Содержание к диссертации
Введение
1. Неустановившиеся температурные напряжения в анизотропном теде с отверстиями-и трещинамиразрезами. 19
1. Основные соотношения термоупругости 19
2. Постановка задачи. Интегральное уравнение плоской задачи термоупругости 24
3. Исследование разрешимости интегрального уравнения (I.I3) 32
4. Асимптотический анализ поля напряжений в окрестности вершин разрезов (трещин). Частные случаи 40
5. Напряжения на границе области 44
2. Расчет неустановившихся температурных напряжений в цилиндрических телах с туннельными разрезами 46
6. Тепловые поля в телах прямоугольного поперечного сечения, ослабленных трещинами 46
7. Неустановившиеся температурные напряжения в прямоугольном брусе с туннельным разрезом (трещиной). Интегральное уравнение 50
8. О численной реализации алгоритма определения неустановившихся температурных напряжений 53
3. Управление температурным полем в анизотропных телах с разрезами - трещинами 76
9. Оптимальное по быстродействию управление температурным полем в ортотропном теле при ограничениях на управление. 76
10. Постановка задачи оптимального управления тепловым полем в телах с разрезами при ограничениях на коэффициенты интенсивности напряжений 80
11. Сведение задачи оптимального управления к задаче математического программирования 85
12. О численной реализации алгоритма решения задачи управления. Примеры расчета. 88
Заключение 97
- Постановка задачи. Интегральное уравнение плоской задачи термоупругости
- Напряжения на границе области
- О численной реализации алгоритма определения неустановившихся температурных напряжений
- Сведение задачи оптимального управления к задаче математического программирования
Введение к работе
Во многих случаях потеря несущей способности конструктивных элементов является следствием их неравномерного прогрева. Такого рода явления типичны, например, для авиационных и космических конструкций, различных деталей и узлов энергетического оборудования т. 2,0» 3 » 35 ]. Неравномерный прогрев сопровождает, как правило, большинство технологических процессов, связанных с производством высокопрочных, в частности, композитных материалов L^, ^ J. Заметим, что композитные материалы можно рассматривать "в целом" как анизотропные. Возникающие при охлаждении (нагреве) температурные напряжения могут вызвать разрушение материала еще на стадии его создания L 55" J t ЧТо объясняется, наряду с другими причинами, наличием в реальном материале различных дефектов (полостей, включений и т.п.). Следовательно, учет дефектов, например, трещин, необходим (также, как и учет анизотропии упругих и теплофизических свойств) как при определении прочностных свойств материала, так и при выборе режимов его тепловой обработки.
В связи с выше-изложенным, а также, исходя из потребностей внутреннего развития механики разрушения, является актуальной разработка эффективных методов расчета неустановившихся температурных напряжений в анизотропных телах с отверстиями и трещинами (математическими разрезами) произвольной формы.
Рассмотрение задач этого рода составляет первую часть данной работы.
Однако, требования практики проектирования таковы, что в настоящее время важно не только иметь представление об уровне температурных напряжений в теле, но и располагать возможностью управления ими за счет выбора режимов тепловой обработки. Можно потребовать, например, чтобы термонапряжения в течение всего процес-
са обработки не превышали допустимого уровня, а некоторый критерий качества принимал свое экстремальное значение.
Вторая часть работы посвящена решению ряда задач оптимального управления тепловыми полями в упругих телах, ослабленных трещинами, при наличии ограничений на функцию управления (температуру охлаждающей среды) и фазовые переменные (коэффициенты интенсивности напряжений).
Постановка задачи. Интегральное уравнение плоской задачи термоупругости
Представляет интерес исследование влияния трещин на распределение относительных тангенциальных напряжений вдоль границы прямоугольной области. Распределение этих напряжений вдоль стороны Ш, к которой подходит вершина трещины, изображено на рис. 2.4 сплошной линией. Кривые I и 2 соответствуют значениям -fc = 0.075 и "Ь = 0Л5 соответственно. Все параметры тела и трещины остаются здесь такими же, как в предыдущем примере. Штрихпунк-тирная линия соответствует случаю, когда трещина в теле отсутствует. Сделаем некоторые замечания относительно численной реализации полученного ранее алгоритма. Система линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение, соответствующее поставленной краевой задаче, решалось при различном числе разбиений трещины и внешнего контура. Число разбиений трещины (отрезка [-1,1]) полагалось равным IV = 11,17,21 , а число разбиений внешнего контура - М = 40,48,56 . Дальнейшее увеличение числа разбиений не приводило к существенному уточнению результатов. Кроме этого предполагалось, как это отмечалось ранее, что углы прямоугольника слегка скруглены, при этом радиус скруглення выбирался равным шагу разбиения внешнего контура. Из предыдущих рассмотрений ясно, что режим термообработки изделий существенно влияет на величину относительных КИН в вершинах трещин. Исследуем теперь вопрос о влиянии размеров трещины и ее расположения в теле на величину коэффициентов интенсивности напряжений. Все рассмотрения будем проводить для случая и = 0.075, Т &) = 20С, полагая при этом, что трещина расположена на оси Од и одна из ее вершин (вершина Ь± ) зафиксирована на расстоянии Л = 0.01 м от границы тела. На рис; 2.5 изображено изменение относительных КИН в вершине CLi (штрихпунктирная линия) и вершине и±(сплошная линия) в зависимости от длины трещины. Эта зависимость определяется отношением 71- [a- (A+2t)] / Си при продвижении вершины ad вглубь тела. Здесь 2 t - длина трещины. На рис. 2.6 изображено изменение относительных КИН в вершинах трещины в зависимости от длины последней в том случае, когда ее вершина XL зафиксирована в центре прямоугольной области, а вершина oL продвигается вдоль оси ОХ к периферии.
Графики изменения относительных КИН. построены в данном случае в зависимости от переменной 3B.tr 2І/ CL . Здесь, также как и ранее, вершине Х± соответствует штрихпунктирная линия, вершине oL - сплошная. Характер изменения относительных КИН в вершинах трещины фиксированной длины в зависимости от ее расположения в теле проиллюстрирован на рис. 2.7 . При этом предполагается, что трещина длиной 2 t = 0.1 м располагается на оси ОХ . Расположение трещины в теле характеризуется отношением « (2І + Д) J Си , где А -расстояние от вершины в± до границы тела. Анализируя результаты, полученные при решении предыдущих примеров, можно заметить, что в некоторых случаях относительные КИН отрицательны. Этот факт свидетельствует о возможности контакта противоположных берегов трещины в процессе остывания тела. Рассмотрим теперь другой случай. Предположим, что трещина длиной 21= 0.1 м расположена параллельно стороне АВ прямоугольника и расположена симметрично относительно оси ОХ , как это изображено на рис. 2.8. На этом же рисунке изображен характер изменения КИН в вершине QL (ввиду полной симметрии относительные КИН совпадают в вершинах трещины 0.1и Ь1 ) в зависимости от величины На основании полученных результатов можно заключить, что прямолинейные трещины перпендикулярные границе тела более опасны нежели трещины параллельные границе. Кроме этого можно заключить, что разрушение тела начинается в той вершине трещины, которая ближе к границе. Представляет интерес исследование зависимости относительных КИН в вершинах трещины от ориентации трещины (например, прямолинейной) в теле. График такой зависимости от угла поворота трещины f приводится на рис. 2.9, в предположении, что 0. - & = 0.25 м, 1Ї = 0.1 м, а А = 0.01 м_ при f = 0. На основании полученных результатов можно сделать вывод, что среди внутренних трещин, т.е. таких, у которых обе вершины лежат внутри тела, наибольшую опасность представляют прямолинейные, перпендикулярные к границе тела трещины. 2. Особый интерес с точки зрения практического применения полученных в данной работе результатов представляют краевые трещины В этом случае интегральное уравнение (2.II) кроме подвижной особенности, обусловленной ядром Коши,имеет также неподвижную особенность в точке jz = L , а искомая плотность интегрального уравнения ограничены в этой точке.
Методы численного решения уравнений с неподвижными особенностями развиты пока еще недостаточно. В частности, в монографии М.П. Сав-рука "Двумерные задачи упругости для тел с трещинами" предложен один из возможных подходов к решению таких уравнений, суть которого заключается в том, что вместо дополнительного условия (2.16), используемого для внутренних трещин, используется соотношение Мы в данной работе будем разыскивать решение РО в классе функций, представимых в следующем виде Процедура сведения интегрального уравнения (2.II) к системе линейных алгебраических уравнений в данном случае аналогична той, которую мы использовали ранее. Отметим некоторые различия. Оставляя узлы интерполяции прежними, заменим функцию р ( р) многочленом (2.12) и подставим результат в особый интеграл, входящий в интегральное уравнение. Тогда мы получим следующую квадратурную формулу Что касается регулярных интегралов, то формула аналогичная формуле (2.14), примет вид Таким образом, интегральное уравнение (2.II) сводится к систе-ме линейных алгебраических уравнений. Приведем некоторые примеры расчета. Оставаясь в условиях предыдущих примеров, построем зависимость относительных коэффициентов интенсивности напряжений от длины краевой трещины, перпендикулярной к границе тела. Будем считать, что трщщина расположена на оси ОХ .. График такой зависимости изображен на рис. 2.II . В заключение этого параграфа отметим, что анизотропия материала существенно влияет на коэффициенты интенсивности в вершине трещины. Проведенные расчеты для различной ориентации трещины показали, что КИН и концентрация напряжений на границе возрастают, если трещина располагается вдоль направления с меньшим модулем упругости.
Напряжения на границе области
При изготовлении изделий из композитных материалов в них на стадии охлаждения от максимальной температуры отверждения до температуры эксплуатации из-за разности коэффициентов температурного расширения возникают температурные напряжения, которые могут привести к потере монолитности изделия уже на стадии его изготовления , 5"5\ 5( }0 Наличие в реальных телах дефектов типа трещин, отслоек и т.п. еще более увеличивает вероятность их разрушения. В данной главе поставлена и решена задача управления температурными режимами охлаждения тел с трещинами при наличии ограничений на коэффициенты интенсивности напряжений в предположении, что теплообмен с внешней средой осуществляется по закону Ньютона. Наряду с этой задачей здесь же поставлена и решена задача об оптимальном по быстродействию переводе тела из начального температурного состояния в некоторое конечное состояние при наличии ограничений на функцию управления. При решении этих задач предполагается, что функцией управления является температура охлаждающей среды. Проведено численное моделирование на ЭВМ. Результаты расчетов иллюстрированы графиками. 9. Оптимальное по быстродействию управление температурным полем в ортотропном теле при ограничении на управление Рассмотрим,, как и ранее, брус прямоугольного поперечного сечения, которое обозначим через -D . Полагая, что температура в брусе не меняется вдоль образующей, будем описывать температурное поле системой соотношений (2.1) - (2.3). В этом случае температуру тела в любой момент времени вычисляем по формуле где - температура внешней среды. Остальные величины описаны в б. Поставим следующую задачу: найти такое управление tcGf)» которое за минимальное время т- переводит тело из начального состояния 10 - CH2"t в некоторое заданное состояние Т - covtsi Принимая в качестве управляющей функции tcGt) температуру внешней среды, считаем, что управление Ші) принадлежит пространству функций суммируемых с квадратом на и ограниченных по норме Используя соотношения (3.1) и условие I 1.1 - Tic » после некоторых несложных преобразований приходим к проблеме моментов Здесь т, - минимально возможное время, в течение которого двумерная область X) из начального состояния 10 может быть переведена в конечное состояние 1к . При численном решении конкретных задач будем рассматривать усеченную проблему моментов, оставляя в системе (3.2) первые K VIXYYL равенств ( К- 1,2,,,.., U , иг = 1,2,.»., М ) и каждой паре индексов ( И,, Уть ) будем ставить в соответствие индекс І (ІгЦ,,,., К ). Полученная таким образом К - мерная проблема моментов сводится к следующей эквивалентной задаче: найти Значение "t , при котором минимум интеграла из соотношения (3.3) равен J\ , и есть наименьшее возможное время управления. Само оптимальное управление при этом имеет вид Численную реализацию экстремальной задачи (3.3) осуществим еле-дующим образом.
Зафиксируем некоторое значение t . Тогда решение задачи (3.3) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений Решение ( 1 t.. , , , v i системы уравнений (3.5) подставим в выражение (3.3) и вычислим значение /V , соответствующее выбранному времени "Р Перебирая значения "t , можно построить зависимость оптимального времени ъ от ограничения 1\ . В качестве примера рассмотрим длинный брус прямоугольного поперечного сечения со сторонами ji (X. = Z Ь = 19.5м , температурное поле в котором не изменяется по длине и в начальный момент времени Т = 000С . Предположим, что материал из которого изготовлен брус характеризуется следующими параметрами а коэффициент теплоотдачи о. постоянен и равен /3 6т/(м -град). Построим такой закон изменения температуры внешней среды Ші\ с помощью которого за минимальное время Ь можно перевести температуру тела в конечное состояние 1к = 200С и при этом Оптимальный температурный режим определяется по формуле (3.4) и изображен на рис. 3.1 . Решение прямой задачи теплопроводности при полученном режиме изменения температуры внешней среды указывает на достаточно точное достижение требуемого распределения температуры в теле. На рис. 3.2 кривая I изображает распределение температуры в осевом сечении тела, а кривая 2 - на его граниие при ъ = 0.17 (окончание процесса). Одновременно (рис. 3.3) построена зависимость оптимального времени Ъ от ограничения Л В расчетах принималось N = М = к , что соответствует удержанию 16-ти моментных равенств. 10.
Постановка задачи оптимального управления тепловым полем в телах с разрезами при ограничениях на коэффициенты интенсивности напряжений Рассмотрим остывающий брус прямоугольного поперечного сечения, Используя соотношения (3.1) и условие I 1.1 - Tic » после некоторых несложных преобразований приходим к проблеме моментов Здесь т, - минимально возможное время, в течение которого двумерная область X) из начального состояния 10 может быть переведена в конечное состояние 1к . При численном решении конкретных задач будем рассматривать усеченную проблему моментов, оставляя в системе (3.2) первые K VIXYYL равенств ( К- 1,2,,,.., U , иг = 1,2,.»., М ) и каждой паре индексов ( И,, Уть ) будем ставить в соответствие индекс І (ІгЦ,,,., К ). Полученная таким образом К - мерная проблема моментов сводится к следующей эквивалентной задаче: найти Значение "t , при котором минимум интеграла из соотношения (3.3) равен J\ , и есть наименьшее возможное время управления. Само оптимальное управление при этом имеет вид Численную реализацию экстремальной задачи (3.3) осуществим еле-дующим образом. Зафиксируем некоторое значение t . Тогда решение задачи (3.3) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений Решение ( 1 t.. , , , v i системы уравнений (3.5) подставим в выражение (3.3) и вычислим значение /V , соответствующее выбранному времени "Р Перебирая значения "t , можно построить зависимость оптимального времени ъ от ограничения 1\ . В качестве примера рассмотрим длинный брус прямоугольного поперечного сечения со сторонами ji (X. = Z Ь = 19.5м , температурное поле в котором не изменяется по длине и в начальный момент времени Т = 000С . Предположим, что материал из которого изготовлен брус характеризуется следующими параметрами а коэффициент теплоотдачи о. постоянен и равен /3 6т/(м -град).
О численной реализации алгоритма определения неустановившихся температурных напряжений
Прежде чем перейти к записи ограничений на коэффициенты интенсивности напряжений в дискретной форме, отметим, что последние являются, вообще говоря, некоторыми функционалами от разыскиваемых плотностей интегрального уравнения, к которому сводится соответствующая краевая задача термоупругости. Поскольку функция управления фигурирует только в правой части интегрального уравнения, то , обращая это уравнение, можно выразить его плотность через функцию управления, а, следовательно, и коэффициенты интенсивности напряжений могут быть выражены через функцию управления. Заметим, что полученная зависимость линейная. Выразим вначале через функцию управления плотность интегрального уравнения (2.II), а затем перейдем к записи ограничений 13.7) в дискретной форме. Воспользуемся тем фактом, что при решении интегрального урав- нения (2.II) мы заменяли его системой линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомой плотности в узловых точках. Полученную ранее систему уравнений (2.15) в вещественной форме можно записать следующим образом Выражения для коэффициентов интенсивности на другом конце разреза ( ft - і ) отличаются тем, что в выражениях (3.19) и (3.20) отсутствует множитель (ті) . Таким образом, коэффициенты интенсивности напряжений могут быть выражены через компоненты вектора Vi- (JlLf ... , U ) , причем полученная зависимость является линейной, а в каждой вершине трещины (трещин) мы получаем некоторое двустороннее линейное неравенство, 12. 0 численной реализации алгоритма решения задачи управления. Примеры расчета Суммируя результаты предыдущего параграфа, прежде всего отметим, что рассматриваемая нами целевая функция (3.12) линейно зависит от вектора (ULi ..., UK ) . Ограничения (3.7) также являются линейными функциями переменных tt4.,ttbl,r. , tt« , но, так как эти ограничения должны выполняться на всем интервале управления L0 "Ц] то, выбрав на Со, 14 ] произвольным образом М точек и удовлетворяя в каждой из них ограничению (3.7), мы получим систему М линейных неравенств.
Таким образом, исходная задача сводится к задаче линейного программирования с МхЬ ограничениями, где М-число точек на интервале [О, -Ц] , a L - число вершин разрезов, в которых требуется удовлетворить поставленным ограничениям на коэффициенты интенсивности напряжений. Заметим, что оптимальный режим охлаждения (нагрева) зависит от выбора точек разбиения интервала L О, г» J В качестве примера, также как и в предыдущей главе, рассмотрим длинный брус (см. рис. 2.2) прямоугольного поперечного сечения со сторонами 2 Q. и 2 и , ослабленный туннельной трещиной и нагретый до температуры \0 - Ю00С. Предположим, что трещина длиной % Ь -0.1 м , вершина Ь± которой лежит на расстоянии А = 0.01 м от границы бруса, расположена на оси ОХ . Мы видели, что режим охлаждения существенно влияет на величину .) (относительный коэффициент интенсивности напряжений). Наша задача заключается в следующем: найти такой режим охлаждения (режим изменения температуры внешней среды Т Йг)), чтобы в момент времени t = 0.І5" средняя температура тела была минимальной, а в течение всего процесса управления выполнялись ограничения где СЬАД) - относительный КИН в вершине трещины Oi . В результате применения построенного в предыдущей главе алгоритма оптимального управления режимом охлаждения получаем зависимості функции управления Kfct) (или, что то же самое Т СІ) ) от времени. Эта зависимость изображена на рис. 3.4 . Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы. 1. На основе метода интегральных уравнений разработан единый подход к решению задач об определении неустановившихся температурных напряжений в анизотропных цилиндрических телах, ослабленных туннельными трещинами и отверстиями достаточно произвольной конфигурации» Доказана разрешимость интегральных уравнений, соответствующих поставленным краевым задачам. 2. Получены формулы, определяющие коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин-разрезов в виде функционалов на решениях интегральных уравнений. 3. Разработаны схемы численной реализации построенных алгоритмов.
Для случая остывания тела с трещиной в условиях свободного теплообмена получена новая информация о характере изменения коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин и концентрации напряжений на внешнем контуре в зависимости от расположения трещины, характера теплофизической и механической анизотропии, а также условий теплообмена с внешней средой. 4. На основании проведенных численных экспериментов можно заключить: а) наличие в телах остроконечных дефектов типа трещин значи тельно повышает уровень концентрации напряжений на границе тела; б) среди внутренних трещин наиболее опасными являются прямо линейные трещины перпендикулярные к границе тела; в) среди трещин одинаковой длины особую опасность представля ют прямолинейные краевые трещины; г) анизотропия тела существенно влияет на коэффициенты интен1- сивности напряжений (НИН). В частности, КИН и концентрация напряжений на границе тела больше в том случае, если трещина располагается вдоль направления с меньшим модулем упругости. 5. В работе поставлена и решена задача об управлении двумерным температурным полем в телах с трещиной при учете ограничений нового вида, а именно, ограничений на коэффициенты интенсивности напряжений. 6. Поставлена и решена задача об оптимальном по быстродействию переводе тела из начального температурного состояния в заданное конечное состояние при наличии ограничений на функцию управления.
Сведение задачи оптимального управления к задаче математического программирования
Во многих случаях потеря несущей способности конструктивных элементов является следствием их неравномерного прогрева. Такого рода явления типичны, например, для авиационных и космических конструкций, различных деталей и узлов энергетического оборудования т. 2,0» 3 » 35 ]. Неравномерный прогрев сопровождает, как правило, большинство технологических процессов, связанных с производством высокопрочных, в частности, композитных материалов L , J. Заметим, что композитные материалы можно рассматривать "в целом" как анизотропные. Возникающие при охлаждении (нагреве) температурные напряжения могут вызвать разрушение материала еще на стадии его создания L 55" J t ЧТо объясняется, наряду с другими причинами, наличием в реальном материале различных дефектов (полостей, включений и т.п.). Следовательно, учет дефектов, например, трещин, необходим (также, как и учет анизотропии упругих и теплофизических свойств) как при определении прочностных свойств материала, так и при выборе режимов его тепловой обработки. В связи с выше-изложенным, а также, исходя из потребностей внутреннего развития механики разрушения, является актуальной разработка эффективных методов расчета неустановившихся температурных напряжений в анизотропных телах с отверстиями и трещинами (математическими разрезами) произвольной формы. Рассмотрение задач этого рода составляет первую часть данной работы. Однако, требования практики проектирования таковы, что в настоящее время важно не только иметь представление об уровне температурных напряжений в теле, но и располагать возможностью управления ими за счет выбора режимов тепловой обработки. Можно потребовать, например, чтобы термонапряжения в течение всего процес- са обработки не превышали допустимого уровня, а некоторый критерий качества принимал свое экстремальное значение. Вторая часть работы посвящена решению ряда задач оптимального управления тепловыми полями в упругих телах, ослабленных трещинами, при наличии ограничений на функцию управления (температуру охлаждающей среды) и фазовые переменные (коэффициенты интенсивности напряжений).
Разработке теории и методов решения задач механики разрушения посвящено большое количество работ как советстких, так и зарубежных авторов. Результаты этой работы нашли достаточно полное отражение в монографиях А.А. Каминского . М.Я. Леонова В.6. Панасюка В.З. Партона, Б.М. Морозова L 3 ], Ю.Н.Ра-ботнова L55 ], Л.И. Седова L W}9 г.П. Черепанова L 12. і] , Д. Броека L № ], Т. Екобори L45 3, Л.Р. Ирвина 11/3? ],Дж..Нот-та L f J и ряда других авторов. Эти же вопросы освещены в семитомном издании "Разрушение" под редакцией Г.Либовица (см.,например, L96, У05"] ), а также ряде статей І,3і, 69, 7Ц, 7S, І00, В нашем обзоре остановимся кратко на работах, касающихся методов решения двумерных краевых задач теории термоупругости для тел, ослабленных отверстиями и трещинами-разрезами. Прежде всего отметим, что к настоящему времени наиболее полно изучена плоская задача_стапионарной твм прхгости_изотропного те-ла_и разработаны эффективные методы ее решения для тел указанной выше конфигурации. Обзор и достаточно полную библиографию можно найти в монографиях Г.С. Кита, М.Г. Кривцуна \_ SZ J, В.В. Пана- сюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышин , М.П. Саврука Предваряя обсуждение работ, изучающих проблемы термоупругости в анизотропных телах с отверстиями и трещинами, отметим, что исследование напряженного состояния в анизотропной среде с двумя или даже одним отверстием, отличным по форме от эллиптического, представляет принципиальные трудности [62] . Задачи стационарной термоупругости анизотропного тела были исследованы А.И. Уздалевым [,{02, U02 для ортотропных пластинок ограниченных двухсвязным контуром, а для многосвяэных пластин - А.С. Космодамианским и С.А.Ка-лоеровым . Краевые задачи при наличии в пластине круговых или эллиптических отверстий решены путем сведения их к задачам линейного сопряжения. Поскольку данный подход позволяет получить решение только в том случае, когда отверстия имеют простую форму (например, круг, эллипс и т.п.), то при наличии в пластинках криволинейных отверстий достаточно произвольного вида А.С. Космодамианским и С.А. Калоеровым в iSt] успешно использован метод кол-локаций. Задача термоупругости для анизотропного тела с терщинами решена С.А. Калоеровым в [ ] , а вместе с соавторами для пластинки с прямолинейной трещиной и круговым отверстием - в \.к 9 , SO ] , причем определение комплексных потенциалов, даюших решение краевой задачи теории упругости, сведено к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Наряду с упомянутыми ранее методами при решении задач термоупругости для тел с трещинами широко применяется метод интегральных преобразований. В частности, с помощью этого метода Д.Л. Клементе, Т.Р. Тэтчер [132] , Т.Р. Тэтчер UА9] исследовали ряд задач стационарной термоупругости для анизотропной полосы с прямолинейной трещиной. Решение задач термоупругости для анизотропных сред с прямолинейными трещинами можно найти также в [ /2&, №1, iki\. Здесь же отметим, что при использовании метода интегральных преобразований существенными являются простота границ тела, прямолинейность и определенная ориентация трещин. Среди методов свободных от указанных выше ограничений прежде всего укажем на метод конечных элементов, с помощью которого был решен ряд задач механики разрушения L S, 2, 73 3 . Однако, его использование в задачах такого рода сопряжено с рядом трудностей, в частности, необходимостью учета особенностей напряжений в вершинах трещин-разрезов. В последние годы при решении задач теории упругости для тел с границей достаточно произвольного вида все более широкое применение получает метод, основанный на сведении исходной краевой задачи к решению интегральных уравнений.
Метод интегральных уравнений, достаточно полное представление о котором можно получить из книг В.З. Партона, П.И. Перлина \_ік , &5] , является основой работ Д.И. Шермана \_ilk1 » Л.А. Филыптинского [Ш, Ш] и использован ими при решении силовых задач теории упругости анизотропного тела. Прием, примененный этими авторами при сведении двумерных краевых задач к интегральным уравнениям,основан на представлении комплексных потенциалов в виде интегралов типа Коши. Подстановка этих представлений в краевые условия приводит к интегральным уравнениям относительно фигурирующих в этих представлениях неизвестных функций точек границы (плотностей). Отметим, что в работе Д.И. Шермана L ] решена первая краевая задача теории упругости L?0] для анизотропной среды с отверстиями, а в работах Л.А. Филыптинского [Ш, 2J-для анизотропной среды с трещинами. Метод интегральных уравнений использован также Г.С. Китом 1 2] и М.П. СаврукомНоі] при решении задач стационарной термоупругости, но для изотропных тел с отверстиями и трещинами. Установлено Hoi], в частности, что для тел с термоизолированными трещинами полученные интегральные уравнения совпадают с уравнениями соответствующих силовых задач, с той лишь разницей, что к искомым функциям прибавляются слагаемые, известные из решения задач теплопроводности. Решению задач стационарной термоупругости для анизотропных тел с трещинами посвящены работы Д.В. Грилицкого, Б.И. Поповича [3 3] , А.И. Прусова [ 92 , З 3 ] . Важным обстоятельством, которое позволяет успешно использовать при решении задач теории упругости интегральные уравнения является наличие эффективных методов их численного решения. В связи с этим укажем на ряд работ [Ц, 4? І0І, /33, /57?, /5 4 J, в которых можно найти различные методы решения интегральных уравнений и соответствующие библиографические ссылки. Теперь заметим, что влияние нестационарных температурных полей на коэффициенты интенсивности напряжений изучено слабо (в отличие от стационарных) как в изотропном, так и анизотропном случаях . Так, например, Я.С. Подстригачем и Ю.М. Коляно в среди, прочих задач рассмотрена задача о неустановившихся температурных напряжениях в изотропной полуплоскости с прямолинейным перпендикулярным границе разрезом и разрывными граничными условиями. Тепловая задача для плоскости с разрезом исследована также в [ $ 31.
