Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Фотонно-кристаллические световоды 17
1.1 Различные типы фотонно-кристаллических световодов и их изготовление 17
1.2. Необычные свойства фотонно-кристаллических световодов 22
1.3. Методы расчета мод фотонно-кристаллических световодов 24
Выводы к главе 1 34
Глава 2. Метод согласованных синусоидальных мод 36
2.1Моды однородных световодов 36
2.2. Метод согласованных синусоидальных мод в скалярном случае .42
2.3Метод согласованных синусоидальных мод в векторном случае 51
2.4Метод Крылова решения нелинейной задачи на собственные значения при расчете мод световода 58
2.5Программная реализация алгоритмов расчета методом согласованных синусоидальных мод 64
2.6Численный расчет мод ступенчатого световода с круглым сечением 68
2.6.1 Расчет и анализ собственных мод двух моделей ступенчатого световода с круглым сечением 68
2.6.2 Разложение гауссова пучка по собственным модам световода 74
2.7Расчет векторных мод фотонно-кристаллического световода 77
Выводы к главе 2 81
Глава 3. Метод расчета мод с помощью конечно-разностной аппроксимаций стационарных волновых уравнений 83
3.1 Линейная задача на собственные значения при расчете электрических полей мод 83
3.2. Конечно-разностный метод для расчета магнитных полей мод световода 86
3.3Программная реализация алгоритмов расчета конечно-разностным методом 88
3.4Численный расчет электромагнитных мод световода с круглым сечением 90
3.5Численный расчет мод фотонно-кристаллического световода 96
Выводы к главе 3 101
Глава 4. Сравнение результатов численного расчета модового состава фотонно-кристаллических световодов, полученных разными методами 103
4.1 Расчет модовых полей фотонно-кристаллического световода методом согласованных синусоидальных мод и методом конечных разностей 103
4.2. Численное исследование методом согласованных синусоидальных мод влияния параметров отверстий фотонно-кристаллического световода на фундаментальную моду 106
4.2.1 Сравнение двух локализаций микроотверстий в оболочке фотонно-кристаллического световода с точки зрения концентрации энергии мод в сердечнике 106
4.2.2 Исследование влияния диаметра микроотверстий в оболочке фотонно-кристаллического световода на распределение интенсивности его фундаментальной моды 113
4.2.3 Определение диапазона реализации одномодового режима фотонно-кристаллического световода 120
4.2.4 Модификация слабонаправляющего световода 122
4.3Расчет мод фотонно-кристаллического световода с полым сердечником конечно-разностным методом 124
4.4Сравнение расчета мод с помощью разработанных методов и программы FIMMWAVE 128
Выводы к главе 4 130
Заключение 132
Литература 135
Приложение 144
- Необычные свойства фотонно-кристаллических световодов
- Метод согласованных синусоидальных мод в скалярном случае
- Конечно-разностный метод для расчета магнитных полей мод световода
- Численное исследование методом согласованных синусоидальных мод влияния параметров отверстий фотонно-кристаллического световода на фундаментальную моду
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке двух методов расчета пространственных мод однородных в продольном направлении и неоднородных по поперечным осям оптических световодов и применению этих методов для расчета мод фотонно-кристаллических световодов.
Актуальность работы. Создание лазеров и их широкое применение привело к появлению ряда новых направлений науки и техники. Одним из таких направлений является современная волоконная оптика, изучающая стеклянные волноводы с низкими оптическими потерями. Наиболее важной и развитой в настоящее время областью применения волоконной оптики является волоконно-оптическая связь.
Постоянно расширяется круг практических применений световодов и оптических волокон, то есть волноводов цилиндрической формы. Среди них: волоконно-оптические датчики различных физических полей (акустических, температурных, электрических, магнитных), в которых волновод является чувствительным элементом; волоконно-оптические лазеры и преобразователи частоты; генераторы суперконтинуума; компенсаторы дисперсии.
Практический интерес к оптическим световодам и волокнам породил необходимость разработки методов их исследования, позволяющих численно анализировать свойства уже существующих образцов и прогнозировать перспективы применения синтезируемых средствами компьютерного моделирования волноводных структур.
Фотонно-кристаллические световоды (ФКС) - это относительно новый класс оптических волокон, использующих свойства фотонных кристаллов (J. С. Knight, 1996). В поперечном сечении ФКС представляют собой кварцевую или стеклянную микроструктуру с периодической либо апериодической системой микровключений или микроотверстий цилиндрической формы, ориентированных вдоль оси волокна. Дефект микроструктуры служит сердечником световода, обеспечивая волноводный режим распространения электромагнитного излучения.
Способность ФКС удерживать и направлять свет зависит от множества физических и геометрических параметров, поэтому с их созданием появились дополнительные степени свободы для управления характеристиками света, распространяющегося внутри световода.
Актуальной задачей остается разработка эффективных методов расчета мод ФКС, то есть электромагнитных волн, которые способны возбуждаться и распространяться в сердечнике световода. Любой пучок излучения, направляемый в световод, будет «раскладываться» в нем по совокупности пространственных мод и распространяться в виде линейной суперпозиции мод.
Исторически первым методом, примененным для расчета мод ФКС, стал метод эффективного индекса (Т.A. Birks, 1997). Метод эффективного индекса, суть которого состоит в замене сложной модели сечения ФКС с множеством микроотверстий на адекватную модель обычного круглого световода со ступенчатым профилем показателя преломления, является одним из самых быстрых, но при этом метод уступает конкурентам по точности.
Существует несколько методов, предназначенных для расчета мод ФКС. Все их можно условно разделить на три группы: приближенно-аналитические методы или методы декомпозиции, интегральные методы и конечно-разностные методы.
Методы декомпозиции. Основная идея, эксплуатируемая в данной группе методов, - это возможность представления поля моды световода в форме разложения по некоторому базису. В результате этой декомпозиции отыскание мод сводится к задачи на собственные значения и собственные вектора некоторой матрицы.
Разложение по плоским волнам (A. Ferrando, 1999) с периодическими граничными условиями дает решение для бесконечного, периодически повторяющегося в поперечной плоскости световода, что делает принципиально невозможным получение данным методом мнимой части константы распространения, соответствующей потерям при распространении вытекающей или несобственной моды.
Метод разложения по модам Гаусса-Эрмита (Т.М. Monro, 2000) оказывается более пригодным для описания сложной структуры сечения ФКС, нежели метод разложения по плоским волнам, однако данный метод ограничен применением только к ФКС с отверстиями в оболочке, расположенными в узлах правильной гексагональной решетки, так как расстояние между центрами любых двух соседних отверстий должно быть фиксировано, и значение этого расстояния входит в выражение для базисных функций.
Метод мультиполя, разработанный для расчета мод световодов с несколькими сердечниками (Е. Yamashita, 1985), был обобщен на случай ФКС (Т.Р. White, 2002). Основным его недостатком является обязательное требование округлости микроотверстий в оболочке. Сильная сторона метода состоит в том, что он позволяет вычислять как действительную, так и мнимую части константы распространения, и, в отличии от метода мультиполя для световодов с несколькими сердечниками, использующего технику поточечной стыковки поля на границах включений, данный метод обрабатывает граничные условия путем разложения компонент поля по ортонормальному базису.
Характерной чертой метода согласованных синусоидальных мод (ССМ-метод) (A.S. Sudbo, 1993) является техника разбиения неоднородного сечения волноводной структуры на прямоугольные области с постоянным значением показателя преломления среды. В каждой из таких областей поле моды аппроксимируется суперпозицией факторизованных гармонических функций. А константы распространения мод находятся из условия минимизации невязки представлений поля на границах соседних областей, для чего используется интегральный подход. ССМ-метод использует процедуры поиска корней уравнений, и потому проигрывает по скорости методам, основанным исключительно на отыскании собственных чисел матриц.
Интегральные методы. Интегральные методы являются сеточными, то есть, в отличии от методов предыдущей группы, в данном случае решением задачи отыскания поля моды является сеточная функция, а не заданная аналитически.
Среди этой группы можно выделить метод конечных элементов (F. Brechet, 2000). Он представляет собой мощный инструмент векторного анализа, способный учитывать все особенности геометрии микроотверстий и расположение их в структуре сечения. Достаточно быстрый и гибкий, он часто используется для моделирования свойств ФКС. Среди недостатков метода конечных элементов можно назвать требовательность к ресурсам памяти, так как для описания структуры сечения ФКС требуется подробная дискретизация и большое количество переменных, а также необходимость вмешательства человека в работу алгоритма для лучшего определения граничных условий и сетки дискретизации.
Метод граничных элементов (N. Guan, 2003), где сечение разбивается на однородные области, а задача на собственные значения получается в результате применения теоремы Грина, отличает меньшая требовательность к ресурсам памяти. Однако существенным недостатком является возможность возникновения ложных решений.
В методе функции Грина (Н. Cheng, 2004) задача отыскания констант распространения мод также сводится к задаче на собственные числа матрицы, для решения которой разработан специальный быстрый алгоритм. Этот метод работоспособен в случае сложных геометрических форм микроотверстий ФКС, хотя и с меньшей скоростью сходимости, чем в случае круглых отверстий.
Конечно-разностные методы. Конечно-разностные методы, также как и методы интегральные, дают сеточное решение.
Метод конечных разностей (КР-метод) широко используется для решения разного рода уравнений. Благодаря простоте реализации, этот метод стал удобным инструментом для расчета мод оптических световодов, особенно тех, для которых не существует аналитического решения, например, таких как ФКС.
Наличие больших контрастов показателя преломления в структуре сечения ФКС требует использования полностью векторного подхода при расчете мод, вместо часто используемого для слабонаправляющих световодов скалярного подхода. Однако, как было продемонстрировано (J. Riishede, 2003), скалярный КР-метод может использоваться для получения как минимум качественной оценки распределения мод ФКС, в том числе на основе эффекта фотонных запрещенных зон.
Для более точного анализа были предложены векторные конечно-разностные схемы (G.R. Hardley, 1994). Дискретизации подвергаются дифференциальные операторы и функции, входящие в уравнение Гельмгольца или стационарные волновые уравнения.
Результатом применения специальных конечно-разностных схем к нестационарным волновым уравнениям или уравнениям Максвелла является семейство методов распространения пучка (C.L. Хи, 1994). Суть методов состоит в моделировании распространения когерентного пучка света вдоль световода, в результате чего получают моды данной структуры, как бы апостериорно. С помощью метода удобно исследовать энергетические потери при прохождении излучения по световоду, хотя это может быть и затруднительно в связи с проблемой сходимости метода к устойчивому состоянию, а плохо сходящиеся результаты для многомодового световода будут получаться всякий раз, когда более одной моды достигают устойчивого состояния одновременно.
Рассмотрим подробнее пару методов расчета мод световодов из двух принципиально разных групп: приближенно-аналитический метод согласованных синусоидальных мод, и дифференциальный сеточный метод, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям. Эти два метода усовершенствованы в данной диссертационной работе.
Базовая идея ССМ-метода, также известного как техника поперечного резонанса, была впервые сформулирована в новаторской работе Унгера (H.G. Unger, 1966). Последующее развитие метод получил благодаря работам Пенга и Олинера (S.T. Peng, 1981), которые применяли его для расчета потерь излучения за счет вытекающих мод в ступенчатых световодах. Затем в работе Садбо (A.S. Sudbo, 1993) был введен описательный термин «согласование синусоидальных мод» и дана точная математическая формулировка. Несмотря на преимущества данного подхода, связанные с возможностями полного векторного анализа и непрерывным характером результирующего поля, ССМ-метод ранее не применялся для моделирования ФКС. Кроме того, в ССМ-методе процедуры поиска корней (нулей функции) как на начальном этапе отыскании локальных мод, так и при определении константы распространения, обладают существенным недостатком, а именно: возможен пропуск корней в том случае, если они располагаются вблизи друг друга или вблизи разрыва, на расстоянии меньшем шага дискретизации. Пропуск корней в первом случае ведет к неверному решению для пространственной моды, а во втором — и вовсе к ошибочному отрицанию факта существования моды световода с некоторым значением константы распространения. Поэтому в диссертационной работе ССМ-метод был модифицирован на этапе отыскания констант распространения с помощью итеративного метода Крылова решения нелинейной матричной задачи на собственные значения и вектора. А на этапе поиска локальных мод в диссертации предложен оригинальный «статистический» алгоритм нахождение корней характеристического уравнения.
За основу рассматриваемого конечно-разностного метода был взят подход, предложенный в работе Янг (R. Yang, 2004), где для расчета мод использовалась техника применения конечно-разностных аппроксимаций к стационарным векторным волновым уравнениям для монохроматического света. КР-метод выигрывает по скорости работы алгоритма у ССМ-метода, поскольку задача отыскания констант распространения и отсчетов сеточных решений для поперечных компонент электрической или магнитной составляющих напрямую сводится к линейной матричной задаче на собственные числа и вектора. В своей работе Янг приводит вывод только для электрической составляющей электромагнитного поля, хотя явный вид элементов матрицы не показан. Компоненты магнитной составляющей поля могут быть рассчитаны через компоненты электрической составляющей путем численного их дифференцирования, хотя это приведет к дополнительным ошибкам. В диссертационной работе сформулирована математическая задача расчета магнитной составляющей светового поля, и строится алгоритм ее решения. Полностью расписана структура матрицы линейной задачи на собственные значения и вектора для электрической составляющей. Совместное решение двух аналогичных, но независимых, задач для электрической и магнитной составляющих позволяет произвести внутренний контроль правильности работы метода путем сравнения значений констант распространения.
Каждый из двух рассмотренных методов позволяет производить полный векторный анализ мод ФКС. Сравнение результатов расчета мод двумя принципиально разными методами позволит говорить об их достоверности.
Целью диссертации является разработка двух численных методов расчета пространственных мод лазерного излучения фотонно кристаллических световодов, а также сравнение между собой пространственных мод, рассчитанных этими методами.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
• Разработать метод согласованных синусоидальных мод для расчета поперечных мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на итеративном методе Крылова решения нелинейной задачи поиска констант распространения мод. в Разработать метод расчета мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на применении конечно разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям и независимом решении задач расчета электрических и магнитных составляющих электромагнитного поля.
• Получить численные значения характеристик мод лазерного излучения, распределения их компонент в сечении фотонно-кристаллических световодов и провести сравнение результатов, полученных разными методами.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Разработан метод согласованных синусоидальных мод для расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, в котором задача поиска констант распространения мод решается как нелинейная задача на собственные значения с помощью итеративного метода Крылова.
2. Разработан метод расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, основанный на независимом решении двух линейных матричных задач на собственные значения, получаемых в результате применения конечно-разностных аппроксимаций к векторным волновым уравнениям относительно электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля.
3. С помощью разработанных методов проведено численное исследование модового состава оптических световодов с оболочкой в виде двумерного фотонного кристалла, с круглыми и квадратными отверстиями, расположенными в узлах гексагональной и квадратной решеток, с заполненным и полым сердечниками. Показано, что оба метода дают сходные результаты: значения рассчитанных констант распространения отличаются на величину порядка 10"3, а среднеквадратическое отклонение распределений амплитуд компонент поля по области сечения составляет менее одного процента. 4. Рассчитана зависимость дисперсионного параметра фотонно- кристаллических световодов от длины волны, и показано, что при выбранных параметрах световод с заполненным сердечником обладает нормальной дисперсией, а аналогичный световод с полым сердечником — аномальной. Световод из плавленого кварца с полым сердечником может обладать дифракционными потерями (0,1 дб/км) меньшими, чем потери за счет поглощения света (0,2 дб/км) в световоде с заполненным сердечником. Защищаемые положения:
• Метод согласованных синусоидальных мод, усовершенствованный итеративным алгоритмом Крылова позволяет без пропусков рассчитывать константы распространения пространственных мод фотонно-кристаллических световодов.
• Независимый расчет поперечных составляющих электрического и магнитного векторов электромагнитных полей мод фотонно-кристаллических световодов с помощью метода конечно-разностных аппроксимаций, применяемых к стационарным волновым уравнениям, позволяет получать одни и те же константы распространения мод, отличные друг от друга на доли процента.
• Основная мода моделируемого фотонно-кристаллического световода с квадратными отверстиями, расположенными вокруг сердечника, рассчитанная двумя разработанными методами отличается в среднем по сечению не более чем на один процент, а константа распространения отличается в третьем знаке после запятой.
• Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде Matlab дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа FIMMWAVE.
Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами:
• Разработанный метод согласованных синусоидальных мод позволяет получить в виде Фурье гармоник аналитическое описание любой составляющей любой собственной моды фотонно-кристаллического световода с произвольно заданным поперечным сечением.
• Разработанный метод расчета мод лазерного излучения, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям, позволяет быстро получать отсчеты амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мод световода с произвольным поперечным сечением.
• Оба метода позволяют рассчитывать дисперсионные кривые для ФКС с полым и заполненным сердечниками и определять области нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости света.
• Оба разработанных метода также позволяют с помощью дополнительного оптимизационного алгоритма проектировать профиль показателя преломления в сечении световода, который бы обеспечил заданный модовый состав с требуемыми свойствами.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на IV и V международных конференция молодых ученых и специалистов «Оптика -2005» и «Оптика - 2007», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г. Санкт-Петербург, октябрь 2005 и 2007гг.); на третьем Самарском региональном конкурсе-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике, - проводимом Самарским филиалом Физического института РАН (г. Самара, ноябрь 2005г.); на Всероссийском семинаре по моделированию, дифракционной оптике и обработке изображений, проводимом Самарским государственным аэрокосмическим университетом (г. Самара, июнь 2006г.); на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «ICO Topical Meeting on Optoinformatics», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г. Санкт-Петербург, сентябрь 2006г.).
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, 8 из которых опубликованы в научных журналах рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (95 наименований), приложения, изложенных на 149 страницах и содержит 45 рисунков.
Содержание работы.
Во Ведении обоснована актуальность выбранной темы диссертации. Сформулированы цели и задачи, сделан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам. Изложена научная новизна, практическая значимость, защищаемые положения, описаны содержание и структура диссертации.
В Главе 1 содержатся сведения о современном состоянии сферы проектирования, производства и применения фотонно-кристаллических световодов.
В Главе 2 рассмотрен метод согласованных синусоидальных мод, скалярный и векторный варианты. ССМ-метод, модифицированный на этапе решения нелинейной задачи на собственные значения, применяется для расчета собственных мод обычного волокна и ФКС.
В Главе 3 рассматривается альтернативный метод, основанный на конечно-разностных аппроксимациях производных, примененных к стационарным волновым уравнениям для монохроматического-светового поля. Полностью выписана матрица линейной задачи на собственные значения для уравнений относительно электрических составляющих электромагнитного поля. Проводится сравнение результатов, полученных в рамках данного подхода и аналитического решения для ступенчатых волокон с круглым сечением.
В Главе 4 рассматривается численное сравнение двух разработанных методов расчета пространственных мод друг с другом и коммерческой программой FIMMWAVE, а также другие вычислительные эксперименты по расчету модовых характеристик ФКС обоими методами. Показано, что ФКС с заполненным сердечником может обладать нормальной дисперсией, а ФКС с полым сердечником - аномальной.
В Заключении изложены основные результаты работы.
В Приложении приводятся формулы для расчета элементов матрицы линейной задачи на собственные значения для поперечных компонент вектора напряженности электрического поля из третьей главы.
Необычные свойства фотонно-кристаллических световодов
Так, ФКС могут быть одномодовыми в очень широком диапазоне длин волн [28]. Величина и наклон кривой дисперсии групповой скорости может сильно меняться в зависимости от геометрических параметров ФКС, что позволяет, например, сместить ее нулевое значение в область более коротких длин волн, чем у стекла, получить дисперсию с малым наклоном в достаточно широком диапазоне длин волн или требуемое значение дисперсии на заданной длине волны [29-33]. В работе [34] исследуется связь между эффективной площадью моды и дисперсией. ФКС, дисперсия которого может изменяться в широких пределах, за счет незначительного изменения показателя преломления материала, производимого фоточувствительным германием, присутствующим в составе в качестве добавки, предложен в работе [35]. Обладающие аномальной дисперсией групповой скорости ФКС могут быть использованы в качестве компенсаторов [36].
Анизотропия формы сечения ФКС, связанная, например, с использованием множественного дефекта для образования сердечника [17] или геометрически неправильных решеток периодической структуры оболочки, приводит к возникновению двулучепреломления — ортогонально поляризованные моды в таких световодах различаются постоянными распространения, т.е. проекциями на оптическую ось волнового вектора моды, эффективными модовыми индексами, групповыми скоростями, значениями дисперсии групповой скорости и другими параметрами. Структура ФКС позволяет достигать [12] больших, порядка 10", значений параметра двулучепреломления Ьп = \n ff -n ff\, где nxeff и nyeff — эффективные модовые индексы ортогонально поляризованных мод. ФКС со значительным двулучепреломлением привлекательны в плане их использования в оптических сенсорах. В таких световодах удается осуществить преобразование частоты лазерных импульсов и поляризационное управление явлением генерации суперконтинуума — искусственного белого света, получаемого в результате нелинейно-оптического преобразования сверхкоротких лазерных импульсов[37].
Масштабное преобразование геометрии одномодового ФКС позволяет изменять эффективную площадь моды в широких пределах (практически на два порядка), что дает возможность управления величиной нелинейных эффектов в ФКС [31,38]. ФКС с большой площадью моды позволяют достигать высоких энергий лазерных импульсов в волоконных лазерах и усилителях [15].
Оптические солитоны - важный класс объектов нелинейной оптики, используемых для передачи оптических сигналов на большие расстояния и позволяющих наблюдать новые нелинейно-оптические явления [39]. ФКС с полым сердечником позволяют сформировать устойчивые изолированные моды (солитоны) мощных сверхкоротких световых импульсов и осуществлять эффективные нелинейно-оптические преобразования таких полей [40]. Полые ФКС открывают широкие возможности для передачи нано- и пикосекундных импульсов высокой мощности для биомедицинских и технологических приложений [41].
Для целей передачи информации наиболее важной задачей является создание световодов, в которых удастся снизить затухание до величины меньшей фундаментального предела затухания обычных кварцевых световодов, порядка 0,2 дБ/км, определяемого рэлеевским рассеянием в материале волокна. Сердечник ФКС, действующего на основе эффекта полного внутреннего отражения, изготавливается из кварца, поэтому уменьшение затухания в них ниже фундаментального предела не возможно также как в обычных волокнах. Для ФКС, в основе действия которых лежит эффект фотонных запрещенных зон, в случае падения света с длиной волны, лежащей в запрещенной зоне полубесконечной периодической структуры оболочки, должно происходить полное отражение падающего света, но так как в реальных световодах количество периодических слоев ограничено, происходит частичное вытекание света из волокна. В работе [42] показано, что данные потери можно сократить до уровня ниже 0,01 дБ/км. Оптимизации слоев оболочки брэгговских волокон с точки зрения минимизации потерь посвящена работа [43]. Установлено[44], что значительный вклад в потери ФКС с полым сердечником вносит механизм рассеяния, основанный на перекачке энергии направляемых мод в поверхностные моды оболочки [45], которых нет в обычном кварцевом волокне, поэтому необходимо обеспечить отсутствие самих поверхностных мод [46,47] или, как минимум, чтобы в спектральной области фотонных запрещенных зон отсутствовал волновой синхронизм между направляемыми и поверхностными модами. Для волокон Брэгга, как показано в работе [48], общие потери можно снизить до уровня от 0,01 до 0,1 дБ/км, при использовании в оболочке материала с затуханием 10 дБ/км. Твердотельные световоды, обладающее лучшей устойчивостью к механическим воздействиям, по сравнению с полыми световодами, демонстрируют потери при распространении света порядка 2 дБ/км в случае использования вокруг каждого стержня дополнительного слоя с еще более низким показателем преломления, нежели основной материал оболочки [10].
Метод согласованных синусоидальных мод в скалярном случае
В соответствии со скалярным приближением моды заданной световодной структуры являются решениями уравнения Гельмгольца (2.3) в области ее сечения. Пусть справедливы предположения относительно возможности разбиения сечения световода на конечное число прямоугольных областей с постоянным значением показателя преломления среды, то есть мы рассматриваем световод с кусочно-постоянным заполнением поперечного сечения. На краях сечения подразумевается наличие электрических или магнитных стенок, обеспечивающих равенство нулю функции поля или ее производной при х = 0, у = 0, х = х(Л/+1), у = y(N+i).
Каждая из множества функций и[т)(х) удовлетворяет второму, а каждая из фкт)(у) — первому уравнению системы (2.11) в столбце т, то есть для х{" х х(т+1) и ут у у(ы+1\ причем в данной области все эти функции являются непрерывными вместе с первыми производными. Будем называть м[т)(х) и ф{кт) (у) локальными модами, а индекс к определяет номер локальной моды и напрямую связан с введенной соотношением (2.10) величиной кк, их взаимосвязь будет показана далее.
Каждое из значений к\ определяет локальную моду ФІт)(у) в w-ом столбце сечения световода. Точность построения поля по формуле (2.25) зависит от количества используемых локальных мод. Но как бы много мы их не взяли ( как бы много корней уравнения (2.34) не нашли), это всегда будет некоторое конечное число К. Поиск корней (2.34) осложняется тем, что их распределение внутри полуинтервала (-= ,k m] носит неравномерный характер. Для некоторых структур столбцов (особенно с многочисленным чередованием фрагментов с различными показателями преломления) два близких корня характеристического уравнения (2.34) могут отличаться на величину порядка 10"". Пропуск корней и, следовательно, соответствующих локальных мод в разложении (2.25) может привести к существенным искажениям результата.
Избежать пропуска корней и сократить количество вычислений позволяет следующий простой алгоритм адаптивного выбора шага при локализации корней характеристического уравнения. Этот алгоритм впервые предложен в диссертационной работе. Задается начальное (произвольное) значение шага L. Затем на действительной оси, начиная от к ж, в направлении убывания последовательно рассматриваются отрезки длины L. На каждом из них в Р, точках вычисляются значения левой части уравнения (2.34). Для совокупности полученных величин определяются статистические характеристики, например дисперсия и математическое ожидание. Далее на том же отрезке вычисляются значения левой части уравнения еще в Р2 точках, и для Рх + Р2 значений определяются те же статистические характеристики. Если относительное изменение дисперсии и математического ожидания не превосходит некоторого заранее определенного порога, производится локализация корней по найденным Рх + Р2 значениям, иначе исходный отрезок делится на части, для каждой из которых все операции повторяются.
Действуя по вышеописанному алгоритму, для каждого столбца сечения световода можно найти К значений kl и для каждого из них сконструировать функцию ф(у), которая будет удовлетворять (2.16) при данном kl.. Мы получили задачу (2.48), которая имеет только тривиальное решение U = 0, если det(A(z)) 0. Значение параметра kz, при котором существует не тривиальное решение, называется собственным числом матрицы А(кг).
Для каждого из найденных собственных значений к,, матрица A(kz) становится числовой, определив собственный вектор U, мы получаем некоторые из значений констант, необходимых для конструирования К функций вида (2.22). 2 4 и т = —Т и " + s U m r Таким образом, для каждого значения к. можно сконструировать К мод вида (2.22), объединив их с А"модами вида (2.17) (они одни и те же для разных к,) по формуле (2.25), получаем поле в сечении световода распространяющееся в направлении оси z, с проекцией к, волнового вектора на эту ось. 2.3 Метод согласованных синусоидальных мод в векторном случае Принципиальное отличие векторного случая от скалярного состоит в том, что необходимо рассматривать локальные моды двух различных поляризаций - ТЕ и ТМ, поскольку обе они вносят свой вклад в формирование гибридной моды световода.
Конечно-разностный метод для расчета магнитных полей мод световода
Как уже отмечалось в работе [11] не рассматривалась задача расчета магнитных составляющих мод ФКС, а в [91] эта проблема была рассмотрена позже, чем в работе автора [89 ].Однако, в данном случае под описанием электромагнитных полей на выходе алгоритма подразумеваются значения констант распространения и непосредственно отсчеты распределений электрических и магнитных компонент с теми же шагами дискретизации по осям, что и заданные пользователем на входе. Также как и в случае ССМ-метода характер моды: направляемая или вытекающая - можно определить по условию отсечки относительно константы распространения и, при необходимости, ограничить поиск собственных значений с целью получения, например, только направляемых мод.
Известным недостатком КР-метода является его чрезвычайная требовательность к ресурсам памяти. Проблема большой размерности матриц задач (3.13) и (3.23) в данном случае решается путем использования типа данных «разреженная матрица» для манипуляций с ними.
Стоит отметить, что, поскольку задачи (3.13) и (3.23) независимы друг от друга, то расчеты электрических и магнитных компонент одних и тех же пространственных мод световода могут выполняться отдельно, пересекаясь лишь в части дискретизации области сечения. Такое разделение также позволяет снизить затраты памяти в отличии от векторного случая ССМ-метода, где сокращение размерности задачи за счет исключения электрических или магнитных компонент невозможно.
В процедуре расчета мод можно выделить два основных этапа; получение матрицы задачи (3.13) или (3.23) и отыскание собственных значений этой матрицы. Причем одну и ту же матрицу, полученную для заданных шагов дискретизации по осям, можно использовать многократно для расчета большего числа мод.
КР-метод выигрывает у ССМ-метода по скорости работы алгоритма. Так на персональном компьютере с процессором AMD Athlon ХР 1900 МГц и объемом оперативной памяти 512 Мб получение каждой из матриц электрической или магнитной задач для сетки 104x104 занимает пять минут, а последующий расчет фундаментальной моды - около трех минут. Таким образом, все четыре поперечные компоненты фундаментальной моды могут быть рассчитаны за тринадцать минут, и это при том, что, как будет показано далее, в некоторых случаях точность представления сечения, соответствующая сетке, содержащей 104x104 узла, для ССМ-метода практически не достижима, ввиду чрезвычайно большого количества однородных областей и вычислительной сложности соответствующей нелинейной задачи на собственные значения.
Однако, как показано ниже, КР-метод не демонстрирует равномерной сходимости при увеличении точности представления структуры сечения световода (уменьшении шагов дискретизации), в отличии от ССМ-метода, где наблюдается быстрая сходимость выходного параметра — константы распространения, от входного параметра модели — количества локальных мод в столбцах. Выразив W через U и V и подставив вместо к2 выражение к2 =(k0nco+U/p)(k0nco-U/p), можно рассматривать характеристические уравнения как уравнения относительно параметра моды в сердечнике U. Согласно введенным в [87] обозначениям, каждой моде присваивается два индекса: v- порядок моды, т- номер корня соответствующего характеристического уравнения. При этом корни нумеруются так, чтобы т = 1 соответствовал наименьшему U. Условие отсечки U-V означает, что для направляемых мод решения характеристических уравнений следует искать только в области U V или, что то же самое, константы распространения направляемых мод должны лежать в интервале к0пс1 к: к0псо. Таким образом, если корень уравнения, определяющего отсечку соответствующей моды, не принадлежит области U V, то для световода с таким V эта мода не существует. Гибридная мода НЕи условия отсечки не имеет и следовательно существует всегда.
Круглый световод со ступенчатым профилем является одномодовым, то есть в нем распространяется только НЕи, если его волноводный параметр О V 2,405 . Когда определена константа распространения, собственно составляющие моды рассчитываются также по известным формулам [87]. Среднеквадратическое отклонение между двумя решениями для Еу, нормированными по интенсивности на единицу, по области IVIxW =14мкмх14мкм составило 0,0044 или 0,44%. Оба решения для Еу качественно совпадают с результатом, полученным ССМ-методом во второй главе, а относительное отклонение значений константы распространения находится в пределах сотых долей процента. Далее рассматривается круглый световод со ступенчатым профилем показателя преломления, ранее исследовавшийся в работе [11]: псо = 1,5 — в сердечнике и ис/ =1 - в оболочке, с радиусом сердечника гсо = 0,52мкм. Длина волны излучения в вакууме принимается равной Л0 = 1,55 мкм. Этот световод также является одномодовым, так как его волноводный параметр V = 2,357 2,405 .
На первый взгляд может показаться, что при моделировании круглых световодов КР-метод выигрывает у ССМ-метода, поскольку в последнем требуется аппроксимация круглого сердечника прямоугольными областями. В действительности, КР-метод с прямоугольной равномерной сеткой так же приближает непрерывное круглое волокно системой прямоугольников. Так в примере, рассмотренном в [11], в области расчета была задана сетка размером пх хпу =104x104 узлов.
Численное исследование методом согласованных синусоидальных мод влияния параметров отверстий фотонно-кристаллического световода на фундаментальную моду
Константы распространения к. являются выходным параметром работы алгоритма расчета, основанного на ССМ-методе, однако наиболее часто употребляемым для характеристики пространственных мод параметром является эффективный индекс моды, который является безразмерной величиной и вычисляется как отношение tt =kt/k0. Как следует из рисунков 4.5 и 4.6 в обоих случаях получены пространственные моды, удовлетворяющие граничным условиям, однако конфигурации распределения интенсивности мод для моделей 3 и 4 существенно различаются. А именно, моды модели 4 распространяются главным образом в сердечнике, тогда как некоторые из мод модели 3 распространяются исключительно в оболочке. Это объясняется наличием в структуре сечения модели 3 крупных однородных областей, помимо световедущей части, которые, как показывают расчеты, сами могут играть роль сердечника.
Так как рассмотренные ФКС имеют одинаковый сердечник, а различаются лишь способом чередования в оболочке областей, заполненных диэлектриком, и пустот (микроотверстий), то, очевидно, на форму распределения интенсивности собственных мод ФКС конфигурация оболочки оказывает существенное влияние.
Из диаграммы доли энергии скалярных мод, приходящейся на область сердечника каждого из ФСК, показанной на рисунке 4.7 следует, что, с точки зрения концентрации энергии мод в сердечнике, шахматное чередование микроотверстий и областей, заполненных диэлектриком (Рис. 4.46) оказывается более эффективным. Так видно, что вторая, четвертая и пятая моды ФКС, сечение которого изображено на рисунке 4.4а, распространяются практически полностью в оболочке.
Поскольку ССМ-метод расчета мод является приближенным, возникает вопрос о его сходимости. В частности о том, какое количество локальных мод нужно использовать для построения поля по формуле (2.25), чтобы результат был более или менее точным. То есть насколько большим должно быть число К, чтобы результат и сложность его получения были приемлемы. График на рисунке 4.8 демонстрирует сходимость получаемого значения константы распространения Аг фундаметнальной моды ФКС (модель 3) при увеличении количества локальных мод в столбцах К.
Далее проводится исследование влияния диаметра микроотверстий в структуре ФКС на распределение интенсивности фундаментальной моды. Как видно из рисунков 4.10 и 4.12, где изображены распределения интенсивности фундаментальных мод, рассчитанных скалярным ССМ-методом, для каждой из десяти моделей, уменьшение диаметра отверстий сопровождается «растеканием» энергии основной моды по области сечения в результате ее частичного выхода из сердечника в оболочку, вследствие повышения эффективного показателя преломления последней. Сравнение результатов расчета для моделей первого и второго типов световодов показывает, что в данном конкретном случае наличие микроотверстия в центре сердечника способствует выходу основной моды в оболочку, и влияние его на распределение интенсивности тем сильнее, чем больше его диаметр. Аналогичным образом размер центрального отверстия сказывается на величине эффективного индекса моды, а именно, наблюдается существенное расхождение в значении этого параметра для моделей первого и второго типов с диаметром отверстий d = Імкм, которое сокращается по мере уменьшения диаметра отверстий и практически сходит на нет для моделей с d = 0,1мкм. 4.2.3 Определение диапазона реализации одпомодового режима фотонно-кристаллического световода
Для ФКС, действующих на основе принципа полного внутреннего отражения, также как для обычных круглых волокон, может быть введено понятие частоты отсечки моды. Данные моды имеют схожие с соответствующими модами модели 2 из первой главы распределения интенсивности , но значения соответствующих эффективных индексов у них существенно отличаются. Моды модифицированной модели также более компактны, они располагаются исключительно внутри сердечника и не выходят в оболочку, что также характерно для мод ФКС, изображенного на рисунке 4.46. Это объясняется тем, что добавление микроотверстий в структуру оболочки привело к значительному понижению ее эффективного показателя преломления, в результате чего световод перестал быть слабонаправляющим. 4.3 Расчет мод фотонно-кристаллического световода с полым сердечником конечно-разностным методом На основе разностного решения векторного волнового уравнения для монохроматического электромагнитного излучения, которое сведено к решению линейной задачи на собственные вектора и собственные значения (КР-метод), рассчитаны распределения поперечных составляющих электрического вектора [93 ] (вектора напряженности электрического поля) для основной моды полого ФКС, изображенного на рисунке 4.16а. Расстояние между центрами отверстий Л и длина волны Я были выбраны таким образом, что их отношение 1 /Л равнялось 0,6. Коэффициент заполнения, равный отношению диаметра отверстия d к расстоянию между центрами соседних отверстий Л, составлял 0,85. Расчет проводился по области сечения, где была определена равномерная сетка размером 200x220, что обеспечило шаг дискретизации при построении результирующих компонент электромагнитного поля моды порядка 0,05Л.
Основная особенность ФКС с полым сердечником состоит в том, что распространение света в них реализуется несобственными модами, то есть модами с эффективными индексами удовлетворяющими условию: neff 1. В общем случае константа распространения к: является комплексной величиной, действительная часть которой отвечает за дисперсионные характеристики световода, а мнимая - за его модовые потери. Поэтому поиск собственных значений матрицы в случае ФКС с полым сердечником нужно производить среди множества комплексных чисел, а не среди множества действительных, как это было в рассмотренных ранее задачах.
