Содержание к диссертации
Введение
Глава I Объемные, квазиобъемные, поверхностные и оттекающие акустические волны в анизотропных упругих средах 8
I.I. Свойства объемных волн вдоль особенных направле ний распространения 8
1.2. Поверхностные, объемные, квазиобъемные и оттека ющие волны в полупространстве со свободной по верхностью . 14
Глава 2, Классификация віїршдений и анализ их устойчи вости в теории объемных упругих волн в кристаллах 29
2.1. Локальная геометрия вырождающихся скоростных полостей и полостей рефракции 29
2.2. Анализ особенностей поляризационных полей в окрестности точек вырождения разных типов 36
2.3. Об устойчивости акустических осей 46
2.4. Модельные примеры 58
Глава 3. Явление вырождения при некоторых термодина мических возмущениях волнового уравнения 69
3.1. Распространение объемных упругих волн в пьезо-
электриках при отсутствии внешних воздействий 69
3.2. Поведение акустических осей под действием внешнего постоянного электрического поля и при фазовых переходах. Сопутствующие поляризационные явления . 77
Глава 4. Исследование особых объемных волн 114
4.1. Объемные упругие волны в кристаллах различной симметрии 115
4.2. Свойства линий особых объемных волн вблизи акустических осей разных типов 123
Выводы 136
Литература
- Поверхностные, объемные, квазиобъемные и оттека ющие волны в полупространстве со свободной по верхностью
- Анализ особенностей поляризационных полей в окрестности точек вырождения разных типов
- Об устойчивости акустических осей
- Поведение акустических осей под действием внешнего постоянного электрического поля и при фазовых переходах. Сопутствующие поляризационные явления
Поверхностные, объемные, квазиобъемные и оттека ющие волны в полупространстве со свободной по верхностью
В случае полубесконечной среды со свободной поверхностью к волновому уравнению (I.I) добавляются граничные условия: П = 0 (1.9) ( hu = Gj k6 Ту " тензор напряжений, ҐІ - единичный вектор внутренней нормали к поверхности), которые необходимо дополнить требованием ограниченности волн вдали от поверхности. Краевая задача (I.I), (1.9) в анизотропном полупространстве может иметь решением плоскую упругую волну (1.2) только для выделенных ориентации поверхности и направлении распространения. Такие решения принято называть особыми ("&ХЄерйО)гам [f 3,39]) объемными волнами (00В). В общем случае уравнениям (I.I), (1.9) в системе координат с осью X в плоскости поверхности и осью У вдоль лГ х (см, рис. I) удовлетворяет суперпозиция парциальных решений вида где 9д -скалярные амплитуды, р - кди / , Vя Дх В зависимости от того, какому интервалу значений принадлежит величина V , данные суперпозиции решений описывают поверхностные или псевдоповерхностные волны, а также отвечают задаче отражения объемных волн от границы полупространства.
Важнейшую роль в рассматриваемой теории имеет понятие так называемой предельной волны. Предельной волной для данного направления распространения поверхностной волны называется объемная волна в соответствующей неограниченной среде, характеризующаяся волновой нормалью ЇЇІ , принадлежащей сагиттальной плоскости, и наименьшим (из трех возможных) значением величины VL ftUtl ( u.(ffO/CC6fi- = »2,3), называемой предельной скоростью -см. рис. I. Групповая скорость предельной волны параллельна поверхности
Х В отличие от нормировки на единицу векторов поляризации, которая принята для объемных волн, рассматриваемых в безграничной среде. - Рассмотрим область значений скорости , называ емую дозвуковым {"Ш$ЮПІг ) интервалом [ЪЯ \ » Согласно [ 2Q kb \ здесь все параметры Р являются комплексно-сопряженными Р . Р . ps, р = р , ps рГ, ре=Р . (1-я) Решения, отвечающие значениям р с отрицательной мнимой частью (пусть данные ol= 4, 5, 6) нарастают удалением от поверхности, т.е. являются нефизическими, и ДОЛЕНЫ быть отброшены. Поэтому коэффициенты V A 9 d-k,5,$ в (1.10) равны нулю , и в дозвуковом интервале может распространяться в общем случае трехпарциаль-ная поверхностная волна соответствующая параметрам р с положительной мнимой частью. В изотропном случае данная поверхностная волна является двупарциаль-ной и эллиптически поляризована в сагиттальной плоскости; при этом параметры D чисто мнимые \.Mk J . Такие волны, впервые теоретически исследованные Рэлеем [//( ], называются рэлеевскими. По аналогии, волны (1.22), распространяющиеся в анизотропной среде, также обычно называются рэлеевскими. Иногда волны, у которых величина к&р О, т.е. волновая нормаль не принадлежит поверхности, называют обобщенными рэлеевскими. Существенно, однако, что и они переносят энергию вдоль границы полупространства. Система уравнений (1.20) в данном случае имеет вид
Из условия её разрешимости _ _ где "х" - знак векторного произведения, находится значение ]/= у фазовой скорости волны (1.22), Соотношение (1.24) имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Суммарная поверхностная сила рассмат - 19 риваемой волны (1.22) определяется линейной комбинацией трех парциальных сил L Очевидно, она обращается в ноль, обеспечивая выполнение граничного условия (1.20), тогда и только тогда, когда три вектора L оказываются компланарными.
Принципиальным является вопрос о существовании решений уравнения (1.24), Величина QiV) имеет как действительную, так и мнимую части, которые, вообще говоря, лишь случайно могут обращаться в нуль одновременно при одной и той же действительной скорости. Поэтому долгое время считалось (см, LT] ), что поверхностные волны возможны только для изолированных специальных ориентации, отвечающих одновременному удовлетворению двух условий при одной и той же скорости. Однако, эта точка зрения не соответствовала большому числу реализаций поверхностных решений, обнаруженных для различных кристаллов при численных расчетах. Лишь в начале 70-х годов широкое внимание исследователей привлекла работа Стро р ОЗ . результаты которой позволили устранить данное противоречие.
Анализ особенностей поляризационных полей в окрестности точек вырождения разных типов
Проведенная выше классификация вырождений по геометрии контакта указательных полостей, очевидно, является полной. Заметим однако, что геометрические особенности не являются единственной характеристикой акустических осей. Более разнообразная картина возникает при рассмотрении вращения поляризационных полей вокруг точек вырождения. При этом, как мы увидим, одному и тому же геометрическому типу сопряжения полостей могут соответствовать различные виды сингулярного поведения поля поляризации в окрестности особой точки.
Как уже отмечалось, индекс особенности поляризационного поля может быть как целым, так и полуцелым числом» Будем считать индекс положительным (отрицательным), если вращение векторов пі и обход контура I совершается в одну и ту же сторону (в разные стороны). Направления вращения определяются при взгляде на плоскости вращения векторов J\ L и Д/71 соответственно с концов векторов Аоъ и їїїо . При этом для определенности условимся выбирать направление вектора А оз. так, чтобы он составлял острый угол с ГУІо Очевидно, знак индекса нельзя определить в единственном случае, когда невырожденная волна оказывается чистопоперечной;
Рассмотрим уравнение Кристоффеля (1.3) в окрестности точки — вырождения ИХо Во втором порядке теории возмущений компоненты векторов J\l (2.1) и фазовая скорость определяются из системы уравнений: М.Др=Л( )/и , f=iA, (2.14) где по повторяющимся греческим индексам подразумевается суммиро-ваше, A(tfi )=yf(m)-% Для вычисления индекса П особой точки поля поляризаций необходимо найти вращение У векторов А і (2.18) при обходе вокруг точки /По по контуру Г « Удобнее однако предварительно свести задачу к вычислению вращения вектора, который проще выражается через компоненты М а „ Рассмотрим, например, вектор (2.19) Несложно показать, что его вращение вдвое больше, чем вращение Jt і (2.18): Й ф= AV, (2.20) — где Фит- углы, составляемые соответственно векторами Д-/ и JH с вектором /\oi . Таким образом, искомый индекс равен половине индекса особой точки їїіо векторного поля х Из (2.17) в первом порядке по ДЇЇІ получается формула (2.8). Очевидно, что вращения взаимно ортогональных векторов кАХ п совпадают. Вращение Ул (Ф) векторного поля (2.21) может быть рассчитано по формуле Пуанкаре: (2-23) Можно также воспользоваться рядом рецептов и методов, сформулированных в L52] Опуская относительно громоздкий анализ, приведем лишь его результаты.
Вырождения конического и клинового типов
При этом условии, как мы видели, в точке /ТЬ реализуется коническое вырождение. Индекс точки /По в соответствующем поле поляризаций A L может принимать одно из двух значений ЇІ-- V& (рис. 3, в,д), причем выбор знака индекса определяется формулой3 ) П-J Щп (#то). (2.24) Нетрудно убедиться также, что в окрестности конической точки вырождения в первом порядке по /\Ш х Согласно [2,30 знак (ХЇЇІо) определяет также направление по-ворота векторов &i(Wlo) по конусу внутренней рефракции при вращении вектора поляризации вырожденной волны. В обоих случаях (2.27), (2.28) в выделенном сечениийЫ/[(71охр (2.II), проходящем через локально клиновую акустическую ось /7Ь , имеет место ^ с точностью до членов третьего порядка поЛ/71. Для каждого из остальных сечений в достаточной близости от/7 справедливо соотношение (2.25), При этом с точностью до членов (І) (АЖ) в сече-ниях, удаленных от выделенного, вращение векторов nfj отсутствует, и изменение ориентации ji[ от (2.25) к (2.29) на контуре Г происходит в узкой области, которая охватывает выделенное сечение и имеет угловой размер, зависящий от|ДГПІ - см, рис. 3, г,е,ж.
При этом условии согласно (2.17), функции У} д.(%+ДЙ)оказываются равны друг другу с точностью до членов второго порядка малости
Другими словами, условие , в является необходимым признаком клинового вырождения по линии'. Как мы уже обсуждали, при переходе через линию клинового вырождения имеет место скачок ориентации векторов поляризации на угол^/ - рис. 3, л. Вырождения касательного типа 3. Ж=0;р = =0.
В соответствии с результатами предыдущего раздела при этом условии реализуется касательное вырождение скоростных полостей в точке или по линии. Как и в случае клинового вырождения, исследование особенностей поляризационных полей дает дополнительную ин-формацию.
Об устойчивости акустических осей
Однако,когда при некотором возмущении условие (2.53) не выполняет ся, а именно при ЇЇиІі {х г\ (Hi , уравнение (2.52) может иметь и три корня, и два, причем в последнем случае один из корней явля ется неустойчивым.
Таким образом, поведение локально-клдновых вырождений при возмущении оказывается различным для разных значений индекса ҐІ . Если їі= О , то вырождение исчезает при условии (2.47) и расщепляется на два вырождения при условии (2.48). Поскольку в общем случае векторы р и Q , соответствующие этим вырождениям, перестают быть коллйнеарными, го с учетом правила сохранения индекса можно утверждать, что при таком расщеплении получается пара конических акустических осей с индексами +1/2 и -1/2. В свою очередь, локально-клиновое вырождение с индексом П= +1/2 в общем случае лишь смещается, становясь при этом коническим. Однако при специальном виде возмущения ДС такое вырождение может расщепляться на три конических вырождения или на пару вырождений, одно из которых является неустойчивым. При дополнительном шевелении тензора С оно либо расщепляется на пару конических, либо исчезает, и следовательно его индекс /1=0.
Дополнительный анализ позволяет указать число действительных корней системы (2.56) для различных типов касательных вырождений, чтш и определяет свойства таких вырождений при возмущении. Истинное касательное вырождение (П = +1) расщепляется на пару конических с одинаковыми знаками индекса \\ - +1/2. Гибридное касательное вырождение ( И- = 0, Ф)г 0) исчезает при (2.59) и распадается на четыре конических при (2.60) В случае Ш%{-ЩпЪи (2.61) данное вырождение в зависимости от конкретного вида возмущения либо исчезает, либо распадается сразу на четыре конических. При условии (2.60) возможно также расщепление на пару касательных вырождений, которые должны иметь нулевые индексы, поскольку при дополнительном шевелении тензора С они либо исчезают, либо одновременно распадаются каждое на пару конических. Спорадическое касательное вырождение (П = 09 ХШ)= О) при возмущении общего вида исчезает. Заметим однако, что при специально подобранном виде возмущения АС данное вырождение может также расщепляться.
Вырождения по линии Наконец, можно показать, что линии вырождения неустойчивы. Действительно, согласно L 3 J из семи уравнений, задаваемых усло вием (1.8), вдоль любой акустической оси не менее пяти удовлетво ряются тождественно. Таким образом, точки вырождения определяются из системы двух уравнений и могут интерпретироваться как общие точки двух соответствующих линий )( }/(z на сфере ІП = \ .
При случайном слиянии этих линий возникает линия вырождения А того или иного вида. Естественно, такое слияние неустойчиво , и под действием общего возмущения АС линии клинового и касательного вырождения снимаются везде, кроме, может быть, отдельных точек на линии или в её окрестности.
Если касательная акустическая ось ҐҐІо принадлежит клиновой линии, то вырождение в окрестности Шо исчезает в случае (2.54), распадается на пару конических в случае (2.55); оба варианта поведения возможны при (2.56). Заметим, что поскольку правило, сохранения индекса относится только к изолированным вырождениям, то
Нетрудно убедиться, что ситуация не меняется и в случае, когда одно из уравнений выполняется тождественно для любых 171 , т.е. задает не линию 1 , а всю сферу ГП2= здесь при расщеплении возможны любые знаки индексов конических вырождений. Формальная математическая интерпретация
Возможна интерпретация проблемы устойчивости акустических осей с точки зрения теории особенностей гладких отображений f S(3J. При этом в случае двукратных вырождений задача сводится к исследованию некоторого отображения "ЦТ сферы /ТІ - і в трехмерное пространство М(2) симметричных (2x2)-матриц. Образ сферы ЇЇІ = 4 при отображении 4 - двумерная поверхность Q в пространстве М(2); вырождение соответствует пересечению поверхности І с А прямой \- 2 С0СТ0Я[Цей из матриц вида 1, где - = :оо , А I - единичная (2x2)-матрица. Можно показать, что достаточным условием устойчивости акустической оси Ыо является трансверсальность отображения "ЦТ прямой 1 2 Последнее равносильно регулярности точки \Х\о для композиции отображений То W , где Т - проекция на плоскость, перпендикулярную !_%. Этому условию удовлетворяют точки конического вырождения (рис. 4,а). Локально клиновое вырождение при Yi= 0 соответствует особенности отображения1Го]Гтипа складка (рис. 4,6), при П= + 1/2 - типа сборка (рис. 4,в) ГбО, (Ы \ Исследование поведения особенностей этих отображений при воз /ч мущении ДС приводит соответственно к уравнениям вида (2.46) и (2.52). Наконец, случай касательных вырождений исследуется посредством анализа ивариантов Портеуса [G1] пары квадратичных форм
Поведение акустических осей под действием внешнего постоянного электрического поля и при фазовых переходах. Сопутствующие поляризационные явления
Топологическая и термодинамическая неустойчивость Говоря о топологической устойчивости или неустойчивости акустических осей, заметим, что данное понятие не совпадает с понятием термодинамичеокой устойчивости, которое всегда обеспечено при положительности упругой энергии кристалла. Последнее обстоятельство отличает поля поляризаций упругих волн от топологически родственных объектов, например от плоских полей директора в нематике, особые точки которых отвечают дисклинациям. Действительно, каждый вектор И непосредственно соответствует некоторому ансамблю молекул нематика. Взаимодействие между молекулами стремится выстроить их параллельно, и в этом смысле все топологически неустойчивые дис-клинации, вообще говоря, неустойчивы термодинамически. Поэтому, например, в поляризационном поле может существовать особая точка индекса їі= 0$ отвечающая гибридному касательному или локально-клиновому вырождениям, а в поле директора соответствующая дисклинация должна переходить в регулярную точку. Здесь следует упомянуть, что поскольку директори, окружающие дисклинапдю, могут выходить из плоскости перпендикулярной оси дисклинации, то дисклинации с целым индексом топологически неустойчивы и "вытекают в третье измерение" Гб$1» Наоборот, векторы поляризации, окружающие точку вырождения, всегда расположены в плоскости, перпендикулярной вектору поляризации третьей, невырожденной ветви, поэтому снятие вырождения с целым индексом, аналогичное вытеканию дисклинации, возможно только в направлений тройного вырождения (см. рис, 3 в Г 4 J ).
Пределы применимости развитой теории Обсуждавшийся в 2.3 подход к проблеме устойчивости акустических осей, основанный на использовании критерия вырождения (1.8), позволяет определять координаты возмущенных вырождений для матриц Л С вообще говоря любой структуры, в том числе и не отвечающих условию (2.42), Более того, полученные выводы не зависят от конкретной природы термодинамического эффекта, влияющего на упругие свойства кристалла, и справедливы для любого возмущения, которое формально учитывается в волновом уравнении (1.3), посредст-вом добавления к тензору Кристоффеля -А действительной симметрич-ной матрицы Л А , имеющей произвольную степенную зависимость отІТіН Такими возмущениями могут быть фазовые переходы, упругоэлектричеокий и пьезоэлектрический эффекты, электрострикция и т.д. \_іі -І8\ . Подробному исследованию их влияния на акустические оси посвящена глава З, В то же время к данному классу явлений не принадлежит,
Подчеркнем, что критерий вырождения (1.8) справедлив для любой действительной симметричной матрицы, т.к. при его выводе использовались лишь трансформационные свойства таких матриц, но не характер их зависимости от 171 . л например, акустогирация, поскольку соответствующий член А Л. , ответственный за этот эффект, не является действительным. Можно показать, что при учете акустогирации посредством добавления в упругую энергию слагаемого, пропорционального градиенту деформации И5Д0] , акустическая ось либо сохраняет свое направление, либо исчезает, но не может расщепляться или смещаться. С другой стороны, если феноменологически описывать поглощение упругих волн Л в виде мнимой добавки к тензорут С , то эффективный тензор Кри-стоффеля Л.+АЛ ь в отличие от случая акустогирации, оказывается неэрмитовым. Под действием такого возмущения акустические оси (включая конические), могут и расщепляться, и исчезать.
Обсуждая проблему устойчивости акустических осей, мы фактически ограничивались задачей определения координат возмущенных, вырождений. В отношении типа этих вырождений мы могли лишь сказать, что устойчивые решения для акустических осей с необходимостью отвечают вырождениям конического типа и что выполняется правило сохранения индекса.
