Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию свойств решений задачи Коши для систем уравнений, моделирующих сплошную среду с различными специальными свойствами. Эти системы имеют вид:
dtp + divx(PV) = 0, (1)
dt(pV) + divx(PV О V) + Vxp = F, (2)
dt Qp|V|2 + pe) + divT U\p\V\2 + pe + p)v) = T, (3)
где p, V = (..... V„), p, e обозначают плотность, скорость, давление и внутреннюю энергию, соответственно. Мы ограничим себя рассмотрением политропных сред, то есть уравнения состояния зададим как
р = RpQ, е = св. р = А ехр
Здесь А > 0 - константа, R - универсальная газовая постоянная, в — температура, S — энтропия, с = ~, 7 > 1 - показатель адиабаты. Здесь неизвестными являются плотность р, вектор скорости V = (Vi,...,Vn) и внутренняя энергия е; они зависят от времени t и точки пространства х = (х\, ...,хп) Є Ж".
Стоящие в правой части системы функции F, Т (первая - вектор, вторая -скаляр) могут зависеть от t, х, р, V, е, а также от производных компонент решения р. V, е. На функции F и 7 накладываются некоторые дополнительные условия, для системы уравнений газовой динамики эти функции нулевые. В частности, F может описывать силу Кориолиса, силу сухого трения, дивергенцию тензора напряжений.
Системы уравнений вида (1) - (3) описывают баланс массы, импульса и энергии и выглядят как обобщения системы уравнений газовой динамики — по этой причине мы и называем их квазигазодипамическими. Они возникают во многих приложениях: собственно в газовой динамике, в метеорологии, океанологии, гла-сиологии, гидравлике, гемодинамике, космологии, лазерной физике, и т.д. Они описывают течение вязкоупругих жидкостей, гранулированные и разреженные среды. Свойства решений таких систем имеют некоторые общие черты, которые в первую очередь и будут нас интересовать.
Системы указанного вида интенсивно изучались и продолжают изучаться. Упомянем, отнюдь не претендуя на полноту, огромное количество работ, посвященных
построению частных решений решений уравнений газовой динамики (Н.Е.Кочин, Л.В.Овсянников, Л.И.Седов, А.Ф.Сидоров, О.И.Богоявленский и их ученики и последователи), работы, посвященные обобщенным в разных смыслах решениям таких систем (О.А.Олейник, С.Н.Кружков, Е.Ю.Панов, Б.Пертам, Л.Тартар, Р.ДиПсрна, В.А.Тупчиев, В.А.Галкнн), работы, в которых описывается распространение и взаимодействие особенностей, а также необъятную литературу, посвященную численному интегрированию систем уравнений газовой динамики и их обобщений. В последнее время появился ряд монографий, подытоживающих изучение гиперболических законов сохранения, являющихся частным случаем систем коазигазодинамического типа, в частности, монографии К.Дафсрмоса, Ф.Лсфлока, Б.Псртама, Т.-П.Лю, Д.Ссрра, П.-Л.Лиопса.
Следует отметить, что несмотря на то, что для исследования свойств решений многомерных нелинейных систем квазигазодинамического типа интенсивно используются численные методы, собственно математические результаты, касающиеся таких систем, очень скудны. Особенно это касается классических решений.
Хорошо известно, что у решений гиперболических уравнений, даже если они первоначально сколь угодно гладкие, в течение конечного времени могут возникать особенности. Собственно, это и послужило поводом для построения теории обобщенных решений. Однако, если речь идет не о модельных, то есть значительно упрощенных, системах, то определить лишь по начальным данным, потеряет ли решение за конечное время гладкость или нет, очень трудно. Тем не менее, такая задача имеет, кроме теоретического, практический интерес. Например, в метеорологии возникающая особенность решения традиционно ассоциируется с атмосферным фронтом, в гидравлике - с гидравлическим скачком, в гемодинамике - с возникновением фибриляции, в лазерной физике - с явлением автофокусировки, в теории гранулированных сред - с явлением кластеризации, и т.д. Задача о том, сохраняется ли со временем гладкость решений уравнений Навье-Стокса в несжимаемом случае для пространства размерности три является одной из самых знаменитых. Ее аналог для сжимаемого случая чуть менее знаменит, но не менее сложен.
Таким образом, научившись судить по начальным данным о том, потеряет решение гладкость или нет, мы научимся предсказывать "особенные" явления, а также ограничивать применимость разностных схем, сходящихся лишь на гладких решениях.
Задача о нахождении начальных данных, при которых у гладкого решения задачи Копій за конечное время образуется особенность, легко решается для мо-
дельного транспортного уравнения вида dtV + (V, Vx) V = 0. Ответ здесь следующий: решение является глобально гладким тогда и только тогда, когда спектр якобиана матрицы начальных данных отделен от действительной отрицательной полуоси . Однако для системы уравнений квазигазодинамического типа такая задача, как правило, очень сложна даже в пространстве одной пространственной переменной, когда в принципе действенным оказывается метод характеристик. При F = О и f = 0 в изэптропическом случае, когда система сводится к двум уравнениям и может быть записана в инвариантах Римана 2, метод характеристик даст полный ответ на вопрос о том, образуется со временем особенность или нет. Образование особенности в данном случае соответствует градиентной катастрофе, то есть обращению первых производных компонент решения в бесконечность. В нсизэнтропическом случае также есть некоторые продвижения 3, 4, однако результаты носят или неявный характер, или касаются малых возмущений постоянного состояния. Задача об образовании особенностей для одномерной системы газовой динамики может быть исследована и другими методами 5. Однако эти методы дают только достаточные условия градиентной катастрофы и требуют неких априорных предположений о решении.
Первой работой, в которой найдены достаточные условия образования в течение конечного времени особенности гладкого решения для уравнений газовой динамики в трехмерном случае, является работа Т.Сидериса б. Изучались начальные данные, представляющие собой возмущение внутри компактной области постоянного нетривиального состояния с положительной плотностью. Общий смысл этих условий таков: скорость распространения носителя (то есть скорость звука в невозмущенной области) должна быть малой в сравнении с начальным возмущением. Условия, полученные Сидерисом, являются интегральными, и, вообще говоря, далеки от того, чтобы быть точными.
В настоящей работе этот результат улучшен и перенесен па случай, когда в правой части уравнений движения (2) стоит специальная внешняя сила, которая
'H.A.Le vine, M.H.Protter, The breakdown of solutions of quasilinear first order systems of partial differential equations, . 95(1986), 253-267.
Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М.:Наука, 197S.
T.-P.Liu, Development of singularities in the nonlinear waves for quasilinear partial differential equations , J.Diff.Equations, 33 (1979), 92-111.
L.Fagui, Global smooth resolvability for one-dimensional gas dynamics systems.
Nonlinear Anal. Ser.A: Theory.Methods. 30(1999), 25—34.
"С.И.Похожаев, О гиперболических системах законов сохранения Днфф.уравнешш, 39 (2003). 663-673. "T.CSidcns,Formation of singularities in solutions to nordinear hyperbolic equations. ^rch.Rat.Mech. Aiial. 86 (1984), 309-381.
может иметь влияние на скорость распространения носителя.
Кроме того, в диссертации рассмотрены решения, имеющие конечный момент инерции и конечную полную энергию, без ограничения на носитель. Показано, что в случае, когда система (1) - (3) описывает вязкую, в том числе, неньютоновскую жидкость, а также гранулированную среду, возможно указать достаточные условия на начальные данные, при которых в течение конечного времени перестанет существовать классическое решение соответствующей задачи Коши со специальными свойством убывания па бесконечности по пространственным переменным. В случае вязкой жидкости существенную роль играет размерность пространства.
Как уже было отмечено выше, практически для всех систем вида (1) - (3) известные достаточные условия образования особенности первоначально гладкого решения в многомерном случае являются интегральными, то есть они характеризуют некоторые средние свойства решения, так что начальные данные, удовлетворяющие этим условиям, выделяются неоднозначно. По всей видимости, в многомерном случае нельзя надеяться на получения критерия образования особенности, то есть необходимого и достаточного условия на начальные данные, по которому можно судить, образуется особенность гладкого решения или нет. Некоторым исключением являются уже упомянутое модельное транспортное уравнение, в том числе и содержащее Кориолисову силу, и тесно связанная с ним система газовой динамики "без давления". Х.Лго и И.Тэдмор предпринимали попытки перенести технику, успешно работающую в упомянутых случаях, на случай обычной газовой динамики с градиентом давления 7. Однако для этого надо делать необоснованные предположения о свойствах поля давления, так что метод представляется искусственным. В недавней работе учеников И.Тэдмора Б.Ченя и Ч.Ши получены некоторые достаточные условия на начальные данные, при которых решения уравнений мелкой воды (частный случай уравнений газовой динамики) в присутствии силы Кориолиса остаются гладкими в течение бесконечного времени.
Следует сказать, что существует обширная литература об образовании особенностей решений уравнений различного типа. Упомянем школу С.И.Похожаева, с успехом применяющую метод нелинейной емкости для доказательства несуществования решений краевых, начально-краевых задач и задач Коши для эллиптических и параболических уравнений и систем. Упомянем также многочисленные работы о возникновении особенностей полулинейных волновых уравнений в про-
7H.Liu, Е. Tadmor, Rotation prevents finite-time breakdoum. Phys. D 188 (2004), 262-276.
eB. Cheng, G. Xie, On the classical solutions of two dimensional inviscid rotating shallow water system. J.Diffcrcntial Equations 250 (2011), 690—709.
странствах многих переменных 9, о поведении решений нелинейного уравнения Шрсдингера и связанных с ним уравнений 10, п, 12, работы о разрушении решений систем уравнений магнитогидродинамики 13, нелинейной упругости 14, уравнений гравитирующего газа 1о, уравнений погранслоя 1б, а также симметрических гиперболических систем со специальными условиями на коэффициенты и. Часто в этих работах (и список их далеко не полон) применяется технический аппарат, который может быть назван "методом интегральных функционалов" или "методом моментов". Применение подобного метода к различным системам уравнений, имеющим физическую природу, является интенсивно развивающимся в последнее время направлением.
С достаточными условиями возникновения особенностей тесно связан круг вопросов о выявлении классов начальных данных таких, что соответствующая задача Коши имеет глобально по времени гладкое решение.
Нет нужды обосновывать важность нахождения точных решений систем уравнений, моделирующих сложные физический процессы. Такие решения, например, традиционно используются как тесты для численных алгоритмов. Поиску точных решений систем уравнений газодинамического типа уделялось много внимания. Значительных результатов удастся достичь с использованием группового подхода. Упомянем в этой связи работы Л.В.Овсянникова и других ученых новосибирской школы 18, 19, 20.
9S.Alinhac, Blowup for nonlinear hyperbolic conations. Birkhauser. Boston-Basel-Berlin. 1995.
M.I. Weinstein, On the structure, and formation of singularities in solutions to nonlinear dispersive evolution equations. Communications in Partial Differential Equations 11(1986), 545-565.
F.Merle, Construction of solution with exactly к blow-up points for the Schrodinger equation with critical nonlinearity. Comni. Math. Phys. 129(199()), 223-240.
'С.Н.Власов, В.И.Таланов Распределенный волновой коллапс в модели нелинейного уравнения Шредингера. в: "Нелинейные волны. Динамика и эволюция." М.:Наука. 1989, 218-227.
"M.Rammaha, On the. formation of singularities in magnetohydiodynamic wawM.J.Math.Anal.Appl. 188(1994), 940-955.
T.C.Sideris,Nonrcsonance and global existence of prestressed nonlinear elastic waves. Ann.Math.(2) 151(2000) 849-874.
l0B.Pcrthame, Nonexistence of global solutions to Eulcr-Poisson equations for repulsive forces. Japan J. Appl. Math. 7 (1990), 363—367.
16\V'einan E, B.Engquist, Blowup of solutions of the unsteady Prandtl's equation. Comm. Pure Appl. Math. 50 (1997), 1287-1293.
T.C.Sideris,Formation of singularities in solutions to nonlinear hyperbolic, equations.Arch.Rat.Mech. Anal. 86 (1984), 369-381.
А.Ф.Сидоров, В.П.Шапеев, Н.Н.Яненко, Метод дифференциальных связей и его применения в газовой ди-HfwmK-е.Новосибирск: Наука, 1984.
N. H.Ibragimov et al., CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws.CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.
A.P.Chupakliin, Singular vortex in hydw- and gas dynamics.Analytical approadies to multidimensional balance laws, Nova Sci. Publ., New York, 2006, 89—118.
Пример таких решений предоставляют решения с линейным профилем скорости, у которых компоненты скорости являются линейными функциями координат. Эти точные решения интересуют нас еще и потому, что на них достигается равенство в большинстве полученных оценок роста интегральных функционалов.
Идея рассмотрения решений с линейным профилем скорости далеко не нова. Такие точные решения есть у уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости в эллипсоидальной полости в трехмерном пространстве 21. В этом случае для нахождения зависящих от времени коэффициентов в компонентах скорости получается автономная динамическая система уравнений с квадратичной нелинейностью 22. В пашем случае, когда речь идет о сжимаемой среде, мы также получаем автономную нелинейную систему уравнений, куда помимо коэффициентов в компонентах скорости входят функционалы от плотности.
Мы рассматриваем ситуацию, когда в системе присутствуют сила сухого трения и сила Кориолиса, коэффициенты которых постоянны. В некоторых случаях упомянутую нелинейную систему удастся проинтегрировать полностью или понизить се порядок. В общем случае можно исследовать ее положения равновесия на устойчивость и найти асимптотику решения при стремлении к устойчивому положению равновесия.
Мы показываем, что если коэффициент сухого трения отличен он нуля, вне зависимости от того, присутствует сила Кориолиса или нет, существует глобально гладкое по времени решение с линейным профилем скорости системы (1)-(3) с соответствующими FuJ такое, что в некоторой окрестности этого решения также существуют глобально гладкие по времени решения этой системы. Если сухое трение отсутствует, что для существования решения с такими свойствами нужно, чтобы отсутствовала и сила Кориолиса, то есть система (1)-(3) соответствует системе уравнений обычной газовой динамики. Для этого случая аналогичный результат был получен Д.Серром23.
Как правило, даже если нам удалось на основании начальных данных сделать вывод о том, что у решения соответствующей задачи Коши появится особенность, тип этой особенности неясен. Например, для уравнений газовой динамики максимум, что мы можем сказать, это то, что в некоторой точке обращается в бес-
'-'Г.Ламб, Гидродинамика. М.: ГИТТЛ, 1947.
22Е.В.Гледоер, Ф.В.Должанский, А.М.Обухов, Системы гиороди>иімического типа и их применение. М.:Наука, 1981.
23D.Serrc, Solutions classiques globales des equations d'Euler pour unfluide. par/ait compressible. Annates dc I'lnstitut Fourier. 47 (1097), 139-153.
конечность или само решение, или его градиент 24, 23. Тип особенности, конечно, зависит от структуры F и Т. В случае обычной газовой динамики считается, что возникающая особенность представляет собой ударную волну, однако в многомерном случае это убеждение подкрепляется лишь численными расчетами.
Поэтому важным является выделение класса систем, для которых можно явно построить решения с образующимися в течение конечного времени особенностями. В частности, такими системами являются система газовой динамики без давления, а также система, получающаяся из нелинейного уравнения Шредингсра в гидро-допамической интерпретации. Первая система используется для моделирования структуры вселенной - , а вторая — для описания явления автофокусировки в лазерной физике 2Г. Тем не менее оказывается, что структура возникающих при этом особенностей сходная. Более того, как мы показываем, в некоторых случаях оказывается возможным на основании решения одной системы построить решение другой.
Для нелинейного уравнения Шредингсра с критической нелинейностью в настоящей работе мы строим новые классы решений, у которых образуется особенность, на основании гидродинамической интерпретации этого уравнения.
Следующим вопросом является вопрос о локализации п пространстве возникающей особенности. Зачастую он оказывается даже более сложным, чем локализация особенности во времени. Тем не менее задачи такого рода с практической точки зрения очень важны — если речь идет, например, о местоположении предсказанной ударной волны или атмосферного фронта. В некоторых случаях область, в которой гарантируется возникновение особенности, удается явно указать.
Методы исследования. При решении практически всех задач данной работы использовался специально разработанный метод интегральных функционалов, а также методы нахождения асимптотик решений сильно нелинейный систем дифференциальных уравнений, различные интегральные неравенства и теоремы вложения.
Цель работы. Разработка метода доказательства несуществования классиче-
А.И.Вольпсрт, СИ.Худясв, О задаче Кении для составных систем нелинейных уравнений. Мат. сборник 87(1972). 504-528.
A.Majda, Compressible Fluid Flow and Systems of Conservation Laws in Several Space Variables.Springer Appl Math. Sri., 53, 1984.
S.F. Sliandarin, Ya.B.Zeldovich. The large-scale structure of the Universc:Turbulence, intennittency, structures in a self-gravitating medium. Reviews of Modem Physics 61 (2)(1989), 185-220.
В.И.Таланов,О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах. Письма в "Журнал экспериментальной и теоретической физики", 19G5, JV> 2. 218-222.
ского решения задачи Кошн для важных классов систем уравнений, моделирующих сплошные среды с различными свойствами. Получение оценок различных типов энергии и изучение возможности перехода одного типа энергии в другой. Построение классов точных решений некоторых квазигазодинамических систем: как глобально гладких, так и тех, у которых за конечное время образуется особенность.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
-
Для различных систем вида (1) - (3) рассмотрен класс решений задачи Копій с сохраняющейся массой, моментом импульса и конечным моментом инерции, мы обозначаем такой класс (КМИ). Для этих решений введен ряд специальных интегральных функционалов и изучены взаимоотношения между ними.
-
Доказано, что все гладкие решения уравнений течений сжимаемой вязкой жидкости (уравнений Навье-Стокса) из класса (КМИ) теряют исходную гладкость в пространстве размерности больше или равной трем даже в случае, если носитель их начальных данных — некомпактен. Тем самым получено опровержение гипотезы Ц.П.Шина 28, состоящей в том, что в случае некомпактного носителя начальных данных существует глобально гладкое решение системы уравнений Навье-Стокса. Этот же результат доказан для уравнений движения баротропной сжимаемой магнитной вязкой жидкости в пространстве п = 3. Кроме того, для решений из класса (КМИ) получены двусторонние оценки всех компонент полной энергии (кинетической, внутренней и магнитной).
-
Рассмотрена система уравнений движений баротропной сжимаемой ненью-тоновской жидкости, занимающей все пространство. Тензор вязкостей предполагается коэрцнвпым с показателем q > 1. Показано, что если на решениях полная масса и момент системы сохраняются, то можно найти константу qy > 1, зависящую от размерности пространства п и показателя адиабаты 7 такую, что при q Є [q-y, п) не существует глобально гладкого по времени решения задачи Коши. Аналогичный результат доказан для решений уравнений исньютоновской магнитогидродинамики в трехмерном пространстве.
-
Рассмотрена гиперболическая система уравнений идеальной гранулированной гидродинамики во всем пространстве. Доказано, что при показателе 7 Є (1,1 + ^] для любой пространственной размерности все решения класса (КМИ), соответствующие достаточно малой суммарной массе вещества, за конечное вре-
28 Z.P.Xin,Blowup of smooth solutions to the compressible Navier-Stokes equation witti compact density. Comm.Pure Appl.Math. 51(1998), 229-240.
мя теряют исходную гладкость. Построены специальные классы точных решений с особенностями, зависящие только от радиальной компоненты. В случае одной пространственной переменной построено нетривиальное решение, не зависящее от времени. Показано, что при достаточно общих начальных данных всякое гладкое возмущение этого решения также теряет гладкость.
5. Для уравнений газовой динамики в адиабатическом случае оценено время образования особенности решения и указаны способы локализации этой особенности в пространстве. При дополнительных априорных условиях па скорость распространения носителя гладкого компактного возмущения постоянного решения системы (1) - (3) получены условия па начальные данные задачи Коши, достаточные для потери решением исходной гладкости за конечное время.
G. Изучена динамика границы материального объема в гладком течении сжимаемой невязкой жидкости; в частности, решена задача об условиях достижения границей материального объема некоторой окрестности точки, первоначально данному объему не принадлежащей.
-
Построены классы интегральных функционалов типа момента для систем вида (1) - (3), встречающихся в геофизических приложениях, когда необходимо учитывать Кориолисову силу, трение и геопотенциал, и изучены их свойства. Получены двусторонние оценки потенциальной и кинетической составляющих полной энергии таких систем.
-
С помощью техники моментов построены классы глобально гладких по времени решений систем уравнений газовой динамики, в том числе дополненных силой Кориолиса и сухим трением. Для обычной газовой динамики подобные решения ранее были построены Л.В.Овсянниковым. Изучены асимптотические свойства построенных классов решений. Доказана теорема о том, что в присутствии сухого трения свойство решения сохранять гладкость при всех t > 0 является устойчивым по отношению к начальным данным в Соболевской норме.
-
Методы, используемые для изучения систем газодинамического типа, применены к нелинейному уравнению Шрсдиигсра с критическим показателем. А именно, построены новые классы точных решений, среди которых есть те, у которых в течение конечного времени образуется особенность, а также в некоторых частных случаях построено продолжение решения за точку образования особенности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по уравнениям в частных производных, в вычислительной математике для тестирования разностных схем, а также в специальных курсах для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, семинарах ВЦ РАН, семинаре в МЭИ под руководством Ю.А.Дубинского, семинаре по теории функций многих действительных переменных и се приложениям к задачам математической физики в МИАН под руководством С.М.Никольского, О.В.Бесова и С.И.Похожасва, семинарах университетов Бонна, Турина, Брсшии, Лаквилы, Милана, Тайпея, а также на более 30 международных и российских конференциях, среди которых выделим следующие: Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г.Пстровс-кому, Москва (1998, 2001, 2003, 2005, 2009, 2011), Международная конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль (2004), Международная конференция "Дни дифракции", С.-Петербург (2009), Международная конференция "Trends in Nonlinear Analysis", Гейдельберг (2000), Международная конференция "Topics in PDE, Harmonic analysis and Mathematical physics", Novi Sad (2004), Международная конференция "Global and Geometric Aspects in Nonlinear PDE", Ереван (2004), серия Международных конференций "Hyperbolic problems: Theory, Numerics and Applications", Цюрих (1998). Пасадена (2000), Магдебург (2002), Лион (200G), Вашингтон (2008), Пекин (2010), Международная конференция по законам сохранения в Институте Ньютона, Кембридж (2003), Международная конференция по дифференциальным уравнениям, посвященная юбилею П.Д.Лакса и Л.Ниринберга, Толедо (2006), Международная конференция по физике нелинейных явлений, Тайпей (2005, 2007, 2010), Международный конгресс по промышленной и прикладной математике (ICIAM), Цюрих (2007), Международная конференция по законам сохранения, Триест, SISSA (2011).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 21 работе автора, список которых приведеп в конце автореферата, 17 из них опубликованы в изданиях из списка ВАК, все работы написаны без соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Главы включают разделы и подразделы; все главы и большинство разделов содержат отдельные введения. Объем диссертации: 264 стр., список литературы включает 184 наименования.
