Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированных областях с различными краевыми условиями на границе разных полостей Воробьев Антон Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задачи усреднения в перфорированной области с классическими краевыми условиями 15

1.1 Общие обозначения 15

1.2 Вспомогательные утверждения 16

1.3 Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, ячейка периодичности которой содержит две полости с краевым условием Дирихле на границе одной полости и смешанным краевым условием на границе второй 23

Глава 2. Задачи усреднения вариационных неравенств в перфорированных областях 40

2.1 Усреднение однородной задачи Синьарини в области с произвольной плотностью перфорации 40

2.2 Усреднение неоднородной задачи Синьорипи в периодически перфорированной области 52

2.3 Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, содержащей две полости в ячейке периодичности на границе одной из которых заданы однородные условия Синьорин и, а на второй смешанное краевое условие 63

2.4. Задача с препятствием 78

Иллюстрации 91

Библиография 93

• Вспомогательные утверждения
• Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, ячейка периодичности которой содержит две полости с краевым условием Дирихле на границе одной полости и смешанным краевым условием на границе второй
• Усреднение неоднородной задачи Синьорипи в периодически перфорированной области
• Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, содержащей две полости в ячейке периодичности на границе одной из которых заданы однородные условия Синьорин и, а на второй смешанное краевое условие

Введение к работе

Многие задачи механики сильно неоднородных сред, композитных материалов, микроэлектроники приводят к необходимости построения усреднённых моделей этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усреднённые характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической в самой области или периодичности возмущений на границе). Это приводит к рассмотрению краевых задач для уравнений с частными производными в периодически перфорированных областях, краевых задач для областей с быстро осциллирующей границей, задач с осциллирующими коэффициентами. Доказательство теорем существования и единственности решений задач такого вида проводится классическими методами и обычно не вызывает дополнительных сложностей. Между тем нахождение самих решений точными методами не всегда возможно. Приближенные же методы решения задач этого вида требуют непомерного объёма вычислений. Теория усреднения стала тем новым подходом, который позволяет свести решение исходных задач к решению более простых, которые уже могут быть решены по классической схеме.

Рассмотрению данного рода проблем посвящены многие работы, опубликованные в течение последних 50 лет. Наиболее ранними в этой области стоит считать работы Е. де Джорджи и С. Спаньоло [23] - [25], где были введены понятия G-сходимости и усреднения семейства операторов и изучены основные свойства G-сходимости эллиптических операторов второго порядка дивергентного вида. Общая теория G-сходимости бы-

Введение

ла построена О.А. Олейник, В.В. Жиковым, СМ. Козловым в работах [26], [27] и монографии [32]. Вопросы поведения решений краевых задач для уравнений в частных производных для перфорированных областей были рассмотрены в шестидесятые годы двадцатого века в книге В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [17]. Усреднению процессов в периодических средах посвящены монография 1-І.С. Бахвалова и Г.П. Пана-сенко [28], а также монография Э. Санчес-Паленсия [33]. Кроме того в работах О.А. Олейник, А.С. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [20] - [22] получены оценки отклонения решения краевой задачи для эллиптического уравнения и для систем теории упругости в перфорированной области от решения соответствующей усредненной задачи. Вопросы усредеиения систем теории упругости рассматирваются в монографии О.А. Олейник, А.С. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [1].

Статья О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [2] посвящена усреднению задачи Неймана в периодически перфорированной области с произвольной плотностью перфорации. В работе [8] рассматривается усреднение смешанной краевой задачи в частичио-перфорированой области с произвольной плотностью перфорации. В статье [13] изучен вопрос об усреднении краевых задач в области с непериодической структурой. В совместной работе В. Егера, О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [6] рассматривается задача усреднения, когда ячейка периодичности имеет две полости иа границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а иа другой — условие Неймана.

В последние годы успешно развивается теория усреднения различных вариационных неравенств, соответствующих краевым задачам с различного рода ограничениями на границе. Так в работе Даль Мазо [30] изучено асимптотическое поведение задачи минимизации функционала j_n (\Du\² + д(х, и)) dx с двусторонними препятствиями типа ф < и < ф, где {ф_є},{ф_є} — последовательности произвольных функций из Rⁿ в R. Работа [29] описывает усреднение решений последовательности вариационных неравенств для бигармонического оператора с переменным двусторонним препятствием. Г.А. Иосифьяном в [14] получены теоремы усреднения для задачи минимизации квадратичных интегральных функционалов на множестве допустимых функций, удовлетворяющих быстро осциллирующим периодическим ограничениям иа границе перфорированной области. Публикация [9] освещает вопросы усреднения односторонних краевых задач для упругих тел с изрезанной поверхностью. В

Введение

статье СЕ. Пастуховой [31] рассматривается задача искусственной кли-матизации в области с осциллирующей границей. Для нее получен вид предельной задачи и доказана слабая сходимость в #^!(fi).

В первой главе диссертации изучается асимптотическое поведение решения уравнения Пуассона в перфорированных областях когда ячейка периодичности содержит две полости, на границе одной из которых задано краевое условие Дирихле, а на другой смешанное краевое условие. Получены предельные теоремы для различных размеров полостей. Основной текст предваряется двумя вводными параграфами в которых вводятся общие обозначения и приводится доказательство лемм, общих для всей работы. Часть результатов первой главы была опубликована в [34].

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи усреднения вариационных неравенств. В 2.1 изучен случай, когда в ячейке периодичности содержится одна полость, и на ней заданы однородные условия Сииьорини. Показана зависимость предельной задачи от размеров полости перфорации.

В 2.2 изучено усреднение уравнения Пуассона в области ячейка которой содержит одну полость на которой заданы неоднородные условия Сииьорини. Полость имеет так называемый критический размер lima"^-16:~" = С\ = const > 0. Результаты этого параграфа были опу-

—+0

бликованы в [35].

В 2.3 изучается задача усреднения вариационного неравенства в периодически перфорированной области, имеющей две полости различного масштаба в ячейке периодичности. На границе одной из этих полостей задано смешаное краевое условие, а на границе второй — однородные условия Синьориии. Получена предельная вариационная задача и доказана теорема о сходимости решения щ исходной задачи к решению усредненной задачи при є —» 0. Данные результаты вошли в статью [37].

В 2.4 проводится исследование асимптотического поведения решений задачи с препятствием в области, перфорированной вдоль гиперплоскости с нулевым условием Дирихле на всей границе. Результаты данного раздела опубликованы в [36].

Далее сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Пусть Q — гладкая ограниченная область в R^r\n > 3,Q = {х є Rⁿ : О < Xj < 1, j = 1,...,п} — единичный куб в Rⁿ;Go,Gi — множества,

Введение

диффеоморфные шару, причём Go Г) G\ = 0, Gi С Q, і — 0,1. Определим Si = dGi — границы соответствующих полостей, а\ — параметры, зависящие от е. Будем обозначать аВ = {х\а~¹х Є В].

Определим периодическую структуру G во всём Я" полагая G —

U (ez + IJa^Gt) і ^ГДЄ Z — множество векторов z — (zi,... ,г„) с це-

лочисленными координатами, значения параметра і определяется в каждой задаче отдельно. Если полость всего одна, то мы будем его опускать. Теперь рассмотрим область Q — Q \ G и введём обозначения S — dVl П П, Г_е = Ш \ 5. Для ячейки периодичности будем использовать обозначение Y = eQ \ , при этом і здесь так же определяется

конкретной задачей.

Положим {и)_и = rfifudx, где \ш\ — мера Лебега множества ш.Через

Ні{и>,у) обозначено замыкание по норме Н\{и) множества бесконечно дифференцируемых в и> функций v, обращающихся в нуль в окрестности

Введём дополнительные обозначения. Для задачи, рассмотренной в первой главе, будем считать, что полость Go — открытый шар. Положим Т? = a?Go, Т** = af G_b где а? < с_:є, af < с₂є, с_г = с₂ = const, Т* -шар, концентрический с T_e^D, имеющий радиус Ь₀є, где b₀ = const > О, причем Tjf)W = 0- Определим Gf = W + ze) и G? = (Т/> + ге),

где Z — множество n-мерных векторов с целочисленными координатами. Кроме тогоЛ?, = Gf U Gf, 5_g^D = 9Gf f|^. -%^M = 3Gf f|^- Обозначим: У/> = е<Э \ Г/», У/' = eQ \ 7, П = У/> П П^М( см- Рис 5). Рассмотрим в 0 краевую задачу

-Ди_е = / вП,

ff + 6u = 0 _Ha5f, (1)

_U(r = 0 на Г U 5f,

где v — единичная внешняя нормаль к Sf', f — гладкая функция в Q,,b ~ const > 0. Под решением задачи (1) будем понимать функцию

Введение

щ #і(П,Г_ги 5f), удовлетворяющую интегральному тождеству

b I ifuds + / ЧірЧщйх = I fipdx (2)

для произвольной функции v? є #i(fi, Г_е U 5^),

Доказаны теоремы, описывающие усреднение данной задачи при различных размерах полостей.

Теорема 1. Пусть щ ~- решение задача (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей:

limfflf )"-¹-" = «ии* > 0, limfaf )^п~ V = сояаі > 0. (3)

Пусть щ — решение задачи

—Ащ + (р, + bCi)u_Q — f в Q, щ = 0 на dQ, п > 3, где

її = (п - 2)w(n) lim(af )"-Vⁿ, d = |0Gi| lim(af )"" V", (4)

w(n) — поверхность единичной сферы в Rⁿ. Тогда

\\щ - uo\\l₂{s) -* 0 при е -> 0.

Теорема 2. Пусть щ — решение задачи (О и выполнены следующие условия на размеры полостей

limfaf )"-V" = Со = cons* > 0, lim(af )^1_"ⁿ = со. Пусть щ — гладкое решение задачи

—Ащ + цщ = f (?П, где \i = (п — 2)w(n)C*o,

Тогда имеет место оценка:

11«, - «o||_ia(n_f) < АГ! (е + (af)»-¹^" + |Co - (af)"" V"j + af + (a? )²)

Введение

Теорема 3. Пусть функция и_Е — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей

lim(af )^1_пе^и = 0, lim(af)""V" = оо.

є—»0 є—*0

Тогда имеет место оценка

\Ы\лМ < 1<2^п/2 ((4¹)¹^ + (a?)²?) ||/[|_wn).

Теорема 4. Пусть функция щ — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей

Iim(of )^п-²е~^п = 0, |аСі| lim(af fV" = Сі = const > 0,

щ — решение задачи

-Аи₀ + bCiUQ - /, х е Q, u₀ Є #?(fi).

7огдя

11«, - «o||_ffl(n«) ^ ^{(«f є"¹)"'² + |/і - ЬСі| + (а?Г²є-^п},

где р = -6 meas(dT_e^M)/meas(Y_e^M) = ^¹.

Теорема 5. Пусть f є г(^)> где U Rⁿ — область с гладкой границей. Функция щ — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей

lim(af )^l~ⁿsⁿ = 0, lhn(a?)ⁿ-Vⁿ = 0.

є—*Q —»0

Тогда справедлива оценка

ІКІксад < К, ((af )^ + (af )"-²є-") .

Во второй главе рассматриваются задачи в периодически перфорированной области, на границе полостей которой заданы условия типа неравенств.

Параграф 2.1 посвящен усреднению уравнения Пуассона в области, ячейка периодичности которой содержит одну полость с однородными краевыми условиями Синьориии па её границе. Получены теоремы, показывающие зависимость вида предельной задачи от размеров полости перфорации.

Введение

В данном случае Go диффеоморфна шару, G — \J(aGo + ez), Y_t — eQ\^G^, Я_є = дП_є П П, П_є = Q \ G~, Г_є = ЗП \ <%. В области Q. рассмотрим следующую задачу:

-Аи_є = f в П_с, и_є - 0 на Г. , v

и_е < 0, ff < 0,uff = 0 на 5, п.в.,

где v — единичный вектор внешней нормали к S;f 2(^).

Под обобщенным решением задачи (5) понимаем функцию щ К — {v е H\{0,_etV_e)\v < 0 п. в. на ,%}, удовлетворяющую вариационному неравенству:

J VuV{g - u_e)dx > J f(g- u)dx (6)

для произвольной функции g Є K. Предположим, что

lim а^п~²е~^п = Со = const > 0, п > 3. (7)

Пусть и₀ обобщенное решение нелинейной краевой задачи

-Ащ + Си = f,xe Q; w₀ = 0,a;3fi. (8)

Под обобщенным решением понимается функция «о Є #?(П) которая удовлетворяет интегральному тождеству

/ VuoVgdx + G u^gdx — I fgdx
n fi fi

для любой g є Я(П). Здесь и⁺(х) — sup(u(x),0).

Теорема 6. Предположим, что выполнено условие (7). Пусть щ — обобщённое решение задачи (5), щ — обобщённое решение задачи (8). Тогда \\и - и₀\\_ЫПе) -» 0,є -» 0.

Пусть

Umo"-V" = 0. (9)

Рассмотрим «о — решение задачи

-Ди₀ =/.я Є П,и₀ #?(}). (10)

Тогда верна следующая теорема

Введение

Теорема 7. Предположим, что имеет место (9); щ — обобщённое решение (5); щ — обобщённое решение краевой задачи (10). Тогда

[i«-uolU₂(n_t)->0,e->0.

Предположим, что

\\та²-^пє^и = 0ка_є = о(є). (И)

Пусть и₀ є К₀— {д е #№) : д <0 п. в. вО} — обобщённое решение задачи

Ди₀ + / > 0,«о <0,(Д«о + /)«о = 0 п. в. в П,щ = О,іЄ0П. (12)

Под обобщенным решением понимается функция, удовлетворяющая вариационному неравенству

/ VuoV(# - uo)dx > і f(g - щ)сіх (13)

n n

для любой g є Kq.

Доказана следующая теорема

Теорема 8. Пусть и — обобщённое решение задача (5) и выполнено условие (11), функция щ W²'^P(Q) П #?(}), р < оо — решение задачи (12). Тогда

\\^иг — ^ио\\ні{П_Ґ) —* О, Є —+ 0.

В 2.2 рассматривается усреднение уравнения Пуассона в области, с ячейкой периодичности содержащей одну полость на которой заданы неоднородные условия Синьориии. Предположим, что

(14)

(15)

Введение

где / L₂(l), h С¹{ії), д є Я?(П),і/ — единичный вектор внешней нормали к S.

Обобщенным решением задачи (15) называется функция и_є Є К_с = {v є Яі(П_е, Г) : v < д(х) п. в. на S}, удовлетворяющая неравенству:

/ VtiV(u — u)dx > I f(v — u)dx + / h(v — u)ds (16)

iff d f Of

для произвольной v К_є.

Пусть /Со = {к Я(П) : u(ar) < д{х) п.в. в Г2}. Введем функцию uq Л"о как обобщенное решение задачи с препятствием

-Ли₀ < f{x) + С₀/г(:і:) в О;

(щ(х) — ^(я:))(Дио + f{x) + СоЛ(а;)) — 0 п.в. в П;

^0 < ^(^) ^п-^в- ^в Ф

щ ~ 0 на 9Q,

(17)

где Со = Cimes|9Gj. Функция щ является обобщенным решением (17), если она удовлетворяет вариационному неравенству

w - u₀)dx > J\f + C₀h)(w - u₀)dx, (t8)

для произвольного элемента w Є K_Q.

Теорема 10. Пусть и_е — обобщенное решение задачи (15), h є С¹ (ЇЇ),g Я?(Ю) П С²(ГТ); и₀ Є Щ П С^ГІ) — обобщенное решение задачи (17). Предположим, что выполнено условие (14). Тогда

ІК - «ollSun.) * W* + |С, - а""¹*""!²).

Параграф 2.3 содержит решение задачи усреднения для случая, когда в ячейке периодичности У_г = eQ \ (eG\ U aG2) имеются две полости, на границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а на другой краевое условие Синьорини.

Предположим, что

limo"^-^"" = Са = const > 0, (19)

е^о'^е

Введение

область Сі звёздная относительно некоторого шара и имеет границу 00. С²⁺⁽\0 < а < 1. Обозначим Sf = 9^(^1 + zs) П Q, 5| = 5 ЕС^Л +

ге) П П. В области Г2_е = О, \ J2 {Ус + ?^z) рассмотрим следующую задачу:

Аи = / в O_f,

Щ < 0, < 0,%|& = 0 на Sf п.в.,

0^ — ") "с й(,

f^- + 6u, = 0 HaSfn.B.,

їі_є — 0 на Г_е.

^: п о

(20)

Здесь b =const > 0, / (7(П),0 < а < l\u^s^v^M — единичные вектора внешней нормали к S\ и 5| соответственно. Пусть А^ = {и #i(fi, Г_е) : и<0п.в. на Sf}. Обобщенным решением задачи (20) называется функция щ Є К_є, удовлетворяющая неравенству:

/ VuV(u — u_s)dx + b u(v — u_E)dS_x > і f(v — u)dx (21)

для произвольной функции V К_є.

Рассмотрим вспомогательную задачу на ячейке

(22)

'Ав_е = ^вУ₎ k = -6 на 5aG₂,

0 = ОнаЗєС_ь (Щ_У( = 0вУ, где

^Я" і - Idi - (^е-¹)»^!

определяется из условия разрешимости этой задачи.

Введем 1-периодические по у = е~¹х функцию Nj(y), как решение краевой задачи

(ANj = 0 bQ\CT_{u ( А)}

\g& = -i>/ на 9G_b (Nj)^ = 0. Определим коэффициенты hij по формуле

Введение

Обозначим L(w₀) = E^-^f: + ^dw* + / ^где

w_Q є Ко = {и Є #i(fi) : и{х) < 0 п.в. в П} определяется как решение задачи

L(wq) > 0, іуо < 0, wqL{wq) — 0 п.в. в П. (26)

Обобщенным решением задачи (26) называется функция и>о Є ^о» УД~ влетворяющая неравенству:

У^ / hij—^ —dx -СІ w_Q{(p - wo)dx > I j{ip - u;₀)da;

для произвольной ip /Co*

Теорема 11. Пусть и_є - обобщенное решение задачи (20) в перфорированной области Q_s> в которой выполнено соотношение (19). Функция wq Є C^1+rt(2),0 < а < 1, является обобщенным решением (26) и 0_Є -решение задачи (22), Nj определяются как решение задачи (24), 1щ определены формулой (25). Тогда при є — О

агч 8wq

Щ - I Wq + 0_eW_Q + ^2^Nj ("J

-+0.

Я,(П)

В 2.4 рассмотрена задача с препятствием в области, перфорировано!! вдоль гиперплоскости.

Пусть Q — ограниченная область в R" (п > 2) с гладкой границей ЭП; 7 = П П {х R" : xi = 0} ф 0. Обозначим Q = {х є R" : |х₇-| < 1, j = 1,...,n}; Go = {x Є R" : \x\ < a},0 < a < 1; G_e = U K^Go + 2ez), a_ff -

0,є —* 0; Z — множество векторов г = (0,22,..., г„) ^с целочисленными координатами 2,-,,7 = 2,... ,п. Положим Q_e — П\ G (см. рис. 1). Предположим, что

Hmag~"e"~¹ = Со, при тг > 3, и, 1ітє|1па|^_1 — Сі, если п = 2. (27)

є—+0 ^ь —»0

где Со, Сі — неотрицательные константы.

В области 1_Е рассмотрим задачу с препятствием

Д« + / < 0, щ > (р вП_Е,

(Аи + /) (и_г - ip) = 0 в П_> «_е = 0 на Ш.

Введение

Предположим, что функции / Є Li(Q,), ір є С²{9) и Q..

Под обобщенным решением задачи (28) понимаем функцию и Є К_є = {и #(П)|и > <р п.в. в П}, для которой выполняется неравенство

[vu_eV{v~u_s)dx> [ f(v-u_e)dx, (29)

где v — произвольный элемент из К.

Введем функцию щ Є Ко — {и є #?(П) : и > tp п.в. в Q}, удовлетворяющую неравенству

/ Vu₀V(v — uo)rf^ + V uo(u — uo)^ > / /(и — uo)cte, (ЗО)

для произвольного элемента v є Ко; = (2:2,.. .,а:_Г1); ft — (п — 2)aⁿ~~²w{n)CQ^l, если п > 3, и p. = ^, если n = 2.

Обозначим У^ = єф \ aGo. Перенумеруем все ячейки вида У_є 4- 2ez, z = (0,^2,,..,) Є Z, имеющие непустое пересечение с П, и обозначим j-ю ячейку через У/, j = 1,..., N(s). Здесь N(e) = de^l~ⁿ, d — const > 0. Пусть Pi — центр этой ячейки, Т/ — шар радиуса г < є с центром P^j.

Рассмотрим шаровой слой Т1\Т , лежащий в j-u ячейке У/, и функ-

«"» <* - '^^-Г- " - ³^ - (^1П -) ^1П Ш'¹ '^П = ²-

Построим функцию Wg-, полагая w_e = a^ при х Є Ті \ Т*_а , j —

1, . - , N{e)\ ш_є = 0 при х Є U ri„_t; ш_е = 1 при х Є Rⁿ \ \J Ті.

з=і j=i ²

Теорема 12. Пусть щ — обобщенное решение задачи (28) и выполнены условия (27); щ — обобщенное решение неравенства (30). Тогда справедливы соотношения

\\щ - щи}_є\\_Иі(п_е) -* 0, при є -» 0, / \Vu_t\²dx -> / |Vu₀|²dx + ^ / Uo^dri ^ 0.

П П 7

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.А. Шапошниковой за постановку задач и внимание к данной работе.

Вспомогательные утверждения

Многие задачи механики сильно неоднородных сред, композитных материалов, микроэлектроники приводят к необходимости построения усреднённых моделей этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усреднённые характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической в самой области или периодичности возмущений на границе). Это приводит к рассмотрению краевых задач для уравнений с частными производными в периодически перфорированных областях, краевых задач для областей с быстро осциллирующей границей, задач с осциллирующими коэффициентами. Доказательство теорем существования и единственности решений задач такого вида проводится классическими методами и обычно не вызывает дополнительных сложностей. Между тем нахождение самих решений точными методами не всегда возможно. Приближенные же методы решения задач этого вида требуют непомерного объёма вычислений. Теория усреднения стала тем новым подходом, который позволяет свести решение исходных задач к решению более простых, которые уже могут быть решены по классической схеме.

Рассмотрению данного рода проблем посвящены многие работы, опубликованные в течение последних 50 лет. Наиболее ранними в этой области стоит считать работы Е. де Джорджи и С. Спаньоло [23] - [25], где были введены понятия G-сходимости и усреднения семейства операторов и изучены основные свойства G-сходимости эллиптических операторов второго порядка дивергентного вида. Общая теория G-сходимости была построена О.А. Олейник, В.В. Жиковым, СМ. Козловым в работах [26], [27] и монографии [32]. Вопросы поведения решений краевых задач для уравнений в частных производных для перфорированных областей были рассмотрены в шестидесятые годы двадцатого века в книге В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [17]. Усреднению процессов в периодических средах посвящены монография 1-І.С. Бахвалова и Г.П. Пана-сенко [28], а также монография Э. Санчес-Паленсия [33]. Кроме того в работах О.А. Олейник, А.С. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [20] - [22] получены оценки отклонения решения краевой задачи для эллиптического уравнения и для систем теории упругости в перфорированной области от решения соответствующей усредненной задачи. Вопросы усредеиения систем теории упругости рассматирваются в монографии О.А. Олейник, А.С. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [1].

Статья О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [2] посвящена усреднению задачи Неймана в периодически перфорированной области с произвольной плотностью перфорации. В работе [8] рассматривается усреднение смешанной краевой задачи в частичио-перфорированой области с произвольной плотностью перфорации. В статье [13] изучен вопрос об усреднении краевых задач в области с непериодической структурой. В совместной работе В. Егера, О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [6] рассматривается задача усреднения, когда ячейка периодичности имеет две полости иа границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а иа другой — условие Неймана.

В последние годы успешно развивается теория усреднения различных вариационных неравенств, соответствующих краевым задачам с различного рода ограничениями на границе. Так в работе Даль Мазо [30] изучено асимптотическое поведение задачи минимизации функционала jn (\Du\2 + д(х, и)) dx с двусторонними препятствиями типа ф и ф, где {фє},{фє} — последовательности произвольных функций из Rn в R. Работа [29] описывает усреднение решений последовательности вариационных неравенств для бигармонического оператора с переменным двусторонним препятствием. Г.А. Иосифьяном в [14] получены теоремы усреднения для задачи минимизации квадратичных интегральных функционалов на множестве допустимых функций, удовлетворяющих быстро осциллирующим периодическим ограничениям иа границе перфорированной области. Публикация [9] освещает вопросы усреднения односторонних краевых задач для упругих тел с изрезанной поверхностью. В Введение статье СЕ. Пастуховой [31] рассматривается задача искусственной кли-матизации в области с осциллирующей границей. Для нее получен вид предельной задачи и доказана слабая сходимость в #!(fi).

В первой главе диссертации изучается асимптотическое поведение решения уравнения Пуассона в перфорированных областях когда ячейка периодичности содержит две полости, на границе одной из которых задано краевое условие Дирихле, а на другой смешанное краевое условие. Получены предельные теоремы для различных размеров полостей. Основной текст предваряется двумя вводными параграфами в которых вводятся общие обозначения и приводится доказательство лемм, общих для всей работы. Часть результатов первой главы была опубликована в [34].

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи усреднения вариационных неравенств. В 2.1 изучен случай, когда в ячейке периодичности содержится одна полость, и на ней заданы однородные условия Сииьорини. Показана зависимость предельной задачи от размеров полости перфорации.

В 2.2 изучено усреднение уравнения Пуассона в области ячейка которой содержит одну полость на которой заданы неоднородные условия Сииьорини. Полость имеет так называемый критический размер lima"-16: " = С\ = const 0. Результаты этого параграфа были опубликованы в [35].

В 2.3 изучается задача усреднения вариационного неравенства в периодически перфорированной области, имеющей две полости различного масштаба в ячейке периодичности. На границе одной из этих полостей задано смешаное краевое условие, а на границе второй — однородные условия Синьориии. Получена предельная вариационная задача и доказана теорема о сходимости решения щ исходной задачи к решению усредненной задачи при є —» 0. Данные результаты вошли в статью [37].

В 2.4 проводится исследование асимптотического поведения решений задачи с препятствием в области, перфорированной вдоль гиперплоскости с нулевым условием Дирихле на всей границе. Результаты данного раздела опубликованы в [36].

Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, ячейка периодичности которой содержит две полости с краевым условием Дирихле на границе одной полости и смешанным краевым условием на границе второй

В данном случае в ячейке периодичности Y — eQ\(eG\UeG2) содержится две полости eG\,aG2 и для а выполняется следующее соотношение область Q звёздная относительно некоторого шара и имеет границу 8Q Є С2+й, 0 а 1. Обозначим Sf = д (ed 4- ze) П П, 5 = д (aG2 + ze) П fi. В области Qc = Q, \ (YE + е-г) рассмотрим следующую задачу: Здесь Ь =const 0,/ Є Ca(Q),0 а l\vs,vM — единичные вектора внешней нормали к Sf и соответственно. Через HI(LO,J) обозначим пространство функций и Є Ні(ш) с нулевым следом на у. Пусть К = {и Є Яі(Пе, Гє) : и 0 п.в. на Sf}. Определение 5. Обобщенным решением задачи (2.194) называется функция и є К} удовлетворяющая неравенству: I VuV(v - u)dx + b і щ{у - uc)dSz f(v u)dx (2.195) для произвольной функции V Є К. Нахождение обобщённого решения задачи (2.194) эквивалентно решению задачи на минимум: и К, 1(щ) = inf I(v), где I(v) = f\Vv\2dx-2 f fvdx + b I v2dSx. Глава 2 Задачи усреднения вариационных неравенств в перфорированных областях Принимая во внимание, что Ке — замкнутое выпуклое множество, Ie{v) — строго выпуклый коэрцитивный функционал на КЄі приходим к тому, что задача (2.194) имеет единственное обобщённое решение щ Є Кє согласно лемме 7. Положим в определении 5 тестовую функцию v = и + д, где д — произвольная функция из К, Получим неравенство / VuVgdx + Ь f uEgdSx f fgdx. (2.196) Полагая v = 2иє є Кє в неравенстве (2.195), выводим f\Vu\2dx + b [u]dSx I fudx. (2.197) И, наконец, подставляя v = 0 Є Кє в неравенство (2.195), получим f \Vu\2dx + b f u2dSx f fuedx. (2.198) Из (2.197),(2.198) выводим равенство [\Vu\2dx + b I uldSx = f fudx. (2.199) Заметим, что вычитая (2.199) из (2.196) мы получим определение (5). Итак, мы пришли к эквивалентному определению обобщенного решения задачи (2.194). Определение 6. Обобщенным решением задачи (2.194) называется функция и є Кє, удовлетворяющая соотношениям (2.196), (2.199). Изучим асимптотическое поведение решения задачи (2.194) при є — 0. Рассмотрим вспомогательную задачу Глава 2 Задачи усреднения вариационных неравенств в перфорированных областях где в(г) - функция Хевисайда, т.е. в(г) = 0, при г 0 и в(т) = 1, при т 0. Обобщённым решением задачи (2.200) будем называть функцию и Ні(Яє,Гє), удовлетворяющую интегральному тождеству / VwєVфdx + Ь і w pdSx + / w+ j dSx = / f f dx (2.201) для любой функции ф Є Hi(Q) Гє). Полагая в интегральном тождестве (2.201) ф — и , получим f\Vwt\2dx + b f\w+\2dSx + j\wt\2dSx = J fwfdx. (2.202) Получим оценки для w+. Из (2.202) следует I \Vwt\2dx f fw+dx. Применяя неравенства Коши-Буняковского и Фридрихса (см. теорему 4.5 из [1]), приходим к оценкам f \Vwt\2dx Кш f \u t\2dx Km. (2.203) Здесь и далее константы К% не зависят от е. Кроме этого, из (2.202) выводим оценки f \w+\2dSx Кш, f \w+\2dSx 145- (2.204) Покажем, что и ?ІЯі(пе,г,ї ПРИ є - Продолжим w+ нулём вне ІІЄ на ячейки, имеющие непустое пересечение с дО, (см. рис. 2). Полученную функцию обозначим г&+. Далее, продолжим wf на ]Г)(аєС?2-І- )ПП, так, чтобы для продолжения, которое мы обозначим w+, выполнялись соотношения К+1к{п)г,) 11Як(ад) 11 Як(п1ге) IIV +Hl(ne,rE). Такое продолжение существует, согласно результатам из [2], [8]. Положим Ye = eQ \ eG\. Обозначим через YJ пронумерованную ячейку из множества 2(Y + ez), имеющую непустое пересечение с Q,j 1... (є), (є)=Кшє-п.

Усреднение неоднородной задачи Синьорипи в периодически перфорированной области

Статья О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [2] посвящена усреднению задачи Неймана в периодически перфорированной области с произвольной плотностью перфорации. В работе [8] рассматривается усреднение смешанной краевой задачи в частичио-перфорированой области с произвольной плотностью перфорации. В статье [13] изучен вопрос об усреднении краевых задач в области с непериодической структурой. В совместной работе В. Егера, О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [6] рассматривается задача усреднения, когда ячейка периодичности имеет две полости иа границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а иа другой — условие Неймана.

В последние годы успешно развивается теория усреднения различных вариационных неравенств, соответствующих краевым задачам с различного рода ограничениями на границе. Так в работе Даль Мазо [30] изучено асимптотическое поведение задачи минимизации функционала jn (\Du\2 + д(х, и)) dx с двусторонними препятствиями типа ф и ф, где {фє},{фє} — последовательности произвольных функций из Rn в R. Работа [29] описывает усреднение решений последовательности вариационных неравенств для бигармонического оператора с переменным двусторонним препятствием. Г.А. Иосифьяном в [14] получены теоремы усреднения для задачи минимизации квадратичных интегральных функционалов на множестве допустимых функций, удовлетворяющих быстро осциллирующим периодическим ограничениям иа границе перфорированной области. Публикация [9] освещает вопросы усреднения односторонних краевых задач для упругих тел с изрезанной поверхностью. В статье СЕ. Пастуховой [31] рассматривается задача искусственной кли-матизации в области с осциллирующей границей. Для нее получен вид предельной задачи и доказана слабая сходимость в #!(fi).

В первой главе диссертации изучается асимптотическое поведение решения уравнения Пуассона в перфорированных областях когда ячейка периодичности содержит две полости, на границе одной из которых задано краевое условие Дирихле, а на другой смешанное краевое условие. Получены предельные теоремы для различных размеров полостей. Основной текст предваряется двумя вводными параграфами в которых вводятся общие обозначения и приводится доказательство лемм, общих для всей работы. Часть результатов первой главы была опубликована в [34].

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи усреднения вариационных неравенств. В 2.1 изучен случай, когда в ячейке периодичности содержится одна полость, и на ней заданы однородные условия Сииьорини. Показана зависимость предельной задачи от размеров полости перфорации. В 2.2 изучено усреднение уравнения Пуассона в области ячейка которой содержит одну полость на которой заданы неоднородные условия Сииьорини. Полость имеет так называемый критический размер lima"-16: " = С\ = const 0. Результаты этого параграфа были опубликованы в [35]. В 2.3 изучается задача усреднения вариационного неравенства в периодически перфорированной области, имеющей две полости различного масштаба в ячейке периодичности. На границе одной из этих полостей задано смешаное краевое условие, а на границе второй — однородные условия Синьориии. Получена предельная вариационная задача и доказана теорема о сходимости решения щ исходной задачи к решению усредненной задачи при є —» 0. Данные результаты вошли в статью [37]. В 2.4 проводится исследование асимптотического поведения решений задачи с препятствием в области, перфорированной вдоль гиперплоскости с нулевым условием Дирихле на всей границе. Результаты данного раздела опубликованы в [36]. Далее сформулированы основные результаты, полученные в работе. Пусть Q — гладкая ограниченная область в Rr\n 3,Q = {х є Rn : О Xj 1, j = 1,...,п} — диффеоморфные шару, причём Go Г) G\ = 0, Gi С Q, і — 0,1. Определим Si = dGi — границы соответствующих полостей, а\ — параметры, зависящие от е. Будем обозначать аВ = {х\а 1х Є В]. Определим периодическую структуру G во всём Я" полагая G — U (ez + IJa Gt) І ГДЄ Z — множество векторов z — (zi,... ,г„) с це лочисленными координатами, значения параметра і определяется в каждой задаче отдельно. Если полость всего одна, то мы будем его опускать. Теперь рассмотрим область Q — Q \ G и введём обозначения S — dVl П П, Ге = Ш \ 5. Для ячейки периодичности будем использовать обозначение Y = eQ \ \Ja\Gi, при этом і здесь так же определяется і конкретной задачей. Положим {и)и = rfifudx, где \ш\ — мера Лебега множества ш.Через Ні{и ,у) обозначено замыкание по норме Н\{и) множества бесконечно дифференцируемых в и функций v, обращающихся в нуль в окрестности Введём дополнительные обозначения. Для задачи, рассмотренной в первой главе, будем считать, что полость Go — открытый шар. Положим Т? = a?Go, Т = af Gb где а? с:є, af с2є, сг = с2 = const, Т -шар, концентрический с TeD, имеющий радиус Ь0є, где b0 = const О, причем Tjf)W = 0- Определим Gf = W + ze) и G? = (Т/ + ге), где Z — множество n-мерных векторов с целочисленными координатами. Кроме тогоЛ?, = Gf U Gf, 5gD = 9Gf f . -%M = 3Gf f - Обозначим: У/ = е Э \ Г/», У/ = eQ \ 7, П = У/ П ПМ( см- Рис 5). Рассмотрим в 0 краевую задачу.

Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, содержащей две полости в ячейке периодичности на границе одной из которых заданы однородные условия Синьорин и, а на второй смешанное краевое условие

Во второй главе рассматриваются задачи в периодически перфорированной области, на границе полостей которой заданы условия типа неравенств.

Параграф 2.1 посвящен усреднению уравнения Пуассона в области, ячейка периодичности которой содержит одну полость с однородными краевыми условиями Синьориии па её границе. Получены теоремы, показывающие зависимость вида предельной задачи от размеров полости перфорации. Введение

В данном случае Go диффеоморфна шару, G — \J(aGo + ez), Yt — eQ\ G , Яє = дПє П П, Пє = Q \ G , Гє = ЗП \ %. В области Q. рассмотрим следующую задачу: где v — единичный вектор внешней нормали к S;f 2( ). Под обобщенным решением задачи (5) понимаем функцию щ К — {v е H\{0,etVe)\v 0 п. в. на ,%}, удовлетворяющую вариационному неравенству: J VuV{g - ue)dx J f(g- u)dx (6) для произвольной функции g Є K. Предположим, что Пусть и0 обобщенное решение нелинейной краевой задачи для любой g є Я(П). Здесь и+(х) — sup(u(x),0). Теорема 6. Предположим, что выполнено условие (7). Пусть щ — обобщённое решение задачи (5), щ — обобщённое решение задачи (8). Тогда \\и - и0\\ЫПе) -» 0,є -» 0. Пусть Umo"-V" = 0. (9) Рассмотрим «о — решение задачи -Ди0 =/.я Є П,и0 #?(}). (10) Тогда верна следующая теорема Теорема 7. Предположим, что имеет место (9); щ — обобщённое решение (5); щ — обобщённое решение краевой задачи (10). Тогда [i«-uolU2(nt)- 0,e- 0. Предположим, что \\та2-пєи = 0кає = о(є). (И) Пусть и0 є К0— {д е #№) : д 0 п. в. вО} — обобщённое решение задачи Ди0 + / 0,«о 0,(Д«о + /)«о = 0 п. в. в П,щ = О,іЄ0П. (12) Под обобщенным решением понимается функция, удовлетворяющая вариационному неравенству / VuoV(# - uo)dx і f(g - Щ)СІХ (13) n n для любой g є KQ. Доказана следующая теорема Теорема 8. Пусть и — обобщённое решение задача (5) и выполнено условие (11), функция щ W2 P(Q) П #?(}), р оо — решение задачи (12). Тогда \\иг — ио\\ні{ПҐ) — О, Є —+ 0. В 2.2 рассматривается усреднение уравнения Пуассона в области, с ячейкой периодичности содержащей одну полость на которой заданы неоднородные условия Синьориии. Предположим, что \:та?-1є-п Сі = : const 0. Г-0 - Рассмотрим следующую задачу (15) Введение где / L2(l), h С1{ії), д є Я?(П),і/ — единичный вектор внешней нормали к S. Обобщенным решением задачи (15) называется функция иє Є Кс = {v є Яі(Пе, Г) : v д(х) п. в. на S}, удовлетворяющая неравенству: / VtiV(u — u)dx I f(v — u)dx + / h(v — u)ds (16) iff d f Of для произвольной v Кє. Пусть /Со = {к Я(П) : u(ar) д{х) п.в. в Г2}. Введем функцию UQ Л"о как обобщенное решение задачи с препятствием где Со = Cimes9Gj. Функция щ является обобщенным решением (17), если она удовлетворяет вариационному неравенству w - u0)dx J\f + C0h)(w - u0)dx, (t8) для произвольного элемента w Є KQ. Теорема 10. Пусть ие — обобщенное решение задачи (15), h є С1 (ЇЇ),g Я?(Ю) П С2(ГТ); и0 Є Щ П С ГІ) — обобщенное решение задачи (17). Предположим, что выполнено условие (14). Тогда ІК - «ollSun.) W + С, - а""1 ""!2). Параграф 2.3 содержит решение задачи усреднения для случая, когда в ячейке периодичности Уг = eQ \ (eG\ U aG2) имеются две полости, на границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а на другой краевое условие Синьорини.

Похожие диссертации на Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированных областях с различными краевыми условиями на границе разных полостей

Исследование устойчивости решений уравнения Хилла Тарамова Хеди Сумановна

Нахождение статистических характеристик решения уравнения диффузии со случайными коэффициентамиХребтова Светлана Сергеевна

Точные решения уравнений газовой динамики, порожденные проективной симметриейПавленко Андрей Сергеевич

Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентамиБоровикова Марина Михайловна

Качественные свойства решений уравнения Ходжкина-Хаксли на геометрическом графеГрищенко Алексей Валентинович

Асимптотические решения уравнения индукцииЕсина Анна Ивановна

Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной средыПанов Александр Васильевич

Исследование эволюционных игр в рамках теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-ЯкобиМельникова, Наталья Венедиктовна

Исследование обратных задач и автомодельных решений уравнения ШредингераАбрамочкин, Евгений Григорьевич

Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их примененияКарамова, Альфира Авкалевна