Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных Гайдомак Светлана Валерьевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Гайдомак Светлана Валерьевна. Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02, 05.13.01.- Иркутск, 2005.- 144 с.: ил. РГБ ОД, 61 05-1/920

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Численное решение адс методом сплайн-коллокации 32

1.1 Некоторые сведения о постоянных матрицах и их пучках 32

1.2 Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках 36

1.3 Сходимость метода сплайн-кол локации для линейной АДС 40

1.4 Сходимость метода сплайн-коллокации для квазилинейной АДС 44

1.5 Основные результаты главы 1 49

ГЛАВА 2. Вырожденные гиперболические системы 54

2.1 Постановка задачи. Индекс системы 54

2.2 Системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования

2.3 Теорема о существовании решения системы интегро дифференциальных уравнений

2.4 Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалсвской с переменными коэффициентами 70

2.5 Основные результаты главьг 2 74

ГЛАВА 3. Численное решение гирперболических систем с вырожденной матрицей в главной части 78

3.1 Метод прямых. Доказательство сходимости 78

3.2 Метод сеток. Доказательство сходимости 85

3.3 Численные эксперименты 91

3.4 Решение прикладных задач 98

3.5 Приложения теорем существования и метода прямых для решения вырожденных задач оптимального управления с ограничениями в виде систем уравнений в частных производных 103

3.6. Основные результаты главы 3 108

Заключение 109

Приложение 111

Графики численных решений 122

Литература 13С

Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках
Системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования
Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалсвской с переменными коэффициентами
Метод сеток. Доказательство сходимости

Введение к работе

1. Предисловие

Одним из наиболее распространенных эффективных методов исследования в различных областях знаний: физики, биологии, экономики и т.д. является математическое моделирование. Математическая модель ориентирована на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Часто модель представляет собой систему уравнений в частных производных, разрешенную относительно старшей производной искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени и пространстве тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши-Ковалевской). При учете балансовых соотношений, в частности, законов сохранения, системы уравнений в частных производных дополняются алгебраическими связями. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения.

Данная работа посвящена исследованию систем, частным случаем которых являются взаимосвязанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и алгебраических уравнений. В общем случае это системы уравнений в частных производных с тождественно вырожденными матрицами при производных искомой вектор-функции по времени и пространственным переменным.

И.Г. Петровский считал изучение таких систем одной из наиболее важных задач теории уравнений в частных производных [38].

Скажем немного о терминологии. В нашей литературе такие системы называются системами не типа Коши-Ковалевской [26, 27, 60], системами не разрешенными относительно старшей производной [28] или уравнениями Соболевского типа [40]. В зарубежной же литературе их чаще всего называют выроэюдепиъши системами или дифференциально-алгебраическими уравне-ииялш в частных производных [58,68,71,73,76-85,87-90,96). В диссертации и работах автора употребляется термины: вырожденные системы или системы

не типа Коши-Ковалевской.

Как известно [23|, в теории уравнений в частных производных важнейшую роль играет характеристика, называемая типом уравнения или системы уравнений. Наиболее хорошо изучены тины, которые носят названия: гиперболический, параболический и эллиптический.

Помимо типа, вырожденные системы обладают еще одной важной характеристикой, называемой индексом. Под индексом понимается набор целочисленных параметров, указывающих на сложность внутренней структуры системы. Значения этих параметров обычно на единицу больше максимальных порядков частных производных входных данных, от которых зависит решение краевой задачи. В частности индекс описывает характер зависимости решения от малых возмущений входных данных. В известной автору отечественной литературе понятие индекса явно не вводится, но в записи решении эту роль играют параметры, называемые сскториапьностыо оператора [40. 41, 47| или длиной жордановой цепочки [43, 44]. В зарубежной же литературе нет единого понимания индекса и существует большой набор определений [01,65,94,98]. В диссертации дается свое определение индекса, наиболее приспособленное к задачам, решаемым автором.

Несмотря на то, что в настоящий момент имеется весьма обширная литература, посвященная вопросам разрешимости начальных и краевых задач для вырожденных систем, вопросы обоснования численных методов разработаны слабо. Следует все же заметить, что большое развитие получило построение численных методов для конкретных систем не типа Коши-Ковалевской, имеющих большое прикладное значение; система уравнений Навье-Стокса, уравнения Соболева, Баренблатта-Кочипоп.

Если система недостаточно изучена с математической точки зрения, то специалисты-прикладники применяют зачастую без обоснования аналоги неявных разностных схем, хорошо зарекомендовавших себя при решении систем с неособенными матрицами при производных искомой вектор-функции. В диссертации приведены примеры вырожденных систем, для которых отсутствует сходимость численных методов при выполнении классических критериев сходимости для невырожденных систем.

При выполнении практических расчетов без обоснования их достоверность иногда может быть подтверждена экспериментальными данными, что далеко не всегда осуществимо, хотя бы в виду дороговизны проведения эксперимента или его невозможности.

В связи с указанными выше трудностями, в диссертации получены уело-лия разрешимости для некоторых классов вырожденных систем общего вида,

которые по ряду свойств наиболее близки к системам гиперболического типа. Для их численного решения были обоснованы метод прямых и одна неявная разностная схема. Получены критерии сходимости численного процесса. Разработан комплекс программ, реализующий рассматриваемые в диссертации численные методы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, набора графических иллюстраций численных решений и списка литературы. Во введении обоснована необходимость исследования систем не типа Коши-Ковалевской, приведены примеры из различных областей приложений, обрисована актуальность изучаемой проблемы, сделан анализ литературы по тематике диссертации. Первая глава посвящена вспомогательным результатам из теории матричных пучков, а также численным методам решения алгебро-дифферепциальпых систем (АДС). В главе 2 рассматриваются вопросы существования решения систем с постоянными и переменными матричными коэффициентами. В главе 3 изложены численные методы решения вырожденных систем уравнений в частных производных с доказательством теорем сходимости, анализируются результаты численных экспериментов, описан ряд прикладных задач, численное решение которых проводилось с помощью разработанного в среде Delphi 7.0 комплекса программ, предназначенного для решения АДС методом сплайн-кол локации и систем не типа Коши-Ковалевской методом прямых и сеточным методом. В заключении подводится итог проделанной работы и кратко сформулированы основные достижения.

Диссертация написана но материалам работ [3, 12-21, 53-55] и использует результаты, полученные лично автором. Применяемые сведения других авторов отмечены ссылками. В работе принята следующая нумерация. Во введении указана в нумерации буква "В"и порядковый номер. Во всех главах нумерация состоит из трех чисел: первое обозначает номер главы, второе помер параграфа и третье - текущий номер формулы. Применяются общепринятые стандартные обозначения. Буквы i,j_:k,l,m,n,r,v во всех разделах соответствуют целым числам, причем п - определяет число уравнений в системе, г равно рангу матрицы или его максимальному значению в рассматриваемой области.

В работе используются следующие обозначения: Т символ транспонирования; ф - прямая сумма операторов; - тензорное произведение матриц; V/ -градиент вектора / = f(x_u .т₂, -. - ,ж„), grad/ = ( | -- ) ,

div / - дивергенция вектора /, div f = j- + ^ + ... + f

Д/ - оператор Лапласа Л/ - div grad /=f^ + f^+... + f^;

[u, w] - векторное произведение;

|| || - символ нормы вектора в конечномерном пространстве: если а Є Я", то

||а|| = max{|aj|, j =Т^и} ;

II ' We-, II ||с(с/} '" символ нормы в равномерной метрике (область ясна из

контекста или указана явно, например, C(U);

II \\l₂{U) ~ символ нормы в L>2{U)\

' - производная d/dx;

' - производная d/dt.

Обозначение F(x,t) Є Ci{U),j — 0,1,---, где F(x,t) — (m x п)-матрица (в частности, вектор-функция), означает, что все элементы матрицы имеют непрерывные частные производные до порядка j включительно по всем переменным в области U.

Для упрощения записей в текстах доказательства утверждений (лемм, теорем) указание зависимости от t и от х будет опускаться, если это не вызывает путаницы.

2. Актуальность проблемы

Изучая многие физические процессы гидродинамики, физики атмосферы, физики плазмы и т.д. приходится сталкиваться с необходимостью исследования систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных не разрешенных относительно эволюционного члена. Рассмотрим ряд примеров из различных областей приложений.

Пример П.1 [2G). Модель, описывающая малые колебания идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости, находящейся в состоянии равномерного вращения относительно вертикальной оси Ох%. Вводится декартовая система координат (Х\ х₂ х%), вращающаяся вместе с жидкостью. Относительно неё невозмущенная жидкость является покоящейся. Предполагается, что жидкость экспоненциально стратифицирована вдоль оси Ох$, то есть её плотность в невозмущенном состоянии меняется по закону: роС^з) = ае~^2(іхК, а, р > 0.

В поле силы тяжести при отсутствии других внешних сил малые колебания жидкости описываются следующей'системой дифференциальных уравнений

до ^Ро~дї ~ ^Ро^' Н + VP + Pige$ = 0,

--2{3p₀v₃ = 0, divv^O, (B.l)

где v — {v\ v<2 V3) - вектор скорости частиц жидкости, pi - изменение

"Г"

плотности, д - ускорение свободного падения, го = гоез = (0 0 w) , w -удвоенная угловая скорость.

Пример П.2[26]. При рассмотрении малых колебаний вязкой несжимаемой жидкости, вращающейся относительно вертикальной оси, в предположении, что плотность ро и кинематическая вязкость у постоянны, уравнения движения - это линеаризованные уравнения Навье-Стокса

-^ - и Л и + VP = 0, div и = 0, (В.2)

С/ і/

где и = p_Qv.

Пример П.3[37]. Распространение волн в пароводяной смеси описывает уравнение Кортвега-де Фриза-Бюргерса. Заменив в уравнении старшие производные новыми переменными, перейдем к системе

dp . .dp_n ft dp ds

_ж + (a, + a₂p)- + a₃0 + a₄v = -w /₀ ^^^,

где a,; - некоторые константы.

Пример П.4[40]. Модель, описывающая процесс теплообмена движущейся пароводяной смеси со стенкой

дщ ди₂

V(z,r)^ + g₂(z,T)~l = ah(e-t_s), (В Л)

дмсм-тг -q- och{0 - t_s), от

где i(z, г) = -~~_(а+~~^~~_а)а~~, 9г{*> г) = -^-, V - расход смеси, z = (щ и₂ щ ), гіі ~ плотность, и% - энтальпия, щ - температура стенки, a, b - коэффициенты, определяющие давление.

Пример П.5 J39]. Система уравнений, определяющая состояние пароводяного тракта прямоточного котлоагрегата при сверхкритических параметрах рабочей среды имеет вид

„Зі „ді d-y IdD dp D² ,

в = Л(г,7)іР = /р(*>7)>

где г - энтальпия рабочей среды, 7 ~ удельный вес рабочей среды, D - расход рабочей среды, р - давление, Э - температура, q — тепловой поток через внутреннюю поверхность стенок труб на единицу длины, С, - коэффициент сопротивления на единицу длины, F - площадь поперечного сечения потока рабочей среды, t - время, у - пространственная координата.

Пример П.6 [G5]. Модель адиабатического цилиндрического реактора

д²С дС
oz^l oz

О = -h + с₇Т + с₈Т² + с₉Г³ + c_wT\

где h -энтропия, Т - температура, С- концентрация, q, г = 1,10-некоторые коэффициенты.

Число изучаемых систем не ограничивается рассмотренным набором задач, который отражает их многочисленное применение.

Приведенные примеры за, исключением П.З, относятся к классу систем или сводятся к системам вида

А{х, і, и)— + Y. Щх₇ *, ^Т" + С(ж, *, u)u = /(і, і), (В-7)

ас _J=i axj

х = {xi х₂ ... г_т) ЄЯ

det Л(х,і,«) - 0 V(:r,,u) Є Ї7 х Я'¹,

U = {(я, і) : і Є [і₀,Т], а; Є G} С R^m+\

где Л(я;,,?і), Bj(x,t,u), G{x, t,u)— заданные (n x n)- матрицы, J(x,t)~ заданная вектор-функция, u = и(:г, і)—искомая вектор-функция. К системам (В.7) сводятся заменами переменных уравнения, содержащие производные но пространству более высокого порядка, чем первый:

ди , ди , д²и , д^пи ,. . _т .

^а й ⁺ ^6l& ⁺ ^а? + - ⁺ ⁶"^ ⁼ ^/(х' '> ^а-^Ьі ^є ^R

с.десь _дх - z_u _0x - z₂,..-, -g- - *„.

В основном в публикациях, посвященных системам (В.7) рассматриваются либо конкретные задачи, либо очень узкие классы систем, решение которых сильно специализированно. Поэтому при некотором изменении системы

её исследование необходимо проводить заново. Это связано с отсутствием сформированной теории, предполагающей классификацию систем, теоремы существования, численные методы решения и т.д. В настоящей работе выделены классы систем, для которых сформулированы условия разрешимости в терминах входных данных, обоснован метод прямых и один сеточный метод.

3. Объект исследований

Объектом исследования данной диссертации являются линейные системы не типа Коши-Ковалевской (В.7) с постоянными и переменными матрицами коэффициентов, когда пространственная переменная х Є R¹

Qu ди

А{х, t)— + B(x_t t)— + С{х, t)u = /(ж, i), (B.S)

{x,t)EU = [хо,Х] x{t₀,T] С Я².

Допускается одновременное вырождение матриц А(х, ), В(х, t) и пучка матриц ХА(х_: t) + В(х, t):

clet А(х, t) = О, det В(х, 0 = 0 V(a;, t) /,

det[XA(x, t) + B(x, t)] = 0 V(x, t) є U, VA є С.

где С—комплексная плоскость.

При постановке начально-краевой задачи для системы (В.8) и при её исследовании важно знать тип системы. Для систем, разрешимых относительно старшей производной или эволюционного члена: (detA(x, t) ^ 0 V(x, t) Є /), классификация устоялась. В её основе положен вид характеристик. Характеристиками такой системы называют линии вдоль которых выполняется равенство

A(x,t) B{x,t)

где Е - единичная матрица [23]. Они определяются уравнениями вида dx/dt — А,;(х, t), г = 1,п, где А_г-(, і) являются корнями уравнения det[AA(:c, t)—B{x, )]. Системы (В.8), у которых все корни Xi(x,t) вещественные и не являются кратными ни в одной точке рассматриваемой области, называются гиперболическими. Если система (В.8} не имеет вещественных характеристик, то она называется эллиптической и если её характеристики нулевые, то параболической [23]. Для вырожденных систем по свойствам определителя (В.9) такие заключения могут быть неверны. Например, для системы

нельзя определить характеристики, поскольку равенство (В.9) выполняется в каждой точке области определения. Решение данной системы единственно

и выражается по формуле и = / — I _ _п J [df/dt + dj /дх].

Более интересной является следующая система

для которой равенство (В.9) имеет вид —dt² = 0. Исключая вторую компоненту вектор-функции и — (щ иг) из системы, мы получим уравнение теплопроводности для первой компоненты искомой вектор-функции: du\jdt— д²иі/дх² — fx — д/2/дх. Таким образом, мы видим, что анализ характеристик, получаемых из уравнения (В.9), не дает информации о типе вырожденной системы.

Следуя работе |51], предположим, что матрицы Л, В, С в системе (В.8) постоянные и рассмотрим

тогда систему (В.8) можно записать в виде

^л_(I-1)^u₌^/(м)_-^(В10)

Пусть 9ij(j) ~ алгебраические дополнения матрицы Л (J^,J~)- Используя известное из линейной алгебры соотношение

&s)^A(!i)-*"^A&s)

перепишем систему (В. 10) в виде

_Cfl»uri^.—а(|.А).._с(|,|)_/(,.₍, _(л„_}

,dt^: дх/ \dt' дх где

_«*&)-<&)&

^3 іш) ⁼ ^а^ііЬ + — + ^aU^ + ^aoj ~ Дифференциальные операторы с коэффициентами atj Є R^l і = 0,1,..../. Система (В.11) состоит из п скалярных уравнении

где («і щ ... и_п)^т = и, (фі фг - ф_п)^т = G(-_t,J%)f(x,t)

Из приведенных рассуждений, в частности, из последнего равенства следует, что исходная система (В.8) может не быть дифференциальной (решение системы не имеет даже константного произвола), если определитель detA не содержит операторов дифференцирования, может быть системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), если оператор (В. 12) включает производные только д/дх, либо только d/dt и наконец системой в частных производных, когда присутствуют в рассматриваемом операторе обе производные.

Как мы видели выше, важную роль при проведении рассуждений играло предположение о том, что операторный определитель detA не равен нулю. Это эквивалентно тому, что пучок матриц ХЛ + fiB -f С регулярен. Под регулярностью понимается существование чисел Aq, fJ-o, при которых dct(A(H + ІщВ + С) ф 0.

Существенную роль при исследовании играет следующий факт: если пучок АЛ + f.iB регулярен, то существуют невырожденные (п х п) матрицы Р и Q, которые приводят пучок к виду

P_{XA ₊ _ltB)Q = x(* _N)_+t,(^J₀ _nJ, (5.13)

где N - пилыютентная матрица индекса к : N^k = 0, J - некоторая (d х d)-постояштя матрица, d < г, г — гапкЛ. Число к называется индексом пары матриц (Л В). Правая часть в равенстве (В.13) носит название канонической (кронекеровой) структуры [22]. Такая форма пучка позволила исследовать системы с постоянными коэффициентами и получить условия разрешимости систем.

В связи с понятием индекса пучка матриц в теории АДС было сформулировано понятие индекса АДС. Вначале опишем общую ситуацию. Пусть задана АДС следующего вида с достаточно гладкими входными данными

2{х, х, t) = А{х, t)x + F(x, t) = 0, det А{х, t) = 0 Vfo t) Є Rⁿ x [i₀, T].

Тогда, no крайней мере локально, в окрестности некоторой точки (а, а) Є Rⁿ х (₀, Т] найдется матрица P(x_}t) :

Из уравнения Яг ОМ) = 0 при определенных условиях можно выразить часть компонент вектора х : х\ ~ Ф(;с2,), ^гА^е ^х ⁼ (^XJ ^х2 ) Д^ля ^это~ го, напри мер, достаточно выполнения условий теоремы о неявной функции в точке (а,а).

После подстановки х\ в первое уравнение, мы получим новую систему относительно Х\ :

Ai(xu t)ii + T\{xi,t) = 0.

Может оказаться, что матрица А\{хі,і) также тождественно вырождается в области определения. Тогда процесс можно повторить. В силу того, что число шагов I описанного процесса не превышает п мы получим в конце концов систему

Ai(x_h t)xi + Fi{xi,t) = 0,

где либо определитель detAi{xi,t) ф О, либо А{{х\, t) = 0. В первом случае систему можно свести к форме Копій (нормальной форме), а во втором разрешить уравнение J^ifaijt) = 0. После этого обратным ходом можно восстановить все компоненты исходной вектор-функции x(t). Число шагов принято называть индексом АДС.

Поясним происхождение термина. Очевидно; что процесс понижения размерности осуществим не всегда: в частности, на некотором шагу j система jFj(xj, і) — 0 может оказаться несовместной. Критерием осуществимости процесса для линейных систем с постоянными коэффициентами Ах (і) 4- Bx(t) — f(i) является регулярность пучка матриц XA + fiB. И более того, число шагов процесса понижения размерности / совпадает с индексом пучка (параметром к в формуле (В.13)) [57]. Следует отметить, что уже для линейных АДС с переменными матрицами коэффициентов, а тем более для нелинейных АДС число шагов процесса понижения и индекс пучка матриц Якоби по ж и і вида XdZ/дх + dZ/dx как правило не совпадают. Но, тем не менее, термин "индекс АДС", введенный для систем с постоянными матрицами коэффициентов, закрепился в теории АДС. В настоящее время наиболее часто под индексом АДС понимается порядок дифференциального оператора

С=±Ь^\х,х.--х^)(^

где Lj(t,х,х - - х^) — (п х п)-матрицы, со свойством

С[А{х, t)x + F{x, t)) = x + Ф(х, t) Vx є C^q+%, T\.

Легко указать АДС, для которых / ^ q и к ф q даже локально [50]. Только для систем с постоянными матрицами коэффициентов имеется совпадение I = q = к.

Еще больший разнобой встречается при попытках ввести понятие индекса систем не типа Коши-Ковалевской (см. например [61, 65, 75, 94, 98]). Ни одно

определение пока не является общепринятым и устоявшимся. Для систем не типа Коши-Ковалевской можно попытаться действовать по аналогии с АДС. В силу тождественной вырожденности матрицы А(х, t), систему (В.8) иногда можно расщепить, умножая ее на невырожденная матрицу Р = P(x,t) и получая две подсистемы

(An Л₁₂)~ + (Вп B_l2)^ + (C_U C₁₇)u = f_lt

(В₂₁ В₂₂)~ + (С₂₁ C₂₂)u = f₂, (BAA)

-г-

где Pf = (/і /2) Для сушествования матрицы Р достаточно постоянства ранга матрицы A(x,t) в области U.

Если det В21 7^ 0 V(x, t) Є U, то в системе (В. 14) векторную компоненту и₂можно выразить через щ, где и — (uj uj ) , и подставить ее в первое уравнение. После этого мы получим систему иптегро-дифференциальных уравнений, которая также может оказаться вырожденной и с ней можно проделать те же операции. Количество шагов, которое необходимо сделать, чтобы получить невырожденную систему, можно принять по аналогии с АДС за индекс системы (В.8). Но ситуация в общем случае сложнее, чем описанная выше: может но найтись хотя бы непрерывная в области U матрица Р, матрица В₂₂может оказаться вырожденной. Но даже в случае постоянства ранга матрицы А в области U построить матрицу Р очень непросто, особенно, если минор "несущий"ранг матрицы плавает по матрице, например

A(rt)-(¹⁺ ^sinp^' *> <**p{x_t t) \ ^А&*>-{ cospCM)" 1-віпрСг,0Г⁽ ' '

Здесь легко установить, что rank.A(:r,) = const — 1 V p(x, і) Є C^J(/), j > 1, но найти матрицу P є C^(U) весьма непросто.

К тому же, порядок производных входных данных по і и по х₇ возникающих при проведении процесса понижения размерности, и от которых зависит решение системы, может быть разным. Поэтому в диссертации предлагается определять [індекс системы (В.8) двумя значениями Ink. Значение I указывает па степень неразрешенности но переменной t, а к определяет степень неразрешенности по переменной х.

В работе сформулированы признаки систем в терминах входных данных, которые имеют индексы (1,0), (1,1). Более того, в рамках этих признаков можно определить тип системы (гиперболический, эллиптический и параболический). Это позволило поставить начальные и начально-краевые зада-

чи для систєлі вида (В.8) и получить условия их разрешимости, построить и обосновать численные методы решения.

Свойства систем, не относящихся к типу Кош и-Ковалевской и поведение численных процессов резко отличаются от систем разрешенных относительно производной по времени. Для разрешенных систем

ди „ди _, г, ,\ / *\ „ — + В~ + Си - f{x, і), {х, t) -Є /,

u(x,₀) = Ф{х), u(x₀,t) = г/>(),

Ж + ^ + ^c<^u< = №> 0. (=. ) є і/,

строго гиперболического типа, где В, Я_е, С, С_е - (n х тг)- постоянные мат-рпцы, собственные числа матриц В, 5 положительные и простые, /(хЛ), f₍{x,t), Ф{х), ф_е(х), ф(і), Фс{і) - известные непрерывные n-мерные вектор-функции. При выполнении условий

||В-В||<е, ||С-С_е||<с,

\\f{x,t) ~ Л(я, t)\\_C{U) < є, HV'W - &(*)llc[t,.r| < є,

\\Ф{х) - ф_с(х)\\с[_Х0,х\ <є справедливо неравенство

||гі — u[jc{c/} < ке, к = const.

Иначе дело обстоит при рассмотрении систем вида (В.8). Рассмотрим систему

/0 1 0\ 0 0 1

\о о о/

/о о 1\

\о о о/

^ + « = /, / = /(x,)eC³(t/). (В.15)

Определитель из формулы (ВЛ2) det Л (d/dt, д/дх) не зависит от операторов дифференцирования, следовательно, решение системы (ВЛ5) единственно и выписывается п виде

«-/-

/0 1 0\ О 0 1

_{\о о о;}

^д_-1₊

/0 0 1\

\о о 0>

_У-

/о о 1\

Vo о о^

Зададим правые части системы (В.15) в виде вектор-функций

/=(1 0 i + 0^T,/_t = (l 0 х + і + є¹^е<^1/3*)^т, тогда для соответствующих им решений, имеем

\\и~и_е\\с(й) =

( 0 \ ( ^е<^1/3*

C(U)

при том. что |j/ — /(Heft/) ~* О ^ПР^И е —> 0. В данном примере непрерывность решении по правой части f(x, t) можно получить, потребовав малость ||/—/_е|| в пространстве C²(U). Выбор метрики с малым возмущением не всегда даст возможность добиться малости отклонения ||u —и_е||. Например, это нетрудно заметить, если возмутить коэффициенты системы.

Системы не типа Коши-Ковалевской содержат в своей структуре АДС, поэтому они обладают всеми свойствами, которые присуще АДС |56]. В частности, неоднородная система не типа Коши-Ковалевской мол-сет оказаться несовместной в области U.

Приведем примеры аномалий поведения численных процессов, возникающих при решении вырожденных систем. Для этого введем сетку по пространственной и временной переменным

U\_} = {х_т : х_т = x_Q + тії, т — О,1,..., М, Mh — X — x_Q]

U_T = {t_t = t₀ + lr, 1 = 0, 1, ...,7V, Ят = Т- t_Q}

и сетку в области U

U_hT = U_h x U_T.

Система (В.8) аппроксимируется нєяпеіой разностной трехточечной схемой (см., например. [23])

A_tUm_ti A_xu_mJAm,l г &тп,1 Г г ^m,iW_m,i = J_m,h

AfU_mj — U_m,l — Um,I-L AxU_m,l — U_mJ ~ %_ц,

fmj. = f{xni,ti)> A_wj = A(x_mtt[), B_m,i = S(x_m, U), C_mti = C{x_m,U), u_mfl =

U(x_m:l()) = Ф_т, Uqj = U(x₀,tl) = Ф/.

Пусть Л, В, С - матрицы из системы (В.15), тогда прямой подстановкой можно проверить, что решение разностной схемы имеет вид

({) 1 0\ _Л _г ([) 0 \\ _л _е f0 0 1\ _л2.

%n,l ~ fm,l

_Vo_{о о;}

А(/т,(

_Vo_{о о;}

&xfm_tl

Vo о {))

Легко показать, что ||u(a;i,{) — и^Ц = С(1/г), а во всех других точках сетки (У/,,,- имеет место сходимость: ||u(a;_m, ti) ~ u_mj\\ = 0(т) 4- 0(h). Отсутствие сходимости вблизи границы области называется "пограничным слоем ошибок". Нетрудно построить примеры, когда "пограничный слой ошибок¹¹ имеет место на другой смежной стороне области U. Таких слоев может быть несколько, а зависимости от показателя нильпотентности матриц А, В. На простом примере мы продемонстрировали один из эффектов влияния индекса на численные процессы.

Пример П.7. Пусть задана система

А 0 0\ _ди (а_х а₂ а₃\

/1 0 0\

\о о о/

+ 0 е

.0 о о/

дх

-Ь

-ХЇ

6 J

и — /,

где Л_; S. а;, і — 1,2,3 - числовые параметры, и = (щ щ щ) , / = (h fi /з) Правая часть системы - вектор-функция f = f(x,t)n краевые условия соответствуют решению и = е^т+і(1 1 1)^т. В терминологии автора эта система гиперболическая и имеет индекс (1.2) при 6 = 1 и индекс (1,1) при

Сначала обратим внимание, что

сЫ[ХА(х, t) + цВ(х₇1) + С(х, )] = 0 V(x, t) Є U_% VA, p є С,

если 7 = 0, 5=1. Поэтому при применении разностной схемы мы получаем систему

Ami . %j _Л

г /г

с особенной матрицей при искомом векторе и_ТПіі при любых /і и т. Тем не менее, если 6 — 1, методом исключения неизвестных система решается:

(^/2" ^)⁷(⁷"^eIt)'^из ⁼ ~^Л2 ⁺ ^/3'

дщ . дщ _т . . _т, ,.

-Б]- + А—— + Qiiii = Ф(а;,і), Ф(аг, 0 = /і ~ ^а2Щ ~ аз«з-

И:і последнего уравнения следует, что

U! = ф{х - X{t -t₀))+ Ґ e^ai{s~^to)^(x - Xt, s)ds,

где ф - произвольная гладкая функция. Естественно, предполагается, что функция 7 — te^xi ф 0 V(:r, І) Є U.

Возможна и обратная ситуация. Пусть 7 = te . Тогда

On не равен нулю при достаточно малых г, /г, если Л > 0. Тогда разностная схема разрешима относительно и_Ші(. Но сама система из примера П.7 не имеет решения, если

Чтобы в этом убедиться достаточно продифференцировать по х третье уравнение и вычесть результат из второго.

Пример П.7 демонстрирует резкое отличие вырожденных систем с постоянными и переменными матрицами коэффициентов. Для систем с постоянными матрицами А, В, С, которые удовлетворяют условию: det(XA+fiB+C) = 0 VA./z Є С, всегда найдется свободный член /(я, ), элементы которого являются аналитическими функциями и система (Б.8) несовместна.

При 7 / 0 и 5 = 1, матрица ^-f¹ + -^ + C_mj неособенна при достаточно малых h и т. рекуррентный процесс осуществим и методом исключения неизвестных можно показать, что переходной оператор для второй компоненты имеет вид

u₂,.m = МО/, t)u₂,_m,u Фі, t) = (e^tlm - e^txi) I (7/O ,

Мы имеем неустойчивый численный процесс, если |^(хі,)| > 1.

Общий случай систем не типа Коши-Ковалевской (особенно с переменными коэффициентами) очень сложен для изучения. Поэтому исследование ведется по пути выделения классов с применением элементов теории пучков матриц. Этот подход позволил сформулировать в терминах входных данных теоремы о разрешимости и в условиях этих теорем обосновать некоторые численные методы.

Результаты для систем с постоянными матрицами коэффициентов получены для случаев, когда регулярны пучки матриц ХА + fiB₇ ХА -f- fiB + С, где А, В, С - (п х п)-постоянные матрицы.

Попытки распространения результатов о системах не типа Коши-Ковалевской с постоянными матрицами коэффициентов на системы не типа Коши-Ковалевской с переменными матричными коэффициентами позволили прийти к выводу, что изучение кронекеровой структуры пучка

XA(x,t) + B{x,t) (ВА6)

может дать довольно полную информацию о свойствах исследуемой системы в случае, когда выполнено равенство

mnkA{x,t) = deg det{XA(x, t) -f B{x, t)} = const V(rc, t) Є /, (#-17)

либо набор равенств:

rank А(х, t) = г = const V(:r, t) Є U;
rank {A{x, t) B{x, t)} = r + I = const V(rc, і) Є U;
det{\A(x,t)+fiB(x, t)+C(x_bt)} = a₀AV+..._; a₀ = a₀(:c,) ф 0V(rc,t) Є f/, где deg определяет символ степени многочлена, например deg(A²+4A+3) = 2.

Системы (В.8) с пучком матриц, для которого выполняется условие (В. 17) называют системами, удовлетворяющими критерию "ранг-степень" [56], а системы, для которых выполняются условия а), Ь), с) называются системами, удовлетворяющими двойному критерию "ранг-степень".

В первом случае существуют матрицы Р\ = Pi(x,t) и Q\ = Qi{x,t) неособенные в любой точке области U и имеющие ту же гладкость, что и матрицы коэффициентов системы (В.8), со свойством

v(i, t) є a,

L^n—T

P_l[XA + B)Q_l = \(^ ") + (

и во втором случае 7 = Рі{%, t) и Qi ~ Qi{x, і) :

Р₂(АЛ(х, t) + /j,B{x, t) + C(x, t))Q₂ =

(B.18)

о о

Еп-_Т-1 і

О Віз'

= A

(В.19)

+ M

_V_о

О , О

^Vo^{о о ;}

Термин двойной критерий "ранг-степень"был введен авторами в работах [20], основываясь на работе [7].

Использование канонических структур пучка (В. 18), (В. 19) позволило не только получить условия разрешимости систем, по и доказать сходимость численных процессов.

Касаясь вопросов численного решения систем не типа Коши-Ковалевской, следует отметить, что среди большого числа публикаций [39, 75| нет практически ни одной, посвященной разработанным и обоснованным численным методам решения для систем с переменными коэффициентами общего вида. Если в некоторых работах применяются численные методы решения конкретных прикладных начально-краевых задач для неразрешенных систем, то это в основном сеточные методы и доказательство их сходимости зачастую отсутствует.

В настоящей диссертации предложен и обоснован метод прямых [1] для решения системы (В.8) с использованием метода сплайн-коллокации [8] и неявная трехточечная разностная схема.

В результате применения метода прямых система (В.8), заданная в области U = [to,T] х [хо, А], с начально-краевыми условиями

и{х₀, t) = ф(і), u(x_t t₀) - ф(х),

где ф(і). ф{х) - заданные n-мерные вектор-функции сводится к решению на каждом слое Xj = xq -\- jh_t h — шаг дискретизации, разностной схемы

%%$- ₊ СЪ,1)

, B(x_h t)
Щ = /fe і) + J_b—Чы

Uj — Uj(xj, ), j = 0,1,...,Л/", щ = Ф{Ь), N = ріг*¹] ' ^где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Сходимость такого численного процесса гарантирована при определенных условиях теорем существования для систем индекса (1,0) и (1,1). В других случаях метод может давать отрицательный результат.

4. Методы исследования.

Методы исследования базируются на теории матриц, матричных пучков, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, на теории ЛДС и элементах теории гиперболических систем уравнений в частных производных. Предложенный численный метод представляет собой модификацию метода прямых, учитывающий особенности вырожденных систем.

5. Научная новизна.

В данной работе разработан подход к классификации, основанный на изучении свойств матричных пучков. Введено понятие систем не типа Копш-Кова-левской индекса (1,к). Доказана сходимость численного процесса для случая индексов (1,0) и (1,1). Впервые в известной автору литературе литературе проведено строгое обоснование численного метода для решения систем не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами. При этом попутно доказаны теоремы о сходимости метода сплайн-коллокации для линейных и квазилилейных АДС, если они удовлетворяют критерию "рапг-стспень".

6. Апробация работы.

Научные результаты и основные моменты работы докладывались на ежегодных конференциях "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий"в Иркутском Институте динамике систем и теории управления СО РАН (2001-2004гг.), на Международной конференции молодых ученых в Новосибирске (2002г.), на Региональной межвузовской конференции по математике и проблемам её преподавания в вузе, проходившей в Иркутском государственном педагогическом университете (2003г.), на III Всероссийской koei-ференции "Математика, информатика, управление"(2004г.), на ХШ-й Байкальской Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения "(2005г.). Основные результаты диссертации поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00857.

7. Обзор текущей литературы.

Системами не типа Коши-Ковалевской занимаются с 40-х годов прошлого столетия. До сегодняшних дней вышло большое количество работ, в частности, укажем наиболее близкие публикации по тематике диссертации [G4, G5]. Немало публикаций по системам иптегро-дифференциальных уравнений и совсем немного литературы посвящено численным методам решения вырожденных линейных систем уравнений в частных производных общего вида [2, 75]. Можно сказать, что теория вырожденных систем уравнений в частных производных не типа Коши-Ковалевской далека от завершения: нет устоявшейся классификации (нет даже единого понимания индекса), практически отсутствуют результаты по системам с переменными матрицами коэффициентов, не развиты численные методы их решения и т.д.

Работы по системам не типа Коши-Ковалевской развиваются в следующих направлениях:

I. Направление, основанное на поиске аналитических (точных) решений уравнений в частных производных с применением алгоритма Картана, который первоначально возник как аналитический аппарат исследования поверхностей, обладающих различными геометрическими свойствами. Далее он нашел применение в другой области математики - в теории аналитических (точных) решений уравнений в частных производных [49, 58, 59].

Если рассматривается система уравнений

т п f)_u.

^aHkJT- = ^, * - 1, 2,.... m, (5.20)

j=U=l ^хк.

где a-ijkt Fj есть функции от щ, ...,u_m,xi, ...,„, то наиболее общий метод получения точных решений системы (В.20) заключается в присоединении к (В.20) дополнительных уравнений

/ = 0, (.21)

где / - система функций от яі,..., х_п, щ,..., и_т, которые могут представлять собой производные до р-го порядка включительно по независимым переменным от уравнений исходной системы, образуя так называемую продолженную слстему. С большой эффективностью метод Картаиа применяется в работах [45, 58, 59). Хотя метод Картана и позволяет ответить на вопросы о совместности систем дифференциальных уравнений в частных производных, он не дает информации о типе системы, что представляет первостепенную важность при постановке начальных и краевых задач и выборе методов численного решения;

II. Направление, основанное на использовании преобразовании Фурье и Лапласа, либо на разложении искомого решения в ряды Фурье по тригонометрическим функциям или ортогональным полиномам. Этот подход весьма эффективен при исследовании систем с постоянными коэффициентами. Здесь па систему (В.8) действуют преобразованием Фурье

_{шл) = Аг С Ф№}^щ_&*

и is случае постоянства коэффициентов системы, относительно образов получают АДС

где й(, ). /(, t) - образы Фурье по х функций и{х, t) и f(x, і] соответственно. Далее, обычно, последнюю систему исследуют и обратным преобразованием Фурье r)(x,t) = -7= f± 77(^, )e~"*d возвращаются к переменным х и t.

Этот метод активно используется в монографии [26]. В ней авторами развита теория краевых задач для систем не типа Коши-Ковалевской с постоянными матрицами коэффициентов вида

(д д \ , ди , (д

Кдїді

ди ( д \

^U⁼^Ло_Ж⁺^Л_[дх)^U⁼^/(ж_'⁾_'^(R22)

^к_{<> 0\}_л_{/ел -}_(^Ш^Ь_Ш

дх'

где, = (х, х₂ ... *„), Л₀ = (* I), А() = (<|>

К a (т х т)-числовая матрица, det K_Q ф 0, tfi(gj), (g;), М (-д) - мат

ричныс дифференциальные операторы по х с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей.

Вводится матрица С(т, г) с элементами Zfcj(r, г) - символ оператора , полученный применением преобразования Фурье к системе (В.22). На символ (т, г) накладывается ряд условий, в рамках которых проводится дальнейшее исследование. Выделяются следующие классы: системы Соболевского типа и псевдопараболические системы.

Определение 1. Система дифференциальных уравнений вида (В.22) называется системой соболевского типа, если оператор {т₇і) удовлетворяет условиям:

Существуют числа si,...,s„ и ti,...,t_n : tj > 0, j — 1,...,n, tj > t\, Sj > S\, m + 1,..., n такие, что для it, j = 1,..., n имеем /&j(t, г) = 0 при Sk + tj < 0, k-,j(r, с + г'О = с*^к+1П_К1{т, г'), О 0 при s_k -f ij > 0;
Равенство det [M(i^)K^"¹L(f^)j — 0 имеет место тогда и только тогда, когда = 0.

Определение 2. Система дифференциальных уравнений вида (В.22) называется псевдопараболической, если символ (т₎ г) удовлетворяет условиям:

1) Выполнены равенства S\ — ... = s_m = 0, t\ — ... — t_m = 1 и найдутся
такие числа s_m+i ~ = $_п, tm+i = --- — t_n такие, что — 1 < Sj > 0, tj > 0,
j = m+1,..., п, атакже вектор a = (ai ... а_п ), о^ > 0, г = 1,..., п такие,
что для k.j — 1,...,п имеем

hjij,i) = 0 npHSfc + tj < 0,

k,j{cr,c^ai) = c^5A+^_fcj-(r,zf), о 0 при s_fc + ij > 0,

а отношения tj/aj являются натуральными числами;

2) det R{r, it) ф 0, Л(г, гО = тК₀ + Кц, Re г > 0, f є Я", |т| +- |f | ^ 0, при
этом если det [Af (if )Я^-1(т, г^)і(г^)] = 0, то - 0, f Є Я^м.

Здесь отметим следующее. Требования, налагаемые на системы (В.22) в монографии [26], заметно сужают класс рассматриваемых задач. Равенство det {M(it;)KQ^lL(if;)] ф 0 из определения 1 означает, что индекс соответствующего пучка матриц АД) + Л-1(0 строго равен 2 (не больше и не меньше).

Для систем (В.22) получены условия разрешимости задачи Коши и смешанных задач в четверти пространства Я"^¹ = {(x,t) : х Є Я", > 0} в соболепских пространствах, исследована корректность рассматриваемых задач. При исследовании применяется метод построения последовательностей приближенных решений и получение оценок в соответствующих нормах. Для

конструирования приближенных решений используется специальная модификация метода Фурье-Лапласа с помощью операторов усреднения.

Наряду с системами дифференциальных уравнений в частных производных в [26] также рассматриваются интегродифференциальные системы

числовая матрица.

В ряде работ [5, 10, 75] для исследования используется разложение искомого решения в ряд Фурье. Рассматриваются системы вида

где t Є [к,Т], х = {xi x₂ ... x_m) Є V С Я^т, и = u(x,t), f(x,t) - n-мерные искомая и заданная соответственно вектор-функции, разложимые в области определения в ряды Фурье

оо оо

^u(x,t)⁼^Е^Mt)e~^ikx^{, f(x,t)}^-^h(t)e-^ikx^,

кх — IjXj-, lj - целые неотрицательные числа. А - (п х п)-числовая матриці ца, В (^j - (п х п)-матрица, элементами которой являются линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. При подстановке рядов Фурье в систему мы получаем бесконечную последовательность АДС

Здесь, если индекс пучка \Л + В (к) не зависит от к, то его можно принять за индекс системы;

В ряде работ [25, 40, 44] используется операторный метод. В этом случае система дифференциальная уравнений в частных производных рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами, которые являются функциями со значениями в множестве операторов той или иной структуры. Основным объектом в таком направлении выступают обыкновенно-дифференциальные операторы (ОДО) поскольку, как отмечают авторы, это простейший объект теории граничных задач, допускающий во многих отношениях исчерпьшаюіцее изучение. А также в

данном случае основным приемом изучения характерных явлений, возникающих при изучении уравнений с частными производными является использование связи между ОДО (например, операцией L(A, D) = A2D² + A\D + Aq, где А)_с - числа) и соответствующим уравнениям с операторными коэффициентами (т.е. операцией L(A, D), в которой А^ - операторы).

Операторный метод был использован для классификации систем (В.8) и введения понятия индекса [51] для системы (В.8) с постоянными матрицами коэффициентов.

Определение 3 [51]. Система (В.8) называется системой с явным определителем, если

дР

и системой с неявным определителем если, оператор при старшей степени jb% зависит от ^.

Если система (В.8) является системой с явным определителем, то будем считать, что система (В.8) гиперболическая, параболическая или эллиптическая в зависимости от типа оператора (В. 12). Систему (В.8) с неявным определителем можно исследовать на гипоэллиптичность. Под индексом по той или иной переменной понимается максимум разности порядков производных в определителе (В. 12) и элементов матрицы, состоящей из алгебраических дополнений.

Применение преобразований Лапласа, Фурье, разложение в ряд Фурье, операторные лгетоды люгут давать хорошие результаты в случае постоянных матриц коэффициентов и иногда при зависимости этих матриц от одной из переменных х или t. При одновременной зависимости коэффициентов от х и і требуются другие подходы. Некоторые из них намечены в диссертации.

III. Направление использует в качестве объекта исследования дифференциальные уравнения с операторными коэффициентами

где А Є C{U,T) - множеству линейных непрерывных операторов, определенных па пространстве Ы и действующих в пространство Т. А - оператор: clomB —* Т линеен и замкнут с областью определения dom.4, плотной в U. Причем оператор А не обратим: kerA ф 0. Полученные результаты применяют к исследованию систем не типа Коши-Ковалсвской.

Абстрактные дифференциально-операторные уравнения вида (В.25) первыми начали изучать М.И. Вишик, С.Г. Крейн и его ученики [30, 31]. К настоящему времени сложилось несколько подходов.

В работах Г.А. Свиридюка [40] и его учеников изучаются уравнения вида (В.25). Такие; уравнения автор называет уравнениями соболевского типа, что отличает от терминологии, введенной в монографии [26]. Создана теория уравнений Соболевского типа, основанная на исследовании разрешающих групп и полугрупп уравнения (В.25) в сингулярном случае kerA ^ 0. При проведении исследований большую роль играют спектральные свойства пучков операторов АА — В.

Другой подход предлагается в работах Н.А. Сидорова и его учеников [42, 44], основанный на предположении существования полного жорданова набора у пары операторов (А, В) и концепции слабого решения задачи Коши

я(0) = х₀ (.26)

для уравнения (В.25). Как известно, из работ по данной тематике [66, 78], задача (В.25), (B.2G) разрешима не при всех начальных значениях x_Q Є U. Чтобы сиять это ограничение, в работах [42-44] изучают такие решения уравнения (В.25), которые имеют скачек типа 5-функции и её производных в точке нуль.

Интересно отметить, что несмотря на различие базовых предположений обоих подходов, общее решение уравнения (В.25) описывается структурно близкими формулами

х& ю) = U(t)xo + JU(t- s)[I - R]f(s)ds + ()' Я,-(Д/(*)),

где U{t), R—некоторые полугруппа и проектор соответственно, Sj— операторы, определенные в соответствующих подпространствах. Природа этой связи вскрыта в работах учеников Г.А.Свиридюка [50]. Если U — Т — Я", то р ~ к — 1, где &—параметр из формулы (В. 13).

И.В. Мельникова и её ученики [34-36] разрабатывают подход, основанный на использовании n-интегрированных с-полугрупп. Основные результаты здесь установление п ~ -ш-корректности задачи (В.25), (В.26).

R.E. Showalter [88-92] и его ученики [62, 92, 95] разработали метод редукции сингулярного уравнения (В.25) к регулярному уравнению

^du q„ # Tf

S = A^_1B : dom 5 -> W, T = BA"¹ : domT -> ^,

определенному в полугильбертовом пространстве U, Основные результаты -теоремы о существовании единственного решения задачи (В.25), (В.26).

A. Favini и A. Yagi [67-72] предложили метод редукции сингулярного уравнения (В.25) к дифференциальному включению

~ Є Аи (5.27)

с многозначным линейным оператором A : U —> 2^й. Данный метод основан на хорошо разработанной теории многозначных линейных операторов. Основные результаты - теоремы о существовании единственного решения задачи (В.27), (В.26).

В работах R. Lamour, R. Marz, С. Teschendorf [77] рассматриваются абстрактные АДС

AjBtj + By = Ag{t), і Є (О,Г], (Я.28)

Dy{0) = УоЄ imD (.29)

где im - образ оператора D, A : Z —> У, В(-,) : X —> У, X, Y, Z - гильбертовы пространства. Задача исследования заключается в редуцировании системы (В.28), (В.29) к разрешенной

^{— є Пи}^{+ /(0,}^te(o,T]

v(0) = v₀

с помощью оператора проектирования. Здесь П = —BD^-1, D~4' = {у АэЬ У Є imD, Dn - область определения D. В работах устанавливается связь между степенью оператора проектирования и индексом системы (В.28). Изучаемые системы уравнений в частных производных вида (В.23) с постоянными (п х п)-сингулярными матрицами А, В, С сводятся к АДС (В.28), гдеВ = В Д + С, Л = AD.;

IV. Здесь исследуются конкретные краевые задачи и численные методы их
рпіиония (как правило это системы, имеющие громадное практическое значе
ние, например системы Навье-Стокса). Литература необозрима;

V. В этом направлении системы не типа Коши-Ковалевской исследуются с
применением методов, развитых при изучении АДС [4,61-65). Этот подход в
настоящее время интенсивно развивается. При этом (если коэффициенты си
стем постоянны) широко используются канонические представления пучков

матриц, задающих коэффициенты систем уравнений. Для системы уравнений не типа Коши-Ковалевской рассматриваются пучки: ХЛ 4-і?, ХВ + С, ХА + С, ХА + fiB 4- С, где А,/х - некоторые числовые параметры или операторы, в частности операторы дифференцирования. В работах [Gl-65,79,80], изучаются системы

_4т^+в_ё^+с₁^+Ли₌^№_^^(В_-^2Э)

с граничными условиями

u(0, t) = 0, и(Х, t) = 0, и(х, 0) - щ(х),

где Л, В, С, Г* - (пх п)-постоянные матрицы, f(x,t) - известная п-мерная вектор-функция. Предполагается, что det(XA + jj?B + /хС -f >) ~f 0, где А, /х - символы дифференцирования соответственно щ, ^.

Интерес к таким системам вызван их большой практической значимостью. В работе [G1-65J приводится ряд прикладных задач, решение которых сводится к решению краевых задач для систем (В.29): модель цилиндрического реактора, модель не реактивного воспламеЕіяющего газа, задача о сверхпроводимости катушки и т.д.

Большое значение при теоретическом исследовании и численном решении системы (В.29) отводится понятию индекса системы, как основного характеризующего показателя. Даются определения трех индексов: индекс по возмущению i/j?, алгебраический индекс и, индекс модели i/^.

Наряду с (В.29) рассматривается возмущенная система

_tdu_e „д²и_е „дщ _ . . _л

^лж^+вш^+с &^+Du-= №*>

Индекс по возмущению Up определяется следующим образом

^р = 1 + min{max{pi + q_u 92}}, где (рьдьф) выбирают из оценки и — и_е

\\и - щ\\ < CiH/ - Л||(_РІ1?1) + С₂\\д - &||(о,й)-

Здесь Сі, Сг - некоторые постоянные. Под S| || понимается норма в Евклидовом пространстве

о \\c(x,t)\\²dxj ,

i+k

Р я

д&дх^к

l|c||(p,₉) -ES

i=Ofc=0

где c(x. t) - произвольная вектор-функция.

Алгебраический индекс j/f определяют отрицательные степени символов Л. f.i - сомножителей элементов регуляризатора

Я(А,//) = {\A + im²B±vC + D)-¹.

i?(A,/z) - (п х тг)-матрица с элементами Rij(X,fi)

і/ = max{mm{ni + n₂ : X~ⁿⁱ}Tⁿ²Rij(X, /і)}}

и, наконец, третий индекс: индекс модели v^

Au₃{t) + {XjB + >)_Uj(t) = /,(0, j > 1, (5.30)

Uj(0) =Uj,

получаемой дискретизацией переменной х. Здесь А, В, D - матрицы из системы (В.29) {С = 0). Пусть i/j - индекс системы (В.30) в случае, когда пучок матриц

(Д XjB + D)

регулярен, Xj - дискретные номера, зависящие от длины интервала X и от номера j

vf_t = max{i/j}.

В работах [61-65] рассматриваются примеры частных случаев системы (В.29) с указанием индексов и в некоторых случаях с известным аналитическим решением. Наибольший интерес представляет система

где N - (г х г)-нилыютентный Жорданов блок, N^r — 0. Здесь v^ = 0, ^vf — ^v<a ~ 2(r — 1) + 1 и найдено решение

где с(х) - некоторая произвольная n-мерная вектор-функция. Lt - оператор интегрирования

Ш) = J* f(s)ds

Эта система очень близка по своей структуре к рассматриваемой в диссертации

ди ._тди ,, _л, _ ₊ N- = J_{X, I).

Литература, посвященная методам численного решения вырожденных систем уравнений в частных производных с одной стороны мала, а с другой необозрима. Это связано с тем, что о ваэюных с прикладной точки зрения выроэюденных систем (например, системы Навье-Стокса) написаны тысячи работ, в частности, о способах численного решения, но для систем, записанных в общей форме (В.8) результатов очень мало.

Отметим две работы W. Lucht, К. Strehmel, С. Eicheer-Liebenow [80] и В.Ф. Чистякова, О.В. Бормотовой [2], в которых рассматриваются и обосновываются методы решения систем общего вида с постоянными матрицами коэффициентов. Первая посвящена численному решению системы (В.23), заданной в области U = {(x,t) : і Є (0,f_e), x Є {-1,1), t_e > 0, I > 0}, t_e < со, либо t_e = со, определенными условиями на матрицы А, В, С, с граничными условиями

Uj(t,x) = Uj(t,±l) = 0, j = l,n

u(Q,x) = g(x)

Вводится сетка Uf_L = {x_k : x_k = — I + kh, k = 1, ...,jV, h = j^jrj} с последующей аппроксимацией

(t,x_k) ~ (u(t,x_k+x) -2u{t,x_k)+u{t,x_k-x))/h^z, k= 1,...,Л/".

Таким образом, осуществляется переход от системы (В.29) к АДС. К сожалению, в работе не описан метод решения последней, что вызывает много вопросов.

В работе |2] применяется сеточный метод для решения системы (В.8) с постоянными коэффициентами и начально-краевыми условиями

u(x,t₀) = Ф(х), u{x_Qit) = Ф(),

где Ф(х), х Є [сго,Х], Ф(і), і [ta,T] - заданные достаточно гладкие вектор-функции. Предполагается, что в системе (В.8) пучок матриц АЛ + В имеет каноническую форму

I — n—d—di, N, M - иильпотеитные матрицы индексов к и к\ соответственно: N^k = 0, М^к* = 0.

Система (В.8) аппроксимируется неявной разностной трехточечной схемой

А Г -D = J_mtl,

т а

7П = 1,...,.М, I — 1, ...,Л/*

і'Де /„,,/ = f{x„_ntt), u„i,o = u(x_m,0) = Ф_т, u_0ti = u(0,ti) = Ф/ Доказана сходимость разностной схемы в условиях теоремы существования.

8. Основные результаты выносимые на защиту.

Введено определение системы уравнений не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) и указаны критерии принадлежности систем (В.8) к классам систем индекса (1,0) и (1,1) и их гиперболичности. Доказана теорема существования решения начально-краевых задач для систем (В.8) с переменными коэффициентами индекса (1,0), (1,1)- При этом получен вспомогательный результат о разрешимости начально-краевой задачи для ннтегро-дифференциального уравнения с оператором Вольтерра, разрешенного относительно стар и і с й 11 ро п звод но й.
Получены условия существования решения граничных задач для системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами высокого индекса.
Доказана сходимость метода прямых для начально-краевых задач с системами индекса (1,0), (1,1) и получена оценка погрешности. При этом доказана сходимость метода сплайн-коллокации для линейной и квазилинейной АДС.
Доказана сходимость сеточного решения неявной разностной схемы к решению начально-краевой задачи для систем с переменными матрицами коэффициентов индекса (1,0), (1,1) и получена оценка погрешности.
Рассмотрена постановка задачи управления системой не типа Коши-Ковалевской и указаны условия непрерывности аппроксимации целевого функционала по управлению.

6. Создан комплекс программ, позволяющий решать начально-краевые за
дачи для систем не типа Коши-Ковалевской и решать задачи оптимального
управления для таких систем с квадратичным целевым функционалом.

Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках

Скажем немного о терминологии. В нашей литературе такие системы называются системами не типа Коши-Ковалевской [26, 27, 60], системами не разрешенными относительно старшей производной [28] или уравнениями Соболевского типа [40]. В зарубежной же литературе их чаще всего называют выроэюдепиъши системами или дифференциально-алгебраическими уравне-ииялш в частных производных [58,68,71,73,76-85,87-90,96). В диссертации и работах автора употребляется термины: вырожденные системы или системы не типа Коши-Ковалевской.

Как известно [23, в теории уравнений в частных производных важнейшую роль играет характеристика, называемая типом уравнения или системы уравнений. Наиболее хорошо изучены тины, которые носят названия: гиперболический, параболический и эллиптический.

Помимо типа, вырожденные системы обладают еще одной важной характеристикой, называемой индексом. Под индексом понимается набор целочисленных параметров, указывающих на сложность внутренней структуры системы. Значения этих параметров обычно на единицу больше максимальных порядков частных производных входных данных, от которых зависит решение краевой задачи. В частности индекс описывает характер зависимости решения от малых возмущений входных данных. В известной автору отечественной литературе понятие индекса явно не вводится, но в записи решении эту роль играют параметры, называемые сскториапьностыо оператора [40. 41, 47 или длиной жордановой цепочки [43, 44]. В зарубежной же литературе нет единого понимания индекса и существует большой набор определений [01,65,94,98]. В диссертации дается свое определение индекса, наиболее приспособленное к задачам, решаемым автором.

В связи с указанными выше трудностями, в диссертации получены уело-лия разрешимости для некоторых классов вырожденных систем общего вида, которые по ряду свойств наиболее близки к системам гиперболического типа. Для их численного решения были обоснованы метод прямых и одна неявная разностная схема. Получены критерии сходимости численного процесса. Разработан комплекс программ, реализующий рассматриваемые в диссертации численные методы.

Системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования

Из приведенных рассуждений, в частности, из последнего равенства следует, что исходная система (В.8) может не быть дифференциальной (решение системы не имеет даже константного произвола), если определитель detA не содержит операторов дифференцирования, может быть системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), если оператор (В. 12) включает производные только д/дх, либо только d/dt и наконец системой в частных производных, когда присутствуют в рассматриваемом операторе обе производные.

Как мы видели выше, важную роль при проведении рассуждений играло предположение о том, что операторный определитель detA не равен нулю. Это эквивалентно тому, что пучок матриц ХЛ + fiB -f С регулярен. Под регулярностью понимается существование чисел AQ, fJ-o, при которых dct(A(H + ІщВ + С) ф 0.

Существенную роль при исследовании играет следующий факт: если пучок АЛ + f.iB регулярен, то существуют невырожденные (п х п) матрицы Р и Q, которые приводят пучок к виду где N - пилыютентная матрица индекса к : Nk = 0, J - некоторая (d х d)-постояштя матрица, d г, г — гапкЛ. Число к называется индексом пары матриц (Л В). Правая часть в равенстве (В.13) носит название канонической (кронекеровой) структуры [22]. Такая форма пучка позволила исследовать системы с постоянными коэффициентами и получить условия разрешимости систем. В связи с понятием индекса пучка матриц в теории АДС было сформулировано понятие индекса АДС. Вначале опишем общую ситуацию. Пусть задана АДС следующего вида с достаточно гладкими входными данными Тогда, no крайней мере локально, в окрестности некоторой точки (а, а) Є Rn х (0, Т] найдется матрица P(x}t) : Из уравнения Яг ОМ) = 0 при определенных условиях можно выразить часть компонент вектора х : х\ Ф(;с2,), гАе х = (XJ х2 ) Для это го, напри мер, достаточно выполнения условий теоремы о неявной функции в точке (а,а). После подстановки х\ в первое уравнение, мы получим новую систему относительно Х\ : Может оказаться, что матрица А\{хі,і) также тождественно вырождается в области определения. Тогда процесс можно повторить. В силу того, что число шагов I описанного процесса не превышает п мы получим в конце концов систему где либо определитель detAi{xi,t) ф О, либо А{{х\, t) = 0. В первом случае систему можно свести к форме Копій (нормальной форме), а во втором разрешить уравнение J ifaijt) = 0. После этого обратным ходом можно восстановить все компоненты исходной вектор-функции x(t). Число шагов принято называть индексом АДС. Поясним происхождение термина. Очевидно; что процесс понижения размерности осуществим не всегда: в частности, на некотором шагу j система jFj(xj, і) — 0 может оказаться несовместной. Критерием осуществимости процесса для линейных систем с постоянными коэффициентами Ах (і) 4- Bx(t) — f(i) является регулярность пучка матриц XA + fiB. И более того, число шагов процесса понижения размерности / совпадает с индексом пучка (параметром к в формуле (В.13)) [57]. Следует отметить, что уже для линейных АДС с переменными матрицами коэффициентов, а тем более для нелинейных АДС число шагов процесса понижения и индекс пучка матриц Якоби по ж и і вида XdZ/дх + dZ/dx как правило не совпадают. Но, тем не менее, термин "индекс АДС", введенный для систем с постоянными матрицами коэффициентов, закрепился в теории АДС. В настоящее время наиболее часто под индексом АДС понимается порядок дифференциального оператора Легко указать АДС, для которых / q и к ф q даже локально [50]. Только для систем с постоянными матрицами коэффициентов имеется совпадение I = q = к. Еще больший разнобой встречается при попытках ввести понятие индекса систем не типа Коши-Ковалевской (см. например [61, 65, 75, 94, 98]). Ни одно определение пока не является общепринятым и устоявшимся. Для систем не типа Коши-Ковалевской можно попытаться действовать по аналогии с АДС. В силу тождественной вырожденности матрицы А(х, t), систему (В.8) иногда можно расщепить, умножая ее на невырожденная матрицу Р = P(x,t) и получая две подсистемы где Pf = (/і /2) Для сушествования матрицы Р достаточно постоянства ранга матрицы A(x,t) в области U.

Если det В21 7 0 V(x, t) Є U, то в системе (В. 14) векторную компоненту и2 можно выразить через щ, где и — (uj uj ) , и подставить ее в первое уравнение. После этого мы получим систему иптегро-дифференциальных уравнений, которая также может оказаться вырожденной и с ней можно проделать те же операции. Количество шагов, которое необходимо сделать, чтобы получить невырожденную систему, можно принять по аналогии с АДС за индекс системы (В.8). Но ситуация в общем случае сложнее, чем описанная выше: может но найтись хотя бы непрерывная в области U матрица Р, матрица В22 может оказаться вырожденной. Но даже в случае постоянства ранга матрицы А в области U построить матрицу Р очень непросто, особенно, если минор "несущий"ранг матрицы плавает по матрице, например

Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалсвской с переменными коэффициентами

Научные результаты и основные моменты работы докладывались на ежегодных конференциях "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий"в Иркутском Институте динамике систем и теории управления СО РАН (2001-2004гг.), на Международной конференции молодых ученых в Новосибирске (2002г.), на Региональной межвузовской конференции по математике и проблемам её преподавания в вузе, проходившей в Иркутском государственном педагогическом университете (2003г.), на III Всероссийской KOEI-ференции "Математика, информатика, управление"(2004г.), на ХШ-й Байкальской Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения "(2005г.). Основные результаты диссертации поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00857.

Работы по системам не типа Коши-Ковалевской развиваются в следующих направлениях: I. Направление, основанное на поиске аналитических (точных) решений уравнений в частных производных с применением алгоритма Картана, который первоначально возник как аналитический аппарат исследования поверхностей, обладающих различными геометрическими свойствами. Далее он нашел применение в другой области математики - в теории аналитических (точных) решений уравнений в частных производных [49, 58, 59]. Если рассматривается система уравнений где a-ijkt Fj есть функции от щ, ...,um,xi, ...,„, то наиболее общий метод получения точных решений системы (В.20) заключается в присоединении к (В.20) дополнительных уравнений где / - система функций от яі,..., хп, щ,..., ит, которые могут представлять собой производные до р-го порядка включительно по независимым переменным от уравнений исходной системы, образуя так называемую продолженную слстему. С большой эффективностью метод Картаиа применяется в работах [45, 58, 59). Хотя метод Картана и позволяет ответить на вопросы о совместности систем дифференциальных уравнений в частных производных, он не дает информации о типе системы, что представляет первостепенную важность при постановке начальных и краевых задач и выборе методов численного решения; II. Направление, основанное на использовании преобразовании Фурье и Лапласа, либо на разложении искомого решения в ряды Фурье по тригонометрическим функциям или ортогональным полиномам. Этот подход весьма эффективен при исследовании систем с постоянными коэффициентами. Здесь па систему (В.8) действуют преобразованием Фурье и is случае постоянства коэффициентов системы, относительно образов получают АДС где й(, ). /(, t) - образы Фурье по х функций и{х, t) и f(x, і] соответственно. Далее, обычно, последнюю систему исследуют и обратным преобразованием Фурье r)(x,t) = -7= f± 77( , )e " d возвращаются к переменным х и t. Этот метод активно используется в монографии [26]. В ней авторами развита теория краевых задач для систем не типа Коши-Ковалевской с постоянными матрицами коэффициентов вида ричныс дифференциальные операторы по х с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей. Вводится матрица С(т, г) с элементами Zfcj(r, г) - символ оператора , полученный применением преобразования Фурье к системе (В.22). На символ (т, г) накладывается ряд условий, в рамках которых проводится дальнейшее исследование. Выделяются следующие классы: системы Соболевского типа и псевдопараболические системы. Определение 1. Система дифференциальных уравнений вида (В.22) называется системой соболевского типа, если оператор {т7і) удовлетворяет условиям: 1) Существуют числа si,...,s„ и ti,...,tn : tj 0, j — 1,...,n, tj t\, Sj S\, m + 1,..., n такие, что для it, j = 1,..., n имеем /&J(T, г) = 0 при Sk + tj 0, k-,j(r, с + г О = с к+1ПК1{т, г ), О 0 при sk -f ij 0; 2) Равенство det [M(i )K "1L(f )j — 0 имеет место тогда и только тогда, когда = 0. Определение 2. Система дифференциальных уравнений вида (В.22) называется псевдопараболической, если символ (т) г) удовлетворяет условиям: 1) Выполнены равенства S\ — ... = sm = 0, t\ — ... — tm = 1 и найдутся такие числа sm+i = $п, tm+i = --- — tn такие, что — 1 Sj 0, tj 0, j = m+1,..., п, атакже вектор a = (ai ... ап ), о 0, г = 1,..., п такие, что для k.j — 1,...,п имеем а отношения tj/aj являются натуральными числами; Здесь отметим следующее. Требования, налагаемые на системы (В.22) в монографии [26], заметно сужают класс рассматриваемых задач. Равенство det {M(it;)KQlL(if;)] ф 0 из определения 1 означает, что индекс соответствующего пучка матриц АД) + Л-1(0 строго равен 2 (не больше и не меньше).

Для систем (В.22) получены условия разрешимости задачи Коши и смешанных задач в четверти пространства Я" 1 = {(x,t) : х Є Я", 0} в соболепских пространствах, исследована корректность рассматриваемых задач. При исследовании применяется метод построения последовательностей приближенных решений и получение оценок в соответствующих нормах. Для конструирования приближенных решений используется специальная модификация метода Фурье-Лапласа с помощью операторов усреднения.

Метод сеток. Доказательство сходимости

Сформулируем условия существования решения для системы индекса (1,0). Следствие 2.4.1 Пусть в начально-краевой задаче (2.1.1)-(2.1.3): 1) пучок матриц ХА + В удовлетворяет критерию "ранг-степень"; 2) корни многочлена det(AA -Ь В) отрицательные, простые и различные для всех (x,t) Є U, либо раны нулю во всей области U; 3) входные данные достаточно гладкие в области U; 4) начальные и граничные данные удовлетворяют условиям: и предполагаются согласованными в точке (хо, to) со своими производными. Тогда она имеет решение в области U. Вторая глава посвящена вопросам существования решения граничных задач. Здесь введено понятие индекса системы не типа Коши-Ковалевской, указаны признаки индекса (1,1 ) для системы с постоянными коэффициентами и индексов (1,0) и (1,1) для системы с переменными коэффициентами. Следует отметить, что анализ канонических (кронекеровых) структур пучков матриц Л Л + рьВ + С может дать информацию о разрешимости системы, ее типе, в общем случая только для постоянных коэффициентов. Тогда как для систем с переменными матрицами коэффициентов и тем более для квазилинейных систем индекса /,/:), где I, к 1, кронекерова структура пучка не является инвариантной относительно замен переменных и границей, отделяющей системы, сохраняющей тип структуры пучка при заменах переменных, является выполнение двойного критерия "ранг-степень." В первую очередь здесь рассматривается начально-краевая задача для системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными матричными коэффициентами где А, Б, С - (п х п)-постоянные матрицы, и(х, і) - искомая, /(#,) - заданная 72-мерные вектор-функции, (ж, і) є U = {(x,t) : х Є [гго, А"], і Є [t0,T]}ctf2. Предполагается, что в системе (2.5.1) Допускаются также вырождение матриц В и С. Для случая, когда С = 0 в системе (2.5.1), доказана теорема существования. Теорема 2.5.1. Пусть многочлен clet(AA + В) ненулевой и его ненулевые корни положительные и простые. Тогда в области U система (2.5.1) (С = 0) с начальными и краевыми условиями которые удовлетворяют равенствам ф\{хо) = 0i(o)» Ф[( о) = vf o o) — Jtjj xo), где Q l — (Wi, Wj, W3T) , имеет единственное решение. Для случая с ненулевой матрицей С получены условия, при выполнении которых система может заменой переменной быть сведена к системе с нулевой матрицей С. Эти условия даны в следующей лемме. Лемма 2.5.1 Если система матричных уравнений разрешима относительно матриц Z\ и Zb, то заменой переменных и — exp(Zi+ Z2x)z она сводится к системе А% + В = ехр[—{Z\t + Z x)]/. Также доказана теорема существования для системы с ненулевой матрицей С. Теорема 2.5.2 Пусть: 1) выполнены все условия теоремы 2.5.1; 2) в произведении PCQ блоки С-я = Е + fi\M, С33 = Ао-Е + Ai JV; 3) PCQ содержит не более двух нулевых блоков вне диагонали и расположенных в одной строке или одном столбце, причем блоки Cij и Cji (не совпадающие с выделенными нулевыми) связаны условиями: djMgCji — О, q — 0,1, , кх или CijN Cji = О, q = 0)lr--,k,M = Ef , № = Е& Тогда в области U система (2.5.1) имеет единственное решение. Теорема 2.5.3 Система вида (2.5.1) имеет индекс (1,1), если пучок матриц А Л + цВ + С в области U удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень". Более того, если все корни многочлена det(AA + D), D = В + (Еп — SS )C, S = {А В), S - любая полуобратная матрица к матрице 5 являются вещественными и простыми, то система (2.5.1) гиперболическая. Теорема 2.5.4 Система (2,5.1) имеет индекс (1,1) тогда и только тогда, когда: 1) старший коэффициент многочлена сІеЦАЛ + fiB + С) = [O,Q L1 + ai/ii_1 где г = тах{гапкЛ, (re, t) Є U], не имеет нулей в области U\ 2) начиная с некоторого 0 д до выполняется двустороннее неравенство Из доказательства теоремы вытекает, что справедливо следующее соотношение .. в({л/т) Его можно использовать для проверки индекса при возмущенных матрицах А, В, С, последовательно, уменьшая \і до тех пор, пока не начнут сказываться входные, возмущения и ошибки округления. Доказаны теоремы существования для систем с переменными матрицами коэффициентов индексов (1,1) и (1,0). Приведем здесь формулировку теоремы для случая индекса (1,1) (вторая теорема сформулирована как следствие). 1) пучок матриц АЛ 4- fiB + С удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень"; 2) корни многочлена det(\A + D), D = В + {E — SS )C отрицательные и простые, либо раны нулю во всей области С/, S = (А В), S - любая полуобратная матрица к матрице S; 3)входные данные достаточно гладкие в области U\ 4) начальные и граничные данные удовлетворяют условиям: и предполагаются согласованными в точке (XQ, to) со своими производными. Тогда она имеет решение в области U. В частности, системы, для которых выполнен двойной критерий "ранг-степень "включают в себя системы состоящие из взаимосвязанных подсистем, описывающих бегуїцие волны в прямом и обратном направлениях, подсистем обыкновенных дифференциальных уравнений с производными по , х и алгебраическую подсистему.

Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных Гайдомак Светлана Валерьевна

Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках

Системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования

Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалсвской с переменными коэффициентами

Метод сеток. Доказательство сходимости

Похожие диссертации на Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных