Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановки задач 21
1.1. Напряженно-деформированное состояние однородных крупногабаритных деталей, ослабленных трещинами 21
1.2. Напряженно-деформированное состояние составных крупногабаритных деталей, ослабленных трещинами 23
1.3. Напряженно-деформированное состояние крупногабаритных деталей с накладками, ослабленных трещинами 24
1.5. Выводы по первой главе 26
Глава 2. Построение интегральных уравнений методом разрывных решений 27
2.1. Вывод интегрального уравнения для однородного упругого тела 27
2.1.1 Решение уравнений равновесия в перемещениях методом разрывных решений 27
2.1.2 Вывод интегрального уравнения для полуплоскости со свободной границей 37
2.2. Вывод интегрального уравнения для составной плоскости 42
2.3. Вывод интегрального уравнения для составной полуплоскости 44
2.3.1. Асимптотический анализ параметров решений уравнений равновесия 44
2.3.2. Аппроксимация ядра в интегральном уравнении для задачи о полуплоскости с накладкой
2.3. Выводы по второй главе 59
Глава 3. Решения интегральных уравнений 60
3.1. Метод малого параметра 60
3.2. Метод коллокаций 65
3.3. Анализ результатов 66
3.3.1. Анализ применимости метода малого параметра для расчета концентрации напряжений в вершине поперечной трещины в составной плоскости 68
3.3.2. Численный анализ концентрации напряжений в вершине внутренней поперечной трещины в составной упругой полуплоскости 74
3.4. Выводы по третьей главе 80
Заключение 83
Список литературы 87
- Напряженно-деформированное состояние составных крупногабаритных деталей, ослабленных трещинами
- Напряженно-деформированное состояние крупногабаритных деталей с накладками, ослабленных трещинами
- Вывод интегрального уравнения для полуплоскости со свободной границей
- Анализ применимости метода малого параметра для расчета концентрации напряжений в вершине поперечной трещины в составной плоскости
Напряженно-деформированное состояние составных крупногабаритных деталей, ослабленных трещинами
Рассмотрим плоскую статическую задачу теории упругости [59] об определении напряженного состояния упругой изотропной полуплоскости -оо х оо, у 0, ослабленной прямолинейной поперечной трещиной длины 2a, расположенной на расстоянии d от границы и перпендикулярно к ней. На полуплоскость действует некоторая совокупность внешних сил, приложенных вне трещины. В общем случае, трещина раскрывается в результате воздействия этих сил (рисунок 1.1).
Постановка задачи о полуплоскости со свободной границей, ослабленной трещиной Рассматриваемая задача является линейной, что позволяет представить напряженное состояние тела в виде суперпозиции двух следующих задач: 1) Задача о равновесном состоянии упругого тела при отсутствии трещины, нагруженного системой сил. При этом считается, что в области трещины действуют напряжения интенсивности 7х=р(у). 2) Задача о равновесии напряженно-деформированного состояния упругой полуплоскости, свободной от внешних воздействий и содержащей трещину, к берегам которой приложены нормальные усилия интенсивности напряжений -р(у), обеспечивающие раскрытие трещины.
В теории упругости сплошного тела первая из представленных задач - классическая. В диссертационной работе будет рассматриваться только вторая задача. Корректность постановки задач, существование и единственность решения плоских задач для различных тел (конечных и бесконечных), ослабленных трещинами, исследованы и доказаны в работах Р.В. Гольштейна и Е.М. Шифрина [38, 39], а также других авторов.
Рассмотрим составную плоскость, состоящую из двух полуплоскостей. Нижняя полуплоскость (подложка) -00 X 00, у О, ослаблена прямолинейной поперечной трещиной длины 2а, которая расположена на расстоянии d от границы и перпендикулярно к ней. В направлении, перпендикулярном линии трещины, приложены нормальные растягивающие усилия, обеспечивающие ее раскрытие. Верхняя полуплоскость (накладка) занимает область -оо х оо, у О (рисунок
В силу линейности задачи, воспользуемся при ее постановке принципом суперпозиции, согласно которому рассматриваем далее равновесную трещину в бесконечном составном теле. Трещина поддерживается в раскрытом состоянии действием нормальных напряжений ох интенсивностью р(у), приложенных к ее берегам. ax\ = -p(y) (1.4)
Напряженно-деформированное состояние крупногабаритных деталей с накладками, ослабленных трещинами Рассмотрим статическую задачу теории упругости для полуплоскости -оо х оо, у 0, ослабленной прямолинейной поперечной трещиной длины 2a, расположенной на расстоянии d от границы и перпендикулярно к ней. На границе полуплоскости находится упругий слой (полоса) толщины h. Нормальное сечение полосы занимает область -оо х оо, 0 у h. Полуплоскость будем называть подложкой, полосу - накладкой. В направлении, перпендикулярном линии трещины, к ее берегам приложены нормальные растягивающие усилия, обеспечивающие ее раскрытие (рисунок 1.3). В силу линейности задачи, при постановке воспользуемся принципом суперпозиции, согласно которому будем рассматривать равновесную трещину в бесконечном составном теле. Трещина поддерживается в раскрытом состоянии действием нормальных напряжений ох интенсивности -р(у), приложенных к ее берегам (1.4).
Основные уравнения теории плоской деформации представлены в (1.5). Граничные условия задачи: при у = h: а = О, т = 0. (1.8) Условия сопряжения (полное сцепление накладки с основанием): при у = 0: и& = и&\ V& = v{2), т = т, а = of . (1.9)
Основной целью исследования в каждой из поставленных выше задач является определение коэффициента интенсивности напряжений в окрестности вершин трещины - важнейшей характеристики в механике разрушения.
Задачу об изотропной полуплоскости со свободной границей, ослабленную прямолинейной поперечной трещиной, поставленную в параграфе 1.1, а также задачу о составной упругой плоскости, имеющей поперечный трещиноподобный дефект в нижней полуплоскости, представленную в параграфе 1.2, можно рассматривать как частные случаи задачи о составной полуплоскости (полуплоскость, усиленная полосой), содержащей внутреннюю прямолинейную поперечную трещину конечной длины, расположенную в нижней полуплоскости, на некотором расстоянии от границы раздела материалов и перпендикулярно к ней, определяемые шириной накладки.
В задаче о полуплоскости со свободной границей можно считать ширину полосы (накладки) равной нулю (h = 0). Для задачи о составной плоскости ширина накладки стремится к бесконечности (Ті - оо).
Другим частным случаем является задача о полуплоскости, усиленной тонким покрытием (значение h - мало), рассмотренная в работах Б. В. Соболя и А. А. Краснощекого [76, 80], в постановке которой реальные граничные условия (1.8) при у = h и условия сопряжения (1.9) при у = 0 заменены специальным граничным условиям, моделирующим влияние накладки [1] у = 0:
Напряженно-деформированное состояние крупногабаритных деталей с накладками, ослабленных трещинами
Рассмотрим составную плоскость, состоящую из двух полуплоскостей. Нижняя полуплоскость (подложка) -00 X 00, у О, ослаблена прямолинейной поперечной трещиной длины 2а, которая расположена на расстоянии d от границы и перпендикулярно к ней. В направлении, перпендикулярном линии трещины, приложены нормальные растягивающие усилия, обеспечивающие ее раскрытие. Верхняя полуплоскость (накладка) занимает область -оо х оо, у О (рисунок
Постановка задачи о составной плоскости, ослабленной трещиной В силу линейности задачи, воспользуемся при ее постановке принципом суперпозиции, согласно которому рассматриваем далее равновесную трещину в бесконечном составном теле. Трещина поддерживается в раскрытом состоянии действием нормальных напряжений ох интенсивностью р(у), приложенных к ее берегам. ax\ = -p(y) (1.4)
Рассмотрим статическую задачу теории упругости для полуплоскости -оо х оо, у 0, ослабленной прямолинейной поперечной трещиной длины 2a, расположенной на расстоянии d от границы и перпендикулярно к ней. На границе полуплоскости находится упругий слой (полоса) толщины h. Нормальное сечение полосы занимает область -оо х оо, 0 у h. Полуплоскость будем называть подложкой, полосу - накладкой. В направлении, перпендикулярном линии трещины, к ее берегам приложены нормальные растягивающие усилия, обеспечивающие ее раскрытие (рисунок 1.3). В силу линейности задачи, при постановке воспользуемся принципом суперпозиции, согласно которому будем рассматривать равновесную трещину в бесконечном составном теле. Трещина поддерживается в раскрытом состоянии действием нормальных напряжений ох интенсивности -р(у), приложенных к ее берегам (1.4).
Постановка задачи о полуплоскости, усиленной накладкой и ослабленной трещиной 1.5. Выводы по первой главе Основной целью исследования в каждой из поставленных выше задач является определение коэффициента интенсивности напряжений в окрестности вершин трещины - важнейшей характеристики в механике разрушения.
Задачу об изотропной полуплоскости со свободной границей, ослабленную прямолинейной поперечной трещиной, поставленную в параграфе 1.1, а также задачу о составной упругой плоскости, имеющей поперечный трещиноподобный дефект в нижней полуплоскости, представленную в параграфе 1.2, можно рассматривать как частные случаи задачи о составной полуплоскости (полуплоскость, усиленная полосой), содержащей внутреннюю прямолинейную поперечную трещину конечной длины, расположенную в нижней полуплоскости, на некотором расстоянии от границы раздела материалов и перпендикулярно к ней, определяемые шириной накладки.
В задаче о полуплоскости со свободной границей можно считать ширину полосы (накладки) равной нулю (h = 0). Для задачи о составной плоскости ширина накладки стремится к бесконечности (Ті - оо).
Другим частным случаем является задача о полуплоскости, усиленной тонким покрытием (значение h - мало), рассмотренная в работах Б. В. Соболя и А. А. Краснощекого [76, 80], в постановке которой реальные граничные условия (1.8) при у = h и условия сопряжения (1.9) при у = 0 заменены специальным граничным условиям, моделирующим влияние накладки [1] у = 0:
Вывод интегрального уравнения для полуплоскости со свободной границей
Для задачи о полуплоскости со свободной границей методом разрывных решений получено интегральное уравнение, которое точно совпадает с известным интегральным уравнением задачи, выведенным на основе аппарата комплексных потенциалов [61, 69].
Получено сингулярное интегральное уравнение для задачи о составной упругой плоскости с трещиной. Регулярная часть ядра получена аналитически.
Для новой задачи о полуплоскости с накладкой предложена структура аппроксимации ядра интегрального уравнения, позволяющая получить аналитическое решение задачи.
Рассмотренные задачи об определении напряженно деформированного состояния упругой полуплоскости со свободной границей, с накладкой конечной толщины, а также задача о составной плоскости относятся к одному классу задач, полученные сингулярные интегральные уравнения этих задач имеют одинаковую структуру.
Задача о полуплоскости со свободной границей и задача о составной плоскости являются предельными случаями задачи о полуплоскости с накладкой, поэтому с их помощью можно провести оценку напряженно-деформированного состояния полуплоскости с накладкой. Глава
Для проведения качественного анализа решения интегрального уравнения, построим его асимптотическое решение с помощью метода малого параметра. Безразмерный параметр (2.86), характеризующий расстояние между центром трещины и границей раздела полуплоскости с накладкой (в общем случае), при бесконечно большом удалении трещины от границы (d —» ) стремится к нулю —» 0.
Модуль сдвига G2 и модуль Юнга Е2 связаны через коэффициент Пуассона v2 выражением:
В предположении, что нормальные усилия интенсивности напряжений р(у) = 1, в левой части интегрального уравнения (2.89) получаем константу, характеризующую физические параметры задачи
Решение интегрального уравнения (2.89) построим, предполагая, что относительное расстояние между трещиной и границей полуплоскости достаточно велико, а следовательно, параметр Я достаточно мал (Я « 1).
Подставляя разложение (3.3) - (3.5) в уравнение (2.89) и сопоставляя выражения при соответствующих степенях Л, получаем ряд последовательно решаемых интегральных уравнений относительно функции g(z), /=1,2,...
Для решения четвертого и следующих уравнений системы будем использовать аналогичные рассуждения. В результате получаем:
Функция g oo(z) есть производная функции раскрытия трещины в неограниченной плоскости, N(z) - фактор влияния, отражающий влияние различных геометрических и физических параметров задачи на концентрацию напряжений.
Используя методом коллокаций, построим решение интегрального уравнения (2.89) в виде линейной комбинации базисных функций, явно учитывающих особенность в окрестности края трещины: где Тп, Un - полиномы Чебышева I и II рода соответственно, Хп-коэффициенты при базисных функциях, М - количество узловых точек.
При выборе числа узлов коллокаций необходимо учитывать значение параметра X. C увеличением X происходит падение точности решения. Как показывают непосредственные вычисления, при значениях Л 0,95, для получения решения с точностью в пределах 3% достаточно использовать 8 узлов коллокаций.
Проведем исследование влияния свойств некоторых материалов накладки на фактор влияния N(z) (приведенного коэффициента интенсивности нормальных напряжений) от параметра Я, характеризующего относительное расстояние трещины до границы раздела. Фактор влияния представляет собой отношение N(z) = K,(z)/Kl00(z), (3.34) где Kj(z) - коэффициента интенсивности нормальных напряжений в окрестности вершин трещины (z = +l), KlQ0(z) - соответствующая величина для случая такой же трещины в бесконечной упругой плоскости [2]. Фактор влияния () показывает изменения концентрации напряжений, обусловленные влиянием физических и геометрических параметров накладки и границами сред.
В качестве материала подложки рассматривается конструкционная сталь. Материалы исследуемых накладок и их физические параметры, характеризующие свойства упругой деформации, представлены в таблице (3.1).
Анализ применимости метода малого параметра для расчета концентрации напряжений в вершине поперечной трещины в составной плоскости
Проведен анализ влияния толщины накладки на концентрацию напряжений в вершине трещины. Анализ результатов исследования показал, что коэффициент интенсивности нормальных напряжений, а, следовательно, и фактор влияния возрастает в следующих случаях: - с увеличением размера трещины; - при приближении трещины к границе раздела материалов; - с уменьшением толщины накладки.
Исследовано влияние относительной толщины накладки h/a при фиксированных геометрических параметрах трещины (Я = const). Установлено, что накладка значительно влияет на уменьшение интенсивности напряжений для больших трещин близких к границе раздела материалов (рисунок 3.10).
Изменение фактора влияния в вершине трещины в зависимости от относительной толщины накладки. Модельная задача: материал накладки – вольфрам, подложки – конструкционная сталь. 3.4. Выводы по третьей главе
трещины для задач: - о составной упругой плоскости (методом малого параметра и методом коллокаций); - о составной упругой полуплоскости (методом коллокаций). Предложенная Проведены расчеты концентрации напряжений в вершине поперечной внутренней во второй главе структура аппроксимации ядра численно подтверждена и дает качественные результаты решения задачи о составной упругой полуплоскости, ослабленной поперечной внутренней трещиной.
Качественно и количественно установлен характер влияния геометрических и физических параметров задач на концентрацию напряжений в вершине трещины.
Установлены значения фактора влияния, характеризующего концентрацию напряжений в вершине трещины для задачи о трещине в составной упругой полуплоскости при различных геометрических параметрах трещины.
Для частных случаев задачи методом малого параметра получены аналитические решения в виде асимптотического разложения по малому параметру Я, характеризующему геометрические особенности задачи, отношение полуразмера трещины к расстоянию удаления центра трещины от границы раздела сред. Данные решения позволяют провести качественный и количественный анализ влияния физических и геометрических параметров задачи. Решения задачи для частных случаев являются предельными для задачи в общей постановке. Сравнение асимптотических решений с точными численными решениями, полученными методом коллокаций, позволили установить диапазоны эффективности асимптотических решений для различных значений геометрических и физических параметров задачи.
В общем случае построено решение задачи методом коллокаций в виде разложения в ряд по полиномам Чебышева, явно учитывающее особенность в окрестности вершины трещины. Проведен анализ сходимости метода коллокаций. Установлено, что необходимая точность решения методом коллокаций достигается с использованием восьми узловых точек.
Установлен характер влияния различных геометрических и физических факторов на концентрацию напряжений в окрестности вершин трещин. Для составной полуплоскости выполнен анализ зависимости фактора влияния N{z) в вершине трещины. Накладка из более жесткого материала, по сравнению с материалом подложки, в зависимости от ее толщины, может давать величину фактора влияния и больше, и меньше единицы, то есть может быть как сдерживающим фактором, так и усиливающим раскрытие трещины. В случае более жесткой накладки, чем подложка, при ее относительной толщине h/a 8, фактор влияния N(1) задачи о полуплоскости с накладкой отличается от фактора влияния для составной плоскости не более чем на 5%. Аналогичный эффект выявлен и в случае более мягкой накладки, если ее относительная толщина h/a 16. С уменьшением относительной толщины накладки, величина фактора влияния рассматриваемой задачи приближается к величине фактора влияния для случая свободной полуплоскости. Исследовано влияние относительной толщины накладки h/a при фиксированных геометрических параметрах трещины, установлено, что накладка значительно влияет на уменьшение интенсивности напряжений для больших трещин близких к границе раздела материалов. Анализ результатов исследования показал, что КИН возрастает в следующих случаях: - с увеличением размера трещины; - при приближении трещины к границе раздела материалов; - с уменьшением толщины накладки.
