Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Спектральные свойства оператора Шредингера . 18
1. Спектр оператора Шредингера 18
2. Функция Грина 22
3. Асимптотика собственных функций 35
4. Исследование уровней вблизи нуля 40
5. Исследование уровней вблизи границы непрерывного спектра 55
6. Обобщение на многомерный случай 61
Глава 2 Задача рассеяния 75
7. Прямая задача рассеяния 75
8. Обратная задача рассеяния 88
Список литературы 95
- Асимптотика собственных функций
- Исследование уровней вблизи границы непрерывного спектра
- Обобщение на многомерный случай
- Обратная задача рассеяния
Введение к работе
Начало двадцатого столетия ознаменовалось появлением квантовой механики. В последние десятилетия математиками активно изучается уравнение Шредингера, одно из основных уравнений квантовой физики:
(-А + У{х))ф = Еф, фєЬ2{Кп);
здесь Д - оператор Лапласа, Е - спектральный параметр, V(x) - вещественная функция (потенциал). Оператор Я = — Д + V(x) является оператором энергии микрочастицы (обычно он самосопряжен), Щ = — Д и V(x) - это операторы кинетической и потенциальной энергий соответственно [1], [2]. Основные математические результаты, относящиеся к уравнению Шредингера, полученные до конца восьмидесятых годов двадцатого века собраны в монографиях [3] - [9]. Обзор последующих результатов имеется в [10]. Изначально рассматривались, в основном, достаточно быстро убывающие на бесконечности потенциалы.
Физиками уже достаточно давно и интенсивно (в том числе в связи с потребностями разного рода технологий) исследуются проблемы, относящиеся к периодическому (возможно, возмущенному) оператору Шредингера, являющемуся оператором энергии электрона в бесконечном кристалле, а также к оператору Шредингера, отвечающему кристаллической пленке или кристаллической поверхности. Периодический случай исследован математически в [6], [11]. В работе [12] для оператора Шредингера, отвечающего кристаллической пленке, строится его разложение в прямом интеграле пространств (см. ниже подобную конструкцию), а также исследуется полнота волновых операторов. В статье [13] найден существенный спектр "пленочного" оператора Шредингера. В статье [14] изучается одномерный оператор Шредингера для полубесконечного кристалла в нестационарном
Асимптотика собственных функций
Спектральные свойства оператора Н — —d?/dx2 + eV на оси, где V является оператором довольно общего вида, а є - малый параметр, были изучены P.P. Гадыльшиным в статье [15]. В работах Ю.П. Чубурина [16] - [20] исследуются спектральные свойства и асимптотика собственных функций (класса L00) оператора Шредингера с потенциалами, отвечающими кристаллической пленке, полуограниченному кристаллу или слоистой структуре; также изучается связь между такими операторами. Такого рода операторы занимают промежуточное положение между хорошо изученными операторами Шредингера для уединенного атома и для бесконечного кристалла. Прямая задача рассеяния на потенциале для оператора Шредингера (нахождение амплитуды рассеяния и других характеристик рассеяния по потенциалу) изучается, например, в книгах [5], [8]. Обратная задача рассеяния (определение потенциала по амплитуде и другим спектральным характеристикам оператора Шредингера) исследуется в монографиях [21] - [25], а так же (на физическом уровне строгости) в [26]. Перечислим теперь работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В работе [27] была решена задача рассеяния для уравнения Шредингера где для с 0 и N 1 потенциал и(х) такой, что v(х) вещественнозначная функция, определенная на R и удовлетворяющая условию Спектральные свойства оператора Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки в трехмерном случае были изучены Ю.П. Чу-буриным в работе [16]. В статье [28] одномерный оператор Шредингера с локальным потенциалом типа возмущенной ступеньки изучается с точки зрения нестационарной теории рассеяния. В частности, исследуется время задержки частиц потенциальным барьером.
Почти во всех математических работах потенциал представляет собой оператор умножения на функцию (называемых в физической литературе локальными потенциалами). Вместе с тем, в физике активно используются нелокальные потенциалы (см., например [2], [29], [30]), что связано, во первых, с относительно простотой расчетов с теми нелокальными потенциалами, которые являются конечномерными операторами (в физической литературе они называются сепарабельными потенциалами); во вторых, с тем обстоятельством, что операторы потенциальной энергии, изначально не являются локальными (см. [2], [30]). Наконец, рассмотрение операторов Шредингера с нелокальными потенциалами достаточно интересно с математической точки зрения [15], [31], в то время как внимание математиков к таким операторам явно недостаточно. Кроме упомянутых статей, математические свойства подобных операторов изучались, например, в работах [32], [33], а также в монографии [23].
Отметим, что при рассмотрении кристаллических пленочных наноструктур знание зависимости энергий резонансных (квазистационарных) электронных состояний от параметров наноструктур, в частности, от величины потенциального барьера, открывают принципиальную возможность с помощью внешних воздействий управлять электронным прохождением и, в связи с этим может найти практическое применение при создании микроэлектронных устройств с использованием современных нанотехно-логий (см. [34]). Из сказанного вытекает как математическая, так и, в какой-то мере, физическая актуальность изучения спектральных свойств, резонансов и рассеяния для операторов Шредингера, отвечающих полубесконечному кристаллу с нелокальным потенциалом, зависящим от параметров. Для функций ф(х) таких, что ф- еЬ\К) (j = l,...,n) (0.1) введем обозначение
Исследование уровней вблизи границы непрерывного спектра
Далее, положим Пользуясь введенными обозначениями, уравнение (0.2) можно записать в виде Ненулевые решения ф(х) уравнения Шредингера (0.4), удовлетворяющие условию (0.1), назовем (обобщенными, если ф(х) b2(R)) собственными функциями оператора Нп. Введем обозначение для резольвенты оператора Я, полагая R{E) = (Я - Е1)-\ В дальнейшем ядро резольвенты (являющейся интегральным оператором), вообще говоря, продолженное по параметру Е на второй лист соответствующей римановой поверхности, будем для краткости называть функцией Грина оператора Я и обозначать G{x,y, Е, VQ). При условии Е [Vo, +00) приведем уравнение (0.5) к интегральному виду Введем обозначение тогда интегральное уравнение (0.6) можно записать как Функция Грина оператора Н имеет ветвление вокруг двух точек Е = 0, Е — Vo (см. ниже). Соответственно, резонансы следует определять в двух вариантах (ср. [20], [35], [36]). Определение 0.1.
Под резонансом оператора Нп будем понимать такое Е на втором листе римановой поверхности функции G(x,y,E,Vo) в окрестности нуля с Im /E 0 (или в окрестности точки Vo с 1т\/Е — Vo 0), для которого существует ненулевое решение уравнения (0.6), удовлетворяющее условию (0.1). Легко видеть (см. также теорему 2.3), что решения уравнения (0.6) из указанного класса являются также решениями и уравнения Шредин-гера (0.2). Если Е - резонанс, то соответствующее решение в силу асимптотики интеграла в правой части и (0.6) экспоненциально возрастает (см. лемму 3.5 ). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) электронным состояниям. Определение 0.2. Уровнем Е оператора Нп будем называть собственное значение или резонанс данного оператора, а также соответствующее Е число к = у/Ё (или и = у/Е — VQ). Известно (см. например, [29]), что электронные состояния, отвечающие резонансам оператора Шредингера, а также собственным значениям, близким к нулю, играют важную роль в рассеянии электронов на атомах. В частности, наличие резонансов, вообще говоря, может увеличить интенсивность прохождения электронов через кристаллическую структуру [35]. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав (восьми параграфов). Третий параграф разбит на пункты. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем и лемм сквозная (теорема 3.5 - это пятая теорема в работе, находящаяся в параграфе 3). Нумерация определений, замечаний и формул отдельная по параграфам (определение 3.1 - это первое определение в 3-м параграфе). В первой главе диссертации изучаются общие спектральные свойства оператора Я„, а также вопрос о существовании и поведении уровней этого оператора при различных предположениях. Первый параграф посвящен изучению спектра г(#) оператора Шредингера Н. Используя последовательности Вейля, можно показать, что с(Я) = [Vo,+оо). Из теоремы о компактных возмущениях следует, что ess(#n) = v{H) = [VQ, +ОО) (cress(#n) - существенный спектр оператора Нп).
Обобщение на многомерный случай
Последний, восьмой, параграф относится к обратной задаче рассеяния. Он содержит один из основных результатов диссертации. Предположим, что рі принадлежит множеству SQ экспоненциально убывающих функций р\: R - R, таких, что supp р\ Є (0, -foo). Обратная задача рассеяния рассматривается следующей формулировке: по заданным функциям А(х) = А(к, К) и В[к) = В(к,я) (к здесь выражено через я) найти информацию о функции i(x)2. Показано, что данная функция удовлетворяет некоторому сингулярному интегральному уравнению . Кроме того, получена следующая теорема. Тогда решение обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера (0.4) в классе L2(R) единственно. Здесь под indu а(х) понимается приращение аргумента функции а(х) деленное на 27Г, когда х пробегает R. Основные результаты диссертации представлялись на следующих научных семинарах и конференциях: - Ижевский городской математический семинар по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, 2004 г.), - "Понтрягинские чтения - XV" (Воронежская весенняя математическая школа, г. Воронеж, 2004 г.), - "Понтрягинские чтения - XVI" (Воронежская весенняя математическая школа, г. Воронеж, 2005 г.), - Ижевский городской математический семинар по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, 2005 г.), - "Современные проблемы теории функций и их приложения" (13-я Саратовская зимняя школа, г. Саратов, 2006 г.), - Научная конференция-семинар "Теория управления и математическое моделирование" (г. Ижевск, 2006 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] — [47]. Определение 1.3. (см. [8] стр.140) Существенным спектром самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве И называется множество, состоящее из всех неизолированных точек спектра и собственных значений бесконечной кратности.
Спектр (существенный спектр) оператора Нп будем обозначать через а(Нп) (aess(Hn)). Определение 1.4. (см. [6] стр.130) Пусть А самосопряжен. Оператор С, такой, что D(A) С D(C), называется относительно компактным по отношению к А тогда и только тогда, когда С (А + г)-1 компактен. Теорема (об относительно компактных возмущениях) ([6], стр. 130). Пусть А - самосопряженный оператор, и пусть С - его относительно компактное возмущение. Тогда о- Доказательство. Докажем второе равенство. Пусть Е Є [Vo, +00), докажем, что Е сг(Я). В силу замкнутости спектра можем считать, что E VQ. Достаточно доказать (см. [7]) существование такой последовательности фп (последовательности Вейля) из области определения оператора Я, что где Сп— нормировочные константы, (р(х) Є С{х)— неотрицательная функция с носителем на полуинтервале (0, +оо) такая, что (ж) = 1 и фо(х)— решение уравнения Заметим, что при Е О функция фо(х) является ограниченной вместе со своими производными. В силу условия (1.1), нормировочные множители Сп, п = 1,2,... имеют вид Докажем утверждение в другую сторону. Пусть Е Є J{H).
Предположим противное, что Е . [Vo,+оо). Но для таких Е функция Грина G(x, у, Е, Vo) оператора Я определяет интегральный ограниченный оператор, действующий в L2(R) (см. формулу (2.1) на стр. 22); ограниченность легко получается применением неравенства Коши-Буняковского. При этом Таким образом, для данного Е существует резольвента R(E) - противоречие. Произведение операторов YjAj(# Уі)4 j и R{E), гДе Є "С О» есть оператор конечного ранга, а следовательно компактный оператор. В силу теоремы об относительно компактных возмущениях [6] (стр. 130) справедливо равенство aess(Hn) = сг(Н). Теорема доказана. 21 В этом параграфе будет найдена резольвента оператора Нп. Также исследованы аналитические свойства некоторых интегралов, имеющих её в своем составе. Полученные результаты потребуются при нахождении асимптотических формул для уровней. Изучен вопрос о непрерывном спектре оператора Нп.
Обратная задача рассеяния
Из (8.2) следует, что величина 1-М быстрее любой степени \х\ стремиться к нулю при \х\ — Под indR, а(х) будем понимать приращение аргумента функции а(х) деленное на 27Г, когда х По теореме 6.1 [51] для того чтобы оператор F = aP + bQ был обратим в пространстве L2(R) с какой-либо стороны, необходимо и достаточно, чтобы функции а(я) и Ъ(я) удовлетворяли следующим условиям 1) а(я)Ь(я) ф 0, 2) lim а(я)Ь{я) ф 0. Если условия 1), 2) выполнены, тогда оператор обратим, обратим слева, обратим справа в зависимости от того, является ли число mdna(x) равным нулю, положительным или отрицательным соответственно. Утверждение леммы вытекает из упомянутой теоремы. Лемма доказана. Из системы (8.1) видно (см. также формулы для коэффициентов прохождения и отражения), что картина рассеяния полностью определяется функцией i(x)2.
Поэтому под обратной задачей рассеяния для уравнения Шрединге-ра (0.4) понимаем задачу о нахождении функции f(x) = \Ірі(я)\2, удовлетворяющей уравнению (8.3) по заданным функциям А(я) = A(k, я) и В(я) = В(к,я) (к здесь выражено через я). В следующей теореме доказана единственность решения обратной задачи. Теорема 8.22. Пусть ір\ Є So и выполнены условия Тогда существует не более одной функции /(я) = \ рі(я)\2 Є L2(R) такой, что А(я) и В (я) являются коэффициентами прохождения и отра-жения для оператора Hi = -— + V0e(x) + Ai(-, Д о к а зательство. Следует из леммы 8.9.
Из теоремы 6.1 [51] вытекает, что в случае indRa(x) 0 размерность пространства решений уравнения (8.2) равна indRa(x). Но, строго говоря, отсюда не следует неединственность обратной задачи, поскольку решения уравнения (8.2) могут не принадлежать So- Если indRa(x) = О, то решение уравнения (8.2) существует и единственно в классе L2(H), а если indRa(x) 0, то dimKerF = 0 и dimCokerF = indRa(x), то есть решений может не быть. Замечание 8.9. В принципе, уравнение (8.2) позволяет найти функцию /(х) = 1 (х)2 по данным рассеяния А{к) и В(х) в том случае, когда выполнены условия существования и единственности и /(х) оказывается в нужном классе.
