Введение к работе
.; Актуальность теми. Уравнение Шредингера составляет основу квантовой механики и когерентной оптики. В квантово-механической ситуации уравнение Шредингера описывает эволюцию квантово-мехацнческих систем во времени, а в когерентной оптике - изменение светового поля при распространении.
Известна фазовая проблема в оптике, состоящая в восстановлении распределения комплексной амплитуды когерентного светового ноля по распределению его модуля. Математически фазовая проблема в оптике сводится к задаче определения финитной функции по модулю ее преобразования Френеля. Однако, как правило, решение отой задачи осуществляется чисто итеративными методами и актуальным является поиск аналитических связей, решающих фазовую проблему. Исследованию этого вопроса для световых полей, описываемых уравнением Шредингера, посвящена первая глава диссертации.
Автомодельные решении уравнения Шредингера имеют особое значение как для квантовой механики, так и для когерентной оптики в связи с тем, что в квантовой механике они описывают стационарные состояния квантовой системы, а и когерентной оптике нм соответствуют формируемые в лазерах световые пучки. При этом наборы автомодельных решений, получаемых в рамках декартовой и полярной систем координат, обладают различной симметрией. С точки зрения оптики представляет интерес возможность трансформации лазерных пучков с одним типом симметрии в другой. Математически ота проблема сводится к поиску интегральных преобразований, осуществляющих отображение одного класса автомодельных решений в другой. Поиску и исследованию таких преобразований посвящена вторая глава.
Обычно в задачах, связанных с уравнением Шредингера, антомодель-ность понимается как сохранение структуры решения при изменении но времени или пространстве. Однако, в оптике растет интерес к расширению типов автомодельное и поиску решений, эволюция которых не сводится к изменению масштаба. В третьей главе найден новый тип автомодельных решений уравнения Шредингера, эволюция которых описывается не только изме-
!
пением масштаба, но и вращением. В физике лазеров результаты главы явились основой оптики т.н. спиральных пучков.
Цель работы. Нахождение аналитических зависимостей между модулем и аргументом комплекснозначных решений уравнения Шредингера, исследование различных типов автомодельных решений уравнения Шредингера и связей между ними.
Методы исследования. В работе используются методы теории уравнений в частных производных, функционального анализа и теории аналитических функций.
Научная новизна. Впервые получены явные аналитические связи между аргументом и фазой комплексной амплитуды одномерного уравнения Шредингера. Исследована связь между модулем и аргументом решения двумерного уравнения Шредингера и показано, что задача сводится к нахождению плоского векторного поля по его ротору и дивергенции. Для безвихревых решений получена явная аналитическая связь между модулем и аргументом. Найдено интегральное преобразование, устанавливающее взаимосвязь между классами функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Доказан ряд новых теорем о свойствах автомодельных решений. Найдено новое семейство автомодельных решений уравнения Шредингера (спиральные пучки), сохраняющее распределение модуля при эволюции с точностью до масштаба и вращения.
Теоретическая и практическая неппость. Полученные новые связи между классами специальных функций могут быть использованы при решении различных математических задач. Найденные закономерности взаимных преобразований различных классов автомодельных решений применяются при разработке методов и систем формирования лазерных пучков с заданными характеристиками. Ряд практических результатов работы защищен авторскими свидетельствами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XVII (1985 г.), XVIII (1987 г.) и XX (1990 г.) Всесоюзных школах по голографии и когерентной оптике, XXIII (1994 г.) и XXIV (1996 г.) Российских школах по голографии и когерентной оптике, на Всесоюзном совещании "Компьютерная оптика" (1990 г.), на 8-й Международной конференции "Оптика лазеров"
(1995 г.), на семинарах академика А.Н.Тихонова (ВМиК МГУ), на семинаре лаборатории им.Ландсборга и на семинарах ФИАН.
Личный пклая и публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 2 авторских свидетельства. Основные результаты получены автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем 100 страниц, в том
