Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время функционально-градиентные материалы широко применяются в различных областях техники, поэтому изучение математических моделей таких материалов и проведение исследования на основе их физических характеристик при различных условиях воздействия является актуальной задачей.
Одними из первых исследований в этой области были работа Chen и Erdogan, посвященная анализу трещины на границе неоднородного слоя, связанного с однородной основой и работы Choi, освещающие влияние механической и тепловой нагрузки на коллинеарные трещины многослойной полуплоскости со ступенчатой границей. Математическим аспектам моделирования материалов с трещинами посвящены работы Михайлова С.Е., некоторые из которых написаны в соавторстве с O. Chkadua и D. Natroshvili. В них используются методы конечных элементов, граничных интегральных уравнений и их различные модификации. Для случаев, когда свойства материала изменяются экспоненциально, построены явные фундаментальные решения соответствующих уравнений в частных производных. Трещина в этих работах моделируется линией на поверхности границы области, на которой происходит смена типа граничного условия. Такого рода смешанная задача изучается для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Основным результатом этих исследований является оценка асимптотики решения этой задачи по расстоянию до трещины.
Среди механиков, занимающихся данной тематикой, следует упомянуть Guo, Erdogan, Hu, Zhou, Ou, Yong и Zhou, V. Birman, J. Sladek, V. Sladek, Ch. Zhan , P. A. Martin, J. D. Richardson, L. J. Gray, J. Berger, Youn-Sha Chan, L. J. Gray, T. Kaplan, Glaucio H. Paulino, H. Wang, Q-H. Qin, Y-l.Kang, написавших ряд статей, охватывающих различные аспекты изучения трещины в функционально-градиентных материалах. Главным методом исследования большого количества моделей в работах этих авторов являются численные расчеты в различных математических пакетах. При этом практически не уделяется внимание изучению корректности постановки рассматриваемых задач.
Цель работы. Главной целью исследования всех задач, рассмотренных в работе, является построение сингулярных членов асимптотических представлений решений и их первых производных, описывающих тепловые потоки по малому параметру - расстоянию до трещины - границы области. При
этом большое внимание уделяется изучению корректности постановки задач.
Явно неклассическая постановка краевых условий и особая геометрия области, в которой задано уравнение, привели к необходимости тщательной формулировки определения решения (вообще говоря, неклассического), детальной проверки выполнения краевых условий и других факторов существования решения. В задачах, рассмотренных в первых двух главах, удается построить явные формулы представления обобщенного решения краевой и начально-краевой задач, описывающих распределение поля температуры в плоскости с трещиной по отрезку в случае, когда коэффициент внутренней теплопроводности является экспоненциальным. На этой основе изучить задачу о стационарном распределении тепла в плоскости с трещиной в случае переменного коэффициента теплопроводности более общего вида и доказать существование решения этой краевой задачи. Удается связать асимптотические представления решений для задач с постоянными и переменными коэффициентами. В нестационарном случае также построены асимптотики решения при большом времени.
Методы исследования. Используются методы теории
дифференциальных уравнений с частными производными, методы получения асимптотических оценок, интегральные преобразования, оценки специальных функций, методы функционального анализа в пространствах типа С.Л. Соболева, априорные оценки решений, методы повышения гладкости решений.
Научная новизна. Отличием данной работы от ранее имевшихся исследований является переход в каждой из рассмотренных задач к обобщенной задаче Коши, в которой трещина описывается специальной дельта- функцией. Это привело к выводу о необходимости рассмотрения краевой (и начально-краевой в главе 2) задачи типа трансмиссии (сопряжения), но не для разных уравнений на границе областей, а для решения одного и того же уравнения на линии разреза-трещины. В работе построены явные формулы представления обобщенных решений краевой и начально-краевой задач, описывающих распределение поля температуры в плоскости с трещиной по отрезку в случае, когда коэффициент внутренней теплопроводности является экспоненциальным, и доказано существование решения краевой задачи для случая переменного коэффициента внутренней теплопроводности более общего вида. Сформулировано понятие решения (уже не обобщенного, но и не классического в обычном смысле) каждой из рассмотренных задач. При дополнительных условиях на исходные параметры задач изучено выполнение граничных условий, а в случае нестационарной задачи и начальных условий.
Получены асимптотические представления тепловых потоков вблизи границы трещины, а также двойные асимптотики тепловых потоков при t ^ и х2 ^ +0.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем при изучении свойств композитных материалов с трещинами. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач механики разрушений. С математической точки зрения важны постановка и исследование новых краевых задач типа сопряжения (трансмиссии) и изучение качественных свойств их решений.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов с международным участием «ОБРАЗОВАНИЕ. НАУКА. ПРОИЗВОДСТВО. УПРАВЛЕНИЕ» (24-25 ноября 2010 года, Старый Оскол); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (25 января - 1 февраля 2011 года, Воронеж); XXV Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXII» «СОВРЕМЕННЫЕМЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ» (3 - 9 мая 2011 года, Воронеж); ^Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПТУММ - 2011)» (12 - 17 сентября 2011 года, Воронеж); научных семинарах под руководством проф. А. В. Глушко (2011 год, Воронеж); международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2012» (25 - 30 января 2012 года, Воронеж); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (14 мая - 18 мая 2012 года, Ижевск).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[15]. Работы [1], [8], [9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ [1], [15] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 126 страниц. Библиография содержит 51 наименование работ российских и зарубежных авторов.
