставленной задачи нам не известен, но, как показано ниже, задача может быть решена если данная нам ТИ модель допускает решения в замкнутом виде.
В полученном нелинейном отображении роль константы интегрирования играет 0 ти 1. Задавшись некоторым т, можно найти р и А из (2.50), затем посчитать s, с, d по (2.51), тем самым определив конкретный вид отображения (2.54). Итерируя это отображение, начиная с некоторого допустимого значения фп, можно построить соответствующее решение в форме sn . По аналогии можно построить отображения и для других решений, выраженных через эллиптические функции Якоби.
Однако, в нашем случае представляется возможным заменить т универсальной константой интегрирования так, что полученное отображение будет генерировать не только sn, а все возможные статические решения уравнения (2.48). Константа может быть взята в форме
Обратим внимание, что нелинейное отображение в форме (2.59), помимо константы интегрирования С, включает только параметры модели h2, Л и F, но не включает явно параметров решения sn. Отображение (2.59) генерирует все возможные статические решения уравнения (2.48). Выводы
Была изложена оригинальная методика построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона, наследующих трансляционную инвариантность континуальных уравнений и не имеющих потенциала Пайерлса-Набарро. Наш подход основан на использовании дискретизированного первого интеграла статического континуального уравнения. Получаемые дискретные модели в статической постановке оказываются точно решаемыми, но в полной динамической постановке они неинтегрируемы. Были даны точные решения статической задачи для построенных дискретных моделей, найденные как из ДНИ (то есть из первого интеграла статической дискретной задачи), так и выраженные в замкнутой форме через эллиптические функции Якоби.
Метод дискрегизированного первого интеграла, развитый во второй главе на примере уравнения Клейн-Гордона, распространяется на случай НУІІІ для построения ТИ дискретизаций этого уравнения, свободных от потенциала Пайерлса-Набарро.
ТИ модель с кубической нелинейностью, допускающая решения в явном виде
Сравним колебательные спектры кинков в пяти дискретных моделях ф4, а также спектры вакуумов этих моделей. Результаты представлены на рисунках с 4.1 по 4.5, соответственно. Границы фононного спектра вакуума показаны сплошными линиями. Кружками и точками показаны частоты колебательных мод локализованных на кинке, в первом случае, для кинков центрированных на узле (л0=0), а во втором, посередине между ближайшими узлами (л0=1/2). Спектры рассчитывались для цепочки из JV = 200 частиц с кинком посередине и с антипериодическими граничными условиями. Задача на собственные значения, например, для модели 5, получается заменой в (4.31) сп на -cosn, и аналогично для других моделей.
Все пять моделей в континуальном пределе (й-»0) сводятся к одному и тому же уравнению (4.1). Поэтому, все свойства моделей близки при малых Л, в том числе, близки и их спектры, как это видно из сравнения рисунков с 4.1 по 4.5. С увеличением h различие спектров для разных моделей увеличивается.
Прежде всего, обратим внимание на принципиальные отличия спектра модели 1, имеющей потенциал Пайерлса-Набарро, от спектров остальных моделей, не имеющих этого потенциала. Модели 2-5 при любом h и при любом положении кинка относительно решетки х0, имеют моду с нулевой частотой. Это Голдсто новская мода, отражающая трансляционную симметрию моделей 2-5. В модели 1 эта мода существует только при малых h, то есть она наследуется от континуальной модели, но пропадает с ростом степени дискретности системы. Существенно и отличие в поведении этой моды для кинков с х0=0 и д0=1/2 (см. Рис. 4.1). В первом случае, с ростом h квадрат частоты возрастает, а во втором убывает, становясь отрицательным, что свидетельствует о неустойчивости равновесного кинка, центрированного на узле решетки. Кинки же на Рис. 4.2-4.5 находятся в состоянии безразличной устойчивости при любом д-0.
Существуют и другие отличия спектров, не связанные с трансляционной инвариантностью или её отсутствием. Опишем эти различия, начав со спектров вакуума, а затем и для спектров кинка.
- Модели 1 и 4 имеют одинаковые спектры вакуума, ширина которого обращается в нуль только при h - 0 (напомним, что границы спектра вакуума показаны на Рис. 1-5 сплошными линиями). Вакуум в этих моделях всегда устойчив, потому, что со2 О для любого h.
- Модели 2 и 5 имеют одинаковые спектры вакуума, ширина которого обращается в нуль при h = \. Вакуум в этих моделях всегда устойчив, потому, что о;2 0 для любого h.
- Модель 3 имеет кубический член, зависящий от h. Поэтому, нижняя граница спектра вакуума тоже зависит от h, в то время как во всех других моделях она постоянна (со2 = 4]. Вакуум устойчив только для 0 h 1.
Переходим к сравнению частот мод, локализованных на кинке.
1. Для малых /z( 0.4) и даже для не слишком малых /г( 0.8), все пять моделей, кроме трансляционной моды кинки имеют две локализованные моды, лежащие вне спектра вакуума. Одна из мод очень близка к нижней границе фононного спектра 1й)2=4], а вторая расположена при со2 3, что соответствует хорошо известной колебательной моде кинка в континуальном уравнении фх. Для больших h в спектре кинка появляются и другие локализованные моды.
2. Модель 5, в отличие от всех остальных моделей, имеет моды с частотами, лежащими выше фононного спектра. Им соответствуют коротковолновые собственные формы колебаний.
Представляется интересным сравнить формы кинков в разных дискретных моделях. На Рис. 4.6. представлено отклонение формы статического кинка в дискретных моделях 1-5 от формы континуального кинка ф . Параметр дискретности равен /г = 0.15 (слабая дискретность). Кинки центрированы посередине между ближайшими узлами цепочки. Наибольшее отклонение от континуального кинка наблюдается для модели 3. Отметим также, что для моделей с 1 по 3 отклонение от континуального кинка имеет другой знак нежели для моделей 4 и 5. В результате, кинки в моделях 1-3 уже чем в континуальном уравнении, а в моделях 4 и 5, наоборот, шире.
На Рис. 4.7. показано как зависит от h максимальное отклонение формы статического кинка в дискретных моделях 1-5 от формы континуального кинка фх. Максимальное отклонение растет как h2.
Хорошо известно, что континуальное уравнение ф4 неинтегрируемо. Это уравнение допускает точное решение в виде движущихся кинков, но не допускает многосолитонных решений. В результате, столкновения кинков в этом уравнении неупруги, то есть, кинки не вполне восстанавливают свои свойства после взаимодействия друг с другом. При столкновении двух кинков в континуальном уравнении ф4, часть их кинетической энергии излучается в форме малоамплитудных фононов, а часть идет на возбуждение мод, локализованных на кинке. Скорость кинков, разлетающихся после столкновения, всегда меньше скорости до столкновения, поскольку часть кинетической энергии их движения теряется в неупругом столкновении. Существует критическая скорость столкновения двух кинков, обозначим её через vc. Если скорость кинков до столкновения меньше vc, то после столкновения они не могут разделиться, поскольку суммарные потери энергии на излучение и возбуждение локализованных мод оказывается больше той кинетической энергии, которую кинки имели до столкновения
Мобильность солитонных решений в ТИ дискретизациях
На Рис. 5.6 продемонстрировано, что солитоны в ТИ дискретном НУІІІ могут двигаться с весьма малыми скоростями и в режиме сильной дискретности. На рисунке приводится пространственно-временная эволюция \y„(t)\ , показывающая (а) весьма медленное движение светлого солитона (3.47) в режиме сильной дискретности в ТИ модели (5.1) при /г = 2, Л = 1, 5 =82 = бт,=\11 и « = 1/2; и (Ь) практически упругое столкновение двух синфазных темных солитонов (3.48), также имеющих весьма малые скорости. Параметры ТИ модели (5.1): h = 1, Я = -1, S{ = 0, б2 =5 =1/2 и й = -0.9. Как хорошо известно, в дискретных системах с потенциалом Пайерлса-Набарро при заметной степени дискретности, волны солитонного типа теряют свою подвижность и могут перемещаться только под действием достаточно сильных внешних полей. Напротив, при отсутствии потенциала Пайерлса-Набарро, как это видно из приведенных примеров, солитоны могут двигаться со сколь угодно малыми скоростями. Они также могут быть ускорены сколь угодно слабыми внешними полями.
На Рис. 5.7. можно видеть как меняются со временем параметры медленно движущегося светлого солитона в классическом дискретном НУШ (5.2): (а) скорость солитона, (Ь) норма (3.6), (с) модифицированная норма (3.7), (d) импульс (3.8). Видно, что в данной модели норма сохраняется, но модифицированная норма и импульс нет. Скорость солитона осциллирует, но остается все время положительной, а значит, солитон перемещается вдоль цепочки. Параметры модели /1 = 1, /7 = 0.4 (слабая дискретность). Частота солитона со = 1.
Чтобы показать, что солитон в классической модели (5.2) не может двигаться если его кинетическая энергия меньше критической, мы запускали солитоны с разной начальной скоростью. Результат представлен на Рис. 5.8. На (а) и (Ь) начальная скорость солитонов слишком мала чтобы преодолеть потенциал Пайер-лса-Набарро и он совершает колебания вблизи минимума этого потенциала. На (с) начальная скорость солитона достаточна чтобы преодолеть потенциал Пайер-лса-Набарро и он движется вдоль решетки, так как его скорость все время положительна. Параметры модели 1 = 1, h = 0.4 (слабая дискретность). Частота солитона 0) = 1.
Особо отметим, что в экспериментах с классической моделью, мы брали /7 = 0.4, что соответствует слабой дискретности. При /г 0.8 солитоны практически теряют свою подвижность. Ниже приводятся результаты для ТИ моделей, где параметр дискретности весьма велик, h = 2, но солитоны не теряют способности перемещаться вдоль решетки, что объясняется отсутствием потенциала Пайерлса-Набарро в этих моделях.
На Рис. 5.9. изображены параметры медленно движущегося светлого солитона (3.47) в ТИ дискретном НУШ (5.1) как функции времени: (а) скорость солитона, (Ь) норма (3.6), (с) модифицированная норма (3.7), (d) импульс (3.8).Видно, что в данной модели норма сохраняется, а модифицированная норма и импульс нет. Параметры модели = 1, S2=S}=0, 1 = 1, Л = 2 (весьма высокая степень дискретности). Частота солитона ю = \.
На Рис. 5.10. показано то же, что и на Рис. 5.9, но для других параметров модели (5.1). Видно, что в этом случае сохраняются модифицированная норма и импульс, а норма нет. Параметры модели fSj=0, S2=Si=\/2, 1 = 1, /7 = 2 (весьма высокая степень дискретности). Частота солитона со = 1.
Изучаются столкновения солитонов в системах близких к интегрируемым, таких, как слабо возмущенные уравнения синус-Гордона и НУШ. В качестве возмущения для уравнения синус-Гордона выступает слабая дискретность, а для НУШ, кроме этого типа возмущения, вводится также малый член пятого порядка.
Рассматриваются многосолитонные столкновения в дискретном уравнении синус-Гордона (т.е. в модели Френкеля-Конторовой), описываемом Гамильтонианом где h это параметр решетки, а ип перемещение п -ой частицы из решеточного положения, так что первый член под знаком суммы дает кинетическую энергию п -ой частицы, второй описывает энергию линейно-упругой связи я-ой частицы с (и+1)-ой, а третий представляет собой энергию и-ой частицы в периодическом внешнем потенциале. Соответствующее уравнение движения имеет вид «/7 --т("«-і - 2"« + "л+1)+sin "и = С6-2) /г Для параметра решетки предполагается Л :1, что и означает близость данной дискретной системы к континуальному уравнению синус-Гордона, utt -и + sin и = 0, (6.3) которое является полностью интегрируемым, а значит, предсказывает идеально упругое взаимодействие солитонов.
Прежде всего рассмотрим особенности взаимодействия солитонов в невозмущенном уравнении синус-Гордона, а затем изучим влияние слабого возмущения.
Точное решение, описывающее взаимодействие четырех солитонов в невозмущенном уравнении синус-Гордона может быть получено преобразованием Бэк-лунда или методом Хироты и представлено в форме
