Аналитические методы расчета неоднородных оптических волноводов Могилевич Владимир Николаевич

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Могилевич Владимир Николаевич. Аналитические методы расчета неоднородных оптических волноводов : ил РГБ ОД 61:85-1/2632

Содержание к диссертации

Введение

Г Л А В А I. МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНЫХ СЛОЕВ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ СЛОИСТЫХ СРЕД 14

1.1. Исходное уравнение 14

1.2. Метод построения математических моделей неоднородных слоев 19

1.3. Гипергеометрическое уравнение Гаусса и обобщенные распределения Эпштейна-Эккарта и Пешля-Теллера 22

1.4. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта 29

1.5. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Пешля-Теллера 37

ГЛАВА II. ВОЛНОВОДНЫЕ СВОЙСТВА НЕОДНОРОДНЫХ СЛОЕВ 43

2.1. Волноводные слои в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта 43

2.1.1. Слой в переходной области двух диэлектриков 46

2.1.2. Слой в приповерхностной области диэлектрика 52

2.1.3. Волновод с непроницаемыми стенками 60

2.2. Волноводные слои в рамках обобщенного распределения Пешля-Теллера 67

2.2.1. Волновод с $ -образным распределением диэлектрической проницаемости 70

2.2.2. Слой в приповерхностной области диэлектрика 77

2.2.3. Волновод с непроницаемыми стенками 81

2.3. Об определении профилей диэлектрической проницаемости приповерхностных оптических волноводов 84

Г Л А В A III. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ТЕОРИИ КАНАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ 92

3.1. Исходное уравнение 92

3.2. Вариационный метод разделения переменных. Анализ некоторых аналитических методов расчета в рамках вариационного подхода 99

3.3. Сопоставительный анализ аналитических методов расчета волноводов на конкретных примерах 104

3.3.1. Волноводы прямоугольного сечения 108

3.3.2. Модель градиентного волновода ИЗ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 124

ЛИТЕРАТУРА

Исходное уравнение
Волноводные слои в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта
Вариационный метод разделения переменных. Анализ некоторых аналитических методов расчета в рамках вариационного подхода

Введение к работе

Неоднородные диэлектрические волноводы находят ныне все более широкое применение в таких быстро развивающихся областях прикладных исследований, как волоконная и интегральная оптика, ближайшей целью которых является создание широкополосных, слаб о подверженных внешним воздействиям^оптических систем связи и обработки информации \l-&\ .

Современная технология, основывающаяся на использовании процессов термо- и электродиффузии, ионного обмена, эффузии и других J7-I4J , позволяет получать волноводы с низкими световыми потерями в диэлектриках с электро-, акусто-, нелинейно-оптическими свойствами. Благодаря этому стало принципиально возможным -создание на основе неоднородных волноводов высококачественных интегрально-оптических устройств передачи и обработки информации, закодированной в оптическом излучении ІІ5-2І] . Возникла потребность в надежных, по-возможности простых, аналитических методах расчета электродинамических характеристик неоднородных волноводов, без знания которых оказался невозможным расчет и оптимизация интегрально-оптических устройств.

Под расчетом диэлектрического волновода подразумевается решение граничной электродинамической задачи при заданном виде зависимости диэлектрической проницаемости волновода от пространственных (поперечных) координат ( х и у ). Данная задача не поддается строгому аналитическому решению в общем виде. Поэтому для ее решения используются численные подходы, основывающиеся на применении вариационной процедуры Релея-Ритца (см., например, [94,98,99j ) и приближенные [95-97,100,102], сводящие анализ того или иного волновода к расчету пленарных волноводов. Численные подходы позволяют рассчитывать электродинамические характерне- тики разнообразных волноводов с практически любой требуемой точностью, но реализация их требует больших затрат машинного времени ЭВМ. Поэтому численные подходы применяются преимущественно для получения некоторых реперних данных, служащих для контроля точности относительно простых приближенных подходов. Оптические волноводы относят к слабонеоднородным средам, описание электромагнитных свойств которых проводится в рамках обычного скалярного волнового уравнения [91,94] . В его рамках отмечавшиеся выше приближенные подходы J95,96,I00,I02J выглядят как методы приближенного разделения переменных X и У , основанные на замене исходного распределения С X, и ) приближенным (Х,і^)=(Х,їр-і-(х,у)- 6(Я\ір . Последнее представляет собой приближенное разложение б(х,и) в ряд Тейлора в окрестности точки (Х,у) . Отличие методов заключается в выборе этой точки, а точнее ортогональных сечений Х=х и U-J ,в которых 6 (X, if )= -(Х,^). В методах [95,96,100J, раз витых для планарных волноводов конечной ширины й ( (Х,у)=(х,о)при \Ц\< d/2. ), одно из сечений Ц - Ц фиксировано (U = 0) , а другое X = х выбирается либо проходящим через центр волноводной области [95] , либо касательным к линии поворота анализируемой моды [96J , либо из условия минимизации поправки к постоянной распространения анализируемой моды в первом порядке теории возмущений [lOOJ . Все три подхода являются асимптотически точными, т.е. приводят к результатам тем более точным, чем выше степень локализации анализируемых мод или чем больше ширина І анализируемого волновода. Вместе с тем по точности описания слаболокализованных мод выигрывает метод [lOOJ , приводящий к результатам [iOIJ , находящимся в лучшем согласии с известными численными и экспериментальными данными. В работе [l02j данный метод обобщен на случай расчета оптических волноводов диффузионного типа, характеризующихся функцией распределения скачка диэлектрической проницаемости в виде произведения ^(х) 1_г(Ц) Дисперсионные кривые для эллиптического волокна гауссова профиля диэлектрической проницаемости, рассчитанные этим методом JI03J , практически не отличимы от ре-перных [94 J . Это свидетельствует не только о высокой точности подхода, развитого в работах [l00,I02J , но и о существовании оптимального метода приближенного разделения переменных в волновом уравнении, не связанного с конкретным видом диэлектрической проницаемости (X,U) . Задача поиска такого метода являлась одной из решаемых в настоящей работе.

Использование методов приближенного разделения переменных позволяет свести расчет оптического волновода к решению задач типа

Штурма-Лиувилля -j^4²g(x)J y(*)4fq>(*), Сол) где кип- постоянные, связь между которыми подлежит установлению. Следующий шаг состоит в решении уравнения (0.1), которое пока еще не решено в общем виде, несмотря на широкую распространенность в физике. К решению уравнения (0.1) сводится анализ планарных оптических волноводов І22-25] , исследование распространения электромагнитных и упругих волн в слоистых средах [26J , расчет стационарных состояний некоторых квантовомеханических систем [27-29] .

Наиболее общим и относительно простым подходом к решению уравнения (0.1) является использование так называемого ВКБ -приближения [зо] . Данный подход хорошо зарекомендовал себя в решении задач расчета многомодовых планарных оптических волноводов [зо-зб] . Дисперсионное ВКБ-уравнение лежит в основе вол-новодного метода восстановления профилей диэлектрической проницаемости ё(Х) приповерхностных волноводов [37,38] , получае- мых диффузионными методами. Однако точность ВКБ-приближения ухудшается при переходе к маломодовым волноводам и оно практически не применимо для расчета одномодовых волноводов, представляющих наибольший интерес для прикладных целей.

Распространенным подходом к расчету маломодовых волноводов является использование модельных распределений (*) для аппроксимаций профилей диэлектрической проницаемости волноводов. В его рамках исследуемый волновод разбивается на слои, в пределах которых профиль диэлектрической проницаемости аппроксимируется отрезком той или иной модельной зависимости (х) , допускающей строгое аналитическое решение уравнения (0.1). Задача расчета сводится к согласованию известных решений на границах слоев. В качестве модельных распределений &(Х) используются постоянное (кусочно-постоянная аппроксимация j_39J ) либо линейное (кусочно-линейная аппроксимация [40J ). Точность расчетов повышается с увеличением числа разбиений, но при этом растет и объем вычислений, которые проводятся на ЭВМ. Число разбиений можно уменьшить без потери точности путем использования многопараметрических моделей і (X) , например, трехпараметрических параболического и экспоненциального распределений, нашедших широкое применение для моделирования профилей диффузионных планарных волноводов I4I-46J-Использование многопараметрических распределений позволяет порой ограничиваться двумя разбиениями (например, воздух-волновод-ная область с параболическим профилем-подложка |4б1 ) или вообще одним (например, воздух-волноводная область с экспоненциальным распределением 6(Х) , спадающим к проницаемости подложки [42] ). При этом очевидно упрощается расчет оптического волновода и становится элементарным,когда его профиль удается аппроксимировать в целом одной модельной зависимостью (*; . В качество ве примера можно назвать распределение Эпштейна или Эккарта,' использующееся в целом для аппроксимаций профилей диэлектрической проницаемости волноводных слоев в р-п - переходе инжекционных лазеров J47-50J . Число физически приемлемых распределений (*), описывающих сразу всю волноводную структуру и при этом допускающих известные аналитические решения задачи (0.1), ограничено. К таким (Х) можно отнести известные в литературе {26-29J распределения Эпштейна или Эккарта, Пешля-Теллера, Морса или биэкспоненциальное, Кратцера и параболическое. Все эти распределения принадлежат к классу зависимостей (Х) , допускающих решение уравнения С0.І) в функциях гипергеометрического типа. Наиболее полный перечень таких распределений с применением их в квантовой механике приведен в работе Jj69j . Представляется естественным, с одной стороны, применить известные в квантовой механике результаты к расчету оптических волноводов, а с другой стороны выяснить:исчерпываются ли известными распределениями (X) все физически приемлемые зависимости, допускающие решение задачи (0.1) в известных функциях. Соответствующее рассмотрение проведено в настоящей работе.

Целью работы является исследование возможностей строгого аналитического решения волноводной задачи для планарных неоднородных волноводов и последующее развитие приближенных аналитических методов расчета оптических волноводов канального типа.

В соответствии с поставленной целью в работе получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту.

I. Установлено, что из класса зависимостей 6 (X) , допускающих решение задачи Штурма-Лиувилля (0.1) в гипергеометрических функциях Гаусса, требованию независимости (Х) от параметров к и

Распределения Эпштейна и Эккарта представляют собой различные формы записи одной зависимости (х) (см. 1.4 настоящей работы).

П задачи удовлетворяют только два пятипараметрических распределения _(х). **» _ _|і ₊ &!«?_C{h(f Jig!}* J±dlf ($- (0.2) i(x)-3-6<-₂₊6,4h¹(3rⁱT^L>_i-clh²(9T-ⁱrⁱ⁵), (0.3)

Показано, что функции (0.2), (0.3) содержат все известные в литературе модели (Х) , удовлетворяющие указанному требованию и допускающие решение задачи (0.1) в функциях гипергеометрического типа.

II. В рамках распределений (0.2) и (0.3) проанализированы волноводные свойства слоев: в переходной области двух диэлектри ков; в приповерхностной области диэлектрика; с $ - образным распределением диэлектрической проницаемости, а также неоднород ных волноводов с непроницаемыми стенками.

III. Предложен метод восстановления профилей диэлектрической проницаемости маломодовых (в том числе и одномодовых) приповерх ностных оптических волноводов. Эффективность метода проиллюстри рована на примерах определения профилей ионно-обменных приповерх ностных волноводов.

IV. Развит вариационный метод приближенного разделения пере менных в задаче о направляемых модах канальных оптических волно водов, обеспечивающий оптимальное сведение данной задачи к одно мерным задачам Штурма-Лиувилля. Установлено, что метод является аналогом известного в квантовой механике приближения самосогла сованного поля Хартри-Фока. Проведен сопоставительный анализ различных методов расчета канальных волноводов на примерах вол новодов прямоугольного сечения и эллиптических волокон гауссова профиля диэлектрической проницаемости.

Диссертация состоит из данного введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 104 наименований. Работа содержит 16 рисунков, I таблицу и 106 страниц машинописного текста. Всего пронумеровано 136 страниц.

Первая глава посвящена исследованию возможностей расширения класса моделей неоднородных слоев в электромагнитной теории слоистых сред, в I.I система векторных уравнений Максвелла для слоистой среды сведена к независимым скалярным уравнениям для двух типов волн. Показано, что анализ собственных волн слоистой среды подразумевает решение одномерных задач Штурма-Лиувилля типа (0.1). В 1.2 изложены общие соображения относительно методики построения физически приемлемых зависимостей (х) , допускающих решение уравнения (0.1) в известных функциях. Общие соображения 1.2 реализованы в 1.3, где построены пятипараметричес-кие распределения (0.2), (0.3), допускающие решение уравнения (0.1) в гипергеометрических функциях Гаусса. В 1.4 проведен анализ распределения (0.2) с целью выяснения возможностей использования его для моделирования неоднородных слоев и прежде всего волноводных слоев в непоглощающих средах. Показано, что оно приводит к трем различным четырехпараметрическим моделям непоглощающей непрерывно-слоистой среды, одной из которых является известная модель Эпштейна или Эккарта. В этой связи распределение (0.2) названо обобщенным распределением Эпштейна-Эккарта. Показано, что частными или предельными случаями (0.2) являются также известные трех- и двух- параметрические распределения Морса, Кратцера, Хюльтена, Вуда-Саксона, экспоненциальное, параболическое, линейное, принадлежащие к классу зависимостей (xj,допускающих решение уравнения (0.1) в функциях гипергеометрического типа. В 1.5 проведен аналогичный анализ распределения (0.3). Приведены его частные и предельные случаи, наиболее общим из - II - которых является четырехпараметрическое распределение Пешля-Тел-лера. В этой связи (0.3) названо обобщенным распределением Пеш-ля-Теллера.

Вторая глава посвящена анализу планарных оптических волноводов, моделирующихся распределениями (0.2) и (0.3) и разработке . метода определения профилей диэлектрической проницаемости мало-модовых приповерхностных волноводов. В 2.1 получено строгое аналитическое решение задачи Штурма-Лиувилля для обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта. Проанализированы волноводные слои в переходной области двух диэлектриков, в приповерхностной области диэлектрика и некоторые другие, моделирующиеся распределением (0.2). Приведены предельные переходы, сводящие найденные решения задачи (0.1) для распределения (0.2) к известным в литературе решениям для распределений Морса, Кратцера, параболического и некоторых других. Дана физическая интерпретация предельных переходов. В 2.2 решена задача Штурма-Лиувилля для обобщенного распределения Пешля-Теллера. Проанализированы волноводные слои с $ -образным распределением диэлектрической проницаемости и - в приповерхностной области диэлектрика, а также некоторые другие, моделирующиеся распределением (0.3). Приведены предельные переходы, сводящие решения задачи (0.1) для распределения (0.3) к решениям для распределений Морса, параболического и некоторых других предельных случаев (0.3). Дана физическая интерпретация предельных переходов. В 2.3 изложен волноводный метод восстановления профилей диэлектрической проницаемости ма-ломодовых приповерхностных оптических волноводов. Эффективность метода проиллюстрирована экспериментальными примерами.

В третьей главе рассмотрены вопросы расчета электродинамических характеристик канальных оптических волноводов. В 3.1 система векторных уравнений Максвелла для двумерно-неоднородной среды, слабонеоднородной в одном из направлений, сведена к независимым скалярным уравнениям для двух типов волн. Показано, что расчет канального оптического волновода подразумевает решение двумерной задачи Штурма-Лиувилля. В 3.2 изложен вариационный метод приближенного разделения переменных в данной задаче, обеспечивающий оптимальное сведение ее к одномерным задачам Штурма-Лиувилля типа СОЛ). Метод является аналогом известного в квантовой механике приближения самосогласованного поля Хартри-Фока. Дана трактовка некоторых распространенных подходов к расчету канальных оптических волноводов как методов приближенного разделения переменных в двумерной задаче Штурма-Лиувилля. В 3.3 проведен сопоставительный анализ различных методов расчета на примерах волноводов, характеризующихся функцией распределения скачка диэлектрической проницаемости в виде произведения ^(х)-^(^). Рассмотрены волноводы прямоугольного сечения и модель градиентного волновода,близкого к эллиптическому волокну гауссова профиля.

Показано, что на классе известных методов приближенного разделения переменных вариационный метод является оптимальным, то есть приводит к результатам,наиболее полно согласующимся с известными численными данными.

В заключении приведены основные результаты настоящей работы.

Материалы работы докладывались на I Всесоюзной конференции по радиооптике (Фрунзе, 1981 г.), III Всесоюзной конференции "Волоконно-оптические линии связи" (Москва, 1981 г.), Международном конгрессе по прикладной оптике (Прага, 1981 г.), УІІ Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Львов, 1981 г.), Международной конференции и школе "Лазеры и применения" (Бухарест, 1982 г.), УІІ Белорусской конференции молодых ученых по физике (Могилев, 1982 г.) и опубликованы в работах [l0, 51-53, 72-76, 104], - ІЗ -

Работы [51-53,72,104] написаны в соавторстве с Гончаренко A.M., Карпенко В.A. (a j_I04J - Сотским А.Б.), которые принимали участие в постановке задач и анализе полученных результатов. Работа J76J выполнена в соавторстве с Войтенковым А.И., которому принадлежит экспериментальная часть работы. В обзорном докладе автором написана теоретическая часть, касающаяся вопросов моделирования профилей диэлектрической проницаемости планарных оптических волноводов. Работы [73-75J выполнены автором самостоятельно.

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю лауреату Государственной премии БССР, академику АН БССР, доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному деятелю науки БССР Гончаренко A.M. за первоначальную постановку задачи, поддержку и постоянное внимание к работе. Автор искренне благодарен лауреату Государственной премии БССР, кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Карпенко В.А. за поддержку и плодотворное сотрудничество, а также кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Сотскому А.Б. за полезные обсуждения.

Г Л А В A I

МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНЫХ СЛОЕВ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ СЛОИСТЫХ СРЕД

Данная глава содержит необходимый математический аппарат для решения задач распространения электромагнитных волн в слоистых средах. Здесь использованы потенциальные функции, позволяющие свести векторную систему уравнений Максвелла к независимым волновым уравнениям для двух типов волн в слоистых средах. Далее развит метод построения математических моделей неоднородных слоев. Метод применен для построения моделей диэлектрических слоев, допускающих решение обычного волнового уравнения в гипергеометрических функциях Гаусса. Построены две пятипараметричес-ких модели, являющиеся обобщением известных моделей Этптейна, Эккарта и Пешля-Теллера. Показано, что все известные модели неоднородных слоев, допускающие решение волнового уравнения в функциях гипергеометрического типа, следуют из найденных двух в результате определенных предельных переходов.

Основные результаты главы опубликованы в работах [І5І-53] .

1.1. Исходное уравнение

В рамках классической электродинамики электромагнитное поле в линейных, слабодиспергирующих, неоднородных средах характеризуется векторами напряженности электрического Е и магнитногоН поля, а свойства сред - относительными диэлектрической 8 и магнитной U проницаемостями. Проницаемости 6 и а обычно считаются заданными функциями пространственных координат х , tj ,2, а изменение векторов Е и Н в пространстве и со временем "t описывается уравнениями Максвелла

УхН=6об-ц-Е , _ 57xE = -jioji-jprH, CI.I.I) 7ЄобЕ-0, 7jXojiH-0. Ц.І.2)

Здесь бо и Jio- диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума, V - векторный дифференциальный оператор трехмерного градиента-7 = (9/dЛ, 3/tty ,9/(]fc).

Система уравнений CI.I.I), (I.I.2) в общем случае имеет два класса решений, которыми характеризуются два типа волн различной поляризации. Простота описания типов волн во многом зависит от удачного выбора вспомогательных или потенциальных функций, через которые выражаются поля волн и относительно которых удается получить независимые волновые уравнения.

Проницаемости 6- 6(Х), \L= М-(Л) слоистых сред испытывают пространственные изменения только в зависимости от одной поперечной координаты X . В этом случае выполняются коммутационные соотношения yXL6 = 6V*i_; 7A.LJA= рУ^хЬ (I.I.3) где і - единичный вектор направления оси х и, как показано в работе [54J , можно ввести две потенциальные функции 1р и ф по формулам ^{i=aTY^iip+3^?x7^kv,} ^ид.4)

В таком представлении векторов Е и Н уравнения (I.1.2) системы уравнений Максвелла выполняются автоматически, а уравнения (I.I.) сводятся соответственно к волновым уравнениям (Z jITfl Y- Sob-g^r) (1.1.6) (?e^?-R|^)Y ⁼ ⁰- u.i.7)

Независимость этих уравнений указывает на независимость типов волн, описываемых ими. Волны первого типа полностью характеризуются потенциальной функцией if , подчинённой уравнению (I.I.6), поскольку поля волн определяются дифференцированием у по формулам (1.1.4), (1.1.5) при ^-0» Соответственно волны второго типа описываются уравнением (I.I.7) и формулами (I.I.4), (I.I.5) при <^=0. Любое поле в слоистой среде представляется суперпозицией полей этих двух типов.

Поляризация двух типов волн в слоистой среде вполне определена и связана с характерным направлением L. изменения свойств среды. У волн первого типа отсутствует компонента вектора Е напряженности электрического поля в направлении L. , у волн второго типа - аналогичная компонента вектора Н напряженности магнитного поля. Два типа волн в общем случае не вырождены, поскольку описываются различными уравнениями (I.I.6), (I.I.7).

Как формулы (I.I.4), (1.1.5), так и уравнения (I.I.6), (I.I.7) при замене Єоб^-Jloji , if = ф/Е ^Н (I.I.8) просто меняются местами, что является следствием инвариантности уравнений Максвелла (I.I.I), (I.I.2) относительно этой замены. С математической точки зрения уравнения (I.I.6), (I.I.7) отличаются только обозначениями коэффициентов и искомых функций, поэтому если не конкретизировать явный вид проницаемостей6=<5(х) и U -JU^X) , то можно ограничиваться анализом одного из них. Рассмотрим уравнение (I.I.6). Его частные решения будем искать методом разделения переменных в виде гармонических волн у= If (X) -Ф([|,2)' ЄХр(-іоН) (I.I.9) где СО- (бо До) » k - волновое число вакуума. После подстановки выражения (I.I.9) в уравнение (I.I.6) и разделения переменных X и U , соответственно получаем следующие уравнения для функций у(Х) иФ(^,2): (^1-^^^(1),2)^0, CI.I.II) где п - постоянная разделения. В случае двумерных волн(и/оиЕО) решение уравнения (ІЛЛІ) имеет вид

Ф(г)»ехр(ік*), (І.І.І2) а постоянная П имеет смысл продольной постоянной распространения волны.

Рассмотрим уравнение (1.1.10). Его решениями, удовлетворяющими условию ограниченности [55] |у(х-*±~)| < Cons*, (І.І.ІЗ) характеризуются собственные волны слоистой среды, которые принято разделять на волны излучения и направляемые волны. Последние называются также волноводными модами. Они локализуются вблизи области с повышенным значением показателя преломления П=(6 U) слоистой среды и описываются решениями уравнения (1.1.10), удовлетворяющими предельным условиям j~55J (j?(X— ±~>) — О, (I.I.I4) называемым условиями волноводности.

Уравнение (І.І.І0) справедливо как для непрерывных, так и для кусочно-непрерывных слоистых сред. В областях, где функции

6(Х)и (1(Х) дважды дифференцируемы, уравнение (1.1.10) преобразуется к нормальной форме (^+1^,^)^^)=0, ' ^Ц'^1Д5) где K(,U) - эффективное волновое число:

К*С. Ji)= t^a6Jl - JX*--^ Jl" ^,/а . ^(ІЛЛ6)

На границах жеХ = Х_т разрыва непрерывности должны выполняться граничные условия _{_ М Al}

ДІЛ.17) f(V0)^(V0),i| -jf

Таким образом, задача о распространении волн в слоистой среде сводится прежде всего к нахождению решений основных уравнений - (1.1.15) и вытекающего из него в результате замены (І.І.8) уравнения (-^ + K*(ji,6)-tf)e ^VaY(x) = 0, Ci.i.18)

Эти уравнения в общем случае не поддаются решению в известных функциях. Строгое решение возможно лишь для некоторых модельных зависимостей R(S,U) и К (U ,&) , допускающих сведение уравнений (I.I.I5) и CI.I.I8) к уравнениям, хорошо изученным в математике, например, к уравнениям гипергеометрического типа {j56j . В последующих параграфах данной главы мы изложим метод построения таких зависимостей. При этом из соображений наглядности мы ограничимся анализом одного уравнения (I.1.15) для случая немагнитных сред - as I. Кроме того, будем считать, что среды являются недиспергирующими и значит диэлектрическая проницаемость = (X) не зависит от волнового числа R .

1.2. Метод построения математических моделей неоднородных слоев

В этом параграфе изложим кратко некоторые общие соображения относительно методики отыскания физически приемлемых распределений = 6 (X) , допускающих решение уравнения (^ + k*(X)-h^a) у(Х) = 0 U.2.1) в известных функциях. При этом под физически приемлемой будем понимать любую двух- или многопараметрическую функцию (Х) , параметры которой не зависят от постоянных R и h . Кроме того будем считать, что 6(Х) допускает представление в неявном виде

6=&(f), A-X(f) , (1-2.2) где Х(^) - взаимно-однозначная аналитическая функция.

Перейдем в уравнении (1.2Л) к новой независимой переменной и к новой искомой функции ФЦ) по формулам ІХ - < ^ (1.2.3) _d* ⁼ _Щ) _' _Ч~ _Ф,(?)

В результате этого преобразования уравнение (1.2Л) приобретает вид ^)^^-^^^. а.,₄) а после использования известных формул дифференцирования dtv d^ ^т &ї ) ^%df ^r df > ^(І,2-^б) записывается в приведенной или нормальной форме (^Г + ГЦ))Ф(^0, (1.2.7) ^где f&te-li ^ Л^аФ.с» ^р(^~ Ф„⁴Ц) " ФЛ) df ^CI-²-⁸⁾

Пусть функция р(^) относится к классу допускающих строгое аналитическое решение уравнения (1.2.7) в известных функциях. Тогда, задавая различным образом функцию ф₀^), по формулам (1.2.8), (1.2.3) можно находить различные распределения (1.2.2), для которых решения уравнения (I.2.I) будут выражаться через решения уравнения (1.2.7). По такой схеме, собственно, и находятся распределения 6= (Х) » допускающие решение уравнения (I.2.I) в известных функциях. Однако, как нетрудно видеть из (1.2.8), в найденные таким образом распределения 6(Х) могут входить постоянные к. и h и поэтому не все из них могут служить в качестве физически приемлемых моделей неоднородных слоев.

Требование независимости () , а следовательно и Х(^), Ф₀^) от постоянных ft и п накладывает ограничения на вид функций Г(^) , пригодных для построения на их основе физически приемлемых моделей неоднородных слоев. В соответствии с формулой (1.2.8), Р(^) представляется линейной суперпозицией трех функций _{А - -L-} _{_ _1_} _М. ₍₁_, _о, ^{Ф.*ф ' Ф.*ф ' Ф.(|> df} ^С ^' с произвольными коэффициентами R и h² , причем ни К , ни П не входят ни в одну из этих функций. В этой связи Р{Ь) должна выбираться заведомо двухпараметрической, вида

14^)=1^) + а, r%ф + сиг\ф , а.2.ю) где 011 , 0-2- произвольные параметры, не входящие ни в одну из - 21 .- функций l₀(^) ,^(^) » Гз.(^) . Тогда, благодаря произвольности параметров 0,^ , &_l , им можно придать смысл постоянных к~ и h соответственно или их линейных комбинаций a_m=a_m-(-!r)V(Yf<>_m, m-4,2, ⁽^І-^2ЛІ) где Q. m і U »бш - новые произвольные параметры, 01 - произвольный масштаб. В результате для нахождения физически приемлемых распределений (1.2.2) получается система трех соотношений ^k^~{V) (*'» ⁺ **'^г*Ч>)> CI.2.I3)

Из первых двух соотношений (1.2.12), (1.2.13) легко находятся выражения для (^) и Чъ(^) соответственно ti- lMS) + 6a-IMf) (1.2.15) а третье, после подстановки в него функции Фо(^) , приобретает вид (Al⁺ Щ^-Щ^іС^ібА^Л^ ^0,(1.2.17)

При заданном виде зависимостей Р₀ (?) » ft (І) ^и Іа(^) соотношение (І.2.17) представляет собой условие, наложенное на параметры CLi » йг » Си » (5г. То есть, помимо того, что функция Р(^) должна представляться линейной суперпозицией (1.2.10), должен также существовать по крайней мере один набор параметров (Ь , CU

6і вг. » при которых (1.2.17) выполняется тождественно при любых ^ . Если такой набор существует, то соответствующее ему распределение С1.2.2) задается формулами (1.2.15) и

ЗГ-^р=5(--С)1Г1^)-агРгЧ))^(1^ (1.2.18) где Хо - произвольная постоянная.

Изложенные здесь общие соображения применим-в следующем параграфе для отыскания физически приемлемых распределений (Х), допускающих решение уравнения (І.2.І) в гипергеометрических функциях Гаусса. При этом предварительно обсудим некоторые основные свойства его решений, которые неоднократно будут использованы в дальнейшем.

1.3. Гипергеометрическое уравнение Гаусса и обобщенные распределения Эпштейна-Эккарта и Пешля-Теллера

Гипергеометрическое уравнение Гаусса в справочной литературе j_57j приводится в виде dp ? V<) df ⁺ tw/^k^~^0? где oC , 6 , X - произвольные параметры. Оно является наиболее общим из уравнений гипергеометрического типа, к числу которых относятся уравнения Бесселя, Лежандра, Уиттекера и некоторые другие [56J . Все эти уравнения могут быть получены из (I.3.I) путем определенных линейных преобразований и введением связей между параметрами оС , В и J* Гбб J .

Гипергеометрическое уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с тремя изолированными особыми точками = 0; I и ^ . Его линейно-независимые решения в окрестностях этих точек выражаются через гипергеомет- - 23 - \ рические функции, свойства которых хорошо изучены в математике 156-58] . Так, гипергеометрическая функция гг- I² Г(оип)Т(В+п)-Г(ГК^п F.c^)=F^;p;t;^)=> г—г -— . U.3.2) является решением уравнения (1.3.1), регулярным в точке ^ в 0. Здесь Г(<) - гамма-функция, сингулярная приоС=-1п , її] « 0, I, 2, ... и удовлетворяющая функциональному уравнению

Г{А+1) = Л-Г(ск) . (1.3.3)

ПрИоС=~т гипергеометрический ряд (1.3.2) обрывается и становится полиномом степени m относительно ^ L58J : ^р^;т^=т^ ^{Н) 'd^lf "И) )і.з.4)

Известно всего 24 решения Куммера [58] для гипергеометрического уравнения Гаусса. В качестве линейно-независимых от F,(fc) может, в частности, выступать одно из решений вида F₃ф= FC^p;^+рН-аг; -/-^), _цз5) F6^) = (-^)"^P-Fcji,J5^-j^,;ji4^-_dc;f^<).

Любые три из функций Fi () » э F₆ (^) связаны друг с другом линейным соотношением с постоянными коэффициентами j_58J (1.3.6) г шшьш.р- Г(г-ю-Г(^-у; г

Г(2-У)Т(Р^) ^ Г(2-П-ГЫ-Р) ' L Ri-6^^;

Эти соотношения справедливы для всех значений d , J5 , jf ,для которых гамма-множители, стоящие в числителях, конечны, и для всех значений , для которых соответствующие ряды сходятся, причем Jm^<0 . Если3т^>0 , то знак в экспоненциальном множителе формулы (1.3.7) должен быть изменен на противоположный. Преобразование

Рф = ^._с^_г^-<г-и)/г._фш ₍₁_з_₈₎ приводит гипергеометрическое уравнение (I.3.I) к нормальной форме (Л+ U-tf-i (Hfn _ (^р-«^а-Аф _n (1.3.9) Uf Ци-ty *ї^г(Н) АЦі-Ч;)*-Г "У-"

Из сравнения этого уравнения с (1.2.7) видно, что функция Г(Б) в данном случае представляет собой суперпозицию трех линейно-независимых функций і _ _J -/

4-UH) ' Ч^г(^)' 4^(1-^ с произвольными коэффициентами u-яН и-і)^г-<, (*+р-у)Ч и поэтому удовлетворяет необходимому условию пригодности для построения на ее основе физически приемлемых распределений (1.2.2).

Полагая, в соответствии с (1.2.II), (*-j»S (^-(^( - сг^сг'НнН^ЙЯ^, «.зло) и переходя в уравнении (1.3.9) к новой независимой переменной X и к новой искомой функции ^(Х) по формулам (1.2.3), получим волновое уравнение (I.2.1), в котором диэлектрическая проницае-мостьб'-бС^) >*⁼ХЦ) имеет вид ⁶Ф ⁼ <5ffC1-f)-6a(1-^)-6₃f ' (1.3.II) ^(Ц. (I.3.12)

При этом параметры б< , 6г , 6з являются произвольными, а параметры (5-і , СГа >бз должны определяться из условия совместности системы уравнений cpW-f-)*. 4W-V¹ , «.зла)

Уравнение (І.3.14) представляет собой нормальную форму гипергеометрического уравнения Гаусса (І.З.ІГ, в котором параметры о(. ,В, J" заменены соответственно на оС , J3 и J , поэтому, в соответствие с формулой (1.3.8), его решение записывается в виде г^^-,Г^т/Ьч^у^ _С131И где А , В - произвольные постоянные. Подставляя (1.3.15) в (1.3.13), получаем равенство (1.3.16) +В V"^?- F с*ч-і, И-f; 2-f ;f)]4f)Y^(,^Hf^(W). которое должно выполняться тождественно при любом , что возможно лишь при вполне определенных наборах значений параметров Си » (Та. » бз» < » ]ї » J ^и постоянных А , В . Так, полагая

АЧхУ^/2 /В=0,ос = 0 (I.3.I7) и учитывая, что FiO,p;j^)=^ , (I.3.I8) получаем следующее равенство -бі^(^И6г(^) + <5Ц =f^2Cf"^1>.(^-^^(?"^?) (I.3.I9) которое обращается в тождество в шести различных случаях, приведенных в таблице І. В последней колонке данной таблицы представлены соответствующие выражения для функции =^(Х) , найденные по формуле (1.3.12).

В найденных шести случаях система уравнений (1.3.13), (1.3.14) является совместной и имеет решение _{*.cy«(^V*-(H>}^(W+_^. (1.3.20)

При этом решения волнового уравнения (I.2.I) для соответствующих распределений = &() (1.3.II) выражаются через решения гипергеометрического уравнения (I.3.I) по формуле №f-^№^-y^l"*^H'^T*^T)/*-HV , (I.3.2I) которая непосредственно следует из соотношений (1.2.3), (1.3.8) и (1.3.20).

Следует отметить, что существуют и другие возможности обращения равенства (1.3.16) в тождество, однако они не приводят к новым комбинациям значений параметров <5\ , 6г. , <3з и поэтому здесь не рассматриваются.

Что касается шести комбинаций параметров Gi , Ga , 6з из таблицы I, то они приводят только к двум различным распределениям 8(х), причем первые три - к распределению _Ґ _(х)= e,-exp(4^Hb+e,-ty(*^u _азгг) а последние три - к распределению 6(Х)= 6з -6.-е» +6,-^4¹)^^^^). CI.3.23)

Заметим, что выражения (1.3.22) и (1.3.23) записаны соответственно для случаев I и 4 из таблицы I.

Как параметры _н , _г , 5 з , так и постоянные Л о , CL , могут принимать в (1.3.22) и в (1.3.23) произвольные комплексные значения и поэтому эти распределения пригодны для моделирования неоднородных слоев в поглощающих (или усиливающих) средах. В данной работе мы ограничиваемся рассмотрением непоглощающих

Таблица I. сред и в этой связи проанализируем только те случаи, когда функции (X) (1.3.22) и (1.3.23) остаются действительными при всех значениях Л . Покажем, что все известные ныне зависимое-ти 6(Х) , для которых задача (І.2.І) на собственные значения К или к и собственные функции ^ (X} решается в функциях гипергеометрического типа, являются частными или предельными случаями распределений (1.3.22), (1.3.23).

Забегая вперед, скажем, что наиболее общими из частных случаев распределений (1.3.22), (1.3.23) являются распределения Эгпптейна j_26J или Эккарта [27] и Пешля-Теллера [29 J соответственно. В этой связи мы будем называть (1.3.22) обобщенным распределением Эпштейна-Эккарта, а (1.3.23) - обобщенным распределением Пешля-Теллера.

1.4. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта

В этом параграфе проанализируем кратко обобщенное распределение Эпштейна-Эккарта в тех случаях, когда оно пригодно для моделирования неоднородных слоев в непоглощающих средах. Эти случаи находятся из условия тождественного выполнения равенства

6(Ю = *(Х> ц.4.1) и формулируются в виде трех условий на параметры: _к-е* , а-а*, х-х5=іа ; _(Ь4.2) ^{U = tl} ^, ^{а-а*, хо=хо ;} ^U.4.3) _Е,^і1, _{бз = Ї , а = -а*, Xo=xt .} _(1.4.4) _{-зо -}

Здесь и в дальнейшем через * обозначается комплексное сопряжение, К = 1,2,3.

I. Параметры распределения (1.3.22) удовлетворяют условию (1.4.2).

В этом случае, полагая

Хо=-2~іа + Хї ; Xi = xf , (1.4.5) приходим к известному распределению Эгпптейна 126] или Эккарта [27J _т=ЦМ_^ ₊ ^_МН^₎₊Ж_4ЬЧ5-^) . (1-4.7)

Распределения Эпштейна (1.4.6) и Эккарта (1.4.7) представляют собой различные формы записи одной и той же функции 6(X) . В этом легко убедиться, воспользовавшись известным соотношением

Функция &(Х) (1.4.6) или (1.4.7) не имеет особенностей и при Х-*- - асимптотически стремится к значениям 6^=8(+) и ₂ = б (- ««>) . При условии

1(,-г)/бз|<1 Я-⁴-⁹) она имеет один промежуточный экстремум - (Ж) » координата X которого удовлетворяет соотношению ^(5-^)= . (I.4.I0) - ЗІ -

В противном случае |(6гг)/бз| >/\ (І.4.ІІ) промежуточного экстремума не существует и 6(Х) является монотонной функцией переменной X .

Примерное поведение функции (1.4.6) для случая (1.4.9) показано на рис. І.І а.

Распределение Эпштейна (1.4.6) или Эккарта (1.4.7) является подходящей математической моделью волноводных слоев в р- Г\— переходе полупроводников [47-50) , а также оптических волноводов, получаемых методом облучения ионами кварцевых подложек [l4,I5] .

Предельными случаями распределения (1.4.6) или (1.4.7) являются следующие широко известные зависимости t (X) :

I. Распределение Морса [28,29j или биэкспоненциальное распределение [~59 |

6(х; = ро + Рі-ЄХр(-2^)+р_а-ЄХрНіЬ) . (1.4.12)

Оно получается из (1.4.6) после введения новых параметров р_о , р₁ , р_г по формулам ^{бі+бг-бз^р^ехрс-га'-^}¹⁾ (1.4.ІЗ) и последующего предельного перехода X ч/CL—'— 2. Экспоненциальное распределение [16,42] e(X) = p₀+p₁'GXp(-2ST-^), (1.4.14) являющееся частным случаем распределения Морса (I.4.I2) при р₂=0.

3. Параболическое распределение [16,26-29] ^=^⁺%^ ⁺ %{^-Т . ^Ц-^4Л5)

Оно получается из (1.4.7) после введения параметров 0. , (L, (JL и нового масштаба (L< посредством соотношений і-и=2^_г0І\\ ($Г-|т), (I.4.I6)

Б_э = 4 (^ СІЬ\Я--) и предельного перехода О.-*

4. Линейное распределение |43,2б| fiW'Vb^ , ⁽¹-^4Д7) являющееся частным случаем распределения (1.4.15) при CU « 0.

Каждое из перечисленных четырех распределений применяется в той или иной форме для моделирования профилей диэлектрической проницаемости оптических волноводов диффузионного типа [39-46, 60-67 J . Параболическое распределение (1.4.15) в сочетании с экспоненциальным (1.4.14) используется для восстановления профилей диэлектрической проницаемости диффузионных волноводов методом аппроксимирующих функций J67] .

II. Параметры распределения (1.3.22) удовлетворяют условиям (1.4.3).

В этом случае, как параметры к ,так и постоянные Х₀ и CL принимают только действительные значения и поэтому распределение (1.3.22) имеет свой первоначальный вид

У — У Y — X c,_yN_ іЄхр(49Г-д-) + (з-6'-6г)ЄХр(^-а-Уба (1.4.18) Li-exp(2gr-^L;J

Если воспользоваться известным соотношением ^ехр^(гз^^}- _rth&**>);-, ' ^(і-^4Л9) то распределение (І.4.18) можно представить в следующей форме _W=ipi- ^. + 6^.^(8-^+-^-0^^ . (1.4.20)

Функция (I.4.18) или (1.4.20) является сингулярной прих=Х_0; где она обращается в + <^=> , если6з>0 или в- ==- , если6з<0 . При X—- - ^ск> она асимптотически стремится к значениям бі=6(⁺⁰) и 6z=6(-). Если параметры <5< , 2. , 63 таковы, что выполняется неравенство і (6і-г)/бз| > Ь (1.4.21) то функция 6(А} имеет экстремум = (Х) , координата X которого удовлетворяет соотношению clh(5T^)=- -^ . (1.4.22)

В противном случае |(6і-Єг)/бз| 4 (1.4.23) экстремума не существует и (xj является монотонной функцией в обоих частичных областях х<Хо и Х>х₀

Примерное поведение функции (1.4.18) для случая 6г~<<з< 0 показано на рис. I.I б. В этом случае частичная область х >Х₀может рассматриваться как математическая модель волноводного слоя в приповерхностной области диэлектрика, граничащего с идеальным проводником при Х= Хо .

Предельными случаями распределения (1.4.18) или (1.4.20) являются приведенные выше распределения (1.4.12), (1.4.14), (1.4.15), (1.4.17), а также гиперболическое распределение Крат-цера [29]

С^=Со4Сг7Гх;⁺СгЧ-хГх;) . (1.4.24)

Оно получается из (1.4.20) после введения новых параметров Со , С< , Сг и нового масштаба 0ц по формулам

,-и=гс<-ІЬ ($-$), (1.4.25) и последующего предельного перехода а ~>- о .

III. Параметры распределения (1.3.22) удовлетворяют условиям (1.4,4).

В этом случае, полагая

6і+Єл = 2Ь', 6г-г = 2и", a=id (1.4.26) и используя формулу (1.4.27) получаем периодическое распределение

М«6--+"Ыд(*^)--|*е1д⁴(г-^) . ^a-⁴-²⁸>

Функция (1.4.28) является сингулярной приХ = Хо+Ш-(1 , YW -0, ±1, -2, ... , где она обращается в + о , если₃<0 или в - оо , если 6з>0 .Ее примерный график для случая бз?0 представлен на рис. I.I в. Координата X экстремума 6 определяется

Хо+Л.

Рис. I.I. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта. равенством _^Иг")^- ⁽¹_-⁴_-²⁹⁾

Распределение (1.4.28) может рассматриваться как математическая модель неоднородного диэлектрического волновода между идеально проводящими стенками.

Предельными случаями данного распределения 6(Х) являются параболическое распределение (1.4.15) и гиперболическое распределение (1.4.24), которые следуют из (1.4.28) в результате предельного перехода d -»- «ро . При этом для получения распределения (1.4.15) необходимо предварительно положить Xo = X(+-g-d , =х^6з ⁺ ⁽Ь> (1.4.30) а для получения (1.4.24) - предварительно положить

На этом мы закончим предварительное краткое рассмотрение обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта (1.3.22). Во второй главе данной работы мы остановимся на подробном анализе волноводных свойств неоднородных слоев, рассмотренных здесь и представленных на рис. I.I. Там же, в частности, покажем, что решения волноводных задач для полученных здесь формально распределений (1.4.12), (1.4.15) и (1.4.24) содержатся в решении волновод-ной задачи для обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта (1.3.22).

1.5. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Пешля-Теллера

В данном параграфе проведем краткий анализ обобщенного распределения Пешля-Теллера (1.3.23) в трех различных случаях, формулирующихся в виде трех условий на параметры & =э = * , а = а*, Хо-х*Ц-са; ci.s.i) _{к = г: , а=а , х}₀ _{= х: ;} _а.5.2) ^{6к = б* , а--сг, Хо^хо.} ^(1.5.3)

В этих случаях функция (X) (1.3.23) удовлетворяет условию (I.4.I) и пригодна для моделирования неоднородных слоев в непог-лощающих средах.

I. Параметры распределения (1.3.23) удовлетворяют условию (I.5.I).

В этом случае, вводя новые действительные параметры ', " , и X* посредством соотношений и используя известные равенства приходим к распределению [J73] (1.5.5) _{U) = 6}₃_-4 _х-х< S^-e^shC^-g-j (1.5.6) ch^z(29T ^-)

Функция (К) (1.5.6) не имеет особенностей и при Х-* ± стремится асимптотически к значению 6з = (±о) . Она имеет два промежуточных экстремума 6=6 (К) и 6 - (Х) , координаты X , X которых удовлетворяют равенствам

7 v, с' і—7> ' (1.0.7)

Причем, если "<(] , то 6 является максимумом функции (1.5.6), а - ее минимумом. Если же б">0 , то наоборот - является минимумом, а - максимумом этой функции.

Примерный график зависимости (1.5.6) представлен на рис. 1.2 а для случая ' < О .В целом такое S - образное распределение диэлектрической проницаемости характерно для оптических волноводов, получаемых методом облучения [l3,I4j .

Предельными случаями $ -образного распределения являются распределение Морса (1.4.12) и параболическое распределение (1.4.15). Первое из них получается из (1.5.6) после введения параметров р_о , р, и р_г по формулам и последующего предельного перехода Xi/CL-^-«х>. Для получения распределения (1.4.15) можно положить

6,-46'=^, '=-ць9) и осуществить предельный переход О.—»- о=э .

II. Параметры распределения (1.3.23) удовлетворяют условиям (1.5.2).

В этом случае все параметры принимают только действительные значения и поэтому распределение (1.3.23) имеет свой первоначальный вид e(K)=&₃-,-^₁4h^T^)⁺^c-th²(«'ⁱ^-). (1.5.10) функция (1.5.10) является сингулярной при Х = Х_Р , где она обращается в - «>о , если _г<0 или в+ оо , если _г~?0 «В зависимости от величины отношения zІі она может иметь или не иметь экстремум = (Я) =6(2Х₀- X) . Если О^бг/бК-/ , то экстремум Б существует и координата х удовлетворяет соотношению ^(f¹^) = (a/,)'^A- ⁽¹-^5Л1)

Если же 5г/і>^ или 6г/бі<0 , то экстремума 6 нет и функция (1.5.10) является монотонной в обоих частичных областях Х<Хо

И X > Хо.

Примерный график функции (1.5.10) для случая 6і<г<0 представлен на рис. 1.2 б. В целом таким распределением диэлектрической проницаемости может обладать приповерхностный диэлектрический волновод, граничащий при X = Х₀ с идеальным проводником.

Предельными случаями распределения (1.5.10) являются распределения Морса (1.4.12), параболическое (1.4.15), а также известное распределение Г29] W~4.+ ^(^t + b{lbT . (І.5.І2)

Оно получается из (1.5.10) после введения новых параметров а₀, tta и С г. и нового масштаба 0ц по формулам с с - Г) 4-І- O.loy

3~Cf-Cz- lj/o и последующего предельного перехода й -*- ^с= .

III. Параметры распределения (1.3.23) удовлетворяют условиям

_a (Хо+оС/г

Рис. 1.2. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Пешля-Теллера. (1.5.3).

В этом случае, полагая a = id , d-d*, (і.5.14) приходим к известному распределению Пешля-Теллера JJ29] функция (1.5Л5) является периодической, с периодом d , сингулярной при X-Xo+m d/2 > Ш = О, -I, -2, ... .В зависимости от знака отношения а/б* , она может иметь или не иметь экстремум = (X+md)=6G?Xo-X + md) . Если 6г/ч>0 , то экстремуме существует и координата х удовлетворяет соотношению ^(Т^)=(б_г/г,)'^Л . (I.5.I6)

В противном случае ₂/<<0 , функция 6(Х) (1.5.15) является монотонной в каждой из частичных областей Х₀+md/+1)d/Z.

Примерный график этой функции (Х) для случая i>0 , 6г.? О представлен на рис. 1.2 в. Такое распределение диэлектрической проницаемости может рассматриваться как математическая модель неоднородного диэлектрического волновода, экранированного идеально проводящими стенками при X = Хо иХ=Х₀ + а/2.

Предельными случаями периодического распределения (1.5.15) являются распределения (1.4.15) и (1.5.12).

Во втором параграфе следующей главы мы вернемся к рассмотрению представленных на рис. 1.2 неоднородных слоев, а в заключение данной главы кратко сформулируем некоторые выводы:

I. Использование потенциальных функций позволяет свести векторную задачу распространения электромагнитных волн в слоис- той среде к решению скалярных волновых уравнений для двух типов волн различной поляризации.'

Расчет оптического планарного волновода, характеризующегося распределением диэлектрической проницаемости б(Х} , сводится к решению задачи Штурма-Лиувилля (I.2.I), которая для каждого конкретного распределения (Х) может быть решена численно или приближенно аналитически (см., например, [30-36, 68J ).

Для некоторых физически приемлемых (не зависящих от параметров к. и h задачи) распределений 00 возможно строгое решение задачи (I.2.1) в функциях гипергеометрического типа. Все такие распределения содержатся в двух пятипараметрических семействах (1.3.22), (1.3.23).

В связи с последним выводом следует отметить, что в работах [70, 7IJ ^х' приведено в неявном виде семипараметрическое семейство распределений (Х) , допускающих решение уравнения (I.2.I) в гипергеометрических функциях. Оно построено при более слабом ограничении наложенном на б (X) , которое заключается в требовании независимости СХ) лишь от одного параметра h задачи. Дополнительное требование независимости 00 и от параметра К. , используемое в настоящей работе, является в теории оптических волноводов естественным физическим требованием и ограничивает класс приемлемых распределений 6(х) ДО двух пятипараметрических семейств (1.3.22), (1.3.23). ₇₎

Здесь используются обозначения, принятые в данной работе, которые отличны от используемых в работах J7I,72J , посвященных исследованию одномерного уравнения Шредингера.

Исходное уравнение

Проницаемости 6- 6(Х), \L= М-(Л) слоистых сред испытывают пространственные изменения только в зависимости от одной поперечной координаты X . В этом случае выполняются коммутационные соотношения где і - единичный вектор направления оси х и, как показано в работе [54J , можно ввести две потенциальные функции 1р и ф по формулам.

Независимость этих уравнений указывает на независимость типов волн, описываемых ими. Волны первого типа полностью характеризуются потенциальной функцией if , подчинённой уравнению (I.I.6), поскольку поля волн определяются дифференцированием у по формулам (1.1.4), (1.1.5) при -0» Соответственно волны второго типа описываются уравнением (I.I.7) и формулами (I.I.4), (I.I.5) при =0. Любое поле в слоистой среде представляется суперпозицией полей этих двух типов.

Просто меняются местами, что является следствием инвариантности уравнений Максвелла (I.I.I), (I.I.2) относительно этой замены. С математической точки зрения уравнения (I.I.6), (I.I.7) отличаются только обозначениями коэффициентов и искомых функций, поэтому если не конкретизировать явный вид проницаемостей6= 5(х) и U -JUX) , то можно ограничиваться анализом одного из них. Рассмотрим уравнение (I.I.6). Его частные решения будем

Волноводные слои в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта

В 1.4 было показано, что обобщенное распределение Эпштейна-Эккарта (1.3.22) в трех различных случаях (1.4.2)-(1.4.4) пригодно для моделирования профилей диэлектрической проницаемости неоднородных слоев в непоглощающих средах. В этом параграфе мы найдем решения волноводной задачи в указанных трех случаях и проанализируем их некоторые свойства. Но прежде, чем перейти к конкретному рассмотрению, выпишем некоторые общие соотношения, которые упростят последующий анализ.

Известно, что направленное распространение электромагнитных волн возможно в слоях с повышенным значением диэлектрической проницаемости. Поэтому сразу же ограничимся теми случаями, когда обобщенное распределение Эпштейна-Эккарта принимает максимальное значение 6=6 СЮ . При наличии максимума & распределение (1.3.22) можно преобразовать к виду если ввести хиб посредством соотношений.

Общее решение волнового уравнения (I.2.I), описывающего волны с поляризацией Е » 0 в неоднородном слое (2.I.I), выражается через гипергеометрические функции и, в соответствие с формулой (1.3.21) и первой строкой таблицы I, записывается в виде.

Вариационный метод разделения переменных. Анализ некоторых аналитических методов расчета в рамках вариационного подхода

Уравнение (3.1.7) с функцией = ( )U) , не представимой в виде простой суммы (3.1.17), не допускает строгого разделения переменных X и U . Тем не менее можно предположить, что функция y(X,U) , характеризующая определенную моду оптического волновода, может быть аппроксимирована простым произведением (3.1.18), где каждая из функций і/,(х) и Ц г(ф удовлетворяет предельным условиям (3.1.22). Естественно, что на классе произведений (3.1.18) существует оптимальное, наиболее близкое к точному решению уравнения (3.1.7). Для нахождения этого оптимального произведения естественно исходить из вариационного принципа, допуская в нем конкурировать лишь функции вида (3.1.18).

В качестве функционала, стационарного на решениях уравнения (3.1.7), может быть выбрано интегральное выражение для постоянной распространения П :

Отсюда, ввиду произвольности вариаций функций ір (х) и (JUy) , следует система интегро-дифференциальных уравнений для нахождения оптимальных (Х) и ifi (yj , а также соответствующего им собственного значения h Конечно, в результате получится неточное значение постоянной распространения п и неточная потенциальная функция у , но лучшая из всех функций if , пред-ставимых в виде произведения (3.1.18).

По своему виду уравнения (3.2.6), (3.2.7) подобны уравнениям (3.1.19), (3.1.20), а соотношение (3.2.10) - соотношению (3.1.21). В связи с этим нетрудно установить характер зависимости - (Х, ), которой, строго говоря, соответствует выражение (3.2.10) и уравнения (3.2.6), (3.2.7):

Действительно, если в уравнение (3.1.7) подставить функцию =Ч .у) вида (3.2.II), а затем решать его методом разделения переменных, то оно сведется к решению уравнений (3.2.6), (3.2.7), где постоянные hi и ha будут связаны с h посредством соотношения (3.2.10).Из (3.2.II), в частности, видно, что если y(x,yj характеризует хорошо локализованную моду, основная доля энергии которой концентрируется в узкой области, где диэлектрическая проницаемость ( / /) имеет максимум =(0,0) , то и выражение (3.2.II) приобретает вид (X,tj) = 6(х,0) + 6(0, - (0,0)- (3.2.14)

Оно, как нетрудно убедиться, представляет собой разложение функции (x, j в ряд Тейлора в окрестности точки (0,0) с точностью до членов, не содержащих смешанных произведений х -un , т « I, 2, 3 ... , П « I, 2, 3, ... .В (3.2.14) учитывается правильный характер поведения диэлектрической проницаемости fc(X,y) не только в окрестности точки (0,0) , но и на ортогональных прямых Х-0 и у- 0 . Поэтому в приближении (3.2.14) можно ожидать высокой точности описания не только тех мод, которые локализуются в узкой области максимума і диэлектрической проницаемости волновода, но и мод, локализующихся вблизи ортогональных сечений Х=0 и ц-Q . Приближение (3.2.14) используется фактически при анализе волно-водных свойств прямоугольных диэлектрических волноводов в известном методе Маркатили J95J , который является одним, из наиболее распространенных подходов к расчету модовых характеристик волноводов прямоугольного сечения.

Правая часть соотношения (3.2.16) представляет собой разложение функции (3.2.15) в ряд в окрестности точки (х, Ц) с точностью до членов разложения, не содержащих смешанных произведений (х-х")т# (у )п . В (3.2.16) учитывается правильный характер поведения функции (3.2.15) не только в окрестности точки (Х,у), но и на ортогональных прямых Х= X и - у . Заметим, что хотя мы говорим только о двух ортогональных прямых Х- х и и- у , тем не менее их может быть четыре, если функции ,,(х) и - ( у) -двузначные или шесть, если - (х) и j Ш) - трехзначные и т.д.

Представление (3.2.16) используется фактически во всех известных методах [95,96,100,102J расчета волноводов типа (3.2.15). Отличие методов состоит лишь в выборе ортогональных сечений х= X , и-у , в окрестностях которых справедливо представление (3.2.16) исходного распределения (3.2.15). В работах [95,96,100] , развиты методы расчета планарных волноводов конечной ширины d (ё(.х,у)= (х,0) при І у і d/2. ). Одно из сечений Ц-$ выбирается фиксировании (у =0) , а другое X = X полагается либо проходящим через центр волноводной области J95J , либо касательным к линии поворота моды J96J , либо из условия (3.2.17) [100} . В работе проведен сравнительный анализ всех трех подходов, проиллюстрировавший более высокую точность подхода [JOO] . В работе проведено обобщение метода JJOOJ на случаи волноводов диффузионного типа (3.2.15) и показано, что оптимальным является выбор ортогональных сечений из условий (3.2.17), (3.2.18).

Аналитические методы расчета неоднородных оптических волноводов Могилевич Владимир Николаевич

Исходное уравнение

Волноводные слои в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта

Вариационный метод разделения переменных. Анализ некоторых аналитических методов расчета в рамках вариационного подхода

Похожие диссертации на Аналитические методы расчета неоднородных оптических волноводов