Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Некоторые проблемы механики разрушения вязко-упругих и упруго-пластических тел с трещинам 7
1.1. Модели и критерии механики разрушения 7
1.2. Обзор основных работ в области исследования докритического роста трещин в вязко-упругих и упруго-пластических материалах 14
1.3. Цель исследования и структура диссер тационной работы 21
Глава 2. Докриїический рост трещины в вязко-упругой пластине с неоднородным распределением напряжений в области предразрушения 25
2.1. Исходные положения 25
2.2. Трещина в упругой пластине 26
2.3. Инкубационный период развития трещины в вязко-упругой пластине 32
2.4. Переходной этап развития трещины 35
2.5. Основной этап медленного роста трещины 39
2.6. Случай линейного распределения напряжений 43
2.7. Сравнение полученных результатов 46
2.8. Приближенный анализ долговечности вязко-упругой пластины с трещиной 50
Глава 3. Докриїический рост усталостных трещин в упроч няющихся упруго-пластических материалах . 57
3.1. Обобщение модели трещины Дагдейла на случай упрочняющегося материала 58
3.2. Энергетическая у - концепция Г.П.Черепанова 62
3.3. Подрастание трещины при монотонном нагружении 68
3.4. Скорость роста усталостной трещины 74
3.5. Макроскопическая трещина 78
3.6. Учет существования безопасных нагрузок и порогового значения коэффициента ин тенсивности напряжений Kjy 81
3.7. Сравнение с теоретическими и эксперимен тальными данными 88
Глава 4. Усталостный рост трещиш в условиях ползучести 93
4.1. Постановка задачи 93
4.2. Скорость роста трещины вследствие пол зучести 94
4.3. "Скорость роста усталостной трещины 98
4.4. Суммарный эффект от ползучести и уста лости 100
4.5. Случай макроскопической трещины 106
Заключение 111
Литература 113
- Обзор основных работ в области исследования докритического роста трещин в вязко-упругих и упруго-пластических материалах
- Инкубационный период развития трещины в вязко-упругой пластине
- Приближенный анализ долговечности вязко-упругой пластины с трещиной
- Учет существования безопасных нагрузок и порогового значения коэффициента ин тенсивности напряжений Kjy
Введение к работе
В последние годы особую актуальность в механике разрушения приобрели исследования докритического роста трещин в вязко-упругих и упруго-пластических материалах. Было установлено, что в отличие от идеально упругих тел, характер их разрушения является более сложным процессом, вследствие чего одних критериев линейной механики разрушения оказалось недостаточно.
Главная особенность при разрушении даных материалов заключается в наличии длительного периода медленного докритического роста трещины, который не описывается известной теорией Гриффитса-Ирвина. .Причиной медленного роста трещин обычно является ползучесть материала для вязко-упругих тел и исчерпание способности материала к пластическому деформированию вблизи вершины трещины для упруго-пластических.
Вторая особенность связана с образованием вблизи вершин трещины так называемых концевых зон или областей предразрушения. Причем в полимерах здесь происходит расслоение материала, в металлах- пластическое течение. Чтобы учесть это сложное нелинейное состояние, было предложено ряд модельных представлений относительно поведения полуразрушенного материала.
Наибольшее распространение получила модель трещины Леонова-Панасюка-Дагдейла. Суть ее заключается в следующем: на продолжении линии трещины область предразрушения заменяется разрезом длиной & , на берегах которого приложены самоуравновешенные сжимающие напряжения, равные в модели Леонова-Панасюка пределу хрупкой прочности б , в модели Дагдейла - пределу текучести бт-
Большинство исследований по докритическому росту трещин в вязко-упругих и упруго-пластических пластинах выполнено на основе упомянутой модели с равномерным распределением напряжений в области предразрушения. К ним относятся работы Л.В.Никитина, В.В.Кострова
и Л.М.Флитмана, А.А.Каминского, Г.П.Черепанова, В.З.Нартона, E.ivl. Морозова, Внука и других авторов.
Наряду с этим, в работах М.Я.Леонова и В.В.Панасюка, Г.Н.Савина и А.А.Каминского, Кнаусса, Шепери указывалось, что действительное распределение напряжений может носить более сложный характер, например, в полимерах или металлах вследствие упрочнения материала в пластической зоне, других факторов. Это было экспериментально подтверждено Бессоновым М.И. и Кувшинским Е.В. для полиметилметакрила-та.Внастоящее время имеется ограниченное число исследований докри-тического роста трещин, выполненньк на основе сложных распределений напряжений в области предразрушвния.
Целью настоящей диссертационной работы является исследование кинетики развития трещины в вязко-упругих и упруго-пластических телах на основе обобщенных моделей разрушения, учитывающих неравномерное распределение напряжений перед концом трещины (концевая зона).
На защиту выносятся следующие положения:
вывод основных уравнений докритического роста трещины нормального отрыва в вязко-упругих и упруго-пластических пластинах с неравномерным распределением напряжений в области предразрушения;
исследование развития усталостных трещин в упруго-пластических средах с учетом существования порогового коэффициента интенсивности напряжений Kjy.
установление новых закономерностей докритического роста трещины вследствие ползучести и усталости материала.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.
Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах отдела пластичности и разрушения материалов Института механики АН УССР (Киев, 1982, 1984), на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983), на семинаре по направлению "Проч-
ность, пластичность и разрушение" Института механики АН УССР (Киев, 1984).
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в раоотах [II, 12, 28] .
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук К/ШИНСКОМУ Анатолию Алексеевичу за руководство, внимание, ценные советы и замечания при выполнении работы.
Обзор основных работ в области исследования докритического роста трещин в вязко-упругих и упруго-пластических материалах
Характер разрушения элементов конструкций заставил в последние 10-15 лет пересмотреть концепцию о критическом (мгновенном) разрушении, поскольку имеется ярко выраженная зависимость разрушения от длительности нагружения и свойств материала. Было установлено, что полному разрушению тела предшествует длительное устойчивое развитие трещины, причем величина этого периода может составлять значительную часть долговечности тела. Хотя исследования медленного роста трещин стали проводить сравнительно недавно, опубликовано большое количество работ, посвященных данной проблеме. Это работы Г.П.Черепанова [65.- 67], Е.М.Морозова, В.Т.Сапунова [4l] , В.З.Партона, Е.М.Морозова [48] , Б.В.Кострова, Л.В.Никитина, Л.М.Ілитмана [Зі] , А.А.Каминского [22, 24] , А.Е.Андрейкива [i] , Г.И.Баренблатта, В.М.Ентова, Л.Р.Салганика [3-4] , С.Н.Журкова [і7] , Л.И.Слепяна, Л.В.Троян- киной [60] , В.В.Болотина [8] , В.С.Ивановой [18, 19] , С.Я.Яре-мы [71-74] , Внука [99-Юі] , Кнаусса[87, 88] , Шепери [95-97] , Маккартни [90-91] и др.
Остановимся вначале кратко на некоторых результатах исследований медленного роста трещин в вязко-упругих средах, которые непосредственно примыкают к теме диссертационной работы. Наибольшее развитие и,в ряде случаев, экспериментальное обоснование получили исследования кинетики роста трещин на основе модели трещины Леонова-Панасюка-Дагдейла. Эти исследования были начаты в работе [57] и проводились в различных аспектах в работах [22, 24, 3, 4, 31, 48, 99, 100, 87, 88, 95-97, 90-91] . Б.В.Костров, Л.В.Никитин и Л.М.Флитман [Зі] в рамках (Гк -модели Леонова-Панасюка получили дифференциальное уравнение, описывающее рост трещины нормального отрыва с очень малой концевой зоной в вязко-упругом теле. Предполагается, что этот рост происходит с постоянной скоростью. В качестве примеров исследованы задачи о росте трещин в материалах, описываемых моделями Максвелла, Фойгта и Кельвина. Внук [Ю0] исходя из модели трещины Дагдейла и энергетического критерия,представил уравнение, описывающее докритический рост трещины в вязко-упругом теле, в следующем виде: Здесь Ji - интегро-дифференциальный оператор, описывающий медленный рост трещины; Y - функция ползучести; $ - поток энергии в вершину трещины, отнесенный к единице площади трещины; (jc - критическое значение величины (г ; р параметр внешнего нагружения; Д - размер концевой зоны; {, - длина трещины; I - скорость роста трещины.. В работах А.А.Каминского [20 -26] на основе модифицированной (), - модели трещины получены определяющие уравнения докри-тического роста трещин нормального отрыва в изотропных и анизотропных вязко-упругих телах на всех этапах их развития. Разработан приближенный метод решения этих уравнений. При этом исследовалась кинетика докритического роста трещин как с малой так и достаточно развитой концевой зоной. Рассматривались две концепции: 1.
Во время роста трещины напряжения в области предразруше-ния б - con&t , а размер этой области изменяется со временем и определяется из условия (I.I2). 2. При развитии трещины размер области предразрушения & = = мтЖ , а напряжения в изменяются с ростом трещины и определяются из условия (I.I.7). Кнаусс [87] исследовал вязко-упругий аналог задачи Гриффитса, исходя из модели типа Леонова-Панасюка и энергетического критерия следующего вида: Здесь бп , V - нормальные напряжения и перемещения соответственно; «С - размер концевой зоны; Г - интенсивность поверхностной энергии. Полагая, что напряжения Эу. распределены по закону Кнаусс получил из критерия (1.2.2) нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее рост трещины в вязко-упругом теле. Это уравнение имеет вид где &{ї) - функция податливости. В последующей работе [88] Кнаусс рассмотрел устойчивый рост трещины в вязко-упругой полосе под действием постоянного смещения краев полосы. В качестве модели трещины выбрана двухфазная модель типа Леонова-Панасюка с малой концевой зоной, когда напряжения в них меняются по некоторому закону (на одной части концевой зоны они постоянны, а на другой изменяются по линейному закону). Рассматривается только движение трещины с постоянной скоростью. В результате исследования были определены зависимости коэффициента интенсивности напряжений от скорости роста трещины. В этой работе также проводилось сравнение полученных результатов с расчетами, выполненными на основе модели с равномерным распределением напряжений в концевой зоне. Было показано, что отклонение распределения напряжений от равномерного вносит незначительные изменения в окончательные результаты, и поэтому можно пользоваться наиболее простым случаем, когда напряжения 6=« mi . Однако, как показано в работах [24, 35j , в приведенной статье Кнаусса имеются серьезные недостатки, вызванные неверным определением коэффициента интенсивности напряжений.
Инкубационный период развития трещины в вязко-упругой пластине
Развитие трещины в вязко-упругой пластине при докритических внешних нагрузках р в общем случае можно условно разбить на три периода [22, 24] ; инкубационный, период медленного квазистатического роста трещины и период динамического развития трещины. Во время инкубационного периода происходит раскрытие берегов трещины без ее роста. Согласно принципу Вольтерра [24, 8l] уравнение контура трещины в однородной вязко-упругой пластине можно представить так: где (j (Xji) ZVftjl) - упругое раскрытие на основании (2.3.1); т = -L. - интегральный оператор Вольтерра второго рода, Е который имеет вид Рост трещины, согласно 0Н - модели 37, 47, 24 , начнется когда раскрытие берегов трещины при х = {, 0 ( Ь0 начальная длина трещины) достигнет предельного значения Тогда, полагая, что внешняя нагрузка р приложена мгновенно в момент і = О, определим длительность инкубационного периода х из условия (2.3.3) с учетом соотношений (2.3.2), (2.3.1) и (2.2.14) или где Г() = Т0 (Г0() - упругое раскрытие берегов трещины при х = .Из (2.2.14) находим где = ff гь\ " кРитический размер трещины, при котором начинается спонтанное ее развитие. В качестве примера рассмотрим случай, когда (i -г) есть ядро Абеля, с помощью которого описывается ползучесть некоторых вязко-упругих материалов [52, 53] Г - гамма-функция Эйлера; X - реологический параметр материала, имеющий размерность %
Тогда длительность инкубационного периода t можно найти по формуле Для материала После инкубационного периода при докритических внешних нагрузках начинается медленный рост трещины. Как следует из многих экспериментальных данных Г7, 31, 87] , трещина основную часть этого периода проходит со скоростью, близкой к постоянной. Это позволяет исследовать задачу в квазистатической постановке, т.е. полагать движение настолько медленным, что можно пренебречь инерционными членами в уравнениях движения. Будем далее условно разделять этот период на два этапа [24] . Во время первого (переходного) трещина начинает свое движение в момент времени t и проходит расстояние равное начальному размеру концевой зоны d0 .
Обозначим через t± время достижения трещиной длины Ь t + &0 После этого начинается второй (основной) этап, во время которого трещина медленно подрастает до критического размера , когда начинается ее спонтанное развитие. Полагая, что в каждый момент времени для растущей трещины справедливо условие получим уравнение роста трещины во время переходного этапа при постоянной докритической нагрузке [24] времени i1 (конец переходного этапа) из (2.4.2) имеем іие для определения длительности переходного этапа tft Как показано в работе [Зі] , трещина основную часть пути на этом этапе проходит со скоростью близкой к постоянной. Поэтому для приближенной оценки длительности переходного эта- па hi 4-ї "І можно воспользоваться формулой полученной из условия квазистационарности процесса развития трещины
Приближенный анализ долговечности вязко-упругой пластины с трещиной
Полученные результаты в предыдущем параграфе ставят исследователя в весьма трудное положение. Ведь оказалось, что для определения долговечности тела с трещиной необходимо знать характер (закон) распределения напряжений в концевой зоне трещины. А это представляется трудноразрешимой задачей, по крайней мере сегодня (см. I.I). G другой стороны, если даже каким-то образом все-таки удается определить этот характер распределения б#(я) , то чаще всего сложна математическая сторона проблемы. Возникает вопрос: нельзя ли при исследовании долговечности тела с трещиной заменить сложный характер распределения напряжений в области предразрушения более простым, например, б=бср= const. Причем, б ср. является некоторым усредненным значением истинных напряжений в этой области Практическая пригодность такого подхода показана ниже. Пусть действительное распределение напряжений в концевой зоне трещины описывается распределением (.2.4). Рассмотрим напряжение Таким образом необходимо исследовать кинетику развития трещины в вязко-упругом теле, когда напряжения в области предразрушения распределены равномерно и равны 6 . = - -00 . В этом случае можно воспользоваться результатами монографии [24J , которые получены в предположении б = еяпіЛ . При этом следует помнить, ЧТО б = Эср = -- 60 . Для линейного закона распределения напряжений (2.6.1) имеем В табл.2.4. приведены полные долговечности вязко-упругой пластины с трещиной,, когда ползучесть описывается ядром Абеля. При численных расчетах приняты следующие обозначения: Tjfs І + АІ + АІ - полная долговечность пластины с трещиной при распределении напряжений (2.2.4); Т - полная долговечность при линейном распределении (2.6.1); 7 «,. » Т#ср. - полные долговечности соответственно для равномерных распределений (2.8.2) и (2.8.3) Полученные численные результаты показывают, что долговечности пластины с трещиной, рассчитанные на основе модели 6 = 6 и 6ср.= wnit хорошо коррелируют с соответствующими долговеч-ностями при распределениях (2.2.4) и (2.6.1).
При этом максимальная относительная погрешность не превышает 20$. Поэтому можно сделать следующий вывод: для приближенного определения долговечности вязко-упругой пластины с трещиной, находящейся под действием постоянной или медленно возрастающей нагрузки можно пользоваться моделированием концевой зоны разрезом с приложенными на его берегах постоянными 6— б ср. , являющимися некоторыми усредненными значениями истинных напряжений в этой области. Широкий класс упруго-пластических материалов с трещинами имеет при разрушении некоторые специфические особенности. Во-первых, в окрестности вершины трещины в таких материалах возникают пластические зоны, границы которых имеют сложные очертания и форму. Во-вторых, хорошо известны экспериментальные данные о наличии участка устойчивого (медленного) роста трещины при монотонном на-гружении, а также при повторяющихся (циклических) нагрузках. Что касается первой особенности, то здесь наметились два пути учета пластических свойств материала. Один из них заключается в решении упруго-пластической задачи для тела с трещиной, где в ходе решения, помимо определения возникающих напряжений и деформаций, должна быть определена граница, отделяющая упругую и пластическую зоны. Этот путь связан с большими математическими трудностями.
Второй путь основан на рассмотрении схематизированных упруго-пластических решений с вырожденными пластическими зонами. Эти решения отличаются простотой и в отдельных случаях имеют определенное значение. К ним относится решение, предложенное Дагдейлом [77J для случая плоского напряженного состояния. Согласно гипотезе Дагдейла пластическая область представляет собой узкую зону длиной d ; напряжения би. в этой зоне постоянны и равны бт В такой постановке задача сводится к построению решения для упругой плоскости с разрезом с заданными на берегах пластических зон постоянными напряжениями би. = 6Т .
Учет существования безопасных нагрузок и порогового значения коэффициента ин тенсивности напряжений Kjy
Заметим, что согласно У - концепции рост трещины при однократном и циклическом нагружении происходит при любых значениях нагрузки ft= p- 0 . Фактически же при достаточно низких, максимальных нагрузках трещина может не распространяться. Это подтверждают экспериментальные исследования [33, 71-74] по нерас-пространяющимся усталостным трещинам. Рассмотрим данный вопрос подробнее. Пусть пластина из упруго-пластического материала с центральной трещиной длины ЯІ0 растягивается на бесконечности напряжением р . Допустим, что нагрузка монотонно увеличивается, начиная с нуля, в результате чего в конце трещины образуется пластическая область, размер которой растет с увеличением р . При достижении нагрузкой некоторого значения p (W » зависящего от длины трещины -0 , трещина начинает медленно расти, формируя -вблизи вершины пластическую зону. G момента достижения р = (0J процесс докритического роста описывается уравнением (3.2.3) или (3.2.9), полученных на основании концепции Y± . Нагрузку р для заданной длины трещины i0 будем называть максимальной безопасной нагрузкой (при р р трещина не растет). Поскольку на первом этапе нагружения роста трещины нет, то вся энергия диссипируется в формируемой пластической зоне. Эта энергия представляет собой необратимую работу пластических деформаций, вызваннуюю увеличением пластической области в процессе нагружения при постоянной длине трещины i,0 .
Обозначив ее как и прежде (см, 3.2) через &р , найдем где hd, - приращение длины пластической зоны при увеличении нагрузки fi на д Запишем дАр в таком виде Величина fa представляет собой диссипацию энергии, приходящуюся на единицу длины пластической зоны, т.е. энергию, затраченную на образование единицы длины рассматриваемой зоны. В свою очередь на основании (3.1.6) можно записать Откуда, варьируя в правой части только напряжения, имеем После разложения в выражении (3.6.1) подинтегральной функции в ряд Тейлора и устремления Afi к нулю с учетом (3.6.2), (3.6.4) получим В рамках рассматриваемой модели трещины с распределением (3.1.I) окончательно находим где Для модели трещины Датдейла ( /7t = I) соотношение (3.6.6) имеет довольно простой вид Значению P (l0) соответствует величина удельной энергии Будем полагать, что Yp является постоянной материала при одинаковых внешних условиях и температуре.35 Поскольку функция нагрузки й( йг) при фиксированном значении параметра пи является монотонно возрастающей (см.рис.3.8), то на основании сделанного выше предположения следует логически непротиворечивый результат к Предположение о постоянстве величины позволило в дальнейшем (см. 3.7) получить уравнение для скорости роста усталостной трещины, хорошо согласующееся с экспериментальными данными.
