Содержание к диссертации
Введение
1 Лазерные пучки в нелинейных волноводах 21
1.1 Динамика неаксиального асимметричного пучка 21
1.1.1 Введение 21
1.1.2 Описание численной схемы 23
1.1.3 Метод комплексного скейлинга , 26
1.1.4 Особенности распространения светового пучка в гауссовом волноводе с керровской нелинейностью 28
1.2 Расчет стационарных мод нелинейных волноводов с помощью непрерывного аналога метода Ньютона 32
1.2.1 Введение 32
1.2.2 Основные уравнения 35
1.2.3 Непрерывный аналог метода Ньютона 36
1.2.4 Результаты численных расчетов 38
1.3 Расчет частот осцилляции пучка в керровском волноводе с помощью уравнений Боголюбова 40
1.3.1 Введение 40
1.3.2 Уравнения Боголюбова 41
1.3.3 Коллективные моды и типы эволюции пучка 43
1.3.4 Сравнение результатов метода моментов и решения уравнений Боголюбова 45
1.4 Самовоздействие периодически модулированных лазерных пучков в резонансной среде 49
1.4.1 Введение 49
1.4.2 Теория 50
1.4.3 Численные расчеты 52
2. Динамика конденсата Бозе-Эйнштейна атомов в ловушке 56
2.1 Введение 50
2.2 Топологические и коллективные моды 57
2.3 Анализ коллективных мод с помощью теории возмущений 58
2.4 Топологическая мода с одним поперечным узлом 61
2.5 Численная схема для решения нестационарного уравнения Гросса-Питаевского с большой нелинейностью 63
2.6 Поведение Бозе—конденсата под действием переменного внешнего поля . 67
3. Ударная ионизация атомов и молекул 70
3.1 Введение 70
3.2 Применение параксиального приближения лазерной оптики для расчета ионизации атомов и молекул электронным ударом 73
3.2.1 Параксиальное приближение для задачи рассеяния 73
3.2.2 Вычисление углового распределения 78
3.2.3 Численная схема 80
3.2.4 Численные расчеты и результаты 84
3.3 Эффекты интерференции в задаче ионизации молекулярного иона водорода 90
3.3.1 Задача двух центров 90
3.3.2 Численное решение сфероидальных уравнений 91
3.3.3 Сечение ионизации молекулярного иона водорода 933.3.4 Результаты 96
4 Рекомбинация троянских состояний атома водорода 103
4.1 Введение 103
4.2 Атом водорода во внешних полях 104
4.3 Приближенные волновые функции 106
4.4 Спонтанная рекомбинация сатурниапских атомов 110
Заключение и выводы 113
Литература 117
- Особенности распространения светового пучка в гауссовом волноводе с керровской нелинейностью
- Анализ коллективных мод с помощью теории возмущений
- Применение параксиального приближения лазерной оптики для расчета ионизации атомов и молекул электронным ударом
- Атом водорода во внешних полях
Введение к работе
Актуальность темы
Постановка новых экспериментов по изучению динамики атомных систем в сильных внешних нестационарных полях требует развития непертурбативиых методов решения временного уравнения Шредингера. Прямое численное интегрирование такого уравнения даже для простейшей одночастичной системы затрудняется многомерностью задачи (3 пространственных координаты плюс время). Поэтому в качестве тестовых примеров часто используют атомные модели пониженной размерности (одномерные или плоские), реализуемость которых неочевидна. Параксиальная оптика световых пучков естественным образом порождает волновые задачи пониженной размерности, описываемые уравнением Шредингера. Временное уравнение Шредингера, описывающее эволюцию квантового состояния частицы в потенциальном поле, обнаруживает фундаментальную аналогию с уравнением для скалярной амплитуды светового пучка в параксиальном приближении волновой оптики. В последнем случае роль эволюционной переменной (времени) играет продольная координата пучка, роль координат частицы — поперечные координаты пучка, а в качестве потенциала выступает поперечный профиль показателя преломления среды. В частности, задача о распространении внеосево-го (разъюстированного) пучка обобщенной гауссовой формы через волноводную среду с параболическим профилем показателя преломления полностью аналогична задаче о временном поведении двумерного гармонического осциллятора, начальная волновая функция которого задана в виде произвольного обобщенного гауссова пакета. Такие пакеты описывают когерентные состояния смещенного гармонического осциллятора в ко- ординатном представлении и являются предметом пристального внимания в квантовой оптике. Таким образом, волновые пучки в волноводных средах могут рассматриваться как классическая физическая модель эволюции квантового состояния частицы, сочетающая в себе наглядность и простоту экспериментальной реализации. При численном решении временного уравнения Шредингера особую сложность представляет одновременное рассмотрение состояний финитного и инфинитного движения, что типично, например, для задач ионизации и рекомбинации атомов. Сходная ситуация имеет место и в оптике волноводов. При возбуждении волновода с конечной глубиной рельефа показателя преломления полем, распределение которого отличается от собственной моды, часть излучения вытекает наружу, а часть, соответствующая собственным модам, продолжает распространяться в волноводном режиме. Как и в квантовой механике, в параксиальной оптике существует ряд задач, предъявляющих повышенные требования к устойчивости и точности численного решения. В частности, адекватная реальному эксперименту постановка задачи о распространении световых пучков в волноводах должна предусматривать возможность значительного влияния на динамику поля в сердцевине со'стороны эффектов, возникающих в оболочке. Волновод гауссова профиля может служить удобным примером, демонстрирующим подобные эффекты. На малых расстояниях от оси симметрии такого волновода распределение показателя преломления имеет почти параболическую форму (модель сердцевцны), а на больших расстояниях экспоненциально стремится к постоянному значению (модель оболочки). Такая среда допускает не только режим устойчивого волноводного распространения пучка, но и так называемый режим вытекания излучения. Корректное численное моделирование эффектов вытекания возможно только на основе асимптотически устойчивых схем с корректной реализацией граничных условий. Таким образом, построение таких схем по прежнему остаётся актуальной задачей.
В теории линейных волноводов понятие моды — одно из основных. Моды определяются как распределения поля, которые не изменяются при распространении пучка вдоль оси волновода z с точностью до множителя ехр(—i/3z), где Р обычно называют константой распространения. Математически вычисление мод для прозрачной среды с линейным коэффициентом преломления эквивалентно решению проблемы на собственные значения и собственные функции линейного самосопряженного оператора. Собственные функции таких операторов имеют ряд известных свойств, таких как ортогональность и полнота, что делает возможным использование их в качестве базиса. Разложение поля по модам широко используется как при расчетах, так и при интерпретации динамики поля в линейных волноводах. Для прозрачных нелинейных волноводов также можно поставить задачу поиска такого поля, поперечное распределение которого не изменяется при распространении. Такие распределения аналогичны модам линейных волноводов и обычно называются нелинейными модами. Подобные задачи возникают в теории конденсата Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в электромагнитной ловушке. В пределе среднего поля коллективная волновая функция конденсата подчиняется уравнению Гросса-Питаевского. В случае аксиально-симметричных ловушек это уравнение полностью аналогично двумерному нелинейному уравнению Шрединге-ра(НУШ), описывающему распространение лазерного пучка сквозь градиентный световод с керровской нелинейностью. Замечательной особенностью КБЭ является то, что реальные значения константы нелинейности могут быть на много порядков больше, чем керровская константа световода. Другое отличие — ловушки обычно являются трехмерными, а не двумерными, и описывающее их НУШ также трехмерное. В настоящее время наиболее впечатляющие результаты были достигнуты в изучении солитонных решений одномерного НУШ с помощью метода обратной проблемы рассеяния. Однако, даже в одномерном случае стационарные решения НУШ не исследованы для среды с произвольным коэффициентом преломления. Нелинейные моды для двумерных (пучки в волноводах) и трехмерных (атомные Бозе—конденсаты) систем могут быть найдены только численно и должны исследоваться индивидуально в каждом отдельном случае. Один из естественных путей нахождения стационарных поперечных распределений поля в нелинейном волноводе — численное решение проблемы распространения с произвольным начальными условиями с учетом вытекания излучения из волновода. Можно ожидать, что после прохождения некоторого расстояния, когда происходит переходной і процесс, пучок приобретает стационарную (г-независимую) поперечную структуру. Та- кие пучки часто упоминаются как квазимоды. Однако, такой метод применим только для одномодового волновода либо для волновода, все моды которого различаются ти пами симметрии. Кроме того, такой способ требует больших затрат вычислительных ресурсов. Более эффективен другой подход — прямой расчет нелинейных мод, анало гичных стационарным состояниям в квантовой механике, при фиксированной величине полной мощности пучка. Стандартные квантовомеханические методы расчета стаци онарных состояний, например вариационный, для данной задачи применимы только ,j для специфических типов мод, так как для поиска с их помощью произвольной мо- ды требуется использование условия ортогональности, которое для данной задачи не выполняется. Таким образом, существует необходимость создания универсального численного метода расчета нелинейных мод.
Распространение разъюстированного параксиального лазерного пучка в нелинейном волноводе может рассматриваться как нелинейная динамическая задача, где продоль ная координата z играет роль времени, а поперечный профиль поля — динамическая система, эволюционирующая по z. Прямое решение уравнения распространения лазер ного пучка хотя и даёт полную информацию о его динамике, но не является идеальным методом её анализа из-за того, что поле представляет собой бесконечномерную динами- «'' ческую систему. Для решения этой проблемы обычно используются методы, сводящие систему к конечномерной, такие, например, как т.н. модифицированный обобщенный метод моментов, использующего гауссову пробную функцию, чьи параметры определяются с помощью принципа Галёркина на базисе небольшого числа гибких гауссовых мод. Очевидным минусом подобных методов как раз является предположение о фиксированной, в данном случае гауссовой, форме поперечного профиля поля, что накладывает суровые ограничения на профиль показателя преломления среды. Прямое численное моделирование показывает значительные негауссовы искажения пучка, вызванные керровской нелинейностью, даже в случае параболического профиля линейно- го показателя преломления, когда метод моментов работает лучше всего. Это приводит к необходимости использования других методов, способных дать прямую информацию о динамике пучка, например, частоты различных типов колебаний пучка в волноводе.
Резонансные самофокусировка и наведение апертуры лазерного пучка в насыщаемой поглощающей среде являлись предметом множества теоретических и экспериментальных исследований. В лазерной спектроскопии лазерные пучки обычно модулированы по амплитуде или частоте. Если период модуляции велик по сравнению с атомными временами релаксации, отклик среды, очевидно, следует за изменениями поля адиабатически, так что среда может описана с помощью нелинейной восприимчивости. Когда период модуляции приближается к времени релаксации, можно ожидать переходного поведения среды. Экспериментальные проявления нестационарной околорезонансной самофокусировки частотно-модулированных пучков были продемонстрированы для неоднородно уширенных линий поглощения в молекулярных газах. Очевидно, что в однородно уширенных системах нестационарный отклик среды должен влиять на переданный пучок таким же образом. Простое приближение нелинейной восприимчивости уже недействительно, и необходимо решать систему временных уравнений Максвелла-Блоха. Схемы, разработанные для коротких импульсов, и основанные на том, что поле ограниченно как в пространстве, так и во времени, не подходят для периодически модулированных полей. Представляется практически важным исследовать искажения и степень подавления модулированного сигнала при прохождении сквозь резонансную поглощающую среду, а для решения подобных задач необходимы более универсальные численные схемы.
Существуют системы, описывающееся уравнениями, подобными уравнениям нелинейной параксиальной оптики, но с нелинейностью много большей, чем в оптических системах. Важнейшим примером таких систем является конденсат Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в ловушке, чья волновая функция в пределе среднего поля описывается уравнением шредингеровского типа с большим кубическим членом, пропорциональным числу атомов. Исследования динамики КБЭ является интересным в контексте его многообещающих возможностей его применения в атомной оптике. КБЭ стал объектом многочисленных и интенсивных исследований как новое состояние материи со свойствами, открывающими новые возможности для атомной оптики и близких областей. Одной из наиболее интригующих возможностей является создание атомного лазера. Уравнение Гросса-Питаевского, управляющее коллективной волновой функцией КБЭ, по форме совпадает с уравнением распространения лазерного пучка в среде керровской нелинейностью, но, в противоположность оптическим системам, нелинейные члены в этом уравнении обычно доминируют и не могут быть рассмотрены в качестве возмущения. В теории КБЭ различаются топологические и коллективные моды. ij. Топологические моды представляют собой аналог стационарных состояний обычной квантовой механики и различаются симметрийными свойствами, откуда и происходит их название. Коллективные моды отвечают за колебания слабовозмущенных топологических мод. Возбуждение коллективных мод хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально. В некоторых работах высказывалась гипотеза о возможности перехода между топологическими модами под действием резонансного возбуждения переменным полем. Однако необходимо проверить эту идею с помощью численного решения нестационарного уравнения Гросса-Питаевского.
Диссоциативная ионизация двухатомных молекул сейчас является объектом всё более возрастающего интереса вследствие быстрого развития экспериментальных мето- '' дов регистрации совпадений, которые позволяют измерить импульсы возникших фраг- ментов, таких как остаточных ионов и электронов, и получить при помощи подсчета совпадений многократные дифференциальные сечения, изучение которых может дать точную информацию о электронной структуре, механизме фрагментации и влиянии направления молекулярной оси. Новые экспериментальные методы стимулировали интерес к фундаментальным теоретическим исследованиям диссоциативной ионизации двухатомных молекул электронным ударом. В области исследования (е,2е) столкновений, т.е. ионизации электронным ударом с детекцией совпадения двух возникших электронов, двухатомные мишени менее часто теоретически исследуются, чем одноатом- ные, что находится в противоречии с тем фактом, что большинство газов в природе существуют в форме двухатомных молекул. Это может быть объяснено тем, что теоретическое построение волны, описывающей свободный электрон в поле двух центров, является весьма непростой задачей. Обычно описание испущенного электрона реализуется при помощи волновых функций одноцентрового континуума в форме разложения по парциальным волнам или в форме кулоновской волны, центрированной на центре молекулы или на ядрах. Ион молекулярного водорода для данной области может рассматриваться как простейшая система, в которой удаление единственного электрона вызывает диссоциацию. Простая (е,2е) ионизация Щ является одним из плохо изученных экспериментально процессов, также как (7,е) на Hj. В обоих этих случаях свободный электрон с волновым вектором ке находится в поле двух положительно заряженных ядер, которые можно считать неподвижными. Эта уникальная физическая ситуация может служить прекрасным тестом для различных теоретических моделей. Было сделано много попыток найти адекватное приближенное описание такого электрона. Наиболее часто для решения подобных задач используется приближенная волновая функция в форме произведения двух кулоновских функций, центрированных на ядрах, идея которой возникла из модели Плювенажа. Тот факт, что уравнение Шредингера с двумя кулоиовскими центрами разделяется в сфероидальных переменных, очень редко используется для расчетов в физических ситуациях, требующих учета двухцентрового континуума. Насколько нам известно, в расчетах простой (е,2е) ионизации до сих пор никто не использовал парциальные сфероидальные волны для описания медленного испущенного электрона в поле двух неподвижных ядер. С помощью этого приближения можно достичь любой желаемой точности расчета сечения ионизации Н^". Но желательно построить более универсальное приближение для расчета сечения ионизации молекулы или атома быстрым электроном, не требующее применения волновых функций непрерывного спектра.
Недавно было показано, что водородоподобные атомы в перпендикулярных магнитном поле и вращающемся электрическом поле имеют специфический тип стационарных У> \+) \h состояний в форме локализованного волнового пакета, вращающегося на стационарной орбите радиусом в тысячи боровских радиусов. Состояния в виде недиссипирующих волновых пакетов обычно называются троянскими по аналогии с троянскими астероидами, вращающимися вокруг Солнца на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия, а атом в таком состоянии в некоторых работах называется са-турнианским. Интенсивно изучались как с квантовой, так и классической точки зрения устойчивость периодического движения пакета по отношению к возмущениям, вероятность спонтанного разрушения сатурнианского атома и превращение его в обычный. Такие состояния представляют интерес в связи с проблемой получение антиводорода из холодной позитрон-антипротонной плазмы в ловушке. Несмотря на то, что в последнее время достигнут значительный прогресс в области получения атомов антиводорода в количествах, достаточных для спектроскопических исследований, что, в конечном счете, необходимо для выяснения фундаментальных различий между веществом и антивеществом, проблема ускорения формирования атомов остаётся актуальной. Сильное магнитное поле больше 1 Тесла и электростатическое поле являются необходимыми элементами используемых в экспериментах ловушек. Помимо этого, легко может быть приложено радиочастотное вращающееся поле, а также лазерное излучение(непрерывное или импульсное). Поэтому разумно предположить, что троянские состояния могут быть использованы как промежуточные состояния при рекомбинации антиводорода. Двух-стадийный процесс, при котором сначала происходит рекомбинация в троянское состояние, а затем переход в обычные низшие состояния атома антиводорода, может иметь большую вероятность, чем прямой переход или переход через промежуточное обычное высокое ридберговское состояние. Для проверки этой идеи желательно получить аналитические соотношения для вероятности вынужденной и спонтанной рекомбинации разряженной плазмы в сатурнианские атомы.
Цель диссертационной работы
Разработка методов численного решения многомерных нелинейных уравнений типа Шредингера для задач оптики волноводов и атомной оптики, а также задач ионизации и рекомбинации атомно-молекулярных систем. Разработка эффективных приближений и методов анализа этих задач для обнаружения ранее не исследованных физических эффектов и новых свойств рассмотренных систем.
Для достижения этих целей решались следующие основные задачи:
Разработка метода решения двухмерного эволюционного уравнения шредингеров-ского типа с кубической нелинейностью, описывающего распространение лазер-ного пучка в волноводе с керровской нелинейностью и динамику Бозе-конденсата нейтральных атомов в цилиндрической ловушке.
Разработка метода решения нелинейного уравнения типа стационарного уравнения Шредингера для поиска нелинейных мод волноводов и стационарных состояний Бозе-конденсата.
Разработка метода решения трехмерного нестационарного уравнения Шредингера, описывающего движение электрона в аксиально-симметричном поле.
Разработка приближения, сводящего задачу ионизации молекулы быстрым *' электроном к решению трехмерной эволюционной задачи.
Научная новизна работы
Научная новизна результатов диссертации состоит как в обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и свойств рассмотренных систем, так и в разработке оригинальных методов и подходов для их анализа.
1. Дифференциальное сечение ионизации иона молекулярного водорода быстрыми электронами вычислено при помощи нового приближения, которое позволяет све- сти решение исходного шестимерного уравнения к решению трехмерной эволюционной задачи. Это приближение не требует знания волновых функций непрерывного спектра. При малых углах рассеяния полученные результаты имеют существенные отличия от результатов широко применяемых приближённых методов.
Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации Н^ ударом быстрого (2КэВ) электрона впервые рассчитано при помощи волновой функции двухцентрового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона.
Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского исследовано не изучавшееся ранее неосновное стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. Впервые показано, в противоречии с некоторыми работами, что невозможно вызвать резонансный переход из основного состояния в неосновное стационарное состояние под действием периодического возбуждения.
На основе непрерывного аналога метода Ньютона построен новый алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, возникающего в теории распространения лазерных пучков сквозь градиентные волноводы с керровской нелинейностью, а также в теории конденсатов Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.
Предложена новая для оптики световодов технология анализа колебаний параметров лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью уравнений Боголюбова, позаимствованная из теории Бозе-конденсата.
Разработан новый метод численного решения полной системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающих распространение модулированного лазерного пучка сквозь среду с насыщаемым резонансным поглощением.
7. Впервые даны оценки скорости рекомбинации разряженной антипротон-позитронной (протон-электронной) плазмы с образованием атомов в троянское состояние, возникающем под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета с помощью простой аналитической формулы для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в троянское состояние из разряженной плазмы.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту
1. Параксиальный метод расчета ионизации и возбуждения атомных и молекуляр- -.it v ных систем ударом быстрого электрона.
Энергетически-угловые распределения многократного дифференциального сечения ионизации молекулярного иона электронным ударом, полученные с помощью предложенного метода и проверенные с помощью точного метода разложения по сфероидальным волнам, при малых углах рассеяния существенно точнее полученных с помощью широко используемых приближенных методов.
Метод расчета нелинейных мод градиентных волноводов с керровской нелинейностью и стационарных состояний Бозе-конденсата нейтральных атомов в ловушке, основанный на непрерывном аналоге метода Ньютона. \Ь
4. Зависимость вероятности перехода Бозе-конденсата из основного в возбужденное стационарное состояния под действием не имеет резонансного характера вопреки квантовомеханической аналогии.
Достоверность результатов диссертации
Достоверность теоретических результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием строгих математических методов, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученным другими авторами для частных случаев, сравнением с і* экспериментом, а также совпадением численных результатов, полученных различными методами.
Научная и практическая значимость работы
Предложенный параксиальный метод вычисления многократного дифференциального сечения ионизации молекулы ударом быстрого электрона не требует знания функций континуума в явной форме и даже их точной асимптотической формы, которая зача стую неизвестна, и поэтому может быть применён для объяснения результатов экспери ментов, в которых регистрируются все частицы, возникшие при ионизации. Такие экс- (> 14 перименты проводятся с целью выяснения роли межэлектронных корреляций в атомах, например, при двукратной ионизации гелия, или особенностей процесса диссоциатив ной ионизации двухатомных молекул. Предложенное приближение может быть также использовано для решения некоторых проблем ядерной физики, таких как разруше ние ядерного гало быстрой частицей. С помощью волновой функции двухцентрового континуума для медленного испускаемого электрона, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингсра, путём сравне ния графиков многократного дифференциального сечения ионизации положительного иона молекулы водорода ударом быстрого электрона, оценены пределы применимости различных распространенных приближенных функций двухцентрового континуума, та- ' *} ких как приближение кулоновской волны на эффективном центре и двухцентровой вол- ны плювенажевского типа. Так подобные приближенные функции применяются и при расчетах ионизации более сложных систем, определение их пределов применимости представляется весьма важным и необходимым. Полученные графики многократного дифференциального сечения для различных ориентации молекулы дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации двухатомных мишеней.
Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского показано, что невозможно вызвать резонансный переход между различными топологическими мо- дами Бозе-конденсата атомов в ловушке под действием периодического возбуждения. Таким образом, предполагаемые эксперименты для обнаружения подобных переходов вряд ли дадут положительный результат.
Полученная аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного позитрона в троянское состояние из разряженной плазмы может быть ис пользована для подбора таких параметров внешних полей, при которых возможно ис пользование этого состояния как промежуточного в процессе получения атомов анти водорода, и, в конечном счете, заметное увеличения числа полученных атомов антиво дорода. і і ^ Предложенная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного ме- тода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью может найти широкое применение для расчета нелинейных мод оптических волноводов, т.е. распределений поля, не меняющиеся при распространении по волноводу. Новый алгоритм продемонстрировал простоту реализации, устойчивость по отношению к выбору начального приближения и высокую скорость сходимости.
Разработанный метод численного решения нестационарного уравнения Шредингера с помощью метода расщепления и комплексного скейлинга, показал высокую эффек тивность в задачах параксиального распространения световых пучков в градиентных ' 4 > волноводных средах, в том числе при наличии керровской нелинейности. Другой пред- ложенный метод позволяет точно рассчитывать частоты различных типов колебаний лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью решения уравнений Боголюбова, и, таким образом, может служить мощным инструментом анализа особенностей его динамики, которые сложно выделить при прямом решении параксиального уравнения. Применение этих двух методов позволило, в частности, существенно уточнить количественные критерии применимости приближенных методов описания параксиальных пучков, разработанных ранее.
Построенная численная схема решения системы уравнений Максвелла-Блоха позво- ляет рассчитать искажения модулированного лазерного сигнала, распространяющегося сквозь легированный резонансными поглотителями световод. Эта проблема имеет большую практическую значимость.
Личный вклад автора
Основные результаты диссертации получены автором. Большая часть задач, решенные в диссертации, была предложена моими научными руководителями д. ф.-м. н., проф. С. И. Виницким и д. ф.-м. н., проф. В. Л. Дербовым. Проблема ионизации положительного иона молекулярного водорода, а также метод её решения с помощью разложения по сфе- !>» роидальным парциальным волнам, были предложены проф. Б. Жулакяном (Institut de Physique, Laboratoire de Physique Moleculaire et des Collisions, Universite de Metz, г. Мец, Франция). В разделах 1.1 и 1.3 использовались аналитические результаты обобщенного модифицированного метода моментов, полученные А.И. Быченковым. Для расчетов в разделе 3.3 использовались подпрограммы для вычисления сфероидальных функций дискретного и непрерывного спектра, написанные Д.В. Павловым.
Апробация работы
Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на меж дународных конференциях: Saratov Fall Meeting'99/2000/2001/2002 (Russia, Saratov, *7>* 1999/2000/2001/2002); 2nd International Conference "Modern Trends in Computational Physics", July 24-29, 2000, Dubna, Russia; International Meeting on Electron Scattering from Atoms, Nuclei, Molecules and Bulk Matter, Magdalene College, Cambridge, 16-19th December 2001; XVII Международная Конференция по Когерентной и Нелинейной Оп-тике(Беларусь, Минск, 2001); 10th International Laser Physics Workshop (Moscow, July 3-7, 2001); 3rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Cracow, Poland, June 18-21, 2001; 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Warsaw, Poland, April 21-25, 2002. f Публикации
По теме диссертации автором опубликовано 16 работ [1-16], из них 4 статьи опубликованы в реферируемых изданиях [5, 9, 10, 12]. Список основных публикаций приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 128 страницах, содержит 40 рисунков и список литературы из 103 наименований. ; і „ Краткое содержание работы
Во Введении обозначен предмет исследования, обоснована актуальность темы и целесообразность объединения решаемых задач в рамках одной работы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы новизна полученных в диссертации результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации по ее теме, личное участие автора в выполнении работы, ее объем и структура, а также кратко изложено содержание диссертации. Первая глава диссертации посвящена методам теоретического описания и численного расчета распространения монохроматических пучков света в нелинейных средах и состоит из четырех разделов. В первом разделе этой главы описана конечно-разностная схема для расчета динамики асимметричных лазерных пучков в градиентном волноводе с керровской нелинейностью, основанная на методе двухциклического покоординатного расщепления. Кратко излагается метод внешнего комплексного скейлинга, использовавшийся для корректного учёта вытекающего из волновода излучения на ограниченной области интегрирования. Во втором разделе излагается метод расчета нелинейных мод градиентных волноводов на основе непрерывного аналога метода Ньютона. В третьем разделе предлагается метод анализа колебаний параметров пучка в нелинейном волноводе на основе решения уравнений Боголюбова. Четвертый раздел посвящен распространению лазерных пучков с периодической временной модуляцией сквозь резонансно- поглощающую среду с насыщением.
Вторая глава диссертации посвящена динамике конденсата Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке. Описаны некоторые особенности коллективных мод топологической моды с одним радиальным узлом. Продемонстрирована невозможность перехода из основного состояния конденсата в возбужденное под действием резонансного возмущения. . Третья глава диссертации посвящена ионизации атомов и молекул ударом быстрого электрона. На основе параксиального приближения строится метод расчета сечения ионизации и возбуждения атомов и молекул электронным ударом. В качестве приме- pa рассматривается ионизация простейшей молекулы — положительного иона молеку-ляриого водорода. Приводятся примеры угловых распределений дифференциального сечения в зависимости от ориентации молекулярной оси. В следующем разделе для тестирования результатов предложенного метода и часто применяющихся приближенных волновых функций непрерывного спектра применяются волновые функции, построенные из полученных путем численного решения сфероидальных функций.
Четвертая глава диссертации посвящена выводу приближенных выражений для спонтанной и вынужденной рекомбинации разряженной антипротон-позитронной плазмы в атомы в троянском состоянии, образующиеся во внешнем циркулярно- поляризованном электрическом и перпендикулярном плоскости поляризации постоян- f~> ном магнитном поле для проверки возможности использования таких состояний как промежуточных для ускорения процесса образования атомов антиводорода.
В Заключении сформулированы основные результаты работы и обсуждаются возможности их использования.
Особенности распространения светового пучка в гауссовом волноводе с керровской нелинейностью
В качестве примера рассмотрим распространение светового пучка в градиентном волноводе с гауссовым профилем линейного показателя преломления и керровской нели f нейностью. Линейную часть восприимчивости такой среды можно записать в виде -( ) X{x,y,z) = x(p) =Хоехр где р = у/х2 4- у2, Хо и - характеризуют , соответственно, величину и радиус неоднородности линейного показателя преломления, д определяет нелинейность среды, ф - комплексная амплитуда электрического поля световой волны. Начальный профиль .поля выбирался в виде ф(х, у, 0) = у/Т0 ехр [-77о(х - я/о)2 - РоІУ - Ую)2] , I , где хю,Ую — начальное положение центра пучка, т}0,р0 — обратные квадраты попереч ных размеров пучка. Как и в обычно используемых на практике волноводах со ступенчатым профилем показателя преломления, пучок с произвольным начальным профилем поля при вводе в такой волновод может испытывать переходной режим, в ходе которого часть поля необ ратимо дифрагирует и излучается в окружающее пространство (эффект вытекания), а оставшаяся часть устойчиво распространяется далее в виде суперпозиции собственных мод дискретного спектра. На языке мод вытекание обусловлено тем обстоятельством, что в в разложении произвольного начального профиля пучка могут присутствовать моды как дискретного, так и непрерывного спектра. В этих условиях для численного 1 моделирования динамики пучка целесообразно применение разработанного нами алго ритма.
При малых интенсивностях поля (линейный режим) в результате переходного процесса в целом типично понижение интенсивности пучка на оси волновода. При повышении интенсивности, когда нелинейность становится существенной, динамика распространения пучка может существенно измениться. Интересным и практически важным является эффект нелинейного захвата: пучок, который в линейном режиме быстро ди-фрагирует(режим почти полного вытекания), при повышении его интенсивности начинает распространяться в стационарном колебательном режиме .
Продольная зависимость параметра пучка rj{z) = 1/(4 (ж2)) в гауссовом волноводе при щ = fa = 1, Хю = у/о = 0, Хо = 8, / = 1. В линейном случае при I0g = 0(сплошная линия) пучок расходится, при увеличении интенсивности до log — 3(пунктирная линия) пучок совершает устойчивые колебания (нелинейный захват).
Во многих случаях простым и эффективным методом приближенного описания является аппроксимация пучка посредством гибкой гауссовой моды с параметрами, продольная зависимость которых учитывает неоднородность и нелинейность среды [18, 19]. Для переходного режима в волноводе с заметным вытеканием излучения применимость такого приближения представляется проблематичной. На первый взгляд она очевидна только в двух случаях. Во-первых, это полностью волноводный режим, когда начальное поле локализовано вблизи оси волновода с большим перепадом показателя преломления. В этом случае в области ненулевого поля поперечная зависимость показателя преломления почти параболическая; состояния сплошного спектра практически не воз буждаются. Во-вторых, это режим почти свободной дифракции широкого пучка, слегка возмущенной малым градиентом показателя преломления.
Результаты сравнения расчетов по обобщенному модифицированному методу моментов [18, 19] и прямых численных расчетов с применением разработанного в настоящей статье алгоритма показали, что по отношению к динамике таких основных характеристик (моментов) поля, как размер пятна, интенсивность в центре пучка или его смещение относительно оси волновода, область применимости гауссовой аппроксимации значительно шире. Существуют режимы, когда, даже при наличии заметных негауссовых искажений самого профиля поля, наблюдается хорошее согласие динамики моментов, рассчитанных на основе гауссовой аппроксимации и по результатам прямого численного интегрирования.
В теории линейных волноводов понятие моды — одно из основных. Моды определяются как распределения поля, которые не изменяются при распространении пучка вдоль оси волновода z с точностью до множителя ехр(—ifiz), где Р обычно называют константой распространения. Математически вычисление мод для прозрачной среды с линейным коэффициентом преломления эквивалентно решению проблемы на собственные значения и собственные функции линейного самосопряженного оператора. Собственные функции таких операторов имеют ряд известных свойств, таких как ортогональность и полнота, что делает возможным использование их в качестве базиса. Разложение поля по модам широко используется как при расчетах, так и при интерпретации динамики поля в линейных волноводах.
Для прозрачных нелинейных волноводов также можно поставить задачу поиска такого поля, поперечное распределение которого не изменяется при распространении. Такие распределения аналогичны модам линейных волноводов и обычно называются нелинейными модами [17, 26]. Подобные задачи возникают в теории конденсата Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в электромагнитной ловушке[27-29]. В пределе среднего поля коллективная волновая функция конденсата подчиняется уравнению Гросса-Питаевского. В случае аксиально-симметричных ловушек это уравнение полностью аналогично двумерному нелинейному уравнению Шредингера(НУШ), описывающему распространение лазерного пучка сквозь градиентный световод с керровской нелинейностью. Замечательной особенностью КБЭ является то, что реальные значения константы нелинейности могут быть на много порядков больше, чем керровская константа световода. Другое отличие — ловушки обычно являются трехмерными, а не двумерными, и описывающее их НУШ также трехмерное.
В настоящее время наиболее впечатляющие результаты были достигнуты в изучении солитонных решений одномерного НУШ с помощью метода обратной проблемы рассеяния [30]. Однако, даже в одномерном случае стационарные решения НУШ не исследованы для среды с произвольным коэффициентом преломления. Нелинейные моды для двумерных (пучки в волноводах) и трехмерных (атомные Бозе-конденсаты) систем могут быть найдены только численно и должны исследоваться индивидуально в каждом отдельном случае.
Анализ коллективных мод с помощью теории возмущений
Изучение решений уравнений Боголюбова при малых д необходимо для прояснения их структуры и получения начального приближения для непрерывного аналога метода Ньютона, применявшегося для расчета решений при больших д.
Наша основная цель - исследование стационарной моды с одним поперечным узлом и возможности резонансного перехода в это состояние из основного состояния, Стационарное уравнение Гросса-Питаевского и уравнения Боголюбова решались с по мощью непрерывного аналога метода Ныотона(см.раздел 1.2), а для получения начального приближения использовались результаты предыдущего подраздела. Коллективные моды для одно-узлового стационарного состояния имеют некоторые специфические особенности по сравнению с коллективными модами основного состояния. В частности, в соответствии с (2.13), для двух коллективных моде наименьшей частотой одна из функций (u,v) не должна иметь узлов, а вторая — иметь два, причем амплитуда „дырки" v не стремится к нулю при уменьшении д, в то время как для основного состояния v мало при малом д и имеет то же количество узлов, что и и. Мы будем идентифицировать коллективную моду числом узлов у волновой функции стационарного состояния и у функции и. Для моды ( ,1 1,2 (рис.2.2а) результаты численных расчетов (пунктирная линия на рис.2.3) показывает, что и) = 2и± для любых д. Следовательно, это состояние аналог монопольной моды основного состояния, для которой выполняется такое же соотношение. Для (и, v)\to (рис. 2.2Ь) зависимость частоты от д показана на рис.2.3 штриховой линией. Эта мода соответствует экзотическим осцилляциям, которые происходят с сохранением среднего квадрата радиуса пакета и, следовательно, постоянной потенциальной энергией. Характерные частоты одно-узлового состояния как функции д: разность между химическими потенциалами одно-узлового состояния и основного состоя-ния(сплошная линия); частота обмена между средними кинетической энергией и энергией взаимодействия (штриховая линия); частота осцилляции квадрата радиуса паке-та(пунктирная линия)
С увеличением точности пространственной аппроксимации \imax быстро увеличивается, и условие (2.19) накладывает весьма суровые ограничения на шаг по времени At. Неустойчивость выражается в нарушении закона сохранения энергии при эволюции из-за роста модулей коэффициентов С" при высших модах при накоплении численной ошибки. Если производные по пространственным переменным от Ф(р, л012 не слишком велики, высшие моды растут медленно, и на интересующем нас интервале времени неустойчивость не успеет проявится даже при большом временном шаге, не удовлетворяющим (2.19). Однако, при большой нелинейности д, высшие С" растут очень быстро за счет своеобразной положительной обратной связи, так как их рост приводит к увеличению производных от \Ф(р, /?, t)\2 и ускорению скорости роста. Это обычно проявляется в возникновении вблизи максимума Ф2 сингулярного зубца, который затем порождает своеобразный „ерш" в волновой функции. Этот эффект похож на нелинейную самофокусировку лазерного пучка, но в данном случае имеет нефизическос, сугубо численное происхождение, поскольку, во-первых, возникает и при положительном д, что соответствует отталкиванию между атомами, и, во-вторых, при нем нарушается закон сохранения энергии, и она быстро растет. Возникает естественная идея о введении в схему некого фильтра, который подавлял бы высшие моды.
Оператор эволюции становится неунитарным, следовательно норма уже не сохраняется, но нетрудно показать, что для такой новой схемы выполняется соотношение т.е. моды, для которых At Xi 1, сильно подавляются, в то время как низшие моды, которые аппроксимируют решение, эволюционируют практически так же, как в исходной схеме. Схему-фильтр (2.20) предпочтительно применять не на каждом временном шаге, а периодически, обрывая нелинейный процесс роста высших мод на начальной стадии, при этом норма уменьшается незначительно, скорость изменения есть величина порядка At5. Метод имеет точность порядка At2, а его условие устойчивости Ді тах(Ф2) С 1 доенее суровое, чем (2.19).
Применение параксиального приближения лазерной оптики для расчета ионизации атомов и молекул электронным ударом
Рассмотрим систему из Двух неподвижных протонов и двух электронов. Обозначим г = (х, у, z) радиус-вектор электрона, который до столкновения был связан в Hj, а затем испущен. Обозначим также R = (X,Y,Z) радиус-вектор падающего электрона, который затем рассеивается на молекуле. Такое четкое различение возможно, поскольку мы пренебрегаем обменом. В качестве начала координат О выберем центр симметрии молекулы, оси OZ и Oz направим параллельно импульсу падающего электрона \ait Тогда положения ядер задаются векторами ±р/2.
Таким образом, предлагаемый метод включает два приближения, а именно: а) приближение параксиальной оптики, которое верно при условии (3.14); б) первое борнов-ское приближение (3.7). Физически, оба приближения применимы при двух условиях: энергия падающего электрона должна быть много больше энергии, переданной испущенному электрону, т.е. (fcg/2 — ЕО)/ЕІ «С 1, а угол рассеяния должен быть много меньше одного радиана.
В случае, когда г становится комплексным и угол поворота взс 7г/2, осциллирующий множитель вида ехр(гкег), содержащийся в асимптотике волновой функции непрерывного спектра (3.22), экспоненциально падает с увеличением мнимой части г. Таким образом, на некотором расстоянии от точки поворота контура искомая функция становится пренебрежимо малой, что обеспечивает выполнение нулевых граничных условий. Ясно, что чем больше угол поворота и чем шире область скейлинга, тем большего гашения можно добиться. С другой стороны, увеличение угла 9SC создает дополнительную погрешность в точке rsc.
Для уменьшения числа операций удобно использовать без потери порядка точности можно использовать т.н. метод двуциклического расщепления [2]. Для этого необходимо разбить исходный гамильтониан (3.33) на два слагаемых так, чтобы оба набора уравнений решались наиболее просто. Простое разбиение на радиальную и угловую части приводит к трудностям, проистекающим из того, что метод расщепления для уравнения Шредингера условно устойчив с такими же ограничениями на шаг по времени At, как и у вышеупомянутого метода прыжка лягушки. Из-за сингулярности угловой части гамильтониана, возникающей из-за множителя 1/г2, стоящего перед производной, выбор большего шага приводит к быстрому уходу приближенного решения от точного.
Для устранения этого ограничения я предложил метод частичного координатного отщепления. Его идея состоит в том, чтобы вблизи г = 0 угловой оператор не отщеплять. Для реализации этой идея я ввел весовую функцию р(г), которая равна единице вблизи начала координат и обращается в ноль на конечном расстоянии от него, а также достаточно гладка.
Точность сохранения средней энергии тем лучше, чем меньше At и чем больше ra and ар. Вообще говоря, такой метод тоже условно устойчив, но даже для относительно малых га and ар и шаге At Дг расходимость решения столь медленная, что, как показывает наблюдение за средней энергией, не проявляется на периодах времени, необходимых для получения результата при использованных параметрах рассеяния.
В области, где существенно взаимодействие с налетающим электроном был необходим меньший шаг по времени для достижения необходимой точности. Таким образом, программа работала в двух режимах, сначала с малым шагом Atint, когда взаимодействие сильно, а затем с большим шагом Atji когда взаимодействие пренебрежимо слабо, и волновая функция просто вытекала в область комплексного скейлинга, при этом рассчитывалось энерго-угловое распределение МДС.
Атом водорода во внешних полях
Рассмотрим атом водорода под действием циркулярно-поляризованного электрического поля и постоянного магнитного поля, перпендикулярного плоскости поляризации. Если u)j = , то член пропорциональный угловому моменту исчезает, и потенциальная энергия [/(г) = С/(г, р) (см. рис.4.1) при достаточно сильном циркулярно-поляризованном поле имеет два минимума. Соответственно, помимо кулоновской потенциальной ямы, на достаточно большом расстоянии от ядра возникает дополнительная яма в виде осциллятора.
Заметим, что классическая траектория электрона в электрическом и магнитном полях такой конфигурации при низкой температуре в ловушке — спираль с радиусом витка f« Fjui. В нашем приближении движение по оси z и в плоскости хОу независимы, и, чтобы электрон оказался в троянском состоянии, необходимо, чтобы центр проекции орбиты электрона на плоскость хОу совпадал с каким-нибудь ядром. Рассмотрим движение на плоскости хОу с точки зрения квантовой механики. Решение такой задачи — гауссов пакет, вращающийся вокруг некой точки (хс, ус). Если ядро находится в начале координат, амплитуда вероятности того, что волновой пакет вращается на троянской орбите равна интегралу перекрытия между двумя состояниями. Из элементарных геометрических соображений очевидно, что расстояние между двумя пакетами, синхронно вращающихся по круговой орбите вокруг разных центров, постоянно и амплитуда вероятности равна Мхс) = I х(ч с/2, х)х(ис/2, х - хс) dx = ехр ( --и)сх2с
При реалистичных параметрах ловушки В = 3.46 Тл, F = 2000 В/см и параметрах электрон-протонной (или позитрон-антипротонной) плазмы из [101]: плотность электронов пе = 109 cm-3, количество протонов Np = 107, температура Т = 4 К, мы получаем, что в ловушке будет образовываться 3.726310982 х Ю-8 сатурнианского атома в секунду, или, по сравнению со спонтанной рекомбинацией в обычное основное состояние атома водорода [101], один сатурнианский атом на 1010 обычных. Этот катастрофически малый результат связан с тем, что учитывалось только движение по круговым орбитам вокруг ядра. При этом фотоны циркулярно-поляризованного поля не могут вызывать вынужденную рекомбинацию. При движении по орбитам с центром не на ядре, но вблизи него, совместное действие кулоновского и циркулярно-поляризованного поля должно приводить к эффективной вынужденной рекомбинации. Однако, по тем же самым причинам будет происходить и разрушение таких состояний. Корректный учет этих эффектов планируется выполнить в дальнейшем.
1. При помощи параксиального приближения, сводящего проблему к решению трехмерного временного неоднородного уравнения Шредингера, построена процедура вычисления многократного дифференциального сечения (е,2е) ионизации иона молекулярного водорода ударом быстрого электрона. Такой метод не требует знания функций континуума в явной форме и может быть применён для изучения ударной ионизации более сложных атомных и молекулярных систем. Подобное приближение может быть также использовано для некоторых проблем ядерной физики, таких как разрушение ядерного гало быстрой частицей.
2. Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации Н ударом быстрого (2КэВ) электрона рассчитано при помощи волновой функции двухцен-трового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона. Сравнение результатов с полученными при помощи приближенных методов, таких как кулоновской волны на эффективном центре, двухцентровой волны плювенажевского типа, а также эволюционного приближения, продемонстрировало пределы применимости этих приближенных методов. Графики семикратного дифференциального сечения, которое соответствует ионизации ориентированной молекулы, демонстрируют существенные отличия от результатов широко применяемых приближённых методов при малых углах рассеяния и дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации более сложных двухатомных мишеней.
3. Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского исследовано стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. Обнаружено, что малые возмущения этого состояния, описываемые уравнениями Боголюбова, имеют некоторые необычные свойства по сравнению с таковыми для основного состояния. Показано, в противоречии с некоторыми работами, что невозможно вызвать резонансный переход из основного состояния в стационарное состояние с одним узлом под действием периодического возбуждения.
4. Изучены специфические состояния электрона в водородном атоме под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета. Эти состояния, обычно называемые троянскими по аналогии с троянскими астероидами, которые вращаются на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия, могут быть представлены как собственные состояния гамильтониана в координатной системе, вращающейся вместе с электрическим полем. Получена аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в троянское состояние для разряженной плазмы. Сделан вывод о невозможности вынужденного однофотонного перехода из континуума в троянское состояние.
5. Предложена эффективная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, которые возникают в скалярном параксиальном приближении теории оптических волноводов, а также в теории конденсата Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.
