Содержание к диссертации
Введение
1 Точечно-инвариантные классы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка 25
1.1 Преобразования производных 25
1.2 Точечно-инвариантный класс 29
1.3 Канонический вид уравнений (43) 31
1.4 Псевдотензорные поля 33
1.5 Правила преобразования коэффициентов 34
1.6 Вычисление точечных симметрии уравнения (59) 37
1.7 Уравнения (45), имеющие максимальную алгебру точечных симметрии 39
2 Точечная классификация уравнений второго порядка вида у 42
2.1 Основные классификационные параметры 42
2.2 Случай общего положения 45
2.3 Семь случаев промежуточного вырождения 46
2.3.1 Первый случай 49
2.3.2 Второй случай 52
2.3.3 Третий случай 55
2.3.4 Четвертый случай 56
2.3.5 Пятый случай 58
2.3.6 Шестой случай 59
2.3.7 Седьмой случай 60
2.4 Случай максимального вырождения 61
3 Проблема эквивалентности для уравнений Пенлеве 62
3.1 Уравнение Пенлеве 1 68
3.2 Уравнение Пенлеве II 72
3.3 Уравнения Пенлеве III-VI 79
3.4 Уравнение Пенлеве IV 82
3.4.1 Параметр 6=0 82
3.4.2 Параметр 6^0 85
3.5 Уравнение Пенлеве III 91
3.5.1 Параметр а = 0 92
3.5.2 Параметры а = 0 и с = 0 93
Литература 95
Приложение
- Канонический вид уравнений (43)
- Вычисление точечных симметрии уравнения (59)
- Семь случаев промежуточного вырождения
- Уравнение Пенлеве II
Введение к работе
0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений
Проблема эквивалентности представляет собой одну из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений. Вот почему она привлекала к себе внимание многих ученых [1]-[25], [47]-[49]. Классические работы, посвященные исследованию проблемы эквивалентности, принадлежат Р.Лиувиллю [1], С.Ли [2]-[3], А.Трессе [4]-[5] и относятся к концу XIX века.
Суть проблемы эквивалентности заключается в нахождении (или доказательстве существования) точечной замены переменных, переводящей одно дифференциальное уравнение в другое. Иногда ее понимают как описание класса эквивалентности некоторого дифференциального уравнения относительно точечных преобразований. Основой решения этой проблемы часто является построение инвариантов преобразований, а для этого необходимо, чтобы вид уравнения не менялся при действии на него точечных преобразований. Такие уравнения назовем принадлежащим точечно-инвариантному (замкнутому) классу дифференциальных уравнений.
Наиболее простым таким уравнением является следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка: у" = Р(х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R(x, у)у'2 + S(x, у)у'3. (1)
Э.Картан ассоциировал уравнения (1) с уравнениями геодезических в пространствах проективной связности ([9]). Замкнутость класса уравнений (1) относительно невырожденных преобразований х = х(х, у), у = у(х, у) (2) была отмечена в целом ряде работ, в том числе Дж. Томсена [10],
Г.Гриссома и др. [11], Н. X. Ибрагимова [12], В. С. Дрюма [13]- [15], Л. А. Бордаг и В. С. Дрюма [16], Л. А. Бордаг и М.В.Бабича [17]-[18], Ю. Р. Романовского [19], С. Баско и М. Матсумото [20],
В. Н. Гусятниковой и В. А. Юмагужина [21], Р. А. Шарипова и
В. В. Дмитриевой [22]-[24].
В [25] Р. А. Шарипов и О. Н. Михайлов рассмотрели другой замкнутый класс уравнений второго порядка: ^ = Р(х, у) + 4 Q(x, у) у' + 6 R(x, у) (у')Ч Y(x,y)-X{x,y)y'
4S(x,y)(y')* + L(x,y)(yr Y(x,y)-X(x,y)y>
Он получил название точечного расширения класса (1).
Более сложный замкнутый класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка содержится в [17]: (у")2 = Рь(у';х,у), функция Рг0 есть полином пятого порядка по производной у'.
В работе [51], а также в Главе 1 настоящей диссертации найден точечно-инвариантный класс обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка.
,„ = -SX(x, y)y"2 + P(x, y)y"y'2 + Q(x, y)y" y'+У Y(x,y)-X(x,y)y' +R(x,y)y" + +S(x,y)y'5 + L(x,y)y'4+ Y(x,y) - X(x,y)yf +K(x, y)y'3 + +Af (a, y)y'2 + N(x, y)y' + T(g, y) Y{x,y) - X(x,y)y'
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, задаваемую некоторой матрицей Л = А(ух,..., уп) с ненулевым детерминантом, а также индексированным массивом Г: <9* i j \dx2 hh " дх дх)'
Эта система представляет собой расширение системы дифференциальных уравнений, описывающих явление диффузии л=&{*>&;)' где г = 1'----"- и является инвариантной относительно точечных замен переменных следующего вида (см. [53]): yl=y\y\...,y% ..., yB = jfVi-y).
0.2 Уравнения Пенлеве
Рассмотрим следующюю классификационную задачу: нужно определить, существуют ли уравнения вида y" = F(x,y,y'), где функция F - рациональная относительно г/, алгебраическая относительно у и аналитическая относительно ж, у которых все критические точки (и точки разветвления и существенные особенности) фиксированы, т.е. не являются перемещающимися особенностями.
Эта задача была решена П.Пенлеве и его учеником Б.Гамбье в начале XX века. Решение этой классификационной задачи приводит к 50 видам уравнений. Все эти 50 видов, за исключением б, интегрируются в известных функциях. Наиболее важными являются б неприводимых уравнений, которые являются источником новых трансцендентных функций. Новые трансцендентные функции, определяемые этими уравнениями, называются трансцендентными функциями Пенлеве, а сами уравнения носят названия уравнения Пенлеве. Причем последнее уравнение содержит первые пять уравнений, которые могут быть из него получены постепенным вырождением (см. [26]).
В настоящее время уравнения Пенлеве играют важную роль при решении ряда задач математической физики (см. [26], [30], [31], [50]). Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве является актуальным.
Эта задача привлекала к себе многих ученых. В работе [49] Н.Камран и др. привели необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения y" = F(x,y,y') первым двум уравнениям Пенлеве PI и РИ относительно точечных преобразований специального вида х = ф(х), у = ф(х,у).
Проективные структуры, порожденные уравнениями класса (1), в том числе и уравнениями Пенлеве, исследованы в серии работ В.С.Дрюма, Л.А.Бордаг и М.В.Бабич [13]—[18]. В работе [18] найдены необходимые и достаточные условия, при которых уравнения вида
У" = /(Х,У) (3) сводятся точечными преобразованиями к уравнениям Пенлеве. Доказано, что уравнения Пенлеве можно записать в форме (3): у" = Рк(х,у), (4) где к = 1, ...,6 - номер уравнения Пенлеве. Вид уравнений (3) сохраняют преобразования специального вида х = с т (x)dx + со, у — т(х)у + п(х), (5) где с, co-const, с ^ 0, т(ж), п(х) - некоторые функции от переменной ж, т(х) ф 0.
Согласно работе [18], для того, чтобы проверить, эквивалентно ли некоторое уравнение (1) одному из уравнений Пенлеве, нужно: 1) привести исходное уравнение (1) к виду (3); 2) выполнить замену переменных (5) и приравнять функцию f(x,y) из правой части преобразованного уравнения (3) соответствующей функции из правой части уравнения Пенлеве (4); 3) определить неизвестные функции т(ж), п(х) и константы с, с0. Если такие функции существуют, то уравнения эквивалентны.
Однако непосредственно использовать предложенный способ проверки эквивалентности уравнений не всегда удобно. Во-первых, уже на первом этапе, когда исходное уравнение нужно привести к виду (3), возникают трудности. Например, для уравнения Пенлеве VI такая задача не тривиальна. Во-вторых, для каждого конкретного уравнения нужно решать дифференциальные уравнения на неизвестные функции т(х), п(х) и константы с, с».
Способ проверки эквивалентности уравнений, предложенный нами в данной работе, универсален, и не требует дополнительного преобразования исходного уравнения (1). Он сводится к подстановке известных функций Р, Q, R, S из правой части уравнения (1) и их производных в ряд алгебраических равенств.
0.3 Содержание главы 1
Канонический вид уравнений (43)
Все коэффициенты уравнения (43) определены с точностью до умножения на некоторую калибровочную функцию р(х, у). Выберем эту функцию таким образом, чтобы функции Х(х,у) и У(ж,у), стоящие в знаменателе формулы (43), при замене переменных (2) изменялись по правилу преобразования векторного поля (X, Y). Любое векторное поле можно локально выпрямить, перейдя в подходящую систему координат ([37]). Выберем эту систему координат таким образом, чтобы векторное поле стало единичным: Уравнение (44) в новых координатах упростится: специальном преобразовании координат условие (44) сохранится. Класс уравнений (45) будет замкнутым классом относительно преобразований (44). Назовем вид (45) каноническим видом уравнений (42.) Заметим однако, что выбор канонического вида для уравнения (42) не однозначен, а определен с точностью до преобразования (46). Полученный класс замечателен также тем, что он содержит все уравнения Пенлеве-типа третьего порядка. Такие уравнения известны как уравнения Шази. Согласно работе [38] все они обязаны иметь D(x), Е(х), F(x), G{x) - локально-аналитические функции. Сравнение формул (47) и (45) позволяет сформулировать следующее утверждение. Утверждение 1.1. Уравнения Шаги содержатся в замкнутом классе уравнений (45). Определение 1.2. Псевдотензорным полем веса т типа (r,s) называется индексированный массив величин Fj "jrt , который при точечных заменах переменных общего вида (2) трансформируется по следующему правилу: Матрицы 5 и Т, входящие в равенство (48), есть прямая и обратная матрица перехода при замене координат (2). Следует заметить, что в работах [32], с.64 и [33], с.68-69 псевдотензор определялся как тензор, заданный с точностью до произвольного множителя.
Если же этот множитель совпадал с целой степенью определителя обратной матрицы перехода (det T)m, то данная величина носила специальное название тензорная плотность (см. [34]). При наличии аффинной связности Г 7 можно определить операцию ковариантного дифференцирования псевдотензорных полей (48) Отличие операции (49) от обычной операции ковариантного дифференцирования тензорных полей заключается в наличии последнего слагаемого пкр[.]?". Для обычных тензорных полей вес m равен нулю (m = 0), и ковариантное дифференцирование (49) превращается в обычное ковариантное дифференцирование тензора валентности (r,s) (см. [39], [40], [44]-[46]). При специальных преобразованиях (46) коэффициент Р преобразуется следующим образом: Коэффициент S преобразуется согласно аналогичной формуле: Это означает, что Р и S являются псевдоинвариантами веса 1 и 2 соответственно. Следовательно условие Р = 0 или 5 = 0 сохраняется при замене координат (46). Следующая пара коэффициентов преобразуется по правилам: Нетрудно заметить, что при условии Р = 0 коэффициент Q становится инвариантом относительно преобразований (46). Также при 5 = 0 і становится псевдоинвариантом. Правила преобразования остальных коэффициентов: есть псевдовекторные поля весов 0 и -1 соответственно. Каждое псевдовекторное поле а и (3 может либо быть тождественно равно нулю, либо нет. В случае се = 0и/3 = 0из формул (54), (55) мы построим другое псевдовекторное поле веса 1: Поле 7 также может быть либо тождественно нулевым, либо нет. В случае 7 = 0 основное уравнение (45) можно редуцировать и оно примет вид: Инфинитезимальный оператор для уравнения (59) имеет вид (см. [36], [41Н43]): Его третье продолжение: Многообразие M, определенное уравнением (59), является инвариантным многообразием при действии оператора Х3: Откуда мы получаем следующие 9 уравнений на компоненты U и V векторного поля точечных симметрии: и подстаим полученное равенство в уравнение (65), тогда мы получим: Правые части уравнений (64), (69), (66), (67), (68), (70) зависят только от /, С/1.0, V, V1.0, V0.1, 2.0, Vi.i Сконструируем 7-мерный вектор Ф = (7, C/i.u, V, Vi.()}K).b .O} 1.1)-Тогда упомянутые выше уравнения можно переписать в виде системы уравнений Пфаффа:
Вычисление точечных симметрии уравнения (59)
Отличие операции (49) от обычной операции ковариантного дифференцирования тензорных полей заключается в наличии последнего слагаемого пкр[.]?". Для обычных тензорных полей вес m равен нулю (m = 0), и ковариантное дифференцирование (49) превращается в обычное ковариантное дифференцирование тензора валентности (r,s) (см. [39], [40], [44]-[46]). При специальных преобразованиях (46) коэффициент Р преобразуется следующим образом: Коэффициент S преобразуется согласно аналогичной формуле: Это означает, что Р и S являются псевдоинвариантами веса 1 и 2 соответственно. Следовательно условие Р = 0 или 5 = 0 сохраняется при замене координат (46). Следующая пара коэффициентов преобразуется по правилам: Нетрудно заметить, что при условии Р = 0 коэффициент Q становится инвариантом относительно преобразований (46). Также при 5 = 0 і становится псевдоинвариантом. Правила преобразования остальных коэффициентов: есть псевдовекторные поля весов 0 и -1 соответственно. Каждое псевдовекторное поле а и (3 может либо быть тождественно равно нулю, либо нет. В случае се = 0и/3 = 0из формул (54), (55) мы построим другое псевдовекторное поле веса 1: Поле 7 также может быть либо тождественно нулевым, либо нет. В случае 7 = 0 основное уравнение (45) можно редуцировать и оно примет вид: Инфинитезимальный оператор для уравнения (59) имеет вид (см. [36], [41Н43]): Его третье продолжение: Многообразие M, определенное уравнением (59), является инвариантным многообразием при действии оператора Х3: Откуда мы получаем следующие 9 уравнений на компоненты U и V векторного поля точечных симметрии: и подстаим полученное равенство в уравнение (65), тогда мы получим: Правые части уравнений (64), (69), (66), (67), (68), (70) зависят только от /, С/1.0, V, V1.0, V0.1, 2.0, Vi.i Сконструируем 7-мерный вектор Ф = (7, C/i.u, V, Vi.()}K).b .O} 1.1)-Тогда упомянутые выше уравнения можно переписать в виде системы уравнений Пфаффа: Условие разрешимости системы уравнений Пфаффа заключается в коммутировании двух дифференциальных операторов: Распишем покомпонентно последнее равенство и приравняем к нулю, тогда мы получим следующие соотношения: При преобразованиях (46) величины из равенств (71) преобразуются следующим образом: Величины из равенства (72) преобразуются так: /2А , В случае = 0 они представляют собой компоненты псевдовекторного поля 7] веса 3: Теорема 1.2.Уравнение (45) обладает 7-мерной алгеброй точечных симметрии тогда и только тогда, когда зануляются все псевдовекторные поля а, (3, 7 и Л- Все ттшто/е уравнения эквивалентны уравнению у " = 0 при преобразованиях (46). Д Рассмотрим обратное преобразование к преобразованию (46): Будем стараться привести уравнение (59) к уравнению у = 0. В этом случае должны выполняться соотношения:
Используем явные форм Откуда мы получаем следующие 9 уравнений на компоненты U и V векторного поля точечных симметрии: и подстаим полученное равенство в уравнение (65), тогда мы получим: Правые части уравнений (64), (69), (66), (67), (68), (70) зависят только от /, С/1.0, V, V1.0, V0.1, 2.0, Vi.i Сконструируем 7-мерный вектор Ф = (7, C/i.u, V, Vi.()}K).b .O} 1.1)-Тогда упомянутые выше уравнения можно переписать в виде системы уравнений Пфаффа: Условие разрешимости системы уравнений Пфаффа заключается в коммутировании двух дифференциальных операторов: Распишем покомпонентно последнее равенство и приравняем к нулю, тогда мы получим следующие соотношения: При преобразованиях (46) величины из равенств (71) преобразуются следующим образом: Величины из равенства (72) преобразуются так: /2А , В случае = 0 они представляют собой компоненты псевдовекторного поля 7] веса 3: Теорема 1.2.Уравнение (45) обладает 7-мерной алгеброй точечных симметрии тогда и только тогда, когда зануляются все псевдовекторные поля а, (3, 7 и Л- Все ттшто/е уравнения эквивалентны уравнению у " = 0 при преобразованиях (46). Д Рассмотрим обратное улы из (24)-(34): Пересчитаем их в новых переменных: Это означает, что Следовательно, если уравнение эквивалентно уравнению у" = 0, то зануляются тождественно псевдовекторные ПОЛЯ И 7]. С другой стороны, если = 0 и т/ = 0, тогда мы можем определить функцию h(x) как решение дифференциального уравнения 3/г" — Rh = 0. Таким образом, согласно второму равенству (71), для коэффициента N формула (74) верна. Поскольку известна функция h(x), мы также знаем и обратную функцию р(х). Значит мы можем пересчитать коэффициент Т(х) = Т(р{х)). Тогда из соотношения (73) мы найдем функцию q{x). Таким образом доказано существование подходящей функции д{х). у
Семь случаев промежуточного вырождения
В случае промежуточного вырождения псевдовекторные поля а и /3 из (75)-(76) коллинеарны. Обозначим за N коэффициент пропорциональности /3 = SNa, который в случаях Л ф 0 и В ф О соответственно равен N - псевдоскаляр веса 2. Используя формулы (83) в случае А ф 0 и (82) в случае В ф О сконструируем дважды ковариантное тензорное поле (90) ши = Псевдовекторное поле веса 3 служит для определения псевдоскалярного поля М веса 4 и псевдовекторного поля 7 веса 3 Явные формулы для М и для 7 ПРИ А 0: М вычисляется по формуле (96) или (99). Согласно равенствам (94)-(95) это означает, что псевдовекторные поля а и 7 не коллинеарны и N ф 0. Следовательно первые два инварианта можно получить отношением псевдоинвариантов М, N и О, используя формулы (89), (92) и (93): Компоненты связности, отнесенной к реперу из полей а и 7: также являются псевдоинвариантами преобразований (2). В формуле (103) Г22 есть псевдоскалярное поле веса 4, поэтому третий инвариант равен Явная формула для Г22: В равенстве (103) величины С и D определяются согласно формулам (97) в случае А ф 0 или (98) в случае В ф 0. В работах [22] и [23] инварианты (102) и (103) названы базовыми. Дифференцируя базовые инварианты (102) и (103) вдоль полей а и 7 на каждом шаге получим 6 новых инвариантов: Теорема 2.2. .Е с./ш среди бесконечной последовательности инвариантов Ik(x,y), определенных по формулам (102), (104) и (106) 1. нашлась пара функционально независимых инвариантов, то алгебра точечных симметрии соответствующего уравнения (1) тривиальна, 2. все инварианты функционально зависимы, но не все из них константы, то уравнение (1) обладает 1-мерной алгеброй симметрии, 3. все инварианты константы, то алгебра точечных симметрии уравнения (1) 2-мерна. Подробное доказательство
Теоремы 2.2. см. в работе [23]. В число базовых инвариантов не входят инварианты, построенные из оставшихся Гд формулы (102). Это связано с тем, что Г -й удовлетворяют алгебраическим соотнопіениям, связывающим их друг с другом и с уже известными инвариантами Д. Величина V = Г22 понадобится при дальнейших исследованиях, поэтому приведем для нее явную формулу: Пусть выполнены условия Это значит, что псевдовекторные поля а (97), (98) и 7 (ЮО), (101) коллинеарны. Обозначим коэффициент пропорциональности за Л. Л - псевдовекторное поле веса 1. В случае А ф 0 этот коэффициент равен: В случае В ф 0 соответствующая формула имеет вид: Введем псевдоковекторное поле ш веса -1. Явные формулы для компонент этого поля в случае А ф 0 имеют вид: Это поле коллинеарно псевдоковекторному полю аг, полученному из псевдовекторного поля (75). Скалярное поле К - коэффициент пропорциональности ш = Ка вычисляется по формулам в случае В ф 0. Соотношения (113) и (114) позволяют построить псевдоскалярное поле L веса 2: Псевдовекторное поле є веса 1 с компонентами не коллинеарно псевдовекторному полю а. Это обстоятельство позволяет аналогично двум рассмотренным выше случаям рассмотреть связность, соотнесенную с реперами из полей а и є: Коэффициент Г22 есть псевдоскаляр веса 2. Обозначив є1 = С и є2 = D, напишем явную формулу для этого псевдоскаляра: Он служит для определения псевдоскалярного поля Е веса 2: „ i Теперь набор псевдоинвариантов N, О, Л, L, Е позволяет построить чистые инварианты преобразований (20): Теорема 2.3. So втором случае промежуточного вырождения алгебра точечных симметрии уравнения (1) 1-мерна тогда и только тогда, когда все три инварианта (119) - тождественные константы. В противном случае алгебра точечных симметрии тривиальна. Подробное доказательство Теоремы 2.3. см. в работе [23]. Определим псевдовекторное поле ш1 = о 2, и2 = — о 1, используя (111), (112). Условие неколлинеарности его полю а есть Л ф 0. Поэтому можно определить связность, соотнесенную к реперу из полей а и о;: В этом случае псевдоскаляр L веса 0 (скалярный инвариант) равен а псевдоскаляр Е веса -2 равен Для коэффициента Г из формул (120) и (121) напишем явную формулу, полагая о»1 = С, ш2 = D: В этом случае инварианты равны h = -, h = -. (123) Теорема 2.4. В третьем случае промежуточного вырождения алгебра точечных симметрии уравнения (1) 1-мерна тогда и только тогда, когда оба инварианта (123) есть тождественные константы. В противном случае алгебра точечных симметрии тривиальна. Подробное доказательство Теоремы 2.4. см. в работе [23]. Пример 2.4. Уравнение 6.11 Эмдена-Фаулера при п = —3 из справочника Э.Камке [27]:
Уравнение Пенлеве II
Прежде всего запишем уравнение Пенлеве II (138) в такой форме, чтобы были выполнены условия А = 0, В — 1. Для этого произведем следующую замену переменных: Инварианты (102), (104) уравнения (158) соответственно равны (для удобства записи волны над переменными х и у писать не будем). Из бесконечной последовательности инвариантов (106) в нашем случае важную роль играют два инварианта: Комбинация инвариантов 1$, hi h из (159), (160), есть новый инвариант J: Утверждение 3.4. Инвариант J из (161) с точностью до знака представляет собой константу, совпадающую с параметром а уравнения Пенлеве II (138) Л Доказательство следует из определения инварианта (161). V Следствие 3.1. Два уравнения Пенлеве II однопараметрического семейства (138) с параметрами а и а эквивалентны тогда и только тогда когда а = ±а. Л Доказательство следует из того, что .7 = ±а - инвариант преобразований (2). V Для уравнения Пенлеве II псевдоскалярное поле V = Т\2 = 0 из (108) есть инвариант преобразования (2), назовем его дополнительным инвариантом. Теорема 3.3. Уравнение (1) эквивалентно уравнению Пенлеве II однопараметрического семейства (138) с параметром а тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1) F = 0 из (78), но из (92), (93); 4) h = 18/5 из (102); 5) J = const = ±a из (161); 6) V = 0 из (108). Л Для уравнения Пенлеве II (138) выполнены условия 1) -4). Поэтому вышеперечесленные условия являются необходимыми условиями эквивалентности данного уравнения уравнению (138). Покажем что эти условия являются также достаточными. Возьмем произвольное уравнение (1), для которого выполнены условия 1) - 4). В силу условия 1) это уравнение относится к первому случаю промежуточного вырождения. Следовательно (см. [23]) существует система координат, в которой данное уравнение будет иметь вид у" = 3Qy + 3Ry 2 + Sy" и выполнены условия А = 0, В = 1. В специальной системе координат формулы (89), (91), (96) для псевдоскалярных полей N и М выглядят существенно проще:
В силу условия 2) первый инвариант (102) I\ = 18/5. Вычислим этот инвариант для уравнения (162), используя равенства (163) Решим дифференциальное уравнение (164) относительно неизвестной функции Q(x,y): Вторая часть условия 2) - это условие равенства нулю псевдоскаляра О из (92), (93). В специальной системе координат Проинтегрируем (166) по ж, учитывая (165) Формулы А = 0, В = 1 для А и В позволяют получить дополнительные соотношения на функции Q(x, у) и R(x, у). Условие А = 0 выполняется тождественно в силу равенства (166): Условие В = 1: Подставим уже известные формулы для Q(x,y) и R(x,y) в (168), получим дифференциальное уравнение на S(x, у) Вычислим инвариант V, используя (165), (167), (169): Согласно условию 4) V = 0, следовательно а — const = С. Лемма 3.1. Уравнение (1), для которого верны условия 1), 2) и 4) Теоремы 3.4, в специальной системе координат имеет вид Вычислим инвариант J уравнения (170): В последней формуле 3\ = У7/з- Согласно условию (3) J = а. Запишем это равенство как Соотношение (171) расщепляется по степеням (С — 6х): Лемма 3.2. Пусть функции (3(у), (у), ф(у) и С уравнения (170) связаны соотношениями (172). Тогда существует замена переменных, переводящая это уравнение в уравнение Пенлеве II в форме (158). Л Преобразуем уравнение (170) с помощью замены переменных, сохраняющей условие А = 0, В = 1: Коэффициент (173) совпадет с соответствующим коэффициентом уравнения (156) только если 6д = С. Таким образом определена первая из неизвестных функций д(у), она представляет собой константу, однозначно определяемую константой С В силу (174) коэффициент R равен: Согласно (156) R = 0, поэтому Продифференцируем (176) по у: Коэффициент S с учетом (172), (176) и (177) имеет вид Функция S из (178) должна совпасть с 5 из (156). Приравняем коэффициенты при х и \/х и получим соотношения: Выразим Л 3 из первого равенства (179) и продифференцируем: Это есть в точности выражение і г(2/) из (172). Продифференцируем второе выражение из (179): Применив первую формулу (179), получим Ki(y). Так определена вторая неизвестная функция д{у): она представляет собой решение дифференциального уравнения (176). Тогда условия (172) обеспечат выполнение условий (179). Доказательство Леммы 3.2 завершает доказательство Теоремы 3.3. v Пример 3.1. Уравнение 6.9 из справочника Э.Камке [32]: уравнению Пенлеве II (138) с параметром d/(b\/—2). Уравнения Пенлеве III-VI (139) - (142) имеют более сложный вид по сравнению с первыми двумя уравнениями (137), (138). Так как все уравнения (139) - (142) относятся к первому случаю промежуточного вырождения классификационной схемы Главы 2, рассмотрим их одновременно.
Прежде всего определим инварианты преобразований (2). В первом случае промежуточного вырождения на первом шаге считаем инварианты І\, І2, h (Ю2), а потом из каждого построенного инварианта с помощью операции ковариантного дифференцирования вдоль векторных полей а и 7 строим бесконечную последовательность инвариантов. Инвариант I2 = 0 для всех уравнений (139) - (142); формула для инварианта /3 оказывается очень громоздкой. Для дальнейших исследований важным оказывается инвариант її (102) и построенные из него инварианты Д = V„/i/iV и /10 = VaI$/N (106). Важно, что для уравнений (139) - (142) инварианты її, 1$. Іц) есть рациональные функции двух переменных (ж, у). (Для сравнения, инвариант її уравнения (138) — константа, поэтому предложенный метод исследования не распространяется на уравнение Пенлеве II (138)). Явные формулы для инвариантов уравнений (139) - (142) находятся в Приложении В. Обозначим инварианты 1\, Ц, ho как новые параметры и построим следующие полиномы: Рі(ж,г/,/і) = 0, полученный из формулы инварианта її умножением на ее знаменатель, полиномы Р2(ж,г/, IA) = 0, полученный из формулы 1\ и Рз(# 2Л ю) = О, полученный из формулы Іц). В свою очередь, коэффициенты полиномов Рі(ж,7/,/і), Р2(ж, 2/,/4)5 Рз(я,2/,/ю) есть новые полиномы, зависящие от параметров Ii, 1 , Іщ. Степени полиномов Рк достаточно высоки. Для сравнительно простого уравнения Пенлеве IV (140) полином Рх имеет степень 2 по переменной х и степень 8 по переменной у; полином Р2 этого же уравнения имеет степень 4 по переменной х и степень 16 по переменной у. Поэтому решить явно уравнения Pk = 0 не удается. Тем не менее, имея в запасе три полинома, зависящих от двух переменных, мы можем, редуцируя их по х и у, построить выражение, не зависящее от переменных х и у. Для этого мы будем использовать алгоритм Бухбергера (см. [52]). Алгоритм Бухбергера заключается в следующем: 1) упорядочиваем полиномы по редуцируемой переменной; 2) умножим полином меньшей степени на такой множитель, чтобы старшие коэффициенты полиномов сравнялись; 3) вычтем один полином из другого. В результате мы получили новый полином, степень которого меньше,
